浙江省柯桥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U ={x|x >0}，集合M ={x|x −3>0}，则∁U M =( )A. {x|0<x ≤3}B. {x|x <3}C. {x|x ≤3}D. {x|0<x <3}2. x ∈[0,2π]，y =√tanx +√−cosx 定义域为( )A. x ∈[0,π2)B. (π2,π]C. [π,3π2)D. (3π2,2π]3. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,+∞) C. (−∞,−1) D. (−1,0)4. 已知z =m −1+(m +2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−2)5. 不等式a 1x 2+b 1x +c <0和a 2x 2+b 2x +c 2<0解集分别为M ，N 则a1a 2=b1b 2=c1c 2是M =N 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 要得到函数y =2cosx ⋅sin(x +π6)−12的图象，只需将y =sinx 的图象( )A. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变) B. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变) C. 先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度 D. 先将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度7. 若a ，b 在区间[0,√3]上取值，则函数f(x)=13ax 3+bx 2+14ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A. 14B. 1−√32C. 34D. √328. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，则不同的保送方案共有( )种．A. 114B. 100C. 72D. 1509. 定义在R 上的奇函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +1)=f(3−x)，若f(1)=−2，则2012f(2012)−2013f(2013)=( )A. −4026B. 4026C. −4024D. 402410. 已知函数f(x)={ax 2+1,(x ≥0)(a +2)e ax ,(x <0)为R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围是( )A. ( 0,+∞)B. [−1,0 )C. (−2,0)D. (−∞,−2)二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 要做一个母线长为30cm 的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为______cm ． 12. 已知函数f(x)={x(x +4),x ≥0x(x −4),x <0，则f(1)+f(−3)=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(k,−3)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数k =______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2,2)，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，O 为坐标原点，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围是 ．15. 袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为 (1) ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 (2) ．16. 若(1+x)(1−2x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则a 1+a 2+⋯+a 7的值是 ；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的取法． 17. 对于实数x ，用[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.3]=0，[5.6]=5.若n ∈N ∗，a n =[n4]，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 8= (1) ；S 4n = (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinx ⋅cosx +cos2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[−π6,π3]，求f(x)的最大值和最小值．19.汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因为它具有无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制陈本，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐，可以满足人民群众个性化出行、商务活动需求和保障重大社会活动．2013年国庆长假期间某汽车租赁公司为了调查P、Q两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表：P型车出租天数1234567车辆数51030351532Q型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)根据一周内的统计数据，预测该公司一辆P型车，一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(2)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从P、Q两种车型中购买一辆，请你给出建议应该购买哪一种车型，并说明理由．20.(本小题满分12分)已知向量=3i−4j，=6i−3j，=(5−m)i−(3+m)j其中i，j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量(1)A，B，C能够成三角形，求实数m应满足的条件。
2019-2020学年浙江省A9协作体高二下学期期中联考数学试题答案
x2 = 4y
x2 − 2tx − 4 = 0 ……….………11 分
xt = 2 y − 2
AB =
1+ ( t )2 2
x2 − x1
= t2 + 4 ……….………12 分
t2 + 4
又点 M 到直线 xt = 2y − 2 的距离 d =
= t2 + 4 …….………13 分
t2 + 4
13． ，1 − 2 16． (−1, 0)
17． 3 5 4
三、解答题
18．解：
（1）由题意得
1 2
ac sin 600
=
3
2 ……… 2 分
ac
=
2
………4 分
a2 + c2 − ac = 4
a + c = 10
a, c 是方程 x2 − 10x + 2 = 0 的两根……… 6 分,又 a c
f (1) 1 1 + a + b 1
a +1 = (1+ a + b) − b 1 + a + b + b 2 ….………10 分
−3 a 1 ….……….………11 分 所以， a2 + b2 10 ……….……12 分
又当 a = −3,b =1时， f (x) = x2 − 3x +1 在 0,1 上单调递减，
PN ⊥ AD ………1 分 又 M 是 BC 中点，所以 NM / / AB, AB ⊥ AD ………2 分
所以， NM ⊥ AD ……………..3 分 所以， AD ⊥ 平面 PMN ………4 分 所以， AD ⊥ PM …………….. 5 分
浙江省绍兴市柯桥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
柯桥中学2019学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题1.设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =( )A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合B ，然后求AB .【详解】24x ≤，解得22x -≤≤， 所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A. iB. i -C. 1i +D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方和除法计算公式计算结果.【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3.设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ） A. 18 B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d 表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s 10=s 11，得到a 1+a 2+…+a 10=a 1+a 2+…+a 10+a 11即a 11=0，所以a 1-2（11-1）=0，解得a 1=20．故选B 考点：等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题4.已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的周期为πB. 函数()πy f x =-为奇函数C. 函数()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()f x 的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭上对称 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知2A =，再将点53),(,2)4π-的坐标代入函数中求出ωϕ，的值，然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案. 【详解】解：由图像可知2A =， 因为函数图像过点53),(,2)4π-，所以2sin 52sin()24ϕπωϕ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，由2sin ϕ=sin 2ϕ=， 因为0πϕ<<，所以3πϕ=或23πϕ=，由图像可知图像向左平移超过了548T π≥，即58πϕ>，所以23πϕ=，则522sin()243ππω⋅+=- 由五点对应法得523432πππω⋅+=，得23ω=， 所以22()2sin()33f x x π=+， 则()f x 的周期为3π，所以A 错误；()222π2sin[()]2sin 333y f x x x ππ=-=-+=为奇函数，所以B 正确；由ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22()[0,]33x ππ+∈，此时()f x 不是增函数，所以C 错误； 因为3232()2sin()04343f πππ=⨯+≠，所以3π,04⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 的图像的对称中心，所以D 错误， 故选：B【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题. 5.“a b >”是“a a b b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b ，反过来，若满足a a b b 时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b ”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型. 6.函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =， 当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7.已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足21π2PF F ∠=，连接1PF 交y 轴于点Q ，若2QF =，则双曲线的离心率是（ ）C. 1+D. 1+【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2//OQ PF ，Q 为1PF 的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得22||b PF a=，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得2PF 垂直于x 轴，2//OQ PF ， 因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||PF QF ==，由x c =可得2by a=±=±， 即有22||b PF a=，在直角三角形12PF F 中， 可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得4224b a c =， 即2222b ac c a ==-， 由ce a=可得，2210e e --=，解得12(12e =+-舍去）， 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．8.已知函数(2()lg 12sin f x x x x x =+++，12()()0f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ） A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D.120x x +>【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()lg10f x f x +-==，可得函数()f x 是奇函数，并且可得函数()f x 在0x ≥时单调递增，因此在R 上单调递增，利用单调性与奇偶性可得结果. 【详解】()()(()22lg 12sin lg 12sin f x f x x x x x x x x x ⎛+-=+++++--+-- ⎝lg10==，∴函数()f x 是奇函数，设(2lg 1()g x x x +=在[0,)+∞单调递增，设()2sin ,()2cos 0h x x x h x x =+'=+>恒成立，()h x 在(,)-∞+∞上是增函数，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，()f x 是奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 在0x =处连续，因此在R 上单调递增，()()120f x f x +>，()()()()1212,f x f x f x f x ∴>-∴>-，12x x ∴>-，即120x x +>.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性应用的，以及对数的运算、对数函数的性质、不等式的性质，意在考查推理能力与计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A. 52143a a a ≤- B. 2736a a a a +≤+ C. 76633()a a a a -≥- D. 2367a a a a +≥+【答案】C 【解析】 【分析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n na a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题． 10.若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b =，且当12t =-时，()b ta t R -∈取最小值c 满足()()c b c a -⊥-，则当()·c a b +取最大值时，c b -等于（ ）B.C. D.52【答案】A 【解析】【详解】设a MA =，b MB =，c MC =，如图：∵向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -取最小值3，即12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭． 过点B 作BD ⊥AM 交AM 延长线于D ，则BD 3=，∵|b |＝MB ＝2，∴MD ＝1，∠AMB ＝120°，即a 与b 夹角为120°． ∵12a b a ⎛⎫⊥+⎪⎝⎭，∴a ⋅（12b a +）＝0， ∴|a |•|b |•cos120°12+|a |2＝0， ∴|a |＝2，即MA ＝2，∵()()c a c b -⊥-，∴c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上， ∵O 是AB 中点，∴a b +=2MO ，∴当M ，O ，C 三点共线时，()c a b ⋅+取最大值， ∵AB 22AD BD =+=23，∴OB ＝0C 132AB ==， ∵MA ＝MB ＝2，O 是AB 中点，∴MO ⊥AB ， ∴∠BOC ＝∠MOA ＝90°， ∴|c b -|＝BC 2=OB 6=．故选：A ．考点：向量运算、两个向量垂直．【思路点晴】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目的已知条件，结合向量运算的几何意义作出符合条件的图形是解题的关键.作出图象后，寻找b ta -在什么位置取得最小值，计算出向量,a b 的夹角，及a .由()()c a c b -⊥-可知c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上，结合图象，找出当()c a b ⋅+取得最大值时C 的位置，由此求得结果.二、填空题11.双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 (1). 12y x =± 【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =,渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．【答案】 (1). 22n n+ (2). 12【解析】 【分析】根据条件11a =，36S a =，求出等差数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和，再根据3a ，6a ，k a 成等比数列求出k .【详解】设等差数列的公差为d ，则由36S a =得11335a d a d +=+，即3315d d +=+，解得1d =，则n a n =，(1)2n n n S n -=+=22n n+． 