南充高中2013年自主招生考试试题及答案

南充高中2013年面向省内外自主招生考试数 学 试 题（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）第Ⅰ卷（选择.填空题）一、选择题（每小题5分，共计50分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1.方程34xx x x-=的实根个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知223250,5230m m n n --=+-=，其中为,m n 实数，则1m n-=A. 0B. 83C. 53D. 0或833.设0,0,26x y x y ≥≥+=，则224363u x xy y x y =++--的最大值为 A. 13.5 B. 18 C. 20 D.不存在4. 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c且4,1,a b ab c +==ABC ∆的形状为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定5.直角三角形ABC 的三个顶点,,A B C 均在抛物线2y x =上，且斜边平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则 A. 1h < B. 1h = C. 12h << D. 2h >6.等腰梯形底角为α，以腰长为直径作圆与另一腰切于M ，交较长底边AB 于E ，则BEAE的值为A. 2sin cos ααB. sin αC. cos αD. cos 2α7.若关于x 的方程211x bx m ax c m --=-+有绝对值相同，符号相反的两个根，则m 的值应为 A. c B. 1c C. a b a b -+ D. a ba b+-8.若干人共同买一箱香烟，后来考虑到吸烟污染环境，有害健康，有15人戒烟，余下每人要多分担15元，到决定付款时，又有5人不买，最后余下的每人又多增加10元，则开始准备共同购买香烟的人数是多少A. 40B. 35C. 37D. 459.设P 是高为h 的正三角形内的一点，P 到三边的距离分别为,,x y z ，()x y z ≤≤若以,,x y z 为边可以组成三角形，则z 应满足的条件为A. 1143h z h ≤<B. 1132h z h ≤<C. 1324h z h ≤< D. 34h z h ≤<10.如图，AB AC AD ==,如果DAC ∠是CAB ∠的(0)k k >倍，那么DBC ∠是BDC ∠的( )倍A. kB. 2kC. 3kD. 以上答案都不对二、填空题（每小题5分，共计30分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）11.2013减去它的12，再减去剩余的13，再减去剩余数的14 ，以此类推…….一直到减去剩余数的12013，那么最后剩余数为12.已知函数211322y x =-+在0a x b <≤≤时有22a y b ≤≤，则(,)a b DC B A13.如图MON ∠两边上分别有,,A C E 及,,B D F 六个点，且1OAB ABC BCD CDE DEF S S S S S ∆∆∆∆∆=====，则CDF S ∆=14.若有奖储蓄每1000张奖券中，有一等奖1张，奖金500元，二等奖10张，奖金100元，三等奖50张，奖金20元，纪念奖100张，奖金5元，某人买一张奖券，则他得奖不少于2015.=16. 如图，已知菱形ABCD 的边AB=10，对角线BD=12，BD 边 上有2013个不同的点1232013,,......P P P P ，过(1,2,3.....2013)i P i = 作i i PE AB ⊥于i E ，i i PF AD⊥于i F ， 1111222220122012PE PF P E P F P E ++++⋯+ 201220122013201320132013P F P E P F +++三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,17. (本小题10分) 设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2根12,x x（1）若22126x x +=，求m 的值;（2）求22121211mx mx x x +--的最大值.18．(本小题10分)解方程组22(3)()40414x x x y x x y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩19. (本小题12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4， tan ∠ADC ＝2.（1）求证：DC ＝BC ；（2）E 是梯形内一点，连接DE 、CE ，将△DCE 绕 点C 顺时针旋转90°，得△BCF ，连接EF .判断EF 与CE 的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当CE ＝2BE ，FABE∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值.20. (本小题12分)为加速南充森林建设，市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴，规定每年培植一亩树苗一次性补贴若干元，随着补贴数字的不断增大，某地苗圃每年育苗规模也不断增加，但每年每亩苗圃的收益会相应下降，经调查每年培植亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间有如下关系(政府补贴为100元的整数倍，且每亩补贴而每年每亩的收益p（元）与政府每亩补贴数额x（元）之间满足一次函数关系p=－5x+9000(1)请观察题中的表格，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间的函数关系式；(2)当2012年政府每亩补贴数额x（元）是多少元时，该地区苗圃收益w（元）最大，最大收益是多少元？(3)在2012年苗圃取得最大收益的育苗情况下，该地区培植面积刚好达到最大化，要想增收，只能提高每亩收益.经市场调查，培育银杏树苗畅销，每亩的经济效益相应会更好.2013年该地区用去年育苗面积的（30－a）%的土地培育银杏树苗，其余面积继续培植一般类树苗，预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了（100+3a）%，由于培育银杏类树苗每亩多支出1000元，2013年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收399万元.请参考以下数据，通过计算，估算出a的整数值.（参考数据：.591635===）,3739.6,082.624421．(本小题l3分) 如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4.（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标.吧 22. (本小题13分)已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . (1)试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标；(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.第（22）题备用图 （第22题）南充2013数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择.填空题）一、选择题（每小题5分，共计50分.） 1~5A DBCB ACABA 二、填空题（每小题5分，共计30分）11．1 12.（1，3） 13. 3414．0.061（或写成611000） 15．.5 16．19324.8 （或写成966245）三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)17. (本小题10分) 设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2 + 2(m-2)x + m 2-3m +3 =0有两个不相等的实数根12,x x （1）若22126x x +=，求m 的值：（2）求22121211mx mx x x +--的最大值解：440m ∆=-+>，得1m <故11m -≤<，（1）222121212()22210106x x x x x x m m +=+-=-+=，解得m =由于11m -≤<，故m =5分 （2）222212121212121212()11()1m x x x x x x mx mx x x x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=---++=222(1)(31)2(31)(1)m m m m m m m m --+=-+-=2352()22m --当1m =-时，22121211mx mx x x +--的最大值为10。

