控制系统的状态空间分析
现代控制理论课件2
38
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
39
动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
41
例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
42
解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
18
称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
第一章 控制系统的状态空间描述
五、状态空间模型的结构图
u
B
x
A D
x
y
C
六、状态空间表达式的非唯一性
假设 x 和 x 是我们为某一系统选定的两组不同状态变量，x 和 x 之间有 一一对应的变换关系即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是 线性非奇异变换，既
* *
x 与 x 之间必有关系 * x Px
*
其中 P 为非奇异常数矩阵
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
1、可以方便地描述多输入—多输出系统；
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方 式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系 统，只是计算复杂一些而已。 3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数 值计算。
x1 (t ) x (t ) 2 x (t ) xn (t )
三、状态空间
状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。
状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间t的状态是状 态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状 态轨迹，有时也称作相轨迹。 四、输入向量和输出向量 输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量
输出 y u2
q 1 x2 ，写成向量矩阵形式为 C C
1 x1 y 0 C x2
i x , u c
R L A 1 C
i x q
1 L , 0
R A L 1
1 LC 0
1 0 1 P 0 C
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
状态空间分析与设计
状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。
它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。
本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。
一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。
在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。
因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。
二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。
它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。
状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。
三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。
对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。
通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。
2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。
包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。
通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。
3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。
常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。
这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。
四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。
例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
控制系统的状态空间分析与设计
控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。
状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。
在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。
通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。
1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。
一般形式的状态方程可以表示为：x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。
通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。
3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。
