2015届高考数学第一轮考点分类检测试题11-命题及其关系、充分条件与必要条件
[推荐学习]2015年高考数学考点分类自测 命题及其关系、充分条件与必要条件 理
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2015年高考理科数学考点分类自测：命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( ) A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 B ．若x 2<1，则－1<x <1C ．若x 2>1，则x >1或x <－1D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－13．设a 1，a 2，b 1，b 2均不为0，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“关于x 的不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4． “a ＝0”是“函数y ＝ln|x －a |为偶函数”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数6．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 二、填空题7．给出命题：已知实数a 、b 满足a ＋b ＝1，则ab ≤14.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．8．(2012·盐城模拟)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和直线l 2：2x －(a －1)y ＋2＝ 0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.9．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件． 三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}， B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．11．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在求出p 的取值范围．12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件．答案：C2．解析：若原命题是“若p ，则q ”，则逆否命题为“若綈q 则綈p ”，故此命题的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”．答案：D3．解析：“不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”⇒“a 1a 2＝b 1b 2”，但“a 1a 2＝b 1b 2”“不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”，如：a 1＝1，b 1＝－1，a 2＝－1，b 2＝1.答案：C4．解析：当a ＝0时，函数y ＝ln|x |为偶函数；当函数y ＝ln|x －a |为偶函数时，有ln|－x －a |＝ln|x －a |，∴a ＝0.答案：A5．解析：否命题是既否定题设又否定结论． 答案：B6．解析：当a ＝1时，N ＝{1}，此时有N ⊆M ，则条件具有充分性；当N ⊆M 时，有a 2＝1或a 2＝2得到a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－2，故不具有必要性，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件．答案：A 二、填空题7．解析：∵a ＋b ＝1⇒1＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≥4ab ⇒ab ≤14.∴原命题为真，从而逆否命题为真；若ab ≤14，显然得不出a ＋b ＝1，故逆命题为假，因而否命题为假．答案：18．解析：l 1⊥l 2⇔2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：139．解析：若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，即a ·b >0；由a ·b >0可得cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要 三、解答题10．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，⇒m ≥32.又集合{m |m ≥32}．关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．11．解：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．12．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3. (2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ，又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )；a <0时，A ＝(3a ，a )．所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是1<a ≤2.。
2015届高考数学一轮复习考点解析课件《命题及其关系、充分条件与必要条件》
解析：已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2 ＋c2≥3”的否命题是“若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2＜3”，应 选 A.
答案：A
题型一
四种命题及其关系
1 3 【例 1】 原命题：“若 a＝1，则函数 f(x)＝3x ＋ 1 2 1 2ax ＋2ax＋1 没有极值”以及它的逆命题、否命题、逆否命 题中，真命题的个数为( A．0 B．1 ) C．2 D．4
1.考查内容：(1)考查命题及其关系、命题真假判断及命题的 四种形式的相互转化．(2)考查充分条件、必要条件的概念． 2．题型：以选择或填空的形式考查命题及其关系；以选择 题的形式考查充分条件、必要条件的概念． 3．命题切入点：以数学相关知识为载体，考查命题真假判 断及充分条件与必要条件．
1.2015 年高考对本节的考查仍将以命题真假判断、 四种命题 的关系及充分条件与必要条件为主，题型将会延续选择、填空的 形式． 2．以数学知识为载体，考查命题真假判断及充分条件与必 要条件仍将是命题热点，并且有加大考查力度的趋势.
条件 定义法 集合法(A＝{x|p(x)}， B＝{x|q(x)} A⊆B A⊇B A＝B A B A B A B 且 A⊉B
p 是 q 的充分条件 p⇒q p 是 q 的必要条件 q⇒p p 是 q 的充要条件 p⇒q 且 q⇒p p 是 q 的充分不必 p⇒q 且 q p 要条件 p 是 q 的必要不充 p q 且 q⇒p 分条件 p 是 q 的既不充分 p q且q p 也不必要条件
3．充分条件与必要条件 (1)“若 p，则 q”为真命题，记 p⇒q，则 p 是 q 的充分条 件， q 是 p 的必要条件． (2)如果既有 p⇒q， 又有 q⇒p， 记作： p⇔q， 则 p 是 q 的 充要条件，q 也是 p 的 充要条件 ．
2015届高考数学一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013·潍坊模拟)命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤55．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题6．(2013·江西七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非必要条件 7．(2014·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行8．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．10．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．12．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．2．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.4．选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5．选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．6．选A 由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.7．选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．8．选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.9．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数10．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③11．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150° ⇒/ 30°＝150°， 所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1， 所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第Ⅱ组：重点选做题1．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ 716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.2．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题， 所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．。
2015届高考数学总复习第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件精讲课件 文
)
点评：在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确
哪个论断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化
简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键．常用 的判断方法有三种：直接法、集合法、等价法．利用集合法进
行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而刮题易
于求解．对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的 判断，要善于利用等价命题进行判断．
解析：由a>b⇒a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b， ∴ a>b － 1 是 a>b 成 立 的 必 要 不 充 分 条 件 ； 由 a>b ＋
1⇒a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成
－b2＝0.
点评： 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件， 哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由
“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：
一是充分性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅要会 利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求．
变式探究 3．求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：当a＝0时，x＝－ ，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0， ∴a≤1， 当a＝1时，方程只有一负根x＝－1. 当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2 ＝ 或a＝1. <0，∴a<0.
