一元一次方程和它的解法(一)
一元一次方程除法解法
一元一次方程除法解法
一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知的实数常数，x是未知数。
解一元一次方程的除法解法是先利用减法性质将方程中的常数项移到方程的另一侧，然后利用除法性质将方程中的系数项移到方程的另一侧。
具体步骤如下：
1. 对方程中的常数项应用减法性质，将常数项移到方程的另一侧，得到方程ax = -b。
2. 对方程中的系数项应用除法性质，将系数项移到方程的另一侧，得到方程x = -b/a。
3. 解得方程的解为x = -b/a。
这就是一元一次方程的除法解法。
通过这个方法，我们可以求解给定的一元一次方程。
一元一次方程的求解
一元一次方程的求解一元一次方程是数学中最基本的方程，它的解法也是我们数学学习的起点。
解一元一次方程的方法有很多种，下面将介绍三种常用的解法。
1. 直接代入法直接代入法是最直观也是最简单的一种解一元一次方程的方法。
它的基本思想是将方程中的未知数用已知数代入，将方程化简为仅含有已知数的等式，然后求解。
例如，我们有一个一元一次方程：2x + 3 = 7。
我们可以选择一个已知数，如x = 2，将x代入方程中，得到：2(2) + 3 = 74 + 3 = 77 = 7可以看到，等式两边相等，因此x = 2就是方程的解。
2. 移项法移项法是解一元一次方程的常用方法之一。
它的基本思想是通过移动方程中的项，使未知数的系数为1，将方程化为x = 常数的形式。
例如，我们有一个一元一次方程：3x - 4 = 5。
我们可以先将常数项移到方程的右侧，得到：3x = 5 + 43x = 9接下来，将未知数的系数变为1，得到：x = 9/3x = 3因此，方程的解为x = 3。
3. 消元法消元法是解一元一次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过变换方程，将其中的未知数消去，得到只含有已知数的方程，然后求解。
例如，我们有一个一元一次方程组：2x + 3y = 7，3x - y = 5。
我们可以通过消元法解这个方程组。
首先，将第二个方程的未知数系数变为与第一个方程相等的倍数，得到：2x + 3y = 79x - 3y = 15然后，将两个方程相加，得到：11x = 22最后，将x = 22/11化简，得到：x = 2将x的值代入其中一个方程，如第一个方程，得到：2(2) + 3y = 74 + 3y = 73y = 3y = 1因此，方程组的解为x = 2，y = 1。
总结：解一元一次方程的方法有直接代入法、移项法和消元法。
选择合适的解法，根据具体的方程进行求解，可以得到方程的解。
掌握这些解法，对于数学学习的进一步发展非常重要。
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法一元一次方程是数学中最基础的一种方程形式，也是初中阶段学习数学的重要内容之一。
它是形如ax+b=0的方程，其中a、b为已知实数，且a≠0。
本文将介绍一元一次方程的概念和解法。
一、概念一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
其中，变量通常用字母表示，如x、y等，系数则表示变量前面的常数，如a、b等。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，在方程中，a称为未知数的系数，b称为常数项。
二、解法解一元一次方程的常用方法有三种：图解法、等式性质法和代入法。
1. 图解法图解法是通过绘制一元一次方程的图像来求解方程的解。
为了方便绘图，我们可以将方程变形为y=ax+b的形式，其中x是自变量，y是因变量。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。
2. 等式性质法等式性质法是利用等式两边平等的性质来求解一元一次方程。
在解题过程中，我们可以通过变换等式的形式，将方程中的未知数移到一边，将常数移到另一边，最终得到未知数的值。
3. 代入法代入法是先令方程中的未知数等于一个已知值，然后求解出已知值对应的未知数的值。
首先，我们可以通过变形将方程转化为x的显式表达式，然后代入一个已知的数值，求解出未知数的值。
三、示例下面通过解一些具体的一元一次方程来进一步说明解法。
例1：解方程2x+5=0等式性质法：2x=-5 （移项）x=-5/2 （除以系数2）例2：解方程3x-1=2x+4等式性质法：3x-2x=4+1 （移项）x=5 （合并同类项）例3：解方程4(x-2)=2x+3等式性质法：4x-8=2x+3 （分配律）4x-2x=3+8 （移项）2x=11x=11/2 （除以系数2）结语一元一次方程是数学学习的基础，掌握解方程的方法对于数学的学习和日常生活都有着重要的意义。
通过图解法、等式性质法和代入法，我们可以解决各种一元一次方程的问题。
在实际应用中，我们可以灵活运用这些方法，解决各种与一元一次方程相关的数学问题。
一元一次解方程初中
一元一次解方程初中
一元一次方程是初中数学中的一个重要概念，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1。
解一元一次方程的基本步骤是：
去分母：如果方程中有分数，首先要去分母，使方程变为整式方程。
去括号：如果方程中有括号，需要去掉括号，将方程展开。
移项：将方程中的同类项合并，使未知数项和常数项分别位于等式的两侧。
合并同类项：将方程中的同类项合并，简化方程。
系数化为1：通过除以未知数的系数，使未知数的系数为1，从而得到未知数的解。
例如，解方程2x + 3 = 5：
去分母：方程已经是整式方程，无需去分母。
去括号：方程中没有括号，无需去括号。
移项：将方程中的同类项合并，得到2x = 5 - 3。
合并同类项：简化方程，得到2x = 2。
系数化为1：将方程两边都除以2，得到x = 1。
所以，方程2x + 3 = 5 的解是x = 1。
以上是一元一次方程的基本解法，通过熟练掌握这些步骤，可以解决各种一元一次方程问题。
(完整版)一元一次方程及其解法
一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3,3(x＋2)＝4－x等都是一元一次方程．解技巧正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，假设方程左、右两边的值相等，那么它是方程的解．如x＝3是方程2x－4＝2的解，而y＝3就不是方程2x－4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】以下各式哪些是一元一次方程( )．11＝1；－1＝2；－5＝1；x2＋2x＋1A．S＝2ab；B.x－y＝0；＝0；D.2 x＋3＝0；＋2.解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C，F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】x ＝－3是以下方程A ．－5(x －1)＝－4(x －2) ()的解．B ．4x ＋2＝11C ．3x ＋5＝5D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的根本性质 (1)等式的根本性质①性质1：等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.②性质2：等式的两边都乘以 (或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为： 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a ＝b(c ≠0)．c c③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a.(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c.(传递性) 如：假设∠1＝60°，∠2＝∠1，那么∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的考前须知(1)应用等式的根本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上 (或减去)同一个数或同一个 整式，才能保证所得结果仍是等式． 这里特别要注意： “同时〞和“同一个〞，否那么就会破坏相等关系．(2)等式的根本性质2 中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以 0，因为0 不能作除数或分母．【例2－1】以下运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的选项是()．5A ．假设4y ＋2＝3y －1，那么y ＝1B ．假设7a ＝5，那么a＝7C ．假设x＝0，那么x ＝2D ．假设x－1＝1，那么x －6＝12 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的根本性质1，等式的两边都减去 3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是 1；C 根据等式的根本性质2，两边都乘以 2，右边应为 0，不是 2；D 根据等式的根本性质 2，左边乘以6，而右边漏乘 6，故不正确；只有B 根据等式的根本性质2，两边都除以7，得5 到a ＝7.