福建省莆田第四中学2014-2015学年下学期高一年段数学科期中考试卷
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件A=“”，那么事件A发生的概率是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·临川期中) 由a1=1，d=3确定的等差数列{an}中，当an=298时，序号n等于（）A . 99B . 100C . 96D . 1013. （2分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·临川期中) 不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A . 10B . ﹣10C . 14D . ﹣145. （2分） (2016高一下·临川期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2016高一下·临川期中) 一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A . 63B . 108C . 75D . 837. （2分） (2016高一下·临川期中) 已知x＞2，函数的最小值是（）A . 5B . 4C . 6D . 88. （2分） (2016高一下·临川期中) 函数f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是（）A . （﹣4，0]B . （﹣∞，﹣4）C . （﹣4，0）D . （﹣∞，0]9. （2分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=10，b=8，B=30°，那么△ABC的解的情况是（）A . 无解B . 一解C . 两解D . 一解或两解10. （2分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，若a=1，c=2，A=30°，则△ABC的面积为（）A .B .C . 1D .11. （2分） (2016高一下·临川期中) 已知数列{an}满足：，对于任意的n∈N* ，，则a999﹣a888=（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·临川期中) 数列{an}中，a1=1，an ， an+1是方程x2﹣（2n+1）x+ 的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn=（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·西城期末) 函数的值域为________．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）14. （1分） (2019高二上·兴庆期中) 已知点分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为________.15. （1分）已知抛物线：（）的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于，两点，，则直线的斜率为________．16. （1分） (2019高二上·龙潭期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当时，的面积为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）计算题（1）计算的值（2）已知，用a,b表示．18. （10分）已知向量 =（1，）， =（sinx，cosx），设函数f（x）= •（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c= ，cosB= ，且f（C）= ，求b．19. （10分） (2016高一下·昆明期中) 设函数（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若，求函数f（x）的值域．20. （10分） (2020高一下·南京期中)（1）已知，求的值；（2）记函数，求的值域.21. （5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，面积为S ，已知．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若，求b ．22. （10分） (2020高二下·深圳期中) 已知向量，， .（1）求的最小正周期；（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，求面积的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2015学年福建省莆田四中高一下学期期末数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年福建省莆田四中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且∥，则x的值为（）A．4 B．﹣4 C．9 D．﹣92．（5分）设数列{a n}中，已知a1=1，a n=1+（n＞1），则a3=（）A．B．C．D．23．（5分）已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．（5分）数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣5n，则a6的值为（）A．78 B．58 C．50 D．285．（5分）已知角a的终边射线与单位圆交于点P（，），那么tan2a的值是（）A．B．C．﹣D．6．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d 等于（）A．1 B．C．2 D．37．（5分）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零点为2和3，那么不等式ax2+bx+c ＜0的解集为（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜﹣2}C．{x|＜x}D．{x|﹣＜x}8．（5分）若sinα=，且α是第二象限角，则的值为（）A．B．﹣C．+D．﹣9．（5分）若x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）A．0 B．2 C．8 D．﹣110．（5分）正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A．2 B．16 C．D．11．（5分）在边长为1的正三角形ABC中，设=2，=λ，若=﹣，则λ的值为（）A．B．2 C．D．312．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=sin2x的图象可以由g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到．14．（5分）已知向量⊥，||=3，则•=．15．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，首项a1=﹣2015且﹣=2，则S2015=．16．（5分）△ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则下列命题正确的是．①若A＜B，则cos2A＜cos2B ②若ab＞c2，则C③若a+b＞2c，则C④若（a+b）c＜2ab，则C＞．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81（Ⅰ）求a n及其前n项和S n；（Ⅱ）设b n=1+log3a n，求数列{}的前10项和T10．18．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．19．（12分）如图，函数y=2sin（x+φ）x∈R，其中0≤φ≤的图象与y 轴交于点（0，1）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求和的夹角的余弦值．20．（12分）已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值．21．（12分）某房地产开发商投资810万元建一座写字楼，第一年装修费为10万元，以后每年增加20万元，把写字楼出租，每年收入租金300万元．（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以100万元出售该楼；②年平均利润最大时以460万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？22．（12分）已知数列{a n}及f（x n）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和T n；（Ⅲ）若（n）•a n≤m2+m﹣1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年福建省莆田四中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且∥，则x的值为（）A．4 B．﹣4 C．9 D．﹣9【解答】解：向量=（2，﹣3），=（x，6），且∥，可得﹣3x=12，解得x=﹣4．故选：B．2．（5分）设数列{a n}中，已知a1=1，a n=1+（n＞1），则a3=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵a1=1，a n=1+（n＞1），∴a2=1+=1+1=2，a3=1+=1+=；故选：C．3．（5分）已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设扇形的半径为R，则R2α=2，∴R2=1，∴R=1，∴扇形的周长为2R+α•R=2+4=6故选：C．4．（5分）数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣5n，则a6的值为（）A．78 B．58 C．50 D．28【解答】解：∵S n=3n2﹣5n，=3（n﹣1）2﹣5（n﹣1），∴S n﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣5n）﹣[3（n﹣1）2﹣5（n﹣1）]=6n﹣8（n≥2），又∵a1=S1=3﹣5=﹣2满足上式，∴a n=6n﹣8，∴a6=6•6﹣8=28，故选：D．5．（5分）已知角a的终边射线与单位圆交于点P（，），那么tan2a的值是（）A．B．C．﹣D．【解答】解：角a的终边射线与单位圆交于点P（，），则有x=，y=，∴tana==，那么tan2a===﹣，故选：C．6．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d 等于（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选：C．7．（5分）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零点为2和3，那么不等式ax2+bx+c ＜0的解集为（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜﹣2}C．{x|＜x}D．{x|﹣＜x}【解答】解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零点为2和3，∴对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为2和3，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，如图所示．故选：A．8．（5分）若sinα=，且α是第二象限角，则的值为（）A．B．﹣C．+D．﹣【解答】解：由于sinα=，且α是第二象限角，则cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，∴==2tanα+tan2α=﹣+，故选：D．9．（5分）若x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）A．0 B．2 C．8 D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2，得y=x﹣z，即当z=﹣2时，函数为y=x+2，此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方，由，解得，即A（3，5），同时A也在直线x+y=m上，即m=3+5=8，故选：C．10．（5分）正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A．2 B．16 C．D．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴a1q2=a1q+2a1，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在a m，a n，使得a m a n=16a12，∴a12•2m+n﹣2=16a12，∴m+n=6，∴=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=∴的最小值为．故选：C．11．（5分）在边长为1的正三角形ABC中，设=2，=λ，若=﹣，则λ的值为（）A．B．2 C．D．3【解答】解：由题意画出图象如右图：∵=2，∴D为BC的中点，则=，∵=λ，∴，则=﹣=﹣，∵=﹣，∴•[﹣]=，﹣+﹣=﹣+=，+，解得λ=3，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2，y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n=n﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=sin2x的图象可以由g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到．【解答】解：由g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）﹣]=f（x）=sin2x的图象，故答案为：．14．（5分）已知向量⊥，||=3，则•=9．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．15．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，首项a1=﹣2015且﹣=2，则S2015=﹣2015．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵﹣=2，∴﹣=2，即d﹣d=2，即d=2，又a1=﹣2015，∴S2015==2015（a1+2014）=2015（﹣2015+2014）=﹣2015，故答案为：﹣2015．16．（5分）△ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则下列命题正确的是②③．①若A＜B，则cos2A＜cos2B ②若ab＞c2，则C③若a+b＞2c，则C④若（a+b）c＜2ab，则C＞．【解答】解：①取A=30°，B=45°，满足A＜B，此时cos2A=cos60°=，cos2B=cos90°=0，得到cos2A＞cos2B，故①错误；②ab＞c2⇒cosC=＞=⇒C＜，故②正确；③a+b＞2c⇒cosC=＞≥×﹣≥=⇒C＜，故③正确；④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜＜，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81（Ⅰ）求a n及其前n项和S n；（Ⅱ）设b n=1+log3a n，求数列{}的前10项和T10．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，依题意得，解得，∴a n=3n﹣1，S n==；（2）由（1）知b n=1+log3a n=1+（n﹣1）=n，∴==﹣，∴T10=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．18．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC19．（12分）如图，函数y=2sin（x+φ）x∈R，其中0≤φ≤的图象与y 轴交于点（0，1）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求和的夹角的余弦值．【解答】解：（I）因为函数图象过点点（0，1），所以2sinφ=1，即sinφ=．因为0≤φ≤，所以φ=．（II）由函数及其图象，得M（﹣，0）、N （，0）、P（，2），所以=（﹣1，﹣2）、=（1，﹣2），从而cos＜，＞===．20．（12分）已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值．【解答】解：=…（3分）（1）最小正周期：，…（4分）由可解得：，所以f（x）的单调递增区间为：；…（6分）（2）由可得：∴，…（8分）又∵b，a，c成等差数列，∴2a=b+c，…（9分）而，∴bc=18 …（10分）∴，∴．…（12分）21．（12分）某房地产开发商投资810万元建一座写字楼，第一年装修费为10万元，以后每年增加20万元，把写字楼出租，每年收入租金300万元．（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以100万元出售该楼；②年平均利润最大时以460万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？【解答】解：（1）设第n年获取利润为y万元，出租n年共收入租金300n万元，付出装修费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共10n+•20=10n2万元，∴利润y=300n﹣（810+10n2），令y＞0，解得：3＜n＜27，∴从第4年开始获取纯利润；（2）方案①：纯利润y=300n﹣（810+10n2）=﹣10（n﹣15）2+1440，∴15年后共获利润：1440+100=1540（万元）；方案②：年平均利润W==300﹣（+10n）≤300﹣2=120，当且仅当=10n即n=9时取等号，∴9年后共获利润：120•9+460=1540（万元）；综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．22．（12分）已知数列{a n}及f（x n）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和T n；（Ⅲ）若（n）•a n≤m2+m﹣1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f 1（﹣1）=﹣a1=﹣1，∴a1=1，∵f2（﹣1）=﹣a1+a2=2，∴a2=3，∵f3（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3=﹣3，∴a3=5，∵（﹣1）n+1•a n+1=f n+1（﹣1）﹣f n（﹣1）=（﹣1）n+1•（n+1）﹣（﹣1）n•n，=（n+1）+n=2n+1，∴a n+1∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）∵a n=2n﹣1，∴b n=a n﹣10=2n﹣11，∴数列{b n}的前n项和S n==n2﹣10n，由b n≥0得n≥，∴当1≤n≤5时，T n=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣S n=﹣n2+10n；当n≥6时，T n=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+…+b n=S n﹣2S5=n2﹣10n﹣2（52﹣10×5）=n2﹣10n+50；综上，T n=；（Ⅲ）令c n=，则c n+1﹣c n=﹣=，∴当n=1时，c1=；当n=2时，c2=；＜c n，．当n≥2时，c n+1∴当n=2时，c n取最大值，又（n）•a n≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴m2+m﹣1≥对一切正整数n恒成立，解得：m≥1或m≤﹣7．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
