大学数学中几何方法的运用
大学高等几何课件
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
大学数学的思想方法和教学
大学数学的思想方法和教学数学是一门抽象而具体的学科，是理性思维和逻辑推理的典范。
大学数学作为数学科学的基础课程，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
本文将就大学数学的思想方法和教学进行探讨。
一、大学数学的思想方法1. 抽象思维：大学数学强调抽象思维能力的培养，即从具体问题中抽象出一般规律。
通过对数学概念和定理的理解和运用，学生能够培养抽象思维和归纳与演绎能力，不仅能够解决数学问题，还能够运用到其他学科领域。
例如，在代数学中，通过学习和理解整数、有理数、实数等的概念，学生能够从这些具体的数的概念中抽象出整数运算、有理数运算、实数运算的通用规律，从而达到扩展应用的目的。
2. 逻辑推理：大学数学要求学生具备严密的逻辑推理能力。
通过逻辑推理，学生能够从已知条件出发，按照规则和定理进行推导，得出结论。
逻辑推理能力的培养不仅有助于正确解决数学问题，还对思维的清晰性和严谨性有着积极的影响。
例如，在数学分析中，学生要运用逻辑推理证明不等式的成立，从已知条件出发，通过推理和推导，最终得到结论。
这样的过程既是逻辑推理能力的锻炼，也是学生对数学概念和定理的理解深化的过程。
3. 形象思维：大学数学还强调形象思维的培养，即通过几何图像和图形的观察和分析，辅助数学问题的理解和解决。
形象思维能够帮助学生将抽象的数学概念转化为具体的图像，从而更好地理解和应用数学知识。
例如，在几何学中，学生通过观察和绘制图形，能够更好地理解和应用几何定理和性质，通过图形的演变和变化，可以发现一些数学规律和问题的解决方法。
二、大学数学的教学1. 培养兴趣：在大学数学的教学中，重要的一点是要引发学生对数学的兴趣。
教师可以通过生动的例子和实际应用，让学生感受到数学的魅力和实用性，从而激发他们的学习兴趣。
此外，教师还应当充分尊重学生的思维方式和学习习惯，通过教材和教学活动的选择，让每位学生都能够找到适合自己的学习方法。
2. 培养思维：大学数学的教学应该注重培养学生的思维能力。
大学高等数学几何教材
大学高等数学几何教材大学高等数学几何教材作为数学学科中的重要一环，对于学生的学习起着至关重要的作用。
本教材的编撰旨在系统地介绍和讲解高等数学中的几何相关内容，为大学生提供坚实的数学基础，培养其几何思维和解决实际问题的能力。
本文将就该教材的内容框架、特点、教学方法以及应用前景进行探讨。
一、内容框架大学高等数学几何教材的内容框架应该能够完整、系统地覆盖几何学科的核心知识点。
首先，需要介绍基本的点、线、面及其相互关系，包括点的坐标表示、线段的长度计算、平面的方程等内容。
其次，应该深入探讨多边形、圆、曲线以及它们的性质和变换方法。
最后，还应涵盖空间几何学的基础知识，包括空间直线与平面的关系、空间曲线的参数方程等。
二、教材特点编写大学高等数学几何教材需要注意以下特点：首先，应该突出几何学的基础思想，培养学生的几何直观和几何思维能力。
其次，应该融入数学的抽象概念和演绎推理，使学生能够理解几何学与其他数学学科的联系与区别。
同时，应该注重几何学的实际应用，让学生认识到几何学在实际问题中的重要性。
三、教学方法大学高等数学几何教材的教学方法应该多样化，以满足不同学生的学习需求。
首先，可以采用理论授课的方式，结合示例和推导过程，深入讲解几何学的基本概念和定理。
其次，可以注重几何学的实际应用，通过实例分析和解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
另外，还可以组织学生进行课堂讨论和小组合作，促进彼此之间的交流和思维碰撞。
四、应用前景大学高等数学几何教材的应用前景广阔。
首先，在数学学科中，几何学是其他分支学科的基础，掌握几何学的基本概念和方法对于学习其他数学学科具有重要意义。
其次，在理工科和社会科学中，几何学的应用十分广泛，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域，几何学都发挥着重要作用。
因此，大学高等数学几何教材的编写必须与实际应用相结合，培养学生的应用能力和创新思维。
结语大学高等数学几何教材的编写应当符合内容框架、教学特点和应用前景的要求，突出基础知识的传授、思维能力的培养以及实际问题的解决。
大学解析几何知识点
大学解析几何知识点在大学的数学学习中，解析几何是一门重要的基础课程，它将代数与几何紧密结合，为我们提供了一种用代数方法研究几何图形的有力工具。
