状态空间分析方法基础
自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法资料
zn an1zn1 a1z a0z u
y n1zn1 1z 0z
(2-17)
定义如下一组状态变量
x1 z，x2 z， ，x0 zn1
(2-18)
可得状态方程
x1 x2
x2 x3
xn a0z a1z
它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方 程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。
状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一 些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方 程在状态变量图中形成和引出。
例2-1的状态变量图见图2-3，图中s 为拉普拉斯算子。
图2-3 状态变量图
x2
x3
a2
y
2u
yn2
an1 yn3
un3
n2
an2
yn4
n2un4
a2 y 2u
x1 x2 a1 y 1u yn1 an1yn2 n1un2 an2 yn3 n2un3 a1 y 1u
考虑式(2-11)可得
x1 a0 y 0u a0xn 0u
故有状态方程：
x1 a0xn 0u
线性定常连续系统的动态方程的形式： ➢ 一般形式
x Ax Bu，y Cx Du
➢ 典型形式
一 物理系统动态方程的建立
实际物理系统动态方程的建立的原则： ➢根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程； ➢选择可以量测的物理量作为状态变量。
例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x、加
1
b 2
n1
x1
x2
x x3
xn
c 0
状态空间分析与设计
状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。
它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。
本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。
一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。
在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。
因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。
二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。
它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。
状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。
三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。
对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。
通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。
2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。
包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。
通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。
3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。
常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。
这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。
四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。
例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。
第9章 状态空间分析法
根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递
函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-3 已知一系统的传递函数为
试写出能控标准形的状态空间表达式。 解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的 状态空间表达式为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
3、对角标准型实现
当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为 对角标准型实现。 设系统的传递函数为：
令 则上式变为
第二节 传递函数与动态方程的关系
式中： 则 令
Ci lims i W s
s i
则得
i
i
i
对上式取拉氏变换
第二节 传递函数与动态方程的关系
i
或写作
第二节 传递函数与动态方程的关系
上述状态方程的状态变量描述有如下特点： （1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素
全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。
（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量， 它的元素为W(s)极点的留数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
其中
D为m×r型矩阵
m×r
Wij s 为第i个输出与第j个输入间的传递函数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
求系统的传递函数。 例9-2 已知系统的动态方程式如下，
解：
-
=
-
第二节 传递函数与动态方程的关系
二、由传递函数列写动态方程 设线性定常系统微分方程的一般形式为：
y为系统的输出量，u为系统的输入量，初始条件为零， 对上式取拉氏变换，得系统的传递函数为： -
状态空间分析方法
状态空间分析方法一、模型的建立则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=02110010v F m cm x x m cmR x，,ma f =∑ ()y m ky c y v F =--+0则，即：0cv F ky y c ym +=++ 令y x y x ==21,，则⎪⎩⎪⎨⎧++--===m cv m Fm cx m kx y x x x021221，如对()()u b y a ya y a y n n n n 1111...=++++-- ，令()121,...,-===n n y x y x y x 则11121113221x y u b x a x a x a x x x x x x xn n n n n n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+----====--输出方程：，或[]xy u b x a a ax n n 0010001001000010111=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-例1：由传递函数来求()()()()()s U s Q s U s Y a s a sa sb s b sb sb s G nn n n mm m m⋅=++++++++=----1111110 ，则 ()()nn n na s a sa s s U s Q ++++=--1111，()()m m mb s b sb s U s Y +++=-10()()[]()s Q a s a sa s U s Q s n n n n++-=--111则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----====--n n n n n n x a x a x a u xx x x x x x 121113221，即 []xb b b y u x a a axm m n n 00100010010000100111--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=例2：()()()()35222112167201742232+++++-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G ，有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=321332221152322x x x y u x x u x x x x x 即：[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 512110300020012 可见-2为重根，则此为约当标准型。
第九章_状态空间分析方法
第九章状态空间分析方法第9章状态空间分析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。
两者作一简单比较。
经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。
主要在复数设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。
基本要求①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。
②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。
熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。
③正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。
④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。
⑤熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统化为可控标准形。
能将不可控系统进行可控性分解。
⑥正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。
⑦正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。
熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。
⑧正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
⑨熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。
11正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
9章状态空间分析
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学
阻 尼 系 数
b
y(t) u(t )
位移
m y y b ky
令
x1 y
x2 y
动态方程如下
x1 x2
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m
k b 1 x1 x2 u (t ) m m m
y x1
状态空间表达式为：
x 1 x 2
0 1 x 0 1 b u k 1 x m m 2 m
x1 y 1 0 x2
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 1 an 1
0 0 b 0 0
c 1 0 0
例1设
...
