2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 练案34

练案[34]高考大题冲关系列二1.(2018·安徽滁州联合质检)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π.导学号 58534433(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (α2－π8)＝23，f (β2－π8)＝223，且α、β∈(－π2，π2)，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)f (x )＝2cos ωx sin ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)．∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝1 ∴f (x )＝2sin(2x ＋π4)，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－38π＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[－38π＋k π，π8＋k π]，k ∈Z .(2)∵f (x )＝2sin(2x ＋π4)，且f (α2－π8)＝23，f (β2－π8)＝223， ∴sin α＝13，sin β＝23，∵α、β∈(－π2，π2)，∴cos α＝223，cos β＝53.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝223×53－13×23＝210－29.2．(2018·河南洛阳一中三试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B ).导学号 58534434(1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．[解析] (1)∵b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，∴b cos A ＝(2c ＋a )(－cos B )， 由正弦定理可得：sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B ，∴sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ＝sin C ，又角C 为△ABC 内角，sin C >0，∴cos B ＝－12，又B ∈(0，π)，∴B ＝2π3，(2)有S △ABC ＝12ac sin B ＝3，得ac ＝4，又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16，∴a ＋c ＝25，所以△ABC 的周长为4＋2 5.3．(文)(2015·重庆)已知函数f (x )＝12sin2x －3cos 2x .导学号 58534435(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈[π2，π]时，求g (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝12sin2x －3cos 2x＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin(2x －π3)－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知：g (x )＝sin(x －π3)－32.当x ∈[π2，π]时，有x －π3∈[π6，2π3]，从而y ＝sin(x －π3)的值域为[12，1]，那么y ＝sin(x －π3)－32的值域为[1－32，2－32]．故g (x )在区间[π2，π]上的值域是[1－32，2－32]． (理)(2018·重庆一中期中)已知向量m ＝(cos x 2，－1)，n ＝(3sin x 2，cos 2x 2)，设函数f (x )＝m·n ＋1.导学号 58534436(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 在区间[0，π]上有实数解，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2－cos 2x 2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin(x －π6)＋12令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以所求递增区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )．(2)f (x )＝sin(x －π6)＋12在x ∈[0，π]的值域为[0，32]，所以实数a 的取值范围为[0，32]．4．(理)(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.导学号 58534437(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． [解析] (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)解法一：由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.解法二：∵∠CAD ＝π2，∠CAB ＝2π3，∴∠BAD ＝π6.又cos C ＝4＋28－1687＝277＝2DC∴DC ＝7，∴D 为BC 的中点∴S △ABD ＝12S △ABC ＝14×4×2sin 2π3＝ 3.(文)(2018·云南红河州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c3a ＝cos C cos A.导学号 58534438 (1)求角A 的值；(2)若∠B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)由正弦定理及2b －3c 3a＝cos Ccos A ，得2sin B －3sin C 3sin A ＝cos Ccos A ，整理得：2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝32，又∠A ∈(0，π)，所以∠A ＝π6. (2)由∠B ＝π6，∠A ＝π6，知a ＝b ，△ACM 中，由余弦定理得：cos 2π3＝b 2＋b 24－7b 2＝－12，求得：b ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.5．(文)(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).导学号 58534439(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值． [解析] (1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45，cos2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255.(理)(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.导学号 58534440(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以，b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝7226.6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知向量m ＝(c －2b ，a )，n ＝(cos A ，cos C )且m ⊥n .导学号 58534441(1)求角A 的大小．(2)若AB →·AC →＝4求边BC 的最小值． [解析] (1)∵向量m ＝(c －2b ，a )， n ＝(cos A ，cos C )且m ⊥n ， ∴(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0， ∴sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin B cos A ，∴sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，∴sin B ＝2sin B cos A ， ∴cos A ＝12.又∵A 为三角形内角，∴A ＝π3.(2)因AB →· AC →＝4，∴cb cos π3＝4，即cb ＝8.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc . ≥2bc －bc ＝bc ＝8(当且仅当b ＝c ＝22时取等号) ∴即a ≥22，所以边BC 的最小值为2 2.7．(理)(2018·吉林百校联盟联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BA →·AC →＋2S 3＝0，其中S 是△ABC 的面积，C ＝π4.导学号 58534442(1)求cos B 的值； (2)若S ＝24，求a 的值． [解析] (1)∵BA →·AC →＋2S3＝0，∴bc cos A ＝13bc sin A ，∴sin A ＝3cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1010，sin A ＝31010，又C ＝π4，∴cos B ＝cos(3π4－A )＝cos 3π4cos A ＋sin3π4sin A ＝－22×1010＋22×31010 ＝255. (2)∵S ＝24，∴12ab sin π4＝24，∴ab ＝482①又cos B ＝255，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55∴b sin B ＝a sin A ，即b ＝55a ·10310＝23a . 代入①得a ＝12或－12(舍去)故a ＝12.(文)(2018·四川宜宾期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝2a －c .导学号 58534443(1)求B ；(2)若b ＝7，c ＝2，求△ABC 的面积．[解析] (1)由已知以及正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A －sin C ＝2sin(B ＋C )－sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C∴2cos B sin C －sin C ＝0∵0<C <π，∴sin C >0，∴cos B ＝12且0<B <π，∴B ＝π3.(2)由(1)以及余弦定理可得7＝a 2＋4－2a ∴a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×2×32＝3328．(2018·江西联考)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如右图所示.导学号 58534444(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π3)，且f (α)＝65，求sin2α的值．[解析] (1)由图得，A ＝2. 34T ＝π3＋5π12＝3π4，解得T ＝π， 于是由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵f (π3)＝2sin(2π3＋φ)＝2，即sin(2π3＋φ)＝1， ∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ， 又φ∈(－π2，π2)，所以φ＝－π6，即f (x )＝2sin(2x －π6)．(2)由已知2sin(2α－π6)＝65，即sin(2α－π6)＝35，因为α∈(0，π3)，所以2α－π6∈(－π6，π2)，∴cos(2α－π6)＝1－sin 2(2α－π6)＝45.∴sin2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝sin(2α－π6)cos π6＋cos(2α－π6)sin π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.。