接下来，让我们一起深入探讨一下大学解析几何的主要知识点。
一、向量向量是解析几何中的重要概念之一。
向量可以表示空间中的位移、力、速度等具有大小和方向的量。
向量的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则。
数乘向量则是将向量的长度乘以一个实数，方向不变（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
向量的点积（内积）是两个向量的一种运算，其结果是一个标量。
若有向量 a ＝（x1, y1, z1) 和向量 b ＝（x2, y2, z2)，则它们的点积 a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＋ z1z2。
点积的几何意义与向量的长度和夹角有关，a·b ＝｜a| ｜b| cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
向量的叉积（外积）也是一种运算，结果是一个向量。
叉积的方向垂直于两个向量所在的平面，其长度等于两个向量所围成平行四边形的面积。
二、空间直线空间直线可以用多种方式来表示。
点向式方程：已知直线上一点 P(x0, y0, z0) 和直线的方向向量 v ＝（m, n, p)，则直线的点向式方程为（x x0) ／ m ＝（y y0) ／ n ＝（z z0) ／ p 。
一般式方程：将两个平面方程联立，A1x ＋ B1y ＋ C1z ＋ D1 ＝ 0和 A2x ＋ B2y ＋ C2z ＋ D2 ＝ 0 ，就可以表示一条直线。
两直线的位置关系可以通过方向向量和夹角来判断。
如果两条直线的方向向量的点积为 0，则两直线垂直；如果方向向量的夹角为 0 或180 度，则两直线平行。
三、空间平面平面在空间中的表示方法通常有以下几种。
点法式方程：已知平面上一点 P(x0, y0, z0) 和平面的法向量 n ＝（A, B, C)，则平面的点法式方程为 A(x x0) ＋ B(y y0) ＋ C(z z0) ＝ 0 。
大学解析几何教案
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 理解解析几何的基本概念和原理，包括点、直线、圆、圆锥曲线等。
2. 掌握解析几何的基本方法，如方程法、参数法、坐标法等。
3. 能够运用解析几何的方法解决实际问题，如几何图形的定位、面积计算、轨迹分析等。
教学内容：1. 解析几何的基本概念2. 点、直线、圆的方程及其几何性质3. 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程及其几何性质4. 解析几何的应用教学过程：第一课时一、导入1. 回顾平面几何的基本概念和性质。
2. 引入解析几何的概念，强调它是平面几何的拓展。
二、解析几何的基本概念1. 点、直线、圆的方程及其几何性质。
2. 利用方程描述几何图形，理解几何图形的坐标表示。
三、课堂练习1. 列出点、直线、圆的方程。
2. 分析方程的几何意义。
四、课堂小结1. 总结解析几何的基本概念。
2. 强调方程在解析几何中的重要性。
第二课时一、圆锥曲线的方程及其几何性质1. 椭圆、双曲线、抛物线的方程。
2. 分析方程的几何意义，理解圆锥曲线的几何性质。
二、课堂练习1. 列出椭圆、双曲线、抛物线的方程。
2. 分析方程的几何意义。
三、解析几何的应用1. 几何图形的定位。
2. 面积计算。
3. 轨迹分析。
四、课堂小结1. 总结圆锥曲线的方程及其几何性质。
2. 强调解析几何在解决实际问题中的应用。
教学评价：1. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对解析几何基本概念和方法的掌握程度。
2. 课后作业：布置与解析几何相关的课后作业，巩固所学知识。
3. 课堂提问：通过课堂提问，了解学生对解析几何的理解和应用能力。
教学反思：1. 分析学生在解析几何学习中的难点和困惑，调整教学策略。
2. 丰富课堂内容，提高学生的学习兴趣。
3. 结合实际案例，让学生体会解析几何的应用价值。
数学中的几何学研究
数学中的几何学研究几何学是数学的一个分支，研究平面、空间以及它们之间的各种图形、形状特征、变化规律等问题。
几何学在实际生活中有着广泛的应用，如建筑造型设计、地理测绘与导航、计算机图形学等领域。
在数学研究领域，几何学一直是一个热门话题。
本文将从几何学的基本概念、几何学的历史和发展、几何学的研究方向以及最新成果等方面对几何学进行探讨。
一、几何学的基本概念几何学起源于古代，其最早的研究对象是几何形状。