十四中学年高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年福建省莆田二十四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：1．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B∪C=C B．B=A∩C C．A⊊C D． A=B=C考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A，B，C，求出B与C的并集，A与C的交集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．解答：解：∵A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，∴B∪C={小于90°的角}=C，即B⊂C，B⊂A，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，故选A点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键．2．（3分）（2012秋•马鞍山期末）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A． B．﹣C．D．﹣考点：弧度制的应用．专题：计算题．分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到5分针是一周的十二分之一，进而可得答案．解答：解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨快是逆时针旋转∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为故选C．点评：本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．3．（3分）（2011•宜宾一模）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B． 2 C． D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．4．（3分）（2014•芦淞区校级学业考试）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且和共线，则实数m的值等于（）A．2或﹣B．C．﹣2或D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由题意可得（2m+1，3）=λ（2，m），即2m+1=2λ，且3=λm，解方程求得 m 的值．解答：解：由题意可得（2m+1，3）=λ（2，m）=（2λ，λm），∴2m+1=2λ，3=λm．解得 m=﹣2 或．故选C．点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列各式不能化为的是（）A．+﹣B．（+）+C．（+）+（+）D．﹣++考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的多边形法则即可得出．解答：解：A.=，因此不能化为；B.=，因此能化为；C．（+）+（+）==，因此能化为；D.==，因此能化为．综上可得：只有A不能化为．故选：A．点评：本题考查了向量的多边形法则，属于基础题．6．（3分）（2012•自贡三模）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．解答：解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．7．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则+值等于（）A．﹣25 B．﹣20 C．25 D．﹣10考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知的三边关系可以得到三角形是直角三角形，利用数量积公式化简所求即可．解答：解：由已知|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，所以|AB|2+|BC|2=|CA|2，所以AB⊥BC，并且cosA=，cosC=，所以+=0+4×5×（﹣）+5×3×（﹣）=﹣25；故选；A．点评：本题考查了三角形三边对于向量的数量积计算；关键是熟练数量积公式；特别注意：向量的夹角与三角形内角的关系．8．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知=（﹣5，3），=（﹣1，2）且λ与2+互相垂直，则实数λ的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知得到λ与2+坐标，因为它们垂直，得到数量积为0，由此解关于λ的方程即可．解答：解：因为=（﹣5，3），=（﹣1，2），所以λ=（﹣5λ﹣1，3λ+2），2+=（﹣7，7），又λ与2+互相垂直，则（λ）•（2+）=0，所以﹣7（﹣5λ﹣1）+7（3λ+2）=0，解得λ=﹣；故选B．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题．9．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．解答：解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．10．（3分）（2013春•苍山县期末）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性．分析：将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．解答：解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：其对称中心必在与x轴的交点处，∴当x=﹣时，函数值为0．∴图象关于点（﹣，0）对称．故选B．点评：本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决．11．（3分）（2012•贵州校级模拟）函数是（）A．上是增函数B． [0，π]上是减函数C．[﹣π，0]上是减函数D． [﹣π，π]上是减函数考点：余弦函数的单调性；诱导公式的作用．分析：根据x的范围，确定x+的范围，然后根据正弦函数的单调性确定在相应的区间上的增减性．解答：解：A.在先增后减；B．当x∈[0，π]时，x+，为减函数，正确．C．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．D．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．故选B．点评：本题考查了三角函数的单调性，属于基础题型，应该熟练掌握．12．（3分）（2014春•雅安期末）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D． 10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．二、填空题：13．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），则的坐标为（）．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件，列出向量关系，即可求出的坐标．解答：解：平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），可得==（）==（）．的坐标为：（）．故答案为：（）．点评：本题考查向量共线的充要条件的运用，考查计算能力．14．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则其解析式为y=2sin（2x+）+2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ，即可得解．解答：解：如图根据函数的最大值和最小值得|A|+B=4，|A|﹣B=0，、∵A＞0，∴A=2，B=2，函数的周期为（﹣）×4=π，又∵ω＞0，∴ω=2，当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴解析式为：y=2sin（2x+）+2．故答案为：y=2sin（2x+）+2．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．15．（3分）（2011春•日照校级期末）函数的最小值是cos．考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由≤x≤，可得≤x﹣≤，从而根据余弦函数的单调性得到 y=cos （x﹣）的最小值．解答：解：∵≤x≤，∴≤x﹣≤，∴y=cos（x﹣）在区间[，]上单调递减，故函数y的最小值等于cos，故答案为：cos．点评：本题考查余弦函数的定义域、单调性和值域，求出≤x﹣≤，是解题的关键，属于基础题．16．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列命题中：（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与、之一的方向相同；（2）如果、均为非零向量，则|+|与||+||一定相等；（3）x=2时，向量=（x，1），=（4，x）共线且方向相同；（4）≠，，则其中假命题是（2）（4）．考点：平面向量数量积的运算；向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的基本概念和相关运算对四个命题分别分析解答．解答：解：对于（1），如果非零向量与的方向相同或相反，根据向量加法的几何意义，那么的方向必与、之一的方向相同；故正确；对于（2），如果、均为非零向量，根据向量加法的几何意义，那么|+|≤||+||；故错误；对于（3），x=2时，向量=（x，1）=（2，1），=（4，x）=（4，2），所以它们共线且方向相同；故正确；对于（4），≠，，则=0，则或者与垂直；故错误；故答案为：（2）（4）．点评：本题考查了向量的基本概念、共线、数量积等基础知识．三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015春•莆田校级期中）已知，求sinα﹣cosα的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：由tanα的值及α的范围，根据正弦、余弦函数的图象得到sinα和cosα都小于0，然后利用同角三角形函数间的基本关系切化弦得到一个关于sinα和cosα的关系式，根据sinα和cosα的平方和等于1得到另一个关系式，两关系式联立得到一个方程组，求出方程组的解即可得到sinα和cosα的值，代入所求的式子中即可求出值．解答：解：∵，∴sinα＜0，cosα＜0，由，解得：，∴．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时会根据tanα的值及α的范围，判断得到sinα和cosα都小于0．18．（2014春•广丰县期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．解答：解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴==tanα=点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．19．（2015春•莆田校级期中）已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：（1）（）•（+）（2）|2﹣|（3）与+的夹角．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知首先求出向量的数量积，（1）展开用向量的平方和数量积表示，代入数值计算；（2）先求其平方，展开，利用向量的平方和数量积计算数值，然后开方求模；（3）设与+的夹角为θ，利用数量积公式得到cosθ的值，从而求向量的夹角．解答：解：由题意可得||2=16，||2=4，且•=||||cos120°=﹣4，（1））（）•（+）==16﹣8+8=16；（2）|2﹣|2=4=64+16+4=84，所以|2﹣|=2；（3）设与+的夹角为θ，则cosθ==，又0°≤θ≤180°，所以θ=30°，与的夹角为30°．点评：本题考查了平面向量的数量积运算、模的求法向量的夹角求法；关键是熟练掌握数量积公式，灵活运用．20．（12分）（2014春•嘉峪关期末）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．解答：解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．21．（2015春•莆田校级期中）已知y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，求函数y=﹣4asin（3bx+）的周期、最大值及取得最大值时x的值的集合．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质先求出a，b的值，即可得到结论．解答：解：∵b＞0，y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，∴，得a=，b=1，则函数y=﹣4asin（3bx+）=﹣2sin（3x+），则函数的周期T=，当sin（3x+）=﹣1，即3x+=﹣+2kπ，即x=﹣+，k∈Z时，函数y=﹣2sin（3x+）取得最大值2，此时x的集合为{x|x=﹣+，k∈Z}．点评：本题主要考查三角函数的周期性，最值的性质，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键．22．（2012秋•枣强县期末）已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中的点M，求∠AMB的余弦值．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）设M（x，y），我们由M是直线OP上一点，则，求出x与y的关系，进而求出的表达式，进而根据二次函数的性质可得M点的坐标，进而求出答案．（2）根据（1）中答案，代入向量夹角公式，可得答案．解答：解：（1）设M（x，y），则，由题意可知，又．所以x﹣2y=0即x=2y，所以M（2y，y），则，当y=2时，取得最小值，此时M（4，2），即．（2）∵．∴∠AMB的余弦值为点评：本题考查的知识点是平面向量夹角公式，共线向量，向量的夹角公式，是向量的综合应用，难度适中．。
福建省莆田二十四中2014_2015学年高一数学下学期期中试题
莆田24中2014-2015学年(下)期中考数学试卷一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C2.将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）A ．3πB ．－3πC ．6πD ．－6π3.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－23164. 已知平面向量a =(2m+1,3)，b =(2,m)，且a 和b 共线，则实数m 的值等于A ．2或－23B ．23C ．－2或23D ．－725. 下列各式不能化为AD 的是（ ） A.BM AD MB -+ B.BC CD AB ++）（ C.）（）（CM BC MB AD +++ D.CD OC OA ++-6.要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位7. 已知平面上三点A 、B 、C 满足,5,4,3===CA BC AB 则CA BC BC AB ⋅+⋅+ AB CA ⋅的值等于A. —25B. —20 C .25 D. —108.已知(5,3),(1,2),m n →→=-=-且m n λ→→+与2n m →→+互相垂直，则实数λ的值等于 ( ) A. 38 B.83- C. 83 D. 38-9. 已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A. 43B. 43-C. 34D. 34-10.函数)32sin(2π+=x y 的图象 （ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称11.函数sin(),2y x x Rπ=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 12. a (2,1),=b =()3,4则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ） A.52 B.2 C.5 D.10二、填空题：13.已知平行四边形ABCD 的对角线交于O ，且(3,7),(2,1),AD AB ==-则OB 的坐标 为14. 已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象 如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则其解析式为15.函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是16. 下列命题中：(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a+的方向必与a 、b 之一的方向相同；(2)如果a 、b 均为非零向量，则b a +与b a +一定相等；(3) 2x =时，向量)1,(x a =, ),4(x b = 共线且方向相同；(4) ,,0c a b a a ∙=∙≠则c b =其中假命题是 .三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（12分）已知3tan 3,2απαπ=<<,求sin cos αα-的值. 18.已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值19. 已知4||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为120°求： ⑴)()2(b a b a +∙-； ⑵|2|b a -； ⑶a 与b a +的夹角。
2014-2015学年(必修4三角函数、向量,必修5数列模块)莆田四中高一下学期第二次月考试卷及答案