这与“p2＋q2＝2”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立．
点评： 使用反证法的基本步骤是： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．
高考数学一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．答案：A4．(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l ：x ＋y －1＝0上”；但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，故“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”不能推得“x ＝2且y ＝－1”，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的充分不必要条件．答案：A5．(2014·河北名校名师俱乐部二调)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.答案：A6．(2013·湖南卷)“1<x <2”是“x <2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．答案：A7．(2013·浙江卷)若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α； 而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.答案：A8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B. 答案：B 二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．(2013·绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”； ④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件． 其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③ 三、解答题13．(2013·荆门市高三元月调考)已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x 是R 上的减函数 ∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2， 且a >x 2＋2x ＝x ＋2x在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。
【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件
——命题及其关系、充分条件与必要条件时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________座号：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题2．(2014·锦州模拟)“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2014·株洲二模)给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中假命题的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③5．(2014·潍坊一模)有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③若“m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①④D．①②③6．(2014·郑州外国语模拟)下列命题：①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝An2＋Bn是数列{a n}为等差数列的必要不充分条件；③△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充分不必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为P，Q，则a1a2＝b1b2＝c1c2是P＝Q的充分必要条件．其中真命题是()A．①④B．①②③C．②③④D．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2014·南昌一模)若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为________．8．命题“若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．9．(2014·大同模拟)设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．10．(2014·西安调研)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．12．设函数f(x)＝lg (x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3x－1的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．13．设a，b，c为△ABC的三边，求证方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.命题及其关系、充分条件与必要条件参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：对于A ，其逆命题是：若x ＞|y |，则x ＞y ，是真命题，这是因为x ＞|y |＝⎩⎨⎧y (y ≥0)，－y (y ＜0)，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25＞1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x ＜0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.答案：A2．解析：函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．答案：A3．解析：因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆Ba ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．答案：A4．解析：①ad ＝bc 不一定使a ，b ，c ，d 依次成等比数列，如取a ＝d ＝－2，b ＝c ＝2，故①错误；②如a ＝2，b ＝－4时，a b ＜1得不到b a＞1，故a ，b 异号时不正确，故②错误；③f (|x |)＝f (x )＝f (－x )成立，故③正确．故不正确的有①②.答案：A5．解析：①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m ＞1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，故选D.答案：D6．解析：△ABC 中，由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋b 2＋c 2，故 ①正确；S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错误；A ＝B 时，可得出sin A ＝sin B ，但sin A ＝sin B 时，A ＝B 或A ＋B ＝π，故A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分不必要条件，故③正确；由于两不等式的系数符号不确定，由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2不能推出P ＝Q ；反之P ＝Q 时，若P ＝Q ＝Ø，则不一定有a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的既不充分也不必要条件，故④错误．答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：若“x 2－2x －8＞0”是“x ＜m ”的必要不充分条件，则集合{x |x ＜m }是集合{x |x＞4或x ＜－2}的真子集，所以m ≤－2，即m 的最大值为－2.答案：－28．解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断．或只写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可，原命题为真，逆命题为假．答案：29．解析：解p 得12≤x ≤1，解q 得a ≤x ≤a ＋1，由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q p ∴[12，1][a ，a ＋1]，∴a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：0≤a ≤1210．解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根x ＝4±16－4n 2，即n ＝2±4－n ；因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4符合题意；反之由n ＝3,4，可推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：解法一：原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．解法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a ＋1＞0，∴方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1＞0，∴方程x 2＋x －a ＝0有实根．故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．解法三：设p ：a ≥0，q ：x 2＋x －a ＝0有实根，∴p ：A ＝{a ∈R |a ≥0}，q ：B ＝{a ∈R |方程x 2＋x －a ＝0有实根}＝{a ∈R |a ≥－14}，即A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，綈p”为真，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法四：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则綈p：a＜0，綈q：x2＋x－a＝0无实根，∴綈p：A＝{a∈R|a＜0}，綈q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0无实根}＝{a∈R|a＜－1 4}．∵B⊆A，∴“若綈q，则綈p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真．12．解：依题意，得A＝{x|x2－x－2>0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝{x|3x－1≥0}＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈(－∞，－p 2]．∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－p2⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．13．解：设m是两个方程的公共根，显然m≠0.由题设知m2＋2am＋b2＝0，①m2＋2cm－b2＝0，②由①＋②得2m(a＋c＋m)＝0，∴m＝－(a＋c)，③将③代入①得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，化简得a2＝b2＋c2，∴所给的两个方程有公共根的必要条件是a2＝b2＋c2.下面证明其充分性．∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0即为x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的两个根分别为x1＝－(a＋c)，x2＝c －a；同理，方程x2＋2cx－b2＝0的两根分别为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.。
2015届高考数学(理)一轮精品复习课件1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(人教版)
0<m<1,所以方程
mx2-2x+3=0
的判别式
关闭
Δ=4-12m>0,
3
且 3 >0,
������
故方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根.
(2)必要性:若方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根,则有
������
=
4-12������ 3 > 0,
>
0, 故
0<m<1.
由 1- ������-1 ≤2,解得-2≤x≤10,
3
所以 p:P={x|-2≤x≤10}. 因为 p 是 q 的充分而不必要条件,
������ > 0,
������ > 0,
则 P⫋Q,所以 1-������ < -2, 或 1-������ ≤ -2, 即 m≥9 或 m>9.故 m≥9.