其中最基本的概念就是点、线、面。
点是几何学中的最小单位，它没有长度、宽度、高度等，只有位置。
线由若干点组成，是一条连续的曲线，它有长度、但没有宽度和高度。
面是具有长度和宽度的平面区域，它由若干条线段组成。
这些基本的概念对于几何学的研究是不可或缺的。
二、几何学的历史和发展几何学在古希腊时期首次出现，并且在这一时期达到了极高的成就。
古希腊几何学家欧多克索斯提出了著名的欧几里得几何学，并且以这种几何学为基础，推导出了许多几何原理。
例如“两点间最短距离是直线”、“一个直角等于两个锐角”等等，这些原理为几何学打下了坚实的基础。
中世纪时期几何学的研究开始走向衰落。
但在文艺复兴时期，伽利略和笛卡尔等一批大师的出现推动了几何学的再次繁荣。
后来，欧拉、伯努利、拉格朗日等大师逐渐推动了几何学的发展。
在现代数学领域，几何学也一直是一个非常活跃的领域。
现代几何学在拓扑学、微分几何学、计算几何学等方面有了重大突破和进展。
三、几何学的研究方向在几何学的研究方向中，微分几何学是其中非常重要的一部分。
微分几何学是研究用微积分方法描述和研究几何对象的一种数学分支。
它主要研究微分流形上的曲率、拓扑性质等问题，并且应用于广义相对论、测地线理论、动力学等领域。
另外，代数几何学也是几何学的重要分支之一。
它是研究几何对象的代数理论，主要依赖于代数和初等代数的工具。
它涉及的领域包括代数曲面、代数簇、代数拓扑学等。
计算几何学和图形学是近年来非常热门的几何学研究方向。
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
大学数学解析几何
01
统计学
解析几何在统计学中用于可视化数据和 发现数据中的模式和趋势，以及进行多 元分析和回归分析。
02
03
计量经济学
解析几何在计量经济学中用于建立经 济模型的几何解释和推导，以及进行 模型检验和预测。
在其他领域的应用
计算机图形学
解析几何在计算机图形学中用于生成和渲染二维和三 维图形，以及进行图像处理和计算机视觉。
解析几何在大数据分析中的应用
数据可视化
01
利用解析几何的方法，将大数据进行可视化处理，帮助人们更
好地理解和分析数据。
数据挖掘
02
通过解析几何的方法，挖掘大数据中的模式和规律，为决策提
供支持。
数据降维
03
利用解析几何的方法，将高维度的数据降维处理，以便更好地
进行数据分析和处理。
谢谢
THANKS
Hale Waihona Puke 在18世纪和19世纪，解析几何得到了进一步的发展和完善。许多数学家，如牛顿、莱布尼茨、高斯等 ，都对解析几何的发展做出了重要的贡献。同时，随着计算机技术的不断发展，解析几何的应用范围 也在不断扩大。
02 平面解析几何
CHAPTER
点与坐标
总结词
坐标系是平面解析几何的基础，点是坐标系的基本元素。
详细描述
生物学和医学
解析几何在生物学和医学中用于描述生物体的形态和结 构，以及进行医学影像分析和诊断。
05 解析几何的未来发展
CHAPTER
解析几何与其他数学分支的交叉研究
解析几何与拓扑学的交叉
研究几何对象在连续变形下的性质和结构，如 几何拓扑。
解析几何与代数学的交叉
将几何问题转化为代数问题，或者将代数问题 几何化，如线性代数、矩阵几何等。
几何学在高等数学教育中的作用
第24卷 第4期 开封大学学报 V o.l 24 N o .42010年12月J OU RNAL OF KA IFENG UN I VER SI TYD ec .2010收稿日期:2010-05-19基金项目:中原工学院 解析几何 教学改革项目(200915)。
作者简介:高永良(1973-),男,河南固始人,讲师。
研究方向:基础数学理论。
几何学在高等数学教育中的作用高永良,王燕燕(中原工学院理学院,河南郑州450007)摘 要:几何学对于人类认识客观世界发挥了巨大作用;几何学的美是数学美的重要组成部分,几何学对于培养大学生的空间想象能力和直觉能力具有重要作用。
因此在高等数学教育中应加强几何学教学。
关键词:高等数学教育;几何学;教学改革中图分类号:G642 文献标识码:A文章编号:1008-343X(2010)04-0076-02 数学素养作为当代大学生的基本素质之一,正在被越来越多的高校所重视。
这具体体现在大学课程设置的变化上,譬如,以前文科学生是不学数学的,现在文科学生也必须学数学,只是比理工科的浅显一些。
但是,作为数学重要分支之一的几何学并没有得到重视。
在大学数学教学中普遍存在着几何课程和内容被压缩的现象,包括数学专业教学计划中也是如此。
往往在 形 和 数 的教学中,偏重于 数 的处理而忽略 形 的意义。
