2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析(1)
2011中考数学压轴题(含答案)
（1）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG= S△PEH，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）设经过A（1，0），B（0，3）的直线AB的解析式为y=kx+3；设k+3=0，解得k=-3．∴直线AB的解析式为y=-3x+3．（2）进过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+3∵D（-2，0），B（0，3）是矩形OBCD的顶点，∴C（-2，3）；则解得∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点E（-1，4）．（3）存在．解法1：∵EH∥x轴，直线AB交EH于点F．∴将y=4代入y=-3x+3得F（- ，4）∴EF=有平移性质可知FH=AG=2∴EH=EF+FH= +2=设点P的纵坐标为y p①当点P在x轴上方时，有S△PAG= S△PEH得×2×y p= ×××（4-y p）解得y p=2∴-x2-2x+3=2解得x1=-1+ ，x2=-1-∴存在点P1（-1+ ，2），点P2（-1- ，2）②当点P在x轴下方时由S△PAG= S△PEH得×2×（-y p）=∴-y p=4-y p∴y p不存在，∴点P不能在x轴下方．综上所述，存在点，使得S△PAG= S△PEH．解法2：∵EH∥x轴，直线AB交BH于点F．∴将y=4代入y=-3x+3得F（- ，4），∴EF= ．由平移性质可知FH=AC=2．∴EH=EF+FH= +2=设点P到EH和AG的距离分别为h1和h2由S△PAG= S△PEH得∴h1=h2显然，点P只能在x轴上方，∴点P的纵坐标为2∴-x2-2x+3=2解得，∴存在点，点使得S△PAG= S△PEH．（2）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M，若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP=xcm，FQ=ycm．解答下列问题：（1）直接写出当x=3时y的值；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．解答：解：（1）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，∴S M=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP= BE•x FC•y+ •EF= ×2x+ ×2y+ ×2=2（x+y），把S M=10，x=3代入上式，解得y=2．（2）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，∵S△BEP+S梯形PEFQ+S△FCQ=S梯形M，∴×2x+ （x+y）×2+ ×2y=10，∴y=-x+5，由，得1≤x≤4．（3）若图形M为等腰梯形（如图1），则EP=FQ，即x=-x+5，解得x= ．∴当x= 时，图形M为等腰梯形．若图形M为等腰三角形，分两种情形：①当点P、Q、C在一条直线上时（如图2），EP是△BPC的高，∴BC•EP=10，即×6x=10，解得x= ；②当点B、P、Q在一条直线上时（如图3），FQ是△BQC的高，∴BC•F Q=10，即×6×（-x+5）=10，解得x= ；∴当x= 或时，图形M为三角形．（4）线段PQ扫过的部分是两个全等的三角形，且都是以x最小时AP的长为底，AD的长为高，在（2）中已经求得x的取值范围为1≤x≤4，所以此时AP=AE-x min=3，那么线段PQ扫过的面积即为：2S=2××3×1=3cm2；评分说明：（4）中不写单位不扣分，线段PQ在运动过程中所能扫过的区域为图4中阴影部分．（3）（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．解答：解：（1）同意，连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2 x，∴；（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n•DF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x ，∴或．（4）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有解得，∴抛物线的解析式为y= x2+x-4．（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），则AD=m+4，MD=-n，n= m2+m-4，∴S=S△AMD+S梯形DMBQ-S△ABO==-2n-2m-8=-2×=-m2-4m（-4＜m＜0）；∴S最大值=4．（3）设P（x，x2+x-4）．①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2 ．x=0不合题意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2 ，2-2 ）或（-2-2 ，2+2 ）；②如图2，当BO为对角线时，易知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（-2+2 ，2-2 ），（-2-2 ，2+2 ），（4，-4），．（5）（2010•三明）如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．顶点为M，过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l 平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c；∵抛物线过点C（0，-12），∴c=-12；（1分）又∵它过点A（12，0）和点B（-4，0），∴，解得；∴抛物线的函数关系式为y= x2-2x-12，（3分）抛物线的对称轴为x=4．（5分）（2）解法一：∵在y=kx-4中，当x=0时，y=-4，∴y=kx-4与y轴的交点N（0，-4）；（6分）∵y= x2-2x-12= （x-4）2-16，∴顶点M（4，-16）；（7分）∵AM2=（12-4）2+162=320，AN2=122+42=160，MN2=42+（16-4）2=160，∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，AN=MN；（9分）∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）解法二：过点M作MF⊥y轴于点F，则有MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；（6分）∴MF=ON，NF=OA，（7分）又∵∠AON=∠MFN=90°，∴△AON≌△NFM；（8分）∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；（9分）∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，∴∠MNA=90；∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）（3）存在，点P的坐标分别为：（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）（14分）参考解答如下：∵y=kx-4过点A（12，0），∴k= ；直线l与y= x-4平行，设直线l的解析式为y= x+b；则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）；∴OD=3OE；设对称轴与x轴的交点为K；（Ⅰ）以点E为直角顶点如图；①根据题意，点M（4，-16）符合要求；②过P作PQ⊥y轴，当△PDE为等腰直角三角形时，有Rt△ODE≌Rt△QEP，∴OE=PQ=4，QE=OD；∵在Rt△ODE中，OD=3OE，∴OD=12，QE=12，∴OQ=8，∴点P的坐标为（4，-8）；（Ⅱ）以点D为直角顶点；同理在图①中得到P（4，6），在图②中可得P（4，-3）；综上所得：满足条件的P的坐标为：（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．（6）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）；②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足＜x＞= 的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n解答：解：（1）①3；②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：；（2）①证明：设＜x＞=n，则为非负整数；又，且n+m为非负整数，∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；（3）∵x≥0，为整数，设x=k，k为整数，则∴∴，∵O≤k≤2，∴k=0，1，2，∴x=0，，．（4）∵函数，n为整数，当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，∴，即，①∴，∵y为整数，∴y=n2-n+1，n2-n+2，n2-n+3，…，n2-n+2n，共2n个y，∴a=2n，②∵k＞0，＜＞=n，则，∴，③比较①，②，③得：a=b=2n．（7）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．解答：解：（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：，解之得：b=4，c=0；所以抛物线的表达式为：y=-x2+4x，将抛物线的表达式配方得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）；（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，所以四边形OAPF是平行四边形；S=OA•|n|=20，即|n|=5；因为点P为第四象限的点，所以n＜0，所以n=-5；代入抛物线方程得m=-1（舍去）或m=5，故m=5，n=-5．（8）25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt △PEC中求得CE的长；（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP 的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．解答：（1）解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°．∵AD=AE，∴∠AED=60°=∠CEP，∴∠EPC=30°．∴三角形BDP为等腰三角形．∵△AEP与△BDP相似，∴∠EPA=∠DPB=30°，∴AE=EP=1．∴在Rt△ECP中，EC= EP= ；（2）设BD=BC=x．在Rt△ABC中，由勾股定理，得：（x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4．过点C作CF∥DP．∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2，∴BF=DF=2．∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4．∴tan∠BPD= ．（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a．∴且，∴DQ=3（1-a）．∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+[3（1-a）]2，解之得．∵△ADQ与△ABC相似，∴．∴．∴三角形ABC的周长，即：y=3+3x，其中x＞0．。
2011年各地中考数学压轴题精选11-20(解析版)(含详细解答)
