A3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案)
高中数学优质学案 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一两角和的余弦公式记忆口决:“余余正正,符号相反”.知识点二两角和与差的正弦公式记忆口诀:“正余余正,符号相同”.1.不存在角α,β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β.( × ) 提示 如α=β=0,cos(α+β)=cos 0=1,cos αcos β+sin αsin β=1. 2.任意角α,β,都有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.( √ ) 提示 由两角和的正弦公式知结论正确.3.存在角α,β,使sin(α-β)≠sin αcos β-cos αsin β.( × )提示 由两角差的正弦公式知不存在角α,β,使sin(α-β)≠sin αcos β-cos αsin β. 4.存在角α,β,使sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β.( √ ) 提示 如α=β=0时,sin(α+β)=0,sin αcos β-cos αsin β=0.题型一 给角求值例1 (1)已知角α的终边经过点(-3,4),则sin ⎝⎛⎭⎫α+π4的值为( ) A.25 B .-25 C.210 D .-210[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] C[解析] 因为角α的终边经过点(-3,4), 则sin α=45,cos α=-35,所以sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=sin αcos π4+cos αsin π4=45×22-35×22=210. (2)计算:sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°.[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式化简求值 解 原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°) =sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° =sin(14°+16°)=sin 30°=12.反思感悟 解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子,分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式. 跟踪训练1 (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( ) A .-32 B.32 C .-12 D.12[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式化简求值 [答案] D[解析] 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=12.(2)若已知角α的终边经过点(-5,12),则cos ⎝⎛⎭⎫α+π6= . [考点] 两角和的余弦公式 [题点] 两角和的余弦公式 [答案] -53+1226[解析] 因为cos α=-513,sin α=1213,所以cos ⎝⎛⎭⎫α+π6=cos αcos π6-sin αsin π6 =-513×32-1213×12=-53+1226.题型二 给值求值例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4+α=513,cos ⎝⎛⎭⎫π4-β=35,且0<α<π4<β<3π4,求cos(α+β). [考点] 两角和的余弦公式[题点] 两角和的余弦公式 解 ∵0<α<π4<β<3π4,∴3π4<3π4+α<π,-π2<π4-β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4+α=513,cos ⎝⎛⎭⎫π4-β=35, ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4+α=-1213,sin ⎝⎛⎭⎫π4-β=-45. ∴cos(α+β)=sin ⎣⎡⎦⎤π2+(α+β)=sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4+α-⎝⎛⎭⎫π4-β =sin ⎝⎛⎭⎫3π4+αcos ⎝⎛⎭⎫π4-β-cos ⎝⎛⎭⎫3π4+αsin ⎝⎛⎭⎫π4-β =513×35-⎝⎛⎭⎫-1213×⎝⎛⎭⎫-45=-3365. 反思感悟 (1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的范围加以讨论,以免产生增解或漏解.跟踪训练2 (2018·黑龙江哈尔滨第六中学高二期中)在△ABC 中,sin A =35,cos B =513,则cos C 等于( ) A.1665或5665 B .-1665或-5665C .-1665D.1665[考点] 两角和的余弦公式 [题点] 两角和的余弦公式 [答案] D[解析] 依题意得sin B =1213,sin B >sin A ,∴B >A ,∴A 为锐角.又∵sin A =35,∴cos A =45.∴cos C =cos [π-(A +B )]=-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B =-45×513+35×1213=1665,故选D.两角和与差的正弦公式应用典例 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ a b c d =ad -bc .若cos α=17,⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β=3314,0<β<α<π2,则β= .[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用 [答案] π3[解析] 由题意,得sin αcos β-cos αsin β=3314,∴sin(α-β)=3314.∵0<β<α<π2,∴cos(α-β)=1-27196 =1314. 又由cos α=17,得sin α=437.∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =17×1314+437×3314=12,∴β=π3.[素养评析] (1)题中定义了一种新运算法则,解题时要先理解法则然后运算求解. (2)理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,体现了数学运算的核心素养.1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值为( ) A .-32 B .-12 C.12 D.32[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] B[解析] 原式=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°=sin(-30°)=-sin 30°=-12.2.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,若sin α=35,则2sin ⎝⎛⎭⎫α+π4等于( ) A.725 B.15 C.25 D .2[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] A[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,α是第一象限内的角,根据sin 2α+cos 2α=1,其中sin α>0,cos α>0,可得cos α=45,又根据两角和的正弦公式得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=sin αcos π4+sin π4cos α=22sin α+22cos α=22×35+22×45=7210, 所以2sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=725. 3.sinπ12-3cos π12= . [考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案] - 2[解析] 原式=2⎝⎛⎭⎫12sin π12-32cos π12=2⎝⎛⎭⎫cos π3sin π12-sin π3cos π12 =2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π3-cos π12sin π3 =2sin ⎝⎛⎭⎫π12-π3=2sin ⎝⎛⎭⎫-π4=- 2. 4.已知sin α=-35,α是第四象限角,则sin ⎝⎛⎭⎫π4-α= . [考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求值 [答案]72105.已知cos α=55,sin(α-β)=1010,且α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2.求: (1)cos(2α-β)的值; (2)β的值.[考点] 两角和与差的正弦公式 [题点] 利用两角和与差的正弦公式求角 解 (1)因为α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2, 所以α-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,又sin(α-β)=1010>0, 所以0<α-β<π2,由题意得,sin α=1-cos 2α=255,cos(α-β)=1-sin 2(α-β)=31010, cos(2α-β)=cos [α+(α-β)]=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β) =55×31010-255×1010=210. (2)cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =55×31010+255×1010=22, 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以β=π4.1.公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系C (α-β)――――→以-β代换βC (α+β)―――→诱导公式S (α+β)――――→以-β代换βS (α-β). (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α-β),C (α+β)可记为“同名相乘,符号反”; 对于公式S (α-β),S (α+β)可记为“异名相乘,符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方,特别是公式C (α-β),C (α+β),S (α-β),且公式sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,角α,β的“地位”不同也要特别注意. 2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,其中特别要注意的是“1”的代换,如1=sin 2α+cos 2α,1=sin 90°,12=cos 60°,32=sin 60°等,再如:0,12,22,32等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数.。
人教版高中数学必修四教案:3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时,是在学习了差角的余弦公式的基础上,进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容,也是三角恒等变换的基础,对三角函数式的化简,求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用,同时,它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用,难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程,揭示了公式间的联系,加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性,又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成,首先在两角差的余弦公式的基础上,引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并掌握公式的结构和变形形式.然后,通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点:两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程,公式结构及应用.难点:两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点:两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点:能以两角差的余弦公式为基础,结合诱导公式与同角三角函数关系式,推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点:经历公式的探究过程,注重知识间的联系,培养学生的探索精神,提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点:以两角差的余弦公式为基础,探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点:灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点:使用公式时,学生容易在分析角的范围上出错.拓展点:如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师:同学们,上节课我们学习了差角的余弦公式,请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生:()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积,符号反师:由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题,因而在应用中有很大的局限性,遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时,公式()cos αβ-就不能直接应用了,因此,我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广,希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发,让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义,是对旧知的扩展,进而引出本节课题,自然流畅.二、探究新知探究一:探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题:由公式()C αβ-出发,如何推导公式:()cos ?αβ+=【师生活动】师:引导学生从两个方面展开联想:①函数名称的联系;②角的联系,αβ+与αβ-之间的联系.重点指出,要想利用差角的公式得到和角的公式,如果从形式上能将和角变成差角的形式,那就近了一步.生:自主思考,一般得出:①将αβ+转化为()αβ--;②在公式()cos αβ-中,以β-代β. 师生:利用换元的思想推导出()C αβ+,并进一步理解公式间的联系,共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+:()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积,符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程,加深理解公式间的联系,有利于公式的记忆,培养学生换元的数学思想.