第十四章北航 材料力学 全部课件 习题答案
《材料力学》课后习题答案详细
《材料力学》课后习题答案详细在学习《材料力学》这门课程时，课后习题是巩固知识、检验理解程度的重要环节。
一份详细准确的课后习题答案不仅能够帮助我们确认自己的解题思路是否正确，还能进一步加深对知识点的理解和掌握。
材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
它对于工程领域的学生来说至关重要，无论是机械工程、土木工程还是航空航天工程等，都离不开材料力学的知识支撑。
对于课后习题的解答，我们首先要明确每个问题所涉及的核心概念和原理。
比如，在研究杆件的拉伸和压缩问题时，需要清楚胡克定律的应用条件和计算公式。
胡克定律指出，在弹性限度内，杆件的伸长或缩短量与所受的拉力或压力成正比。
以一道常见的拉伸习题为例：一根直径为 20mm 的圆杆，受到100kN 的拉力，材料的弹性模量为 200GPa，求杆的伸长量。
解题思路如下：首先，根据圆杆的直径计算出横截面积 A ＝π×（d/2)＾2 ，其中 d 为直径。
然后，根据胡克定律ΔL ＝ FL/EA ，其中F 为拉力，L 为杆长，E 为弹性模量，A 为横截面积，代入已知数据进行计算。
在计算过程中，要注意单位的统一。
拉力的单位通常为牛顿（N），长度的单位要与弹性模量的单位相匹配，面积的单位要为平方米（m²）。
再来看一个关于梁的弯曲问题。
梁在受到横向载荷作用时，会产生弯曲变形。
在解答这类习题时，需要运用到弯矩方程、挠曲线方程等知识。
例如：一简支梁，跨度为 L，承受均布载荷 q，求梁的最大弯矩和最大挠度。
解题时，首先要根据梁的支座情况列出弯矩方程。
然后，通过积分求出挠曲线方程，再根据边界条件确定积分常数。
最后，求出最大弯矩和最大挠度的位置及数值。
在求解过程中，要理解弯矩和挠度的物理意义，以及它们与载荷、梁的几何形状和材料性质之间的关系。
对于扭转问题，要掌握扭矩的计算、切应力的分布规律以及扭转角的计算方法。
比如，一根轴受到扭矩 T 的作用，已知轴的直径和材料的剪切模量，求轴表面的最大切应力和扭转角。
北航材料力学课后习题答案
σ max = 117MPa （在圆孔边缘处）
2-15 图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为[σ ]。若在节点 B 和 C 的
位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的α 值（即确定节点 A 的最佳位置）。
解：1.求各杆轴力
题 2-15 图
设杆 AB 和 BC 的轴力分别为 FN1 和 FN2 ，由节点 B 的平衡条件求得
分别为
FN
=
1 2
σmax A
=
1 2
× (100 ×106 Pa) × (0.100m × 0.040m)
=
2.00 ×105 N
=
200kN
Mz
=
FN
(
h 2
−
h )
3
=பைடு நூலகம்
1 6
FN h
=
1 × (200 ×103 N) × (0.100m) 6
= 3.33×103 N ⋅ m
=
3.33kN ⋅ m
2-5 .........................................................................................................................................................2
= 0.2 ×10−3 m 0.100m
= 2.00 ×10−3
rad
α AB
= 0.1×10−3 m = 1.00 ×10−3 0.100m
rad
得 A 点处直角 BAD 的切应变为
γ A = γ BAD = α AD − α AB = 1.00 ×10−3 rad
材料力学课后习题答案
材料力学课后习题答案1. 弹性力学。
1.1 问题描述，一根钢丝的弹性模量为200GPa，其截面积为0.01m²。
现在对这根钢丝施加一个拉力，使其产生弹性变形。
如果拉力为2000N，求钢丝的弹性变形量。
解答：根据胡克定律，弹性变形量与拉力成正比，与材料的弹性模量和截面积成反比。
弹性变形量可以用以下公式计算：$$。
\delta = \frac{F}{AE}。
$$。
其中，$\delta$表示弹性变形量，F表示拉力，A表示截面积，E表示弹性模量。
代入已知数据，可得：$$。
\delta = \frac{2000N}{0.01m² \times 200GPa} = 0.001m。
$$。
所以，钢丝的弹性变形量为0.001m。