10分 18．(本小题10分)解方程组22(3)()40414x x x y x x y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解：原方程组可化为22(3)()40(3)()14x x x y x x x y ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩。

2分令23,x x a x y b +=+=，则40,14ab a b =+=。

4分,a b ∴是方程214400t t -+=的两个根，解得104410a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，。

6分 于是23104x x x y ⎧+=⎨+=⎩或23410x x x y ⎧+=⎨+=⎩，分别求解，得原方程组的解为312412341254,,,29914x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩。

10分19. (本小题12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，tan ∠ADC ＝2.（1）求证：DC ＝BC ；（2）E 是梯形内一点，连接DE 、CE ，将△DCE 绕FABCD E点C 顺时针旋转90°，得△BCF ，连接EF .判断EF 与CE 的数量关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当CE ＝2BE ，∠BEC ＝135°时，求cos ∠BFE 的值.（1）证明：作AP ⊥DC 于点P .∵AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∴四边形APCB 是矩形，………………2分∴PC ＝AB ＝2，AP ＝BC ＝4.在Rt △ADP 中，tan ∠ADC ＝DP AP 即DP AP＝3，∴DP ＝2，∴DC ＝DP ＋PC ＝4＝BC .……4分（2）EF ＝2CE .……………5分 证明如下：由△DCE 绕点C 顺时针旋转90°得△BCF ，∴CF ＝CE ，∠ECF ＝90°，∴EF ＝CE CE CF 222=+. …8分 （3）由（2）得∠CEF ＝45°.∵∠BEC ＝135°，∴∠BEF ＝90°. …………10分 设BE ＝a ，则CE ＝2a ，由EF ＝2CE ，则EF ＝a 22，在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BF ＝3a ，∴COS ∠BFE ＝322=BFEF . ……………………12分 20. (本小题12分)为加速南充森林建设，市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴，规定每年培植一亩树苗一次性补贴若干元，随着补贴数字的不断增大，某地苗圃每年育苗规模也不断增加，但每年每亩苗圃的收益会相应下降，经调查每年培植亩数y （亩）与政府每亩补贴数额x （元）之间有如下关系(政府补贴为100元的整数倍，且每亩补贴而每年每亩的收益p （元）与政府每亩补贴数额x （元）之间满足一次函数关系p=－5x+9000(1)请观察题中的表格，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数y （亩）与政府每亩补贴数额x （元）之间的函数关系式；(2)当2012年政府每亩补贴数额x （元）是多少元时，该地区苗圃收益w （元）最大，最大收益是多少元？(3)在2012年苗圃取得最大收益的育苗情况下，该地区培植面积刚好达到最大化，要想增收，只能提高每亩收益.经市场调查，培育银杏树苗畅销，每亩的经济效益相应会更好.2013年该地区用去年育苗面积的（30－a ）%的土地培育银杏树苗，其余面积继续培植一般类树苗，预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了（100+3a ）%，由于培育银杏类树苗每亩多支出1000元，2013年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收399万元.请参考以下数据，通过计算，估算出a 的整数值.（参考数据：244.639,082.637,916.535===）解：(1)猜想：y 与x 是一次函数关系.设y=kx+b(k ≠0)则{bb k +=+=06001001000 解得：{4600==k b ∴y=4x+600 ……… 2分验证：当x=200时，y=4×200+600=1400 结论：猜想成立，即y=4x+600 …… 4分 (2) w=y ﹒p=(4x+600)﹒(-5x+9000) 由(4x+600)(-5x+9000)=0得x 1= -150, x 2 =1800 ∴对称轴：82521800150=+-=x ∵开口向下，对称轴是x=825，而x 是100的倍数∴当x=800时，最大值w =（4×800+600）（-5×800+9000）=19000000∴当政府每亩补贴800元时，该地苗圃收益最大，最大值为19000000元. ……8分(3)当x=800时，y=4x+600=4×800+600=3800（亩） P=-5x+9000=-5×800+9000=5000(元)由题意得：3800（30-a ）%×[5000(1+3a%)-1000]=3990000 ………… 10分整理得：3a 2-10a-300=0△ =(-10)2-4×3×(-300)=3700∴32370010⨯±=a ∴a ≈11.8=12 63710102-=a (舍去)答：a 的值约为1 2. ………… 12分21．