其原因是很多教育机构和学校对几何学在大学数学教育中的作用认识不足。
对这一问题,教育界和学术界有深入探讨的必要。
笔者在此结合自己的教学经历,谈谈个人的一些认识。
首先,几何学是人类认识客观世界的一个重要工具。
几何学中各种空间特别是微分流形概念的建立为各种数学门类的展开提供了适当的基础和舞台。
姜伯驹先生在为陈维桓教授 微分流形初步 一书作的序中指出:数学科学虽有众多分支,却是有机的统一。
几何的、代数的、分析的方法相辅相成,使现代数学成为人类认识世界、改造世界的锐利武器。
几何学的对象比较直观,比较接近人们的生活经验,所以更能激发开创性思维。
大学解析几何学习心得体会
大学解析几何学习心得体会大学解析几何是高等数学中的一门重要课程，它是数学的一个分支，主要研究平面及空间中的几何图形及其性质。
在学习这门课程期间，我深深感受到了它的重要性和挑战性。
以下是我关于大学解析几何学习的心得体会。
首先，大学解析几何需要对数学的基本思想有一定的理解。
解析几何的基本思想是通过坐标系和代数方法来研究几何图形，这就要求我们对数学的各个领域有一定的掌握。
在学习解析几何之前，我曾经经历过初等代数、初等几何等基础学科的学习，这为我的解析几何学习打下了坚实的基础。
因此，我在大学解析几何的学习过程中能够更加深入地理解其中的原理和定理。
其次，大学解析几何的学习需要灵活运用代数方法。
解析几何主要通过代数方法研究几何图形，因此我们需要熟练掌握代数的基本运算和方法。
在学习解析几何的过程中，我意识到代数计算的准确性和细致性对于解题非常重要。
在解决几何问题时，我会先将几何图形用代数表示，然后通过运算和推导得出结论。
这种代数方法不仅提高了解题的准确性，还能够简化问题的复杂性，节省解题时间。
第三，大学解析几何的学习需要注重几何直观的建立。
虽然解析几何是用代数方法研究几何图形，但几何直观对于解决问题仍然至关重要。
几何直观有助于我们更好地理解几何图形的性质和变换规律，使我们能够更快地找到解题的思路。
在学习解析几何时，我会尽量将代数计算与几何图形相结合，通过对几何图形的形状、位置等特点的观察，找到解决问题的关键。
第四，大学解析几何的学习需要刻苦钻研和多做练习。
解析几何是一门理论与实践相结合的学科，只有通过反复操练和实践，才能真正掌握其中的知识和技巧。
在学习解析几何时，我会多做课后习题和习题集上的练习题，以提高自己的解题能力和思维能力。
同时，我也经常参加解析几何的讨论和竞赛，与同学们共同探讨解析几何的难点和解题方法，以加深对知识的理解和运用。
最后，大学解析几何的学习还需要注重实际应用。
解析几何作为数学的一个分支，在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
高等数学教材解析几何理论
高等数学教材解析几何理论高等数学是大学数学科目中的一门重要课程，涵盖了许多数学理论。
其中，解析几何理论为学生们提供了一种几何问题的解决方法，通过运用代数和解析工具，将几何问题转化为代数问题，从而更加深入地理解几何学的原理和性质。
1. 解析几何理论的基本概念解析几何理论是以数学家笛卡尔为基础的，通过引入坐标系的概念，将几何问题转化为代数问题。
在解析几何中，我们使用直角坐标系来描述点、线、面等几何图形，通过坐标之间的关系来推导几何问题的解。
2. 直线与平面的表示与性质直线和平面是解析几何中的两个重要概念。
在直线方程中，我们可以利用点斜式、两点式、截距式等不同的表示方法来描述一条直线的位置和性质。
而平面的表示则可以通过点法式和一般式来进行。
3. 直线与平面的相互位置关系直线与平面的相互位置关系在解析几何中有着重要的意义。
通过求解直线与平面的交点、判定直线是否与平面平行或垂直等问题，我们可以进一步推导出平面方程和直线的方程。
4. 曲线与曲面的解析几何除了直线和平面，解析几何也研究了曲线和曲面的性质。
在解析几何中，我们通过参数方程、极坐标方程等表达方式，来描述曲线和曲面的形状、方程和性质。
例如，圆的方程可以通过圆心和半径表示，椭圆的方程可以通过焦点和离心率表示。
5. 解析几何在实际问题中的应用解析几何不仅仅是一种学术理论，它还广泛应用于实际问题的解决中。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域，解析几何的概念和方法被广泛应用。
例如，利用解析几何可以描述物体的运动轨迹，计算图形的投影和旋转等。
总结：高等数学教材中的解析几何理论为学生们提供了一种用代数工具解决几何问题的方法。
通过引入坐标系，我们可以将几何问题转换为代数问题，并通过计算得到几何图形的性质和解。
解析几何不仅具有理论意义，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