1.2 问题描述，一根长为1m，截面积为$10mm^2$的钢棒，两端受到拉力为1000N的作用。
求钢棒的伸长量。
解答：根据胡克定律，钢棒的伸长量可以用以下公式计算：$$。
\delta = \frac{F \cdot L}{AE}。
$$。
其中，$\delta$表示伸长量，F表示拉力，L表示长度，A表示截面积，E表示弹性模量。
代入已知数据，可得：$$。
\delta = \frac{1000N \times 1m}{10mm² \times 200GPa} = 0.005m。
$$。
所以，钢棒的伸长量为0.005m。
2. 塑性力学。
2.1 问题描述，一块金属材料的屈服强度为300MPa，现在对其施加一个拉力，使其产生塑性变形。
如果拉力为500MPa，求金属材料的塑性变形量。
解答：塑性变形量与拉力成正比，与材料的屈服强度无关。
塑性变形量可以用以下公式计算：$$。
\delta = \frac{F}{A}。
$$。
其中，$\delta$表示塑性变形量，F表示拉力，A表示截面积。
代入已知数据，可得：$$。
\delta = \frac{500MPa}{300MPa} = 1.67。
北航 材料力学 全部课件 习题答案
Iy
4I
y,t
I
y,r
411 3a4 192
3a4 5 3a4 12 16
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
Wy
Iy zmax
5
3a 4 16
1 a
5 3a3 16
6-7 图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。
依据
ρmin R1 σ Ey
ρ
1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
σ t,max
Ey1 R1
σ c, max
Ey2 R1
6-6 图 a 所示正六边形截面，边长为 a，试计算抗弯截面系数 Wz 与 Wy。
解：1. Wz 计算 由图 b 可以看出，
所以，ADB 对 z 轴的惯性矩为
题 6-6 图
试计算梁底边 AB 的轴向变形。
解：梁的弯矩方程为
题 6-9 图
M (x) ql x q x2 22
横截面 x 处底边微长 dx 的轴向变形为
d(l) (x)dx M (x) dx EWz
所以，梁底边 AB 的轴向变形为
Δl
l M (x)dx 1
0 EWz
EWz
l 0
ql 2
x
q 2
b a , h 3a
2
2
I z,tΒιβλιοθήκη bh3 36bh 2
h 2 3
bh3 12
1 12
a 2
3a 3 2
3a 4 64
中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为
材料力学_xt14
14-1 火车轮轴受力情况如图所示。
a=500mm ，l =1435mm ，轮轴中段直径d =15cm 。
若P=50kN ，试求轮轴中段截面边缘上任一点的最大应力max σ，最小应力min σ，循环特征r ，并作出t -σ曲线。
14-2 柴油发动机连杆大头螺钉在工作时受到最大拉力kN 3.58max =P ，最小拉力kN 8.55min =P 。
螺纹处内径d =11.5mm ，试求其平均应力m σ、应力幅a σ、循环特征r ，并作出t -σ曲线。
14-3 图a 所示为直径d =30mm 的钢圆轴，受横向力P 2=0.2kN 和轴向拉力P 1=5kN 的联合作用。
当此轴以匀角速ω 转动时，试绘出跨中截面上k 点处的正应力随时间变化的曲线，并计算其循环特征和应力幅。
14-4 阶梯轴如图所示。
材料为铬镍合金钢，MPa 920=b σ，MPa 4201=-σ，MPa 2501=-τ。
轴的尺寸是：d =40mm ，D =50mm ，r =5mm 。
求弯曲和扭转时的有效应力集中系数和尺寸系数。
14-5 货车轮轴两端载荷P =110kN ，材料为车轴钢，MPa 500=b σ，MPa 2401=-σ。
规定安全系数5.1=n 。
试校核I -I 和II -II 截面的强度。
14-6在a m σσ-坐标系中，标出与图示应力循环对应的点，并求出自原点出发并通过这些点的射线与m σ轴的夹角α。
14-7 简化持久极限曲线时,如不采用折线ACB ，而采用联接A 、B 两点的直线来代替原来的曲线（见图），试证明构件的工作安全系数为m a k n σψσβεσσσσσ+=-1式中 bσσψσ1-=14-8 电动机轴直径d=30mm ，轴上开有端铣加工的键槽。
轴的材料是合金钢，MPa 750=b σ，MPa 400=b τ，MPa 260=s τ，MPa 1901=-τ。