1 + ������ ≥ 10 1 + ������ > 10,
解析
关闭
答案
-11-
考点一 四种命题的关系及其真假判断
【例 1】 命题“若 a2+b2=0,a,b∈R,则 a=b=0”的逆否命题是( ) A.若 a≠b≠0,a,b∈R,则 a2+b2=0 B.若 a=b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0 C.若 a≠0 且 b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0
关闭
B
解析 答案
-9-
3.设 x∈R,则“x>12”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2015届高考数学(理)一轮总复习课件 1.2命题及其关系
(1)根据否命题的定义改写．
A．若 a＞b，则 2a≤2b B．若 2a＞2b，则 a＞b C．若 a≤b，则 2 ≤2
a b
D．若 2 ≤2 ，则 a≤b
a
b
(2)利用逆否命题真假关系判定．
(2)(2012·高考浙江卷)设 a＞0，b＞0，e 是自然 对数的底数( )
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
C
a b
聚焦考点 典例精讲 类题通法 变式训练
例题精编
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若 a＞b， 则 2 ＞2 ”的否命题是( )
D ， 命题“若 a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为______ 假 A ，________( 假 真假)，其否命题为______ ______( 真假)， C 真 其逆否命题为________ ，________( 真假)．
C
基础知识梳理
梳理二
四种命题及其关系
基础知识系统化2
3．四种命题的真假关系
条件．
C
聚焦考向透析
考向一
四种命题及其关系
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
例题精编
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若 a＞b， 则 2a＞2b”的否命题是( )
A．若 a＞b，则 2a≤2b B．若 2a＞2b，则 a＞b C．若 a≤b，则 2a≤2b D．若 2a≤2b，则 a≤b
2015年高考数学一轮复习课时训练第2节 命题及其关系、充分条件和必要条件
第2节命题及其关系、充分条件和必要条件课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.“若b2-4ac<0,则ax2+bx+c=0没有实根”,其否命题是( C )(A)若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0没有实根(B)若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0有实根(C)若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0有实根(D)若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0没有实根解析:由原命题与否命题的关系知选C.2.(2013潮州市质检)不等式x-1>0成立的充分不必要条件是( D )(A)-1<x<0或x>1 (B)0<x<1(C)x>1 (D)x>2解析:x-1>0⇔x>1,故x>2是x>1的一个充分不必要条件,故选D.3.(2013年高考安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( B )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:设p:(2x-1)x=0,q:x=0;则p:x=0或x=,∴p是q的必要不充分条件,故选B.4.(2012年高考山东卷)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:∵函数f(x)=a x在R上递减,∴0<a<1,∵函数g(x)=(2-a)x3在R上递增,∴2-a>0,得a<2,即0<a<2且a≠1,0<a<1是0<a<2且a≠1的充分不必要条件.故选A.5.(2012年高考四川卷)设a、b都是非零向量.下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:由=可知向量a与b的单位向量相等,故其充分条件为D项,故选D.6.(2013湛江测试(一))“a2-a=0”是“函数f(x)=x3-x+a是奇函数”的( C )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为a2-a=0⇒a=0或a=1.而函数f(x)为奇函数的充要条件为a=0,故a2-a=0是函数f(x)为奇函数的必要但不充分条件.故选C. 7.(2013佛山质检)设等比数列{a n}的前n项和为S n,则“a1>0”是“S3>a2”的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若S3>a2,则a1+a2+a3>a2,得a1(1+q2)>0,即得a1>0,反之也成立,即可得“a1>0”是“S3>a2”的充分必要条件,故应选C.二、填空题8.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.解析:原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:39.(2013年高考湖南卷改编)“1<x<2”是“x<2”成立的条件.解析:{x|1<x<2}⫋{x|x<2},所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件.答案:充分不必要10.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是.解析:对于命题②,sin 0=sin π,但0≠π,命题②不正确;命题①③④均正确.答案:①③④三、解答题11.写出命题“若a≥0,则方程x2+x-a=0有实根”的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解:逆命题:“若方程x2+x-a=0有实根,则a≥0”.否命题:“若a<0,则方程x2+x-a=0无实根.”逆否命题:“若方程x2+x-a=0无实根,则a<0”.其中,原命题的逆命题和否命题是假命题,逆否命题是真命题.12.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.解:y=x2-x+1=+,∵x∈,∴≤y≤2,∴A=,由x+m2≥1,得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2},∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,∴1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是∪.B组13.已知p:≥1,q:|x-a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( C )(A)(-∞,3] (B)[2,3](C)(2,3] (D)(2,3)解析:由≥1得2<x≤3;由|x-a|<1得a-1<x<a+1.由p是q的充分不必要条件得解得2<a≤3,∴实数a的取值范围为(2,3],选C.14.若方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3的充要条件是.解析:方程x2-mx+2m=0对应二次函数f(x)=x2-mx+2m,若方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3,则f(3)<0,解得m>9,即方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.答案:m>915.(2013江苏无锡市高三期末)已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若⫋p是⫋q的充分不必要条件,则a的取值范围为.解析:∵⫋p是⫋q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4<x<a+4,对于q,2<x<3,∴(2,3)⫋(a-4,a+4),∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.答案:[-1,6]16.设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⫋p是⫋q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解:p为,q为{x|a≤x≤a+1},⫋p对应的集合A=,⫋q对应的集合B={x|x>a+1或x<a},∵⫋p是⫋q的必要不充分条件,∴B⫋A,∴a+1>1且a≤或a+1≥1且a<,∴0≤a≤.。
2015高考总复习数学(文)课件：1.2 命题及其关系、充分必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件
考情风向标 从近几年的高考试题看，充要条件的判 定、命题真假的判断是高考的热点，以选择 1.理解命题的概念. 题及填空题为主，属中低档题目.本节知识常 2.了解“若 p，则 q”形式 和函数、不等式、向量、三角函数及立体几 的命题及其逆命题、否命 何中线、面的位置关系等有关知识相结合， 题与逆否命题，会分析四 考查学生对函数的有关性质、不等式的解 种命题的相互关系. 法、线面位置关系判定的掌握程度.预计 2015 3.理解必要条件、充分条 年高考仍将以充要条件的判定、命题真假的 件与充要条件的意义. 判断为主要考点，在考查知识的同时重点考 查命题转化、逻辑推理和分析问题的能力.
