山西省“晋商四校”(平遥中学,祁县中学,榆次一中,太谷中学)2017届高三11月联考数学(理)试题

2016—2017学年度“晋商四校”高三联考数学试题（理科）本试卷满分150分 考试时间120分钟一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1. 集合{}2|2M x x x =<，{}0)1(log |2≤-=x x N ，则M N =A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．()0,22. 设2lg ,(lg ),a e b e c === A.c b a >> B.a b c >> C.c a b >> D ．a c b >>3. 已知数列{}n a 为等比数列，且2313825a a a π+=，则511cos()a a 的值为A ．21B ．23C ．22D ．21-4A ．B ．C ．D ．5. 下列命题正确的是A ．命题2000,13x R x x ∃∈+>的否定是：2,13x R x x ∀∈+<； B ．命题ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >的否命题是真命题；C ．平面向量a 与b 的夹角是钝角的充要条件是：0a b ⋅<；D ．1=ω是函数()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期为2π的充分不必要条件；6．函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>且2πϕ≤）的 图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把()y f x =的图象上所有点A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 7. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()21f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2015)f =A ．2-B ．0C ．2D ．20158. 已知数列{}n a 的前n 和为n S ，01=a，11n n a a +=+，则54a S += A ．39 B ．45 C ．50 D ．559. 在ABC ∆中，若5AB AC ⋅=且4AB AC -=，则ABC ∆面积的最大值为 A ．6 B ．152 C ．10 D ．1210. 设函数()Asin(),f x x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)在(,)62ππ上既无最大值，也无最小值，且()(0)()26f f f ππ-==，则下列结论成立的是 A ．若12()()()f x f x f x ≤≤对x R ∀∈恒成立，则21min x x π-=；B ．)(x f y =的图象关于点2(,0)3π-中心对称； C ．函数()f x 的单增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π. 11. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知510071007(1)2017(1)1a a ---=510111011(1)2017(1)1a a ---=-，则A ．2017100710112017,S a a =>B ．2017100710112017,S a a =->C ．2017100710112017,S a a =<D ．2017100710112017,S a a =-<12. 函数2ln 1,0()22,0x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--+≤⎪⎩，若()()()()f a f b f c f d ===且a b c d <<<，给出下列三个结论： ①(20,abcd e ⎤∈⎦ ； ②342112,2a b c d e e e e ⎛⎤+++∈+-+- ⎥⎝⎦； ③已知关于x 的方程()(1)0k f x x t +--=恰有三个不同实根，若k 为偶数，则92,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；若k 为奇数，则172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；其中正确的结论有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知,1,2a b a b ⊥==，且2a b +与a b λ-垂直，则实数λ的值为 .14. 已知,cos 21sin αα-=则=-)4sin(2cos παα .15. 已知0ln ,0()(22),0t xx x f x t e dt x >⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩⎰ ，则函数()()1h x f x =+有_____个零点. 16. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin sin cos a A B b A +，则角A 的取值范围为_______.三、解答题(本大题6小题共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

)17.（本小题10分） 已知()2sin()26x f x π=+ （1）若向量(3cos ,cos )44x x m =，(cos ,sin )44x x n =-，且m ∥n ，求()f x 的值； （2）在ABC ∆中，角,,A BC 的对边分别是,,a b c ，且满足)cos cos c B b C -=， 求()f A 的取值范围.18．（本小题12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099．（1）求实施新政策后，从2016年开始到2035年，第n 年的人口总数n a 的表达式；（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）. 19．（本小题12分）设ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且3cos()cos 2B C A -+=，2a bc =． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．20.