探究二:探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题:在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上,怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师:我们的目标是求两角和与差的正弦公式,而我们已经知道了相应的余弦公式,那么,一个自然的想法是什么?就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦?生:自主探究,从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系,将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+:()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积,符号同以β-代β得()S αβ-:()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积,符号同师生:共同整理推导过程,让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦,体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性,并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知,探究新知,既巩固已学知识,又加深理解公式间的联系,同时有利于公式的记忆,培养学生转化与化归的数学思想.探究三:探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题:怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢?【师生活动】师:由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式?以和角为例,请自主探究.生:自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究,教师可作个别指导.但是,多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师:上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切,那么,通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢?引导学生观察思考,当cos cos 0αβ≠时,分式的分子、分母同时除以cos cos αβ,得出和角的正切公式()T αβ+:()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师:进一步提出引申思考的问题:在上述公式的推导过程中,角,αβ有什么条件要求吗?除此之外,公式本身还有什么限制吗?生:自主思考,可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生:指明公式成立的条件,使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导,自主得出差角公式,并与和角公式比较,分析结构,帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-:()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程,变老师教为学生学,突出学习的主体地位,有利于理解和掌握新知,训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师:依据以上公式的推导过程,请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系?【师生活动】生:自主分析,找出公式间的逻辑关系.师生:在学生自主探究的基础上,师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系,并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识,完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系,巩固对公式的理解与掌握,为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点:()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积,符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积,符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意:,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式,为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角,求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析:利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=,求cos α,进而求tan α,再代入公式求值即可. 解:由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===, 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样,那么,对于任意角α,此等式成立吗?我们能否用第一章的知识证明?变式:如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉,结果怎样表述呢?【设计意图】训练学生的解题能力,发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求,培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习:(1)已知35sin ,cos 513αβ==-,且α为第一象限角,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.(2)已知,αβ均为锐角,且4cos 5α=,1tan()3αβ-=,求cos β的值. 答案:(1)3365,6365-; (2. 例2.利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o;(2)cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ; (3)1tan151tan15+-oo. 分析:本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征,再联想具有此特征的有关公式,经过适当变形,再顺用或逆用公式解决.解:(1)由公式()S αβ-,得:()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ; (2)由公式()C αβ+,得:()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ;(3)由公式()T αβ+及tan 451=o,得:()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o . 巩固练习:(1)cos 44sin14sin 44cos14-o o o o;(2)sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ;(3答案:(1)12-. (2)1. (3)1-. 例3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,3sin()5αβ+=-,12sin()413πβ-=,求sin()4πα+的值. 分析:注意到已知角与待求角之间的关系:()()44ππααββ+=+--,从而把待求角转化为已知角的差的形式,再利用差角的正弦公式求解. 解:3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q , 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q , 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q , 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习:(1)已知sin α=,sin()αβ-=,,αβ均为锐角,求sin β的值.答案:2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中,突破重点、难点,体会公式的灵活应用,从而巩固新知,提高能力.五、课堂小结教师提问:本节课我们学习了哪些知识?主要涉及到哪些数学思想方法?1.知识:①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2.思想:转化与化归思想,特殊与一般思想,分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容,发挥学生学习的主体性,帮助学生记忆公式,梳理知识,培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131;2.书面作业:必做题:P137 习题3.1 A 组7,8,9,10.选做题:(1)已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,3(,)44ππα∈,(0,)4πβ∈,求()sin αβ+的值.(2)已知sin α=,sin()αβ-=,αβ均为锐角,求αβ+的值.3.课外思考:化简:(1)1cos 2x x ;(2)sin cos x x -;(3x x ; (4)sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2,是引导学生先复习,准确掌握6个公式后,再做作业.书面作业的布置,是为了训练学生使用差角、和角公式,解决简单的数学问题,在公式的应用中,加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点:从学生熟悉的两角差的余弦公式出发,以旧引新,符合学生的认知规律,加强知识间的联系,结构自然顺畅.例题与习题设计恰当,突出本节课的三个知识点(三组公式),主要选择基础题目,并安排了适当量的随堂练习,帮助学生总结解题方法和技巧,及时巩固新知.2.本节课公式较多,公式的推导、记忆与应用,都用时较多,各校学生基础不同,建议教师对巩固练习题目灵活掌握,但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项:本节课容量较大,课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用,有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(两个课时)主备教师:穆云映一、内容及其解析:本节课要学的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式指的是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导,其关键是两角和与差的正弦、余弦公式推导, 理解它关键就是要理解两角差的余弦公式以及在第一章学过的几组诱导公式。
学生已经学过三角函数以及两角差的余弦公式,本节课的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式就是在此基础上的类比。
由于它还与简单的三角恒等变换有紧密的联系,所以在本学科有着重要的地位,是三角函数的核心内容。
教学的重点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用,解决重点的关键是运用两角差的余弦公式及诱导公式五、六。
二、目标及其解析1、目标定位:理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用。
2、目标解析:理解推导两角和、差的正弦、余弦、正切公式的方法,掌握其应用就是指能推导两角和、差的正弦、余弦、正切公式并能进行简单的运用。
三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的困难是理解两角和、差正弦、余弦、正切公式的推导,产生这一困难的原因是学生对三角函数的诱导公式不熟悉,对两角差的余弦公式还不熟练。
要解决这一困难,就要熟练掌握两角差的余弦公式,其关键是学会运用诱导公式和两角差的余弦公式应用。
四、教学支持条件分析在本节课在公式的推导及例题分析的教学中,准备使用幻灯片演示。
因为使用幻灯片,有利于节约时间及理解推理过程。
五、教学过程设计 1、复习式导入:(1)回顾一下两角差的余弦公式:()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)、复习回顾诱导公式五、六。
2、新课讲授问题(1):由两角差的余弦公式,怎样得到两角和的余弦公式呢?设计意图:让学生学会推导两角和的余弦公式。
探究1、让学生动手完成两角和的余弦公式.)](cos[)cos(βαβα--=+问题(2):由两角差的余弦公式及诱导,怎样得到两角和与差的正弦公式呢?设计意图:让学生学会推导两角和与差的正弦公式。
3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
例3′、△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明: ∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角,
o o
1+ tan71o tan26o
(2) -1
1- 3tan75o (2) o 3 + tan75
求下列各式的值:
1 tan 75 (1) 1 tan 75
(2) tan17+tan28+tan17tan28
tan 45 tan 75 解:1原式= tan( 45 75 ) tan 120 3 1 tan 45 tan 75 tan 17 tan 28 2 ∵ tan( 17 28 ) 1 tan17 tan 28
2注意公式的结构,尤其是符号。
( )
补充 练 习
1、化简: (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
2、求值: (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
tan(α+β)=
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
变形:
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
3.1.2---两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案
课堂因为你的参与而精彩 课堂因为你的展示而绚丽
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,
2. 体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用
=-)cos(βα ,
=--)](cos[βα = ,
即=+)cos(βα 【探究新知】
阅读课本129128P P -,并把结果填入下面框中: 温馨提示:仔细观察认识两角和与差正弦公式的特征, 不要混淆
【例题讲解】
例3、已知3sin ,5αα=-是第四象限角,求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值.