轴在n =750r/min 的转速下传递功率N=20马力。
材料力学课件第14章ppt课件
v 0 x0
EI v M
M0
x0
x0
2
A0
B M0
4EI 2
v(x)
M0
4EI
2
e x
sin
x
4
M EI
0
2
2
M
0
k
2
2
v
M
0
k
3
3
M
EIv
M0 2
4
Q
EIv
M0
2
1
对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶 作用的两种结果，应用叠加原理求解。
dx
Q sin k(l P sin kl
a)
c osk (l
x)
Q(l Pl
a)
d 2v dx2
Qk sin k(l P sin kl
a)
sin
k (l
x)
la xl
记 u kl P l 2 EI 2
对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，a l 2
Pl
Pl
B cos(l a) Qa Dk[tgkl sin k(l a)] cosk(l a)] Q(l a)
Pl
Pl
B Q sin ka PK sin kl
D Q sin k(l a) Pktgkl
v
Q sin ka sin kx Pk sin kl
3(u thu)
u3
§14.2 弹性基础上的无限长梁
(完整版)材料力学课后习题答案
xx8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。
取 1-1 截面的左段；(2) (3) F N1取 2-2 截面的右段；F R用截面法求内力，取1-1、2-2、 3-3 截面；(1) (2) (3) (4)(5)(d)(1)取 1-1 截面的左段2；kN 取 2-2 截面的左段；取 3-3 截面的右段；轴力最大值： 用截面法求内力，取13kN 2 2kN33kN12 3F N11 31kN 21 32 F N33kN1-1、 2-2 截面；38-2 解：8-5 (2) (2) 取 1-1 截面的右段； 取 2-2 截面的右段F ；N112kN 22kN(5) 轴力最大值： 试画出 8-1所示各杆的轴力图。
(a) (b) (c) (d)F NF FN N(+)F图示阶梯形圆截面杆，承受F 轴N 向载荷(+) F 1=50 kN 与3kNF 2作用， 1kN (+) 1kN(-)(+) Fx AB 与 BC 段的直径分别为 x (-)1kN2kNd 1=20 mm 和 d 2=30 mm ，如欲使 AB 与 BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷 F 2 之值。
(2) 求 1-1、 2-2 截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷 F=10 kN 作用，杆的横截面面积 A=1000 mm 2，粘接面的方位 角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。
l 1l 2解： (1) 用截面法求 AB 、 BC 段的轴力；(2) 分段计F 算个杆向变形；FAC 杆缩短。
2F8-22 图示桁架，杆 1与A 杆 2的横截面面积与材料均相B 同，在节点 A 处承受C 载荷 F 作用。
从解： 8-6 解： (1) 用截面法求出 F 11-1、2-2 截面的轴力；(2) 求 1-1、 2-2 截面的正应A 力 ，利用正应力相B 同 ；题 8-5 图所示圆截面杆，已知载荷 1F 1=200 kN ，F 2=1020 kN ，CAB 段的直径 d 1=40 mm ，如 欲使 AB 与 BC 段横截面上的正应力相同，试求 BC 段的直径。
《材料力学》课后习题答案详细
《材料力学》课后习题答案详细在学习《材料力学》这门课程时，课后习题是巩固知识、加深理解的重要环节。
一份详细准确的课后习题答案，不仅能够帮助我们检验自己的学习成果，还能在遇到困惑时提供清晰的思路和正确的解法。
首先，让我们来谈谈材料力学中一些常见的概念和原理。
材料力学主要研究物体在受力作用下的变形、内力以及应力等情况。
例如，拉伸和压缩是常见的受力形式。
当一根杆件受到轴向拉力时，它会沿轴向伸长，同时横截面积会减小；而受到轴向压力时，则会沿轴向缩短，横截面积可能增大。
在这个过程中，我们需要计算内力、应力和应变，以评估杆件的强度和稳定性。
以一道典型的拉伸习题为例。
假设有一根圆截面的直杆，直径为d，长度为 L，受到轴向拉力 F 的作用。
我们首先需要计算横截面上的正应力。
根据公式，正应力等于内力除以横截面积。