D.既不充分也不必要条件
解析： 注意到 z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i 在复平面 1 内对应的点为 M(a＋2,1－2a).当 a>2时，有 a＋2>0,1－2a<0， 故点 M 在第四象限； 反过来， 当点 M 在第四象限时， 有 a＋2>0 1 1 且 1－2a<0， 由此解得 a>2.所以“a>2”是“点 M 在第四象限” 的充要条件.故选 C.
若 q，则 p ； 原命题：若 p，则 q(或如果 p，那么 q)；逆命题：__________ 3.四种命题之间的相互关系
图 1-2-1 逆否命题 ，逆命题与________ 否命题 是等 如图 1-2-1，原命题与__________ 价命题.
4.充分条件与必要条件
充分 条件. (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的________
考点 1 四种命题的关系及真假的判断
例 1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分 别判断其真假： (1)面积相等的两个三角形是全等三角形； (2)若 x＝0，则 xy＝0；
高考数学一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件练习含答案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.答案 D2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.答案 A3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析mα，m∥βα∥β，但mα，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x 为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0.又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件. 答案 C5.下列结论错误的是( )A.命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B.“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题. 答案 C6.设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <3⇒/ 1<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件. 答案 A7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A8.(2017·汉中模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立.当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.答案 B二、填空题9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.答案 210.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.答案充分不必要11.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}.∵p是q的充分不必要条件，∴M N，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3) 12.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确. 答案 ②③13.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域. 故p 是q 的必要不充分条件.答案 A14.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1. 由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件. 答案 B 15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2. 答案 (2，＋∞)16.(2017·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. 解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误.对于②，命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确.对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误.对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝1≠－log32，log23∴log32与log23不互为相反数，故④错误.答案②。
2015届高考数学一轮总复习 1-3充分条件与必要条件
2015届高考数学一轮总复习 1-3充分条件与必要条件基础巩固强化一、选择题1．(文)(2012·北京四中期中)如果x 、y 是实数，那么“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，cos x ＝cos y 时，不一定有x ＝y ，如cos π3＝cos(－π3)，故选B.(理)“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.2．(2013·北京海淀期中)“t ≥0”是“函数f (x )＝x 2＋tx －t 在(－∞，＋∞)内存在零点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 函数f (x )＝x 2＋tx －t 在(－∞，＋∞)内存在零点，等价于t 2＋4t ≥0，即t ≤－4或t ≥0，故选A.3．(文)(2012·北京西城区期末)“直线l 的方程为x －y ＝0”是“直线l 平分圆x 2＋y 2＝1的周长”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 若直线l 的方程为x －y ＝0，则直线l 一定平分圆x 2＋y 2＝1的周长；但要平分圆x 2＋y 2＝1的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l 的方程为x －y ＝0”是“直线l 平分圆x 2＋y 2＝1的周长”的充分而不必要条件．故选A.(理)(2012·浙江宁波市期末)已知a 、b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件[解析] 若a ＝b ，则a ＋b 2＝a ，ab ＝a 2，显然当a <0时，a 2＝a 不成立，∴a ＝b ⇒/ a ＋b2＝ab ；又当a ＋b 2＝ab 时，a 2＋b 2＋2ab 4＝ab ，∴(a －b )2＝0，∴a ＝b ，因此a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ，故选B.4．(文)“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵当a ＝1时，f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ＝1⇒f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增，而由f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增可得a >0，∴“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.(理)(2013·云南昆明一中检测)已知条件p ：函数g (x )＝log m (x －1)为减函数，条件q ：关于x 的二次方程x 2－2x ＋m ＝0有解，则p 是q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 函数g (x )＝log m (x －1)为减函数，则有0<m <1，即p ：0<m <1.关于x 的二次方程x 2－2x ＋m ＝0有解，则判别式Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，即q ：m ≤1.所以p 是q 的充分而不必要条件，选A.5．(2013·山东理，7)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由题意知，q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q ，可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．6．(2013·北京海淀期末)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝r ·a n ＋r (n ∈N *，r ∈R 且r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若r ＝1，则a n ＋1－a n ＝1(n ∈N *)，数列{a n }成等差数列，充分性成立；反之，当{a n }是常数列时，∵a 1＝1，∴a 2＝r ＋r ＝1，此时r ＝12，所以必要性不成立，故选A.二、填空题7．(文)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相平行的充[解析] 由条件知，1×2－(m ＋1)m ＝0， ∴m ＝1或－2.经检验知，当m ＝1时，两直线平行， 当m ＝－2时，两直线重合． (理)有下列命题：①设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件； ②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：若b ∈M ，则a ∉M ； ③若p ∧q 是假命题，则p 、q 都是假命题；④命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”其中真命题的序号是________． [答案] ②④[解析] ∵N M ，∴a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件，∴①为假命题；逆否命题是将原命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件，a ∈M 否定后a ∉M 为结论，b ∉M 否定后b ∈M 为条件，故②为真命题；p ∧q 为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题，不一定“p 、q 都是假命题”，故③为假命题；特称命题的否定为全称命题，>的否定为≤，故④为真命题．8．(2013·山东临沂期中)已知下列四个命题： ①若tan θ＝2，则sin2θ＝45；②函数f (x )＝lg(x ＋1＋x 2)是奇函数； ③“a >b ”是“2a >2b ”的充分不必要条件；④在△ABC 中，若sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 是直角三角形． 