由3a ，6a ，k a 成等比数列得263k a a a =⋅，即263k =，解得12k =．故答案为：22n n+；12【点睛】本题考查等差数列的概念与求和公式及等比数列的性质，根据题意确定等差数列的通项是解题的关键．13.已知点O 为ABC 的外心，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若3450OA OB OC →→→→++=，cos BOC ∠的值为______，OA OB →→⋅=______.【答案】 (1). 45-； (2). 0. 【解析】 【分析】设三角形ABC 的外接圆半径为R ，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O 为三角形的外心，得到OA OB OC R →→→===，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos BOC ∠的值；由4533OA OB OC →→→=--，利用平面向量的数量积运算，即可求出OA OB →→⋅的值.【详解】解：设外接圆半径为R ，则OA OB OC R →→→===，由3450OA OB OC →→→→++=，得：453OB OC OA →→→+=-， 平方得：2221640259R OB OC R R →→++=，则245OB OC R →→=-，即224cos 5R BOC R ∠=- 则4cos 5BOC ∠=-； 因为4545333OB OC OA OB OC →→→→→+==---，4533OA O OB OC OB B →→→→→--⎛⎫∴⋅=⋅ ⎪⎝⎭24533OB OC OB →→→-⋅-=2245cos 33R R BOC --⋅∠=22454335R R ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭=0=.即0OA OB →→⋅=. 故答案为：45-；0. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和利用平面向量的数量积求夹角，以及向量在几何中的运用，考查化简运算能力． 14.对于函数()()321332a f x x x a xb =-+-+，若()27f =，则()2f -=______.若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为______. 【答案】 (1). 7 (2). ()2,3 【解析】 【分析】利用定义判断出函数()f x 为偶函数，可求得()2f -的值，令()()321332ag x x x a x b =-+-+，可知函数()g x 在()0,∞+上有两个极值点，即函数()g x '在()0,∞+上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】()()321332a f x x x a xb =-+-+，该函数的定义域为R ， ()()()()()332211333232a a f x x x a xb x x a x b f x -=---+--+=-+-+=， 所以，函数()f x 为偶函数，则()()227f f -==.令()()321332a g x x x a xb =-+-+，则()()f x g x =， 由于函数()f x 有六个不同的单调区间，则函数()g x 在()0,∞+上有两个极值点， 即函数()g x '在()0,∞+上有两个不同的零点，且()()23g x x ax a '=-+-，由二次函数的零点分布得()2024120030aa a g a '⎧>⎪⎪∆=+->⎨⎪=->⎪⎩，解得23a <<.因此，实数a 的取值范围是()2,3. 故答案为：7；()2,3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则3+a c 的最小值为______.【答案】4+【解析】 【分析】 由ABCABDCBDSSS=+可推出ac c a =+，即111a c+=，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出3+a c 的最值. 【详解】由题可知ABCABDCBDSSS=+，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：111sin120sin 60sin 60222ac c a =+， 化简得ac c a =+，即111a c+=，所以()1133344a c a c a c a c c a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当3a cc a=即1c ==时取等号.故答案为：4+.【点睛】本题考查了三角形和基本不等式的综合应用，属于中档题，在应用基本不等式时，注意遵循“一正二定三相等”原则.16.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =______.【答案】5- 【解析】 【分析】可设2AF m =，122F F c =，根据双曲线的定义及1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得12AF a m =+，14BF a =，11BF =，求得m .再在12Rt F AF 中，用勾股定理，得到关于a c 、的方程，运用离心率公式计算即可. 【详解】解：设2AF m =，122F F c =，由122AF AF a -=，12AF a m ∴=+，又1222AF AB AF BF m BF ==+=+，22BF a ∴=，又122BF BF a -=， 14BF a ∴=，1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，11BF ∴=，即)42a a m =+，)21m a ∴=，在12Rt F AF 中，222124AF AF c +=，()222824a ac ∴+=，即2225c a =-，25e ∴=-故答案为：5-.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.17.已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______. 【答案】[]1,0- 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围.【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()f x '的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减，也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤，∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题. 三、解答题 18.（12sin 50cos101︒+︒+︒（2）在ABC 中，已知2AC =，1AB =，且角A ，B ，C 满足2cos 22sin 12B CA ++=.求角A 的大小和BC 边的长；【答案】（1）2；（2）60A =︒，BC =. 【解析】 【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值； （2）对2cos 22sin12B CA ++=利用倍角公式，降次公式化简，可得1cos 2A =，从而求得60A =︒，再求余弦定理可求得BC 的长. 【详解】解：（12sin 50cos101︒+︒+︒40cos 40︒⋅+︒⋅==2sin85cos5︒=︒2= （2）由2cos 22sin12B CA ++=，得cos 2cos()ABC =+，又180A B C ++=︒， 得cos2A =cos(180)A ︒-，得22cos 1cos A A -=-，得(cos 1)(2cos 1)0A A +-=， 由cos 10A +≠，得1cos 2A =，又(0,180)A ∈︒，得60A =︒， 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅211221232=+-⨯⨯⨯=，得BC =，即60A =︒，BC =【点睛】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题.19.已知：二次函数()21f x ax bx =+-的图象过点()1,0-，且对任意实数均有()0f x ≤成立.（1）求()f x 的表达式；（2）若奇函数()h x 的定义域和值域都是区间[],k k -，且[]0x k ∈-，时，()()1h x f x =+，求k 的值.【答案】（1）()221f x x x =---；（2）1k =或3k =.【解析】 【分析】（1）根据函数过点()1,0-和0∆≤计算得到答案.（2）根据奇函数得到函数解析式，讨论01k <≤和1k >两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）()21f x ax bx =+-，()110f a b -=--=，故1a b -=，对任意实数均有()0f x ≤成立.，故240b a ∆=+≤，即()224420b b b ++=+≤，故2b =-，1a =-，即()221f x x x =---.（2）当[]0x k ∈-，时，()()()221211x x f x h x x =--=-+++=，0k >， 当(]0,x k ∈时，[)0x k -∈-，，故()()22h x h x x x -=--=， 当1k ≤时，函数()h x 在[],k k -上单调递减，故()()2max 2h x h k k k k =-=-+=，()()2min 2h x h k k k k ==-=-，解得1k =；当1k >时，()()(){}(){}max max 1,max 1,f x f f k f k k =-==，故()f k k =， 即22k k k -=，解得3k =，验证满足()()min f x f k k =-=-. 综上所述：1k =或3k =.【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据函数的值域求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，分类讨论是解题的关键. 20.已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）5n a n =-，2922n n n S =-（2）29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126a a a ++=-利用等差数列性质得736a =-，72a =-，再根据等差数列广义通项公式得：()77275n a a n d n n =+-=--+=-，最后利用等差数列和项公式求前n 项和n S ，（2）先根据题意确定数列{}n a 的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列{}n b 通项，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()max max n m S T λ<+，nS 为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n *∈N ，而n T 的最值，需根据数列单调性确定.试题解析： 解：（1）{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，∴736a =-，即72a =-，又公差1d =-，∴()77275n a a n d n n =+-=--+=-，n *∈N ．()()214592222n n n a a n n n n S ++-===-，n *∈N ． （2）由（1）知数列{}n a 的前4项为4，3，2，1，∴等比数列{}n b 的前3项为4，2，1， ∴，∴()11452n n n a b n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，∴()()01211111443652222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① ∴()()121111114436522222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得()12111111444522222n nn T n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()111212111645122612212n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=---⨯=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-． ∴()11244122n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ．∴()11214112412204222n n n n n n n nT T ---------=-=， ∴12345T T T T T <<<=，且56n T T >>>T ，∴*n ∈N 时，()45max 492n T T T ===． 又2922n n n S =-，∴*n ∈N 时，()45max 10n S S S ===，存在*m ∈N ，使得对任意*n ∈N ，总有n m S T λ<+成立．∴()()max max n m S T λ<+，∴49102λ<+， ∴实数λ的取值范围为29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和【名师点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 21.如图，已知()1,1P 为抛物线2yx 上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】 【分析】（1）首先设直线PA 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2yx 联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P到直线AB的距离，再利用等面积公式转化方程求k，最后求直线AB的方程.【详解】（1）设直线PA的方程为()11y kx=-+，与抛物线2y x联立，得210x kx k-+-=，易知()()21,1A k k--，()()21,1B k k--+，所以直线AB的斜率2ABk=-（定值）.（2）由（1）得直线AB的方程为()()2211y x k k=--++-，所以点P到直线AB的距离2d=()2AP k=-，()2BP k=+，AB=.（ⅰ）求ABP∆的周长2l=；（ⅱ）设ABP∆的内切圆半径为r，则r=2AB drl⋅====5k=.所以直线AB的方程为224y x=-+.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B的坐标.22.已知函数()()1xf x x e=-.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R=+∈有非负实数解，求2+4a b的最小值.【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln21--【解析】【分析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x e x x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()x f x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1x g x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-. ①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-.②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010x g x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--， 因此()002222000441x x a b x ex x e +≥--+. 设()()22241x x h x x e x x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增，所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-. 所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的a 时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值. 难点是第二问0。
2019-2020学年高二下学期期中段考数学试题 Word版含解析