内力就是所受的拉力 F，横截面积为πd²/4。
所以，正应力σ ＝ 4F ／（πd²) 。
接下来，计算杆的伸长量。
根据胡克定律，伸长量ΔL ＝ FL ／（EA) ，其中 E是材料的弹性模量，A 是横截面积。
再来看一道关于弯曲的习题。
有一矩形截面的梁，宽度为 b，高度为 h，承受一个集中力 P 作用在梁的中点。
这时候，我们需要计算梁横截面上的最大正应力。
通过分析可以知道，最大正应力出现在梁的上边缘或下边缘。
根据弯曲正应力公式，最大正应力σmax ＝ Mymax ／I ，其中 M 是弯矩，ymax 是离中性轴最远的距离，I 是惯性矩。
对于矩形截面，惯性矩 I ＝ bh³/12 。
在解答扭转习题时，也有相应的方法和公式。
例如，对于一个圆轴扭转的问题，我们要计算切应力和扭转角。
切应力的分布规律是沿半径线性分布，最大切应力在圆轴的外表面。
扭转角则可以通过公式计算得出。
在处理组合变形的习题时，情况会稍微复杂一些。
可能同时存在拉伸（压缩）、弯曲和扭转等多种变形。
这时候，需要分别计算每种变形引起的应力和应变，然后根据叠加原理进行综合分析。
(完整版)材料力学习题册答案..
练习1 绪论及基本概念1-1 是非题（1）材料力学是研究构件承载能力的一门学科。
（ 是 ）（2）可变形固体的变形必须满足几何相容条件，即变形后的固体既不可以引起“空隙”，也不产生“挤入”现象。
（是 ）（3）构件在载荷作用下发生的变形，包括构件尺寸的改变和形状的改变。
（ 是 ） （4）应力是内力分布集度。
（是 ）（5）材料力学主要研究构件弹性范围内的小变形问题。
（是 ） （6）若物体产生位移，则必定同时产生变形。
（非 ） （7）各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的变形。
（F ）（8）均匀性假设认为，材料内部各点的力学性质是相同的。
（是）（9）根据连续性假设，杆件截面上的内力是连续分布的，分布内力系的合力必定是一个力。
（非） （10）因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（非 ）1-2 填空题（1）根据材料的主要性质对材料作如下三个基本假设：连续性假设 、均匀性假设 、 各向同性假设 。
（2）工程中的 强度 ，是指构件抵抗破坏的能力； 刚度 ，是指构件抵抗变形的能力。
（3）保证构件正常或安全工作的基本要求包括 强度 ， 刚度 ，和 稳定性 三个方面。
（4）图示构件中，杆1发生 拉伸 变形，杆2发生 压缩 变形， 杆3发生 弯曲 变形。
（5）认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为 连续性假设 。
根据这一假设构件的应力，应变和位移就可以用坐标的 连续 函数来表示。
（6）图示结构中，杆1发生 弯曲 变形，构件2发生 剪切 变形，杆件3发生 弯曲与轴向压缩组合。
变形。
（7）解除外力后，能完全消失的变形称为 弹性变形 ，不能消失而残余的的那部分变形称为 塑性变形 。
（8）根据 小变形 条件，可以认为构件的变形远 小于 其原始尺寸。
1-3 选择题（1）材料力学中对构件的受力和变形等问题可用连续函数来描述；通过试件所测得的材料的力学性能，可用于构件内部的任何部位。
北航材料力学-习题集解-【全答案】(52页)
— 61 —
F Nx
dx
C
M dM
FNx dFNx
(b)
M C 0 ， M dM M pdx
h 0 2
∴
ph dM dx 2
2－7
| M | max 。
试作 2－6 题中梁的轴力图和弯矩图， 并确定 | FNx | max 和
FN
l
x
pl
解： | FNx | max pl （固定端）
习题 2-4 图
( ql )
C
A
B
M 5 4
Fy 0 ， FRA
M C FRB
1 ql （↓） ， 4
1 1 l ql l ql 2 （＋） 4 4
(a-1)
(b-1)
M A ql 2
A
M 2
C
D
E
M 2
B
M 2
M
A
C
1 4
B
M
3
— 59 —
| M | max
（d） M B 0
3 2 ql 2 1 ql l 0 2
( gl)
D
l
(c)
(d)
FRA 2l q 3l
FRA
FQ
FQ
( gl)
1.25
5 ql （↑） 4
A
B
1
C
A
(c-1)
D
B
0.75
C
1
3 Fy 0 ， FRB ql （↑） 4 q MB 0 ， MB l2 2 25 2 ql MD 0， MD 32 5 | FQ | max ql 4 25 2 | M | max ql 32 （e） Fy 0 ，FRC = 0 3 l M C 0 ， ql l ql M C 0 2 2