可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。
可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。
可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。
可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。
二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。
1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。
主要分析包括零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。
状态空间模型及其在控制系统中的应用
状态空间模型及其在控制系统中的应用状态空间模型是一种控制系统分析与设计的数学工具，它在控制系统领域中具有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用的角度，论述状态空间模型的定义、性质以及在控制系统中的应用。
一、状态空间模型的定义与性质状态空间模型是一种描述系统动态行为的数学模型，它由状态方程和输出方程组成。
状态方程描述系统的演化规律，而输出方程则用于描述输出与状态之间的关系。
状态空间模型通常以矩阵的形式表示，其中状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和传递函数矩阵为模型的核心元素。
状态空间模型具有以下几个性质：1. 线性性质：状态空间模型适用于线性系统，而对于非线性系统需要进行线性化处理。
2. 可观测性：状态空间模型能够通过系统的输出来确定系统的状态，从而实现对系统状态的估计和监测。
但是，不可观测系统状态无法通过输出来确定。
3. 可控性：状态空间模型中的系统状态能够通过给定的输入来控制，即通过系统输入能够实现对系统状态的调节。
二、状态空间模型在控制系统中的应用状态空间模型在控制系统中有着广泛的应用。
以下分别从系统分析和系统设计两个方面介绍其应用。
1. 系统分析通过状态空间模型可以对系统进行建模和分析，利用数学方法研究系统的稳定性、控制性能等。
通过分析状态空间模型可以得到系统的特征根，进而判断系统的稳定性。
同时，状态空间模型可以用于系统的频域分析，通过传递函数矩阵进行系统性能的评估，如阻尼比、过冲量等。
2. 系统设计状态空间模型在控制器设计中起到关键作用。
利用状态反馈控制方法可以通过反馈系统的状态信息来实现对系统的控制。
同时，利用观测器设计可以通过系统的输出对系统的状态进行估计和监测，实现有限的状态反馈控制。
状态空间模型还可以用于系统的模型预测控制，通过对状态方程进行数学描述和求解，实现对系统的优化控制。
三、状态空间模型的应用案例下面将介绍一个实际的应用案例，展示状态空间模型在控制系统中的应用。
案例：飞机自动驾驶系统设计针对飞机自动驾驶系统的设计，可以通过状态空间模型进行系统建模和控制器设计。
2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
状态空间分析与控制系统设计
状态空间分析与控制系统设计状态空间分析和控制系统设计是现代控制理论中重要的基础概念和方法。
通过对系统的状态和状态方程进行建模和分析，可以实现对系统行为的全面理解和控制。
本文将介绍状态空间分析和控制系统设计的基本原理，并分析其在实际应用中的重要性和价值。
一、状态空间分析状态空间分析是一种将系统的动态行为表示为一组线性常微分方程或差分方程的方法。
在状态空间模型中，系统的行为被描述为一系列状态变量的演化过程，而不是传统的输入-输出模型。
通过状态空间模型，我们可以更加全面地了解系统的内部结构和动态性能。
在状态空间分析中，系统的行为由一组一阶微分方程或差分方程表示：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统的状态向量，表示系统的内部状态，u(t)是输入控制向量，y(t)是输出向量，A、B、C和D是系统的系数矩阵。
通过对状态空间方程进行求解和分析，可以得到系统的模态特性、状态转移矩阵、特征值和特征向量等重要信息。
这些信息能够帮助我们了解系统的稳定性、可控性和可观测性等特性，从而为系统的控制设计提供重要依据。
二、控制系统设计基于状态空间分析的控制系统设计是将系统的状态空间模型与控制算法相结合，实现对系统动态行为的控制和调节。
通过对状态空间方程的设计和调整，可以实现对系统的稳定性、响应速度、精度和鲁棒性等方面的要求。
常用的状态空间控制方法包括状态反馈控制、输出反馈控制和观测器设计等。
状态反馈控制是通过测量系统状态并构造一个状态反馈控制器来实现对系统的控制。
输出反馈控制是通过测量系统输出并构造一个输出反馈控制器来实现控制目标。
观测器设计是通过测量系统输出并估计系统状态来实现对系统的控制。
在控制系统设计过程中，我们需要考虑系统的稳定性、响应时间、鲁棒性和控制精度等方面的要求。
通过合理选择控制算法和调节参数，可以使系统在各种工作条件下保持良好的动态性能和稳定性，提高系统的控制质量和效率。
控制系统的状态空间分析
第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。
2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。
3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。
4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。
系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。
5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。
6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。
二、状态空间描述（状态空间表达式）1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1）对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2）2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。
3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。
