2011海淀高三二模数学(理科)

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R ,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为 A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间A ．1(0,)2B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4.若直线l 的参数方程为13()24x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ． 35- C ． 35D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 961225679 95 3 2 0 3 0 2 37 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是7．若椭圆1C ：1212212=+b y a x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x（022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >；③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③8. 在一个正方体1111ABC D A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四,AB BC中边上的动点，O 为底面正方形A B C D 的中心，,M N 分别为点，点Q 为平面A B C D 内一点，线段1D Q 与O P 互相平分，则满足M Q Mλ=的实数λ的值有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .11．若4234512345(1)x m x a x a x a x a x a x -=++++，主视图左视图B ACDA 1D 1A 1C 1B DC BOPNMQ其中26a =-，则实数m 的值为；1234a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径O C 于点D ，若3A D =，2B D =，且D 为O C 的中点，则C D 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）（2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+(0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABC D -的底面是直角梯形，//AB C D ，AB AD ⊥，P A B ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4D C =，O 为BD 的中点，E 为P A 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面A B C D ； (Ⅱ)求证：//O E 平面P D C ；(Ⅲ)求直线C B 与平面P D C 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R .（I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间.19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -= 12k = ，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）AD OCPBE一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32，11613.222, (4(1), (4t tttt⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数)14. ①②, 9三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分）解：（Ⅰ）1()(1cos2)222f x x x=++ωω………………2分1sin(2)26x=++πω, …………………3分因为()f x最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x=++, …………………… 5分所以21()32πf=-. ………………………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Zπππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Zπππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Zππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Zππππ+≤≤+∈………………8分所以,函数()f x的单调增区间为[,],()36k k k Zππππ-+∈；()f x的单调减区间为2[,],().63k k k Zππππ++∈………………10分由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26kπx πk Z =+∈. ………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………1分 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， …………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .…………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，1(4,)3X B . ………………………9分………………………11分 14()433E X =⨯=.…………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为D C 的中点，连接BF ，则D F AB = ∵AB AD ⊥，AB AD=，//A B D C ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点，∴O 为,AF BD 的交点， ∵2PD PB ==，∴P O B D ⊥， ………………………………..2分 ∵BD ==∴PO ==12AO BD ==，在三角形P A O 中，2224PO AO PA +==，∴P O A O ⊥，……………………………4分ADOCPBEF∵AO BD O = ，∴P O ⊥平面A B C D ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为A F 的中点，E 为P A 中点， ∴//O E P F ，∵O E ⊄平面P D C ，P F ⊂平面P D C ，∴//O E 平面P D C . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知P O ⊥平面A B C D ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以O P 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： (1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D - (1,1,0)F ，(1,3,0)C，(0,P ，11(,222E --，则11(,,)222O E =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,P C = .∴12O E P F =-∴//O E P F∵O E ⊄平面P D C ，P F ⊂平面P D C ，∴//O E 平面P D C ； …………………………………9分 (Ⅲ) 设平面P D C 的法向量为111(,,)n x y z =，直线C B 与平面P D C 所成角θ，则00n P C n P D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111130x y x y ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面P D C的一个法向量为0,1)n = ，又(2,2,0)C B =--则sin cos ,3θn C B =<>==，∴直线C B 与平面P D C3. ………………………………………14分18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分 ②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a+∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a+∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分 ④当12a >时，在1(0,)2a和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x <所以()f x 在1(0,)2a和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分）解：（I ）由题意可得O P O M ⊥， ……………………………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分 即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分 则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对，所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+，所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==，当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………..13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。