掌握解析几何理论，可以帮助学生更加深入地理解几何学原理，并应用于实际生活中的各种问题中。
定积分的意义及其在几何中的应用
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目：定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二Ｏ一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们的生活中也起着很重要的作用！内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。
幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。
关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （其中a<c<b ）1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解：以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证：nx x n +≥+1)1(证明：若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时，1)1(1<+-n x 。
大学数学几何知识点总结
大学数学几何知识点总结1.平面几何平面几何是研究平面内的点、直线、角、多边形和圆等图形的位置关系、性质和计算方法的数学学科。
重点内容包括直线和角、平行线和相关角、相似三角形、全等三角形等。
1.1 直线和角在平面几何中，直线和角是最基本的概念。
直线：直线是由无数个点组成的集合，其长度视为无穷大。
角：角是由两条射线共同起点组成的几何图形，常用度数、弧度数或均等分来表示其大小。
1.2 平行线和相关角平行线：在同一平面上，没有公共点的直线称为平行线。
平行线具有很多重要的性质和应用。
相关角：相关角是指两条直线被一条直线相交所形成的一对对顶角、内错角、同位角等。
1.3 相似三角形相似三角形是指具有对应角相等、对应边成比例的三角形。
相似三角形的性质和应用在几何学中有广泛的应用。
1.4 全等三角形全等三角形是指具有对应的三边和三个对应的角相等的三角形。
全等三角形有许多重要的性质和应用，例如利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题。
2. 立体几何立体几何是研究立体图形的性质、体积和表面积等的数学学科。
主要内容包括立体图形的性质、三视图、空间几何体的表面积和体积等。
2.1 立体图形的性质立体图形是指由平面图形绕固定的轴线旋转一周而形成的二维或三维图形。
常见的立体图形包括圆柱体、圆锥体、球体等。
通过对立体图形的性质进行研究，可以求解各种几何问题。
2.2 三视图三视图是指立体图形在三个不同的方向上的投影图。
通过三视图，我们可以清晰地了解立体图形的外形、结构和各个部分的相对位置。
2.3 空间几何体的表面积和体积在立体几何中，常常需要计算各种几何体的表面积和体积。
例如，球体的表面积和体积计算公式分别为4πr^2和(4/3)πr^3。
掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种立体几何体的表面积和体积。
3. 向量几何向量几何是研究向量及其在几何中的应用的数学学科。
主要内容包括向量的定义和运算、向量的数量积和向量的叉积等。
3.1 向量的定义和运算向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段表示。
常用几何语言-大学数学
常用几何语言-大学数学几何学是数学的重要分支之一，研究空间中的形状、大小、位置关系以及变化等问题。
在大学数学中，学生会接触到一些常用的几何语言，用来描述几何图形、定理和性质等内容。
本文将介绍一些常用的几何语言，以帮助学生更好地理解和运用几何学中的概念和知识。
1. 点、线、面在几何学中，点、线和面是最基本的几何图形。
点表示空间中的一个位置，用大写字母标记，如点A、点B等。
线由两点确定，表示连接这两点的一条直线段，用小写的字母表示，如线段AB、线段CD等。
面是由三个或更多个点确定的平面区域，用大写字母表示，如平面ABC、平面PQR等。
2. 图形的性质几何学中的图形具有许多特定的性质，学生在研究几何时常常需要了解和运用这些性质。
- 直线的性质：直线由无限多个点组成，直线上的任意两点可以确定一条直线段。