2011年各地中考数学压轴题精选11-20解析版2011 福建三明22.解：∵抛物线y ＝ax 2－4ax ＋c 过A （0，－1），B （5，0）∴⎩⎨⎧c ＝－125a －20a ＋c ＝0 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15c ＝－1（2）∵直线AB 经过A （0，－1），B （5，0） ∴直线AB 的解析式为y ＝15x －1由（1）知抛物线的解析式为：y ＝15x 2－45x －1∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，PQ ⊥x 轴 ∴P （m ，15m 2－45m －1），Q （m ，15m －1） ∴S ＝PQ ＝（15m －1）－（15m 2－45m －1） 即S ＝－15m 2＋m （0＜m ＜5） （3）抛物线的对称轴l 为：x ＝2以PQ 为直径的圆与抛物线的对称轴l 的位置关系有： 相离、相切、相交三种关系相离时：0＜m ＜15－1452或 －5＋1052 ＜m ＜5； 相切时：m ＝15－1452 m ＝－5＋1052； 相交时：15－1452＜m ＜－5＋10522011 福建三明23.解：（1）在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AP ＝1，CD ＝AB ＝2，则PB ＝5． ∴∠ABP ＋∠APB ＝90° 又∵∠BPC ＝90° ∴∠APB ＋∠DPC ＝90° ∴∠ABP ＝∠DPC ∴△APB ∽△DCP∴AP CD ＝PB PC 即 12 ＝5PC ∴PC ＝2 5（2）tan ∠PEF 的值不变（第23题 图①）理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形∴∠A ＝∠PFG ＝90°，GF ＝AB ＝2 ∴∠AEP ＋∠APE ＝90° 又∵∠EPF ＝90° ∴∠APE ＋∠GPF ＝90° ∴∠AEP ＝∠GPF ∴△APE ∽△GPF ∴PF PE ＝GF AP ＝21 ＝2∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF ＝PFPE ＝2 ∴tan ∠PEF 的值不变（3）线段EF 的中点经过的路线长为 5（第23题 图④）（第23题 图③）O 2O 1FPCDB AE2011福建宁德 25．（满分13分）解：⑴小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：…………3分小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：…………8分⑵①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下： 设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为243a . 因为，若边长a 为整数，那么面积243a 一定非整数. 所以不存在等边“整数三角形”.…………10分；②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：…………13分2011福建宁德 26．（满分13分）解：⑴①直线6-=x y 与坐标轴交点坐标是A （6，0），B （0，-6）；…………1分②如图1，四边形DCEF 即为四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形；…………3分 ⑵∵四边形DCEF 与四边形ABEF 关于直线EF 对称， 又AB ∥EF ， ∴CD ∥EF .∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°， ∴∠BAO ＝45°. ∵AB ∥EF ， ∴∠AFE ＝135°. ∴∠DFE ＝∠AFE ＝135°.∴∠AFD ＝360°－2×135°＝90°，即DF ⊥x 轴. ∴DF ∥EH ，5图14 46 6图24 5121513图3∴四边形DHEF 为平行四边形. …………5分 要使□DHEF 为菱形， 只需EF ＝DF ，∵AB ∥EF ，∠FAB ＝∠EBA ， ∴FA ＝EB . ∴DF ＝FA ＝EB ＝t . 又∵OE ＝OF ＝6－t ， ∴EF ＝()t -62. ∴()t -62＝t . ∴2126+=t .∴当2126+=t 时，□DHEF 为菱形. …………7分⑶分两种情况讨论：①当0＜t ≤3时，…………8分四边形DCEF 落在第一象限内的图形是△DFG ,∴S ＝221t . ∵S ＝221t ，在t ＞0时，S 随t 增大而增大，∴t ＝3时，S 最大＝29；…………9分②当3＜t ＜6时，…………10分四边形DCEF 落在第一象限内的图形是四边形DHOF , ∴S 四边形DHOF ＝S △DGF —S △HGO . ∴S ＝()22622121--t t ＝1812232-+-t t ＝()64232+--t .∵a ＝23-＜0，∴S 有最大值.∴当t ＝4时，S 最大＝6.…………12分综上所述，当S ＝4时，S 最大值为6. …………13分2011 福建南平25、（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质。
2011年安徽省中考数学试卷分析
统计与概率
计算
中
易 难 难
一次函数与反比例函 综合应用 数的图象和性质 旋转、相似三角形、 综合应用 等腰三角形 全等三角形的性质与 综合应用 判定
A.题型特征 三、解答题 下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形. B.题型特点 1.考查内容紧扣课标，重难点突出， 9道题中2道题目较难，其余题目较容易， 且考查点均为课本重点. 2. 压轴题都以所学的重点知识为载体，考查了几何推理能力和数学综合分析 能力，没有偏题，但是对学生数学思维能力的考查很全面.在考查意图上，极 力让学生探索研究问题的实质，突出对学生发展思维能力、探索能力、创新 能力、操作能力的考查.. 3. 试卷新增了规律探索题、淡化了概率的运用、二次函数和一次函数的应 用等中考热点问题.
对教学工作的启示：
1.设置题干要简洁明确，逻辑要合理，脉络要清晰. 2.难易度把握要适当，计算题方面以考查基本计算能力为主， 综合应用方面由易道难的顺序出题，压轴题目以一题为宜， 尽量不出偏题和怪题. 3.考查知识点要广泛，以课本重难点内容、考点内容为主， 在这部分不宜考查单一知识点，以综合能力的考查为主.
运算
运算 计算 运算 综合应用
易
易 易 中 难
A.题型特征 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出代号为 A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号 写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选，选错或选出的代号超 过一个的（不论是否写在括号内）一律0分．
C.试题考点 考点设置规律性比较强、知识面广泛：主要集中在计算，
简单的综合应用，能力考查方面，方式由计算求值到简单 证明到综合应用到实际问题的考查再到能力提升的出题顺
全国各地中考数学压轴题精选(含详细答案)
12．（黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系 ，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点， 动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒． （1）求直线BC的解析式； （2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的 ； （3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
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点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐 标原点O．（如图2） ①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时， S的值恰好等于梯形OEFG面积的 ；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM 是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在， 请说明理由．（利用图3进行探索）
2011年安徽省中考数学试题及详细解析
2011年安徽省中考数学试题及详细解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、在﹣1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（）A、﹣1B、0C、1D、2考点：有理数。
分析：正数是大于0的数，负数是小于0的数，既不是正数也不是负数的是0．解答：解：A、﹣1＜0，是负数，故A错误；B、既不是正数也不是负数的是0，正确；C、1＞0，是正数，故C错误；D、2＞0，是正数，故D错误．故选B．点评：理解正数和负数的概念是解答此题的关键．2、计算（2x）3÷x的结果正确的是（）A、8x2B、6x2C、8x3D、6x3考点：整式的除法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。
分析：根据积的乘方等于各因式乘方的积和单项式的除法法则解答．解答：解：（2x）3÷x=8x3÷x=8x2．故选A．点评：本题主要考查积的乘方的性质，单项式的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．3、如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为（）A、50°B、55°C、60°D、65°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理。
专题：计算题。
分析：先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数．解答：解：如图所示：∵l1∥l2，∠2=65°，∴∠6=65°，∵∠1=55°，∴∠1=∠4=55°，在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°．故选C．点评：本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理，是一道较为简单的题目．4、2010年一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是（）A、2.89×107B、2.89×106C、2.89×105D、2.89×104考点：科学记数法—表示较大的数。
2011年全国各地中考数学题分类汇编 压轴题(含答案)
2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1?x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b =1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得12x x =－4⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而FF 1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．⑷存在，该直线为y =－1．理由如下： 直线y =－1即为直线M 1N 1． 如图，设N 点横坐标为m ，则（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。
2011年全国各地中考数学压轴题专集答案
2011年全国各地中考数学专集答案三、反比例函数1．解：（1）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，设AM交OB于点E则S△AOM＝S△BON∴S△AOE＝S梯形BEMN，∴S△AOB＝S梯形BAMN由题意知，A（a，－4a），B（2a，－2a）∴AM＝－4a，BN＝－2a，MN＝－a∴S△AOB＝12(－4a－2a)(－a)＝3 ·······································································4分（2）作BE⊥x轴于E∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°∴∠BCE＋∠OCD＝90°又∠BCE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠OCD∴Rt△EBC≌Rt△OCD，∴BE＝CO又A（a，－4a），B（2a，－2a），点C在x轴上，点D在y轴上∴C（a，0），D（0，－2a），∴－2a＝－a分2又∵点P在反比例函数＝－2x（x＜0）图象上，且纵坐标为53∴P（－65，53）把x＝－65代入y＝x＋2，得y＝45，∴EM＝45S△EOF＝S△AOF－S△AOE＝12×2×53－12×2×45＝1315 ··················································4分（2）以AE、EF、BF为边的三角形是直角三角形理由如下：由题意知△AOB 是等腰直角三角形，则△AME 又－2＜a ＜0，0＜b ＜2，AM ＝2－(－a)＝2＋a∴AE 2＝(2AM)2＝2a2＋8a ＋8而BN ＝2－b ，∴BF 2＝(2BN)2＝2b2－8b ＋8PE ＝PM －EM ＝PM －AM ＝b －(2＋a)＝b －a －2又ab ＝－2，∴EF 2＝(2PE)2＝2a2＋2b2＋8a －8b ∵|a|≠|b|，∴AE ≠BF又(2a2＋8a ＋8 )＋(2b2－8b ＋8)＝2a 2＋2b2＋8a －8∴AE 2＋BF 2＝EF 2故以AE 、EF 、BF 为边的三角形是直角三角形 ···················································· 9分3．解：（1）∵y ＝3，∴3＝63x∴x ＝2 3∴a ＝33＋23＝5 3 ···················································································· 2分 （2）①∵tan ∠AOB ＝333＝33，∴∠AOB ＝30° 又∵OA ＝OB ，∴当α＝30°时，点B 的坐标为（－33，－3）∴k ＝(－33)(－3)＝9 3 ················································································ 4分 ②能 ··········································································································· 5分 ∵A （－33，3），OA ＝OB ，∴OB ＝OA 将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α由①知反比例函数为y ＝93 x，若点B 在则(－6cos α)(－6sin α)＝93，即sin αcos α∵0°＜α＜90°，sin α1－sin 2α＝34整理得：16sin 4α－16sin 2α＋3＝0，∴sin 2α∴sin α＝1 2或sin α＝ 32，∴α＝30°或α＝当α＝30°时，点A 在x 轴上，舍去当α＝60°时，点A 坐标为（－33，－3）∴α＝60° ········································图34．