第十四章北航 材料力学 全部课件 习题答案
dM qRd R1cos( ) qR21cos( )d
所以，在切向载荷 q 与多余未知力 FBy 作用下，截面的弯矩为
6
M
(
)
0
qR2
1
cos(
)d
FBy
R
sin
qR2
(
sin
)
FBy
R
sin
(b)
在图 c 所示铅垂单位载荷作用下，截面的弯矩则为
M () Rsin
根据单位载荷法，得相当系统横截面 B 的铅垂位移为
1
9F 4
2FN1
2
3F 2
FN1
1
0
得
FN1 F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由此得
FN2
F 4
,
FN3
F 2
2. 角位移计算
施加单位力偶如图 d 所示，并同样以刚性杆 BC 与 DG 为研究对象，则由平衡方程
11
M B 0, 1 F N2 2a F N3 3a 0
MG 0, F N2 2a F N3 a 0
M ( ) qR2 4 sin π
在图 d 所示水平单位载荷作用下，截面的弯矩则为
M () R(1cos)
于是，得截面 B 的水平位移为
ΔBx
1 EI
π/2
R(1
0
cos )qR2
4 π
sin
Rd
qR4 EI
π2 8
π 2
2 π
1
( )
14-5 图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试求杆 BC 的轴力。
MG 0, F 3a FN1 3a FN2 2a FN3 a 0
得
FN2
材料力学(18)第十四章-3
A C’
x3
2 a M ( x1 ) M ( x1 )d x1 EI 0
2a 0
M ( x 2 ) M ( x 2 )d x 2
a 0
M ( x 3 ) M ( x 3 )d x 3
Page8
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
x2
x1
C A’
60° 60°
B’
P
A’
M ( ) M M
B
F NB R ( 1 cos ) 3 3
( 2 3 9)
A/O
/3
0
1 V 3 P
M ( )
2
B
PR ( 1 cos )
M
PR 6
B
V 6
Rd
2 EI
Page22
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
MECHANICS OF MATERIALS
A B FNB MB
1、解静不定问题：
C MC P FNC
利用对称性减少未知力的数目
F SB F SC 0 B C 0
F NB F NC
B C 0
3 3 P
A FNB MB B
根据平衡方程：
C
剩余一个未知力MB
P
B M C l/2 A MC FNC FSC A l/2 F
D
解: 三度外力静不定 对称结构，反对称受载
F N C＝ 0 M C＝ M / 2 f C / C ＝ 0 f C＝ 0
l
B
剩余一个多余内力——剪力
协调条件： f C / C 0
北航材料力学_15-12_第十四章-1
内力静定
5度
5度
4度
Page6
BUAA
➢ 混合(一般)静不定
MECHANICS OF MATERIALS
2度
6度
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
Page7
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
安装法 2度
拆卸法
2度
Page8
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
建立补充方程
M
A
l
BA
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
RC
C 0 fC 0
C
A 0
fA 0
Page12
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 第二类静不定问题： 存在多余的内部约束
切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力 相当系统
利用切开截面的相对广义位移为零，建立变形协调条件 建立补充方程
静力许可场：内力与外力满足平衡方程与静力边界条件
运动许可场： 虚位移和虚变形满足位移边界与变形连续 条件
Page19
BUAA
1
l
A
HA RA
HC 1
l A
HA RA
MECHANICS OF MATERIALS
B
HA HC
l
RA RC
C