其中所有真命题的序号是________． [答案] ①②④[解析] sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45，所以①正确；f (－x )＝lg(－x ＋1＋x 2)＝lg(1x ＋1＋x 2)＝－f (x )，所以②正确；由2a >2b 可知a >b ，所以“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件，所以③不正确；由sin A cos B ＝sin C 得sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以cos A sin B ＝0，所以cos A ＝0，即A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形，所以④正确．所以真命题的序号是①②④.9．(文)(2013·绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a ＝1表示椭圆”的________条件．[答案] 必要不充分 [解析] 方程表示椭圆时， 应有⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． [失误与防范] 当a ＋3＝1－a >0时，方程表示圆．(理)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．[答案] [－12，43][解析] 由题意知：“13<x <12”是“不等式|x －m |<1”成立的充分不必要条件．所以{x |13<x <12}是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎨⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是[－12，43]．三、解答题10．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.且等号不同时取得． ∴2≤m ≤4.能力拓展提升一、选择题11．(2013·浙江金华十校联考)设角α，β是锐角，则“α＋β＝π4”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] Cπ所以tan(α＋β)＝1＝tan α＋tan β1－tan αtan β.则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. 故“α＋β＝π4”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的充分条件；由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，由α，β是锐角，如α＋β∈(0，π)，可得α＋β＝π4，故“α＋β＝π4”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的必要条件．综上可知，“α＋β＝π4”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的充要条件．12．(文)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)，x ＋c (x <1).则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)，x －1(x <1).易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.13．(文)(2013·广东汕头质检)“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a <－2时，f (－1)f (2)＝(－a ＋3)(2a ＋3)<0，所以函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点；反过来，当函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点时，不能得知a <－2，如当a ＝4时，函数f (x )＝ax ＋3＝4x ＋3在区间[－1,2]上存在零点．因此，“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，选A.(理)(2013·吉林长春调研)“直线l 的方程为x －y －5＝0”是“直线l 平分圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1的周长”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1的圆心坐标为(2，－3)，直线l 经过圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1的圆心， 所以直线l 平分圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1的周长． 因为过圆心的直线都平分圆的周长， 所以这样的直线有无数多条．由此可知“直线l 的方程为x －y －5＝0”是“直线l 平分圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1的周长”的充分不必要条件．二、填空题14．(2013·衡阳六校联考)已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围是________．[答案] (12，23][解析] 注意到|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，－1≤x ≤1时，等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值是2.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，则3a ≤2，即a ≤23.若函数y ＝(2a －1)x 为减函数，则0<2a －1<1，即12<a <1.由“p 且q ”为真命题得，命题p 、q 均为真命题，因此有⎩⎨⎧a ≤2312<a <1，即12<a ≤23，故a 的取值范围是(12，23]．15．(文)给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件．②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． ③已知a 、b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．④“m >n ”是“(23)m <(23)n ”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y 21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题；④∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当m >n 时，⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，反之，当(23)m <⎝⎛⎭⎫23n 时，有m >n ，因此m >n ⇔⎝⎛⎭⎫23m<⎝⎛⎭⎫23n，故④是假命题．(理)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r的取值范围是________．[答案] (0，125)[解析] 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r <125.三、解答题16．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．[解析] ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈[－54，1]． ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .∴m 为4的约数．又∵m ∈[－54，1]，∴m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 补充说明1．抓住两个考点，一是判断条件的充分性与必要性；二是已知条件的充分性与必要性求参数的取值范围．2．把握充分条件、必要条件的判定方法 利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⃘B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．3．由条件的充分性或必要性求参数的取值范围时，注意端点值能否取到，可直接将端点值代入验证．备选习题1．已知α、β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B. 2．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件． [点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于{1}{－1,1，2，－2}，∴应选A.3．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1，所以x >2⇒x 2－3x ＋2>0；但x 2－3x ＋2>0⇒/ x >2，故“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，选A.4．(2012·嵊州二中月考)已知a 、b 为实数，则“2a >2b ”是“ln a >ln b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵2a >2b ⇔a >b ， 而ln a >ln b ⇔a >b >0，因此“2a >2b ”是“ln a >ln b ”的必要而不充分条件，选B.5．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ， ∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 注意到z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．当a >12时，有a ＋2>0,1－2a <0，故点M 在第四象限；反过来，当点M 在第四象限时，有a ＋2>0且1－2a <0，由此解得a >12.所以“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件，故选C.7．a ＝－13是函数f (x )＝ax 3＋4x ＋1在(－∞，－2]上单调递减的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] a ＝－13时，若x ≤－2，则f ′(x )＝－x 2＋4≤0，∴f (x )在(－∞，－2]上单调递减．若f (x )在(－∞，－2]上单调递减，∵f ′(x )＝3ax 2＋4，∴3ax 2＋4≤0，在(－∞，－2]上恒成立，即a ≤－43x 2恒成立，∴a ≤－13.故选A.8．“m >0>n ”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当m >0，n <0时，方程mx 2＋nx 2＝1，化为x 21m －y 2－1n＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则应有m >0，n <0，故选C.。