解：（1）过点A 分别作AM ⊥y 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图1∵△AOB 是等腰直角三角形，∴AM ＝AN ∴设点A 的坐标为（a ，a ）∵点A 在直线y ＝3x －4上，∴a ＝3a －4，解得a ＝2 ∴A （2，2） ················································· 1分∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点A∴2＝k2，∴k ＝4 ············································ 2分∴反比例函数的解析式为y ＝4x·························· 3分（2）∵A （2，2），∴AO 2＝22＋22＝8把x ＝0代入y ＝3x －4，得y ＝－4 ∴C （0，－4），∴OC ＝4在Rt △COD 中，CD 2＝OC 2－OD 2 ① 在Rt △AOD 中，AD 2＝OA 2－OD 2 ②①－②，得CD 2－AD 2＝OC 2－OA 2＝16－8 ··········· 7分 （3）①若∠P AQ ＝90°，AP ＝AQ ，如图2连接BQ在△AOP 和△ABQ 中∵AO ＝AB ，∠OAP ＝∠BAQ ＝90°－∠P AB ，AP ＝AQ ∴△AOP ≌△ABQ ，∴∠ABQ ＝∠AOP ＝45° 又∠ABO ＝45°，∴∠OBQ ＝90°，即QB ⊥OB ∵A （2，2），∴B （4，0）把x ＝4代入y ＝4x，得y ＝1∴Q 1（4，1） ················································· 8分 ②若∠AQP ＝90°，AQ ＝PQ ，如图3过A 作AC ⊥x 轴于C ，过Q 分别作QD ⊥AC 于D ，QE ⊥x 轴于E 在Rt △ADQ 和Rt △PEQ 中∵AQ ＝PQ ，∠AQD ＝∠PQE ＝90°－∠DQP ∴Rt △ADQ ≌Rt △PEQ ，∴AD ＝PE ，DQ ＝EQ设Q （m ，4 m ），则OE ＝m ，CE ＝DQ ＝EQ ＝4m由OC ＋CE ＝OE ，得2＋ 4m＝m ，∴m ＝1± 5∵m ＞0，∴m ＝1－5 不合题意，舍去，∴m ＝1＋ 5 ∴Q 2（5＋1，5－1） ····································10分 ③若∠APQ ＝90°，P A ＝PQ ，如图4过A 作AC ⊥x 轴于C ，过Q 作QD ⊥x 轴于D在Rt △ACP 和Rt △PDQ 中∵P A ＝PQ ，∠APC ＝∠PQD ＝90°－∠DPQ∴Rt △ACP ≌Rt △PDQ ，∴AC ＝PD ，CP ＝DQ设Q （n ，4 n ），则OD ＝n ，CP ＝DQ ＝4n，PD ＝AC ＝2由OC ＋CP ＋PD ＝OD ，得2＋ 4n＋2＝n ，∴n ＝2±2 2∵n ＞0，∴n ＝2－22 不合题意，舍去，∴n ＝2＋2 2∴Q 3（22＋2，22－2） ······························································· 12分 综上所述，在反比例函数的图象上一共存在三个符合条件的点Q ，其坐标分别为： ∴Q 1（4，1），Q 2（5＋1，5－1），Q 3（22＋2，22－2）5．解：（1）∵反比例函数y ＝4－2mx（x ＞0）的图象在第四象限 ∴4－2m ＜0，∴m ＞2 ···································································· 2分 （2）∵点A （2，－4）在反比例函数y ＝4－2mx的图象上 ∴－4＝4－2m2，解得m ＝6 ····························································· 4分 ∴反比例函数为y ＝－8x过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC 于点N ∴∠BNC ＝∠AMC ＝90°又∵∠BCN ＝∠ACM ，∴△BCN ∽△ACM ∴BNAM＝BCAC∵BCAB＝1 3，∴BCAC ＝ 1 4 ，即BNAM ＝1 4∵AM ＝4，∴BN ＝1∴点B 的纵坐标是－1 ············································∵点B 在反比例函数y ＝－8x的图象上，∴当y ＝－1时，x ＝8∴点B 的坐标是（8，－1）······························································ 7分 ∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点A （2，－4）、B （8，－1）∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－48k ＋b ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－5∴一次函数的解析式是y ＝12x －5 ····················································· 8分（3）0＜x＜2或8＜x＜5＋41 ····························································· 10分6．解：（1）k ＝1×2＝2 ·················································································· 2分（2）当k ＞2时，如图1，点E 、F 分别在P 点的右侧和上方作EC ⊥x 轴于C ，作FD ⊥y 轴于D ，EC 与FD 相交于点G ，则四边形OCGD 为矩形 ∵PF ⊥PE∴S △PEF＝1 2 PE ·PF ＝ 1 2 ( k 2 －1)( k －2)＝ 14k 2－k＋1 ··············∵四边形PFGE 为矩形，∴S △GEF＝S △PEF S △OEF＝S 矩形OCGD－S △GEF－S △ODF－S △OCE＝k 2 ·k －(1 4 k 2－k ＋1)－k ＝ 1 4k2－1 ·························· 5分 ∵S △OEF ＝2S △PEF ，∴ 1 4 k 2－1＝2( 14k 2－k＋1)解得k ＝2或k ＝6∵k ＝2时，E 、F 重合，∴k ＝6∴E 点坐标为（3，2） ········································· 6分 （3）存在点E 及y 轴上的点M ，使得△MEF 与△PEF 全等①当k ＜2时，如图2，只可能△MEF ≌△PEF 作FH ⊥y 轴于H ，由△FHM ∽△MBE 得：BMHF＝EMMF∵HF ＝1，EM ＝EP ＝1－k2，MF ＝PF ＝2－k∴ BM 1 ＝ 1－k 22－k ，∴BM ＝12··································· 7分在Rt △BME 中，由勾股定理得：EM 2＝BE 2＋BM 2 ∴(1－k 2 )2＝(k 2)2＋(1 2)2，解得k ＝3 4此时E 点坐标为（38，2） ···································· 8分②当k ＞2时，如图3，只可能△MFE ≌△PEF 作FQ ⊥y 轴于Q ，由△FQM ∽△MBE 得：BMQF＝EMMF∵QF ＝1，EM ＝PF ＝k －2，MF ＝PE ＝k2－1BM 1＝ k －2k2－1，∴BM ＝2 ······································ 9分 在Rt △MBE 中，由勾股定理得：EM 2＝BE 2＋BM 2∴(k －2)2＝(k 2)2＋22，解得k ＝0（不合题意，舍去）或k ＝163此时E 点坐标为（83，2）综上所述，符合条件的E 点坐标为（3 8，2）和（83，2） ······················ 10分图37．解：（1）∵点B （2，1）在曲线y ＝mx（x ＞0）上∴m ＝1×2＝2 ··············································································· 1分 设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ∵直线l 经过点A （1，0），B （2，1）∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝02k ＋b ＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝－1 ∴直线l 的解析式为y ＝x －1 ··························································· 4分 （2）∵点P （p ，p －1)在直线y ＝2上∴p －1＝2，即p ＝3，∴P （3，2）把y ＝2分别代入y ＝2 x和y ＝－ 2x，得x ＝1和x ∴M （1，2），N （－1，2）∴PM ＝2，PN ＝4，P A ＝22，PB ＝ 2∴PMPN＝PBP A＝1 2，又∵∠BPM ＝∠APN ∴△PMB ∽△PNA ·····································（3）存在∵点P （p ，p －1)（p ＞1），∴点P 在直线l 上∵点P （p ，p －1)（p ＞1），∴M 、N 两点的纵坐标都为p －1 把y ＝p －1分别代入y ＝2 x和y ＝－ 2 x ，得x ＝2 p －1和x ＝－2 p －1∴M （2 p －1，p －1），N （－2p －1，p －1）∵S △AMN＝4S △APM，△AMN 和△APM 等高，∴①当1＜p＜2时，点P 在点M 的左侧MN ＝4p －1，PM ＝2p －1－p∴4p －1＝4(2p －1－p)整理得p2－p －1＝0，解得p ＝1±52∵1＜p＜2，∴p ＝1－52不合题意，舍去 ∴p ＝1＋52·············································②当p ＞2时，点P 在点M 的右侧 MN ＝4p －1，PM ＝p －2p －1∴4p －1＝4(p －2p －1)整理得p2－p －3＝0，解得p ＝1±132∵p＞2，∴p＝1－132不合题意，舍去∴p＝1＋132··············································································14分综上所述，存在实数p＝1＋52或p＝1＋132，使得S△AMN8．解：（1）点P在线段AB上，理由如下：∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°∴AB是⊙P的直径∴点P在线段AB上（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线故S△AOB＝12OA·OB＝12×2PP1·2PP2＝2PP1·PP2∵P是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上的任意一点∴PP1·PP2＝6∴S△AOB＝2PP1·PP2＝12（3）连接MN，则点Q在线段MN上，且S△MON＝S△AOB＝12∴OA·OB＝OM·ON，即OAOM＝ONOB又∵∠AON＝∠MOB，∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB∴AN∥MB9．解：（1）∵点E、F在函数y＝kx（x＞0）的图象上，∴设E（x1，kx1）（x1＞0），F（x2，kx2）（x2＞0） ·································· 1分∴S1＝12·x1·kx1＝k2，S2＝12·x2·kx2＝k2 ··················∵S1＋S2＝2，∴k2＋k2＝2，∴k＝2 ·················· 4分（2）∵四边形OABC为矩形，OA＝2，OC＝4设E（k2，2)，F（4，k4） ······························· 5分∴BE＝4－k2，BF＝2－k4 ······························· 6分∴S△BEF＝12(4－k2)(2－k4)＝116k2－k＋4 ·········· 7分S△OCF＝12×4×k4＝k2，S矩形OABC＝2×4＝8 ········ 8分∴S四边形OAEF＝S矩形OABC－S△BEF－S△OCF＝8－(116k2－k ＋4)－k 2＝－1 16 k 2＋ k2 ＋4＝－ 116( k －4)2＋5 ···················· 9分 ∴当k ＝4时，S 四边形OAEF＝5，∴AE ＝2当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5 ······ 10分10．解：（1）∵y ＝(3－m)x2＋2(m －3)x ＋4m －m2＝(3－m)(x2－2x ＋1)＋4m －m2－3＋m＝(3－m)(x －1)2－m2＋5m －3∴A （1，－m2＋5m －3） ································································ 1分∵点A 在双曲线y ＝3x上，∴1×(－m2＋5m －3)＝3解得m ＝2或m ＝3∵二次项系数3－m ≠0，∴m ≠3∴m ＝2，A （1，3） ····································································· 2分 ∵直线y ＝mx ＋b 经过点A ，∴2×1＋b ＝3，∴b ＝1 ···························· 3分 ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋1 ····················································· 4分 （2）由y ＝2x ＋1，可得B （0，1），C （－1 2，0）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，得点B 的对应点为D （1，0），点C 的对应点为E （0，12）可得直线DE 的解析式为y ＝－1 2 x ＋12············································· 5分由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝－ 1 2 x ＋1 2得两直线交点为G （－ 1 5，3 5） ····························· 6分 可得DE ⊥BC ，BD ＝2，BG ＝55∴sin ∠BDE ＝BGBD＝OBAB＝1010······················································ 8分 （3）N 1（5，1），N 2（－3，1） ····················································· 10分 解答过程如下（本人添加，仅供参考）连接AF ，易得F （3，1），AF ＝22，∠AFB ＝MF ＝6＋1－3＝4，当点N 在点F 右侧时，则∠AFB ＝∠F AN ＋∠∵∠AMF ＋∠ANF ＝45°，∴∠F AN ＝∠AMF 又∠AFN ＝∠AFM ，∴△AFN ∽△MF A ∴AFNF＝MFAF，即22NF＝422，∴NF ＝2 ∴N 1（5，1）由抛物线的对称性可得，当点N 在点F11．