复变函数与积分变换2.3

Department of Mathematics
第二章 复变函数
第三节 初等多值函数
7、幂函数
利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任 何复数，则定义z的a次幂函数为
幂函数的定义:
w z e
a a Ln z
( z 0)
a
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
由于
w z e
a a ln z
，是一个无穷值多值函数。
例如当n是大于1的整数时，
1
幂函数的基本性质:
w z
n

n
z
n
称为根式函数，它是 z w 的反函数。当z 0 时，有 1 1 1 1 ln z 2 ki (ln | z | i arg z ) 2 ki
w
n
z en
n
en
en
en ( arg z , k Z )
幂函数的映射性质:
l1 : arg w a 0
让 0 从0增加到 （不包括0及 ），那么射线 l扫过角形A，而相应的射线 l1 扫过角形
A1 : 0 arg w a

a
幂函数的映射性质:
因此 把夹角为 的角形双射成一个夹角为 a 的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的 圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
w z e
1 n 1 Ln n
z
e
1 [ ln n
| z | i (arg z 2 k )]
| zБайду номын сангаас| e
1 n
i
arg z 2 k n
( k 0 ,1, 2 , , n 1).
是一个 n 值函数；
幂函数的基本性质：
4、当 是 0时 , 0 0 Lnz 0 z e e 1; 5、当 是有理数时，即
i 2 k n 1
它们也可以记作
w
n
z( 1 e
n
)
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相 应的连续分支在该处所取的值一致。
w 当a不是整数时，原点及无穷远点是 z 的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这 两个支点具有完全不同的性质。 为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的 充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C围绕0 或无穷远点。在C上任取一点z 1 ，确定Argz在 z 1 的一个值arg z 1 1 ；相应地确定
dw dz
a
幂函数的基本性质:
a
1 z
e
a ln z
a
z
z
其中 z 应当理解为对它求导数的那个分支， lnz应当理解为对数函数相应的分支。
对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整 a 数时， z 在G内是同一解析函数；当
a
a
幂函数的基本性质:
m n (既约分数，
n 1)
时， z 在G内有n个解析分支；当a是无理数或 a 虚数时，幂函数 z 在G内有无穷多个解析分支
可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图
例1：
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
结论：0、1、2与无穷都是1阶支点。
可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数 可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到
例1：
0
1
2
[ 2 , )
因此也可以用[0，1]与
作割线。
我们求函数下述的解析分支
w z ( z 1)( z 2 ) , ( w ( 1) 6 i )
Lnz
e ( a b )[ln | z | (arg e
[ln | z | i (arg z 2 k )]
e
( a bi )[ln | z | i (arg z 2 k )]
z 2 k )] i [ b ln | z | a (arg z 2 k )]
例如 2 k i i Lni i [ln 1 i (arg i 2 k )] i e e e 2 ( k 0 , 1, 2 , )
幂函数的基本性质：
2
1 i
e
( 1 i ) Ln2
e
( 1 i )[ln 2 i (arg 2 2 k )]
w z (1 1)
a a

a
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
幂函数的映射性质:
w
n
z
) ( k 0 ,1, 2 ,..., n 1)
的n个分支
w
n
z (n 1 e
1 i 2 k n
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
2 k n
arg w
2 ( k 1) n
a
支点:
w z e
a
a (ln z iArgz )
在 z 1 的一个值 e a (ln
z1 i arg z1 )
e
a ln z1
现在考虑下列两种情况： m (1) a是有理数 n (既约分数， n 1) ，当一点z从 z 1 出发按反时针或顺时针方向连续 变动n周时，argz从 1 连续变动到 1 2 n m
结论：0、1是3阶支点，无穷远点不是支点。
例2：
因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析 分支；若在（0，1）的上沿规定
arg z arg( 1 z ) 0 ,
在w的四个解析分支为：
i
w | z (1 z ) |
3 1/ 4
[arg z 3 arg (1 - z )]
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点 a 是 w z 的无穷阶支点。 当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z 的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连 续曲线作为 K 割线，得一个区域 D 1 。在 D 1 1 a 内，可以把 w z 分解成解析分支。
a
无穷阶支点:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面 的结论： 设 是一个实数，并且 0 , a 2
| z |e
1 i (arg z 2 k ) n
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
w
n
幂函数的基本性质:
1 i (arg z 2 k ) n
| z |e
( arg z ; k 0 ,1,..., n 1)
数 ( 不同数值的个数等于
e 不同因子的个数 )。 2、当 是正整数 n 时 , n n Ln z n [ ln | z | i (arg z 2 k )] n in arg z w z e e | z | e 0. 是一个单值函数； 3、当 1 ( n 是正整数 )时 , n
幂函数的基本性质：
6、当 是无理数或复数时，幂 多值函数； 事实上，当
Lnz [ln | z | i (arg z 2 k )]
函数是无穷
是无理数时，有
e
ln z i 2 k
z e e 当 a bi ( b 0 )时，有 z

e
2
2
e
2
2 Ln2
2 2
e
2ki
2 [ln 2 i (arg 2 2 k )]
e
2 ln 2 2
2ki
e
( k 0 , 1, 2 , )
7 、幂函数在
C \ {Im z 0 , Re z 0 }上解析，
设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个 解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地 a z 有一个单值连续分支。根据复合函数求导 a w 法则， z 的这个单值连续分支在G内解 析，并且 a
幂函数的映射性质:
在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线， 得到一个区域D*。考虑D*内的角形，
A : 0 arg z a 并取 w z 在D*内的一个解析分支
w z (1 1)
a a

当z描出A内的一条射线时 l : arg z 0 （不包括0），w在w平面描出一条射线
代数支点:
而 w z 则从 e n
n
m
ln z1
m
en
(ln | z1 | i 1 )
相应地连续变动到
ln z1
m
e
n
(ln z1 2 n )
m
e
n
也即第一次回到了它从 z 1 出发时的值。这时，我 m 们称原点和无穷远点是 w z n 的n-1阶支点， 也称n-1为阶代数支点。
例1：
在z=i的值。在z=1处，取
arg z arg( z 1) arg( z 2 ) ,
在w的两个解析分支为：
i
w | z ( z 1)( z 2 ) |
1/ 2
[arg z arg ( z 1 ) arg ( z 2 )] k i
e
2
( k 0 ,1)
e
( 1 i )[ln 2 2 k i )]
e e 2 k 2e (cos ln 2 i sin ln 2 ) (k 0, 1, 2, , )
ln 2 2 k i i ln 2 2 k
(ln 2 2 k ) i (ln 2 2 k )
k 2
i
e4
, ( k 0 ,1, 2 , 3 ),
则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，