- 角的性质：角是由两条射线共享一个端点形成的，常用字母表示，如∠ABC、∠PQR等。
角的度数用度来度量，常用的度量单位是度。
- 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的图形，满足任意两边之和大于第三边的条件。
常见的三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
- 圆的性质：圆是由一条封闭的曲线组成的图形，圆心是圆的中心点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 几何定理几何学中的定理是通过逻辑推理得出的几何图形之间的关系和性质。
学生在研究几何时需要熟悉和掌握一些常见的几何定理。
- 垂直定理：两条直线互相垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
- 平行定理：如果两条直线与第三条直线交叉，且对应角相等，则这两条直线平行。
- 同位角定理：当一条直线与两条平行线相交时，对应角、内错角和同位角之和均为180度。
4. 几何分析方法在解决几何问题时，常常需要运用一些几何分析方法来推导和证明结论。
- 相似性分析：通过对图形的相似性进行分析，找出共有的性质和关系，从而推导出结论。
- 合同性分析：通过对图形的合同性进行分析，找出共有的性质和关系，从而推导出结论。
大学二年级数学教案学习高等几何的基本理论与证明
大学二年级数学教案学习高等几何的基本理论与证明一、引言在大学数学的学习中，高等几何是一个重要的专题。
掌握高等几何的基本理论与证明对深入理解数学的本质和发展起着至关重要的作用。
本文将围绕大学二年级数学教案学习的主题，探讨高等几何的基本理论与证明。
二、高等几何的基本概念高等几何是几何学的一门重要分支，它研究高维空间中的几何性质与关系。
在学习高等几何之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 高等几何的维数在传统的几何学中，我们研究的是二维和三维空间的图形和性质。
而在高等几何中，我们将研究的对象扩展到了更高的维度，例如四维、五维等等。
维数是指空间中所需要的坐标数量。
每个维度对应一个坐标轴，例如二维空间对应二个坐标轴（x轴和y轴），三维空间对应三个坐标轴（x轴、y轴和z轴）。
2. 几何空间的拓扑性质拓扑学研究的是空间中的连续性质与变形关系。
在高等几何中，我们将关注几何空间的拓扑性质，例如紧致性、连通性、同胚等。
这些性质的研究对于了解几何空间的结构以及其性质具有重要的意义。
3. 高等几何的基本要素高等几何的基本要素包括点、直线、面以及高维空间中的各种图形。
我们将通过研究这些基本要素的性质和关系，来理解高等几何的构建和推导过程。
三、高等几何的基本理论高等几何的基本理论是研究高维空间几何性质的理论基础。
在学习高等几何时，我们需要掌握以下几个重要的理论：1. 坐标系与变换在高维空间中，我们需要使用坐标系来表示点和向量。
坐标系的选择和变换对于研究几何性质和解决几何问题起着至关重要的作用。
在高等几何中，我们将学习各种坐标系的选择和变换方法。
2. 向量运算与线性变换向量运算是研究高维空间中向量性质的重要工具。
线性变换是指将向量从一个空间映射到另一个空间的变换。
向量运算和线性变换的研究对于理解高等几何中的向量空间和线性映射具有关键性的意义。
3. 几何性质与关系高等几何研究的核心是研究几何性质与关系。
我们将学习高维空间中的点、直线、面以及其他图形的性质和关系，例如距离、角度、平行、垂直等。
高等数学中的向量与空间几何
高等数学中的向量与空间几何引言：高等数学是大学数学的重要组成部分，其中向量与空间几何是数学中的重要概念。
本教案将重点介绍向量的基本概念、运算规则以及空间几何中的向量相关内容，帮助学生深入理解和掌握这一知识点。
一、向量的基本概念与表示方法1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
2. 向量的表示方法：常用的表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
a. 点表示法：用起点和终点两个点表示向量。
b. 坐标表示法：用有序实数对表示向量。
c. 分量表示法：将向量在坐标轴上的投影作为分量表示向量。
二、向量的运算规则1. 向量的加法：a. 平行四边形法则：将两个向量的起点放在一起，然后用两个向量的箭头相连，得到一个新的向量，它的起点是两个向量的起点，终点是两个向量的箭头相连的终点。