2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【★答案★】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A. 4-B. 2-C. 2D. 4【★答案★】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B3.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】 【详解】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c ="2," 所以选B.4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.16625B.96625C.192625D.256625【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A. 3264A A ⋅B. 2364C C ⋅C. 510CD. 3264C C ⋅【★答案★】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人， 所以不同的抽取方法种数为3264C C ⋅. 故选：D .【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.6.若,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（ ） A.45B.35C.25D.15【★答案★】B 【解析】 【分析】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，先求总排列数n ，然后利用插空法得出，A ，B 两位同学不相邻的排列数m ，利用np m=即可求解. 【详解】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A，B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，则A ，B 两位同学不相邻的概率为7231205n p m === 故★答案★选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题.7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200C. 300D. 400【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.8.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【★答案★】B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率.9.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【★答案★】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.10.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163 C. 166 D. 170【★答案★】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=， 故选C. 11.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A. 8B. 15C. 16D. 32【★答案★】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差12.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [5,3]-- B. 9[6,]8-- C. [6,2]-- D. [4,3]--【★答案★】C 【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x --≥恒成立； 当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x --≤恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t=1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t=-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为64，则n =________． 【★答案★】3 【解析】 【分析】取1x =，则各项系数之和464n =，解得★答案★. 【详解】取1x =，则各项系数之和464n =，解得3n =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值 ．【★答案★】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法15.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .【★答案★】84【解析】试题分析：由题分三类：种两种花有A 42种种法；种三种花有2A 43种种法；种四种花有A 44种种法． 共有A 42+2A 43+A 44=84．考点：分类加法及运用排列数计数.16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【★答案★】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【★答案★】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到★答案★⑵由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后根据裂项相消法求前n 项和n T【详解】（1）由已知条件得11a 25,3a 69,d d +=⎧⎨+=⎩解得1a 1,d 2,==所以通项公式为；n a 2n 1=-（2）由（1）知，n a 2n 1=-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭数列{}n b 的前n 项和n 12n S b b b =+++ =111111111--)1.2335212122121n n n n n ⎛⎫++⋯+-=-= ⎪-+++⎝⎭（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11n n n b a a +=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式． 18.已知函数32()f x x ax bx =++在2x =-与12x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3,2]-的最大值与最小值．【★答案★】（1）329()34f x x x x =+-；（2）max ()11,f x =min 13()16f x =-．【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点得到(2)0102f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝''⎭⎩，代入数据解得★答案★.（2）计算极值点和端点比较大小得到★答案★.【详解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以2()32f x x ax b '=++．由(2)124013024f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨⎛⎫=++= ⎪⎝⎭''⎪⎩，解得943a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，329()34f x x x x ∴=+-．（2）()291()333222f x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 计算极值点和端点得到：1193132816216f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，(2)8967f -=-++=，819(3)27944f -=-++=，(2)89611f =+-=．所以max ()11,f x =min 13()16f x =-． 【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 【★答案★】(1) 120.C =（2） 3. 【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆的面积为 3. 20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【★答案★】（1）4960；（2） 分布列见解析，()65E X =． 【解析】【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X0 1 2 3X随机变量X 的数学期望．21.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间．【★答案★】（1）2a =；（2）当0a ≤时，递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；当2a =时，递增区间为(0,)+∞；当2a >时，递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）解方程(2)1f '=可得结果；（2）对a 分类讨论，解不等式()0f x '>可得递增区间，解不等式()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{|0}x x >，且()2(2)a f x x a x'=-++， 依题意，(2)4(2)12a f a '=-++=，解得2a =． （2）依题意，(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x --'=-++=>， 令()0f x '=，得11x =，22a x =． ①当0a ≤时，02a ≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ②当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02a x <<或1x >，由()0f x '<，得12a x <<．则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ④当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y和月销售价()1,2,3,,10ix i=⋅⋅⋅数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，lny c d x=+与y bx a=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据()11,v w，()22,v w，…，(),n nv w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ni iiniiw w v vv vβ==--=-∑∑，w vαβ=-.②参考数据：x y u()1021iix x=-∑()1021iiu u=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101i iiu u y y=--∑6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 -143.25 -27.54表中lni iu x=，101110iiu u==∑.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40≈.【★答案★】（1）lny c d x=+，24.4510.20lny x=-（2）月销售量10.17y=（千件）时，月销售额预报值最大.【解析】【分析】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型，令ln u x =，根据提供数据求出,d c ，即可求出回归方程；（2）由z xy =，由（1）得到z 关于x 的函数，求导，求出单调区间，进而求出极值最值，即可得出结论.【详解】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型.令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70i ii i i y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.（2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2019-2020学年浙江省A9协作体高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省A9协作体高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3}2．θ为第二象限角且tanθ＝﹣2，则cos（π﹣θ）＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．对于空间中的两条不同直线m，n和一个平面α，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n4．设f（x）＝，若f（a）＝f（a+1），则a＝（）A．4B．2C．D．5．已知a∈R，则“a≤1”是“a2≤a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（1，]D．（1，）7．函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．若x，y满足y＝，x＞0，则x+y的最小值是（）A．B．C．D．9．数列{a n}是等差数列，b n＝a n a n+1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，若a12＝＞0，则S14，S15，S16，S17中最小的是（）A．S16或S14B．S17C．S14D．S1510．三棱锥P﹣ABC的六条棱长都相等，M是棱AB上一点，若直线PM与直线BC所成角的余弦值为，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图（单位：cm）则该几何体的表面积为cm2，体积为cm3．12．已知2a＝3，则4a+4﹣a＝，log418＝．（用a表示）13．函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）（x∈R）的最小正周期为．该函数的最小值为．14．不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0表示的平面区域为M，则该区域的面积为，若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y的最大值是．15．f（x）＝e x（e为自然对数的底数），x∈[0，1]，将区间[0，1]n等分，区间两端点及等分点依次为A0，A1，…，A n﹣1，A n，其中A0（0，0），A n（1，0），过点A i（i＝0，1，…，n）作x轴的垂线交该函数图象于点B i（i＝0，1，…，n），顺次连接这些交点，依次得到n个小梯形A0B0B1A1，…，A n﹣1B n﹣1B n A n，如图，设梯形A i﹣1B i﹣1B i A i的面积为S i（i ＝1，2，…，n），则S1+S2+…+S n＝．16．已知函数f（x）＝x2+ax+b的两个零点为x1，x2，且满足0＜x1＜x2＜2，记f（x）（x∈R）的最小值为m，则m的取值范围是．17．已知||＝1，|+|+|﹣|＝4，则|﹣|的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝60°，b＝2．（1）若△ABC的面积S＝，且a＜c，求a，c的值；（2）若a＝1，求cos C的值．19．等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，且a1、a2、a5成等比数列，数列{b n}满足b1＝1且＝﹣（n∈N*）．（1）求a n、b n；（2）若c n＝，数列{c n}的前n项和为S n；（i）求S n；（ⅱ）求使S n＞的最小正整数n．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2DC，M是BC边的中点．（1）求证：PM⊥AD；（2）若PB＝AB，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．21．已知抛物线x2＝4y．（1）点P（x0，y0）是该抛物线上任一点，求证：过点P的抛物线的切线方程为x0x＝2y0+2y；（2）过点M（t，﹣1）（t∈R）作该抛物线的两条切线，切点分别为A（x1，y1）B（x2，y2），设△MAB的面积为S，求S的最小值．22．f（x）＝x2+ax+b，x∈[0，1]，a，b∈R．（1）若b＝1﹣a且|f（x）|是增函数，求a的取值范围；（2）若|f（x）|≤1恒成立，求a2+b2的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3}解：∵A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，0，8，3}，∴A∪B＝{1，2，3}∪{﹣1，0，5，3}＝{﹣1，0，1，2，5}，∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．θ为第二象限角且tanθ＝﹣2，则cos（π﹣θ）＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵θ为第二象限角，且tanθ＝＝﹣2，∴sinθ＝﹣2cosθ，平方得sin2θ＝4cos2θ，即sin2θ+cos2θ＝5cos2θ＝1，∴cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＝．故选：A．3．对于空间中的两条不同直线m，n和一个平面α，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：对于A，若m∥α，n∥α，可得m，n平行、相交或异面，故A错误；对于B，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于D，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于题意平面的两直线平行，可得m∥n，故D正确．故选：D．4．设f（x）＝，若f（a）＝f（a+1），则a＝（）A．4B．2C．D．解：∵函数f（x）＝，函数在各自定义域内，都是增函数，实数a满足f（a）＝f（a+1），故选：C．5．已知a∈R，则“a≤1”是“a2≤a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由“a2≤a”，解得0≤a≤1．∴“a≤1”是“a2≤a”的必要不充分条件．故选：B．6．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（1，]D．（1，）解：∵双曲线与直线y＝x无交点，∴双曲线的渐近线方程y＝x，满足≤∴c2≤4a2，得≤4即e2≤4，∴1＜e≤2，故选：A．7．函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．解：，为奇函数，故排除选项AC，又，当时，f′（x）＜0恒成立，故函数f（x）在递减，故排除选项D．故选：B．8．若x，y满足y＝，x＞0，则x+y的最小值是（）A．B．C．D．解：因为x＞0，y＝＝，则x+y＝x＝＝，故选：B．9．数列{a n}是等差数列，b n＝a n a n+1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，若a12＝＞0，则S14，S15，S16，S17中最小的是（）A．S16或S14B．S17C．S14D．S15解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a12＝＞0，∴8（a1+11d）＝2（a1+4d），∵a5＝a2+4d＞0，∴d＜0，a8＞0．∴b n＝a n a n+1＝d2（n﹣）（n﹣）．∴S16＜S15，S14＜S15，S16＜S17．因此n＝16时，数列{b n}的前n项和S n，取得最小值．故选：A．10．三棱锥P﹣ABC的六条棱长都相等，M是棱AB上一点，若直线PM与直线BC所成角的余弦值为，则＝（）A．B．C．D．解：设三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为a，AM＝λAB，λ∈（0，1）．过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接PN，则∠PMN即为直线PM与直线BC所成角．在△APM中，由余弦定理知，cos∠PAM＝，即cos60°＝，在△PMN中，MN＝λBC＝λa，化简得2λ2+λ﹣1＝0，解得λ＝（舍负）．故选：D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图（单位：cm）则该几何体的表面积为cm2，体积为cm3．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为2的半个圆锥，所以圆锥的侧面积为，半圆锥的体积为．故答案为：；12．已知2a＝3，则4a+4﹣a＝，log418＝．（用a表示）解：∵2a＝3，∴4a+4﹣a＝＝9+＝，∵2a＝3，∴a＝log23＝log49，故答案为：，．