答案：B【例2－2】利用等式的根本性质解方程：(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x；(3)x＋1＝6；(4)3－x＝7.分析：利用等式的根本性质求解．先利用等式的根本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的根本性质2将未知数的系数化为 1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.方程的两边同时除以5，得x＝4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.方程的两边同时加上2，得2x＝2.方程的两边同时除以2，得x＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的根本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－ 2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－〞，移到右边后需变成“＋〞，在移动的过程中同时变号，没有移动的项那么不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x－15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变〞：一变性质符号，即“＋〞号变为“－〞号，而“－〞号变为“＋〞号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据考前须知方程左右两边的每一项不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式去分母都乘以各分母的最小公等式的根本性质2倍数的去掉分母后，要加小括号不要漏乘括号内的去括号可由小到大，或由大到分配律；去括号的项；括号前是“－〞小去括号法那么号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项就是将方程中的某移项些项改变符号后，从方等式的根本性质1移项要变号程的一边移到另一边将方程化为ax＝b的最合并同类项的法那么只将系数相加，字母合并同类项及其指数不变简形式方程的左右两边同时除化系数为1以未知数系数或乘以未等式的根本性质2分子、分母不能颠倒知数系数的倒数解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了防止错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】以下各选项中的变形属于移项的是A．由2x＝4，得x＝2B．由7x＋3＝x＋5，得7x＋3＝5＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项()．B中x＋5变成5＋x是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a＝b，那么b＝a〞所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】解方程2－x－5＝x－1 34.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x)－60＝3(x－1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x)－60＝3(x－1)．去括号，得8－4x－60＝3x－3.移项，得－4x－3x＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x＝49.两边同除以－7，得x＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的根底．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x＝a(a是一个数)．复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中假设含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中假设含有小数或百分数，就要根据分数的根本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】解方程－9x－5＝＋－.2－9＋分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的根本性质把－910，变为4x－90＋小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以5，在式子的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得4x－90x－53＋2x5－2＝3.去分母，得6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x)．去括号，得24x－540－15x＋75＝30＋20x.移项，得24x－15x－20x＝540－75＋30.合并同类项，得11x＝495.两边同除以－11，得x ＝－45. 5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)方程的解求字母系数：假设方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，那么得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，那么 k ＝()． 4 4A ．－2B ．3C ．2D ．－ 35解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.35将x ＝－3代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选 C.答案：C【例5－2】假设关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，那么m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤， 去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1，可有些一元一次方程，假设能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，那么不但可以提高解题速度与准确性， 而且还可以使解题过程简捷明快， 下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，假设硬套解题的一般步骤，先去分母那么复杂繁琐，假设根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，那么使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣． 【例6－1】解方程 34 1 1 －4 ＝3x ＋1. x － 443 2 2 3 4 3 3 4 1 1 3分析：注意到4×3＝1，把4乘以中括号的每一项，那么可先去中括号，4×3 2x － 4－4×4＝3x ＋1，再去小括号为 1x － 1－3＝3x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．2 2 4 2解：去括号，得1 1 32x －4－3＝2x ＋1.17移项，合并同类项，得－x ＝ 4.17两边同除以－1，得x ＝－4.【例6－2】解方程x ＋3－x ＋2＝x ＋1－x ＋47 5 6 4.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但此题假设直接去分母，那么两边乘以最小公倍420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5x ＋3－7x ＋22x ＋1－3x ＋4数 35＝12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．5x＋3－7x＋22x＋1－3x＋4.化简，得－2x＋1解：方程两边分别通分，得＝1235＝35－x－10.12去分母，得12(－2x＋1)＝35(－x－10)．去括号，得－24x＋12＝－35x－350.移项、合并同类项，得11x＝－362.362两边同除以11，得x＝－11.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可开掘隐含的条件，列一元一次方程解题，开掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学根底知识．【例7－1】(1)当a＝__________时，式子2a＋1与2－a互为相反数．