离散数学第八章一些特殊的图知识点总结
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离散数学--一些特殊的图ppt教学共39页文档
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
ห้องสมุดไป่ตู้离散数学--一些特殊的图ppt教学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
本科离散数学_第8章
V
d ( ) d ( ) m
V
证明请读者自己完成。
第8章 图的基本概念
假设V={v1，v2，…，vn}是n阶图G的顶点集，称d （v1），d（v2），…，d（vn）为G的度数列。如例8.1.2 中图8.１.1（a）的度数列为2，2，2，3，3。例8.1.2中图 8.1.1（c）的度数列为1，2，2，3，3，其中出度数列为 0，2，0，2，1，入度数列为1，0，2，1，2。
E，则称G′是G的子图，记作 （1）若V′ V，E′ G。 G′ V或E′ E，则称G′是G的真子图， （2）若V′ G。 记作G′ （3）若V′=V，E′E，则称G′是G的生成子图。 V且V′≠ ， 设G1=〈V1,E1〉是G的子图，若V′ E1由端点均在V1中的所有边组成，则称G1是由V1导出 的导出子图，记作G［V1］。若E1 E且E1≠ ， V1由 E1中边所关联的所有顶点组成，则称G1是由E1导出的 导出子图，记作G［E1］。
第8章 图的基本概念
【例8.1.5】 在图8.1.2中，G1，G2，G3均是G的真 子图，其中G1是G的由E1={e1，e2，e3，e4}导出的导出 子图G［E1］；G2、G均是G的生成子图；G3是G的由 V3={a，d，e}导出的导出子图G［V3］，同时也是由 E3={e4，e5}导出的导出子图G［E3］。
第8章 图的基本概念
2.子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的 概念是非常重要的。所谓子图，就是适当的去掉一些 顶点或一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是 原图的顶点集和边集的子集。 定义8.1.2 设G=〈V,E〉，G′=〈V′,E′〉均是图 （同为有向或无向）。
第8章 图的基本概念
工科离散数学 第8章 图
[定义8-3：度] 一个图G= <V,E>中，与结点v V关联的边数称作该结点的度（度
数）（degree），记作dG(v) ，或简记为d(v) 。有向图中，射出v的边数称为v的 出度，记作d+(v) ，射入v的边数称为v的入度，记作d-(v) 。
注意：(1)也可用d+(v)表示入度，用 d-(v)作为出度。
图能提供对问题和已知信息的一种清晰和直观的表达。一般认为，图论 （graph theory）作为数学的一个分支，起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七 桥问题的研究，但它的应用几乎遍布于科学研究与生产实践的每个领域。
8.1 图的基本概念
Discrete mathematics
[直观的图] 简单地说，图是由结点和结点之间的连线组成的图形，线长及 结点位置无关紧要。图论关心的是图形的拓扑结构，即研究与大小、形状 无关的点和线之间的关系。
8.1.2 结点的度与握手定理
Discrete mathematics
[定义8-4] 若G为无向图，称 (G)=maxv V{d(v)}为图G的最大度，称 δ(G)=minv V{d(v)}为图G的最小度。有向图G中，分别称
+(G)=maxv V{d+(v)} 、 δ+(G)=minv V{d+(v)}为最大出度和最小出度， -(G)=maxv V{d-(v)} 、 δ-(G)=minv V{d-(v)}为最大入度和最小入度。
01
命题逻辑
02
谓词逻辑
03
集合的概念 与运算
目录
04 05
关系
函数
06
运算与代数系统
07
环、域、格、 布尔代数
08
图论
离散数学王元元习题解答 (9)
第三篇图论第八章图8.1 图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义8.1 图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G)⨯V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = |V |，m = |E |。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ≠v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作K n。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
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第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
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第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
离散数学第八章(第4讲)
韦尔奇·鲍威尔（WelchPowell）给出了一种对图的着色 方法，步骤如下：
（1）将图G中的顶点按度数递减次序排列。 （2）用第一种颜色对第一顶点着色，并将与已着色顶点不
邻接的顶点也着第一种颜色。 （3）按排列次序用第二种颜色对未着色的顶点重复（2）。
用第三种颜色继续以上做法，直到所有的顶点均着上色为 止。
4
5
6
定义1 ：设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所 有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外 没有其它的交点，就称G是一个平面图。