13．函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）（x∈R）的最小正周期为π．该函数的最小值为1﹣．解：f（x）＝2sin x（sin x+cos x）＝2sin2x+3sin x cos x，＝1﹣cos2x+sin2x，结合正弦函数的性质可知，函数的周期T＝π，最小值7﹣．故答案为：π，1﹣14．不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0表示的平面区域为M，则该区域的面积为2+π，若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y的最大值是2．解：不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，化为：+≤，对x，y分类讨论，可得可行域．则该区域的面积＝+2＝2+π．由圆心（，）到此直线的距离＝＝，解得z＝2，或0（舍去）．故答案为：2+π，2．15．f（x）＝e x（e为自然对数的底数），x∈[0，1]，将区间[0，1]n等分，区间两端点及等分点依次为A0，A1，…，A n﹣1，A n，其中A0（0，0），A n（1，0），过点A i（i＝0，1，…，n）作x轴的垂线交该函数图象于点B i（i＝0，1，…，n），顺次连接这些交点，依次得到n个小梯形A0B0B1A1，…，A n﹣1B n﹣1B n A n，如图，设梯形A i﹣1B i﹣1B i A i的面积为S i（i＝1，2，…，n），则S1+S2+…+S n＝．解：根据题意：，又，所以＝．＝＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝x2+ax+b的两个零点为x1，x2，且满足0＜x1＜x2＜2，记f（x）（x∈R）的最小值为m，则m的取值范围是（﹣1，0）．解：由题意可得，，即，其表示的平面区域如图所示的阴影部分，不含边界，当移动到阴影部分边界时，m取得最大值0，当过（﹣5，0）时取为小值﹣1，故答案为：（﹣1，0）17．已知||＝1，|+|+|﹣|＝4，则|﹣|的最小值是．解：设＝（1，0），＝（x，y），则＝（x+1，y），＝（x﹣1，y），∴+＝4＞5，∵＝（x﹣，y），当x＝1时，则﹣|取最小值．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝60°，b＝2．（1）若△ABC的面积S＝，且a＜c，求a，c的值；（2）若a＝1，求cos C的值．解：（1）由题意可得：，可得，又a＜c，（2）由正弦定理，可得sin A＝＝，故A为锐角，cos A＝＝，可得cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．19．等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，且a1、a2、a5成等比数列，数列{b n}满足b1＝1且＝﹣（n∈N*）．（1）求a n、b n；（2）若c n＝，数列{c n}的前n项和为S n；（i）求S n；（ⅱ）求使S n＞的最小正整数n．解：（1）由已知得：，又a1＝1，d≠0，得d＝2．由＝﹣，得当n≥2时，有＝．而b1＝1适合上式，∴；，∴＝．（ⅱ）∵c n＞2，∴S n是关于n的单调增函数，∴使S n＞的最小正整数n＝4．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2DC，M是BC边的中点．（1）求证：PM⊥AD；（2）若PB＝AB，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点N，连接PN，MN，∵△PAD是正三角形，∴PN⊥AD，∴MN⊥AD，∴AD⊥平面PMN，又PM⊂平面PMN，（2）解：∵PB＝AB，AB＝AD＝PA，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴平面ABCD⊥平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，不妨设DC＝1，则P（5，0，），A（1，0，0），B（4，2，0），M（0，，6），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，∴cos＜＞＝＝＝﹣．故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为．21．已知抛物线x2＝4y．（1）点P（x0，y0）是该抛物线上任一点，求证：过点P的抛物线的切线方程为x0x＝2y0+2y；（2）过点M（t，﹣1）（t∈R）作该抛物线的两条切线，切点分别为A（x1，y1）B（x2，y2），设△MAB的面积为S，求S的最小值．解：（1）证明：y＝x2的导数为y'＝x，则过点P的抛物线C的切线斜率为x0，即为y﹣y0＝x0x﹣x02＝x0x﹣2y0，（3）由（1）可得切线MA的方程为：y﹣y1＝x1（x﹣x1），即y＝x1x﹣y1，由M（1，﹣1）是MA、MB交点可知：﹣4＝tx1﹣y1，﹣1＝tx2﹣y2，所以直线AB：tx﹣2y+2＝0，且直线AB过定点F（2，1）．则|AB|＝＝t5+4，所以△MAB的面积为S＝，所以当t＝0时，△MAB的面积最小为4．22．f（x）＝x2+ax+b，x∈[0，1]，a，b∈R．（1）若b＝1﹣a且|f（x）|是增函数，求a的取值范围；（2）若|f（x）|≤1恒成立，求a2+b2的最大值．解：（1）由题意可得f（x）在[0，1]必为单调函数，且在[0，1]无零点．又b＝1﹣a，故f（7）＝2＞0，当且仅当，即，可得a的取值范围是[0，4]；则|a+1|＝|（1+a+b）﹣b|≤|1+a+b|+|b|≤2，可得﹣2≤a≤1，又当a＝﹣3，b＝1时，f（x）＝x2﹣4x+1在[0，1]递减，综上可得a2+b2的最大值为10．。
2019-2020学年绍兴市柯桥中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年绍兴市柯桥中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−5x−6≥0}，B={x|−2≤x<6}，则A∩B=()A. [−2,−1]B. [−1,6)C. [−1,3]D. [−2,6)2.1−2i1+i +1+2i1−i=()A. −1B. −iC. 1D. i3.已知等差数列的公差，若、、成等比数列，那么等于()A. B. C. D.4.函数y=2cos2(x−)−1是()A. 最小正周期为p的奇函数B. 最小正周期为2p的奇函数C. 最小正周期为p的偶函数D. 最小正周期为2p的偶函数5.已知a∈R，则“a<1”是“a3<2a2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于()A. 2B. 3C. 4D. 67.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为()A. 12B. √22C. √33D. √328.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x+√x+1.则f(x)≤3的解集是()A. [0,1]B. [−1,1]C. [−2,1]D. (−∞,−1]∪[1,+∞)9.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=a na n+1，则a n=()A. 2n B. 22n−1C. 2n−12D. 22n+110.已知向量a⃗，b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为2π3，则|a⃗+b⃗ |=()A. 1B. √2C. √3D. 2二、单空题（本大题共4小题，共18.0分）11.13.如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式的解集为________．12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA=acos(B+π6)，b=2，若满足条件的△ABC有且仅有一个，则a的取值范围是______．13.若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是____________．14.设f(x)=(x+1)3e−x+1，g(x)=(x+1)2+a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围为______．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）15.双曲线C：y2−x24=1的渐近线方程为(1)，设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点(4,1)，且与C具有相同渐近线，则C的方程为(2)．16.已知数列{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，a1，a3，a6成等比数列，则数列{a n}的公差d等于(1)；前n项和S n等于(2)．17.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1，则|a⃗+b⃗ |=(1)，b⃗ 在a⃗上的投影等于(2)．四、解答题（本大题共5小题，共63.0分）18.在①tanα=4√3，②7sin2α=2sinα，③cosα2=2√77这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，cos(α+β)=−13，______，求cosβ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. (1)计算：lg √27+lg8−log 4812lg0.3+lg2；(2)f(x)满足f(x +1)+f(x −1)=x 2−4x ，试求f(x )的解析式．20. 已知数列{a n }的各项为正数，其前n 项和S n 满足S n =(a n +12)2，设b n =10−a n (n ∈N)(1)求证：数列{a n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最大值． (3)求数列{|b n |}(n ∈N)的前n 项和．21. 如图，椭圆C 1：x 24+y 2=1，x 轴被曲线C 2：y =x 2−b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求实数b 的值；(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与C 1相交于D 、E ．①证明：MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；②记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1，S 2.若S1S 2=λ，求λ的取值范围．22. 已知函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围； (3)证明：1n23+1n34+1n45+⋯1nn n+1<n(n−1)4(n ∈N ∗且n >1)【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|x2−5x−6≥0}={x|x≥6或x≤−1}，B={x|−2≤x<6}，∴A∩B={x|−2≤x≤−1}=[−2,−1]，故选：A求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：解：1−2i1+i +1+2i1−i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)+(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1−3i2+−1+3i2=−1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：A解析：试题分析：∵a5，a9，a15成等比数列，∴a92=a5⋅a15，即结合等差数列的通项公式表达式得到，(a1+8d)2=(a1+4d)(a1+14d)，整理得：2a1d=8d2，由d≠0，解得：4d=a1，故可知，故可知选A．考点：本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式。
2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学(文)试卷 含答案
2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学（文）试卷 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I AC B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 3、下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+x4、已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则( )A.4-B.3-C.-2D.-15、设n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α//m ,α//n ,则n m // B ．若α//m ,β//m ,则βα// C ．若n m //,α⊥m ,则α⊥nD ．若α//m ,βα⊥,则β⊥m6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( ). A ．3 B ．4 C ．6 D ．87、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞8、已知曲()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6 9、在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为（ ） A.41 B.43 C.94 D.169 10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2③若1,2p q ==，则“距离坐标”为()1,2的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11. 如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为12．若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则22(1)x y -+的最小值为 ．13．已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在不同的两项m a 和n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值是__________. （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是__________.PB =三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分），q ）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅． (1)求()f x 最小正周期及最值； (2)若2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值.17.（本小题满分12分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（1）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（2）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数； （3）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.18．（本题满分14分）如图，圆O 为三棱锥P-ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点． （1）求证 BC ⊥PB ；（2）设PA ⊥AC ，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P －MBC 的体积；（3）在∆ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论.欢迎访问“高中试卷网”—— 19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a满足214n n n a a a +++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．（1）证明：数列是等差数列；（2）设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．20． (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.（1）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （3）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.C2014-2015学年高二年级第二学期期中考试文科数学参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.【答案】2 12.【答案】1/5 13.【答案】3/214.【答案】1 15.【答案】216．（本小题满分12分）解：（1）1()cos2cos=2sin2cos2=2sin226f x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…3分所以2=2Tππ=．………………………………………………………………4分()max2f x=⎡⎤⎣⎦;()min2f x=-⎡⎤⎣⎦………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin2=26fπαα⎛⎫=--⎪⎝⎭，得：sin2=16πα⎛⎫--⎪⎝⎭，即32=2,62k k Zππαπ-+∈．得：5=,6k k Zπαπ+∈…8分又因为2παπ<<，所以5=6πα.……………………………………………10分577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………12分 17.