(2)假设6的倒数等于x＋2，那么x的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a＋1＋(2－a)＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x＋2)＝1，解11得x＝－6.11答案：(1)－3(2)－6【例7－2】x＝－2是方程x－k＋3k＋2－x＝x＋k的解，求k的值．362分析：把x＝－2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出k的值．解：把x＝－2代入原方程，得－2－k3k＋2－(－2)＝－2＋k3＋62.去分母，得2(－2－k)＋3k＋2－(－2)×6＝3(－2＋k)．去括号，得4－2k＋3k＋2＋12＝－6＋3k.移项、合并同类项，得2k＝－16.方程两边同除以－2，得k＝8.课后作业黑体小四【题01】以下变形中，不正确的选项是〔〕A．假设x25x，那么x5．B．假设7x7,那么x1．C．假设x1x，那么10x1x．D．假设xy，那么ax ay．2a a【题02】以下各式不是方程的是〔〕A．y2y 4B．m2nC．p22pq q2D．x0【题03】解为x2的方程是〔〕A．2x40B．5x362C．3(x2)(x3)5x D．x27x5462n23(n4)0是一元一次方程，求n的值．【题04】假设关于x的方程2x【题05】(2m3)x 2．(23m)x1是关于x的一元一次方程，那么m【题06】假设关于x的方程(2 |m|)x2(m 2)x (5 2m) 0是一元一次方程，求m的解．【题07】假设关于x的方程(k2)x k1．5k0是一元一次方程，那么k=【题08】假设关于x的方程(k2)x k15k0是一元一次方程，那么k=．假设关于x 的方程(k2)x24kx5k0是一元一次方程，那么方程的解x=．【题09】(3a8b)x25bx7a0是关于x的一元一次方程，且该方程有惟一解，那么x 〔〕A．21B．214040C．56D．561515【题10】解方程：1(33x) 52【题11】解方程：1 (4y) 3【题12】解方程：x x123(25x)3641(y3)42x233【题13】解方程：2x15x11 36【题14】解方程：1x 10.2x)1x31 (x4)【题15】解方程：35x19【题16】解方程：x 【题17】解方程：x14213【题18】解方程：2[x(x)]x3324【题19】解方程：1[1(1x1)6]20 343。
一元一次方程和它的解法
一元一次方程和它的解法（一）知识要点：1．一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=-。
我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。
例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。
2．解一元一次方程的一般步骤：（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。
（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。
括号前有数字因数时要注意使用分配律。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。
注意移项要变号。
（4）合并同类项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。
（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=。
解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。
（二）例题：例1．解方程(x-5)=3-(x-5)分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并同类项，使运算简便。
解：移项得：(x-5)+(x-5)=3合并同类项得：x-5=3∴ x=8。
例2．解方程2x-=-解：因为方程含有分母，应先去分母。
去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一项都要乘以6）去括号：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则)移项：12x-3x+2x=8-4+3合并同类项：11x=7系数化成1：x=。
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法【知识要点】1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：【典型例题】例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？x+2y=9 x 2－3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ；(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3．解下列简易方程1．5223-=+x x 2．4.7-3x=113．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x例4．解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1．列方程解决实际问题的一般步骤（1）找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系.（2）设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数.（3）列——列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度＝船速－水速2.分析应用题中等量关系的一般方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.（2）线示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.（3）列表法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.（4）图示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系更为直观，更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题，关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力，大多数属于当基本题或中档题，学习中应抓住其核心问题——建模，从等量关系入手，而不是只让学生套题型，套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：等量关系为螺栓数：螺母数＝1︰2.设加工螺栓人数为x，则加工螺栓的总数为18x个，加工螺母总数为24（100－x）个.解：设加工螺栓的人数为x人，依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x （人）.∴加工螺母的人数为 100－x ＝100－40＝60（人） 答：应分配40人去加工螺栓.点评：此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶，底面半径为11cm ，高25cm ，将满桶的水倒入底面长30cm ，宽20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（π取3.14，结果精确到0.1cm ）? 分析：从相等关系入手，即圆柱形容器积＝长方体器容积. 解：设长方体容器的高为x cm ，依题意，有 30×20x ＝25π×112，解方程，得 ≈=24121πx 15.9cm ， 答：长方体容器的高至少需要15.9cm.点评：“等积变换”是中学数学的常用方法，要让学生理解和把握这方法，并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%.（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？ （2）若将题中的135元改成为任何正数a 元，情况如何？ 分析：关键把握等量关系： 进价（1＋盈利率）＝售价，进价（1－亏本率）＝售价.解：（1）设第一件进价为x 元，则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元，则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.（2）仿前一小题方法可得： a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=， a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系，同时理解好一些常用“词”：如：打八折，进价，售价，盈利10%，亏本20%等.拓广：在例3中，将题中的135元改为任何正数a 元，同时又将题中的25%改为m%（0＜m ＜100）情况如何？工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用20小时可注满一池水，乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？