例4、利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1)sin 72cos 42cos72sin 42- ;(2)cos 20cos70sin 20sin 70- ;
课堂因为你的参与而精彩 课堂因为你的展示而绚丽
【当堂检测】 1. 求值:
= 15sin
= 75cos
= 75sin
= 15tan
2.已知,3tan =α,求)4
tan(π
α+的值
1.课本137页:7-13
2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛
⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
3.已知3335
0,cos ,sin 4
4
4
5
4
13
ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()sin αβ+的值.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
备课人授课时间课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课标要求两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用教学目标知识目标两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用技能目标体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.情感态度价值观使学生体验科学探索的过程重点两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用难点两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动(一)复习式导入:(1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式:()cos cos cos sin sinαβαβαβ-=+.(2)()cosαβ+=?(3)cossin=α?(二)新课讲授问题:由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢?探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sinαβαβ=+.()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβα-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)()()()sin sin cos cos sintancos cos cos sin sinαβαβαβαβαβαβαβ+++==+-.探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tanα、tanβ的形式呢?学生完成。
(公开课)3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3
3
4
sin
1 cos2
1
(
2 3
)
2
5 3
sin( ) sin cos cos sin
1 ( 2) ( 2 2 ) 5
33
33
2 2 10
9
同步练习
2、已知 sin 1 , cos 2 ,且,均在第二象限,求
5
求sin( ), cos( ), tan( )的值.
4
4
4
解:
sin
=-
3 5
,
是第四象限角,
cos sin(
1 sin2
) sin
1
(
3 5
)2
cos cos
4, 5
sin
4
4
4
2 4 2 ( 3)
7 2 10
例题精析
例1 已知sin 3 ,是第四象限角, 公式的正向应用
5
求sin( ), cos( ), tan( )的值.
4
4
4
解:
sin =-
3 5
, cos
4, 5
tan sin 3 cos 4
tan(
4
)
=sin[x 27 (x 18)]
sin 45 2 2
同步练习
3、化简求值。
(1)sin(x 27) cos(18 x) sin(63 x)sin(x 18)
(2) cos 43 cos 77 sin 43 cos167
3.1.2-两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式民族中学 王克伟[教学目标]知识与技能目标:理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 过程与方法目标:让学生亲身经历“从已知入手,研究对象的性质,再联系所学知识,推导出相应公式。
”这一研究过程,培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的能力。
通过阶梯性的强化练习,培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标:通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;!教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.[教学过程]一.新课引入创设情境 引入课题: 想一想:cos15?=由上一节所学的两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+,同学们很容易想到:&那这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式: 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式思考:由cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+,如何求cos()?αβ-=分析:由于加法与减法互为逆运算,()αβαβ+=--,结合两角差的余弦公式26cos15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=cos75=cos(3045)?+=cos75?=及诱导公式,将上式中以代得…cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+1、上述公式就是两角和的余弦公式,记作()cαβ+。
由两角和的余弦公式:()cαβ+,我们现在完成课前的想一想:>探索新知二思考:前面我们学习了两角和与差的余弦,请同学们猜想一下:会不会有两角和与差的正弦公式呢如果有,又该如何推导呢在第一章中,我们学习了三角函数的诱导公式,同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢cos()sin 2παα-=结合()c αβ+与()cαβ-,我们可以得到cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+-sin cos sin cos αββα=+2、\上述公式就是两角和的正弦公式,记作()sαβ+。
人教a版必修4学案:3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1.两角和与差的正切公式(1)T (α+β):tan(α+β)=__________________. (2)T (α-β):tan(α-β)=__________________. 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α+β)的变形:tan α+tan β=__________________.tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=______________. tan α·tan β=__________________. (2)T (α-β)的变形:tan α-tan β=__________________.tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=________________. tan αtan β=__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α+β)、T (α-β)的推导过程. ∵sin(α+β)=__________________. cos(α+β)=__________________.∴tan(α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=____________=_________________________________.∵tan(α-β)=tan[α+(-β)]∴tan(α-β)=________________=________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值. (1)1-tan 15°1+tan 15°;(2)tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α+β),T (α-β)是变形较多的两个公式,公式中有tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者知二可表示或求出第三个.变式训练1 求下列各式的值.(1)3+tan 15°1-3tan 15°;(2)tan 36°+tan 84°-3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α,β均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,求α+β.回顾归纳 此类题是给值求角题,解题步骤如下:①求所求角的某一个三角函数值,②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会使求出的角不合题意或者漏解.变式训练2 已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且-π2<α<π2,-π2<β<π2,求角α+β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中,tan B +tan C +3tan B tan C =3,且3tan A +3tan B =tan A tan B -1,试判断△ABC 的形状.回顾归纳 三角形中的问题,A +B +C =π肯定要用,有时与诱导公式结合,有时利用它寻找角之间的关系减少角.变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角.求证:tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C .1.公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α+β(或α-β)的终边不能落在y 轴上,即不为k π+π2(k ∈Z ).2.公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如tan π4=1,tan π6=33,tan π3=3等.要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4+α=1+tan α1-tan α,tan ⎝⎛⎭⎫π4-α=1-tan α1+tan α. 3.公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β,tan αtan β时,有灵活应用公式T (α±β)的意识,就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=35,则tan ⎝⎛⎭⎫α+π4的值等于( ) A.17 B .7 C .-17D .-7 2.若sin α=45,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan β的值是( )A.43 B .-43 C .-7 D .-173.已知tan α=12,tan β=13,0<α<π2,π<β<3π2,则α+β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44.A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且tan A ,tan B 是方程3x 2-5x +1=0的两个实数根,则△ABC 是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .无法确定 5.化简tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°的值等于( ) A .1 B .2 C .tan 10° D.3tan 20°二、填空题6.已知α、β均为锐角,且tan β=cos α-sin αcos α+sin α,则tan(α+β)=________.7.如果tan α,tan β是方程x 2-3x -3=0两根,则sin (α+β)cos (α-β)=________.8.已知tan ⎝⎛⎭⎫π4+α=2,则12sin αcos α+cos 2α的值为________.三、解答题9.求下列各式的值. (1)sin 7°+cos 15°sin 8°cos 7°-sin 15°sin 8°;(2)(1-tan 59°)(1-tan 76°).10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,已知A ,B 的横坐标分别为210,255.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1.(1)tan α+tan β1-tan αtan β (2)tan α-tan β1+tan αtan β2.(1)tan(α+β)(1-tan αtan β) tan(α+β) 1-tan α+tan βtan (α+β)(2)tan(α-β)(1+tan αtan β) tan(α-β) tan α-tan βtan (α-β)-1自主探究sin αcos β+cos αsin β cos αcos β-sin αsin β sin αcos β+cos αsin βcos αcos β-sin αsin βtan α+tan β1-tan αtan βtan α+tan (-β)1-tan αtan (-β) tan α-tan β1+tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式=tan 45°-tan 15°1+tan 45°tan 15°=tan(45°-15°)=tan 30°=33.