专题15+椭圆、双曲线、抛物线(易错练兵)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点+Word版含解析

1．已知k <4，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 2

4－k ＝1有( )

A ．相同的准线

B ．相同的焦点

C ．相同的离心率

D ．相同的长轴 解析：∵k <4，

∴曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 2

4－k ＝1都是椭圆．

又9－4＝9－k －(4－k )，

∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点． 答案：B

2．双曲线x 2

4－y 2

＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45 C.

255 D.45

5

解析：双曲线x 2

4－y 2

＝1的渐近线方程为y ＝±x

2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离

为2

5

＝25

5.

答案：C

3．以抛物线y 2

＝4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是( ) A ．(x －2)2

＋y 2

＝4 B ．(x －1)2

＋y 2

＝4 C ．(x －2)2

＋y 2

＝2 D ．(x －1)2

＋y 2

＝2

4．若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±12x

D ．y ＝±2

2x

解析：双曲线的离心率e ＝c

a

＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a

2＝3，可得b a

＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .

答案：B

5．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2

＋y 2

m

＝1的离心率为( )

A.30

6

B.7

C.

306或7 D.5

6

或7 解析：∵实数4，m,9构成一个等比数列，∴m 2

＝4×9，解得m ＝±6.

①当m ＝6时，圆锥曲线为x 2

＋y 2

6＝1表示椭圆，其中a 2＝6，b 2

＝1，∴离心率e ＝c

a ＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2＝

1－16

＝30

6

， ②当m ＝－6时，圆锥曲线为x 2－y 2

6＝1表示双曲线，其中a 2＝1，b 2

＝6，∴离心率e ＝c

a ＝

1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2＝1＋6

＝7. 答案：C

6．已知直线l 与双曲线C ：x 2

－y 2

＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.1

2 B ．1 C ．2 D ．4

7．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂

线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤13，22

C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1

D.⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，13

解析：如图所示，

∵线段PF 1的中垂线经过F 2，

∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c .

∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

13，1.

答案：C

8．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为

( ) A.22 B.32

C.2－1

2

D.3－1

答案 D

解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k

＝tan60°＝3，

∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫c

2，32c .

∵点A 在椭圆上，∴c 24a

2＋34

c 2

b

2＝1，

即c 24a 2＋3c 2

4b

2＝1. ∴b 2c 2

＋3a 2c 2

＝4a 2b 2

，

又∵b 2

＝a 2

－c 2

，∴4a 4

－8a 2c 2

＋c 4

＝0， ∴e 4

－8e 2

＋4＝0，∴e 2

＝4±23， 又∵e ∈(0,1)，∴e ＝3－1.故选D.

9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x 2n

2－y 2

＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，

则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D ．m ＜n 且e 1e 2＜1

答案 A

10．已知双曲线C ：x 2

3－y 2

＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.163

3 B ．5 3 C.143

3

D ．4 3

答案 A

解析 因为双曲线C ：x 2

3－y 2

＝1，

所以a ＝3，b ＝1， c ＝a 2

＋b 2

＝2， 故F 1(－2,0)，F 2(2,0)．

由于点P 的横坐标为2，则PQ ⊥x 轴． 令x ＝2，则有y 2

＝43－1＝13，即y ＝±33.

故|QF 2|＝|PF 2|＝

33，|PQ |＝2

3

3， |QF 1|＝|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝73

3.

则△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ | ＝

733＋733＋233＝163

3

.故选A. 11．设抛物线E ：y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E