分析：利用等量关系，甲管工作量＋乙管工作量＝1，来解题，为了理清工作量的关系，可列表如下：（设两管一起开后x 小时可注满全池）解：设两管一起打开后x 小时可注满全池，依题意，得140208=++xx . 解得 8=x （小时），答：两管一起打开后8小时可注满水池.点评：“列表法”在分析等量关系中，有其特点，但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上，提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路，后31的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在距离丙地44千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？分析：本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3－5－1所示，相等关系是A 车行驶时间＝B 车行驶时间.距丙地44千米处，有两种可能，（1）相遇处在高速公路上距丙地44千米，（2）相遇处在普通公路上，解题时要考虑到这两种情况，再根据实际取舍.解：设甲、乙两地相距x 千米，A 车从甲地到丙地，需要15010032xx=（小时），B 车从乙地到丙地，需要2107031x x=（小时）， ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答：甲、乙两地之间的距离是441千米.点评：“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况，以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元，大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行，年利率为1.98%，免收利息税，小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券，但要交纳20%的利息税，一年后两人得到的收益恰好相等，问两人的压岁钱各是多少？分析：抓住这一问题的等量关系.1.利息（免税的）＝存入钱数×年利率，2.利息（不免税的）＝存入钱数×年利率×（1－税率），3..大宝的收益＝小宝的收益.解：设大宝的工钱为x元，则小宝的工钱为（1000－x）元，由题意，得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x（元），1000－x=490(元).=答：大宝的工钱是510元，小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追及超越卡车，需要花费的时间约是（）A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为（）A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？4.某商品的进货单价为280元，按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为22毫米的正方形，高是15毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？6.一艘船在甲、乙两地之间航行，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知船在静水中航行速度是每小时26千米，求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走，一圈为400米，甲的速度为平均每分钟80米，乙的速度是甲的1.25倍，如果乙在甲的前面100米，多少分钟后两人相遇？8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min，只好以15km/h的速度前进，结果比规定时间早4min到达B地，求A、B 两地的距离？二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件，如果商店销售这些商品时，要获利12%的利润，那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝，第一次用去了它的一半少1m，第二次用去了剩下的一半多1m，结果还剩下10m，这卷铁丝原长多少？3.有大中小三个正方形水池，它们的内池分别为6m、3m、2m，把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m，试求各铁桥的长？5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品，已知该贷的年利率为1.5%（不计复利），每人新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需要几年才能一次性还清？（利润＝销售额－成本－应纳税款）6.某班共40名学生，其中33人数学成绩不低于80分，32人英语成绩不低于80分，且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。
一元一次方程大全
一元一次方程大全一元一次方程是高中数学中最重要的基础，它是最基本的一元函数办法。
一元一次方程能够使用最简单的方式解决各类问题，尤其是线性规划问题。
本文针对一元一次方程进行详细的讨论，对一元一次方程的基本形式、解法攻略以及其在实际应用中的作用进行介绍。
一、一元一次方程的基本形式一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b分别为实数，x 为未知数。
当a不等于零时，一元一次方程有唯一解，当a=0时，其解为无穷多个，称为“绝对值等于零”。
二、一元一次方程的解法攻略1、当a不等于零时，解一元一次方程的关键在于化简，具体步骤如下：（1）“键桥法”将左侧的不等式变成等式，即减去b的两边。
（2）x的系数分离出来，这就需要除以a。
（3）简完毕，求出x的值即可。
2、当a=0时，一元一次方程的解为无穷多个，具体步骤如下：（1）一元一次方程化为：b=0。
（2）得x为任意实数，但b=0，所以x=0。
三、一元一次方程在实际应用中的作用一元一次方程可以用来解决多种实际问题，尤其是线性规划问题。
一元一次方程可以用比较简单的方式来描述实际问题，给出一组有约束条件的等式或不等式，使求解问题求出最优解，从而达到我们的目的。
例如，一元一次方程可以用来求解最小花费的问题。
假设某商店的价格法则为每件商品的价格是统一的，而消费者拥有一定的购买额度，需要用最少的价格购买到最多的商品，这就可以用一元一次方程来求解了，它可以帮助消费者在最少的花费里购买到最多的商品。
四、总结上文主要介绍了一元一次方程的基本形式、解法攻略以及它在实际应用中的作用。
一元一次方程是高中数学中最重要的基础，它能够用最简单的方式解决多种实际问题，尤其是用来求解最小花费的问题。
通过对一元一次方程的认识和理解，将帮助我们解决类似问题，使用它来节省更多的时间和精力。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是指形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数，x 为未知数。
解一元一次方程是求出方程中未知数x的值。
在解这类方程时，可以采用以下几种方法来求解。
1. 逐步代入法：逐步代入法是一种比较简单易懂的解法，适用于简单的一元一次方程。
具体的步骤如下：Step 1: 将方程中的x替换为一个变量（例如使用y）。
Step 2: 使用代入法将方程中的y的值逐步代入，求解y的值。
Step 3: 将求得的y的值代回方程，求解出x的值。
Step 4: 验证求解的结果是否符合原方程。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以使用逐步代入法进行求解：Step 1: 将x替换为y，得到2y + 3 = 7。
Step 2: 将y的值代入，得到2 * 2 + 3 = 7，即4 + 3 = 7。
Step 3: 求解出y的值，得到y = 2。
Step 4: 将y的值代回原方程，得到2x + 3 = 7，将y替换为2得到2x + 3 = 7。
继续求解，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。
最终求解出x的值，得到x = 2。
2. 相等原则法：相等原则法是一种常用的解法，适用于各种形式的一元一次方程。
具体的步骤如下：Step 1: 将方程中的等号左右两边的式子进行化简。
Step 2: 将化简后的等式右侧的常数项移到左侧，同时移变量项到右侧，得到标准形式方程。
Step 3: 根据相等原则，使等式两侧的值相等，同时进行运算得到未知数的值。
Step 4: 验证求解的结果是否符合原方程。
例如，对于方程5x - 2 = 13，可以使用相等原则法进行求解：Step 1: 化简方程，得到5x = 15。
Step 2: 将常数项移到左侧，移动变量项到右侧，得到5x - 15 = 0。