1 RAl H Al
原结构静力许可场
RC
B
HA 0
l
RA RC
m m’
m/m' 0 fm/m' 0
《材料力学》第14章典型习题解析
第14章典型习题解析1.试由一端固定，一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程，导出临界压力。
解：由挠曲线的微分方程可得 EIx l R v EIP EIM dxv d )(22-+-==方程的通解为()x l EIkR kx C kx C v -++=221sin cos固定支座的边界条件是0=x 时，0=v ，0=dx dvl x =时，0=v ，0=dxdv边界条件带入上面各式得0,0sin cos ,0222121=-=+=+EIkR kC kl C kl C l EIkR C解得kl kl =tan作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点的横坐标为()22/493.4l EI P cr =弯矩为零的C 点的横坐标l kx c 3.0352.1≈=2.一端固定，一端自由的细长杆，由18号工字钢制成，已知钢材的a GP E 200=，屈服极限，，m l MP a s 3,240σ==;1cr P ）临界应力求（(2)从强度的角度计算杆的屈服荷载S P ,并将cr P 与S P 比较。
解：查18号工字钢的44122,1660cm I cm I y z == ，26.30cm A =()()()28-922232101221020014.32π1⨯⨯⨯⨯⨯==l EIP ycrN 41069.6⨯=()N A P s s4461044.73106.3010240σ2⨯=⨯⨯⨯==.98.10,98.101cr s scr P P P P ==结果说明：从强度方向考虑,材料所加的力达S P 才危险，但压力达 cr P 就已失稳破坏，且cr P 只是S P 的1/10;说明只考虑强度，允许加的压力较大，若考虑失稳破坏，允许加的压力小，可见实际中构件的稳定性是要必须考虑的。
3.低碳钢压杆二端铰支，杆直径d =40mm 。
已知σs =242MPa ，E =200GPa ，若杆长L 1=1.5m ，L 2=0.8m ，L 3=0.5m ，试计算各杆的临界应力和临界载荷。
材料力学习题册1-14概念答案
材料力学习题册1-14概念答案是非判断题材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
（× ）内力只作用在杆件截面的形心处。
（× ）杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
（× ）确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
（∨ ）填空题材料力学主要研究 _______ 受力后发生的—，以及由此产生应力，应变。
第一章绪论1.1 1.2 1.3 1.41.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.111.121.131.141.151.16、1.1 的_1.2 是根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
同一截面上正应力 Z 与切应力η必相互垂直。
同一截面上各点的正应力 Z 必定大小相等，方向相同。
同一截面上各点的切应力η必相互平行。
应变分为正应变ε和切应变Y 应变为无量纲量。
若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
题1.15图所示结构中, AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( ∨ ) ( ∨ ) ( ∨ ) ( × ) (× )( ∨ ) ( ∨ ) ( ∨ ) (× )( ∨ ) ( ∨ )(× )拉伸或压缩的受力特征是外力的合力作用线通过杆轴线,变形特征题1.16图所示结构中,B沿杆轴线伸长或缩短1.3剪切的受力特征是受一对等值，反向，作用线距离很近的力的作用，变形特征是沿剪切面发生相对错动。
1.4 扭转的受力特征是___________________________ ，变形特征是任意二横截面发生绕杆轴线的相对转动I 5弯曲的受力特征是外力作用线垂直杆轴线，外力偶作用面通过杆轴线变形特征是梁轴线由直线变为曲线。
材料力学(17)第十四章-3PPT课件
反对称载荷作用时
对称面上：
M z 0 M y 0 FN 0 fz 0 fy 0 0
T
FSy FSz