利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G ：多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系，称为传递矩阵)(s G ，即)()()(s U s Y s G =（8-3） 式中：)(s U ——系统的输入向量 )(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是：D B A I C G +-=-1)()(s s （8-4）上式中的A ，B ，C ，D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。
控制系统状态空间设计
控制系统状态空间设计控制系统状态空间设计是现代控制理论中的重要内容之一，它涉及到系统建模、状态变量的选择、状态空间方程的建立以及反馈控制等方面。
本文将详细介绍控制系统状态空间设计的方法和步骤。
引言控制系统是在各种工程领域中广泛应用的一种技术手段，它通过对系统输入和输出的监测和调节，实现对系统状态的控制。
状态空间法是描述和分析控制系统的一种有效工具，其基本思想是利用状态变量来描述系统的状态演化规律。
一、系统建模在进行状态空间设计之前，首先需要建立准确的系统模型。
系统建模可以通过物理定律、实验数据或数学方法等手段来实现。
1. 物理定律建模对于一些物理系统，可以通过物理定律来建立系统模型。
例如，对于机械系统可以利用牛顿第二定律、能量守恒定律等建立运动方程，对于电路系统可以利用欧姆定律、基尔霍夫定律等建立电路方程。
2. 实验数据建模通过对系统进行实验，获取系统的输入和输出数据，从而建立系统模型。
可以利用系统辨识技术，如最小二乘法、频域分析等进行数据处理和模型辨识。
3. 数学方法建模对于一些抽象的系统，可以通过数学方法进行建模。
常用的数学建模方法包括微分方程、差分方程和传递函数等。
状态空间法是利用微分方程或差分方程描述系统动态行为的一种方法。
二、状态变量的选择状态变量的选择对于系统的状态空间描述至关重要，它直接关系到系统模型的简洁性和有效性。
1. 最小状态变量选择最小状态变量是状态空间设计的一个重要原则。
通过选择足够少的状态变量来描述整个系统的状态，可以降低系统复杂性，简化控制器的设计。
2. 物理量和能量变量在选取状态变量的过程中，可以考虑选择与系统物理量或能量变量相关的状态变量。
这样选择的状态变量更直观、易于理解，有助于后续的控制器设计。
三、状态空间方程的建立状态空间方程是实现控制系统状态空间设计的核心内容，它是对系统动态行为的描述，包括系统的状态方程和输出方程。
1. 状态方程状态方程描述了系统状态变量随时间变化的规律。
控制系统的状态空间分析方法
控制系统的状态空间分析方法控制系统是指将输入信号进行处理，通过执行特定的控制算法，使系统输出信号满足特定要求的系统。
控制系统有多种形式，例如电子系统、机械系统、化学系统、热系统等等。
控制系统的设计和分析是一个复杂的过程，需要考虑多个因素，包括系统动态响应、稳定性、鲁棒性、控制器的性能指标等等。
控制系统的状态空间表示是一种广泛应用的分析方法。
状态空间表示是将系统的状态和状态方程用矩阵和向量的形式表示出来。
状态方程是一组描述系统动态响应的微分方程或差分方程。
状态空间表示可以描述线性系统和非线性系统。
对于线性系统，状态空间表示为：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是状态向量，表示系统的内部状态，u是输入向量，表示外部输入，y是输出向量，表示系统响应，A、B、C、D是矩阵，分别表示状态方程中的系数。
状态空间表示的优点在于它可以提供系统的完整信息，包括系统的结构和动态特性。
通过状态空间表示可以计算系统的传递函数、频率响应、控制器设计等等。
状态空间表示的另一个优点在于它可以用于多变量控制和非线性控制。
在多变量控制中，状态空间表示可以直接描述多变量系统的动态特性和相互关系。
在非线性控制中，状态空间表示可以近似描述非线性系统的动态行为，从而进行控制器设计。
状态空间分析方法是指基于状态空间表示进行系统分析的方法。
常见的状态空间分析方法包括状态转移矩阵法、观测矩阵法、极点配置法、模型匹配法等等。
状态转移矩阵法是指根据系统的状态方程，计算系统状态随时间的演变。
状态转移矩阵可以用于计算系统的传递函数、频率响应等等。
观测矩阵法是指根据系统的状态方程和输出方程，计算系统的状态和输出之间的关系。
观测矩阵可以用于设计状态反馈控制器和观测器。
极点配置法是指根据系统的状态方程和性能指标，设计状态反馈控制器，使系统的极点满足指定的要求。
极点配置法可以用于设计稳定控制器和提高系统的性能指标。
模型匹配法是指通过拟合实验数据或理论模型，确定系统的状态方程和性能指标。
状态空间方法与控制系统
状态空间方法与控制系统状态空间方法是现代控制理论中一种重要且广泛应用的方法。
它以状态变量为基础，将控制系统描述为一组微分或差分方程，通过对这组方程进行求解和分析，实现对控制系统行为的全面理解和精确控制。
本文将对状态空间方法与控制系统进行详细介绍和分析。
一、状态空间方法的基本原理状态空间方法是现代控制理论的核心方法之一，它基于系统的状态变量来描述和分析控制系统的动态行为。
在状态空间方法中，系统的状态由一组变量来表示，这些变量可以是物理量或逻辑变量，其个数与系统的自由度一致。
通过对状态变量的描述和分析，可以全面了解系统的行为，进而设计出合适的控制策略。
在状态空间方法中，系统的动态行为可以通过一组微分或差分方程来描述。
这组方程通常称为状态方程，它是由系统的物理模型或传递函数转化而来。
状态方程的一般形式为：【公式】其中x是系统的状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A、B、C、D是系统的状态空间矩阵。
通过对状态方程进行求解和分析，可以得到系统的时间响应、频率响应等重要信息。
同时，状态空间方法还可以结合控制理论的相关概念和方法，如可控性、可观性、稳定性等，对系统进行全面而深入的分析。
二、状态空间方法的应用状态空间方法具有广泛的应用领域，包括控制系统设计、系统辨识、故障检测与诊断等。
以下将从几个方面介绍状态空间方法的具体应用。
2.1 控制系统设计状态空间方法为控制系统设计提供了基础和工具。
通过建立系统的状态方程，可以分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质，并设计出合适的控制器。
其中，状态反馈控制是状态空间方法中常用且有效的控制策略之一。