【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为604.0150=⨯（人）……7分 （Ⅲ）记获一等奖的6人为E D C B A A ,,,,,21，其中21,A A 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()21,A A ，()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，()C B ,，()D B ,， ()E B ,， ()D C ,， ()E C ,， ()E D ,， ………9分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，0.000.010.020.030.040.010.020.020.030.00所以恰有1名女生接受采访的概率158=P ………12分 18、（Ⅰ）证明：如图，因为，AC 是圆O 的直径，所以BC ⊥AB......1分因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA AB=A....2分所以，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB....3分 所以，BC ⊥PB....4分（Ⅱ）如图，在Rt ∆ABC 中，AC=2，AB=1所以，ABC S ∆=....6分 因为，PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABC所以，112133P MBC P ABC M ABC V V V ---=-=-= (9)（Ⅲ）如图，取AB 得中点D ，连接OD 、MD 、OM ，则N 为线段OD （除端点O 、D 外）上任意一点即可，理由如下： ········································································· ··············· 10分 因为，M 、O 、D 分别是PA 、AC 、AB 的中点 所以，MD ∥PB,MO ∥PC因为，MD ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC 所以，MD ∥平面PBC ······················································································· ············· 12分 同理可得，MO ∥平面PBC因为，MD 、MO ⊂平面MDO ，MD MO=M 所以，平面MDO ∥平面PBC ············································································ ············· 13分 因为，MN ⊂平面MDO 故，MN ∥平面PBC ． ······················································································· ············· 14分 19.（Ⅰ）2124n n n a a a +++=且0n a >22∴= = …………3分 ∴1=的等差数列 ………… 5分21(1)1,n n n a n =+-⨯== …………8分()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ ……………………10分 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ……………………12分 ()21111n =-<+ ……………………14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分C∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．-------14分20.解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，01)()]([min≤-++==∴a e ae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e ，112-+≥∴e e a ； ……10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分综上可得所求a 的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ． ………………14分。
2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题 含答案
2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数(为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为()二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得 于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 相切于第二象限的一点,直线与椭圆E 交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C 的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2）设函数若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．y xD B O M NA ••当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(平行班)下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（平行班）下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．∅【答案】C【解析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】 由题知，(1,2)A B =-，故选C ．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题． 2．“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．【考点】1．对数的性质；2．充分必要条件．3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A【解析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小． 【详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<． 故选A ． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．4．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-，且a c ⊥，//b c ，则||a b +=（ ） A ．5 B ．10C ．25D ．1【答案】B【解析】由题意,根据a c ⊥求得2x =，得到向量a 的坐标,再由//b c ，求得2y =-得到向量b 的坐标，再利用向量的坐标运算和模的公式，即可求解. 【详解】∵a c ⊥，∴240x -=，∴2x =，∵//b c ，∴42y -=，∴2y =-， ∴()3,1a b +=-，∴10a b +=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量垂直与平行的坐标表示，向量的模的求解问题，熟记向量的坐标运算公式和平面向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}|20x f x ->= A ．{}|24x x x -或B ．{}|04? x x x 或 C ．{}|06? x x x 或D ．{}|22?x x x -或 【答案】B【解析】由偶函数f （x ）满足()24xf x =-（x≥0），可得f （x ）=f （|x|）=24x -， 则f （x-2）=f （|x-2|）=224x --，要使f （|x-2|）＞0，只需224x --＞0，|x-2|＞2，解得x ＞4，或x ＜0，故选B7．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.9．已知可导函数()f x 的导函数()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x '>+，且()2020f x -为奇函数，则不等式()20182xf x e -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】令()2()xf xg x e -=，()x R ∈，从而求导()0g x '<，从而可判断()y g x =单调递减，再由奇函数的性质可得，(0)2020f =，从而可得到不等式的解集．解：设()2()xf xg x e -=，由()()2f x f x '>+， 得：()()2()0xf x f xg x e '-+'=<， 故函数()g x 在R 递减，由()2020f x -为奇函数，得(0)2020f =， (0)(0)22018g f ∴=-=，即(0)2018g =，不等式()20182xf x e -<，∴()22018xf x e-<，即()(0)g x g <， 结合函数的单调性得：0x >，故不等式()20182xf x e -<的解集是(0,)+∞， 故选：B ． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．10．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2【答案】B【解析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解 【详解】 解析： 法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B 【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究二、填空题11．已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为_______，z =_____. 【答案】310【解析】根据复数运算计算，然后由虚部定义和模长的运算可求得结果 【详解】复数(1)(12)13z i i i =++=-+，则复数z 的虚部为3，22||(1)310z =-+=故答案为：310 【点睛】本题考查复数的概念，复数的乘法和模的运算，属于简单题.12．已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ． 【答案】1;2662--【解析】试题分析：如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()()min 12,62662f f f x f ⎡⎤-=-==-⎣⎦.【考点】分段函数的图像与性质13．在ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,22BD DC ADB AD =∠=︒=.若ADC 的面积为33-，则AB =_____，BAC ∠=________.63π【解析】根据面积公式得到232DC =，31BD =，再利用余弦定理求AB 6=AC ，在ACB △中，用余弦定理可求BAC ∠.【详解】解：120ADB ∠=，则ADC 60∠=，13sin 332ADC A S AD DC DC DC ∠=⋅==-△ 故232DC =，1312BD DC ==. 根据余弦定理：2222cos12044232326AB AD BD AD BD =+-⋅︒=+-=， 故AB 6=在ADC 中，2222cos 60416424AC AD CD AD CD =+-⋅︒=+-=-.在ACB △中， 2222cos BC AB CA AB CA BAC =+-⋅∠()213624,cos 2BAC BAC =+-∠∠=所以3BAC π∠=；3π. 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力；基础题.14．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是___________. 【答案】12[,)33【解析】【详解】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,)33.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15．若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．【答案】3-.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由()2620f x x ax '=-=得0,3ax x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此322()()10, 3.33a a a a -+==从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以()max ()0,f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，max min ()()f x f x +=()0+(1)14 3.f f -=-=-点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．16．已知平面向量,,a b c 满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=，， 则c 的取值范围为_________. 【答案】[]5,11【解析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c 的轨迹，由此求得c 的取值范围. 【详解】设,,OA a OB b OC c ===，依题意4AB a b ==-，设D 是线段AB 的中点，则()()a b OD DA OD DB ⋅=+⋅+()()OD DA OD DA =+⋅-2260OD DA =-=，即2226026064OD DA =+=+=，所以8OD =，故22OD OA OD -≤≤+，即610OA ≤≤，由于1c a AC -==，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+，即511c ≤≤.故答案为：[]5,11.【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、双空题17．设lg 2,lg3a b ==，则10a b +=________（用数字表示），3lg 8=________（用,a b 表示）【答案】6 3b a -【解析】第一个空直接把对数形式转化为指数形式，利用指数的运算性质求解即可；第二个空直接利用对数的运算性质求解即可． 【详解】解：2a lg =，3b lg =，102a ∴=，103b =，101010236a b a b +∴==⨯=． 2a lg =，3b lg =，33833238lg lg lg lg lg b a ∴=-=-=-．故答案为6，3b a -． 【点睛】本题主要考查对数以及指数的运算性质，属于基础题．四、解答题18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积.【答案】（1）25；（2）9【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin ,cos 1010A A ==.3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.19．已知函数2()cos sin()3f x x x x x R π=+∈ （1）求f (x )的单调递增区间；（2）求f (x )在闭区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值. 【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；（2）min max 11()()24，=-=f x f x . 【解析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得1()sin(2)23f x x π=-，由222232k x k ππππ--π+得单调增区间； （2）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，在求出函数的最值．【详解】解：由2()cos sin()3f x x x x π=+-+2cos (sin cos cos sin )3cos 33x x x x ππ=+-+213sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2)4x x =++ 1sin(2)23x π=- （1）由222232k x k ππππ--π+得5()1212k x k k Z ππππ-+∈， 即单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由于[,]44x ππ∈-， 所以52[,]366x πππ-∈-， 所以1sin(2)[1,]32x π-∈-， 故11()[,]24f x ∈-， 故函数的最小值为12-，函数的最大值为14． 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满足,2BE EC DF FC ==，记AB a =，AD b =，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；（1）用,a b 来表示向量,DE BF ；（2）若3,2AB AD ==，且3BF =DE ；【答案】（1）见解析；（27【解析】（1）利用向量的线性运算，直接用基底表示向量；（2）由（Ⅰ）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =-，故2222121()339BF AD AB AD AD AB AB =-=-⋅+，可得12cos BAD ，∠=即可求得求|DE |2，从而求得|DE |．【详解】（1）∵在ABCD 中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=- 111333BF BC CF AD CD AD AB b a =+=+=-=-（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =- ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵3,2AB AD ==且BF =∴()22221223cos 339BAD =-⨯⨯⨯∠+⨯ ∴1cos 2BAD ∠= ∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=， ∴7DE =【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题． 21．已知关于x 的函数()22f x x kx =--，x ∈R . （1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（2）若函数()()21x g x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实k 数的取值范围；（3）若函数()()212h x f x x =+-+，且函数()h x 在()0,2上两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 【答案】（1）0k =； （2）7[,)3+∞； （3）见解析.