Step 3: 根据相等原则，等式两侧的值相等，进行运算得到x的值，即5 * x = 15，解得x = 3。
Step 4: 验证结果，将x代入原方程，得到5 * 3 - 2 = 13，验证结果符合原方程。
一元一次方程及其解的概念
对于一元一次方程组的求解，可以利用消元法或代入法等方法进行求解。在求解过 程中，要注意保持等式的等价性，避免引入额外的解或丢失原有的解。
04 图形化表示与直观理解
数轴上表示一元一次方程解
问题等。
尝试构造一些一元一次方程， 并求解。
探究一元一次方程与不等式、 函数等数学知识之间的联系。
了解二元一次方程组在实际生 活中的应用，并尝试求解一些
简单的二元一次方程组。
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引入参数进行代换
对于某些复杂的分数形式问题，可以引入参数进行代换，将问题转 化为更易于求解的形式。
复杂表达式简化技巧
合并同类项
对于方程中的同类项进行合并，使方程的形式更 加简洁。
移项与变形
通过移项和变形技巧，将方程转化为标准形式或 更易于求解的形式。
利用公式进行化简
对于一些特殊的表达式，如平方差公式、完全平 方公式等，可以利用这些公式进行化简。
合并同类项的定义
合并同类项的应用场景
将方程中具有相同未知数的项进行合 并，以简化方程的形式。
在解一元一次方程时，通过合并同类 项可以快速简化方程，提高求解效率。
合并同类项的方法
识别方程中的同类项，将它们的系数 进行加减运算，得到一个更简单的方 程。
系数化为1求解技巧分享
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系数化为1的定义
通过对方程两边进行相同的运算，使得未知数的 系数为1，从而直接求出未知数的值。
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值。
移项法则
将等式一边的某项变号后移到另一边。
一元一次方程及其解法
一元一次方程是一个只有一个未知数的一次方程，解方程是数学中常见的问 题之一，有多种解法可以选择。
什么是一元一次方程？
一元一次方程是一个只有一个未知数的一次方程，例如ax + b = c。
方程的一般形式是什么样的？
一元一次方程的一般形式是ax + b = c，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
矩阵法步骤详解
1. 将方程组转化为矩阵形式；2. 对矩阵进行初等行变换；3. 化简矩阵为阶梯 形式；4. 反推得出未知数的值。
如何判断一个一元一次方程组 有唯一解、无解或无穷解？
通过对矩阵化简后的形式判断，当方程个数大于未知数个数时，方程组无解； 当方程个数与未知数个数相同时，方程组有唯一解；当方程个数小于未知数 个数时，方程组有无穷解。
将一个未知数的值代入方程中，求解其他 未知数的值。
将方程表示为在坐标系中的一条直线，通 过图形交点求解。
总结一下这五种解法的优缺点
解法一：等式两边同 时加减同一个数量
优点：简单直观。缺点： 只能进行简单的计算。
解法二：移项
优点：更灵活。缺点：需 要进行多次移项操作。
解法三：消元
优点：适用于多个未知数 的方程组。缺点：计算较 繁琐。
解法一：联立消元法
通过联立多个方程，采取消元操作，将方程组化简为一个只有一个未知数的方程。
解法二：代入法
将其中一个方程表示为另一个方程的函数，并将其代入其他方程进行求解。
如何判断一个一元一次方程组 有无解？
如果方程组中的每个方程都有解，并且方程的解满足所有方程，那么方程组 有唯一解。否则，方程组无解或无穷解。
如何解一元一ห้องสมุดไป่ตู้方程？
1 解法一：等式两边
3.1一元一次方程及其解法(1)
3.1一元一次方程及其解法（1）
教材分析
本节课是小学与初中知识的衔接点，学生在小学已经初步接触过方程，了解了什么是方程，什么是方程的解，并学会了用等式性质解一些简单的方程。
本节课在描述一元一次方程的概念后，继续学习用等式基本性质解一元一次方程，从而引出用移项法则解一元一次方程，为学生进一步学习一元一次方程的解法和应用起到铺垫作用。
教学目标
（一）知识教学点
1．由实际问题得到的方程抽象出一元一次方程的概念。
2. 理解等式基本性质，并利用等式基本性质解一元一次方程，并学会检验。
3. 理解移项法则，会用移项法则解一元一次方程。
（二）能力训练点
1.通过对多种实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义.
2.由移项变形方法的教学，培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力．（三）德育渗透点
增强学生用数学的意识，激发学生学数学的热情。
（四）美育渗透点
用移项法解方程明显比用等式性质方法解方程方便，体现了数学的方法美．
教学重点：利用移项法则解一元一次方程
教学难点：移项法则的理解和运用
教学方法：采用引导发现法发现法则，课堂训练体现学生的主体地位，引进竞争机制，调动课堂气氛。
教学准备：多媒体辅助
教学流程：
1.用猜谜引出学生身边的问题，从而引出一元一次方程的概念。
2.复习等式的基本性质。
3.利用等式基本性质解一元一次方程，同时给出检验的过程。
4.通过学生的观察、交流、归纳得到移项法则。
5.用移项法则解一元一次方程。
教学过程：
教学反思：。
(完整版)一元一次方程及其解法
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根． ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解． (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝12ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.12x ＋3＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G .2x 2＋2x ＋1＝0；H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解． A ．－5(x －1)＝－4(x －2) B ．4x ＋2＝1C ．13x ＋5＝5 D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)．③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性) 如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°. (2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换． 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若x 2＝0，则x ＝2D ．若x 6－1＝1，则x －6＝1解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝57.答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20. 方程的两边同时除以5，得x ＝4. (2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0. 方程的两边同时加上2，得2x ＝2. 方程的两边同时除以2，得x ＝1. (3)方程两边都同时减去1， 得x ＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.∴x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x －15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax＝b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )． A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程2－x 3－5＝x －14.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12， 得4(2－x )－60＝3(x －1)． 去括号，得8－4x －60＝3x －3. 移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60. 合并同类项，得－7x ＝49. 两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程0.4x －90.5－x －52＝0.03＋0.02x0.03.分析：由于0.4x －90.5和0.03＋0.02x 0.03的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子0.4x －90.5的分子、分母中都乘以10，变为4x －905，在式子0.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得 4x －905－x －52＝3＋2x3.去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )． 