(2)∵tan 60°=tan 20°+tan 40°1-tan 20°tan 40°= 3.∴tan 20°+tan 40°=3(1-tan 20°tan 40°) ∴原式=3(1-tan 20°tan 40°)+3tan 20°tan 40° =3-3tan 20°tan 40°+3tan 20°tan 40° = 3.变式训练1 解 (1)原式=tan 60°+tan 15°1-tan 60°tan 15°=tan(60°+15°)=tan 75°=tan(30°+45°)=tan 30°+tan 45°1-tan 30°tan 45°=33+11-33=2+ 3.(2)原式=tan 120°(1-tan 36°tan 84°)-3tan 36°·tan 84° =tan 120°-tan 120°tan 36°tan 84°-3tan 36°·tan 84°=tan 120°=- 3. 例2 解 ∵(1-tan α)(1-tan β)=2, ∴1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2, ∴tan α+tan β=tan αtan β-1 ∴tan α+tan β1-tan αtan β=-1.∴tan(α+β)=-1. ∵α,β∈⎝⎛⎭⎫π2,π.∴α+β∈(π,2π).∴α+β=7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α+tan β=-33tan α·tan β=4∴tan α、tan β均为负.∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-331-4= 3.∵tan α<0,tan β<0,∴-π2<α<0,-π2<β<0.∴-π<α+β<0,∴α+β=-2π3.例3 解 ∵3tan A +3tan B =tan A tan B -1, ∴3(tan A +tan B )=tan A tan B -1, ∴tan A +tan B 1-tan A tan B =-33,∴tan(A +B )=-33.又∵0<A +B <π,∴A +B =5π6,∴C =π6,∵tan B +tan C +3tan B tan C =3,tan C =33,∴tan B +33+tan B =3,tan B =33,∴B =π6,∴A =2π3,∴△ABC 为等腰三角形.变式训练3 证明 ∵A +B +C =π, ∴A +B =π-C .∴tan(A +B )=tan A +tan B1-tan A tan B=-tan C .∴tan A +tan B =-tan C +tan A tan B tan C . 即tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C . 课时作业1.A 2.C 3.C4.A [tan A +tan B =53,tan A ·tan B =13,∴tan(A +B )=52,∴tan C =-tan(A +B )=-52,∴C 为钝角.]5.A [原式=tan 10°tan 20°+3tan 20°+ 3 tan 10°=3(tan 10°+tan 20°+33tan 10°tan 20°)=3×33=1.]6.1解析 tan β=cos α-sin αcos α+sin α=1-tan α1+tan α.∴tan β+tan αtan β=1-tan α. ∴tan α+tan β+tan αtan β=1. ∴tan α+tan β=1-tan αtan β. ∴tan α+tan β1-tan αtan β=1,∴tan(α+β)=1. 7.-32解析 ∵tan α,tan β是方程x 2-3x -3=0的两根,∴tan α+tan β=3,tan αtan β=-3, ∴sin (α+β)cos (α-β)=sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β =tan α+tan β1+tan αtan β=31+(-3)=-32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4+α=2,∴1+tan α1-tan α=2,解得tan α=13.∴12sin αcos α+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sin αcos α+cos 2α=tan 2α+12tan α+1=19+123+1=23.9.解 (1)原式=sin (15°-8°)+cos 15°sin 8°cos (15°-8°)-sin 15°sin 8°=sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°=tan 15°=tan(45°-30°) =tan 45°-tan 30°1+tan 45°tan 30°=1-331+33=2- 3. (2)原式=1-tan 59°-tan 76°+tan 59°tan 76° =1-(tan 59°+tan 76°)+tan 59°tan 76° =1-tan 135°(1-tan 59°tan 76°)+tan 59°tan 76° =1+1-tan 59°tan 76°+tan 59°tan 76°=2.10.解 由条件得cos α=210,cos β=255. ∵α,β为锐角,∴sin α=1-cos 2α=7210,sin β=1-cos 2β=55.因此tan α=sin αcos α=7,tan β=sin βcos β=12.(1)tan(α+β)=tan α+tan β1-tan α·tan β=7+121-7×12=-3.(2)∵tan 2β=2tan β1-tan 2β=2×121-⎝⎛⎭⎫122=43, ∴tan(α+2β)=tan α+tan 2β1-tan α·tan 2β=7+431-7×43=-1.∵α,β为锐角,∴0<α+2β<3π2,∴α+2β=3π4.。
高中数学优质学案 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式知识点二 两角和与差的正切公式的变形 1.T (α+β)的变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β). tan αtan β=1-tan α+tan βtan (α+β).2.T (α-β)的变形:tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β). tan αtan β=tan α-tan βtan (α-β)-1.1.对于任意角α,β,总有tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β .( × )提示 公式成立需α,β,α+β≠k π+π2,k ∈Z .2.使公式tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β有意义,只需α,β≠k π+π2(k ∈Z )即可.( × )提示 还应使α±β≠k π+π2,k ∈Z .3.若α,β,α+β≠k π+π2,k ∈Z ,则tan(α+β)=tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)恒成立.( √ )4.α≠k π-π4,且α≠k π+π2,k ∈Z 时,tan ⎝⎛⎭⎫π4-α=1-tan α1+tan α.( √ )题型一 正切公式的正用例1 (1)若tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=16,则tan α= . [考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式求值 [答案] 75[解析] 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=tan α-tanπ41+tan αtanπ4=tan α-11+tan α=16. ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1), ∴tan α=75.方法二 tan α=tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α-π4+π4=tan ⎝⎛⎭⎫α-π4+tan π41-tan ⎝⎛⎭⎫α-π4·tan π4=16+11-16=75.(2)设tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的根,则tan(α+β)的值为( ) A .-3 B .-1 C .1 D .3 [考点] 两角和与差的正切公式[题点] 两角和与差的正切公式的综合应用 [答案] A[解析] 由题意知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2, 所以tan(α+β)=tan α+tan β1-tan α·tan β=31-2=-3.反思感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式,特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”.(2)对于不能直接套用公式的情况,需根据已知与未知进行变形使之联系起来,有时还要借助角的变换技巧.跟踪训练1 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 .[考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式求值 [答案] 3[解析] tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α=17-(-2)1+17×(-2)=3.题型二 正切公式的逆用与变形使用 例2 (1)1+tan 15°1-tan 15°= .[考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式化简 [答案]3[解析] 原式=tan 45°+tan 15°1-tan 45°tan 15°=tan(45°+15°)=tan 60°= 3.(2)化简:tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°. [考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式化简 解 方法一 tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37° =tan(23°+37°)(1-tan 23°tan 37°)+3tan 23°tan 37° =tan 60°(1-tan 23°tan 37°)+3tan 23°tan 37°= 3. 方法二 ∵tan(23°+37°)=tan 23°+tan 37°1-tan 23°tan 37°,∴3=tan 23°+tan 37°1-tan 23°tan 37°,∴3-3tan 23°tan 37°=tan 23°+tan 37°, ∴tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°= 3. 反思感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β=tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练2 若A ,B 是△ABC 的内角,并且(1+tan A )·(1+tan B )=2,则A +B 等于( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.2π3 [考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式求角 [答案] A[解析] 由(1+tan A )(1+tan B )=2, 得1+tan A +tan B +tan A tan B =2. 所以tan A +tan B =1-tan A tan B .由tan(A +B )=tan A +tan B1-tan A tan B =1-tan A tan B 1-tan A tan B =1,得A +B =π4.和、差角公式的综合应用典例 已知tan ⎝⎛⎭⎫α-β2=12,tan ⎝⎛⎭⎫β-α2=-13,则tan α+β2= . [考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式求值 [答案] 17[素养评析] 借助和、差角公式,将要求代数式与已知条件建立联系,需要具备较好的运算能力,这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1.若tan α=3,tan β=43,则tan(α-β)等于( )A.13 B .-13 C .3 D .-3 [考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式求值 [答案] A[解析] tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=3-431+3×43=13.2.(2018·全国Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α-5π4=15,则tan α= . [考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式求值 [答案] 32[解析] tan ⎝⎛⎭⎫α-5π4=tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=tan α-11+tan α=15, 解得tan α=32.3.计算:3-tan 15°1+3tan 15°= .[考点] 两角和与差的正切公式 [题点] 利用两角和与差的正切公式化简 [答案] 1[解析] 3-tan 15°1+3tan 15°=tan 60°-tan 15°1+tan 60°tan 15°=tan 45°=1.4.