(本小题l3分) 如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4.（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间之间的函数关系式；当取何值时，S 有最大值？最大值是多少？A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标.中，45===AB AO AE ， ∴3452222＝－=-=AB AE BE ∴2=CE ∴E 点坐标为)4,2(……………（2分）在DCE Rt ∆中，222DE CE DC =+ 又∵OD DE = ∴2222)4(OD OD =+- 解得：25=OD ∴D 点坐标为)25,0(……………………（3分）（2）如图①∵PM ∥ED ∴∽APM ∆AED ∆ ∴AE APED PM = 又知525==AE ED t AP ，＝， ∴2255tt PM =⨯=又∵t PE -=5，而显然四边形PMNE 为矩形 ∴t t t t PE PM S PMNE 2521)5(22+-=-⨯=⋅=矩形………（5分）∴825)25(212+--=t S PMNE 矩形又∵5250<< ∴当25=t 时，PMNE S 矩形有最大值825（面积单位）…………………（7分）（3）（i ）若MA ME =（如图①）在AED Rt ∆中，MA ME =，,AE PM ⊥ ∴P 为AE 的中点又∵PM ∥ED ， ∴M 为AD 的中点∴2521==AE AP ∴25==t AP ∴4521==t PM又∵P 与F 是关于AD 对称的两点 ∴25=M x ，45=M y∴当25=t 时（5250<<），AME ∆为等腰三角形此时M 点坐标为)45,25(………………………………………………（9分）（ii ）若5==AE AM （如图②）中，5255)25(2222=+=+=AOODADPM∥ED，∴∽APM∆AED∆，∴ADAMAEAP=5252555=⨯=⋅==ADAEAMAPt∴521==tPM同理可知：525-=Mx，5=My5<），此时M点坐标为)5525(，-………………（12分）综合（i）、（ii）可知：25=t或52=t时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为)45,25(或)5525(，-…………………………（13分）22.(本小题13分)已知抛物线22y x x a=-+（0a<）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12y x a=-分别与x轴，y轴相交于B C，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；(2)如图，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a 的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22y x x a=-+（0a<）上是否存在一点P，使得以P A C N，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.解：（1）()411133M a N a a⎛⎫--⎪⎝⎭，，，.……………3分（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，N'∴4133a a⎛⎫--⎪⎝⎭，，将N′的坐标代入22y x x a=-+得21168393a a a a-=++，1a∴=（不合题意，舍去），294a=-.……………5分334N⎛⎫∴-⎪⎝⎭，，∴点N到y轴的距离为3.第（22）题备用图904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，，N ' 334⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫∴⎪⎝⎭，，点D 到y 轴的距离为94.1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.……………7分（3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式， 得：27168393a a a a-=-+10a ∴=（不合题意，舍去），238a =-，12P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭7，8.……………9分 当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分，OA OC OP ON ∴==，．P ∴与N 关于原点对称，4133P a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，， 将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168393a a a a=++，10a ∴=（不合题意，舍去），2158a =-，5528P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．……………12分 ∴存在这样的点11728P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．.。