2014-2015学年莆田四中高一下学期第二次月考数学试卷命题者：翁建新 审核者：黄雄林 2015.6.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 已知→a ＝(2,1)，→b ＝(x ，－2)且→→⊥b a ，则x 等于A ．－1B ．1C ．－4D ．42. 设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是A ．1B ．2C ．3D ．43. 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．35 4. 在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =则AC =A．B．CD5. 已知函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图,则. 1,6A πωϕ==. 1,6B πωϕ==-. 2,6C πωϕ==. 2,6D πωϕ==-6．函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos2a b+=A. 0B.2C. 1-D. 1 7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为A．．5 D ．108. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 A ．1升 B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 9．如图,O 为直线12015A A 外一点,若122015,,,A A A 中任意相邻两点的距离相等，设12015,OA a OA b ==，用,a b 表示122015OA OA OA +++，其结果为A ．2014()a b +B ．2015()a b +C ．1007()a b +D ．2015()2a b +110．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...,(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q11．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,)2x ∈时，()sin f x x π=，3()02f =，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是 A. 3B. 5C. 7D. 912.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n n nn n n n c a b a a a b c +++++===，则 A. {S n }为递减数列B. {S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝ ． 14. 记等比数列}{n a 的前n 项积为n ∏，若452a a ⋅=，则8=∏ ．15. 若1||||||=-==b a b a ，则||b a+= ．16. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知{}n a 为公比不为1的等比数列，416a =，其前n 项和为n S ，且15S ，22S ，3S 成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有2122222323242211111......1log log log log log log log log n n a a a a a a a a +++++<∙∙∙∙．18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为S ，且S 2=⋅. （1）求A sin ；（2323==，求B sin .19．（本题满分12分）如图所示，射线OA 与单位圆交于A ，与圆422=+y x 交于点B ，过A 平行于x 轴的直线与过B 与x 轴垂直的直线交于P 点，OA 与x 轴的夹角为x ，若)sin 32(cos cos )(x x x x f ++⋅= (1)求)(x f 的最值；(2)求)(x f 的单调递增区间和图象的对称中心.20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在,请说明理由.21. （本小题满分12分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A 处到山脚滑雪服务区P 处修建了滑雪赛道A-C-P 和滑雪练习道A-E-P （如图）．已知cos ACP ∠=,4cos 5APC ∠=,2cos 3APE ∠=，公路AP 长为10（单位：百米），滑道EP 长为6（单位：百米）． （1）求滑道CP 的长度；（2）由于C ，E 处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D ，修建连接道DC ，DE ，问DP 多长时，才能使连接道DC+DE 最短，最短为多少百米？22.(本小题满分12分)设函数()f x 的定义域为R ，当x ＜0时()f x ＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有()()()f x y f x f y += （1）求()0f ,判断并证明函数()f x 的单调性； （2）数列{}n a 满足()10a f =,且)()2(1)(*1N n a f a f n n ∈--=+①求{}n a 通项公式； ②当1a >时，不等式)1log (log 35121 (11122)1+->++++++x x a a a a a n n n 对不小于2的正整数恒成立，求x 的取值范围.2014-2015学年莆田四中高一下学期第二次月考数学试卷参考答案一、 选择题：BBCBD DCBDCDB二、填空题：17163-+16.【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令P A P B y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2sin ,02x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--∙==+-≥【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥三、解答题：17．(1)解：∵5S 1、2S 2、S 3成等差数列∴21345S S S =+，即21111114()5a a q a a a q a q +=+++∴2320q q -+= ∵1q ≠，∴q = 2又∵416a =，即311816a q a ==，12a =∴2n n a =．……………………………………………………………………5分(2)证明：由（1）知()1221111log 2log 211n n n n n n +==-⋅++ 所以2122222323242211111......log log log log log log log log n n a a a a a a a a +++++∙∙∙∙ 111111(1)()()1122311n n n =-+-++-=-<++ …………………………5分 18.解：（1） ∵△ABC 的面积为S ，且2AB AC S ⋅=，∴1cos sin 2bc A bc A ，∴sin A A =，∴A 为锐角，且2222213sin cos sin sin sin 122A A A A A +=+==，∴sin A =． ……………………………………6分 （2）设△ABC 中角,,A B C 对边分别为,,a b c∵||3AB c ==，||AB AC CB a -===()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-由正弦定理得：sin sin c aC A =，即3sin C =∴sin C =，又∵c a <,则C 锐角，∴π4C =， ∴πππsin sin()sin cos cos sin 444B A A A =+=+= ． …………………………12分 19．解：(Ⅰ) 依题意，)sin ,(cos x x A ，)sin ,cos 2(x x P ，x x x 222cos 1sin cos 2+=+=⋅，因此，=++⋅=)sin 32(cos cos )(x x x OP OA x f x x x x cos sin 32cos cos 122+++2)62sin(222cos 2sin 32sin 3cos 212++=++=++=πx x x x x所以，)(x f 的最大值为4，最小值为0； …………6分(Ⅱ)由)(226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得：)(63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ，因此，)(x f 的单调增区间为)](63[Z k k k ∈++-ππππ，，，其图象的对称中心为))(2212(Z k k ∈+-，ππ…………12分20．（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分（2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=，故)211n S +=.∵0n a >，∴0n S >.1=. …………………………3分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n =+-=. …………………………4分 ∴2n S n =. …………………………5分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………6分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………7分解法2：由11n a +=，得()2114n n a S +-=， 当2n ≥时，()2114n n a S --=，∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………3分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………3分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………4分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………4分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………6分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………7分 （3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………8分即()()()4212181k k k -=-⋅-. ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………10分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k 为正整数矛盾. ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………12分22.解：（Ⅰ）0),()()(,,<⋅=+∈x y f x f y x f R y x 时，f （x ）＞1令x =－1，y =0则f （－1）=f （－1）f （0）∵f （－1）＞1 ∴f （0）=1……………………………2′若x ＞0，则f （x －x ）=f （0）=f （x ）f （－x ）故)1,0()(1)(∈-=x f x f 故x ∈R f （x ）＞0…………………………………………………4分 任取x 1＜x 2 )()()()(1211212x x f x f x x x f x f -=-+=)()(1)(00121212x f x f x x f x x <∴<-<∴>-故f （x ）在R 上减函数………………………………………..6分 （Ⅱ）①)2()2(1)(,1)0(11n n n a f a f a f f a +=--===+ 由f （x ）单调性………………………………………………………………………………8分 a n +1=a n +2 故{a n }等差数列 12-=∴n a n ……………………………9分 ②223212211...11,1 (1)1+++++++++=+++=n n n n n n n n a a a b a a a b 则 121341141111122121+-+++=-+=-++++n n n a a a b b n n n n n }{,0)12)(34)(14(1n b n n n >+++=是递增数列 ………………………………………………………………………11分 当n ≥2时，3512715111)(432min =+=+==a a b b n )1log (log 351235121+->∴+x x a a ……………………………12分 即x x x x a a a a log log 11log log 11<⇒<+-++ 而a ＞1，∴x ＞1故x 的取值范围（1，+∞）……………………………14分。
莆田四中2014届期中考试卷答案
2012-2013学年莆田四中高二下学期期中文科数学考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）命题者 肖宗福 审核者 翁永彪 2013.5.10一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)1．已知集合11|0,|0A x B x xx⎧⎫⎧⎫=>=≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则有( )A. R C A B =B. R C A B ⊆C. R C A B ⊇D.A B R =2．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A.若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B.若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．x xy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．55,x y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==4．已知幂函数()f x 的图像经过点()9,3,则()f x 在定义域上是( )A ．单调递增函数B ．单调递减函数C ．先递增后递减函数D ．先递减后递增函数5．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y=x 3B ．y=||1ln x C ．y=2|x| D ．y=cosx 6．已知实数0a ≠,函数()2,1,2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()121f a f a -=+,则a 的值为( )A.1-B.1C.3D.3-7.已知函数()f x 在R 上可导，且2'()2(2)f x x xf =+，则(1)f -与(1)f 的大小为（ ） (1)(1)(1)(1)(1)(1).A f f B f f C f f D -=->-<不确定8．函数()()3f x x ax x R =+∈在1x =处有极值,则曲线()y f x =在原点处的切线方程是( )A.30x y -=B.30x y +=C.30x y +=D.30x y -=9．已知函数()2sin f x x x =,则()f x 在[]π,π-上的大致图像是()10．已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()21P P ∨⌝和4q ：()21P P ⌝∧中，真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q 11．设函数D(x)＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D(x)的值域为{0,1}B ．D(x)是偶函数C ．D(x)不是周期函数D ．D(x)不是单调函数12．用[]a 表示不大于实数a 的最大整数,如[]1.681,=设12,x x 分别是方程40x x e +-=及()ln 140x x +--=的根,则[][]12x x +=( ) A.2 B.3 C.4D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13．已知集合{}2|4120A x R x x =∈--<,而{}|2B x R x =∈<,则()R A C B =________.14．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________. 15．已知()()2:00,:40x mp m q x x x m-<>-<+,若p 是q 的既不充分也不必要条件,则实数m 的取值范围是________.16．已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =； ③(1)1()f x f x -=-. 则4()5f = ， 1()2013f = .三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17. (本小题12分)集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠ ，,A C φ= 求实数a 的值18. (本小题12分)已知命题p:“0],2,1[2≥+-∈∀k a x x ”，命题q:“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，(1)若当0k =时, 命题p 和q 都是真命题,求实数a 的取值范围;(2)若“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件,求实数k 的取值范围.19. (本小题12分)设函数 f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)， (1)证明 f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．20. (本小题12分) 已知函数()(1),x f x ax e a R =-∈（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAC 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AC 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分，现以O 为坐标原点，以边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AC 满足函数y=21-x 2+2 (0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 的距离为t(0<t<2) . (１)当t=21时，求直路l 所在的直线方程； (２)当t 为何值时，地块OABC 在直路l取到最大值，最大值是多少？22．（本小题满分14分）已知函数f (x)=lnx+bx 2的图象过点(1，0) (１)求f (x)的解析式； (２)若f (x )≥x xtln - (t 为实数)恒成立，求t 的取值范围； (３)当m>0时，讨论x mm x f x F 1)()(2+-=在区间(0，2)上极点的个数。
莆田第四中学2015学年上学期期末(必修1必修2)联合考试高一数学试卷正式稿