y 5y 8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
(可加性), H (u1 ) H (u1 ) (齐次性),则该系统 称为线性的,否则为非线性. 定常性:1)定义: Qa -位移算子
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 y Hu HQau Qa Hu Qa y
u (t ) Qau(t ) u(t )
a0 a1 a2
0
y 1
0
x1 0 x 2 x3
作业
系统微分方程为
...
y 2 y 5 y 18 y 3u
..
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
现代控制理论基础 第7章 状态空间分析法在工程中的应用
h2
特征多项式
1 0
0 1
1
w
0
u
h02 h1 h0h1 h2
y
11 0 1 h0h2 11h1
h0
x1
w
h1
y
h2
I (A11 hA21) 3 h02 (11 h1) (11h0 h2 )
期望极点-3, -2+j, -2-j;期望特征方程
g0 9, g1 42, g2 148, g3 492
状态反馈
12
五、降维观测器设计
由于小车位移z可测，无需估计，可用降维观测器进行设计。重新排列系统状 态变量次序，把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开，则状态方程 和输出方程为
d dt
•
z
•
--z--
0 1 0 0
第七章 状态空间分析法在工程中的应用
第一节 单倒置摆系统的状态空间设计 第二节 大型桥式吊车行车系统的状态空间设计 第三节 液压伺服电机最优控制系统
1
线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空 间综合方法，也就是状态反馈与状态观测器的相关理论 与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析 方法的具体应用。
3
若不给小车施加控制力，是一个不稳定系统。 控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直
流电动机使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
4
一、倒置摆的状态空间描述
根据牛顿定律
M d 2z m d 2 (z l sin ) u
dt 2
dt 2
由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有
(6-3) (6-4)
联立求解
..
状态空间分析方法
②
③ ④
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可
控系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 5 稳定性分析。
(t ) L
1
sI A
1
2et e2t t 2 t 2 e 2 e
12
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y
n
an1 y
n1
an 2 y
n 2
a0 y u
y ( n1) (0) 和 (0) 、… 、 若给出 (t=0) 时的初值 y (0) 、y ut , t 0 时就可确定系统的行为。
18
x ( t ) 代入方程 x Ax 将 可得
b1 2b2t kbk t k 1 A(b0 b1t bk t k )
方程两边系数必相等, 即 b1 Ab0
1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2 1 1 3 b3 Ab2 A b0 3 3 2 1 k bk A b0 k！
30
例 求下述系统状态的时间响应
控制量u为单位阶跃函数。
1 0 0 x x u 2 3 1
解：由
状态转移矩阵
s3 ( s 1)(s 2) 1 [ sI A] 2 ( s 1)(s 2)
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
自动控制原理课件8状态空间分析法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
控制系统的状态空间分析方法
控制系统的状态空间分析方法控制系统是指将输入信号进行处理，通过执行特定的控制算法，使系统输出信号满足特定要求的系统。
控制系统有多种形式，例如电子系统、机械系统、化学系统、热系统等等。
控制系统的设计和分析是一个复杂的过程，需要考虑多个因素，包括系统动态响应、稳定性、鲁棒性、控制器的性能指标等等。
控制系统的状态空间表示是一种广泛应用的分析方法。
状态空间表示是将系统的状态和状态方程用矩阵和向量的形式表示出来。
状态方程是一组描述系统动态响应的微分方程或差分方程。
状态空间表示可以描述线性系统和非线性系统。
对于线性系统，状态空间表示为：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是状态向量，表示系统的内部状态，u是输入向量，表示外部输入，y是输出向量，表示系统响应，A、B、C、D是矩阵，分别表示状态方程中的系数。
状态空间表示的优点在于它可以提供系统的完整信息，包括系统的结构和动态特性。
通过状态空间表示可以计算系统的传递函数、频率响应、控制器设计等等。
状态空间表示的另一个优点在于它可以用于多变量控制和非线性控制。
在多变量控制中，状态空间表示可以直接描述多变量系统的动态特性和相互关系。
在非线性控制中，状态空间表示可以近似描述非线性系统的动态行为，从而进行控制器设计。