去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x . 移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30. 合并同类项，得 －11x ＝495. 两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．43C ．2D ．－43解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－53.将x ＝－53代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C. 答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________. 解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8. 答案：86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x －14－4＝32x ＋1. 分析：注意到34×43＝1，把34乘以中括号的每一项，则可先去中括号，34×43⎝⎛⎭⎫12x －14－34×4＝32x ＋1，再去小括号为12x －14－3＝32x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了． 解：去括号，得12x －14－3＝32x ＋1.移项，合并同类项，得－x ＝174.两边同除以－1，得x ＝－174.【例6－2】 解方程x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012. 去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)． 去括号，得－24x ＋12＝－35x －350. 移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－36211.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数． (2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－116.答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程x －k 3＋3k ＋26－x ＝x ＋k2的解，求k 的值．分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得 －2－k 3＋3k ＋26－(－2)＝－2＋k2. 去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )． 去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k . 移项、合并同类项，得 －2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.【题01】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=． D ．若x ya a=，则ax ay =． 【题02】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题03】解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=B ．5362x +=C ．3(2)(3)5x x x ---=D ．275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = ．【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ） A ．2140- B ．2140C ．5615-D ．5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程：122233x xx-+ -=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20343x --+=。
一元一次方程和它的解法 ppt课件1
12 x 5a 2
四、小结：
①解一元一次方程就是将待解方程化归为简易方程
ax b(a 0)
的形式；
②学会解含有字母系数的方程，以及与一元一次 方程相关的类型的题。
五、作业：
1、解方程：
2 x 1 10 x 1 1 ① 3 6
② 32 x 1 32 x 1 3 5
4(2 x 1) (10x 1) 3(2 x 1) 12 12
去括号，得： 8 x 4 10 x 1 6 x 3 1
12 8 x 4 10 x 1 6 x 3 1 移项，得：8 x 10 x 6 x 3 1 4 1 12 4 1 8 x 10 x 6 x 3 1 合并同类项，得： 8 x 1 8x 1 -10
k 1 > 0 且 k 1 必为6的约数
即： k 1 1或 2 或 3 或 6
k 2
或 3或
4
或
7
三、练习题
1、当 x
9
2 1 时， x 3 与 互为倒数。 3 2
2、已知 x
1 是方程 mx 1 Βιβλιοθήκη 2 m 的解，求 m 的值。 2
m 6
ax x 1 2 1 ( a ) 3、解关于 x 的方程：2 5 5
1, 2m ，此时无论 x 取什么值，左右两 则 0 x = 7– 边都不等，故无解。
例4、若方程
A、1
kx x 6(k 1) 有正整数解，则整数 k 的取值
有（ D ）个 B、2 C、3 D、4
分析：
(k 1) x 6 6 x k 1
要使
一元一次方程及其解法(最新整理)
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G.2x 2＋2x ＋1＝0；1212x ＋3H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解．A ．－5(x －1)＝－4(x －2)B ．4x ＋2＝1C ．x ＋5＝5D ．－3x －1＝013解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式．用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，＝(c ≠0)．a c bc③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性)如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性)如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若＝0，则x ＝2D ．若－1＝1，则x －6＝1x 2x 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝.57答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20.方程的两边同时除以5，得x ＝4.(2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0.方程的两边同时加上2，得2x ＝2.方程的两边同时除以2，得x ＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x ＋1－1＝6－1，∴x ＝6－1.∴x ＝5.(4)方程两边都加上x ，得3－x ＋x ＝7＋x ,3＝7＋x ，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x －7，∴－4＝x ，即x ＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x ＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x ＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x ＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x ＝1－3，是属于移项；而把5x －15x ＋11x ＝11变成5x ＋11x －15x ＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区 移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1移项要变号合并同类项将方程化为ax ＝b 的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2分子、分母不能颠倒解技巧 巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )．A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程－5＝.2－x 3x －14分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x )－60＝3(x －1)．