解：（1）根据反比例函数图形的对称性可知点∵∠BAC ＝60°，AB ＝4，∴∠BON ＝∴在△BON 中，ON=OB cos60°＝1，∴点B 的坐标为（1，3），点A ∵点B 在直线y ＝mx 和双曲线y ＝k x∴m ＝31＝3，k ＝1×3＝ 3 （2）∵∠QON ＋∠NOP ＝90°，∠MOP ＋∴∠QON ＝∠MOP又∵∠OMP ＝∠ONQ ＝90°，∴△∴MPQN＝OMON，即xQN＝3 1，∴QN 在Rt △PCQ 中，PC ＝1－x ，QC ＝33x ∴L ＝PC 2＋QC 2＝43x 2＋4即L 与x 的函数关系式为L ＝43x 2＋4（－1≤x ≤1） （3）S △PQC＝1 2 PC ·QC ＝ 1 2 ( 1－x )(3 3 x ＋3)＝32整理得x2＋2x ＝0，解得x 1＝0或x 2＝－2此时点P 的坐标为（0，－3）或（－2，－3）12．解：（1）在y ＝ax ＋1中，令y ＝0，得x ＝－1a；令x ＝0，得y ＝1∴A （－1a，0），B （0，1）∴S △AOB＝1 2 ×|－1 a |×1＝32∴a ＝±33················································································ 1分 ①当a ＝33 时，直线的解析式为y ＝33x ＋1 ∵点C （－23，m ）为直线与双曲线在第三象限的交点 ∴k ＞0，m＜0，且k 、m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＝33×(－23)＋1m ＝k－23解得：⎩⎨⎧k ＝23m ＝－1∴a ＝33，m ＝－1，k ＝2 3 ·························································· 4分 ②当a ＝－33 时，直线y ＝－3 3 x ＋1经过一、二、四象限，与双曲线y ＝kx不可能在第三象限有交点∴a ＝－33不合题意，舍去 ···························································· 5分综上所述，a ＝33，m ＝－1，k ＝2 3 （2）由（1）知，A （－3，0），B （0，1∴OA ＝3，OB ＝1，∴∠OBA ＝60°由作图可知，点D 在y ①当点D 在y 轴负半轴上时作CE ⊥y 轴于E ，则E （0，－1），∴∵△BCD 为等边三角形，∴DE ＝BE ＝∴OD ＝3，∴D 1（0，－3） ············ 7②当点D 在第二象限时∵∠BCD ＝∠OBA ＝60°，∴DC ∥y 轴 ∴点D 的横坐标为－2 3∵B （0，1），C （－23，－1），∴BC ∴DC ＝4，∴点D 的纵坐标为3 ∴D 2（－23，3）综上所述，D 点的坐标为（0，－3）或（－23，3） ··························· 9分13．解：（1）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋8y ＝kx得2x2＋8x －k ＝0 ∴x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－k 2由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4x 1－x 2＝2 解得x 1＝－1，x 2＝－3 ∴k ＝－2x 1x 2＝－6 ······································································· 3分（2）由（1）知，反比例函数为y ＝－6x把x 1＝－1，x 2＝－3分别代入上式，得y 1＝6，y 2＝2 ∴A （－1，6），B （－3，2）设一次函数y ＝2x ＋8的图象与x 轴交于点C ，则C （－4，0）∴S △AOB＝S △AOC－S △BOC＝1 2 ×4×6－12×4×2 ＝8 ················································································ 6分（3）设过点A 且与OB 平行的直线与x 轴交于点D ，与抛物线交于点E分别过A 、B 、E 作x 轴的垂线，垂足分别为AA 1、BB 1、EE 1 ∵B （－3，2），∴OB ＝(－3)2＋22＝13∵AD ∥BO ，∴∠ADA 1＝∠BOB 1∴sin ∠BOB 1＝2 13 ，cos ∠BOB 1＝313∵AD ∥BO ，∴∠ADA 1＝∠BOB 1∴sin ∠ADA 1＝sin ∠BOB 1＝2 13 ，cos ∠ADA 1＝cos ∠BOB 1＝313∴AD ＝ AA 1sin ∠ADA 1＝313，A 1D ＝AD ·cos ∠ADA 1＝9由题意，AE ＝13，∴ED ＝213∴E 1D ＝ED ·cos ∠ADA 1＝6，EE 1＝ED ·sin ∠ADA 1＝4 OE 1＝A 1D －A 1O －E 1D ＝9－1－6＝2∴E （2，4） ··············································································· 8分 设所求抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝69a －3b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝4解得：a ＝－8 15，b ＝－2 15，c ＝32 5∴抛物线的解析式为y ＝－ 8 15x2－ 2 15 x ＋325······································ 10分14．解：（1）设直线得⎩⎨⎧b ＝232k ＋b ＝0 解得⎩⎨⎧k ＝－3b ＝23∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋23将D （－1，a ）代入y ＝－3x ＋23，得a ＝33∴D （－1，33），将D （－1，33）代入y ＝mx中，得m ＝－33∴反比例函数的解析式为y ＝－3 3x（2）解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋23y ＝－33x得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－ 3 ⎩⎨⎧x 2＝－1y 2＝33 ∴点C 坐标为（3，－3）过点C 作CH ⊥x 轴于点H 在Rt △OMC 中，CH ＝3，OH ＝3∴tan ∠COH ＝CHOH＝33，∴∠COH ＝30° 在Rt △AOB 中，tan ∠ABO ＝AOOB＝232＝3∴∠ACO ＝∠ABO －∠COH ＝30° （3）如图，∵OC ′⊥AB ，∠ACO ＝30°∴α＝∠COC ′＝90°－30°＝60°，∠BOB ′＝α＝60° ∴∠AOB ′＝90°－∠BOB ′＝30° ∵∠OAB ＝90°－∠ABO ＝30° ∴∠AOB ′＝∠OAB ，∴AB ′＝OB ′＝2故当α为60度时OC ′⊥AB ，此时线段AB ′的长为15．解：（1）∵E （2，4），∴k ＝2×4＝8∵点F 的横坐标为6，点F 的纵坐标为8 6＝43∴F （6，43）设经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝4 3解得a ＝－4 9，b ＝26 9∴所求抛物线的解析式为y ＝－ 4 9x2＋ 269x ·············· 3分（2）设直线EF 的解析式为y ＝kx ＋b 1∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝46k ＋b ＝4 3解得k ＝－2 3，b 1＝163∴直线EF 的解析式为y ＝－2 3x ＋16 3过O 作OP ∥EF ，交抛物线于点P ，则点P 即为所求的点 ∴直线OP 的解析式为y ＝－23x解方程组 ⎩⎨⎧y ＝－23x y ＝－ 4 9x2＋ 26 9x得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝0 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8y 2＝－16 3。
2011年各地中考数学压轴题精选21-30(解析版)
2011年各地中考数学压轴题精选21-30解析版2011广东广州4、（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；相似三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=﹣1﹣a，求出方程ax2+bx+1=0，的b2﹣4ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=，ab=，求出AB=，把y=1代入抛物线得到方程ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出=，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1﹣S2的值即可．解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：0=0+0+c，解得：c=1，答：c的值是1．（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，∴b=﹣1﹣a，ax2+bx+1=0，b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，∴a≠1且a＞0，答：a的取值范围是a≠1且a＞0；（3）证明：∵0＜a＜1，∴B在A的右边，设A（a，0），B（b，0），∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，由根与系数的关系得：a+b=，ab=，∴AB=b﹣a==，把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，解得：x1=0，x2=，∴CD=，过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，则MN⊥X轴，∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA，∴=，∴=，∴PN=，PM=，∴S1﹣S2=••﹣••=1，即不论a为何只，S1﹣S2的值都是常数．答：这个常数是1．点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．2011广东广州25、（2011•广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE 是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质。
2011年浙江中考数学压轴题及答案
点E为OC中点，即OE= ，∴E1（ ，0）；当∠ECF=∠OAB时，
有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF= ,∵△ECF∽△EAD,
∴ ,即 ,解得： ,∴E2（ ，0）;
②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，
x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点
的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）连结BC,弧AB的长= ;
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出
点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，
∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），
设所求直线解析式为y=kx+b，
⑵求x1•x2的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的
结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，
请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
解：⑴b=1
⑵显然 和 是方程组 的两组解，
解方程组消元得 ，
（2）连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,
2011年中考数学压轴题