已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且α,β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,则α+β= . [考点] 两角和与差的正切公式[题点] 综合应用两角和与差的正切公式求角 [答案] -2π3[解析] 因为tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α+tan β=-33<0,tan α·tan β=4>0.所以tan α<0,tan β<0,所以α,β∈⎝⎛⎭⎫-π2,0. 所以-π<α+β<0,tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-331-4=333= 3.所以α+β=-2π3.5.已知cos α=55,cos β=35,其中α,β都是锐角.求: (1)sin(α-β)的值; (2)tan(α+β)的值.[考点] 和、差角公式的综合应用 [题点] 综合运用和、差角公式化简求值 解 (1)因为α,β都是锐角,所以sin α=1-cos 2α=255,sin β=1-cos 2β=45,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =255×35-55×45=2525. (2)tan α=sin αcos α=2,tan β=sin βcos β=43,所以tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-2.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知,α,β,α+β(或α-β)的终边不能落在y 轴上,即不为k π+π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如tan π4=1,tan π6=33,tan π3=3等.特别要注意tan ⎝⎛⎭⎫π4+α=1+tan α1-tan α,tan ⎝⎛⎭⎫π4-α=1-tan α1+tan α. (3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β,tan αtan β时,有灵活应用公式T (α±β)的意识,就不难想到解题思路. 特别提醒:tan α+tan β,tan αtan β容易与根与系数的关系联系,应注意此类题型.。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案)
临清三中数学组 编写人:管瑞臣 审稿人:刘桂江 李怀奎3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,为了引起学生学习本章的兴趣,理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程;⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力;⒊发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式;难点:两角和与差公式变aSina +bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析五、教学方法1.温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点2.学案导学:见后面的学案。
3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排:1课时八、教学过程(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:;.这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手).通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢?(分式分子、分母同时除以,得到.注意:以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?注意:.(二)例题讲解例1、已知是第四象限角,求的值.解:因为是第四象限角,得,,于是有两结果一样,我们能否用第一章知识证明?例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)、;(2)、;(3)、.解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、;(2)、;(3)、.例3、化简解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考:是怎么得到的?,我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.(三)反思总结,当堂检测。
2.示范教案(3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即α+β=α-(-β)的关系,从而由公式C (α-β)推得公式C (α+β),又如比较si n(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S (α-β)、S (α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.重点难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系,进行由旧知推出新知的转化过程,从而推导出C (α+β)、S (α-β)、S (α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所学公式,又为本节新课作准备.若sinα=55,α∈(0,2π),cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C (α-β)很容易求得cos (α-β),但是如果求cos (α+β)的值就得想法转化为公式C (α-β)的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中,角β是任意角,请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以?此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系,如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征?④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何?⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β),能否推导出tan(α-β)=?tan (α+β)=?⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何?⑧思考如何灵活运用公式解题?活动:对问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察两角差的余弦公式,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的?你会有些什么样的奇妙想法呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos [α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作C (α+β).对问题②,教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”,同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆,并填空:cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢?我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos [2π-(α+β)]=cos [(2π-α)-β] =cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之,则sin(α-β)=sin [α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为S (α+β)、S (α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.对问题④⑤,教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆,教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________,sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢?学生很容易想到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教师不要直接提醒,让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+,据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有 tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式,简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗?学生回顾自己的公式探究过程可知,α、β、α±β都不能等于2π+kπ(k ∈Z ),并引导学生分析公式结构特征,加深公式记忆.对问题⑦⑧,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式;S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化简求值中就经常应用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式,当tanα,tanβ或tan (α±β)的值不存在时,不能使用T (α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsincos)2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sinα=53-,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求.再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,要先求出cosα,tanα的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成.解:由sinα=53-,α是第四象限角,得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(4π-α)=sin4πcosα-cos4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πcosα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯,tan105°=tan(60°+45°)=311345tan60tan145tan60tan-+=-+οοοο=-(2+3).2.设α∈(0,2π),若sinα=53,则2sin(α+4π)等于( )A.57B.51C.27 D.4 答案:A 例2 已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动:教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值,然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值的符号.解:由sinα=32,α∈(2π,π),得 cosα=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-,∴tanα=552-. 又由cosβ=31-,β∈(π,23π). sinβ=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tanβ=37.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-. 点评:本题仍是直接利用公式计算求值的基础题,其目的还是让学生熟练掌握公式的应用,训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强学生的应用意识.解:设电视发射塔高CD=x 米,∠CAB =α,则sinα=6730, 在Rt △ABD 中,tan(45°+α)=3030+x tanα.于是x=30tan )45tan(30-+ααο, 又∵sinα=6730,α∈(0,2π),∴cosα≈6760,tanα≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答:这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中,sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°),求sinC 与cosC 的值. 活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin [180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos [180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评:本题是利用两角和差公式,来解决三角形问题的典型例子,培养了学生的应用意识,也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案:C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定准角的范围,准确判断好三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解:∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin [2π+(α+β)]=sin [(43π+α)-(4π-β)] =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解:∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos [(α+β)-(β-4π)] =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(aa a a θθθβθβββ-+-+- 活动:本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地探究,然后进行讲评.