通过对状态量的测量和反馈，可以实现对系统的精确控制。
2.2 系统辨识系统辨识是指通过一系列的试验或观测数据，从中提取出系统的数学模型，以便系统的建模和控制。
状态空间方法在系统辨识中起到重要作用。
通过对系统的输入-输出数据进行处理和分析，可以确定状态方程中的矩阵参数，进而建立系统的数学模型。
控制系统中的状态空间与传输函数
控制系统中的状态空间与传输函数在控制系统中，状态空间和传输函数是两个重要的概念，它们在系统建模、分析和设计中起着关键的作用。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨这两个概念的含义和用途。
一、状态空间状态空间是一种描述系统动态行为的数学模型。
它包含了系统的状态变量、输入和输出，并通过一组微分方程来描述它们之间的关系。
状态变量是系统中能够完全描述系统状态的变量，通常用向量表示。
输入是系统的外部激励，输出是系统对外部激励的响应。
状态空间模型的形式可以写为：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是状态向量，A、B、C、D是系统的参数矩阵，u(t)是输入向量，y(t)是输出向量。
这个模型可以用来描述连续时间系统，对于离散时间系统，微分方程变为差分方程。
状态空间模型具有直观、灵活和通用的特点，可以适用于线性和非线性系统，并可以进行各种分析和设计。
通过状态空间模型，我们可以计算系统的稳定性、响应特性、控制器设计等。
二、传输函数传输函数是一种描述系统输入输出关系的数学模型。
它是输出变量对输入变量的比例关系，通常用分子多项式和分母多项式的比值表示。
传输函数可以通过拉普拉斯变换或者Z变换从状态空间模型中导出。
传输函数的形式可以写为：G(s) = Y(s)/U(s)其中，G(s)是传输函数，Y(s)是输出变量的拉普拉斯变换，U(s)是输入变量的拉普拉斯变换。
传输函数模型具有简洁、直观和方便计算的特点，适用于线性系统的频域分析和设计。
通过传输函数模型，我们可以计算系统的频率响应、稳定边界、控制器设计等。
三、状态空间与传输函数之间的关系状态空间模型和传输函数模型是等价的，它们可以相互转换。
对于一个给定的系统，我们可以从状态空间模型导出传输函数模型，也可以从传输函数模型导出状态空间模型。
状态空间模型到传输函数模型的转换可以通过拉普拉斯变换或者Z变换来实现。
对于连续时间系统，可以使用拉普拉斯变换，对于离散时间系统，可以使用Z变换。
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第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。
2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。
3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。
4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。
系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。
5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。
6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。
二、状态空间描述（状态空间表达式）1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x（8-1）对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2）2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。
3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。
利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G ：多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系，称为传递矩阵)(s G ，即)()()(s U s Y s G =（8-3） 式中：)(s U ——系统的输入向量)(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是： D B A I C G +-=-1)()(s s（8-4）上式中的A ，B ，C ，D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。
2. 传递矩阵)(s G 的实现：已知系统的传递函数矩阵)(s G ，寻找一个状态空间描述{}D C,B,A,，并满足式（8-4），则称{}D C,B,A,为)(s G 的一个实现。
当系统{}D C,B,A,的阶数等于传递函数矩阵)(s G 的阶数时，称该系统{}D C,B,A,为)(s G 的最小实现。
传递函数矩阵的实现并不唯一。
实现的常用标准形式有：可控标准形实现，可观标准形实现、对角型实现和约当型实现等。
四、线性定常连续系统状态方程的求解1. 状态转移矩阵)(t φ（矩阵指数函数At e ）及其性质。
2. 计算状态转移矩阵)(t φ的方法 1) 级数展开法+++++=n n At t A k t A At I e !1!2122（8-5）2) 拉氏变换法[]1)()(--=A sI t -1L φ（8-6）3) 凯莱-哈密尔顿法（又称待定系统法）∑-===1)()(n k k k AtA t et βφ（8-7）当矩阵A 的特征值i s 互异时，)(t k β可由下式确定：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t s t s t s n n n n n n n n e e e s s s s s s s s s t t t 21121222211211110111)()()(βββ（8-8）当矩阵A 具有m 重特征值1s 时，待定系数)m-, ,, (i t i 13210 )( =β，由下式确定（其它相异特征值按式（8-8）处理）。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----t s n t s t s ts n n n n e n t et e t e s n n s n s t t t 1111)!1(!2!11000!2)2)(1(110!1)1(101)()()(12312111110βββ （8-9）4) 希尔维斯特（Sylvester ）法 ∏∑≠==--==n ki i ik i nk t s Ats s I s A e e t k 11)(φ （8-10）式中：矩阵的特征值-=),2,1(n k s k I —单位阵当系统矩阵A 的n 个特征值互异时，用希尔维斯特方法求)(t φ最为简便。