b. 三角形法则：将两个向量的起点放在一起，然后用一个向量的箭头连接到另一个向量的终点，得到一个新的向量，它的起点是两个向量的起点，终点是连接箭头的终点。
2. 向量的数量乘法：a. 数量乘法的定义：将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量。
b. 数量乘法的性质：满足交换律、结合律和分配律。
三、向量的线性相关性与线性无关性1. 向量的线性组合：将若干个向量乘以不同的实数，并将它们相加得到的向量称为这些向量的线性组合。
2. 向量的线性相关性与线性无关性：a. 线性相关性的定义：如果存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则这些向量线性相关。
b. 线性无关性的定义：如果向量的线性组合等于零向量时，系数全为零，则这些向量线性无关。
四、空间几何中的向量1. 空间向量的表示方法：类似于二维向量，空间向量可以用点表示法、坐标表示法和分量表示法表示。
2. 空间向量的数量乘法与加法：与二维向量类似，空间向量也满足数量乘法和加法的运算规则。
3. 空间向量的数量积：空间向量的数量积也称为点积或内积，表示为两个向量的数量乘积的和。
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用几何直观在解决问题中是至关重要的。
无论是在初中数学、高中数学还是大学数学中，几何直观都是解决问题的一个重要工具，也是对抽象概念进行直观理解和描述的重要手段。
本文将从三个方面分析几何直观在解决问题中的应用。
一、对几何图形的理解几何直观通过几何图形的形状、大小、位置、朝向等可视化的特点，帮助我们更清晰地理解几何图形在运动、旋转、平移等操作中的性质，有利于我们更快速地解决问题。
例如，在初中数学中，当我们讨论三角形的中线时，几何直观可以帮助我们想象该中线对三角形中心的作用，尤其是当我们在解决求三角形面积或证明中线等分底边时。
在讨论平行四边形中，特别是需要求对角线的性质时，我们也可以通过几何直观来理解其对应角的和是180度，而对于中垂线问题，我们可以帮助理解正交线段与三角形中线重合，以及它们的相交点是三角形的外心。
二、问题化解过程中的辅助在解决问题时，几何直观可以作为我们的思考工具，帮助我们化解问题中的复杂性。
例如，当我们在解决三角函数题目时，根据题目信息，可构造对应的几何图形，从而理解三角形内角、余弦、正弦、正切等概念，进而确定三角函数值。
上述过程中，以三角形为例，我们不仅可以想象三角函数的极限性质和周期性质，也可以通过对几何图形的改变来发现等式的对应变化。
另一方面，几何直观还可以解决某些特定情况下的问题。
例如，当我们在解决三角形外接圆半径与边长关系时，切向垂线可以帮助我们推导出半径与边长一条等式，从而进行计算。
三、对复杂问题的简化几何直观可以使我们化繁为简，通过图形化展示，将抽象概念具体化、几何化，有利于我们分析、把握、掌握问题本质，以及切入问题的重点。
例如，在初中时，我们学习到了二次函数的图像特征，其中离心率、顶点等都是几个比较抽象的概念。
但是，如果我们通过几何直观来展示二次函数的图像特征，比如在坐标系中画出其对称轴，或者将三种情况都画成图像，那么对这些概念的理解和记忆都会更加直观和深入。
大学四边形数学定理教案
一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握四边形的定义、性质和分类，能够熟练运用四边形的性质解决实际问题；引导学生了解四边形的不稳定性及在实际生产和生活中的应用。
2. 过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，培养学生的几何思维能力；学会用比较简单的条件画出指定的四边形。
3. 情感态度与价值观：激发学生对四边形的兴趣，体会数学与实际生活的联系，培养学生的探究精神。
二、教学内容1. 四边形的定义与性质：四边形是一个有四条边、四个角的平面图形。
根据边和角的关系，四边形可分为平行四边形、梯形、矩形、菱形、正方形等。
2. 四边形的内角和：四边形的内角和为360度。
3. 四边形的不稳定性：四边形在某些条件下不稳定，易发生形变。
4. 四边形在实际生产和生活中的应用：例如，建筑设计中的结构稳定性问题。
三、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如自行车、桌子等，引导学生认识四边形，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍四边形的定义与性质，让学生通过观察、实验等方法，探究四边形的性质。