去括号，得8－4x －60＝3x －3.移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x ＝49.两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程－＝.0.4x －90.5x －520.03＋0.02x0.03分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把0.4x －90.50.03＋0.02x0.03小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以10，变为，在式子0.4x －90.54x －9050.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．3＋2x3解：分母整数化，得－＝.4x －905x －523＋2x3去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )．去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x .移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30.合并同类项，得－11x ＝495.两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．C ．2D ．－4343解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.53将x ＝－代入方程3x ＋3k ＝1，53得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C.答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程＝x ＋1.34[43(12x －14)－4]32分析：注意到×＝1，把乘以中括号的每一项，则可先去中括号，×－×43443343443(12x －14)34＝x ＋1，再去小括号为x －－3＝x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．32121432解：去括号，得x －－3＝x ＋1.121432移项，合并同类项，得－x ＝.174两边同除以－1，得x ＝－.174【例6－2】 解方程－＝－.x ＋37x ＋25x ＋16x ＋44分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，＝，5(x ＋3)－7(x ＋2)352(x ＋1)－3(x ＋4)12把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得＝.化简，得＝5(x ＋3)－7(x ＋2)352(x ＋1)－3(x ＋4)12－2x ＋135.－x －1012去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)．去括号，得－24x ＋12＝－35x －350.移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－.362117．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数．(2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－.116答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程＋－x ＝的解，求k 的值．x －k 33k ＋26x ＋k2分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得＋－(－2)＝.－2－k 33k ＋26－2＋k2去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )．去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k .移项、合并同类项，得－2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.课后作业【题01】下列变形中，不正确的是（ ）A ．若，则．B ．若则．25x x =5x =77,x -=1x =-C ．若，则．D ．若，则．10.2x x -=1012x x -=x ya a=ax ay =【题02】下列各式不是方程的是（ ）A ．B ．24y y -=2m n =C ．D ．222p pq q -+0x =【题03】解为的方程是（ ）2x =-A ．B ．240x -=5362x +=C ．D ．3(2)(3)5x x x---=275462x x --=-【题04】若关于的方程是一元一次方程，求的值．x 223(4)0n x n -+-=n 【题05】已知是关于的一元一次方程，则 ．2(23)(23)1m x m x ---=x m =【题06】若关于的方程是一元一次方程，求的解．x 2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=m 【题07】若关于的方程是一元一次方程，则= ．x 1(2)50k k xk --+=k 【题08】若关于的方程是一元一次方程，则= ．若关于的x 1(2)50k k x k --+=k x 方程是一元一次方程，则方程的解= ．2(2)450k x kx k ++-=x【题09】是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则2(38)570a b x bx a ++-=x x =（ ）A ．B ．2140-2140C ．D ．5615-5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11(4)(3)34y y -=+【题12】解方程：122233x x x -+-=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20 343x--+=。
一元一次方程和它的解法【最新4篇】
一元一次方程和它的解法【最新4篇】元一次方程和它的解法篇一教学目的1、使学生明白以公式中的一个字母为未知数，其他字母为已知数，求这个未知数的问题要转化为求以这个字母为未知数的一元一次方程的解。
教学分析重点：求一个公式中的某一个字母的值。
难点：求一个公式中的某一个字母的值。
突破：把所给的公式看成是关于所求字母的一元一次方程。
教学过程一、复习1、x取什么值时，代数式x－（2+ x）－（－）的值等于1.依题意得：x－（2+ x）－（－）=1，逐步解出x的值。
2、已知梯形的下底a=2.8cm，上底b=0.8cm，高h=1.5cm，利用梯形面积公式求这个梯形的面积S。
(解略)二、新授1、导课公式是两个代数式用等号连接的式子，上面的2，是在已知等号的右边的字母的值的条件下，通过求代数式的值求得面积S。
如果知道了S及a，h的值，能否求出b的值呢？引导学生根据方程的意义，说出求b方法。
2、例题讲解。
例1（课本P203例8）在梯形的面积公式S= (a+b)h中，已S=120,b=18,h=8,求a。
分析：把S=120,b=18,h=8代入公式中，就得到了以a为未知数的方程，解这个一元一次方程即可求出a值。
解：（解略，见教材）小结：在一般情况下，公式中的几个字母中，会给出几个字母的值，只有某一个不知道，这时把已经知道的字母的值代进去，即可得到一个一元一次方程，解此方程就能求出那个未知的字母的值了。
三、练习P204练习：2.四、小结1、见上面的小结。
五、作业1、P208 A：18，19.2、基础训练同步练习8.元一次方程和它的解法篇二教学目的：掌握移项法则，并能利用移项法则准确迅速地解一元一次方程教学重点：移项法则教学难点：通过引例归纳移项法则教学过程：一、复习提问1、什么叫等式的性质？2、什么叫方程？二、新课：导语：从这节课开始学习和研究，在没有具体学习之前，我们先来通过简单的例子引入一种重要的变形，请同学们先看下面的例子：解方程①x－7=5②7x=6x－4学生叙述，教师板书：解：①x－7=5 ②7x=6x－4x－7+7=5+7 7x－6x =6x－6x－4x=5+7 7x－6x =－4x=12 x=－4导语：刚才我们在解方程过程中，有两组重要的等式：它们是（教师出示小黑板上的两组等式）x－7=5 ① 7x =6x –4 ③x=5+7 ② 7x－6x =－4 ④下面我们来分析和研究这两组等式，先请同学们观察第一组等式，思考下面的问题：⑴由等式①变形到等式②的根据是什么？⑴由等式①变形到等式②哪几项的位置明显没有变化？哪一项的位置发生了变化？已知项－7变化前在方程的哪一边？变化后在方程的哪一边？⑴请同学们再仔细观察一下这组等式？已知项－7除去位置发生了变化外，还有没有其它变化？是怎样变化的？教师小结：由上面的分析和研究可以看出，已知项－7不仅位置发生了变化，而且符号也发生了变化。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程是高中数学中的基础内容，不仅在数学学科中有广泛的应用，也在生活中有着实际的意义。
本文将介绍一元一次方程的解法及其应用。