T
具有反对称性质的内力分量
Page10
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
平面刚架空间受力时的对称与反对称问题
H F
y z x
A
结构与载荷均关于CH 铅垂面对称,对称面上无集 中力
FN
z Bx
截面上只存在对称性的内力分量 Mz , My, FN
载荷关于AB对称
My=Me/2, FN=0 载荷作用面垂直于圆环平面 Mz=0 可直接写出圆环的内力分布
Page13
BUAA C My Me y D M My z Bx
MECHANICS OF MATERIALS
求圆环的内力分布（1/4圆弧）
RD
C D A B 0 A B 0 1
R
C B
B
相当系统
C B 0
单位载荷状态
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：EI为常数，求A截面相对于O点的位移
P
120° C
A B R
O
解: 问题分析：
三度内力静不定 结构轴对称，载荷具有三个 对称轴
P
60° 60°
B’
A’
A截面相对于O点的位移是载荷 P的相应位移 利用卡氏定理求位移
M ( ) M B FNB R(1 cos ) 3 MB PR(1 cos ) 3
MB PR ( 2 3 9) 6
A/O
V 6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Me FBx l
Me M x1 FBx x1 ， l
M x2 FBx x2 FBx l
M x2 x2 l
M x1 x1 ，
将其代入
ΔBx
1 l 1 l M x1 M x1 dx1 M x2 M x2 dx2 0 EI EI 0
14-2
图示各刚架，弯曲刚度 EI 均为常数。试求支反力，并画弯矩图。
1
题 14-2 图 （a）解：方法 1，常规解法 此为一度静不定问题。 解除 B 处水平约束（见图 14-2(a)之 1） ，代以多余反力 FBx 。
图 14-2(a) 由 M A 0 ，得
FBy
据图（1）与（2） ，列弯矩方程如下：
9F 3F FN1 1 2 FN1 FN1 2 1 0 4 2
得
FN1 F
由此得
FN2
F , 4
FN3
F 2
2. 角位移计算 施加单位力偶如图 d 所示，并同样以刚性杆 BC 与 DG 为研究对象，则由平衡方程
FNC FND
F 2
图 14-6 由双对称性可知，
C 0 ， A 0
据此可方便地求出 MC。求C 的载荷状态及单位状态示如图（b）和（c） 。 弯矩方程为
M M C
F R1 cos 2
9
M 1
将其代入
C
积分后，代入协调条件
1 π2 M M Rd EI 0
待求未知内力仅有 FSC 一个。
MC 0
求 ΔCy 的载荷状态及单位状态如图 14-9(b)所示。
图 14-9(b) 弯矩方程为
M x1 FSC x1 ，
M x2 FSC
l ql x2 2 2
M x1 x1 ，
将其代入
M x2
l 2
ΔCy
积分后，得
曲刚度 EI 为常数，试计算截面 B 的水平位移。
问题 2-2 图 解：1. 解静不定 图示曲杆属于一度静不定。设将铰支座 B 作为多余约束，则相当系统如图 b 所示，变形协调条 件为横截面 B 的铅垂位移为零，即
ΔBy 0
由图 b 可以看出，作用在微段 Rd上的切向微外力 qRd，在横截面引起的弯矩为
11
M
得
B
0, 1 F N2 2a F N3 3a 0
G
M
0,
F N2 2a F N3 a 0
F N2
于是得杆 BC 的转角为
1 , 4a
F N3
1 2a
BC
F N2 FN2 l F N3 FN3l 5Fl （） EA EA 16EAa
F 3a FN1 3a FN2 2a FN3 a 0
9F 3F 2 FN1 , FN3 FN1 4 2 单位载荷系统如图 c 所示，由上式并令 F=0 与 FN1=1，得相应内力为 FN2
F N2 2,
F N3 1
根据变形协调条件m/m’=0，并利用单位载荷法，得补充方程为
M M e
4M e sin π
M R1 cos
将其代入
Δ Ax
积分后，得到
1 π/2 M M Rd EI 0
ΔAx
π 2 2π 4 M e R 2 0.0658M e R 2
2π EI EI
（←）
14-4 图 a 所示圆弧形小曲率杆，轴线半径为 R，承受集度为 q 的均布剪切载荷作用。设弯
C 0
可得
MC
进而可求得
π2 FR 2π
MA
2．求A/B 令原题图中的 F=1，即为求A/B 的单位状态。 依据图（a） ，可以写出弯矩方程如下：
FR π
M
π2 F FR R1 cos 2π 2