【解析】（1）由()f x 是R 上的偶函数，可得()()f x f x -=恒成立，从而可得结果；（2）当(]0,2x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立，令21x u =-，(]0,3u ∈，只需2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成，从而可得结果；（3）不妨设1202x x <<<，可得()f x 在()0,1上至多一个零点，若1212x x ≤<<，不合题意；可得12012x x <<≤<；由()10f x =，()20f x =，可得2121124x x x +=<.【详解】（1）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x R ∈都成立，0k ∴=.（2）当(]0,2x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈， ()()2212120x x k ∴----≤在(]0,2x ∈时恒成立等价于：2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，又227333u u -≥-=， k ∴的取值范围是7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）不妨设1202x x <<<，因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩， 所以()f x 在()0,1上至多一个零点，若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的零点以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22．设函数()()()2ln 1xx x ax b x g x e f x ex =-+-=-，.（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()11f ，处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1x ∈+∞，时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.【答案】（1）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】分析：（1）求得导函数'()ln 2f x x ax =-，题意说明'()f x 有两个零点，即ln 2x a x =有两个解，或直线2y a =与函数ln ()x m x x=的有两个交点，可用导数研究()m x 的性质（单调性，极值等），再结合图象可得a 的范围；（2）首先题意说明'(1)0,(1)0f f =≠，从而有2b a =且1a ≠，其次1x >时，'()'()'()0h x f x g x =+>恒成立，因此()'()x h x ϕ=的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出a 的范围．详解：（1) ）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-， 所以()2ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解， 即2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有两个. ∵()21ln x m x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.()m x 有极大值1e又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<. 当1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个； 当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x=的图象的交点有2个； 综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x ''+'=>恒成立，即ln 220x x e ax a e +-+->，令()ln 22x t x x e ax a e =+-+-，∴()12x t x e a x=+-' 设()12x x e a x ϕ=+-，()21x x e x ϕ='-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，即()t x '在()1,+∞单调递增，∴()()112t x t e a >=+-''，当12e a +≤且1a ≠时，()0t x '≥， 所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在()1,+∞单调递增；∴()()10t x t >=成立 当12e a +>，因为()t x '在()1,+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<，()1ln2220ln2t a a a a=+->'， 所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想． 解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解： 当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-， 令()ln 2p x x ax =-，()1122ax p x a x x='-=- ①(],0a ∈-∞时，()0p x '>，∴()p x 在()0,+∞单调递增，不符合题意；②()0,a ∈+∞时，令()0p x '>，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()p x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；令()0p x '<，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴()p x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； 令1ln2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 又因为()120p a =-<，22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且211124a a <<， 所以10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ln f x x x ax x =--有两个极值点. 即2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有两个.。
高二年级2019-2020学年第二学期期中考试数学试卷
高二年级2019-2020学年第二学期线上期中考试数学试卷（衔接班)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --2．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=L （ ） A ．0B ．1C ．673D ．6743．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3πB ．23π C ．2π D ．34π 4．若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）① {}12+n a ， ② {}2n a ， ③ {}1n n a a +-， ④ {}2n a n +A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知定义在R 上的函数()y f x =在[1,)+∞上单调递减，且(1)y f x =+是偶函数，不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,1]-B ．(,3][1,)-∞-+∞UC ．[4,2]-D ．(,4)[2,)-∞-+∞U6．已知函数，为了得到的图象，只需将f （x ）的图象（ ） A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个长度单位 C ．向左平移个长度单位 D ．向右平移个长度单位7．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v，则r ＝( )A ．10B 10C ．25D ．58．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1B ．5C ．9D ．49．已知2:0p x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ） A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 10．若实数,x y 满足31x y -≤≤，则2x yz x y+=+的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．35D ．1211．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ）A ．2788n n +B ．2744n n +C ．2324n n+D ．2n n +12．如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从5这点跳起，经2018次跳后它将停在的点是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题)二、填空题 13．函数22(1)2()2axa x f x +-+=在区间(,4)-∞上为减函数，则a 的取值范围为________．14．已知关于x 的方程()2113(1)31(3)30x x x m m ++++---⋅=有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.15．在△ABC 中，A 、B 、C 分别为a 、b 、c 边所对的角．若a 、b 、c 成等差数列，则B 的取值范围是________．16．已知关于x 的方程1|sin |sin 2a x x +=在区间[0,2]π上恰有两个解，则实数a 的取值范围是________三、解答题17．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}． (1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．18．已知直线l 与直线3x +4y －2=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线l 的方程.19．已知向量a v 与b v 的夹角为120o，且2a =v ，4b =v .（1）计算：42a b -v v ； （2）若()()2a b ka b +⊥-v vv v ，求k 的值.20．已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M .(1)当M 为空集时,求m 的取值范围；(2)在(1)的条件下,求225()1m m f m m ++=+的最小值；(3)当M 不为空集,且[]1,4M ⊆时，求实数m 的取值范围.21．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=bcosC+csinB ． （1）求B ；（2）求sinC 的取值范围． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,且对于任意n N +∈,都有12n n na S += （Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设131n n n b a a ++=,且数列{}n b 的前n 项之和为n T ,求证:512n T <。
2019-2020学年浙江省绍兴一中高二(下)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省绍兴一中高二（下）期中数学试卷试题数：22，总分：0+lnx的定义域为（）1.（单选题，0分）函数f(x)=√x−1A.{x|x≠1}B.{x|x＞0且x≠1}C.{x|x＞1}D.{x|0＜x＜1}2.（单选题，0分）已知a⃗ =（1，-3），b⃗⃗ =（-2，1），且（a⃗ +2 b⃗⃗） || （k a⃗ - b⃗⃗），则实数k=（）A.-2B.2C. 12D. −123.（单选题，0分）若角α的终边过点（-1，-2），则sin2α=（）A. −25B. 25C. −45D. 45⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥4.（单选题，0分）已知O为坐标原点，点A（0，1），B（2，5），C（x，-3），若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数x=（）OCA.6B.-6C. 32D. −325.（单选题，0分）已知x=log52，y=log2√5，z= 3−12，则下列关系正确的是（）A.x＜z＜yB.x＜y＜zC.z＜x＜yD.z＜y＜x6.（单选题，0分）函数f（x）=ln|x|+|sinx|（-π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A.B.C.D.e2⃗⃗⃗⃗|≤| e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗ |，则向量7.（单选题，0分）设单位向量e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗对任意实数λ都有| e1⃗⃗⃗⃗+√32e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为（）A. π3B. 2π3C. π6D. 5π68.（单选题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2ccosB−√3b= 2a，则C=（）A. π6B. 5π6C. 2π3D. π39.（单选题，0分）设平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=2a⃗•b⃗⃗=1，|c⃗−2a⃗|+|c⃗−b⃗⃗|=√3，则|c⃗−a⃗|+|c⃗+a⃗|的最小值是（）A. √3B.2C. √7D.410.（单选题，0分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A.4B. 3√3C.8D. 6√311.（填空题，0分）若复数z满足条件（1+2i）z=5，则z =___ ；|z|=___ ．12.（填空题，0分）若f(n)=1+12+13+⋯+13n−1(n∈N∗)，用数学归纳法验证关于f（n）的命题时，第一步计算f（1）=___ ；第二步“从n=k到n=k+1时”，f（k+1）=f（k）+___ ．13.（填空题，0分）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则最大值为___ ，sin(θ+π4) =___ ．14.（填空题，0分）若函数f(x)=12x2 f'（2）+lnx，则f'（2）=___ ，f（x）的极大值点为___ ．15.（填空题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2B=1-2sinAsinC，且a=3c，则cos（A+B）=___ ．16.（填空题，0分）若x1是方程xe x=e2的解，x2是方程xlnx=e2的解，则x1x2=___ ．17.（填空题，0分）在△ABC中，D是线段BC上靠近C点的三等分点，若∠ABC=∠DAC=θ，则tanθ的最大值为___ ．18.（问答题，0分）在△ABC 中，2sin 2 A 2 -sin A2 =sinA ． （I ）求sinA 的值；（2）若AB+AC=4，△ABC 的面积为 32 ，求边BC 的长．19.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．20.（问答题，0分）已知函数 f (x )=cos (ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2) 部分图象如图所示．（1）若f （x ）的图象向左平移 π6 个单位后，得到g （x ）的图象，求g （x ）的解析式； （2）若方程f （x ）-3m=0在 [−π6，13π12] 上有三个不同的实根，求m 的取值范围．21.（问答题，0分）在△OAB 中，已知 |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ，∠AOB=45°． （1）求 |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值； （2）若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+2μ=2，求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的取值范围．22.（问答题，0分）定义函数f（x）=（1-x2）（x2+bx+c）．（1）如果f（x）的图象关于x=2对称，求2b+c的值；（2）若x∈[-1，1]，记|f（x）|的最大值为M（b，c），当b、c变化时，求M（b，c）的最小值．2019-2020学年浙江省绍兴一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：01.（单选题，0分）函数 f (x )=√x−1+lnx 的定义域为（ ）A.{x|x≠1}B.{x|x ＞0且x≠1}C.{x|x ＞1}D.{x|0＜x ＜1} 【正确答案】：C【解析】：分母不能为0，被开方数大于等于0，从而得出x-1＞0；对数的真数大于0，从而得出x ＞0，从而得到不等式组 {x −1＞0x ＞0，然后解出x 的范围即可．【解答】：解：要使f （x ）有意义，则 {x −1＞0x ＞0 ，解得x ＞1，∴f （x ）的定义域为{x|x ＞1}． 故选：C ．【点评】：本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，0分）已知 a ⃗ =（1，-3）， b ⃗⃗ =（-2，1），且（ a ⃗ +2 b ⃗⃗ ） || （k a ⃗ - b ⃗⃗ ），则实数k=（ ） A.-2 B.2 C. 12 D. −12【正确答案】：D【解析】：可得出 a ⃗+2b ⃗⃗=(−3，−1) ， ka ⃗−b ⃗⃗=(k +2，−3k −1) ，然后根据 (a⃗+2b ⃗⃗)∥(ka ⃗−b ⃗⃗) 即可得出 (a ⃗+2b ⃗⃗)•(ka ⃗−b ⃗⃗)=0 ，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出k 的值．【解答】：解：∵ a ⃗+2b ⃗⃗=(−3，−1) ， ka ⃗−b ⃗⃗=(k +2，−3k −1) ，且 (a ⃗+2b ⃗⃗)∥(ka⃗−b ⃗⃗) ， ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)•(ka ⃗−b ⃗⃗)=3(3k +1)+k +2=0 ，解得 k =−12 ． 故选：D ．