解:原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-=asin sin sin 0βθ =0.点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解:原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+- 知能训练课本本节练习1—4. 1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解:∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-.∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos [(43π+β)-(4π-α)] =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中你悟出了什么样的数学思想?对于这六个公式应如何对比记忆?其中正切公式的应用有什么条件限制?怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导,明白从已知推得未知,理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.设计感想1.本节课是典型的公式教学模式,是在两角差的余弦公式的基础上进行的,因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想,并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量较大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导、证明方法,熟练应用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法,让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式,并回忆公式的来龙去脉,然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征,说出它们的区别和联系,以及公式的正用、逆用及变形用,以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos (α+β)cosβ+sin (α+β)sinβ; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan (α+β)tan (α-β)(1-tan 2tan 2β)=tan 2α-tan 2β;(3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨,并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动:待学生稍做回顾后,教师打出幻灯,出示和与差角公式,让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系,理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察,当α、β中有一个角为90°时,公式就变成诱导公式,所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时,还要注意角的相对性,如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识,学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法,以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯,提高数学素养.sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ〔S(α±β)〕;cos (α±β)=cosαcosβsinαsinβ〔C (α±β)〕;tan (α±β)=βαβαtan tan 1tan tan μ±〔T (α±β)〕. 讨论结果:略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°;(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°;(3)οο15tan 115tan 1-+ 活动:本例实际上是公式的逆用,主要用来熟悉公式,可由学生自己完成.对部分学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现(1)同公式S (α-β)的右边,(2)同公式C (α+β)右边形式一致,学生自然想到公式的逆用,从而化成特殊角的三角函数,并求得结果.再看(3)式与T (α+β)右边形式相近,但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1,原式化为οοοο15tan 45tan 115tan 45tan -+,再逆用公式T (α+β)即可解得.解:(1)由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. (2)由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)由公式T (α+β)得原式=οοοο15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评:本例体现了对公式的全面理解,要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练1.化简求值:(1)cos44°sin14°-sin44°cos14°;(2)sin14°cos16°+sin76°cos74°;(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解:(1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. (2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. (3)原式=sin [(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1οο+- 解:原式=οοοο75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-. 例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x -θ)的定义域为R ,设θ∈[0,2π],若f(x)为偶函数,求θ的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x -θ),即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x 都成立. ∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=kπ(k ∈Z ).∴θ=kπ-4π(k ∈Z ). 又θ∈[0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知:2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值. 解:∵2π<β<α<43π, ∴0<α-β<4π,π<α+β<23π. 又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-, ∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-. ∴cos2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-. 例3 求证:cosα+3sinα=2sin(6π+α). 活动:本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开,化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明:方法一:右边=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα) =cosα+3sinα=左边.方法二:左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα) =2sin(6π+α)=右边. 点评:本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx (a ,b 不同时为零)的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式,其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=AC osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=22b a a+,sin φ=22b a b +,从而得到tanφ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变换思想很重要,即把两个三角函数化为一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练化简下列各式:(1)3sinx+cosx;(2)2cosx-6sinx.解:(1)原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). (2)原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x). 例4 (1)已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; (2)已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动:对于(1),教师可与学生一起观察条件,分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在(2)中,我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难,但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现,它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ,而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答. 解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.(2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,① sinαcosβ-cosαcosβ=31. ② ①+②得sinαcosβ=125, ①-②得cosαsinβ=121, ∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处,而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]…[(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能训练课本本节练习5—7.解答:5.解:(1)原式=sin90°=1.(2)原式=cos60°=21. (3)原式=tan45°=1. (4)原式=-sin60°=23-. (5)原式=-cos60°=21-. (6)原式=sin20°(-cos70°)+(-cos20°)sin70°=-(sin20°cos70°+cos20°sin70°)=-sin90°=-1.6.(1)原式=sin 6πcosx-cos 6πsinx=sin(6π-x).(2)原式=2(23sinx+21cosx)=2sin(x+6π). (3)原式=2(22sinx-22cosx)=2sin(x-4π). (4)原式=22(21cosx-23sinx)=22sin(6π-x). 点评:将asinx+bcosx 转化为Asin(x+φ)或Ac os(x+φ)的形式,关键在于“凑”和(或差)角公式.7.解:由sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=53,可得 sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin(α-β-α)=-sinβ=53, ∴sinβ=53-.又β是第三象限角, ∴cosβ=54-.∴sin(β+45π)=sinβcos 45π+cosβsin 45π=1027. 作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解:由韦达定理得:tanα+tanβ=ab -,tanαtanβ=ac , ∴tan(α+β)=a c b a c c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα. 课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么?我们学习了哪些重要的解题方法?通过本节的学习,我们在运用和角与差角公式时,应注意什么?如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛:通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x +φ),运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.设计感想1.本节是典型的习题课,目的就是加深巩固两角和与差公式的应用,深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出了形如“asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)”公式的推导和应用,对于三角函数的研究,给我们提供了一种重要的方法.2.对于习题课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生先认真审题、独立思考、板演解法,然后教师再进行点评,理清思路,纠正错误,指导解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(学案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式班级 姓名 学号一、学习目标:1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式,了解公式间的内在联系。