（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和2*1()2n S n kn k N =-+∈， 且n S 的最大值为8. （1）求常数k 的值，并求n a ；（2）对任意m N *∈，将数列{}n a 中落入区间(4,2)m m--内的项的个数记为m b ， 若2m m m ma b c ⋅=，求数列{}m c 的前m 项和m T ． 21.（本小题12分）已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅的图象在点(1,(1))f 处的切线 方程为10.x y --=（1）求()f x 的表达式；（2）若()F x 满足()()F x G x <恒成立，则称()F x 是()G x 的一个“游离承托函数” ． 证明：函数()2(),2g x af x t t R t =+∈≤且，是函数()()x h x e f x t =++的一个“游离承托函数”．22. （本小题12分）已知函数()x f x e ax =+，()x g x x e a =⋅+（1）若对于任意的实数x ，都有()1f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）令[]()()()F x a g x f x =-，且实数0a ≠，若函数()F x 存在两个极值点12,x x ， 证明：210()4e F x <<且220()4e F x <<2016—2017学年度“晋商四校”高三联考数学答案（理科）一．选择题： A D A C D A B C A B C A二、填空题：13. 8 14. 22- 15. 2 16. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17.（本小题10分）解：（1）211//3cos sin cos cos 04442222x x x x x m n ⇔+=++=，………2分 即1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()1f x =- ……………5分 （2）因为()C b B c a cos cos 2=-， 由正弦定理得：()C B B C A cos sin cos sin sin 2=-……………6分cos sin cos cos sin sin()A B B C B C B C =+=+又ABC ∆中A B C π++=cos sin A B A =∵,(0,)A B π∈，∴cos 2B =，则4πB =， ……………8分 因此34AC π+=，于是30,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由()2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()132sin ,2662624A A f A ππππ⎛⎫=+<+< ⎪⎝⎭，故()f A 的取值范围为(1,2] …10分 18. （本小题12分）解：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， ∴45.50.5(1)n a n =+⨯-； ……………2分当11n ≥时，数列{}n a 是公比为0.99的等比数列，又1050a =，∴10500.99n n a -=⨯ ……………4分因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤⨯∈≤≤+=-*10*,2011 , 99.050,101 , 5.045N n n N n n n a n n ……………6分 （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及 等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万………9分 ∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈<，……………11分 故到2035年不需要调整政策． ……………12分19．（本小题12分）解：（1）∵在ABC ∆中，A B C π++=∴3cos()cos()2B C B C --+=，∴3sin sin 4B C =， ………………2分又2a bc =，由正弦定理得：23sin 4A =， 又(0,)A π∈，∴sin A =， …4分 由2a bc =可知角A 为锐角， ………5分 ∴3A π= …………6分（2）∵1sin 24ABC S bc A ∆===，∴16bc =， ∴216a bc ==，∴4a =……8分由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，及1cos 2A =， ∴22()364b c a bc +=+=，∴8b c +=，…………11分 ∴ABC ∆的周长为：12a b c ++=………………12分20.（本小题12分）解：（1）22211()222n k S n kn n k =-+=--+ 2max()8,42n k n k S k ∴===∴=当时 ……………2分 ∴2142n S n n =-+，当1n =时，1172a S ==， 当2n ≥时，192n n n a S S n -=-=-，…………4分显然172a =适合92n a n =-， ∴数列{}n a 的通项公式为92n a n =-()n N *∈ ……………5分 （2）依题意有9422m m n -<-<-， ∴992422m m n +<<+， 又m N *∈，∴99(4)(2)4222m m m m m b =+-+=- ……………7分 ∴9()(42)992()2()2222m m m m m m m m m a b c m m --⋅===-⨯--……………8分 且92m a m =-，前m 和为：279()82222m m m m m A +--+==；……………9分 令9()22m m t m =-⨯，前m 和为记为：m B ， 则 m m m B 2)29(...221223225227432⨯-++⨯+⨯+⨯+⨯= ∴154322)29(...2212232252272+⨯-++⨯+⨯+⨯+⨯=m m m B ∴14322)-29-2...222-227-+⨯++++⨯=m m m m B （）（ 114297()2122m m m ++-=---⨯-11(112)2m m =--⨯， ∴ 112)2m -11(B -⨯=m m ……………11分∴22282)2-1128112)211(22--+⋅=+---⨯-=-=m m m m m m A B T m mm m m （ ……12分 21．（本小题12分）解：（1）当1=x 时，0=y ，代入2()ln f x a x b x =⋅+⋅得0=b ，……………1分 所以x a x f ln )(=，xa x f =')(， ……………3分 由切线方程知(1)1f '=，所以1=a ，故x x f ln )(=．