莆田四中2014-2015学年上学期期末 高一年段数学科（必修1必修2）数学考试卷命题：翁建新 审核：朱曙东 2015.2.8 本试卷满分150分．考试用时120分钟．参考公式：球的体积与表面积公式34,3V R π=球24S R π=球，其中R 是球半径． 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1．已知集合{|13},{1,2}M x Z x N =∈-≤≤=，则M C N 等于A ．{1,2}B ．{-1,0,3}C ．{0,3}D ．{-1,0,1} 2．下列函数中，是奇函数，又在区间()0,+∞上是增函数的是A ．2x y = B ．y C ．3y x =- D ．lg 2x y =3．以两点(3,1)A --和(5,5)B 为直径端点的圆的方程是A ．22(1)(2)25x y -+-= B ．22(1)(2)25x y +++= C ．22(1)(2)100x y +++= D ．22(1)(2)100x y -+-= 4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可能是 A ．球 B ．正方体 C ．三棱锥 D ．圆柱5. 已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k = A ．1或－2 B ． 2 C ． 1或2 D ．－1或－26. ,m n 是空间两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是①,//,//;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//;m m n n ααββ⊥⇒⊥A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④7. 一个圆锥的底面直径和它的高都与某一个球的直径相等，这时圆锥侧面积与球的表面积之比为A 2B ．C 4D 48．若圆224260x y x y m +-+++=与y 轴的两交点,A B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是9．已知函数()x x f x e e -=-（其中e 为自然对数的底数），a b c R ∈、、且满足0,0,0a b b c c a +>+>+>，则()()()f a f b f c ++的值A ．一定大于零B ．一定小于零C ．可能等于零D ．一定等于零 10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线1:20l x y a -+=，22:210l x y a -++=，和圆22240x y x ++-=相切，则a 的取值范围是A ．7a >或3a <- B．a >a < C ．7a ≥或3a ≤-D.3a -≤≤7a ≤≤第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．函数()1x f x π=-的零点是 ．12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图及数据如右图所示，则其侧面积等于 ．13.设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为则实数m 的值是 ．14.若)(x f 是定义在[]3,3-上的偶函数， 且在[]0,3上是减函数，图象经过点(0,4)A 和点(3,2)B -，函数4y kx =-与函数)(x f 图像相交，则k 的取值范围是________．15.如右图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点(不含端点)，下列结论：．①1D B 与平面ABCD 所成角为045 ②P D DC 11⊥③二面角 11A A P D --的大小为090 ④1PD AP +的最小值为22+其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．PD 1C 1B 1A 1DCBA16.（本小题满分13分）如右图，平行四边形ABCD 的三个顶点分别是(2,0),(0,2),(5,3)A B C . （Ⅰ）求CD 边所在的直线方程； （Ⅱ）求平行四边形ABCD 的面积. 17．（本小题满分13分）如右图，在直三棱柱111ABC A B C -中，14,10,.D AB BC CC AB ===点是的中点,CD=3 （Ⅰ）求证：11//AC CDB 面； （Ⅱ）求证：11C B ⊥面CDB . 18．（本小题满分13分）若11,04()ln 1,4x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值为2．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求不等式()1f x <的解集．19．（本小题满分13分）如图甲，圆O 的直径2AB =，圆上两点C ，D 在直径的两侧，使045CAB ∠=，060DAB ∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点。
福建省莆田四中2014-2015学年高三数学下学期第一次模拟考试试题 文
莆田四中2014-2015学年度高三第三次月考试卷数学（文）1、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，若，则等于( )A.9B.8C.7D.62．复数的共轭复数为（ ）A． B． C． D．3．以下结论：①若，则；②若，则存在实数，使；③若是非零向量，，那么；④平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底。
其中正确结论个数是( )A、B、C、D、4．在一次实验中，采集到如下一组数据：-2.0-1.00 1.00 2.00 3.000.240.511 2.02 3.988.02则的函数关系与下列（）类函数最接近（其中为待定系数）A．B .C. D.5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )A.2B.C.D.36．将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）A．B． C． D．7．若下框图所给的程序运行结果为，那判断框中应填入的关于的条件是( )输出S(A)(B)(C)(D)8．设，则“”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件9．函数的图像大致为（ ）(A) (B) (C) (D)10．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )11．已知函数且有两个零点、，则有（ ）（A）（B）（C）（D）的范围不确定12．定义在R上的函数且当时，.则等于 （ ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置.13．曲线在点处的切线方程为________.14．设函数，则不等式的解集是_______________.15．在中，内角的对边分别为，已知，且，则的面积是________．16．集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；；则________．（写出计算结果）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；18．已知函数，且当时，的最小值为2.（1）求的值，并求的单调增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖。
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一下·浦东期末) 函数y=1﹣cos2x的最小正周期是________．2. （1分） (2018高一上·海安月考) 已知向量，，，则的值为________．3. （1分） (2019高二上·贵阳期末) 以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数的动点M的轨迹，若已知，，动点M满足，此时阿波罗尼斯圆的方程为________．4. （1分）若角α=﹣4，则角α的终边在第1 象限．5. （1分）(2017·桂林模拟) 已知从圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2外一点P（x1 ， y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为________．6. （1分）已知,，则=________7. （1分）(2019·天津模拟) 圆心在直线上的圆与轴交于两点，，则圆的方程为________。
8. （1分）在△ABC中，为BC边的中点，设= ，= ，若= ，则x+y=________．9. （1分）(2017·武邑模拟) 设ω＞0，函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移π个单位后与原图象重合则ω的最小值为________．10. （1分）圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的公切线有且只有________ 条．11. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，且与的夹角，则________．12. （1分）(2017·江苏模拟) 在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为________．13. （1分） (2018高一下·合肥期末) 如图，在中，，是的重心，则 ________．14. （1分）函数f（x）=cos2x+sin2x的最小值是________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （10分）(2018·如皋模拟) 在中， .（1）求角的大小；（2）若，垂足为，且，求面积的最小值.16. （5分）已知向量与为共线向量，且α∈[﹣π，0]．（Ⅰ）求sinα+cosα的值（Ⅱ）求的值．17. （10分）已知圆C过A（1，4）、B（3，2）两点，且圆心在直线y=0上．（1）求圆C的方程；（2）判断点P（2，4）与圆C的位置关系．18. （5分） | |=1，| |= ，且﹣与垂直，求与的夹角．19. （5分）已知，求使f（x）≤cosα恒成立的α的范围．20. （10分）(2016·花垣模拟) 已知⊙O的方程为x2+y2=10．（1）求直线：x=1被⊙O截的弦AB的长；（2）求过点（﹣3，1）且与⊙O相切的直线方程．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1、答案：略2、答案：略3、答案：略4、答案：略5-1、6、答案：略7、答案：略8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13、答案：略14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15、答案：略16-1、17-1、17-2、18、答案：略19、答案：略20、答案：略。
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2015·岳阳模拟) 将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A . 14B . 15C . 16D . 172. （2分）若许昌学院共有在校大学生16050名，其中专科生4500人，本科生9750人，研究生1800人，现在需要采用分层抽样的方法调查学生的家庭情况，已知从专科生抽取了60人，则需要从本科生、研究生两类学生分别抽取多少人（）A . 130 ，24B . 260，24C . 390，48D . 130，363. （2分） (2016高二上·宜春期中) 在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a7﹣ a5的值为（）A . 8B . 12C . 16D . 724. （2分）(2019·临沂模拟) 已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（）A . 众数为7B . 极差为19C . 中位数为64.5D . 平均数为645. （2分）(2019·泸州模拟) 某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：学生1号2号3号4号5号6号甲队677877乙队676797则以上两组数据的方差中较小的一个为A .B .C .D . 16. （2分）某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%7. （2分）下列说法中正确的个数是（）①任何一个算法都包含顺序结构；②条件分支结构中一定包含循环结构；③循环结构中一定包含条件分支结构．A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2019高一下·南宁期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分） (2018高三上·三明期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的为（）A .B .C .D .10. （2分）某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，那么，在一次射击训练中，该射手射击一次不够9环的概率为（）A . 0.48B . 0.52C . 0.71D . 0.2911. （2分） (2017高一下·和平期末) 甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则甲输棋的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·鄂伦春模拟) 如图，矩形的长为，宽为，以每个顶点为圆心作个半径为的扇形，若从矩形区域内任意选取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2018·榆林模拟) 某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，则的值为________．14. （2分）(2018高一下·南阳期中) 已知样本数据的方差，则样本数据的平均数为________．15. （1分）(2018·南京模拟) 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．16. （1分） (2018高二下·海安月考) 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2019高二上·贵阳期末) 从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这些成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在区间内的学生人数；（2）估计这40名学生成绩的众数和中位数．18. （10分）甲、乙等五名学生随机选学一门A、B、C、D四个不同的选修科目，每个科目至少有一名学生参与．（1）求甲、乙两人没有选择同一选修科目的概率；（2）设随机变量x为这五名学生中参加A科目的人数，求x的分布列及数学期望．19. （10分）某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费只需画出程序框图即可．20. （10分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）被选中且未被选中的概率.参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， 3名女同学B1 ， B2 ， B3 ．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．21. （10分）小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y,（1）在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率;（2）规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.22. （15分） (2017高一下·河北期末) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：价格x（元/kg）1015202530日需求量y（kg）1110865（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？参考公式：线性回归方程，其中．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
福建省莆田四中高三数学下学期第一次模拟考试试题 理 (2)