2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
学习重难点:1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.二、学习过程(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角差的余弦公式:=利用推导=动手完成两角和与差正弦和正切公式.= =观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.= =注意:(二)例题讲解 例1、已知是第四象限角,求的值.变式训练1:(1) 已知,且为第一象限角,为第二象限角。
求和的值。
(2)已知,求的值。
例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:cos()αβ-()αβαβ+=--cos()αβ+cos()αβ+sin()cos[()]2παβαβ+=-+sin()αβ-tan()αβ+tan()αβ-,,()222k k k k z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈3sin ,5αα=-sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭35sin ,cos 513αβ==-αβsin()αβ+sin()αβ-443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<,2παβπ<-<cos2α(1);(2);(3).变式训练2:(1)(2)(3) (4) ; (5)(6)变式训练3:求值:(1) (2)例3、(1)已知求的值;(2)已知,求角的值。
(三)反思总结(四)当堂检测sin72cos42cos72sin42-cos20cos70sin20sin70-1tan151tan15+-cos44sin14sin44cos14;︒︒-︒︒sin(54)cos(36)cos(54)sin(36);x x x x ︒-︒++︒-︒+sin ;1212ππx x cos10(tan10.sin 50︒︒-⋅︒tan 20tan 4020tan 40︒+︒+︒︒tan 50tan 20tan 50tan 20︒-︒︒︒21tan(),tan(),554παββ+=-=tan()5πα+11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈2αβ-1 sin7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______21tan 752 tan 75-︒︒、的值为______3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、7. 已知求的值.8. 若9、函数的最小正周期是___________________.10、为第二象限角,()()._________sin sin cos cos 6=+++ββαββα、()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.)tan(,21cos cos ,21sin sin ,=-=--=-βαβαβαβα则均为锐角,且⋅=x y 2cos π)1(2cos -x πα)的值。
3.1.2两角和与差的正弦、正切公式
3.1.2两角和与差的正弦、正切公式班级姓名【使用说明】课前完成学案,牢记基础知识,掌握基本题型;课上小组合作探究,达疑解惑。
【学习目标】理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用。
【重点难点】1、重点:两角和差正弦和正切公式的推导过程。
2、难点:正弦、余弦和正切公式的运用。
【学习过程】一、自主探究,引发思考,层层深入,得出结论:(1)两角和差的余弦公式:______________________________________(2)诱导公式:探究1:动手完成两角和与差正弦公式。
结论:两角和与差的正弦公式:注:1、公式中α , β是任意的;2、公式中两边符号正好相同;3、探究2:观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式。
探究3:通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢?(分式分子、分母同时除以_____________,得到注意:探究4:我们能否推倒出两角差的正切公式呢?结论:两角和与差的正切公式:结论:将、、称为公式;、、称为公式。
二、互相交流、小组活动、公式应用闯关:倘若让你对公式中的α、β自由赋值,你又将发现什么结论呢?(1)(2)(3)(4)(5)【经典范例】(自己做做看)例1:已知是第四象限角,求的值。
例2:已知求的值。
例3:已知求的值。
【小试身手、当堂巩固】(1)(2)(3)(4)(5)【学生小结、感悟反思】在自学过程中有何收获或困惑,请记录下来:【教师小结、感悟反思】要熟记两角和与差正弦、余弦和正切公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用。
【分层作业、巩固提升】教材第131页,第1,2,3,4,5题。
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1导学案
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)导学案2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)【学习目标】理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法;2.掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用.【新知自学】知识回顾1.两角差的余弦公式是(公式1)2.化简新知梳理两角和的余弦公式中的角可以是任意角,那么,作如下的代换,你会有什么发现?1、把(1)式中的角“ ”换成“ ”,可得(公式2)2、把(1)式中的角“ ”换成“ ”,可得(公式3)3、把(1)式中的角“ ”换成“ ”,可得 (公式4)4、把(3)式除以(2)式,可得(公式5)5、把(4)式除以(1)式,可得(公式6)思考感悟1、上述6个公式之间还有哪些联系,你能发现吗?2、在正切公式中应满足什么条件?3、如何熟练记忆公式?对点练习1、 = ;2、()A. 0 B.2C. D.【合作探究】典例精析:例1、求下列各式的值.(1);变式练习:1、求值: =变式练习:2、已知,,均为锐角,求的值。
例2、已知是第四象限角,求的值.变式练习:3、已知,则【课堂小结】【当堂达标】-的值是( )A.- B.C.-sin D.2. 若sin (α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( ) A.1B.-1C.0D.±13. 求值:(1)sin75°;(2)si n13°cos17° +cos13°sin17°.【课时作业】ºcos16º+sin76ºcos74º的值是() A. B.C. D.-2;4.已知,,若是第三象限角,求 .5.已知,求的值.*6. 已知,求与的值.*7.在中,,求的值.8、已知,,且,求的值。
【延伸探究】已知,求的值。
学案7:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)【课前准备】1.课时目标(1)了解两角和的余弦公式,两角和与差的正弦公式、正切公式的推导过程,通过公式的推导了解角与角之间的内在联系;(2)正确理解与掌握两角和的余弦公式,两角和与差的正弦公式、正切公式,并会进行简单的化简、求值等应用.2.基础预探(1)两角和的余弦:cos (α+β)=__________;(2)两角和与差的正弦:sin (α+β)=__________;sin (α-β)=__________;(3)两角和与差的正切:tan (α+β)=__________;tan (α-β)=__________.【知识训练】1.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是( ) A .α=12π13,β=4π3 B .α=2π,β=3π C .α=2π,β=6π D .α=3π,β=6π 2.下列等式中成立的是( )A .2120sin 80sin 20cos 80cos =︒︒-︒︒B .2117sin 13cos 17cos 13sin =︒︒-︒︒ C .2220sin 25sin 25cos 70sin =︒︒+︒︒D .2320sin 50sin 20cos 140sin =︒︒+︒︒ 3.下列四个命题中的假命题是( )A .存在这样的α、β,使得cos (α+β)=cos αcos β+sin αsin βB .不存在无穷多个α、β,使得cos (α+β)=cos αcos β+sin αsin βC .对于任意的α、β,cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin βD .不存在这样的α、β,使得cos (α+β)≠cos αcos β-sin αsin β4.已知sin αcos β=-31,cos αsin β=21,则sin (α+β),sin (α-β)的值分别为( ) A .61,65 B .-61,-65 C .61,-65 D .-61,65 5.若tan α=21,则tan (α+4π)=____________. 6.已知tan (4π+α)=2,求ααα2cos cos sin 21+的值.【学习引领】在两角和与差的三角函数公式中,对应的角α,β可以是单独的两个角,也可以是对应的两个整体部分所组成的角,比如α=(α+β)-β,β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),(4π+α)+(4π-α)=2π等,同时在解答时要注意角的范围的讨论.在实际求解问题过程中,要注意对角的变形与整体思维的考虑.运用两角和与差的三角函数公式时的“四要”:一要审查公式成立的条件;二要弄清两角和与差的三角函数公式中角、函数的排列顺序及式中每一项的符号;三要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用;四要注意和、差的相对性.【题型探究】题型一:公式的直接应用例1.已知α,β都是锐角,且sin α=55,cos β=10103,求α+β的值 思路导析:利用两角和的余弦公式分三步进行:①先求α+β的余弦值;②确定α+β所在的范围(或区间);③求角α+β的值.点评:其实,间接利用公式求解有关角的值的问题,可以结合不同的三角函数值加以解决:①求cos (α+β),在(0,π)内余弦值为22的角是唯一的,故可求之;②求sin (α+β),将角α+β的范围缩小到(0,2π)或更小,使之正弦值为22的角是唯一的;③求tan (α+β),在(0,π)内正切值为1的角也是唯一的.变式练习1:已知α,β是锐角,且sin α=51,cos β=101,求α-β的值.题型二:公式的整体应用例2.求sin (α+75º)+cos (α+45º)-3cos (α+15º)的值.思路导析:这道题的常规方法是利用两角和与差的公式直接展开,再加以必要的合并与化简,而这里的75º与15º均为非特殊角,又要通过必要的两角和与差的公式,最终达到求值的目的.而如果通过整体思维考查,令β=α+15º,通过换元转化加以运算,则更加简单、快捷.点评:这道题充分突出整体思维,通过整体换元,把非特殊角的三角函数的求值问题转化特殊角的三角函数的求值问题,从而使问题迎刃而解.变式练习2:设2)tan(=-βα,3)4tan(=-βπ,则)4tan(απ-等于( ) A .71 B .71- C .51 D .51- 题型三:公式的综合应用例3.已知sin α+sin β=22,求cos α+cos β的取值范围. 思路导析:先把cos α+cos β作为一个整体,利用条件中相关等式的变形与组合,结合同角三角函数基本关系式与两角和的余弦公式,利用三角函数的图象与性质加以综合.点评:综合利用同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等来解决相关三角函数式的取值范围问题,关键在是等价变换与应用等.变式练习3:不查表,求下式的值:tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒.【随堂练习】1.tan15°+cot15°等于( )A .2B .2+3C .4D .334 2.cos75°-cos15°的值等于( )A .26B .-26C .-22D .22 3.cos20ºcos110º+sin20ºsin110º的值为( )A .0B .-21 C .21 D .1 4.锐角βα,满足54cos =α,53)cos(=+βα,则βsin =________. 5.cos (45º+x )cos (15º-x )-cos (45º-x )sin (15º-x )=________.6.已知sin β=m sin (2α+β)(m ≠1),求证:tan (α+β)=mm -+11tan α.【参考答案】【课前准备】2.基础预探(1)cos αcos β-sin αsin β;(2)sin αcos β+cos αsin β,sin αcos β-cos αsin β;(3)βαβαtan tan 1tan tan -+,βαβαtan tan 1tan tan +-. 