判断一个图是否为平面图的简单方法是观察法： 找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或 外而避免交叉。如下图所示：
但并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。
2. 着色问题 在地图上，相邻国家涂不同的颜色，最少需要多少种 颜色？100多年前，有人提出了“四色猜想”，即只 用四种颜色就能做到，但一直无法证明，直到1976年 美国数学家才用电子计算机证明了这一猜想。 地图着色自然是对平面图的面着色，利用对偶图，可 将其转化为相对简单的顶点着色问题，即对图中相邻 的顶点涂不同的颜色。
设m=k-1（k≥1）时公式成立，现在考虑m=k时的 情况。因为在连通图上增加一条边仍为连通图， 则有三种情况：
（1）所增边为悬挂边，此时G的面数不变，顶点 数增1，公式成立。 （2）在图的任意两个不相邻点间增加一条边，此 时G的面数增1，边数增1，但顶点数不变，公式 成立。
（3）所增边为一个环，此时G的面数增1，边数增 1
于是有 r 2 m n 2m l
故 m l (n 2)
l2
(r为G的面数)
推论1:设图G是一个包含n个结点,m条边的连通简单平 面图，若n≥3,则m≤3n-6。
CH8一些特殊的图.ppt
若V1中任一顶点与V2中任一顶点均有且仅有一条 边相关联，则称此二 部图为完全二部图。
2/24/2021 4:35 PM
3
定理： 一个无向图是二部图当且仅当G中无奇 数长度的回路。
2/24/2021 4:35 PM
4
基本术语
匹配 二部图G=(V,E)中, 若ME, 且 M中任意两条边都没有公共顶点，则 称M为G中的匹配。
2/24/2021 4:35 PM
10
分析 无奇数长度回路的只有图(3)，(4)，(5) ，因而它们都是二部图；也可根据定义，直接 将两个顶点集找出，进而判断是否是二部图。 一个图存在完美匹配的一个必要条件是具有偶 数个顶点，只有图(4)具有偶数个顶点，并且它 存在完美匹配，匹配数是3。
2/24/2021 4:35 PM
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。 不具有哈密顿回路但具有哈密顿通路的图 称为半哈密顿图
2/24/2021 4:35 PM
25
(1)是半哈密顿图: 存在哈密顿路，不存在哈密顿 回路
当无奇度顶点时，是欧拉回路。
充分性：
若(1），(2)成立,构造欧拉通路或回路.
2/24/2021 4:35 PM
15
L1: a, c, b L2: a, d, b,a L1+L2: a, d, b, a, c, b
2/24/2021 4:35 PM
16
L1: a, c, b L2: a, d, b,a
问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
2/24/2021 4:35 PM
8
解：设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、陈。 u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生物组。在3种情 况下作二部图分别记为G1,G2,G3，如图所示。
2/24/2021 4:35 PM
3
定理： 一个无向图是二部图当且仅当G中无奇 数长度的回路。
2/24/2021 4:35 PM
4
基本术语
匹配 二部图G=(V,E)中, 若ME, 且 M中任意两条边都没有公共顶点，则 称M为G中的匹配。
2/24/2021 4:35 PM
10
分析 无奇数长度回路的只有图(3)，(4)，(5) ，因而它们都是二部图；也可根据定义，直接 将两个顶点集找出，进而判断是否是二部图。 一个图存在完美匹配的一个必要条件是具有偶 数个顶点，只有图(4)具有偶数个顶点，并且它 存在完美匹配，匹配数是3。
2/24/2021 4:35 PM
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。 不具有哈密顿回路但具有哈密顿通路的图 称为半哈密顿图
2/24/2021 4:35 PM
25
(1)是半哈密顿图: 存在哈密顿路，不存在哈密顿 回路
当无奇度顶点时，是欧拉回路。
充分性：
若(1），(2)成立,构造欧拉通路或回路.
2/24/2021 4:35 PM
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L1: a, c, b L2: a, d, b,a L1+L2: a, d, b, a, c, b
2/24/2021 4:35 PM
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L1: a, c, b L2: a, d, b,a
问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
2/24/2021 4:35 PM
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解：设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、陈。 u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生物组。在3种情 况下作二部图分别记为G1,G2,G3，如图所示。
《离散数学》图论 (上)
12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
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无向图与有向图
A B C
D E F
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无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。