2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷.文)答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（文史类）参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由题意可得{}1,2,4,6A B = ，所以{}()1,2,4A B C = ．故选B ． 2．【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤， 因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ． 3．【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率52104P ==，故选C. 4．【答案】C【解析】初始19N =，进入循环后N 的值依次为18,6,2N N N ===，结束循环，输出2N =，故选C ． 5．【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3ab ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．6．【答案】C【解析】由题意可得)5(log )51log (22f f a =-=，且21.4log 5log 22>>，2218.0<<，所以8.02221.4l o g 5l o g >>，结合函数的单调性可得)2()1.4(log )5(log 8.022f f f >>，即c b a >>，即a b c <<.故选C7．【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 8．【答案】A【解析】当a =±0x =时，()||2xf x a ≥+即2|≥±，即2≥然上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D ，故选A ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．【答案】2-【解析】i (i )(2i )(21)(2)i 212i 2i (2i )(2i )555a a a a a a -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-． 10．【答案】1【解析】由题可得a f =)1(，则切点为）（a ,1，因为xa x f 1)('-=，所以切线l 的斜率为1)1('-=a f ，切线l 的方程为)1)(1(--=-x a a y ，令0=x 可得1=y ，故l 在y 轴上的截距为1 11．【答案】92π【解析】设正方体的边长为a ，则2618a a =⇒，其外接球直径为23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=． 12．【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为C （-1，m ），则A （0，m ）,焦点F （1,0），），（），（m -=-=10,1，2111cos 2-=+-==∠m CAF ，解得3±=m ，由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则3=m ，所求圆的圆心为），（31-，半径为1，所求圆的方程为1)3(122=-++y x ）（13．【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当2224a b ==时取等号． 14．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+ 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】（Ⅰ）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-===（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A =代入sin 4sin a A b B =，得s i n s i n 4a A B b ==． 由（Ⅰ）知A为钝角，所以cos B ==． 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=．16．【解析】（Ⅰ）由已知，,x y 满足的数学关系式为706060055302x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N ，即7660620x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N．该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点（包括边界）：（Ⅱ）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+． 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大． 又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大． 解方程组7660,20,x y x y +=⎧⎨-=⎩得点M 的坐标为(6,3)，所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 17．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD.在Rt △PDA 中，由已知，得5PD AD AP 22=+=，故55cos ==∠AP AD DAP .所以，异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值为55（Ⅱ）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ． 又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连解PF ， 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD//BC ，DF//AB ，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得52CF CD DF 22=+=，在Rt △DPF 中，可得55sin ==∠DF PD DFP 18．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①；由11411S b =，可得1516a d +=②， 联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）设数列}b {a n 2n 的前n 项和为n T ，由262-=n a n ，有n n n 2)26(21621024T 32⨯-++⨯+⨯+⨯= ，14322262)86(216210242T +⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n ）（上述两式想减，得162)43(2)26(421211222626262624T -21132---=⨯-----⨯=⨯--⨯++⨯+⨯+⨯=+++n n nn n n n n n ）（）（得162)43(T 2+-=+n n n所以数列}b {a n 2n 的前n 项和为162)43(2+-+n n19．【解析】（Ⅰ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，令()0f 'x =，解得x a =或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-． 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．（Ⅱ）（i ）因为()e (()())x x x g'f f 'x =+，由题意知00()e ()e x x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩． 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0．（ii ）因为()e x g x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤．又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（Ⅰ）知0x a =． 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-， 由（Ⅰ）知f(x)在（a-1,a ）内单调递增，在（a,a+1）内单调递减，故当x 0=a 时，1)()(=≤a f x f 在[]1,1+-a a 上恒成立，从而x e x g ≤)(在[]1,100+-x x 上恒成立由1)4(36)(23=+---=b a a a a a a f ，得11,16223≤≤-+-=a a a b .令[]1,1,162)(23-∈+-=x x x x t ，所以x x x t 126)('2-=令0)('=x t ，解得2=x （舍去），或0=x因为7)1(-=-t ，3)1(-=t ，1)0(=t ，故)(x t 的值域为[]1,7-所以，b 的取值范围是[]1,7-20．【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （Ⅱ）（i ）依题意，设直线FP 的方程为)0(>-=m c my x ，则直线FP 的斜率为m1.由（Ⅰ）知c a 2=，可得直线AE 的方程为12=+c yc x ，即022=-+c y x ， 与直线FP 的方程联立，可解得23,2)22(+=+-=m cy m c m x ，即点Q 的坐标为））（（23,222++-m c m c m .由已知23FQ c =，有222)23()23(222c m c c m c m =++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-）（，整理得0432=-m m ，所以34=m ，故直线FP 的斜率为43（ii ）由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =．因此可得点3(,)2c P c ，进而可得5|2|c FP ==， 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==． 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．。