状态空间分析方法是指基于状态空间表示进行系统分析的方法。
常见的状态空间分析方法包括状态转移矩阵法、观测矩阵法、极点配置法、模型匹配法等等。
状态转移矩阵法是指根据系统的状态方程，计算系统状态随时间的演变。
状态转移矩阵可以用于计算系统的传递函数、频率响应等等。
观测矩阵法是指根据系统的状态方程和输出方程，计算系统的状态和输出之间的关系。
观测矩阵可以用于设计状态反馈控制器和观测器。
极点配置法是指根据系统的状态方程和性能指标，设计状态反馈控制器，使系统的极点满足指定的要求。
极点配置法可以用于设计稳定控制器和提高系统的性能指标。
模型匹配法是指通过拟合实验数据或理论模型，确定系统的状态方程和性能指标。
状态空间分析法
第二章状态空间分析法2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。
设系统有n个状态变量x1，x2，…，x n，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，x n为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X = (x1，x2，…，xn)TX称作系统的状态向量。
设系统的控制输入为：u1，u2，...，u r，它们也是时间t的函数。
记：U = (u1，u2，...，ur)T那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。
………………………………………………………………（2－1）其中F = (f1，f2，...，f n)T是一个函数矢量。
设系统的输出变量为y1，y2，...，y m，则Y = (y1，y2，...，y m)T 称为系统的输出向量。
表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。
…………………………………………………………. (2－2)其中G = (g1，g2，...，g m)T是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙线性定常(时不变)系统（LTI-Linear Time Invariant）；∙线性不定常(时变)系统；∙非线性定常系统；∙非线性时变系统。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。
这时，系统的动态方程可以表示如下：…………….（2－3）………………（2－4）写成矢量形式为：……………………………………………………………………………（2－5）上式中，A nxn称为系统矩阵，B nxr称为输入(或控制)矩阵。
状态空间分析法
状态空间分析法一、内容概要《状态空间分析法》是一篇介绍状态空间理论及其应用的分析文章。
本文首先简要概述状态空间分析法的概念及其相关领域的研究背景。
接着阐述状态空间分析法的理论基础，包括其基本原理、数学工具以及相关技术的理论基础。
然后介绍状态空间分析法在不同领域中的应用实例，包括物理系统、控制系统、信号处理、通信系统等领域的应用情况。
文章还将探讨状态空间分析法的优势与局限性，以及未来可能的发展方向和潜在应用。
对全文进行总结，强调状态空间分析法在科学研究、工程实践等领域的重要性和价值。
1. 介绍状态空间分析法的概念及其在工程、科学、经济等领域的应用状态空间分析法是一种强大的数学工具，广泛应用于工程、科学和经济等多个领域。
本文将详细介绍状态空间分析法的概念及其在各个领域的应用。
状态空间分析法是一种以系统状态为研究对象的数学分析方法。
它以系统的状态变量为核心，通过对状态变量的描述和分析，揭示系统的行为模式和内在规律。
状态空间分析法通过构建状态空间模型，将复杂的系统问题转化为数学模型，便于进行理论分析和数值计算。
在状态空间中，系统的状态可以通过一系列的状态变量来描述，这些状态变量随时间变化，反映了系统的动态行为。
工程领域：在控制工程、信号处理等领域中，状态空间分析法被广泛应用于分析和设计动态系统。
通过构建系统的状态空间模型，可以方便地分析系统的稳定性、响应特性和控制性能。
此外状态空间分析法还可以用于故障诊断和系统识别等领域。
科学领域：在物理学、生物学和医学等自然科学领域，状态空间分析法同样发挥着重要作用。
例如在量子力学和电路分析中，系统的状态可以通过状态空间模型来描述，从而揭示系统的内在规律和特性。
此外在生物医学信号处理中，状态空间分析法也被广泛应用于生物电信号的分析和处理。
经济领域：在经济和金融领域，状态空间分析法被用于分析和预测经济系统的动态行为。
通过构建经济模型的状态空间表示，可以分析经济增长、市场波动和金融风险等问题，为经济决策提供支持。
工学自动控制原理8状态空间分析法
例1 某机械动力系 统如图所示
质量-弹簧-阻尼系统 的微分方程式为：
x K
F(t)
f
M
d2 x dx M dt 2 f dt Kx F (t )
d2 x f dx K
1
dt 2 M dt M x M F (t )
选择位移 x(t) = x1(t) 和速度 x&(t) = x2(t) 作为系统的
n
L2
m
43
1
0
0
0
B 0 ,
M
1
C
例 已知系统的 传递函数为：
s2 2s 3 G(s) 2s3 4s2 6s 10
求出其对应的可控标准型
1 s2 s 3
解:
G(s)
s3
2
直接写出系统的可控标准型:
2
s
2xx&&123s2500 x&3 5
1 0 3
0
1
2
x&1 0 1 0 x1 0
0
an1
x2
M
0 M
an2 M
x3 M
b0 0
u
0 1
a2
xn1
a1 xn
M
0
n
m
1
Y 0 0 0 L