一、一元一次方程的定义一元一次方程也可称为一次方程，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知实数，a≠0，x为未知数。
一元一次方程的解即为使该方程成立的实数x的值。
二、解一元一次方程常用的方法有两种：等式法和变量法。
1. 等式法等式法是通过变形，将方程两边的式子化为相等的形式，从而得到方程的解。
步骤如下：（1）将方程化为形如ax = b的形式，即将方程中的常数项移到方程的右侧。
（2）将方程两边同乘（或除以）相同的数（非零数），使方程的系数为1。
（3）得到方程的解。
示例：求解方程3x + 5 = 14。
解：将方程中的常数项移到方程的右侧，得到3x = 14 - 5，即3x = 9。
将方程两边同除以3，得到x = 3。
所以方程的解为x = 3。
2. 变量法变量法是通过引入一个新的变量，使得方程转化为等价的两个方程，从而得到方程的解。
步骤如下：（1）引入一个新的变量，用于表示方程中的未知数。
（2）通过变量的代入，得到方程的另一个等价形式。
（3）解得新方程的解，并通过代入求得原方程的解。
示例：求解方程2x + 3 = x + 7。
解：引入新变量y，将方程转化为2x + 3 = y + 7。
通过变量的代入，得到x = y - 4。
将x = y - 4代入原方程，得到2(y - 4) + 3 = y + 7，化简得到y = -3。
再将y = -3代入x = y - 4，得到x = -3 - 4，即x = -7。
所以方程的解为x = -7。
三、一元一次方程的应用1. 问题解决一元一次方程在问题解决中有广泛应用。
例如，解一元一次方程可以用于计算购买商品的总价、求解行程的时间等。
示例：某商场举办特价销售活动，一件原价为180元的商品打7折出售，求购买该商品的价格。
3.2.1 一元一次方程的解法(一)合并同类项(分层作业)【解析版】
3.2.1 一元一次方程的解法（一）合并同类项 分层作业1．对于方程8x ＋6x －10x ＝8，合并同类项正确的是( )A ．3x ＝8B ．4x ＝8C －4x ＝8D ．2x ＝8【答案】B.【分析】根据合并同类项法则，即可判断【详解】8x ＋6x －10x ＝8合并同类项，得 4x=8故选B.【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键.2.下列方程中可直接用合并同类项解的是（ ）A. 0.562B. 32111C. 5237 D. 724x x x x x x y y y +=--=++=+=+【答案】B.【分析】根据合并同类项解一元一次方程的特征，即可判断【详解】略【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键.3．下列解为x ＝4的方程是( )A ．7x －3x ＝－4B ．x ＋x ＝5＋3C ．x ＝－1＋3D ．－2x ＝8【答案】B.【分析】根据合并同类项法则，求出解，即可判断【详解】A ．7x －3x ＝－4 合并同类项，得4x=-4，系数化为1，得 x=-1B ．x ＋x ＝5＋3 合并同类项，得2x=8，系数化为1，得 x=4C ．x ＝－1＋3 合并同类项，得x=2D ．－2x ＝8 系数化为1，得 x=-4故选B.【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项和系数化为1是解题的关键.4.方程353122x x --=-的解为（ ）A.x=-3 B.x=―13 C.x=3 D.x=13【答案】A.【分析】根据合并同类项法则，求出解，即可判断【详解】353122--=-x x 合并同类项，得―92x=32.系数化为1，得 x=-3.故选A.【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项和系数化为1是解题的关键.5．下列解方程的过程中，正确的是( )A ．－2m ＋3m ＝4，得－5m ＝4B ．4y －2y ＋y ＝4，得(4－2)y ＝4C ．－12x ＝0，得x ＝0D ．2x ＝－3，得x ＝－23【答案】C.【分析】根据合并同类项法则和系数化为1，求出解，即可判断【详解】A ．－2m ＋3m ＝4，得－m ＝4B ．4y －2y ＋y ＝4，得(4－2+1)y ＝4,3y=4C ．－12x ＝0，得x ＝0D．2x＝－3，得x＝－32故选C.【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项和系数化为1是解题的关键.6.下列各方程合并同类项不正确的是（）A.由3x-2x=4合并同类项，得x=4B.由2x-3x=3合并同类项，得-x=3C.由5x-2x+3x=12合并同类项，得x=-2D.由7252x x-+=合并同类项，得352x-=【答案】C.【分析】根据合并同类项法则，求出解，即可判断【详解】A.由3x-2x=4合并同类项，得x=4 ，正确；B.由2x-3x=3合并同类项，得-x=3，正确；C.由5x-2x+3x=12合并同类项，得x=-2，合并后应为6x=12，解得x=2,错误；D.由7252x x-+=合并同类项，得352x-=，正确.故选C【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项和系数化为1是解题的关键.7. 挖一条长为1200米的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖150米，乙队每天挖90米，需要几天才能挖好？设需要x天才能挖好，则列出的方程为( )A．150x＋90x＝1200 B．150＋90x＝1200 C．150x＋90＝1200 D．150x－90x＝1200【答案】A.【分析】根据题意，找等量关系，设未知数，列方程.【详解】解设需要x天才能挖好.由题意得，150x＋90x＝1200故选A8.解方程8x－3x＝10，合并同类项得__________，解得x＝_____；若3a－1与1－2a互为相反数，则a＝_____.【答案】5x=10;2;0.【分析】根据合并同类项法则，求出解.【详解】8x －3x ＝10，合并同类项,得5x=10系数化为1，得x ＝2.因为若3a －1与1－2a 互为相反数，∴3a－1+1－2a=0合并同类项,得a=0【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项和系数化为1是解题的关键.9．某数的5倍比这个数的8倍少12，则这个数是_________.【答案】4.【分析】列出方程，根据合并同类项法则，求出解.【详解】8x －5x ＝12，合并同类项,得3x=12系数化为1，得x=4.【点睛】本题主要考查了利用合并同类项的方法解一元一次方程，熟练掌握合并同类项和系数化为1是解题的关键.10.若关于x 的方程231mx m +=-与363x x +=-的解相同，则m 的值为 .【答案】37-【分析】同解方程，根据合并同类项法则，求出363+=-x x 的解.再把解代入到231+=-mx m 中，求出m 的值.【详解】363+=-x x 合并同类项,得9x=-3系数化为1，得x=-13.把x=-13代入231+=-mx m 中，得-23m+3m=-1解得m=-3711.某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量是去年的2倍，则前年这个学校购买了 台计算机；【答案】20【分析】根据题意，找等量关系，设未知数，列方程，利用合并同类项的方法解方程，即可求解.【详解】解设前年购买x 台计算机，则去年购买2x 台，今年购买4x 台。
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5．一元一次方程和它的解法（一）
教材：人教版九年义务教育三年制初级中学代数第一册（上）第190-192页。
教学目标：
1．知识目标：使全体学生初步掌握移项法则，并会用这一法则解简单的一元一次方程；使大部分学生掌握移项法则，并在一道题中多次运用这一法则解简单的一元一次方程。
2．能力目标：培养学生的运算能力
3．思想目标：渗透事物之间互相联系、互相转化的辩证观点和代数解法中化未知为已知的数学思想。
教学重点：移项法则及其运用。
教学难点：
移项的同学要变号。
教学内容及过程：
教学设计简要说明
一、复习提问，导入新课
通过提问设置问题情境，引起学生注意，激发学生的学习兴趣和学习热情。
为研究新知
识做好铺垫，并为新知识提供理论依据。
其具体做法是：通过方程x-7=5引导学生得出两种解方程的方法，一种是算术解法，一种是代数解法。
其中代数解法是应用了等式的基本性质，并由此入手，分析并归纳出多移项法则。
二、知识形成阶段
从复习提问出发，总结两种解法，并通过微机直观显示出两个变化，同时引导学生发现
式子x-7=5变形为x=5+7，-7从方程的左边移到右边，并且在移动的过程中-7变为+7；然后设计出一系列的问题，采取讨论的方式由学生归纳出移项法则，这样由感性认识上升到理性认识，符合学生的认知水平和认知规律。
运用移项法则解方程的步骤是引导学生分析归纳总结出的，这体现了素质教育是主动发展的教育。
三、多样化、多层次的习题
教学设计的过程中，针对初一年级的不同学生在认知水平和能力上的差异，采取不同的
目标要求和不同的训练方式，设置了形成性练习，巩固性练习及思考题。
通过多样化、多层次的习题的练习使学生巩固并运用新知识。
四、提问式总结
通过教师精心设计，提出问题，学生归纳本节课知识，使学生真正掌握本节知识。