【知识训练】1.A ;【解析】由已知得cos (α+β)=23,代入检验得A ; 2.D ;【解析】根据两角和与差的公式加以判断;3.B ;【解析】由cos (α+β)=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β-sin αsin β,得sin αsin β=0,∴α=k π或β=k π(k ∈Z );4.C ;【解析】根据两角和与差的正弦公式加以求解;5.3;【解析】tan (α+4π)=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3; 6.解 由tan (4π+α)=ααtan tan 1-1+=2,解得tan α=31, 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+)(=32. 【典例导析】例1. 解 ∵α是锐角,sin α=55,∴cos α=α2sin 1-=552, ∵β是锐角,cos β=10103,∴sin β=β2cos 1-=1010, 那么cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β=552·10103-55·1010=22, ∵α,β是锐角,∴0<α+β<π,故α+β=4π.变式练习1:解 ∵α是锐角,sin α=51,∴cos α=α2sin 1-=552, ∵β是锐角,cos β=101,∴sin β=β2cos 1-=10103, 那么cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=22, ∵α,β是锐角,∴-2π<α-β<2π, 又sin α=51<10103= sin β,则α<β,故α-β=-4π. 例2. 解 令β=α+15º,则sin (α+75º)+cos (α+45º)-3cos (α+15º)=sin (β+60º)+cos (β+30º)-3cos β=sin βcos60º+cos βsin60º+cos βcos30º-sin βsin30º-3cos β =21sin β+23cos β+23cos β-21sin β-3cos β=0. 变式练习2:A ; 【解析】)4tan(απ-=)]()4tan[(βαβπ---=)tan()4tan(1)tan()4tan(βαβπβαβπ--+---=23123⨯+-=71; 例3. 解析:令t =cos α+cos β, ①而sin α+sin β=22, ② 由①2+②2,得t 2+21=(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=cos 2α+cos 2β+2cos αcos β+sin 2α+sin 2β+2sin α+sin β=2+2cos (α-β),∴2cos (α-β)=t 2-23∈[-2,2], ∴t ∈[-214,214],即cos α+cos β的取值范围为[-214,214].变式练习3:解 因为tan (23︒+22︒)=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ,所以tan23︒+tan22︒=tan (23︒+22︒)(1-tan23︒tan22︒), 原式=tan45︒ (1-tan23︒tan22︒)+tan23︒tan22︒=1-tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1;【随堂练习】1.C ;【解析】由tan15°=tan (45°-30°)=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-,∴原式=3333+-+3333-+=4;2.C ;【解析】cos75°-cos15°=cos (45º+30º)-cos (45º-30º)=cos45ºcos30º-sin45ºsin30º-(cos45ºcos30º+sin45ºsin30º)=-2sin45ºsin30º=-22; 3.A ;【解析】cos20ºcos110º+sin20ºsin110º=cos (20º-110º)=cos (-90º)=cos90º=0;4.257;【解析】根据锐角βα,和条件,可得53sin =α,54)sin(=+βα,则βsin =])sin[(αβα-+=αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+=257; 5.21;【解析】cos (45º+x )cos (15º-x )-cos (45º-x )sin (15º-x )=cos (45º+x )cos (15º-x )-cos[90º-(45º+x )]sin (15º-x )=cos (45º+x )cos (15º-x )-sin (45º+x )sin (15º-x )=cos[(45º+x )+(15º-x )]=cos60º=21; 6.证明:∵sin β=m sin (2α+β),∴sin [(α+β)-α]=m sin [(α+β)+α],∴sin (α+β)cos α-cos (α+β)sin α=m sin (α+β)cos α+m cos (α+β)sin α,∴(1-m )sin (α+β)cos α=(1+m )cos (α+β)sin α,∴tan (α+β)=m m -+11tan α.。
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3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,为了引起学生学习本章的兴趣,理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程;⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式;难点:两角和与差公式变aSina +bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析 五、教学方法1.温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2.学案导学:见后面的学案。
3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排:1课时 八、教学过程 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+.这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+.()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-. 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢?(分式分子、分母同时除以cos cos αβ,得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.注意:,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意:,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈.(二)例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角,求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解:因为3sin ,5αα=-是第四象限角,得4cos 5α===,3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ,于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)、sin 72cos 42cos72sin 42-;(2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;(3)、1tan151tan15+-.解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==; (2)、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==;(3)、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--.例3x x解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考:=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12.(三)反思总结,当堂检测。
本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
(课堂实录) (四)发导学案、布置预习。
设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。
教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计 十、教学反思⑴注重教学过程,注重探索,应贯穿于每一节课的始终。
⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系,创设问题情景,激发学生的学习兴趣。
⑶通过不断地提出问题、解决问题,逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。
在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!十一、学案设计(见下页)3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课前预习学案一、预习目标1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,初步运用公式求一些角的三角函数值;2.经历两角和与差的三角公式的探究过程,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力; 二、预习内容1、在一般情况下sin(α+β)≠sin α+sin β,cos(α+β)≠cos α+cos β.3sin ,sin()_________;sin()_________.544ππθθθθ=-=-=则若是第四象限角,则.___________)6tan(,2tan =-=πθθθ是第三象限角,求2、等。
灵活运用,如注意角的变换及公式的)2()2(2),()(2;)(βαβαβαβαβααββαα---=+--+=-+=已知=-=+)tan(,52)tan(βαβα41,那么的值为)5tan(πα+( ) A 、-183 B 、183 C 、1213 D 、2233.在运用公式解题时,既要注意公式的正用,也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(α±β)=βαβαtan tan 1tan tan ±可变形为:tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);±tan αtan β=1-)tan(tan tan βαβα±±,.___________40tan 20tan 340tan 20tan =++4、又如:asin α+bcos α=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab等,有时能收到事半功倍之效. ;__________cos sin =+αα .___________cos sin =-ααx x sin cos 3-=_____________.三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式,了解公式间的内在联系。
2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
学习重难点:1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二、学习过程(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:动手完成两角和与差正弦和正切公式.观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢?(分式分子、分母同时除以cos cos αβ,得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.注意:,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意:,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈.(二)例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角,求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)、sin 72cos 42cos72sin 42-;(2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;(3)、1tan151tan15+-.例3x x(三)反思总结(四)当堂检测)(37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒(A)23-(B)21-(C)21(D)23)(75tan 75tan 1 22的值为、︒︒-(A)32(B)332()32-C (D)332-)( ,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x =(A)10π(B)6π(C)5π(D)4π.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、 ()()._________sin sin cos cos 6=+++ββαββα、参考答案 1、21-2、C3、A4、10362+- 5、1 6、αcos课后练习与提高1. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.( )2. 若.)tan(,21cos cos ,21sin sin ,=-=--=-βαβαβαβα则均为锐角,且 3、函数⋅=x y 2cosπ)1(2cos -x π的最小正周期是___________________.4、α为第二象限角,)的值。