2011中考数学压轴题姓名___________班级__________学号__________分数___________一、解答题1．（13999－2011湖北恩施州）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A，B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A 种材料进了x箱．(1)求厂家共有多少种进货方案(不要求列举方案)？(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式(求函数解析式不取近似值)，确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．2．（14001－2011湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A．点C，且与x轴的另一交点为B(x0，0)，其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；(2)若△P AC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；(3)如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动(M不与端点C．O重合)，过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；(4)在(3)的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．(备用图图3)3．（14155－2011湖北黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？4．（14156－2011湖北黄冈）如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1＜0，x2＞0)．(1)求b的值．(2)求x1•x2的值．(3)分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．5．（14181－2011湖北黄石）已知二次函数2248y x mx m =-+- (1)当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围．(2)以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ，N 两点在抛物线上)，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(3)若抛物线2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值．6．（14096－2011湖北荆门）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME 、NF 与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i ＝1∶3.7，桥下水深OP ＝5米，水面宽度CD ＝24米．设半圆的圆心为O ，直径AB 在坡角顶点M 、N 的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长．(参考数据：π≈3，3≈1.7，tan 15°＝321+)7．（14098－2011湖北荆门）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．1)分别求1y 和2y 的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．8．（14099－2011湖北荆门）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边O C ．OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(O 、C ．F 三点在x 轴正半轴上)．若⊙P 过A ．B ．E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线c bx x y ++=241经过A ．C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1. (1)求B 点坐标；(2)求证：ME 是⊙P 的切线；(3)设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S △ACQ ＝s ，直接写出．．．．s 与t 之间的函数关系式．第21题图9．（14073－2011湖北荆州）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积，关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值．10．（14074－2011湖北荆州）2011年长江中下游地区发生了特大早情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系．图甲图乙（备用图）y2＝湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC ACQ12．（14051－2011湖北潜江仙桃天门江汉油田）在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ． (1)直接填写：a ＝ ，b ＝ ，顶点C 的坐标为 ；(2)在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P 为x轴上方的抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．13．（13903－2011湖北十堰）如图，线段AD ＝5，⊙A 的半径为1，C 为⊙A 上一动点，CD 的垂直平分线分别交CD ，AD 于点E ，B ，连接BC ，AC ，构成△ABC ，设AB ＝x ． (1)求x 的取值范围；(2)若△ABC 为直角三角形，则x ＝____________； (3)设△ABC 的面积的平方为W ，求W 的最大值．14．（13904－2011湖北十堰）如图，己知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)和点 B ，与y 轴交丁点C (0，－3)． (1)求抛物线的解析式；(2)如图(1)，己知点H (0，－1)．问在抛物线上是否存在点G (点G 在y 轴的左侧)，使得S △GHC ＝S △GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：(3)如图(2)，抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(－2，0)，F是OC的中点，连接DF，P为线段BD 上的一点，若∠EPF＝∠BDF，求线段PE的长．15．（14130－2011湖北随州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？16．（14131－2011湖北随州）如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1＜0，x2＞0)．(1)求b的值．(2)求x1•x2的值．(3)分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．17．（14024－2011湖北武汉）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．18．（14027－2011湖北武汉）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(－3，0)，B(－1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M，直线y＝－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（13925－2011湖北咸宁）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．(1)假设每桶柴油降价x元，每天销售这种柴油所获利润为y元，求y与x之间的函数关系式；(2)每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？20．（11613－2011湖北襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC，CD是⊙O′的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，B，C三点．(1)求证：∠CAD＝∠CAB；(2)①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．21．（13953－2011湖北孝感）如图(1)，矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为(m，0)，其中m＞0.(1)求点E、F的坐标(用含的式子表示)；(2)连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；(3)如图(2)，设抛物线y＝a(x－m－6)2＋h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．22．（13977－2011湖北宜昌）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于两点，这两点的坐标分别是(0，21 )和(m －b ，m 2－mb ＋n )，其中a ，b ，c ，m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点是(x 1，0)和(x 2，0)，求x 1x 2的值；(3)当－1≤x ≤1时，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上与x 轴距离最大的点为P (x o ，y o )，求这时｜y o ｜的最小值．第24题23．（14257－2011湖南常德）如图，已知抛物线过点A (0，6)，B (2，0)，C (7，)．(1)求抛物线的解析式；(2)若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE ＝∠AFE ；(3)在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有请求出所有和条件的点P 的坐标，若没有，请说明理由．24．（14462－2011湖南郴州）如图，在平面直角坐标系中，A ．B 两点的坐标分别是(0，1)和(1，0)，P 是线段AB 上的一动点(不与A ．B 重合)，坐标为(m ，1－m )(m 为常数)．(1)求经过O 、P 、B 三点的抛物线的解析式；(2)当P 点在线段AB 上移动时，过O 、P 、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着P 的移动而改变；(3)当P 移动到点()时，请你在过O 、P 、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P 、B 两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．25．（14412－2011湖南衡阳）已知抛物线．(1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．(2)如图，当抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A ．B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得以C ．D ．M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．26．（14304－2011湖南怀化）已知：关于x 的方程2(13)210ax a x a --+-=．(1)当x 取何值时，二次函数2(13)21y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；(2)求证：a 取任何实数时，方程2(13)210ax a x a --+-=总有实数根．27．（14205－2011湖南娄底）如图，已知二次函数y ＝－x 2＋mx ＋4m 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点(B 点在A 点的右边)，与y 轴的正半轴交于点C ，且(x 1＋x 2)－x 1x 2＝10.(1)求此二次函数的解析式．(2)写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标；(3)连接BM ，动点P 在线段BM 上运动(不含端点B ，M )，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S ．请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．28．（14436－2011湖南邵阳）如图(十一)所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． (1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ．B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符D 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（14338－2011湖南湘潭）如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A ．B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． x30．（14364－2011湖南湘西州）如图．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求点A．点B和点C的坐标．(2)求直线AC的解析式．(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB＝6，求点M的坐标．(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B，A重合)，同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？。