2015届高考数学考点冲刺 02 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件 【考点分类】 热点一命题及其关系 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设 命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（） A．∨B．∨C．∧D．∨ 2.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1=0与圆相切. 其中真命题的序号是（） (A) ①②③(B) ①② (C) ①③ (D) ②③ 3.已知命题；命题，，则下列命题中为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） ） A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．为实数的充分必要条件是为共轭复数 C．若R，且则至少有一个大于1 D．对于任意都是偶数 5.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是 A．若α≠,则tanα≠1 B．若α=,则tanα≠1 C．若tanα≠1,则α≠D．若tanα≠1,则α=A．若q则p B．若p则 q C．若则D．若p则 7.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ） A．任意一个有理数,它的平方是有理数B．任意一个无理数,它的平方不是有理数 C．存在一个有理数,它的平方是有理数D．存在一个无理数,它的平方不是有理数 【方法总结】 1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假． 热点二充分条件与必要条件 8. “”是“”的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 9.若，则“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件 10. “1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 11.已知集合，，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 12．“φ=π”是曲线y=sin(2x＋φ) （）C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 13.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 14.给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的（）A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 15.设为所在平面上一点，若实数满足 则“”是“为的边所在直线上”的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16.设,则“”是“” 的（ ） A．充分条件但不是必要条件, B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件 17.设,则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 18.对于常数、,“”是“方程的曲线是 椭圆”的（ ） A．充分不必要条件. B．必要不充分条件 C．充分必要条件. D．既不充分也不必要条件. 【方法总结】 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q 能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 【考点模拟】 一．扎实基础 1.命题“若则”的否命题是（） A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则 2.若集合，集合，则“”是“m=2”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. “”是“直线垂直”的（） A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 线垂直”的充分不必要条件，选A. 4,已知命题：使成立．则为（） A．均成立 B．均成立 C．使成立 D．使成立 5. “”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 是的（） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.不等式成立的一个充分不必要条件是（） A．或 B．或 C． D． 8.已知定义域为R的函数不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（） A． B． C． D． 9.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数都是偶数D.存在一个能被2整除的整数都不是偶数 10.已知p：a＜0， q：a2＞a，则p是q的＿＿＿＿条件. 二．能力拔高 11. 已知–2x+3，–1，则≤2”是≥g(x)在上恒成立的 (A)充分但不必要条件 B) 必要但不充分条件 C) 充要条件 D) 既不充分也不必要条件 ，，则“”是“”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 13.下列关于命题的说法正确的是（） A．若“p且q”为假命题，则p，q都是假命题 B．命题“”的否定是“” C．命题“若，则”的否命题为“若，则” D．命题“若，则”的逆命题为真命题 14.若命题“R，使得x02+mx0+2m-31|，“x∈A”是“”的（）A.充分条件B.必要条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 ，条件；若p是q的充分而不必要条件，则的取值范围是（） A． B． C． D． 23..已知命题p:“”是“函数的图象经过第二象限”的充分不必要条件，命题q:a,b是任意实数，若a>b，则.则（）A.“p且q”为真B.“p或q”为真C.p假q真D.p，q均为假命题 24. 以下四个命题中，真命题的个数为 ( ) ①集合的真子集的个数为； ②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角； ③设，若，则且； ④设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列． (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 25..下列命题中:①“”是“”的充要条件; ②已知随机变量服从正态分布,,则; ③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为; ④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 . 26.有下列四个命题： ：； ：已知a>0，b>0，若a+b=1，则的最大值是9； ：直线过定点(0，l)； ：区间是的一个单调区间． 其中真命题是( ) (A) (B)p2,p3 (c)p2,p4 (D)p3,p4 【考点预测】 1.下列命题：①≤”是n(N*，使得 成立”的充分条件；②是n(N*，使得成立”的必要条件；③” 是对一切n(N*恒成立的充要条件. 其中所真命题的序号是A.③B.②③C. ①②D. ①③ 2.命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是（） A． B． C． D． 3.已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 4.已知命题，，则集合(”是假命题，则实数 的取值范围是 (，或(-7<m<0，或-1<m<0(-7<m<0. 5.给出下列四个命题： ①若，且则；②设，命题“若”的否命题是真命题；③若函数的图象在点处的切线方程是，则；④已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，点A是两曲线的交点，轴，则双曲线的离心率为. 其中所有真命题的序号是________________. 6.已知，给出以下两个命题：命题：函数在上单调递减；命题：，不等式恒成立.若是假命题，是真命题，则的取值范围为 . 【答案】。
2015年全国高考数学试题分类汇编考点2命题及其关系充分条件与必要条件
考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1. (2015年北京高考文科·T6)设a,b是非零向量,“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【试题解析】选A.由a·b＝|a||b|得cos＜a,b＞＝1,＜a,b＞＝0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.2.(2015年天津高考理科·T4)设x∈R,则“|x-2|＜1”是“x2＋x-2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题解析】选A.|x-2|＜1的解为1＜x＜3,x2＋x-2＞0的解为x＜-2,x＞1,所以,“|x-2|＜1”是“x2＋x-2＞0”的充分而不必要条件.3.(2015年四川高考理科·T8)设a,b都是不等于1的正数,则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】首先由3a＞3b＞3,看是否能推出loga 3＜logb3;再看由loga3＜logb3,能否一定得出3a＞3b＞3.【试题解析】选B.由3a＞3b＞3,知a＞b＞1,所以log3a＞log3b＞0,所以ba33log1log1,即loga 3＜logb3,所以3a＞3b＞3是loga3＜logb3的充分条件;但是取a＝31,b＝3也满足loga 3＜logb3,不符合a＞b＞1,所以3a＞3b＞3是loga3＜logb3的不必要条件4. (2015年北京高考理科·T4)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先判断能否由“m ∥β”推出“α∥β”,再判断能否由“α∥β”推出“m ∥β”,最后利用充分必要条件的定义可得结论.【试题解析】选B.当m ∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由m ⊂α可知,m ∥β.因此,“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.5. （2015·安徽高考理科·T3）设p:1＜x ＜2，q:21x>则p 是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解题指南】应用充分、必要条件的定义进行判断。