【点评】：本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．3.（单选题，0分）若角α的终边过点（-1，-2），则sin2α=（ ） A. −25 B. 25 C. −45 D. 45【正确答案】：D【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得结果．【解答】：解：∵角α的终边过点（-1，-2），∴sinα= √1+4 =- 2√55 ，cosα= √1+4=- √55 ， 则sin2α=2sinαcosα= 45 ， 故选：D ．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题． 4.（单选题，0分）已知O 为坐标原点，点A （0，1），B （2，5），C （x ，-3），若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数x=（ ） A.6 B.-6 C. 32 D. −32【正确答案】：A【解析】：根据平面向量的坐标表示与数量积运算法则，计算即可．【解答】：解：由点A （0，1），B （2，5），C （x ，-3）， 则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，4）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x ，-3）； 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x-12=0， 解得x=6． 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题．5.（单选题，0分）已知x=log 52，y=log 2 √5 ，z= 3−12，则下列关系正确的是（ ） A.x ＜z ＜y B.x ＜y ＜z C.z ＜x ＜y D.z ＜y ＜x 【正确答案】：A【解析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】：解：x=log 52＜ log 5√5 = 12 ，y=log 2 √5 ＞1，z= 3−12 = 1√3∈（ 12 ，1）．∴x ＜z ＜y ． 故选：A ．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.（单选题，0分）函数f （x ）=ln|x|+|sinx|（-π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f （π）的值，推出结果即可．【解答】：解：函数f（x）=ln|x|+|sinx|（-π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）=lnx+sinx，可得：f′（x）= 1x +cosx，令1x+cosx=0，作出y= 1x与y=-cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）=lnπ＞1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．7.（单选题，0分）设单位向量e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗对任意实数λ都有| e1⃗⃗⃗⃗+√32e2⃗⃗⃗⃗|≤| e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗ |，则向量e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为（）A. π3B. 2π3C. π6D. 5π6【正确答案】：D【解析】：可设e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，根据e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗为单位向量，对| e1⃗⃗⃗⃗+√32e2⃗⃗⃗⃗|≤| e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗ |两边平方可得，1+√3cosθ+34≤1+2λcosθ+λ2，整理可得，λ2+2cosθ•λ−√3cosθ−34≥0，而该不等式对于任意的λ恒成立，从而得出△=(2cosθ+√3)2≤0，从而得出2cosθ+√3=0，这样即可求出θ．【解答】：解：∵ e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗是单位向量，设e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ；∴对|e1⃗⃗⃗⃗+√32e2⃗⃗⃗⃗|≤|e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗|两边平方得，1+34+√3cosθ≤1+λ2+2λcosθ；整理得，λ2+2cosθ•λ−√3cosθ−34≥0，该不等式对任意实数λ恒成立；∴ △=4cos2θ+4√3cosθ+3 = (2cosθ+√3)2≤0；∴ 2cosθ+√3=0；∴ cosθ=−√32；又0≤θ≤π；∴ θ=5π6．故选：D．【点评】：考查单位向量的概念，不等式的性质，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．8.（单选题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2ccosB−√3b= 2a，则C=（）A. π6B. 5π6C. 2π3D. π3【正确答案】：B【解析】：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosC，进而可求C．【解答】：解：因为2ccosB−√3b=2a，所以2sinCcosB- √3sinB =2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2sinCcosB，所以- √3sinB =2sinBcosC，因为sinB＞0，，所以cosC=- √32因为C为三角形的内角，．则C= 5π6故选：B．【点评】：本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角求解中的应用，属于基础试题．9.（单选题，0分）设平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=2a⃗•b⃗⃗=1，|c⃗−2a⃗|+|c⃗−b⃗⃗|=√3，则|c⃗−a⃗|+|c⃗+a⃗|的最小值是（）A. √3B.2C. √7D.4【正确答案】：C【解析】：结合已知可考虑设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ =（1，0）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ =（ 12，√32）， c ⃗ =（x ，y ），从而 |c ⃗−2a ⃗|+|c ⃗−b ⃗⃗|=√3 ，可表示点C （x ，y ）到点B （ 12，√32 ）与D （2，0）的距离之和为 √3 可判断C 在线段BD 上，而 |c ⃗−a ⃗|+|c ⃗+a ⃗| = √(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2 表示C （x ，y ）与F （-1，0），A （1，0）的距离之和，然后结合对称性可求．【解答】：解：∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=2a ⃗•b⃗⃗=1 ， 令 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ =（1，0）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ =（ 12，√32）， c ⃗ =（x ，y ），∵ |c ⃗−2a ⃗|+|c ⃗−b ⃗⃗|=√3 ， ∴ √(x −2)2+y 2+√(x −12)2+y 2 = √3 ，表示点C （x ，y ）到点B （ 12，√32 ）与D （2，0）的距离之和为 √3 且DB= √3 ，∴C 在线段BD 上，则 |c ⃗−a ⃗|+|c ⃗+a ⃗| = √(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2 表示C （x ，y ）与F （-1，0），A （1，0）的距离之和，设A （1，0）关于BD 对称的点E ，则E （ 32，√32）， C （x ，y ）与F （-1，0），A （1，0）的距离之和的最小值即为EF= √(1+32)2+(√32)2= √7 ，故选：C ．【点评】：本题主要考查了向量的加减运算，向量模长公式的应用，体现了转化思想的应用，属于难题．10.（单选题，0分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=2bsinC ，则tanA+tanB+tanC 的最小值是（ ） A.4 B. 3√3 C.8 D. 6√3【正确答案】：C【解析】：由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ① ，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ② ，化简tanA+tanB+tanC ，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】：解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．∵a=2bsinC，∴si nA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，化简可得tanB+tanC=2tanBtanC ① ．∵tanA=-tan（B+C）= tanB+tanCtanBtanC−1＞0，∴tanB+tanC=tanA（tanBtanC-1），∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ② ，且tanB•tanC-1＞0．则tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC= tanB+tanCtanBtanC−1•tanBtanC，令tanB•tanC-1=m，则m＞0，故tanA+tanB+tanC= tanB+tanCm •（m+1）= 2tanBtanCm•（m+1）= 2m+2m•（m+1）= 2(m+1)2m=4+2m+ 2m≥4+2 √4 =8，当且仅当2m= 2m，即m=1时，取等号，此时，tanB•tanC=2，故tanA+tanB+tanC的最小值是8，故选：C．【点评】：本题主要考查诱导公式，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．11.（填空题，0分）若复数z满足条件（1+2i）z=5，则z =___ ；|z|=___ ．【正确答案】：[1]1+2i; [2] √5【解析】：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】：解：（1+2i）z=5，∴（1-2i）（1+2i）z=5（1-2i），∴z=1-2i，∴ z =1+2i，|z|= √12+(−2)2 = √5．故答案为：1+2i，√5．【点评】：本题考查了复数的运算法则化简、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.（填空题，0分）若f(n)=1+12+13+⋯+13n−1(n∈N∗)，用数学归纳法验证关于f（n）的命题时，第一步计算f（1）=___ ；第二步“从n=k到n=k+1时”，f（k+1）=f（k）+___ ．【正确答案】：[1] 32 ; [2] 13k+ 13k+1+ 13k+2【解析】：当n=k时，f（k）=1+ 12+13+…+ 13k−1，当n=k+1时，f（k+1）的最后的项为13k+2，结合分母为连续的自然数得答案．【解答】：解：f（1）=1+ 12=32；假设当n=k时，f（k）=1+ 12+13+…+ 13k−1，那么，当n=k+1时，f（k+1）=1+ 12+13+…+ 13k−1+ 13k+13k+1+13k+2，f（k+1）=f（k）+ 13k +13k+1+13k+2，故答案为：32；13k+13k+1+13k+2．【点评】：本题考查数学归纳法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．13.（填空题，0分）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则最大值为___ ，sin(θ+π4) =___ ．【正确答案】：[1] √5 ; [2] √1010【解析】：用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（θ）= √5 sin（θ+α），（其中sinα=√5cosα=- 1√5）由题意可得θ+α=2kπ+ π2，k∈z，即θ=2kπ+ π2-α，k∈z，再利用诱导公式求得sinθ，cosθ 的值，利用和与差的公式化简sin（θ+ π4）可得答案．【解答】：解：由题意，函数f（θ）=2sinθ-cosθ= √5 sin（θ+α）取得最大值√5，（其中sinα=√5cosα=-√5可得：θ+α=2kπ+ π2，k∈z，即θ=2kπ+ π2-α，k∈z，那么：sinθ=sin（2kπ+ π2 -α）=cosα=-√5cosθ=cos（2kπ+ π2-α）=sinα=√5．可得：sin（θ+ π4）= √22sinθ+ √22cosθ= √22×√5= √1010．故答案为：√5．√1010．【点评】：本题主要考查辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最大值，和与差的公式的运用，属于中档题，14.（填空题，0分）若函数f(x)=12x2 f'（2）+lnx，则f'（2）=___ ，f（x）的极大值点为___ ．【正确答案】：[1]- 12; [2] √2【解析】：求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．【解答】：解：f(x)=12x2 f'（2）+lnx（x＞0），则f'（x）=xf'（2）+ 1x，∴f'（2）=2f'（2）+ 12，解得f'（2）=- 12．∴f'（x）=- 12 x+ 1x=- x2−22x（x＞0），当0＜x＜√2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞√2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故x= √2为函数的极大值点．故答案为：- 12，√2．【点评】：本题主要考查了导数的运算、利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．15.（填空题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2B=1-2sinAsinC，且a=3c，则cos（A+B）=___ ．【正确答案】：[1]- 7√618【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可得sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，结合a=3c，可得：b= √6 c，进而根据三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理即可计算得解cos（A+B）的值．【解答】：解：∵cos2B=1-2sinAsinC=cos2B+sin2B-2sinAsinC，∴sin2B=2sinAsinC，∴由正弦定理可得：b2=2ac，又∵a=3c，∴可得：b= √6 c，∴cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC=- a2+b2−c22ab =- 2222×3c×√6c=- 7√618．故答案为：- 7√618．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.（填空题，0分）若x1是方程xe x=e2的解，x2是方程xlnx=e2的解，则x1x2=___ ．【正确答案】：[1]e2【解析】：显然x1e x1=e2，x2lnx2=lnx2•e lnx2=e2，构造函数f（x）=xe x，利用导数可知f（x）=e2有唯一解，故x1=lnx2，进而得解．【解答】：解：依题意，x1e x1=e2，x2lnx2=lnx2•e lnx2=e2，设f（x）=xe x，则f′（x）=e x+xe x=（x+1）e x，易知函数f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，作出函数图象如图所示，由图象可知，函数y=f（x）与直线y=e2有唯一交点，即xe x=e2有唯一解，∴x1=lnx2，又lnx2=e2x2，∴ x1=e2x2，∴ x1x2=e2．故答案为：e2．【点评】：本题考查函数与导数的综合运用，涉及了同构式的运用以及利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想，属于基础题．17.（填空题，0分）在△ABC中，D是线段BC上靠近C点的三等分点，若∠ABC=∠DAC=θ，则tanθ的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：易知，△ABC∽△DAC，令∠C=α，然后在这两个三角形中分别利用正弦定理，构造出θ，α的方程，将tanθ化成关于α的三角函数，求最值．【解答】：解：如图所示：因为∠ABC=∠DAC=θ，∠C=∠C．所以△ABC∽△DAC，令∠C=α，BD=2CD=2，易知α∈（0，π）．在△ABC中，ACsinB =BCsin∠BAC，即ACsinθ=3sin(θ+α)① ．同理，在△ACD中可得：ACsin(θ+α)=1sinθ② ．由① ② 可得：√3sinθ=sin(θ+α)=sinθcosα+cosθsinα，整理得tanθ=√3−cosα，令f(α)=√3−cosα，所以f′(α)=√3cosα−1(√3−cosα)2，令f′（α）=0得：cosα0=1√3，α0∈(0，π2)，当α∈（0，α0）时，f′（α）＞0；当α∈(α0，π2)时，f′（α）＜0．故f(α)max=f(α0)=√1−cos2α0√3−cosα0 = √22．故tanθ的最大值为√22．故答案为：√22．【点评】：本题考查正余弦定理以及三角函数的最值问题．属于中档题．18.（问答题，0分）在△ABC中，2sin2A2 -sin A2=sinA．（I）求sinA的值；（2）若AB+AC=4，△ABC的面积为32，求边BC的长．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合二倍角公式及同角平方关系进行化简可求sinA，（2）由已知可求cosA，然后结合三角形的面积公式及余弦定理可求．【解答】：解：（1）由已知可得2sin A2cos A2+sin A2=2sin 2A2，因为sin 12A≠0，所以sin 12A−cos12A = 12，两边平方可得sinA= 34，（2）由以sin 12A−cos12A＞0可得tan 12A＞1，从而A＞90°，于是cosA=- √74， 因为△ABC 的面积为 32 ， 所以AB•AC=4，由余弦定理可得，BC= √(AB +AC )2−2AB •AC (1+cosA ) =1+ √7 ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的平方关系，二倍角公式及余弦定理在求三角形中的应用．