状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程：
d2 x dt 2
f M
dx dt
K M
x
1 M
F (t )
x(t) = x1(t)
x&(t) = x2(t)
x&1
x&
x2
x&2
K M
x1
f M
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
一、能控性
1.定义
2.线性定常连续系统能控性判据
1)能控性判据的第一种形式
能控性判据定理一：线性定常连续系统Σ(A,B)，其状态完
全能控的充要条件是由A,B阵所构成的能控性判别阵
Qc=[B,AB,…An-1B]
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§9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法
态。 2.渐近稳定性 3.大范围内的渐近稳定 对于所有的状态(即状态空间中的所
有各点)，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定，则这时 的平衡状态称为是大范围内渐近稳定的。
4.不稳定 三、李雅浦诺夫第二方法
李雅浦诺夫第二方法不用求解系统运动方程，而用此法可 直接判别系统平衡状态的稳定性。故又称直接法。
二、能观测性 1.定义 2.线性定常连续系统能观测性判据
三、能控性和能观测性的不变性 四、传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性之间的关 系
系统的传递函数所表征的只能是既能控有能观测的子系 统。由于系统不能控或不能观测部分的运动无法用传递函数反 映出来，若没有反映出来的部分有不稳定的运动模式，那么系 统实际上将会有“潜伏振荡”发生，这是用传递函数来描述系
第九章 状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述 §9-2 线性定常连线系统状态方程的解 §9-3 线性离散系统状态空间表达式 §9-4 线性控制系统的能控性和能观测性 §9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法 §9-6 状态反馈与状态观测器 §9-7 解耦控制
§9-1 控制系统的状态空间描述
1.预备知识 2.李雅浦诺夫第二方法的几个定理——稳定性判据
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§9-6 状态反馈与状态观测器
一、系统的状态反馈 1.状态反馈的基本形式 图9-20时状态反馈系统的基本形式。 2.状态反馈的能控性
二、极点配置 1.极点配置的条件 能使闭环系统极点任意配置的条件是被控
系统完全能控。 2.几点说明 1)对能控的单输入单输出系统，采用状态反馈后虽可使其闭
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§9-1 控制系统的状态空间描述
态变量x1,x2,…,xn,用这n个状态变量作为分量所构成的向量， 就称为该系统的状态向量。
4.状态空间 以各状态变量x1,x2…,xn为坐标轴所组成的n为 空间称为状态空间。 二、控制系统的状态空间描述——状态空间表达式
1.状态方程 系统输出引起状态的变化，它是一个运动过 程，描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表 征为系统状态变量变化率的一阶系统传递函 数求其相应的状态空间表达式，称为“实现”问题。实现问题 是现代控制理论中的一个重要问题，这是因为：第一，许多设 备的传递函数往往容易通过实验获得，为了用状态空间方法研
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§9-1 控制系统的状态空间描述
究系统，就必须把传递函数化为状态空间表达式；第二，对复 杂系统的设计往往要利用仿真技术，将其传递函数化为状态空 间描述后在进行仿真的重要方法之一；第三，从传递函数中一 旦获得了状态空间表达式，便可以采用运算放大器等电路构造 一个具有该传递函数的实际系统，这也是“实现”这个取名的 原因所在。另外，实现问题在建立状态空间与传递函数这两种 设计方法之间的联系有着重要的作用。 四、状态方程的线性变换
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
统的局限性。 五、线性系统能控性与能观测性的对偶关系
1.线性定常系统的对偶关系 2.对偶原理 六、系统动态方程的能控规范型和能观测规范型 1.线性系统能控规范型 1)线性系统能控规范型的形式 2)能控系统化成能控规范型的方法 2.线性系统能观测规范型 1)线性系统能观测规范型的形式 2)能观测系统化成能观测规范型的方法
1.根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见 的控制系统，就其物理属性而言，有电气的、机械的、机电
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§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
1.全维状态观测器的结构
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§9-6 状态反馈与状态观测器
2.全维状态观测器的特性 3.全维状态观测器的极点配置 1)状态观测器极点可任意配置的条件 2)反馈矩阵G的选取原则 3)观测器反馈矩阵G的计算方法 四、带观测器的状态反馈系统 1.带观测器的状态反馈系统的结构设计 2.分离特性 3.带观测器的状态反馈系统的输入输出