1． 性定常连续系统状态方程求解1) 齐次方程 )()(t Ax t x= 的解 )0()()(x t t x φ=（8-11）2) 非齐次方程 )()()(t Bu t Ax t x+= 的解 ⎰-+=td Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ（8-12）4．线性定常连续系统的离散化对式（8-1）表示的系统进行离散化，可导出如式（8-2）所表示的离散化状态空间描述。
其中，⎰===TT t Bd H t G 0)()(ττφφ （8-13）5．离散系统状态方程求解 1) 递推法),, (k i Hu G x G k x k i i k k21 )()0()(111=+=∑-=--（8-14）2) Z 变换法)()()0()()(11z HU G zI zX G zI z X ---+-=（8-15）五、线性定常连续系统的可控性与可观测性1. 线性定常连续系统的可控性判断[]n B A B A AB B rank n =-12(8-16)1) 当系统Bu AX X+= 中的A 矩阵为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B 中无全零行。
2) 当A 为约当阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵B 中约当块最后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零。
3) B A sI 1)(--的行向量线性无关。
4) 单输入系统{}B A ,为可控标准型。
5) 单输入/单输出系统，当状态空间描述导出的传递函数没有零、极点对消时，系统可控，可观测。
2．输出可控型判据[]阵的行数）(C 1q D B CA CAB CB rank n =- （8-17）1) 状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然的联系。
单输入/单输出系统若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。
3．线性定常连续系统的可观测型判据[]n C A C A C rank T n T TT T=-1)(（8-18）1) 当系统的A 阵为对角阵且特征根互异时，输出矩阵C 无全零列。
2) 当系统的A 阵为约当阵且相同的特征值分布在一个约当块内时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零。
3)1)(--A sI C 的列向量线性无关。
4) 单输出系统{}C A ,为可观测标准型。
六、线性定常离散系统的可控性和可观测型判据1. 可控性判据[]n H G GH H rank n =-1 （8-19）2. 可观测性判据[]n C G C G C rank T n T T T T=-1)(（8-20）七、线性定常系统的状态反馈与状态观测器1. 状态反馈与状态反馈控制系统的极点配置 1) 状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入比较后形成控制率，作为受控系统的控制输入，即)()()(t KX t r t u -=（8-21）式中：参考输入-)(t r控制输入状态向量反馈系数向量---)()(t u t X K若受控系统的状态空间描述为)()()()()()(t Du t CX t y t Bu t AX t X+=+= (8-22)将式（8-21）代入式（8-22）可得⎩⎨⎧+-=+-=)()()()()()()()(t Dr t X DK C t y t Br t X BK A t X（8-23）上式的简化写法为{}D DK C B BK A ,,,--2) 状态反馈控制系统的极点配置极点配置是通过计算选择状态反馈阵K ，使得闭环控制系统{}D DK C B BK A ,,,--的极点（即{}BK A -的特征值）正好处于所希望的一组极点的位置上。
即令[]∏=-=--ni i s BK A sI 1)()(det λ（8-24）式中：),2,1(n i i =λ为希望的一组闭环极点。
a) 用状态反馈实现闭环极点任意配置的充分必要条件是受控系统的状态要完全可控。
状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。
b) 在引入状态反馈后，系统的可控性不会改变，但可观测性不一定与原系统一致。
c) 对于单输入系统，只要系统可控，则必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影响系统零点的分布。
2．状态观测器及其设计1) 状态观测器：应用状态反馈涉及状态反馈控制系统，除了受控系统的状态要完全可控外，还要求所有的状态变量是可以量测的。
当系统的状态变量不能全部量测到时，实现完全状态反馈就会遇到困难，因此提出了用状态观测器来重构系统的全部状态。
故状态观测器又称状态估计器。
2) 状态观测器的设计设计状态观测器的方框图如图1.8-1的虚框所示。
从图1.8-1可以求出状态观测器的状态方程和输出方程图1.8-1X C yGy Bu X GC A Bu X C y G XA Bu y y G X A Xˆˆˆ)( )ˆ(ˆ )ˆ(ˆˆ=++-=+-+=+-+=状态观测器的反馈矩阵G 可由下式求出[]∏=-=--ni i s GC A sI 1)()(det λ（8-26）式中：),2,1(n i i =λ为一组希望的，可任意配置的极点，它决定了状态误差衰减的速率。
3) 状态观测器存在的基本条件 a) 原系统{}C B A ,,完全可观测。
b) 观测器状态方程所对应的状态矩阵)(GC A -的所有特征根具有负实部。
分离定理：若原系统{}C B A ,,可控可观测，当用状态观测器估计全部状态再形成全状态反馈时，系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。
观测器的设计不影响配置好的系统极点，状态反馈也不影响观测器的收敛性。
（8-24） （8-25）。