【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品试
命题及其关系、充分条件与必要条件(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2013·某某高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【思路点拨】解出一元二次方程的解,根据充分必要条件的概念判定.【解析】选B.由(2x-1)x=0⇒x=0或x=,所以应选B.2.命题“若a>b,则a3>b3”的逆否命题是( )A.若a≥b,则a3≥b3B.若a>b,则a3≤b3C.若a≤b,则a3≤b3D.若a3≤b3,则a≤b【解析】选D.由逆否命题的含义知,D正确.3.已知下列命题:①已知集合A,B,若a∈A,则a∈(A∩B);②若A∪B=B,则A⊆B;③若a>|b|,则a2>b2;④3≥2.其中是真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 C.①是假命题,因为a∈A a∈(A∩B);②是真命题,因为A∪B=B⇔A⊆B;③是真命题,因为a>|b|≥0,所以a2>b2成立;④是真命题,因为“3≥2”的意思是3>2或3=2,只要有一个成立就行,故选C.4.(2013·某某高考)若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【思路点拨】让“α=0”和“sinα<cosα”其中一个作条件,另一个作结论,判断命题是否正确.【解析】选A.当α=0时,sinα=0,cosα=1,所以sinα<cosα;若sinα<cosα,则α∈∪(k∈Z).5.(2014·某某模拟)设M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.若“N⊆M”,则有a2=1或a2=2,解得a=±1或a=±,所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件,选A.【加固训练】设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由x2-3x>0得x>3或x<0,所以x2-3x>0是x>4的必要而不充分条件,故选B.6.(2014·某某模拟)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),则“λ=2014”是“λa⊥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为a=(1,2),b=(-2,1),所以a·b=1×(-2)+2×1=0,即2014a·b=0,所以λa⊥b成立.反之,由λa⊥b,得λa·b=λ(a·b)=λ[1×(-2)+2×1]=0,此时λ不一定等于2014.故选A.7.若m>0且m≠1,n>0,则“log m n<0”是“(m-1)(n-1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由log m n<0知,当m>1时,0<n<1,此时(m-1)(n-1)<0成立,当0<m<1时,n>1,此时(m-1)(n-1)<0成立,所以log m n<0是(m-1)(n-1)<0的充分条件;反之,因为m>0且m≠1,n>0,所以当(m-1)(n-1)<0时,或此时总有log m n<0,所以,log m n<0是(m-1)(n-1)<0的必要条件.综上,选C.【加固训练】(2014·某某模拟)设p:f(x)=lnx+2x2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.f'(x)=+4x+m,由f'(x)=+4x+m≥0,得m≥-.因为+4x≥2=4,所以-≤-4,所以m≥-4,即p:m≥-4,所以p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件,选A.8.(能力挑战题)已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c不成等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【思路点拨】从正、反两个方面推理时,可用与其等价的逆否命题的真假进行判断.【解析】选A.因为命题“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”的逆否命题为“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,是真命题,所以b2≠ac是a,b,c不成等比数列的充分条件;因为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,所以“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”是假命题,即b2≠ac不是a,b,c不成等比数列的必要条件.故选A.【误区警示】本题在从正、反两方面进行推理时,由于条件和结论都是否定形式,若想不到用其逆否命题判断真假,易误选C.【方法技巧】条件和结论都是否定形式的命题真假的判断方法条件和结论都是否定形式的命题,其真假从正面很难准确判断,故可以转化成判断与其等价的逆否命题的真假.【加固训练】已知x,y是实数,则x≠y是x2≠y2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x≠y,则x2≠y2⇔若x2=y2,则x=y,显然是假的;若x2≠y2,则x≠y⇔若x=y,则x2=y2,显然是真的.故x≠y是x2≠y2的必要不充分条件.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014·某某模拟)命题p:a∈M={x|x2-x<0};命题q:a∈N={x||x|<2},p是q的条件(从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选择).【解析】因为M={x|x2-x<0}=(0,1),N={x||x|<2}=(-2,2),所以M N,故p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要10.(2014·某某模拟)有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.【解析】①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,假命题.②原命题的逆命题为:“若x,y互为相反数,则x+y=0”,真命题.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,真命题.答案:②③11.设命题p:<0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值X围是.【解析】<0⇒(2x-1)(x-1)<0⇒<x<1,x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0⇒a≤x≤a+1.由题意,得[a,a+1].故解得0≤a≤.答案:12.(能力挑战题)下面有四个关于充要条件的命题:①若x∈A,则x∈B是A⊆B的充要条件;②函数y=x2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0;③x=1是x2-2x+1=0的充要条件;④若a∈R,则a>1是<1的充要条件.其中真命题的序号是.【解析】由子集的定义知,命题①为真.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c显然为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,就有bx=0恒成立,得b=0,因此②为真.当x=1时,x2-2x+1=0成立,反之,当x2-2x+1=0时,x=1,所以③为真.对于④,由于<1⇔>0,即a>1或a<0,故a>1是<1的充分不必要条件,所以④为假.答案:①②③三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2014·某某模拟)已知命题p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},命题q:x∈B,且B={x|x2-4x+3≥0}.(1)若A∩B=∅,A∪B=R,某某数a的值.(2)若p是q的充分条件,某某数a的取值X围.【解析】(1)B={x|x≤1或x≥3},由题意A∩B=∅,A∪B=R得,a-1=1且a+1=3,所以a=2.(2)由题意p是q的充分条件得A B,所以得a+1≤1或a-1≥3,a≤0或a≥4.14.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,某某数m的取值X围.【解析】y=x2-x+1=+,因为x∈,所以≤y≤2,所以A=.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值X围是∪.【加固训练】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a+b+c=0.充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,所以ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,所以(ax-c)(x-1)=0,所以当x=1时,ax2+bx+c=0,所以x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.15.(能力挑战题)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,求两方程的根都是整数的充要条件.【解析】因为mx2-4x+4=0是一元二次方程,所以m≠0. 又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,所以解得m∈.因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以所以m为4的约数.又因为m∈,所以m=-1或1.当m=-1时,第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数;而当m=1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1.。
2015高考数学一轮课件：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
第三页，编辑于星期五：十三点 七分。
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系:
若q,则p
若﹁辑于星期五：十三点 七分。
(2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_______逆__否,否命命题题等 价于__逆__命___题,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或 4.
