m1-7

= 0.08614
P ( D ) = 0.9510 = 0.5987
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n重贝努里概型
例5 对同一目标进行射击， 对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均 为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命 ，问至少需进行多少次射击， 中一次目标的概率不少于0.95？ 中一次目标的概率不少于 ？ 设需进行n次射击 次射击， 解：设需进行 次射击，才能使至少命中一次目标 的概率不少于0.95． 的概率不少于 ． B={ n次射击至少命中一次目标 } 次射击至少命中一次目标 进行n次射击 可看成是一n重 次射击， 试验． 进行 次射击，可看成是一 重Bernoulli试验． 试验
则 P( A) = 0.05
A = {取出一件产品为次品 }
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n重贝努里概型
例 5（续） （
所以， 所以，
P (B ) = C
4 10
× 0.05 × 0.95
4
10 − 4
P (C ) = 1 − P C
0 10
( )
= 9.648 × 10 −4
0 10 1 10 1 9
= 1 − C × 0.05 × 0.95 − C × 0.05 × 0.95
一般地， 一般地，我们将这两个 结果记作 A与 A ，分别称为 “成功”与“失败”． 成功” 失败”
Bernoulli 试验的例子
掷一枚硬币，只有“出现正面” 出现反面”两种结果， 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果， 因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验． 试验． 因此“掷一枚硬币”可看作是一次 试验 掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“ 掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六 掷一颗骰子” 点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也 不出现六点”这两种情况， 可以看作是Bernoulli试验． 试验． 可以看作是 试验
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§1-7 n重贝努里概型
三.n次相互独立试验的例子 .n次相互独立试验的例子 • 掷n次硬币，可看作是 次独立试验； 次硬币， 次独立试验； 次硬币 可看作是n次独立试验 • 某射手对同一目标射击n次，可看作是 次独立 某射手对同一目标射击 次 可看作是n次独立 试验； 试验； • 观察 个元件的使用寿命，可看作是 次独立试 观察n个元件的使用寿命 可看作是n次独立试 个元件的使用寿命， 验． 注意： 如果 E 1， E 2， ⋯， E n 为相互独立的随机 注意： 试验 , Ai 是 E i ( i = 1,2,⋯ n )中的随机事件 , 则 A1 , A2 , ⋯ , An 相互独立。 相互独立。
A = {取出次品}，
A = {取出正品} ，
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因此每取一次产品可看作是一次Bernoulli试验 试验 因此每取一次产品可看作是一次
n重贝努里概型
例 4（续） 并且， 并且，
M M P ( A) = ， P A = 1− N N
( )
因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重 因此， Bernoulli试验．由前面的讨论，可知 试验．由前面的讨论， 试验
P ( A AAA A) = p q ．
3 2
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n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
设在n重 试验中， 设在 重Bernoulli 试验中，
P ( A ) = p， P A = 1− p = q
( )
现考虑事件
k 现 A (失败 )，这种指定的方法共有 C n 种．
= 0 .3 × 0.6 × 0 .8
= 0.144
P (B ) = 0.332 × 0.2 + 0.468 × 0.6 + 0.144 × 0.9 = 0.4768
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n重贝努里概型
贝努里（ 四.贝努里（Bernoulli） 试验 贝努里 ）
只有两个结果，则称E为 试验． 如果随机试验 E 只有两个结果，则称 为Bernoulli试验． 试验
(
) (
i =1
) (
)
= P (C 1 )P C 2 P C 3 + P C 1 P (C 2 )P C 3 + P C 1 P C 2 P (C 3 )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= 0.3 × 0.4 × 0.2 + 0.7 × 0.6 × 0.2 + 0.7 × 0.4 × 0.8
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n重贝努里概型
Bernoulli 试验的例子
• 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 未击中目标”两种情况， 与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行 一次射击” 试验． 一次射击”是Bernoulli试验． 试验 • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数， 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过 辆车” 辆车” 至多通过99辆车 辆车” 只考虑“至少通过 辆车 这两种情况，这也是Bernoulli试验． 试验． 这两种情况，这也是 试验
k n k n− k
)
注意
n k =0
由二项式定理，我们有 由二项式定理，
n k n
∑ P (B ) = ∑ C
n，k k =0
p q
n
k
n− k
= ( p + q)
=1
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n重贝努里概型
例3
设在N件产品中有 件次品 设在 件产品中有M件次品，每次从中任意取出一 件产品中有 件次品， 有放回地取n次 试求取出的n件产品中恰有 件产品中恰有k 件，有放回地取 次．试求取出的 件产品中恰有 件次品的概率． 件次品的概率． 解： B={ 取出的 件产品中恰有 件次品 } 取出的n件产品中恰有 件产品中恰有k件次品 每取一次只有两种结果： 每取一次只有两种结果：
C i = {第 i 门火炮击中目标 }
Ai = {有 i 门火炮击中目标 }
( i = 1， 2， 3 ) ( i = 1， 2， 3 )
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§1-7 n重贝努里概型
由全概率公式， 由全概率公式，得
而
P (B ) = ∑ P ( Ai )P (B Ai )
n
P ( A1 ) = P C 1C 2 C 3 + P C 1C 2 C 3 + P C 1C 2 C 3
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§1-7 n重贝努里概型
例1
三门火炮向同一目标射击， 三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标 的概率分别为0.3， ， ． 的概率分别为 ，0.6，0.8．若有一门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.2； 目标，目标被摧毁的概率为 ；若两门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.6； 目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.9． 目标，目标被摧毁的概率为 ．试求目标被摧毁 的概率． 的概率． 解：设：B ={ 目标被摧毁 }
令：A = {命中目标 } 则， P ( A ) = 0.23
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n重贝努里概型
例 5（续） （ 则有
P (B ) = 1 − P (B ) = 1 − 0.77 n
P (B ) = 1 − 0.77
n
由题意， 由题意，得 所以， 所以，有 取对数， 取对数，得 所以， 所以，有
≥ 0.95
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n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验的例子 重
• 对同一目标进行 次射击，若每次射击只考虑 对同一目标进行n次射击， 次射击 击中目标” 未击中目标”两种情况， “击中目标”与“未击中目标”两种情况，则 同一目标进行n次射击 是一n重 次射击” “同一目标进行 次射击”是一 重Bernoulli试 试 验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数， 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过 辆 辆车” 至多通过99辆 只考虑“至少通过 辆车 这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独 试验． 车”这两种情况，这是一次 试验 则它是一n重 立重复地做该试验 n 次，则它是一 重Bernoulli 试验． 试验．
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n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中的基本事件及其概率
在n重Bernoulli 试验中的基本事件为 重
′ ′ ′ A1 A2 ⋯ An 其中Ai′( i = 1,2,⋯ n)为A或A ,
总共 2 n 个。
′ ′ ′ 设在A1 A2 ⋯ An中有 k个Ai′为A，n − k个Ai′为A ，
= 0.332
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§1-7 n重贝努里概型
P ( A2 ) = P C 1C 2 C 3 + P C 1C 2 C 3 + P C 1C 2 C 3
= P (C 1 )P (C 2 )P C 3 + P (C 1 )P C 2 P (C 3 ) + P C 1 P (C 2 )P (C 3 )
返回主目 重
• 若独立重复地进行 次Bernoulli试验，这里“重复” 若独立重复地进行n次 试验， 试验 这里“重复” 发生的概率（ 是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中 “成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重 成功”的概率）不变， Bernoulli 试验． 试验． n重Bernoulli 试验的例子 重 • 掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验． 次硬币， 试验． 次硬币 试验 • 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“ 不出现六点”这两种情况， 点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰 子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验． 试验． 试验