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
一、线性定常连续系统齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.用拉氏变换方法求解
二、状态转移矩阵 1.状态转移矩阵的概念 2.状态转移矩阵的性质 3.线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
1)根据矩阵指数函数的定义式计算 2)把eAt化为A的有限项表达式进行计算 3)利用拉氏变换法进行计算 4)利用对角线规范性或约当规范型进行计算 三、线性定常连续系统非齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.拉氏变换求解法
3)利用输出反馈和调整系统的开环增益，只能使闭环极点沿 着一定得根轨迹移动，而利用状态反馈能使闭环系统任意配置 极点。这说明，状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合
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§9-6 状态反馈与状态观测器
更为方便。但在实际上实现起来，状态反馈比输出反馈要来的 复杂。
4)对单输入单输出系统，在一般情况下，利用状态反馈使闭 环系统极点与又性能指标给出的希望极点相一致的方法，以达 到改善系统性能的目的，是行之有效的。但状态反馈只能改变 极点的位置，却不能改变系统极点的个数和系统零点的位置， 有时单靠状态反馈是达不到系统动、静态要求的，所以还须采 取多种方法对系统进行综合。
一、状态空间的基本概念 1.状态 控制系统的状态是指能完全描述系统动态行为(动态
状态)的一个最小变量组，它是时间的函数。所谓最小变量组是 指这个变量组中各变量之间是相互独立的。
2.状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量 组的每一个变量。
3.状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要n个状
能控性判据定理三 此定理的基本思路和依据是：第一，因 矩阵经线性非奇异变换后，不改变矩阵的秩，因而也不改变系 统的能控性；第二，把系统变成约当规范型，并将n个状态变量 按照特征值分成k组，使各组之间没有耦合关系。这样，要保证 系统能控，必须每组的状态变量都受u的控制。
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
环系统的极点任意配置，但状态反馈不影响系统的零点，也不 改变系统的阶次。
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§9-6 状态反馈与状态观测器
2)当系统的开环传递函数分子分母没有公因子时，则开环系 统是能控且能观测的；系统采用状态反馈后，其能控性不变， 这是前面已讲过的结论。但是，由于单输入单输出系统采用状 态反馈后，其零点不受影响，而其极点可以任意配置，因此， 闭环系统的传递函数可能出现分子分母有公因子，产生零极点 相消现象，从而使系统变成不能观测。这就提出了前面曾提出 的为什么状态反馈不一定能保持系统能观测性不变的问题。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
必须满秩。即
rankQc=n
n是该系统的维数。
(9-128) (9-129)
2)能控性判据的第二种形式
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
能控性判据定理二 此定理的基本思路和依据有两点：第 一，因矩阵经线性非奇异变换后，并不改变矩阵的秩，因而也 不改变系统的能控性；第二，对系统进行线性非奇异变换把状 态方程化成对角线规范型，使变换后的各状态变量之间没有耦 合关系，因此，影响每一个状态变量的唯一途径只是输入的控 制作用。
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§9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法
一、平衡状态 稳定性指的是系统处于平衡状态下，受扰动后，系统自由
运动的性质。因此，系统的稳定性都是相对系统的平衡状态而 言的。 二、李雅浦诺夫意义上的稳定性
1.李雅浦诺夫意义上的稳定性 如果对应于每一个球域S(δ)，使得当t无限增加时，从初
始条件S(δ)域内开始出发的轨迹(即 x=f(x,t)的解)，都不超 出S(ε),则称这一系统的平衡状态xe在李雅浦诺夫意义下是稳定 的。如果δ与t0无关，则称这一种平衡状态为一致稳定的平衡状
3.状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来，构成一 个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式(或称动态
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§9-1 控制系统的状态空间描述
方程)。 4.状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程
和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来，它能 形象地反映系统输入、输出和系统专题态变量之间的相互关 系。 三、状态空间表达式的建立