莆田四中2014－2015学年度高三第一次模拟试卷理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,主要考试范围为：高考所有内容,试卷满分150分,完卷时间120分种.2.答题前,考生先将自己的班级、姓名、座号等信息填写在答题卷、答题卡指定位置.3.考生作答时,将答案写在答题卷上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.4.严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数数考试纪律的一切设备进入考场.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A ={-1,1,2,3},集合B ={x|x ∈A ,1x∉A },则集合B 中元素的个数为 ( )A.1B. 2C.3D.4 2.已知z =1-i (i 是虚数单位), i—z表示的点落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.将函数f (x )=3sin2x +cos2x (x ∈R)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=g (x )的图象,则函数y=g (x )( ) A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数 4.为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立做了8次和10次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l 1,l 2,已知两人得到的试验数据中,变量x 和y 的数据的平均值都分别相等,则下列说法正确的是 ( ) A.直线l 1和l 2必定重合 B.必有l 1//l 2C.直线l 1和l 2不一定相交D.直线l 1和l 2一定有公共点5.已知等差数列{a n }满足a 2013+a 2015=⎠⎛024-x ²dx ,那么a 2014(a 2012+2a 2014+a 2016)的值为 ( )A.πB.2πC.π²D.4π² 6.已知三个正态分布密度函数ϕi (x )=12πσie -(x -μi )²2σi ²(x ∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( )A.μ1<μ2=μ3, σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3, σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3, σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3, σ1=σ2<σ3第6题图 7.函数f (x )=ln(x -1x)的图象大致是( )COABD第8题图8.如图,AB 是圆O 的直径,C 、D 是圆O 上的点,∠CBA =60°,∠ABD =45°,CD →=xOA →+yBC →,则x+y 的值为 ( ) A.-33 B.-13 C.23D.-3 9.若相互垂直的两条异面直线l 1与l 2满足条件: l 1⊂α, l 2//α,且平面α内的动点P 到l 1与l 2的距离相等,则点P 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线10.定义[x ]表示不超过x 的最大整数,记{x }=x -[x ],其中对于0≤x ≤316时,函数f (x )=sin 2[x ]+sin 2{x }-1和函数g (x )=[x ]·{x }-x3-1的零点个数分别为m ,n 则( )A.m =201,n =314B.m =201,n =313C.m =200,n =313D.m =200,n =314第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置．．．．．．．．．．．．．) 11.已知命题p :∃x ∈R, e x<0, 则命题p 的否定是____________________.12.某几何体的三视图如图,则该几何体体积的最大值为__________.13.-1+3C 111-9C 211+27C 311-···-310C 1011+311除以5的余数是 .14.若数列{a n }满足2a n =2a n -1+d (n ≥2)且a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,的方差为9,则d = ________.15.双曲线x ²-y ²=2015的左,右顶点分别为A ,B ,P 为其右支上不同于B的一点,且∠APB =2∠PAB ,则∠PAB = . 第12题图三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.) 16.(本小题13分)函数f (x )=sin²ωx +3sin ωx cos ωx -12(ω>0)的图象与直线y =m 相切,相邻切点之间的距离为π,(1)求m 和ω的值,(2)求函数的单调增区间,(3)问：试否存在实数n ,使得函数f (x )的图象与直线6x +y +n =0相切,若能,请求出n 的值,若不能,请说明理由.17. (本小题13分)点P 是△ABC 所在的平面外一点P ,连结PA ,PB ,PC ,且有PB =PC =5,AB =AC =22,∠BAC =90︒,G 为△PAB 的重心. (1)试判断直线BG 与AC 的位置关系,并说明理由.(2)记H 为AB 中点,当PA =5时,求直线HG 与平面PAC 所成角的正弦值.18. (本小题13分)已知椭圆C 1：x ²a ²+y ²3=1(a >3)的离心率为12,抛物线C 2：y ²=2px (p >0)的焦点F 是椭圆C 1的右焦点.(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点F 且倾斜角为π3的直线l 与抛物线C 2相交于A ,B 两点,当动点D 在直线x =-2上移动时,试求△ABD 周长c 的最小值.19.(本小题满分13分)金老师为投资理财,考虑了两种投资计划,计划A:从2015年初开始购买投资产品,每个月1号投资,每一次投资1500元钱,用于购买“余额宝”,“余额宝”的月收益率为0.5%(类似于银行存款,月底结算利息);计划B:从2015年初开始购买投资产品,每个月1号投资,第一次投资1000元钱,以后每一次比上一次多投资200元,用于购买同一只股票,到2016年底(2016年12月31日),这只股票收益50%的概率为14,亏损112的概率为34.若两计划的收益均不考虑．．．．．．．．．．手续费．．．. (1)求计划B 到2016年底的收益的期望值;(2)根据2016年年底的收益,从收益率的角度出发,试问你将选择何种投资?(注：收益率=收益投资总额，参考数据1.00524≈1.13, 780≈0.0875, 11176≈0.0625)20.(本小题14分)已知函数f (x )是在(0,+∞)上处处可导的函数,若xf ′(x )>f (x )在x >0上恒成立： (1)判断函数g (x )=f (x )x在(0,+∞)上的单调性； (2)当x 1>0,x 2>0时,证明f (x 1)+f (x 2)<f (x 1+x 2)；(3)求证：122ln22+132ln32+142ln42+…+1(n +1)2ln(n +1)2>n 2(n +1)(n +1).21.本题设有(1),(2),(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换设矩阵M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵M ；(Ⅱ)求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.(2)选修4-4 参数方程与极坐标(本小题满分7分)过P (2,0)作倾斜角为α的直线l 与曲线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x =cosθy =22sinθ(θ为参数)交于A ,B 两点.(Ⅰ)求曲线E 的普通方程及l 的参数方程；(Ⅱ)求sin α的取值范围.(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)试证明柯西不等式：(a ²+b ²)(x ²+y ²)≥(ax +by )²(a ,b ,x ,y ∈R)；(Ⅱ)若x ²+y ²=2且|x |≠|y |,求1(x +y )²+1(x -y )²的最小值.GCA。
莆田四中2014届期中考试卷
高二期中数学（文科）试题答案参考答案：CDCAB ABCCC CC13.{}|2x x >-14.{}3,115.()0,216.321,21 17 a=.-218.若p 为真,则0∆≥,得12≥-≤a a 或若q 为真,则令02≥+-k a x 在[]1,2上恒成立,因为()f x =k a x +-2在[]1,2上单调递增,即,k a k a f x f +≤≥+-==101)1()(min 所以(1)0k =,p 和q 均为真,则得实数a 的取值范围是12=-≤a a 或 (2)p 为假命题,k a +1由于q 为真命题是p 为假命题的必要不充分条件,所以011≥+≤k k 所以19（略） 20（1）因为'()(1)x f x ax a e =+-，所以当a=1时，'(),x f x xe = 令'()0,f x =则x=0，所以(),'()f x f x 的变化情况如下表：x (-∞,0) 0(0,+∞)f ′(x) -0 +f(x)↘极小值↗所以x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-1. （2）因为'()(1),x f x ax a e =+-函数f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，所以'()0f x ≥对(0,1)x ∈ 恒成立. 又0x e ，所以只要10ax a +-≥对(0,1)x ∈恒成立， 解法一：设()1g x ax a =+-，则要使10ax a +-≥对(0,1)x ∈恒成立， 只要(0)0,(1)1g g ≥⎧⎨≥⎩成立， 即10,210a a -≥⎧⎨-≥⎩解得1a ≥.解法二：要使10ax a +-≥对(0,1)x ∈恒成立，因为0x ，所以11a x ≥+对(0,1)x ∈恒成立， 因为函数1()1g x x =+在（0，1）上单调递减，所以只要1(0) 1.01a g ≥==+,21 （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2122y x =-+，∴y x '=-， ∴过点M 21(,2)2t t -+的切线的斜率为t -,所以过点M 的切线方程为21(2)(2y t t x --+=--当12t =时，切线l 的方程为11728y x =-+（Ⅱ）由（Ⅰ）知，切线l 的方程为：y tx =-+令2y =，得2t x =．故切线l 与线段AB 交点为令2x =，得21222y t t =-+．故切线l 与线段地块OABC 在切线l ∴1()2f t FB BG =⋅，21112-t -t +2t 222=⨯⨯（）（）321()=t -t +2t 8f t (0<2)t <∵23()t -2t+28f t '=∴当403t ∈（，）时()f t 为单调递增函数；当423t ∈（，）时()f t 为单调递减函数， ∴当43t =时，()f t 的最大值为432()=327f ．∴当点M 到边OA 距离为4003m 时，地块OABC 在直路l 不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为32000027m 2．22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数2()ln f x x bx =+的图象过定点（1，0）， 把点（1，0）代入2()ln f x x bx =+得0b =， 所以()ln f x x =，（Ⅱ）l (n )tf xx x -≥恒成立， 即ln ln t x x x -≤恒成立，得2ln tx x ≤，因为0x >， 所以2ln t x x ≤，令()2ln ,'()2(ln 1)h x x x h x x ==+，当1(0,)x e ∈时，'()0h x <，所以()h x 在1(0,)e 为减函数；当1(,)x e∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在1(,)e +∞为增函数；()h x 的最小值为12()h e e =-，故2t e≤- ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，()ln f x x =，所以221()ln (0)2x m F x x x x m+=+->所以21()()11'()x m x m m F x x x mx--+=+-=又0>x ，由0)(='x F 得，m x =1，mx 12=． （1）当mm 1=时，得1=m ，0)(≥'x F ，)(x F 在（0，2）为增函数，无极值点；（2）当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<21020m m 且m m 1≠时，得221<<m 且1≠m ，根据()()x F x F x '、、的变化情况检验，可知)(x F 有2个极值点；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≥<<2120m m 或⎪⎩⎪⎨⎧<<≥2102m m 时，得210≤<m 或2≥m 时，根据()()1x F x F x '、、的变化情况检验，可知)(x F 有1个极值点；···························································································· 13分 综上，当1=m 时，函数)(x F 在（0，2）无极值点；当210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点；当221<<m 且1≠m 时，)(x F 有2个极值点．。
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在△ABC中，AC＝， BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（）A .B .C .D .2. （2分）函数的值域是（）A .B .C .D .3. （2分）设A={直角三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}，D={等腰直角三角形}，则下列结论不正确的是（）A . A∩B=DB . A∩D=DC . B∩C=CD . A∪B=D4. （2分）设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于（）A . -11B . 11C . 331D . -315. （2分） (2020高三上·长春月考) 下列表述正确的是（）① ；②若，则；③若，，均是正数，且，，则的值是；④若正实数，满足，且，则，均为定值A . ①②③B . ②④C . ②③D . ②③④6. （2分）定义域为R的函数f（x）满足条件：①(x1,x2R+,x1≠x2)②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式x•f（x）＜0的解集是（）A . {x|﹣3＜x＜0或x＞3}B . {x|x＜﹣3或0≤x＜3}C . {x|x＜﹣3或x＞3}D . {x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}7. （2分） (2019高二上·中山月考) 若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A . 3B .C . 2D . 28. （2分） (2017高二上·江门月考) 数列前项的和为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·临沂期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（）A . 2B . 3C .D .11. （2分）(2019·台州模拟) 已知，满足条件，则的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）= ，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣ m恒成立，则实数m的取值范围是（）A .B .C . [1，+∞）D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为________14. （2分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是________a+b的取值范围是________．15. （1分）设集合M={x|﹣2≤x＜2}N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N=________．16. （1分） (2016高一下·厦门期中) a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；上述命题中正确的是________（只填序号）．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2017高二下·新乡期末) 设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥ ．18. （5分）电视台与某广告公司签约播放两部影片集，其中影片集甲每集播放时间为19分钟（不含广告时间，下同），广告时间为1分钟，收视观众为60万；影片集乙每集播放时间为7分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有7分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间（含广告时间）．（Ⅰ）问电视台每周应播放两部影片集各多少集，才能使收视观众最多；（Ⅱ）在获得最多收视观众的情况下，影片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b（万元）的效益，若广告公司本周共获得3万元的效益，记S= + 为效益调和指数（单位：万元），求效益调和指数的最小值．19. （10分） (2016高一下·红桥期中) 在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=2csinA．（1）确定角C的大小；（2）若c= ，且ab=6，求边a，b．20. （10分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知实数x、y满足，目标函数z=x+ay．（1）当a=﹣2时，求目标函数z的取值范围；（2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求的最大值．21. （15分） (2016高二上·扬州开学考) 已知首项为1的正项数列{an}满足an+12+an2＜，n∈N* ，Sn为数列{an}的前n项和．（1）若a2= ，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列{an}是公比为q的等比数列，若＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak．22. （15分） (2017高一下·南京期末) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0．设Sn 是数列{an}的前n项和．若a1 ， a2 ， a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{ }为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，若该数列前n项和Tn=1821，求n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