……………5分（2）由题要证函数()2(),2g x af x t t R t =+∈≤且，是函数()()x h x e f x t =++的一个“游离承托函数”，只要证明当2t ≤时，()()g x h x <在公共定义域上恒成立，即证明：当2t ≤时，()()()ln()0x x h x g x e f x t e x t -=-+=-+>对于x t ∀>-恒成立，由于2,2t x t x ≤+≤+，ln()ln(2)x t x +≤+，ln()ln(2)x xe x t e x -+≥-+， 只要证明：ln(2)0xe x -+>对于2x ∀>-恒成立即可．……………6分 证明：令()ln(2)xx e x ϕ=-+，2x >-， 则1()2x x e x ϕ'=-+，令()()k x x ϕ'=，则21()0(2)x k x e x '=+>+， ∴()x ϕ'在()2,-+∞上单调递增，且1(1)10e ϕ'-=-<，1(0)102ϕ'=->，∴0(1,0)x ∃∈-，使得0001()02x x e x ϕ'=-=+成立，……………8分 当0(2,)x x ∈-时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；∴0min 00()()ln(2)x x x e x ϕϕ==-+， ……………9分 又由0001()02x x e x ϕ'=-=+，得0012x e x =+，且00ln(2)x x =-+…………10分 ∴020min00000(1)1()()ln(2)022x x x x e x x x x ϕϕ+==-+=+=>++……………11分 ∴ln(2)0x e x -+>对于2x ∀>-恒成立∴函数()2(),2g x af x t t R t =+∈≤且，是函数()()x h x e f x t =++的一个“游离承托函数”，得证. ……………12分22．（本小题12分）解：（1）由题：()x f x e a '=+，且x R ∈， ……………1分①当0a =时，()x f x e =，(,0)x ∈-∞时，()(0,1)f x ∈，不满足条件；………2分②当0a >时，()0x f x e a '=+>，∴()f x 在R 上单调递增，令1b <-且ln b a <，∴ln ()(1)0b a f b e ab e ab a ab a b =+<+=+=+< ∴()1f x ≥不恒成立，∴0a >不满足条件；……………3分③当0a <时，令()0f x =，得ln()x a =-，当(,ln())x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln(),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴ln()min ()(ln())ln()ln()a f x f a e a a a a a -=-=+-=-- ……………4分由题ln()1a a a --≥，即：ln()10a a a ---≥，令()ln()1a a a a ϕ=---，且0a <，则()ln()a a ϕ'=-，(1)0ϕ'-=，………5分 当(,1)a ∈-∞-时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增；当(1,0)a ∈-时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减；∴max ()(1)0a ϕϕ=-=，∴只有1a =-满足条件；综上：实数a 的取值范围为{}1- ……………6分（2）依题意，()()x x F x a xe a e ax =+--，∴ ()()'x F x a xe a =-， 由0,()0a F x '≠=，得x xe a =，令()x k x xe =，()(1)x k x x e '=+，当(,1)x ∈-∞-时，()0k x '<，()k x 单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 单调递增；当1x =-时，max 1()(1)k x k e=-=-，0x <时，()0k x <，且,()0x k x →-∞→；,()x k x →+∞→+∞，且(0)0k =， ∴1(,0)a e∈-时，()F x '有两个变号零点，()F x 有两个极值点，满足条件；…8分 令()()()x h x F x a xe a '==-，则()()'1xh x a x e =+. 因为函数()F x 存在两个极值点12,x x （不妨设12x x <），所以12,x x ,是()()'h x F x =的两个零点，且1(,0)a e∈-， 令()()'10x h x a x e =+=得1x =- ；令()()'1x h x a x e =+0> 得1x <-；令()()'10xh x a x e =+<得1x >-. 所以()()'h x F x =在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又因为()200h a =-<，所以必有1210x x <-<<. ……………9分 且()()'0,(1,2)i x i i F x a x e a i =-==，得,(1,2)i x i a x e i ==， ()()(1)(),(1,2)i i i x x x i i i i F x a x e a e ax a x e a i =+--=--=，令(1,2)i t x i ==，0t <且1t ≠-，t a te =，()()()()()()11t t t t i H t F x a t e a te t e te ==--=--此时()()()()()11t t t t H t a t e a te t e te =--=-- ()2322t e t t t =--+.…………10分 则()'H t ()()22121t e t t =---.当1t <-时，因为210,210t t ->-<，所以()'0H t >，则()H t 在(,1)-∞-单调递增， 因为11x <-，所以()1F x ()()1241H x H e=<-=， 又()()()1122232111111210x x F x e x x x e x x =--+=-->，所以()1240F x e<<；…11分 当10t -<<时，210,210t t -<-<，所以()'0H t <，则()H t 在(1,0)-单调递减， 因为210x -<<，所以()()()()2224001H H x F x H e=<=<-=. 综上知：()1240F x e <<且()2240F x e<<， 即：210()4e F x <<且220()4e F x <<． ……………12分。