19.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n }满足a 1=- 23，a n =-1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．可得a 2=-1a 1+2，a 3=- 1a 2+2． （2）猜想数列通项公式a n =- n+1n+2 ．用数学归纳法证明即可．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．则a 2=-1a 1+2 =- 1−23+2=- 34 ，a 3=- 1a 2+2 =- 45 ． （2）猜想数列通项公式a n =-n+1n+2． 用数学归纳法证明：（i ）n=1时，a 1=- 23 =- 1+11+2 成立， （ii ）假设n=k∈N *时成立，a k =- k+1k+2 ． 则n=k+1时，a k+1=-1a k +2 =- 1−k+1k+2+2=- k+2k+3 =- (k+1)+1(k+1)+2 ． 因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n =- n+1n+2 ．n∈N *．【点评】：本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)部分图象如图所示．（1）若f（x）的图象向左平移π6个单位后，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式；（2）若方程f（x）-3m=0在[−π6，13π12]上有三个不同的实根，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据图象求周期，从而求出ω，将点（5π6，1）带入求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=cos（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式．（2）方程f（x）-3m=0在[−π6，13π12]上有三个不同的实根，转化为f（x）图象与y=3m图象有三交点，即可求解m的取值范围．【解答】：解：（1）由题设图象知，周期T=2（5π6−π3）=π，∴ω= 2πT=2．∵点（5π6，1）在函数图象上，∴cos（2× 5π6+φ）=1，即cos（5π3+φ）=1．又∵0＜φ＜π2，∴φ= π3那么f（x）的解析式为f（x）=cos（2x+ π3）将f（x）的图象向左平移π6个单位，可得y=cos[2（x+ π6）+ π3]=cos（2x+ 2π3）∴g（x）的解析式为g（x）=cos（2x+ 2π3）（2）方程f （x ）-3m=0在 [−π6，13π12] 上有三个不同的实根， 即f （x ）=cos （2x+ π3 ）在 [−π6，13π12] 上与y=3m 有三个交点；∵x∈ [−π6，13π12] ∴2x+ π3 ∈[0， 5π2]；要使y=3m 与f （x ）有三个交点； 则0≤3m ＜1， 可得 0≤m ＜13 ；故m 的取值范围是[0， 13 ）．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．21.（问答题，0分）在△OAB 中，已知 |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ，∠AOB=45°． （1）求 |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值； （2）若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+2μ=2，求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方化简可求得 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值；（2）先表示出 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+(1−λ2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1+λ2 |OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2+λ22 ，从而可得 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√22•√λ2+4λ 的不同取值范围求其值可得结果．【解答】：解：（1）∵ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，∠AOB =45° ， 在△OAB 中，由余弦定理得|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cos∠AOB ， 12=(√2)2+|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2•√2•|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cos45° ， 即 |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+1=0 ， 解得： |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ．（2）由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 λ+2μ=2， 则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•[λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+(1−λ2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 （1）可知： |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ+(1−λ2)×1×√2×√22=1+λ2 ，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√[λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]2 = √λ2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2λ(1−λ2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ2)2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 = √λ22+2 ， 故 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1+λ2√22+2=√22√λ2+4， 当λ＜-2 时，上式= −√22•√(λ+2)2λ2+4 = −√22•√1+4λ+4λ∈(−√22，0] ； 当λ≥-2 时，上式= √22√(λ+2)2λ2+4 ， ① λ=0，上式= √22 ，② -2≤λ＜0 时，上式= √22•√1+4λ+4λ∈[0，√22) ， ③ λ＞0，上式= √22•√1+4λ+4λ∈(√22，1] ． 综上， OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的取值范围是 (−√22，1] ．【点评】：本题考查了向量的模，向量的投影，考查了分类讨论思想，考查了计算能力，属于中档题．22.（问答题，0分）定义函数f （x ）=（1-x 2）（x 2+bx+c ）．（1）如果f （x ）的图象关于x=2对称，求2b+c 的值；（2）若x∈[-1，1]，记|f （x ）|的最大值为M （b ，c ），当b 、c 变化时，求M （b ，c ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）知道函数的对称轴，可以通过平移，数形结合的思想进而求得答案；（2）利用放缩法求解函数最小值．【解答】：解：（1）f （x ）的图象关于直线x=2对称，则将f （x ）的图象向左移动2个单位，得到函数，g （x ）=f （x+2）=[1-（x+2）2][（x+2）2+b （x+2）+c]=-x 4-（8+b ）x 3-（19+4b ）x 2-（28+11b+4c ）x-（12+6b+3c ）为偶函数，∴ {8+b =028+11b +4c =0 解得 {b =−8c =15， ∴2b+c=-1；（2）对任意的x∈[-1，1]，|f （x ）|≤M （b ，c ），取x=±λ得 {|(1−λ2)(λ2+bλ+c )|≤M(b ，c)|(1−λ2)(λ2−bλ+c )|≤M(b ，c)， 同理取x=0得，|c|≤M （b ，c ），由上述三式得：2|（1-λ2）（λ2+c ）|≤2M （b ，c ），∴|（1-λ2）（λ2+c ）|≤M （b ，c ），∴|（1-λ2）λ2|≤|（1-λ2）（λ2+c ）|+|（1-λ2）|c||≤（2-λ2）M （b ，c ），因此，M （b ，c ）≥ [(1−λ2)λ22−λ2]max =3−2√2 （当且仅当λ2=2- √2 时，取得最大值），此时b=0，c= 2√2−3 ，经验证，（ (1−x 2)(x 2+2√2−3)≤3−2√2 ）满足题意．故当b=0，c= 2√2−3 时，M （b ，c ）取得最小值，且最小值为 3−2√2 ．【点评】：（1）考察对抽象函数，奇偶函数，数形结合的理解；（2）通过最大值进行放缩，求得最小值，注意基本不等式的一正、二定、三等号．。
浙江省绍兴市2019版高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
浙江省绍兴市2019版高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知i是增数单位，若是纯虚数，则| |=（）A .B .C . 1D .2. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 下列说法中，正确的有（）①用反证法证明命题“a，b∈R，方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程至多有两个实根”；②用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22；③用数学归纳法证明 + +…+ ＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为 + ，没有减少的项；④演绎推理的结论一定正确；⑤要证明“ ﹣＞﹣”的最合理的方法是分析法．A . ①④B . ④C . ②③⑤D . ⑤3. （2分） (2017高二上·张家口期末) 曲线y=2x2﹣x在点（1，1）处的切线方程为（）A . x﹣y+2=0B . 3x﹣y+2=0C . x﹣3y﹣2=0D . 3x﹣y﹣2=04. （2分） (2017高三上·赣州期末) 已知变量x，y成负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . y=0.4x+2.3B . y=2x+2.4C . y=﹣2x+9.5D . y=﹣0.4x+4.45. （2分） (2017高二下·郑州期中) 利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n ﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A . 2k+1B .C .D .6. （2分） (2017高二上·孝感期末) 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中至少有一个加工为一等品的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）设a= （sinx+cosx）dx，且二项式（a ﹣）n的所有二项式系数之和为64，则其展开式中含x2项的系数是（）A . ﹣192B . 192C . ﹣6D . 68. （2分） (2016高一下·福州期中) 如果数据x1 ， x2 ，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据3x1+5，3x2+5…，3xn+5的平均数和方差分别为（）A . 11，25B . 11，27C . 8，27D . 11，89. （2分）根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·和平期中) 已知函数，若对任意的，且时，，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·宁波模拟) 设f（x）= ，则函数y=f（f（x））的零点之和为（）A . 0B . 1C . 2D . 4二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·上海期中) 计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=________．14. （1分） (2015高二下·永昌期中) （3x2﹣2x+1）dx=________．15. （1分） (2017高二下·南昌期末) 在某次联考数学测试中，学生成绩η服从正态分布N（100，δ2），（δ＞0），若η在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为________．16. （1分） (2017高一下·苏州期末) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高三上·山西月考) 已知、、均为正实数.（1）若，求证：（2）若，求证：18. （15分） (2016高三上·成都期中) 已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．19. （5分） 2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2=．20. （5分）(2017·昌平模拟) 设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x ．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间．21. （10分）新学年伊始，附中社团开始招新．某高一新生对“大观天文社”、“理科学社”、“水墨霓裳社”很感兴趣．假设他能被这三个社团接受的概率分别为，，．（1）求此新生被两个社团接受的概率；（2）设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．22. （5分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}．（Ⅰ）求实数a的值：（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
浙江省绍兴市2019年高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
浙江省绍兴市2019年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·高密期末) 某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）A . A ×A 种B . A ×43种C . C ×A 种D . C ×43种2. （2分）有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A . 120B . 240C . 360D . 4803. （2分） (2016高二下·海南期末) 如果X～B（1，p），则D（X）（）A . 有最大值B . 有最大值C . 有最小值D . 有最小值4. （2分）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A . 10B . 9C . 8D . 75. （2分）有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A . 150B . 180C . 200D . 2806. （2分）（1+）（1﹣x）4的展开式中含x3的项的系数为（）A . -2B . 2C . -3D . 37. （2分）一个工人看管三台机床，在一小时内，这三台机床需要工人照管的概率分别0.9、0.8、0.7，则没有一台机床需要工人照管的概率为（）A . 0.018B . 0.016C . 0.014D . 0.0068. （2分） (2017高二下·莆田期末) 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·宜春期中) 已知随机变量服从正态分布，且，则=（）A . 0.2B . 0.3C . 0.4D . 0.610. （2分）某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·日照模拟) 甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A . 210B . 84C . 343D . 336二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________14. （1分）若X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P（X=1）的值为________．15. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=________ ．16. （1分） (2016高二下·高密期末) 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2016高二下·张家港期中) 已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．18. （10分）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：（1）恰有两道题答对的概率；（2）至少答对一道题的概率．19. （5分）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，电阻断路的可能性共有多少种情况.20. （10分）(2020·银川模拟) 2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.附：P(K2≥k)0.010.0050.001k 6.6357.87910.828（1）完成下列列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？了解不了解合计男性女性合计（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.21. （15分）(2018·株洲模拟) 某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由22. （5分）设正整数a，b，c满足：对任意的正整数n，an+bn=cn+1求证：a+b≥c参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。