莆田市数学高一下期中经典题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥3．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B ．13C ．32D ．334．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+5．(0分)[ID ：12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为3SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π7．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．(0分)[ID ：12390]已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5B ．10C ．25D ．2109．(0分)[ID ：12384]若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或010．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．111．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 12．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．8313．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,314．(0分)[ID ：12370]如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE . A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________． 17．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.18．(0分)[ID ：12518]若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．19．(0分)[ID ：12515]若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是______．20．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________ 21．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163PABCDV ，则球O 的体积是______． 22．(0分)[ID ：12506]在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________23．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________. 24．(0分)[ID ：12437]在正方体1111ABCD A B C D -中， ①BD平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD 请把所有正确命题的序号填在横线上________．25．(0分)[ID ：12434]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12607]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．27．(0分)[ID ：12591]如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值.28．(0分)[ID ：12578]在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点． （1）求证：平面EFG ∥平面ABC ． （2）求证：BC SA ⊥．29．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 3B AF C --的正切值．30．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P为AB中点时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．B5．B6．C7．D8．A9．C10．A11．D12．C13．B14．C15．B二、填空题16．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关17．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9018．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线19．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x﹣2）2+（y﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b的取值范围【详20．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据21．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥22．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正23．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【24．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接三、解答题26．27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，所以，该长方体的体对角线长为2226x y z ++=，则其外接球的半径为62R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．3．C解析：C 【解析】 【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA AD PA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C 【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.4．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．5．B解析：B 【解析】化简圆M:x 2+(y −a)2=a 2⇒M(0,a),r 1=a ⇒M 到直线x +y =0的距离d =√2⇒ (√2)2+2=a 2⇒a =2⇒M(0,2),r 1=2，又N(1,1),r 2=1⇒|MN|=√2⇒|r 1−r 2|<|MN|< |r 1+r 2|⇒两圆相交. 选B6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121,013PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 8．A解析：A【解析】(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为d ==A.9．C解析：C【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可.【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离2d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =.所以a 的值为0或2.故选C.【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.10．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．11．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.13．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 14．C解析：C【解析】【分析】（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立.【详解】（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC AB ⊥，又平面ABE 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则AC =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，DE ⊄平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT . G 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .DE AB D =，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行.因此，可能正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题. 15．B解析：B【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题16．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
人教A版数学必修一福建省莆田四中上学期高一年段数学科()期中考试卷
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作莆田四中2008-2009学年上学期 高一年段数学科（必修1）期中考试卷08。
11一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知a ＝2，集合A ＝{x |x ≤2}，则下列表示正确的是( )．A ．a ∈AB ．a ∉AC ．｛a ｝∈AD ．a ⊆A 2. 下列四个函数中,与y =x 表示同一函数的是 （ ） A.y =(x )2B. y =2xC. y =33xD.y =xx 23. 设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,3,4}U A B ===，则()U C A B =( ) A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5} D ．{1,5} 4．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 （ ）A.),31(+∞-B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞5. 已知幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调递增区间为 （ ）A.（1,+∞）B. (-∞,0)C.(-∞, +∞）D. ［0, +∞)6．在同一坐标系中，函数y ＝2－x 与y ＝log 2x 的图象是( )．A ．B ．C ．D 。
xyO x yOx yO xyO7．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，n 年以后这批设备的价值为（ ）A ．(1%)na b -B ．(1%)a nb -C ．()1%na b ⎡⎤-⎣⎦D ．n (1%)a b -8. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（ ）A.f (x )=3－xB.f (x )=x 2－3xC.f (x )=11+-xD.f (x )=－|x |9．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高二上·张掖期末) 在△ABC 中，若 c=2acosB，则△ABC 的形状为（ ）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等边三角形D . 锐角三角形2. （2 分） 如果执行程序框图，那么输出的 S=（ ）A . 2450 B . 2500 C . 2550 D . 2652 3. （2 分） (2017 高二下·深圳月考) 若 A.，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）B.第 1 页 共 10 页C. D.4. （2 分） (2018 高二下·沈阳期中) 已知实数 ， 满足 A.8则的最大值为（ ）B . 12C . 14D . 205. （2 分） (2017 高一下·钦州港期末) 点 P（x，y）在直线 x+y﹣4=0 上，则 x2+y2 的最小值是（ ）A.8B.2C.D . 166. （2 分） (2016 高一下·湖北期中) 已知数列{an}满足：an+1＞2an﹣an﹣1（n＞1．n∈N*），给出下述命 题：①若数列{an}满足：a2＞a1 ， 则 an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数 c，使得 an＞c（n∈N*）成立；③若 p+q＞m+n（其中 p，q，m，n∈N*），则 ap+aq＞am+an；④存在常数 d，使得 an＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立上述命题正确的个数为（ ）A . 1个B . 2个第 2 页 共 10 页C . 3个 D . 4个 7. （2 分） 对于任意实数 x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0 恒成立，则实数 a 取值范围（ ） A . （﹣∞，2） B . （﹣∞，2] C . （﹣2，2） D . （﹣2，2]8. （2 分） (2018 高一下·开州期末) 已知数列 满足：，，，则的整数部分为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2015 高一下·湖州期中) 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2+c2+bc﹣a2=0，则=（ ）A.﹣B.C.﹣D.10. （2 分） (2017 高一下·保定期中) 已知数列 a1 ， ， 的等比数列，则下列数中是数列{an}中的项是（ ）第 3 页 共 10 页，…，，…是首项为 1，公比为 2A . 16 B . 128 C . 32 D . 64 11. （2 分） (2017 高二下·临沭开学考) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 c2=（a ﹣b）2+6，C ，则△ABC 的面积（ ） A.3B.C. D.3 12. （2 分） 在数列 1,1,2,3,5,8，x，21,34,55 中，x 等于（ ） A . 11 B . 12 C . 13 D . 14二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） 在平面直角坐标系中，已知点 A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC 的余弦值为________ 14. （2 分） (2017·绍兴模拟) 已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn ， Tn（n∈N*），若 Sn= n2+ n，b1=a1 ， b2=a3 ， 则 an=________，Tn=________． 15. （1 分） 不等式 ax2+ax﹣4＜0 的解集为 R，则 a 的取值范围是________．16. （1 分） (2013·福建理) 当 x∈R，|x|＜1 时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=第 4 页 共 10 页两边同时积分得： dx+ xdx+ x2dx+…+ xndx+…=dx从而得到如下等式：1× + ×（ ） 2+ ×（ ） 3+…+ 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×（ ） n+1+…=ln2×+×（ ） 2+×（ ） 3+…+×（ ） n+1=________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2018 高二上·泰安月考) 解下列关于 的不等式：（1）；（2）.18. （10 分） (2016 高一下·定州期末) 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和， a1=b1=1，且 b3S3=36，b2S2=8（n∈N*）．（1） 求数列{an}和{bn}的通项公式；（2） 若 an＜an+1，求数列{anbn}的前 n 项和 Tn．19. （ 10 分 ） (2018· 株 洲 模 拟 ) 已 知 .中，角所对的边分别是,且（1） 求角 的大小；（2） 设向量，边长，当取最大值时，求 边的长.20. （10 分） (2018 高二上·沭阳月考) 设数列 满足，.（1） 求；（2） 先猜想出 的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.21. （ 5 分 ） (2017 高 一 下 · 鹤 岗 期 末 ) 在 △A BC ， a ， b ， c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 ， 且 .第 5 页 共 10 页（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）若，求△A BC 的面积.22. （10 分） (2016 高一下·河源期中) 数列{an}是首项 a1=4 的等比数列，且 S3 ， S2 ， S4 成等差数列，（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 若 bn=log2|an|，设 Tn 为数列 最小值．的前 n 项和，若 Tn≤λbn+1 对一切 n∈N*恒成立，求实数 λ 的第 6 页 共 10 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、18-1、 18-2、第 8 页 共 10 页19-1、 19-2、 20-1、20-2、21-1、第 9 页 共 10 页22-1、 22-2、第 10 页 共 10 页。
2023-2024学年福建省莆田市高一下册期中考试数学质量检测试题
2023-2024学年福建省莆田市高一下册期中考试数学质量检测试题一、单选题1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-【正确答案】B 【分析】先对复数1i1i+-化简，再求其共轭复数，从而可求得答案【详解】因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+，所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-，故选：B2．已知a ，b均为单位向量，它们的夹角为120︒，则|3|a b += （）A B ．7C D ．13【正确答案】A【分析】先由题意，求出a b ⋅，再由向量模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为a ，b均为单位向量，它们的夹角为60︒，所以1cos1202a b a b ⋅=⨯⨯=-，因此3a b += 故选：A.3．已知()()cos74,sin14,cos14,sin74a b == ，则a b ⋅的值为（）A ．0B ．12C ．2D ．1【正确答案】B【分析】利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解即可．【详解】解：因为()()cos74,sin14,cos14,sin74a b ==，1cos 74cos14sin14sin 74cos(7414)cos 602a b ∴⋅=+=-==．故选：B ．4．在ABC 中，a ，b 是A ∠，B ∠所对的边，已知 a cosB bcos A =，则ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】B【分析】由正弦定理得sin sin A cosB Bcos A =，化简得in 0()s A B -=,即得解.【详解】由正弦定理得sin sin A cosB Bcos A =，所以sin sin 0A cosB cos A B -=，所以in 0()s A B -=,因为,(0,)A B π∈,所以0,A B A B -=∴=.所以三角形是等腰三角形.故选：B本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．要得到函数2sin 2y x =的图像，只需要将函数2cos 2y x x =-的图像A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位【正确答案】D【详解】试题分析：根据题意，由于将函数2cos 2=2sin(2)6y x x x π=--的图像向左平移12π个单位得到=2sin(2+2126y x x ππ-（），可知成立，故答案为D.三角函数图像的变换点评：主要是考查了三角函数的图象的平移变换的运用，属于基础题．6．设||5,||3,a b a == 与b的夹角为120︒，则a 在b 上的投影向量为（）A ．56bB ．56b - C ．310bD ．310b -【正确答案】B【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.【详解】a 在b上的投影向量为：2215cos120cos1205236a b a a b b b b b b b b b⎛⎫⨯- ⎪⋅︒⋅︒⋅⎝⎭⋅=⋅=⋅=⋅=- .