π2 R R 1 cos 2π 2
并利用协调条件 ΔBx 0 ，可得
FBx
依据平衡条件，进而可得
Me （←） 2l
FBy
Me M M （↑） ， FAx e （→） ， FAy e （↓） 2l 2l 2l
2
方法 2，利用反对称性求解 刚架受力如图（3）所示，由平衡方程 M A 0 ，可直接求得合支反力 F，其值为
ΔAy
代入协调条件
R2 π FAy R M e EI 4
ΔAy 0
得
5
FAy
进而求得
4M e （↑） πR
FBx 0 ，
FBy
4M e （↓） ， πR
MB
4π M e （） π
求 ΔAx 的载荷状态及单位状态示如图（3）和（4） 。 弯矩方程为
1 l2 1 l M x1 M x1 dx1 M x2 M x2 dx2 EI 0 EI 0
ΔCy
代入协调条件
7 FSC l 3 3ql 4 24EI
ΔCy 0
得
3 FSC ql （↑） 7
4
得
FCx
进而求得
F （←） π
FBx
（b）解：此为一度静不定问题。
F （→） π
求 ΔAy 的载荷状态及单位状态可示如图 14-3（b） 。
图 14-3(b) 弯矩方程为
M M e FAy R sin
M R sin
将其代入
Δ Ay
积分后，得
1 π/2 M M Rd EI 0
M x1 x1 ，
将其代入
ΔBx
积分后，得
1 l 1 l M x1 M x1 dx1 M x2 M x2 dx2 EI 0 EI 0
ΔBx
代入协调条件
ql 4 1 4 FBx l 3 EI 3 6
ΔBx 0
得
FBx
第 14 章 静不定问题分析
14-1
试判断图示各结构的静不定度。
题 14-1 图 解： （a）在平面受力时，一个封闭框具有三个多余内约束，此问题又具有一个多余外约束，故 为四度静不定。 （b）若无中间铰，两边的刚架分开，二者均为静定刚架。安装此中间铰，使相连处在 x、y 两 个方向的相对位移均受到约束，故为二度静不定。 （c）在平面受力时，一个封闭圆环有三个多余内约束，安装一个中间铰，减少一个约束，现 安装两个中间铰，故为一度静不定。 （d）在平面受力时，一个封闭框有三个多余内约束，此框在左上角和右下角各有一个中间铰， 减去两个约束，故为一度静不定。
0
(b)
在图 c 所示铅垂单位载荷作用下，截面的弯矩则为
M ( ) R sin
根据单位载荷法，得相当系统横截面 B 的铅垂位移为
ΔBy
由此得
1 π/2 ( Rsin )qR2 ( sin ) FBy R sin Rd 0 EI
ΔBy R3 qR(4 π) FBy π 4 EI
弯矩图如图（3）所示。
ql 8
14-3
图示圆弧形小曲率杆，弯曲刚度 EI 为常数。试求支反力，对于题(b)，并计算截面 A
3
的水平位移。
题 14-3 图 （a）解：此为一度静不定问题。 由对称性可得
FBy FCy
F （↑） 2
又由于对称性（θA=0） ，求ΔCx 的载荷状态及单位状态可示如图 14-3（a） 。
4
14-5
题 14-5 图 解：此为一度静不定问题。
7
选杆 BC 为多余杆，求切口处相对位移 Δe / e ' 的载荷状态及单位状态分别如图 14-5（a）和（b） 所示。
图 14-5 求相对位移 Δe / e ' 的过程列于下表：
i 1 2 3 4 5
li
a a a a
F Ni
1 2
FNi
图 14-3(a) 弯矩方程为
M FCx Rsin
F R1 cos 2
M Rsin
将其代入
ΔCx
积分后，得
1 π/2 M M Rd EI 0
ΔCx
代入协调条件
R3 π F FCx EI 4 4
ΔCx 0
M ( ) R(1 cos )
于是，得截面 B 的水平位移为
ΔBx
qR π 2 π 2 1 π/2 4 R(1 cos ) qR2 sin Rd 1 () EI 0 π EI 8 2 π
图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试求杆 BC 的轴力。
EA EA
5
N 5a
Fa
Δe / e '
代入协调条件
Δe / e' 0
得
FNBC FN 5
8
2 2 F 2
14-6
图示小曲率圆环，承受载荷 F 作用。设弯曲刚度 EI 为常数，试求截面 A 与 C 的弯
矩以及截面 A 与 B 的相对线位移。
题 14-6 图 解：1．求 M A 和 M C 此为三度静不定问题。有双对称性可利用。 由对称条件可得（图 14-6a）
FN 5 2 2
F Ni FNi li
FN 5a
2
2 2
1
1
2
2
F FN5
FN5 F a FN5 F a
FN 5a 2
F FN5
FN 5
2
1
2
2
2a