2011年中考数学压轴题精选10答案
2011年中考数学压轴题精选（91-100题）答案n＝2＋c，解：法1：由题意得【091】(1) 1分 2n－1＝2＋c.解得……2分 1 法2：∵抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝，211 且－(－1) ＝2－，∴ A、B两点关于对称轴对称. 22 ∴ n＝2n－11分∴ n＝1，c＝－1. 2分 15 ∴有 y＝x2－x－1 3分＝(x－)2－. 245 ∴二次函数y＝x2－x－1的最小值是－. ……4分4 (2)解：∵点P(m，m)(m＞0)，∴PO＝2m.∴22≤2m ≤2＋2. ∴2≤m≤1＋2. ……5分法1：∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴ m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m. ∵开口向下，且对称轴m＝1，∴当2≤m≤1＋2 时，有－1≤c≤0. (6)分法2：∵2≤m≤1＋2，∴1≤m－1≤2. ∴1≤(m－1)2≤2.∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2. ∴1≤1－c≤2.∴－1≤c≤0. ……6分∵点D、E关于原点成中心对称，法1：∴ x2＝－x1，y2＝－y1. y1＝x12－x1＋c， ∴∴2y1＝－2x1，y1＝－x1. －y1＝x12＋x1＋c. 设直线DE：y＝kx. 有－x1＝kx1. 由题意，存在x1≠x2. ∴存在x1，使x1≠0. 7分∴ k＝－1. ∴直线DE： y＝－x. 8分法2：设直线DE：y＝kx. 则根据题意有 kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1) x＋c＝0. ∵－1≤c≤0，∴(k＋1)2－4c≥0.∴方程x2－(k＋1) x＋c＝0有实数根. 7分∵ x1＋x2＝0，∴ k＋1＝0. ∴ k＝－1. ∴直线DE： y＝－x. 8分 y＝－x， 33 若则有 x2＋c＋＝0.即 x2＝－c－. 3 88 y＝x2－x＋c＋. 8333 ① 当－c－＝0时，即c＝－时，方程x2＝－c－有相同的实数根，8883 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋有唯一交点. ……9分8333 ② 当－c－＞0时，即c＜－时，即－1≤c＜－时，888 13 方程x2＝－c－有两个不同实数根，83 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋有两个不同的交点. ……10分83333 ③ 当－c－＜0时，即c＞－时，即－＜c≤0时，方程x2＝－c－没有实数根，88883 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋没有交点. ……11分8【092】解：（1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC．y∵∠AOC≠90°，∴∠ABC=90°，327 A B 12故BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（，1）．（1分，）xO-112345 C 7-12即s=，t=1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，得，y=x2+mx－m与 y=1（线段AB）相交，2 y=x mx m, y=1.由(x－1)(x+1+m)=0，（3分）∴1＝x2+mx－m，x 1,x m 1得．123x2∵=1<，不合题意，舍去．（4分）1x∴抛物线y=x2+mx-m与AB边只能相交于（，1），23759 m 2222∴≤－m－1≤，∴．①（5分）2mm 4m, 24又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，m70 7 m 022∴，即．② （6分）442∵，（或者抛物线22m 4m2) 4m(m 2 1 1( 1)y=x2+mx－m顶点的纵坐标最大值是1）∴点P一定在线段AB的下方．（7分）又∵点P在x轴的上方，2m 4m 0m(m 4) 0,4∴， 2或者 m 4 0m 4 0 ．（*8分）m 0,m 0,∴ 4 m(9分) 0. ③（9分）2m 4m2m2 ( )m(3m 8) 0.3432又∵点P在直线y=x的下方，∴，（10分）即或者 3m 8 03m 8 0.（*8分处评分后，m 0,m 0,分)，或m 0.3 ④ 8m此处不重复评分）8 m (113 4 ．（12分）由①②③④ ，得说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．BOACOABCPDPHH【093】解：（1）连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．理由如下： H ∵矩形是中心对称图形，且点为矩形的对称中心． OABCDP又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线过矩形OABCDPH的对称中心点，所以直线平分矩形的面积．…………2分 3P(，2)2P 由已知可得此时点的坐标为． y kx bDP， 3420k b 2.k b 设直线的函数解析式为． 5k b 021313，．则有解得420y x 1313DP所以，直线的函数解析式为：． 5分△△DOMABCM（2）存在点使得与相似． yM(0，y)DP如图，不妨设直线与轴的正半轴交于点．m OMBCOMAB．因为，若△DOM与△ABC相似，则有或 DOM ABCODABODBC，)m144ODAB54．所以点满足条件．当时，y3OMBC1515m y M(0即，解得 3，)m233ODBC53．所以点满足条件．当y4OMAB2020m y M(0时，即，解得15M(0， )34也满足条件．由对称性知，点152015M(0，)M(0，)M(0， )123△△DOMABC434M、、．综上所述，满足使与相似的点有3个，分别为9分5 P2（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE、DF，5 P2点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，22∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ∴△DPE≌△DPF．15 DE PE DE PE DE△DPE＝2×．∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．y∵，，222DE DP PE222DE DP PE∴．11P22DE DE 0 DPDP，1111F2222DE DE DP DPCB∴．∵11E DE DEP x∴．由点的任意性知：DE是11A DOFD点与切点所连线段长的最小值．……12分1在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，P1∠DAP＝∠CAO，∴△ADP∽△AOC．DPCODP432 DP．∴E55DACA8．∴．∴，即1102425347122DE DP PE 25410 3471347144∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝，即Ｓ＝． 14分（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）2y ax bx c，则【094】解：（1）令二次函数16a 4b c 0 a b c 0 c 2 1分 42 c 2 2分 132y x x 21 a23 bA，B，C22 过三点的抛物线的解析式为4分3 O，022 5分2 AB（2）以为直径的圆圆心坐标为53 OC OO为圆切线6分 OCD DCO 90° CDO OC CDCOO OCO 90 COO DCO°△OCO∽△CDOOO/OC OC/OD 8分38/2 2/OD OD 23坐标为 9分（3）存在 10分 3X 2抛物线对8 0， 3 D称轴为 33( r，r)F( r，r)r22E设满足条件的圆的半径为，则的坐标为或132y x x 222E而点在抛物线上2222 2929r 1 r 1 2122 13332 r ( r) ( r) 22929 1 1 x22EF故在以为直径的圆，恰好与轴相切，该圆的半径为，12分 5注：解答题只要方法合理均可酌情给分C0(，2) B【095】（1）（4，0），． 2分132y x x 222． 4分△ABC（2）是直角三角形．5分132x x 2 0y 022证明：令，则． x 1，x 4．12 A( 1，0)． 6分 AB 5，AC 5，BC 25解法一：． 7． △ABC是直角三角形．8分分222 AC BC 5 20 25 ABCOAO1 AO 1，CO 2，BO 4， BOOC2解法二：， △AOC∽△COB．7分AOC COB 90°ACO CBO． CBO BCO 90°，．即． △ABC是直角三角形．8ACO BCO 90° ACB 90°分 ①COGFAB H （3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于． y GF ∥AB ， E D △CGF ∽△CAB ． O A B x F H GFCH G C ABCO ． 9分 图1 62CH x GF xDE x5解法一：设，则，， 2DG OH OC CH 2 x 5． 22 2 S ·2 x xx 2x 矩形DEFG55 2255 x 522 =． 10分 5x S2当时，最大． 5 DE ，DG 1 2． △ADG ∽△AOC ， ADDG11 ， AD ， OD ，OE 2 AOOC22． 1 D ，0 E(2，0)2 ，． 11分 10 5xDE GF DG x2解法二：设，则． 10 5x55522 S x · x 5x (x 1) 矩形DEFG2222．10分 x 1S 当时，最大． 5 DG 1，DE 2． △ADG ∽△AOC ， ADDG11 ， AD ， OD ，OE 2 AOOC22． 1 D ，0 E(2，0)2 ，． 11分 y 7 D O A B x G G C②CABF 当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2， GDAG DG ∥BC △AGD ∽△ACBBCAF ，．． AC 5,BC 25GD x 解法一：设，， x1 x 2S x ·5 x 5x GF AC AG 5 矩形DEFG 22 2 ． 15 2 x 5 22=． 12分 x 5S 当时，最大． 3 535 D ，0 22 AD AG GD OD GD 5，AG 2 222，． 13分 AC 5BC 25AG 5 x GD 25 2xDE x GC x 解法二：设，，，，．． 2 55 5 2x x 2 x·25 2x 2x 25x S22 S2 矩形DEFG= 12分当时，最大， 3，AG 535D，022 AD AG GD OD . GD 52 222 ．． 13分 1 ，0 2 AB综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）； 3 ，0 2 AB当矩形一个顶点在上时，坐标为14分【096】（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为故可设其关系式为………………(1分) (2,4)， 2 y ax 2 4又抛物线经过O(0,0)，于是得，………………(2分) 解2 a0 2 4 0得a=-1 ………………(3分) 2 y x 2 4∴所求函数关系式为，即. ……………(4分)2y x 4x（2）① 点P不在直线ME上. ………………(5分) 根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，又M的坐标为(2,4)，设直线ME的于是得，关系式为y=kx+b. 4k b 0k 2 2k b 4b 8 解得 8所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ……(6分) 55 55 P, 22 22由已知条件易得，当t ……………(7分) 时，OA=AP，∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. 5 2∴当t时，点P不在直线ME 上. ………………(8分) ② S存在最大值. 理由如下：………………(9分) ∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴ OA=AP=t. ∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …(10分) （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴1122S=DC·AD=×3×2=3. ………………(11分) （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵4222 PN∥CD，AD⊥CD，2213 11 t∴S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3=321S 最大24. …………(12分) 其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜＜3，此时3 2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，综上所述，当t214这个最大值为. ………………(13分) 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合. 3)(4，D．