故选：B7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为35m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为15︒，则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD 约为（结果保留整数）（）A ．44mB ．47mC ．50mD ．53m【正确答案】D【分析】在Rt ABM ，由边角关系得出AM =，再由正弦定理计算出ACM △中的CM ，最后根据直角三角形DCM 算出CD 即可.【详解】解：由题意知：60CAM ∠=︒，75AMC ∠=︒，所以45ACM ∠=︒，在Rt ABM中，sin sin 45AB ABAM AMB ===∠︒，在ACM △中，由正弦定理得M Msin 45sin 60A C =︒︒，所以sin 60sin 45AM CM ︒===︒，在Rt DCM 中，3sin 60 1.53552.5532CD CM AB =⋅︒==⨯=≈，故选：D.8．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数A ．()f x a -一定为奇函数B ．()f x a -一定为偶函数C ．()f x a +一定为奇函数D ．()f x a +一定为偶函数【正确答案】D【详解】由题意得，()sin(2)1f x a ϕ=+=时，则222a k πϕπ+=+，k ∈Z ，所以()sin(22)sin(22)cos 22f x a x a x k x πϕπ+=++=++=，此时函数为偶函数，故选D ．二、多选题9．已知向量(2,1)a =，(3,1)b =- ，则（）A ．()a b a+⊥ B ．向量a 在向量b上的投影向量是2-C ．|2|5a b +=D ．与向量a共线的单位向量是【正确答案】AC【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．【详解】解：因为向量(2,1)a = ，(3,1)b =- ，故5a b ⋅=-，对于A ，(1,2)a b +=- ，所以()2(1)210a b a +⋅=⨯-+⨯= ，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，向量a 在向量b 上的投影向量是2251||cos ||(3)12||||||||||b a b ba b a a b b b b a b b b θ⋅⋅-⋅=⋅⋅=⋅==--+，（注:θ是向量,a b的夹角），故B 错误；对于C ，2(4,3)a b +=-，所以|2|5a b +==，故C 正确；对于D ，a 共线的单位向量是||a a ±，即或(，故D 错误.故选：AC.10．若复数z 满足()12i 10z -=，则（）A ．24i z =-B ．2z -是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=【正确答案】AB【分析】对于A ：计算出复数z 的代数形式即可判断；对于B ：求出2z -的代数形式即可判断；对于C ：求出复数z 在复平面内对应的点即可判断其位置；对于D ：通过复数z 在复平面内对应的点求出sin α即可判断.【详解】对于A ：()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+，24i z ∴=-，A 正确；对于B ：224i 24i z -=+-=，为纯虚数，B 正确；对于C ：24z i =+，其在复平面内对应的点为()2,4，在第一象限，C 错误；对于D ：复数z 在复平面内对应的点为()2,4，则sin α=D 错误.故选：AB.11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，0πϕ<<的部分图象，则下列结论正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增D ．函数1y =与()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为8π3【正确答案】BCD【分析】现根据图像求出函数()f x 的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可.【详解】由图可知2A =，2543124T πππ=-=，即T π=，因2T ωπ=，且0ω>，故2ω=，因此()2sin(2)f x x ϕ=+，又因()y f x =的图像过点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以222,32k k Z ππϕπ⨯+=-+∈，因0<<πϕ，故6πϕ=，因此()2sin(2)6f x x π=+.对于选项A ，由262x k πππ+=+，得()y f x =的对称轴为,62k x k Z ππ=+∈，故2x π=不是函数()f x 的对称轴，因此A 错；对于选项B ，由26x k ππ+=，得函数()f x 的对称中心为,0122k ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈，故函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，因此B 正确；对于选项C ，由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得函数()f x 的单增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，因此C 正确；对于选项D ，由()2sin(26f x x π=+，做出如下图形：由图可知，函数1y =与()y f x =的图像在23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有4个交点，则这4个交点的横坐标之和为7822663πππ⨯+⨯=，故D 正确.故选：BCD.12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（）A ．3a =B ．若π4A =，且ABC 有两解，则b的取值范围为⎡⎣C ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则c的取值范围为(D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC的内心，则34AOB S =△【正确答案】ACD【分析】选项A ：根据条件23cos 3cos b C c B a +=求出3a =；选项B ：由余弦定理得229b c =+，将此式看作关于c 的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；选项C ：根据正弦定理得6cos c A =，利用ABC 为锐角三角形求角A 的范围，从而求边c 的范围；选项D ：利用正弦定理求出角C ，从而判断出ABC 是直角三角形，利用等面积法求ABC 的内切圆半径，从而求AOB 的面积.【详解】解：对于A 选项，因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=,即()3sin sin B C a A +=，因为πA B C ++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =，A 选项正确；对于B 选项，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得229b c =+，将此式看作关于c的二次方程2209c b +-=,由题意得此方程有两个正解,故()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩,解得(b ∈，所以选项B 错误；对于C 选项，由正弦定理，得sin sin 2a cA A=，即2cos 6cos c a A A ==，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以(6cos c A =∈，故选项C 正确；对于D 选项，因为sin 2sin B C =，所以2b c =，因为2A C =，所以()sin sin sin 3B A C C =+=，所以由正弦定理sin sin b cB C =，得2sin 3sin c c C C=，即sin 32sin C C =，所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=，即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=，因为sin 0C ≠，所以222cos 2cos 3C C +=，即23cos 4C =，又因为2A C =，所以π6C =，π3A =，π2B =，b c =ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径r 满足()1122ABCS a b c r ac =++=，即32ac r a b c ==++，所以AOB的面积为11332224S cr -===，选项D 正确.故选：ACD.方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是(0,π)，如B ＝π3，则2π(0,)3A ∈,特别是在求值域问题时会用到.②在锐角三角形中，不要只考虑π,,(0,)2A B C ∈，还要想到另外两角之和在π(,π)2内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如B ＝π3，则2ππ32A C =-<,所以ππ63C <<;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中2A C =，综合三个角为锐角有π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩,得ππ64A <<.三、填空题13．已知非零向量a 与b 满足||4||,|2|||b a a b b =-=，则向量a 与b 夹角的余弦值为__________.【正确答案】14/0.25【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】因为||4||,|2|||b a a b b =-=，所以222a b b -= ，22244a a b b b -⋅+= ，所以2a b a ⋅= ，所以221cos ,44a a b a b a b a⋅===.故1414．已知sin cos 22θθ+，则sin θ=_____.【正确答案】13【分析】把等式sin cos 22θθ+=.【详解】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故13本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩，则()5f ＋41()6f ＝______.【正确答案】12/0.5【分析】根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值.【详解】解：由题意得：函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩∴()415()6f f +7(41)(8)6f f =++-7(1)()6f f =+-7(1)()6f f =-71(11)sin()6π=⨯--12=故1216．在复平面内，已知复数z 满足|1||i |z z -=+（i 为虚数单位），记02i z =+对应的点为点0Z ，z 对应的点为点Z ，则点0Z 与点Z 之间距离的最小值_________________【正确答案】2【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z 的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设i(,R)z x y x y =+∈，|1||i |z z -=+ ，|1i ||(1)i |x y x y ∴-+=++,化简整理可得0x y +=，∴复数z 的对应点Z 的轨迹0x y +=，02i z =+ 对应的点为点0(2,1)Z ，∴点0Z 与点Z=故2四、解答题17．平面内给定三个向量(3,2)a =，(1,2)b =- ，(4,1)c = .(1)求cos ,a b；(2)求|2|a b -；(3)若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .【正确答案】(1)65(3)1118-【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1）解：因为(3,2)a = ，(1,2)b =-，所以()31221a b ⋅=⨯-+⨯=，a == ，b =所以cos ,a b a b a b ⋅== （2）解：因为(3,2)a = ，(1,2)b =- ，所以()()()223,21,27,2a b -=--=，所以|2|a b -= ；（3）解：因为(4,1)c = ，(43,2)a kc k k +=++ ，2(5,2)b a -=- ，又()(2)a kc b a +⊥- ，所以()()()435220k k +⨯-++⨯=，解得1118k =-.18．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，计算下列各式的值．(1)tan α；(2)2sin 2sin cos 1ααα-+.【正确答案】(1)2(2)1【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系sin tan cos ααα=，利用已知条件即可求出tan α；（2）根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简，代入求值即可.【详解】（1）解：已知sin cos 3sin cos αααα+=-，化简，得4cos 2sin αα=，所以sin tan 2cos ααα==.（2）22222222sin 2sin cos tan 2tan 222sin 2sin cos 1111sin cos tan 121ααααααααααα---⨯-+=+=+=++++1=.19．已知a 、b ∈R ，i 是虚数单位，若复数1i z a =-与22i z b =+互为共轭复数.(1)判断复平面内2z 对应的点在第几象限；(2)若复数()218m z m --在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)第一象限(2)(2,6【分析】（1）根据共轭复数的定义可求出a 、b 的值，利用复数的几何意义可得出结论；（2）利用复数的四则运算化简复数()218m z m --，利用复数的几何意义可出关于实数m 的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：因为a 、b ∈R ，i 是虚数单位，若复数1i z a =-与22i z b =+互为共轭复数，则21a b =⎧⎨=⎩，所以，22i z =+，复数2z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1，位于第一象限.（2）解：由（1）可得12i z =-，()()()()()2222182i 828122i 12322i m z m m m m m m m m m --=-+-=---+-=-++-，因为复数()218m z m --在复平面内对应的点在第二象限，则2123020m m m ⎧-+<⎨->⎩，解得26m <<+因此，实数m 的取值范围是(2,6.20．已知向量)a = ，()cos ,sinb x x = ，()0,πx ∈.(1)若a b ⊥ ，求x 的值；(2)若()f x a b =⋅ ，且()3f α=，求πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)23π(2)59-【分析】（1）根据题意得到tan x =()0,πx ∈即可得到答案.（2）首先根据题意得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而得到22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据π2ππsin 2sin 2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解即可.【详解】（1）因为a b ⊥ 所以sin 0a b x x ⋅=+= ，所以tan x =由于()0,πx ∈，所以2π3x =.（2）由()sin 2sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()π2sin 3f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.而22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π2ππ2π5sin 2sin 2cos 263239ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知120B = .(1)若1,a b ==A 的值；(2)若3b =，求ABC 周长的最大值.【正确答案】(1)30 (2)3+【分析】（1）由正弦定理求得1sin 2A =，进而求得A 的大小；（2）由余弦定理化简得到22()b a c ac =+-，结合基本不等式22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求得a c +的最大值，进而求得ABC 周长的最大值.【详解】（1）解：由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =，因为B 为钝角，所以30A = .（2）解：由余弦定理得2222222cos ()b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-，又由0,0a c >>，则22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222239()()()24a c a c ac a c a c +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，所以a c +≤a c =时，等号成立，即a c +的最大值为所以ABC 周长的最大值为3+22．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从A 处出发，前往B ，C ，D 三个地点送餐.已知300m AB =，200m AD =，100m CD =，且AB CD ∥，60BAD ∠=︒.(1)求AC 的长度.(2)假设AB ，BC ，CD ，AD 均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以250m /min 的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【正确答案】(1)(2)8min【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解cos CAD ∠，进而得sin CAD ∠，由两角和与差的余弦公式可得cos BAC ∠，进而由余弦定理求解AB ，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.【详解】（1）因为AB CD ∥，60BAD ∠=︒，所以120ADC ∠=︒，在ACD 中，由余弦定理，得AC ===.（2）在ACD 中，由余弦定理，得222222200100cos214AD AC CD CAD AD AC+-+-∠==⋅，所以sin 14CAD ∠=，所以()11cos cos cos 2214BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠∠==.在ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB BAC=+-⋅⋅∠(22300230040000=+-⨯=，解得200m BC =.假设小夏先去B 地，走A B C D ---路线，路长600m ，假设小夏先去C 地，因为BC CD >，所以走A C D C B ----路线，路长(400m +，假设小夏先去D 地，走A D C B ---路线，路长500m ，由于500600400<<+所以小夏走A D C B ---路线，且完成送餐任务的最短时间为500238min 250+⨯=.。