第十四页，编辑于星期五：十三点 七分。
考点1 命题真假的判断与四种命题及其相互关系
【典例1】(1)(2013·天津高考改编)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 ,则1 其体积缩小到原来的 ; 1
2
8
②若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相1 切.
其中真命题的序号是( ) 2
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2013·陕西高考)设a,b为向量,则“|a•b|=|a||b|”是
“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
第二十五页，编辑于星期五：十三点 七分。
【解题视点】(1)先将φ=π代入,看曲线是否过原点,再求出过原点时φ
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.显然,若x>2,则x2>4,但反之不成立.故选A.
第十页，编辑于星期五：十三点 七分。
3.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否
命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
A.0个
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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ5）已知命题:P x x R x 32,<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p ∧q
B.￢p ∧q
C.p ∧￢q
D.￢p ∧￢q
【解题指南】对命题:P 采用特值法判断为假命题，命题q 利用存在零点的条件0)1()0(<f f 判断为真命题，然后根据四种命题的关系求解.
【解析】选B.对于命题:P 取1-=x ，可知为假命题，命题q ：令1)(23-+=x x x f ，且0)1)(0(<f ，故)(x f 有零点，即方程32
10x x +-=有解，23:q 为真命题，
2. （2013·湖南高考文科·Ｔ2）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】若A B ≠
⊂,则A 是B 的充分不必要条件，反之，A 是B 的必要不充分条件， 若A=B ，则A 是B 的充要条件。
【解析】选A ，因为集合(1,2)是(-∞,2)的真子集,所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.
3.（2013·安徽高考文科·Ｔ4）“(21)0x x -=”是“0x =”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】解出一元二次方程的解,根据充分必要条件的概念判定.
【解析】选B. 由12
Þ（2x-1）x=0x=0或x=，所以应选B. 4.(2013·北京高考理科·T3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】先将φ=π代入,得出曲线是否过原点,再求出过原点时φ的值,进而判断充分必要条件.
【解析】选A.φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,过原点,但是函数过原点的时候φ=k π(k ∈Z).
5.(2013·福建高考文科·T2)设点(),P x y ,则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l :x+y-1=0上”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】先判断是否充分,再判断是否必要.
【解析】选A.由P ()2,1-在l 上,但l 上的点不止P,故选A.
6.（2013·湖北高考文科·Ｔ3）与（2013·湖北高考理科·Ｔ3）相同
在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A.（﹁p ）∨（﹁q ）
B. p ∨（﹁q ）
C. （﹁p ）∧（﹁q ）
D.p ∨q
【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.
【解析】选A. 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则﹁p 是“没有降落在指定范围”， ﹁q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .
7.（2013·陕西高考理科·Ｔ3）设b a ,为向量, 则“
=”是“//”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【解题指南】根据充要关系的概念从两个方面进行推理.
【解析】选C..a ,,θ的夹角为与设为向量b b a 由==θcos 从而得1cos ,1cos ±==θθ,所以πθ或0=，能够推得//，反之也能够成立，为充分必要条件.
8.(2013·天津高考文科·T4)设a,b ∈R,则“(a-b)a 2<0”是“a<b ”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】依据充分必要条件的定义进行判断.
【解析】选A.由(a-b)a 2<0知,a 2>0,a-b<0,即a<b 成立,反之,当a<b 时,由于a 2可能为0,故(a-b)a 2≤0,因此“(a-b)a 2<0”是“a<b ”的充分而不必要条件.
9.(2013·天津高考理科·T4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18
; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12
相切. 其中真命题的序号是 ( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
【解析】选C.命题①由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18
,正确;命题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们的标准差也不相等,故该命题错误;命题③圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距
离
==d ,与圆x 2+y 2=12的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确. 10.(2013·浙江高考理科·T4)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“2πϕ=
”的 ( ) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值,再由2πϕ=
判断f(x)是否为奇函数,最后再判断. 【解析】选B.f(x)是奇函数⇒,2k k Z π
ϕπ=+∈; 2=π
ϕ⇒f(x )是奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“2π
ϕ=”的必
要不充分条件.
11.(2013·浙江高考文科·T3)若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】让“α=0”和“sin α<cos α”其中一个作条件,另一个作结论,判断命题是否正确.
【解析】选 A.当α=0时,sin α=0,cos α=1,所以sin α<cos α;若sin α<cos α,则52,22,2244k k k k k z ππαπππππ⎛
⎫⎛⎫∈+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 12.（2013·上海高考理科·T16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
【解析】选B .根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．
13.（2013·上海高考文科·T17）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
【解析】选B.由题意可知,好货⇒不便宜,故选A.。