【097】解：（1）点的坐标为（2分）392y x x84（2）抛物线的表达式为．（4分）Px（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．1yO x ∴．1 M P OA∥CB∵， P A 6 POM CDO3B OPM DCO 90°C D ，∵13y x 4Rt△POM∽Rt△CDO∴．（6分）1 9x 3∵抛物线的对称轴，P(3，0)P∴点的坐标为．（7分）11POOD过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．2y∵对称轴平行∴．2 POM DCO 90°∵，于轴， PMO DOC∴点也符合条2Rt△PMO∽Rt△DOC∴．（8分）21 OPM ODCP∴，件，．22PO CO 3， PPO DCO 90°121Rt△PPO≌Rt△DCO∴．（9分）21PP CD 4∴．12P∵点在第一象限，2PP(3，4)∴点的坐标为，22P(3，0)P(3，4)P∴符合条件的点有两个，分别是，．（11分）12【098】解：（1）当t=4时，B(4,0) 设直线AB的解析式为y= kx+b . 把 A(0,6)，B(4,0) 代入得：3 b=6k =－ 2 , 解得： , 4k+b=0 b=63∴直线AB的解析式为：y=－x+6.………………………………………4分 2 (2) 过点C作CE⊥x轴于点E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC. BE CE BC1 AOBOAB2∴，11t∴BE= OB= AO=3，CE= ，222t∴点C的坐标为(t+3，).…………………………………………………………2分2方法一：1011t115 y S梯形AOEC= OE·(AO+EC)= (t+3)(6+)=t2+t+9，22244 A 11 D S△ AOB= AO·OB= ×6·t=3t，22 C 11t3S△ BEC= BE·CE= ×3×= t，2224 B x O E ∴S△ ABC= S梯形AOEC－ S△AOB－S△ BEC 11531 = t2+t+9－3t－t = t2+9. 4444方法二：1∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB·BC= BC2. 21在Rt△ABC 中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，41即S△ABC= t2+9.…………………………………………………………2分4(3)存在，理由如下：y ①当t≥0时. Ⅰ.若AD＝BD.又∵BD∥y轴 A D ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，∴∠OAB=∠BAD. C 又∵∠AOB=∠ABC，∴△ABO∽△ACB，OBBC1 t1 B O x E AOAB2，∴= ，∴t=3，即B(3，0). ∴62Ⅱ.若AB＝AD.延长AB 与CE交于点G， 1 C 又∵BD∥CG∴AG＝AC过点A画AH⊥CG 于H．∴CH＝HG＝ CG y D 2GEAO18由△AOB∽△GEB，得＝，∴GE= . BEOBt A H t181t18 E 又∵HE＝AO＝６，CE＝∴＋６＝×（＋）2t22t x O B G ∴t2-24t-36=0 解得：t=12±65. 因为t≥0，所以t=12＋65，即B(12＋65，0). Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB. D 当t≥12时，BD≤CE<BC<AB. ∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况. ②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.设AD=AB， y 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F. tt A 可求得点C的坐标为(t+3，)，∴CF=OE=t+3，AF=6－，22由BD∥y轴，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB∴∠BAO=∠FAC， E O 又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC， x B C F 11t6 BOAO tt 3 6 CFAF2 ，∴，∴∴t2-24t-36=0 解得：t=12±65.因为－3≤t<0，所以t=12－65，即B (12－65，0). ③当t<－3时，如图，∠ABD是钝角.设AB=BD， y 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F， A tt可求得点C的坐标为(t+3，)，∴CF= －(t+3)，AF=6－，22∵AB=BD，∴∠D=∠BAD. E B xO 又∵BD∥y轴，∴∠D=∠CAF，∴∠BAC=∠CAF. 又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC，∴AF＝AB，CF=BC， F C t∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，解得：t=－8，即B(－8，0). 2综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为： D B1 (3，0)，B2 (12＋65，0)，B3 (12－65，0)，B4(－8，0). ...........................4分【099】解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. （写对一个给1分，写对两个给2分） (2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB 的直径. ..............................3分结论：（垂径定理的结论之一）. (4)分证明：略（对照课本的证明过程给分）. ……………………………………………………………7分情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交结论：. D 证明：略. mn 于点P. PA PB PC PD n情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于结论：. m 证明：略. A B P 点P. PA PB PC PD OC 情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD. 第25题图结论： = . BC AD 证明：略. （上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）(3) 若点C和点E重合，则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………………8分 BAC x BAD x ABC 90 x设，则，.…………………………………………9分ABC又D是的中D 180 ABC2 CAD CAD AC点，所以，2 2x 180 (90 x)即 (10)分x BAC 30 解得.………………………………………………………………………………………11分3AB AC AF 3 FB2（若求得或等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆12 n E C D C D n G m B A O O F OB的十二等分点，然后说明）【100】解：（1）令得2 (2b) 4(m a)(m a) 0222a b m由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知a b△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形2y a(x 2) 1（2）设，∵△ABM是等腰直角三角形∴斜边上的中线等于斜边的一半，又顶点M(－2，－1) 1AB 12∴，即AB＝2，∴A(－3，0)，B(－1，0) 2y a(x 2) 1a 1将B(－1，0) 代入中得∴抛物线的解析式为，即y k x（3）设22y (x 2) 1y x 4x 3平行于轴的直线为y k 2解方程组得，（21y x 4x 3k 1)x 2 k 1x 2 k 1k 1 k2k 1x∴线段CD的长为，∵以CD为直径的圆与轴相切，据题意得，1 51 51 5k ( 2,)( 2,)2k k 1222∴，解得，∴圆心坐标为和 13。
11年中考数学压轴题综合型问题答案
从而得K（－1，2），D（－1，），E（－1，），F（－1，0）
∴KD＝，DE＝，EF＝
∴KD＝DE＝EF
解法2：截得三条线段的数量关系为：KD＝DE＝EF
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠CAB＝60°
∴EF＝BF·tan30°＝，KF＝AF·tan60°＝2
③作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且ll⊥l2，可知l经过点D，∴KD＝DC
此时有点M2即点D坐标为（－1，），使△M2CK为等腰三角形
l与抛物线的另一个交点即为M1
综上所述，当点M的坐标分别为（－2，），（－1，）时，△MCK为等腰三角形
解法2：当点M的坐标分别为（－2，），（－1，）时，△MCK为等腰三角形
∵OB＝3，OA＝1，AB＝4，∴CO＝
∴点C的坐标为（0，）
设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把C（0，）代入，解得a＝－
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为：KD＝DE＝EF
理由如下：
可求得直线ll的解析式为y＝－x＋，直线l2的解析式为y＝x＋
由顶点D坐标（－1，），得DF＝
∴KD＝DE＝EF＝
（3）解法1：①以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1
由抛物线的对称性可知点M1为点C关于直线x＝－1的对称点
∴M1（－2，），此时△M1CK为等腰三角形
②当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线的交点为点M1和点A，而A、C、K三点在同一直线上，不能构成三角形
∴弧AB的长＝＝4分
（2）连结OD
∵OA是⊙C直径，∴∠OBA＝90°
2011年中考数学试题汇编之压轴题【汇总】
(年山东省济宁市). （分）在平面直角坐标中，边长为的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.(第题)x.（）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了045. ∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=.……………分 （）解：∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒.∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵OA OC =,OAM OCN ∠=∠,∴OAM OCN ∆≅∆.∴AOM CON ∠=∠.∴1(90452AOM ∠=︒-︒)=22.5︒. ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒.……………………………………………分（）答：p 值无变化.证明：延长BA 交y 轴于E 点，则045AOE AOM ∠=-∠， 000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴AOE CON ∠=∠.又∵OA OC =，0001809090OAE∠=-==∠∴OAE OCN ∆≅∆.∴,OE ON AE CN ==.又∵045MOE MON ∠=∠=,OM OM =,∴OME OMN ∆≅∆.∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+， ∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=.∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化. ……………分（第题） x（年北京）.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为()6,0A-，()6,0B，(0,C，延长到点,使12AC,过点作∥交的延长线于点.（）求点的坐标；（）作点关于直线的对称点,分别连结、，若过点的直线y kx b=+将四边形分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（）设为轴上一点，点从直线y kx b=+与轴的交点出发，先沿轴到达点，再沿到达点，若点在轴上运动的速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使点按照上述要求到达点所用的时间最短。
2011全国各省市中考数学压轴题精选精析
= 2( x
a 2 ) 4 a x
当
x
a a =0，即 x a 时，函数 y 2( x )( x＞0) 的最小值为 4 a ． x x
⑵当该矩形的长为 a 时，它的周长最小，最小值为 4 a ． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值． 【分析】⑴将 x 值代入函类数关系式求出 y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.