福建省莆田四中高一数学阶段检测试题必修一
福建省莆田四中高一数学阶段检测试题一．选择题（4×10=40）1．下列命题正确的是（ ）A ．很小的实数可以构成集合。
B ．集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合。
C ．自然数集N 中最小的数是1。
D ．空集是任何集合的子集。
2．在下列集合E 到集合F 的对应中，不．能构成E 到F 的映射是（ ）A B C D 3．已知集合A ＝{1，a 2}，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{－1，1} B ．{－1} C ．{－1，0，1} D ．{1} 4．右图中阴影部分所对应的集合是（ ）A. (C U A)⋂BB. C U (A ⋃B)C. (C U B)⋂AD. C U (A ⋂B)5．下列各组函数中，表示同一个函数的是：（ ）A 、y=x-1和112+-=x x y B 、y=x 0和y=1 C 、f(x)=x 2和g(x)=(x+1)2D 、x x x f 2)()(=和2)()(x x x g =6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是（ ）．A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－x7．函数⎩⎨⎧>+-≤+=)1(5)1(3x x x x y 的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知f (x )=(m -1)x 2-2mx +3是偶函数，则在(-∞,3)内此函数 （ ）A.是增函数B.不是单调函数C.是减函数D.不能确定9． 若2(),(1)0,(3)0,f x x bx c f f =++==则求(1)f -的值为（ ）A ．2B ．-5C ．-8D ．810．定义两种运算：a ⊕b=22b a -, a ∧b=2)(b a -，则函数f(x)=2)2(2-∧⊕x x的奇偶性为（ ）A 、是奇函数B 、是偶函数C 、 既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数又不是偶函数二．填空题（3×4=12）11．已知函数()f x =M ，()1g x x =+N ，则MN = 。
福建省莆田四中高一数学下学期期中试题新人教A版
莆田四中2012-2013学年高一数学第二学期期中考试必修4三角函数与向量模块（2013.5）一、选择题（5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．=0210cos （ ）A ．12-B ．12C． D2．已知θθtan sin ⋅＜0，那么角θ是 （ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角3．如果角θ的终边经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23，那么θtan 的值是 （ ） A ．33-B ．23- C ．3 D ．214．0sin 27cos63cos 27sin 63+= （ ） A ．1 B ．1－ C ．22 D ．22- 5．为了得到函数)32sin(3π-=x y 的图象，只需要把函数x y 2sin 3=的图象上所有的点（ ）A ．向右平移3π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向左平移6π6．函数2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数7.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝ （ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 8．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = （ ） A ．26ωϕπ==， B ．123ωϕπ==，C ．23ωϕπ==，D ．126ωϕπ==， 9．已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 （ ） A ． 函数)(x f 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D ． 函数)(x f 是奇函数10．已知F E D 、、分别是ABC ∆的边AB CA BC 、、的中点，且=BC a ，=CA b ，=c ，则下列命题中正确命题的个数为（ ）①=21c 21-b ； ②=a 21+b ； ③=21b 21-a ； ④=++0A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分) 11．已知21cos =θ，且)2,0(πθ∈，则=θsin ． 12. 设向量a 与b的夹角为θ，且(3,3)a =，2(1,1)b a -=-，则=θcos ___________．13．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 ． 14．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是 . 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称；②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题(本大题共6小题，满分80分。
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2014-2015学年下学期莆田四中高一年段数学科期中考试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）命题人：庄小红 审题人：翁建新 2015.5.8 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简AB AD BD -+＝（ ）A ．ADB ．0 C ．BC D ．DA 2．已知54sin =α,α是第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） A ．34-B ．43-C ．43D ．343.下列函数中，在区间(0，2π)上为增函数且以π为周期的函数是（ ） A ．2sin x y = B ．x y sin = C ．x y tan -= D ．x y 2cos -= 4．已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(2,0) B ．(3,6)- C ．(6,2)D ．(2,0)-5．圆的半径是6cm ，则圆心角为２π３的扇形面积是（ ）A.6πB.12πC.24πD. 8π 6. 边长为2等边三角形ABC 中，向量的投影是（ ）A ．1B ．-1C ．21D ．21-7.如图1e ，2e 为互相垂直的单位向量，向量c b a++可表示为( )A ．-13e 22eB ．--13e 32eC ．+13e 22eD ．+12e 32e8.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( ) A ．）（322sin 2π+=x y B ．）（32sin π+=x yC ．）（32sin π-=x yD ．）（654sin 2π+=x y 9.函数y ＝2sin x －sin x ＋2的最大值是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．10.若tan （α+β）=3，tan （α﹣β）=5，则tan2α=（ ）74.A 74.-B 21.C 21.-D11．在△ABC 中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形12. 如图，2AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值等于（ ） A. 12-B. 2-C. 1-D. 14-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13．0sin 300的值等于_________．14．向量(1,3)a =,(1,0)b =-,则|2|a b +=______．15．设O 为ABC ∆的内部，2=++且,则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值__． 16．函数()1222++-=x sin x sin x f ，给出下列4个命题：①在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡858ππ,上是减函数； ②直线8π=x 是函数图像的一条对称轴；③函数f （x ）的图像可由函数x sin y 22=的图像向左平移4π而得到；④y=f （x ）-k 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π,x 有两个零点，则k的取值范围为⎡⎣．其中正确命题序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知a =(6，2)，b =(-3，k)，问：当k 为何值时， (1)2a + b ∥b ？ (2)a 与b 的夹角为钝角？18.（本小题满分12分）已知sin2cos 0.22x x-= （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求cos2)sin 4xx xπ+⋅的值.19. （本小题满分12分）如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,OA ⊥底面ABCD ,OA=2,M 为OA 的中点.(1)求证:BD ⊥面OAC(2)求三棱锥C-OAB 的体积;(3)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆O 相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为102、552 (Ⅰ)求)cos(βα-的值；(Ⅱ)若点C 为单位圆O 上异于A 、B 的一点，且向量与夹角为4π，求点C 的坐标。
21.（本大题满分12分）某港口海水的深度y （米）是时间t （小时）(024)t ≤≤的函数，记为()y f t =经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看成函数sin ,0y A t b ωω=+>的图像。
（1）求出函数sin y A t b ω=+的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底的距离为4米或4米以上时认为是安全的（船舶）停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.5米，如果该船希望在同一天内．．．．安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（船进出港所需时间忽略不计）？22. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(),a b ，点B 的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中220a b +≠且0ω>.设()f x OA OB =⋅.（1）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[]0,π内的解集；（2）若2a =，4b =,当x R ∈时，设函数()f x 的值域为集合M ，不等式20x mx +<的解集为集合P . 若P M ⊆恒成立，求实数m 的最大值；（3）根据本题条件我们可以知道，函数()f x 的性质取决于变量a 、b 和ω的值. 当x R ∈时，试写出一个条件，使得函数()f x 满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”. 【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】2014~2015莆田四中高一数学期中考参考答案一．选择题1~5 BADAB 6~10 BCABB 11~12 CA 二．填空题 13. 23- 14. 2 15. 1∶4 16. ①②④ 三．解答题17.【解析】(1)K=-1 4分(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=错误！未找到引用源。
<0且错误！未找到引用源。
≠-1，得k<9且k ≠-1 10分18. (12分)解：（Ⅰ）由sin 2cos 0,tan 2222x x x-=⇒=, …………2分222tan2242tan .1231tan 2x x x ⨯∴===--- …………6分分所成角的正切值为与即异面直线，中，在面面又∥中位线，为，连接交于点与）连接（分分面面面∵又面面∵又为正方形，底面∵12 (3)63632tan 32,,37 (3)42222131)2(4............................................................,,,)1.(19MD OC EMD ME DE DEM Rt MEDE OAC EM OAC BD OCEM AOMC EM EM E AC BD V V OAC BD OACAC OAC OA A OC OA BDOA ABCD BD ABCD OA BD AC ABCD ABC O OAB C ==∠∴==∆⊥∴⊂⊥∴∆=⨯⨯⨯⨯==⊥∴⊂⊂=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴-- 20．解：（Ⅰ）依题意得,cos 10αβ==， ……………………2 分 因为α,β为锐角，所以sin αβ= ……………………4 分 （sin sin αβ、的值由A B 、的纵坐标给出亦可）（Ⅰ）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+== ………………………………6 分（Ⅱ）设点C 的坐标为(,)m n ，则221m n += ……① ……………………7分 ∵ 向量OC 与OA 夹角为4π∴(,)1010cos411||||m n OC OAOC OA π⋅⋅==⨯，……………………9分=+，即75m n += ……② ……………………10分联立方程①②，解得:4535m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或3545m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………… …………………………11分∴ 点C 的坐标为43(,)55或34(,)55-． …………………………………………12分21. （1）依题意有：最小正周期为T ＝12 振幅：A ＝3 8b = 26T ππω== 3sin()8([0,24])6y t t π=⋅+∈……………………...………6分（2）该船安全进出港，需满足： 5.54y ≥+即3sin()89.56t π⋅+≥ 1sin()62t π⋅≥ ∴522,666k t k k Z πππππ+≤⋅≤+∈ ∴121125,k t k k Z +≤≤+∈又024t ≤≤ ∴15t ≤≤或1317t ≤≤依题意：该船在同一天内至多能在港内停留：17－1＝16（小时）…………….12分22. 23（理）解：（1）由题意()sin cos f x OA OB b x a x ωω=⋅=+，当a =1b =，2ω=时，()sin 222sin 213f x x x x π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 1sin 232x π⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭，则有2236x k πππ+=+或52236x k πππ+=+，k Z ∈. 即12x k ππ=-或4x k ππ=+，k Z ∈.又因为x ∈【0，π】，故()1f x =在【0，π】内的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧12114ππ，………….3分 （2）由题意，)sin(52sin 4cos 2)(ϕωωω+=+=x x x x f .）（21tan =ϕ ]52,52[-=∴M又20x mx +=的解为0和m -，故要使P M ⊆恒成立，只需5252≤≤-m所以m 的最大值52. ………………….6分 （3）解：因为()()sin cos f x OA OB b x a x x ωωωϕ=⋅=+=+，设周期2T πω=，由于函数()f x 须满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”.因此，根据三角函数的图像特征可知，221364264T n n T ππππω+⎛⎫-=+⋅⇔= ⎪⎝⎭63n ω⇒=+，N n ∈.又因为，形如()()f x x ωϕ=+的函数的图像的对称中心都是()f x 的零点，故需满足sin 03πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，而当63n ω=+，N n ∈时， 因为()6323n n πϕππϕ++=++，N n ∈；所以当且仅当k ϕπ=，k Z ∈时，()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；此时，sin 0,cos 1.ϕϕ⎧==⎪⎪⎨⎪==±⎪⎩0a ⇒=，1b b =±. （i ）当0,0b a >=时，()sin f x x ω=，进一步要使6x π=处()f x 取得最小值，则有sin 166f ππω⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212362k k ππωπω⇒⋅=-⇒=-，k Z ∈；又0ω>，则有123k ω=-，*N k ∈；因此，由*63,N,123,N ,n n k k ωω=+∈⎧⎨=-∈⎩可得129m ω=+，N m ∈； （ii ）当0,0b a <=时，()sin f x x ω=-，进一步要使6x π=处()f x 取得最小值，则有sin 166f ππω⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212362k k ππωπω⇒⋅=+⇒=+，k Z ∈；又0ω>，则有123k ω=+，N k ∈；因此，由63,N,123,N,n n k k ωω=+∈⎧⎨=+∈⎩可得123m ω=+，N m ∈；综上，使得函数()f x 满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”的充要条件是“当0,0b a >=时，129m ω=+（N m ∈）或当0,0b a <=时，123m ω=+（N m ∈）”. ……………………..12分。