a x
1 ( x＞0) 的图象性质． x
y
5 4 3 2
1 4
1 3
－1 O －1 1 2 3 4 5
x
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 可以通过配方得到．请你通过配方求函数 y x
2011 全国各省市中考数学压轴题精选精析
1、 （2011•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组 成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段） ．已知 A（﹣1，0） ，B（1，0） ，AE∥BF，且半圆与 y 轴的交 点 D 在射线 AE 的反向延长线上． （1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离； （2）当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围； 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围； （3）已知▱AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条 射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围．
②本题答案不唯一，下列解法供参考． 当 0 x 1 时， y 随 x 增大而减小；当 x 1 时, y 随 x 增大而增大；当 x 1 时函数 y x 小值为 2． ③ y x
2011中考数学真题解析120 压轴题4(含答案)
2011全国中考真题解析压轴题4127.（2011山东淄博24，分）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x 交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN=M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式；（2）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB 上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出ND、MD，根据勾股定理求出m即可．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），代入得：c=﹣2，∴y=ax2+bx﹣2，把A（﹣2，﹣2），B（2，2）代入得：2422 2422a ba b-=--⎧⎨=+-⎩，解得：121ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y=12x2+x﹣2，答：抛物线的解析式是y=12x2+x﹣2．（2）解：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形．理由如下：∵M、N在直线y=x上，∴OP=PM，OQ=QN，只有M在OA上，N在OB上时，ON=OM时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，过M作MC⊥y轴于C，交NQ的延长线于D ，∵MN=M点的横坐标为m，∴N的横坐标是﹣m，MD=ND=|2m|，由勾股定理得：（2m）2+（2m）22=，∵m＜0，m=12 -．答：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，m的值是12 -．点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能用待定系数法求二次函数的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此题的关键．128.（2011•山西）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11.4），动点P在线段OA上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C﹣B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t ＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为．（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．考点：二次函数综合题。
2011中考数学真题解析压轴题1(含答案)
2011全国中考真题解析压轴题1一、选择题1. （2011•台湾34，4分）如图1，有两全等的正三角形ABC ，DEF ，且D ，A 分别为△ABC ，△DEF 的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在上，如图2所示．求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何（ ）A 、2：1B 、3：2C 、4：3D 、5：4考点：旋转的性质；等边三角形的性质。
分析：设三角形的边长是x ，则（1）中阴影部分是一个内角是60°的菱形，图（2）是个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解． 解答：解：设三角形的边长是x ，则高长是x 23． 图（1）中，阴影部分是一个内角是60°的菱形，AD=×x 23=x 33． 另一条对角线长是：2×21×x 33sin30°=31x ． 则阴影部分的面积是：21×31x•63x=363x 2； 图（2）中，AD=×x 23=x 33． 是一个角是30°的直角三角形．则阴影部分的面积=21AD•sin30°•AD•cos30°=21×x•××x•23=363x 2． 两个三角形重迭区域的面积比为：363x 2：363x 2=4：3． 故选C ．点评：本题主要考查了三角形的重心的性质，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．2. （2011台湾，34，4分）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分（ ）A ．3322B ．16＋πC ．18D ．19考点：解直角三角形的应用；钟面角。
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2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（1）1.（广西桂林12分）已知二次函数21342y x x=-+的图象如图．（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3CM（2则C 令y得x∴A ()3-，B()3+，∴22A B 33 1636k =-+=+，()()2222222A CBC 3 +32836k k k k +=+-++=++。
∵AC 2+BC2=AB2，即：21636836k k k +=++，得k 1=4，k 2=0（舍去），∴抛物线的解析式为213442y x x=-++。
（3）如图2，由抛物线的解析式213442y x x=-++可得，A（﹣2，0），B（8，0），C（4，0），D（3，0），M253 ,4⎛⎫⎪⎝⎭，过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则∴DC M在∵D（2求出即可。
（3）由抛物线的解析式213442y x x=-++可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明。
2．（广西百色12分）如图，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O （0，0），A （8，0），B （4，4），C （0，4），直线l ：y x b =+保持与四边形OABC 的边交于点M 、N （M 在折线AOC 上，N 在折线ABC 上）设四边形OABC 在l 右下方部分的面积为S1，在l 左上方部分的面积为S2，记S 为S2－S1的差（S≥0）。
（1）求∠OAB 的大小；（2）当M 、N 重合时，求l 的解析式；（3）当0b ≤时，问线段AB 上是否存在点N 使得S ＝0？若存在，求b 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与b 的函数关系式。
【答案】解（1）过点B 过BE⊥x 轴，垂足为E ，则点E （4，0） ∴BE＝4，AE ＝4。
∴△ABE 为等腰直角三角形，∠OAB＝45°。
（2）∵M 在折线AOC 上，N 在折线ABC 上， ∴当点M 、N 重合时，应重合到点A （8，0）。
代入y x b =+，得8b =-。
∴直线l 的解析式为8y x =-。
（3）∵四边形OABC 的面积为12³4³（4＋8）＝24，直线l ：y x b =+与x 轴的交角为45°，∴△AMN 为等腰直角三角形。
当S ＝0时，△AMN 的面积为四边形OABC 的面积的一半，即12。
此时，△AMN 的底边AM ＝8＋b ，高为12（8＋b ）∴由三角形面积公式，得()()11881222b b ⋅+⋅+=，解得8b =-±8--。
∴当8b =-+AB 上是存在点N 使得S ＝0。
（4）(21S 88882b b b ----≤≤-+＝。
【考点】直线移动问题，直角梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，点的坐标与方程的关系，列二次函数关系式。
【分析】（1）由已知，根据等腰直角三角形的判定和性质可求出∠OAB 的大小。
S ＝3.与x (1)AC (3)l⊥轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t(秒)与△APQ 的面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．【答案】解：（1）把A （－2，0）、B(4，0)代入24y ax bx =++，得424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得112a b =-=，。
∴抛物线的解析式为：2142y x x =-++。
（2）由221194(1)222y x x x =-++=--+，得抛物线的对称轴为直线1x =，直线1x =交x 轴于点D ，设直线1x =上一点T(1，h )，作CE⊥直线1x =，垂足为E ，∴FP＝FC ＝2t -，33P M 4(2)6A Q 4(2)122t t t t =--=-=+-=+，∴2211333825S P M A Q (6)(1)43()2224433t t t t t =⋅=⨯-+=-++=--+∴当83t =时，S 的最大值为253。
综上所述，S的最大值为25 3。
【考点】二次函数综合题，抛物线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，将A、B点的坐标代入24y ax bx=++，即可求出,a b，从而求出抛物线的解析式。
4.（1（2（3BC∵抛物线与y轴交于点C (0，4)，∴()290142a-+=，解得12a=-。
∴所求抛物线的函数关系式为()219122y x=--+。
（2）P1 (1，17)，P2 (1，－17)， P3 (1，8)，P4 (1，178)。
（3）令()2191022x --+=，解得x 1＝－2，x 2＝4∴抛物线()219122y x =--+与x 轴的交点为A (－2，0) C (4，0) 。
过点F 作FM⊥OB 于点M ，∵FM∥CO，∴△BFD∽△BCO，∴M FB F OC B C=。
值。
【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线的顶点（1，92），用待定系数法可求抛物线的函数表达式（顶点式）。
（2）若CD 为腰，CD ＝DP ，由点C (0，4)，D （1，0），得CD =∴得P1 (1，17)，P2 (1，－17)。
若CD 为腰，CD ＝CP ，由点C (0，4)得P3 (1，8)。
若CD 为底，CP ＝DP ，设点P 的坐标为（1，k ）由点C (0，4)，D （1，0）得k k ＝178。
∴得P4 (1，178)。
综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为P1 (1，17)，P2 (1，－17)， P3 (1，8)，P4(1（3(x5.B 、（1（2（3点D∵∠OMA＝60°，∴∠OAM＝60°。
∴OA=1，OB∴A (1，0) ，B (0，。
（2）∵BC 是⊙M 的切线，∴∠CBA＝90°。
∵∠OAM＝60°，∴AC＝4。
∴OC=3。
∴C(－3，0)。
设抛物线的解析式为2y ax bx c=++，把A (1，0) ，B (0，，C (－3，0)代入得930a b c c a b c ⎧⎪⎨⎪⎩＋＋＝－＋＝，解得323a b c ⎧-⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪⎪⎩＝＝2y x =--+∵y作设把x 过B 做BH∥x 轴，则BH ＝1，=在Rt△D1HB 中，由勾股定理得D1H =1，。
根据对称性（关于DH 对称），可得D4 (－。
情况3：BC 为腰，BC=DC ，在Rt△D2CG 中，GC=2，由勾股定理得D2G =1， 。
根据对称性（关于CG 对称），可得D5(－1, －。
D1（2（36.求m 轴试求平移后的抛物线的解析式；试问在平移后的抛物线上是否存在点P ，使得以3为半径的圆P 既与x 轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出直线l2被圆P 所截得的弦AB 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）将（0。
4）代入24my x x =++得m ＝4。
（2）①∵()2244=2y x x x =+++，∴平移前对称轴l1为x ＝－2。
又∵平移前、后的抛物线的对称轴关于y轴对称，∴平移后对称轴l2为x = 2。
又∵平移后最小值为－8， ∴平移后的抛物线的解析式为()228y x =--。
②∵圆P 与x 轴相切，∴设P 的坐标为（x 0，±3），则y（237.（广西贵港12分） 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与抛物线y ＝a (x ＋2) 2相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点． （1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P 为线段AB 上一个动点（A 、B 两端点除外），连接PM ， 设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出l2与x 之间的 函数关系，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在点P ，使以A 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）A 的坐标是（0，2）；抛物线的解析式是y ＝12(x ＋1) 2。
（2）如图，P 为线段AB 上任意一点，连接PM ，过点P 作PD⊥x 轴于点D 。
设P 的坐标是(x ，－12x ＋2)，则在Rt△PDM 中，PM2＝DM2＋PD2，即（3AM 综上所述，满足条件的点为P1(－4，4)、P2(－85，145)、P3(－ 4105，210 ＋105)。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】（1）∵点A 是直线y ＝－12x ＋2与y 的交点，∴令 x ＝0，得 y ＝2，即点 A 的坐标是（0，2）。
又∵点A 在抛物线y ＝a (x ＋2) 2上，∴把点A 的坐标代入，得a ＝12。
∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋1) 2。
（2）根据勾股定理即可列出等式，求得l2与x 之间的 函数关系。
联立y ＝－12x ＋2与y ＝12(x ＋1) 2可求点B 的横坐标 x ＝－5，从而得到自变量x 的取值范围－5＜x ＜0 。
（3）根据等腰三角形的判定，分PM ＝PA ，PM ＝AM ，PA ＝AM 三种情况讨论即可。
8.． (1)最∵a 当x 【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线的顶点（1，2），用待定系数法可求抛物线的函数表达式（顶点式）。
（2）若CD 为腰，CD ＝DP ，由点C (0，4)，D （1，0），得CD =∴得P1 (1，17)，P2 (1，－17)。
若CD 为腰，CD ＝CP ，由点C (0，4)得P3 (1，8)。
若CD 为底，CP ＝DP ，设点P 的坐标为（1，k ）由点C (0，4)，D （1，0）得k k ＝178。
∴得P4 (1，178)。
综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为P1 (1，17)，P2 (1，－17)， P3 (1，8)，P4 (1，178)。
（3(x12.，BC （1（2为S （3在（2）当点P 、Q 运动的时间为t （s ），则PC ＝t 。
①当Q 在CD 上时，过Q 点作QG⊥BC，垂足为点G ， 则由点Q 的速度为22cm/s ，得QC ＝22t 。
又∵DH＝HC ，DH⊥BC，∴∠C＝45°。
∴在Rt△QCG 中，QG ＝QC²sin∠C＝22t²sin45°＝2t 。
又∵BP＝BC －PC ＝14－t ，∴S△BPQ＝12BP²QG＝12（14－t ）²2t＝14t －t2。