3. 知识拓展：讲解四边形的不稳定性及在实际生产和生活中的应用，让学生体会数学与生活的联系。
4. 课堂练习：布置一些有关四边形的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考四边形在实际生活中的应用。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究四边形的性质。
2. 利用生活中的实例，让学生体会数学与实际生活的联系。
3. 注重个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提高。
4. 鼓励学生参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和表达能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生的练习作业，评估学生对四边形知识的掌握程度。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法，提高教学质量。
六、教学资源1. 教材：人教版《大学数学》等相关教材。
[精品论文]浅谈行列式在平面几何中的应用
![[精品论文]浅谈行列式在平面几何中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/1b5e8badc850ad02df8041e3.png)
独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的理论学习、实习实践以及研究所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含获得青海民族大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一起探讨、工作的同学对本论文所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
毕业论文作者签名：李树璟签字日期：年月日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解青海民族大学有关保留、使用毕业论文的规定。
特授权青海民族大学可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。
同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。
论文作者签名：李树璟签字日期：年月日指导教师签名：签字日期：年月日摘要摘要:本文是根据行列式在解析几何中的应用与特点进行的相关讨论与探究。
借助行列式在解决平面几何中的共点、共线、方程互化等相关问题的同时，从而把握了行列式在解析几何中应用的优点。
通过分析研究，归纳总结出了行列式对于研究解析几何中的重要意义。
关键词: 行列式，解析几何，平面几何，代数AbstractThe determinant in the application of plane geometryAbstract : This article is based on the characteristics of determinant in the application of analytic geometry and the related discussion and exploration, with the help of determinant in solving the related problems in plane geometry, and introduces the application of determinant in analytic geometry. Through analysis and research, the author summarizes the significance of determinant in the study of analytic geometry.Keywords: determinant, analytic geometry, plane geometry, algebra.引言行列式的概念最初是伴随着线性方程组的求解而发展起来的。
平面几何在解析几何中的应用
平面几何在解析几何中的应用南昌大学附中 陈一君一、活用几何关系速解圆类问题在解析几何中，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础.圆既是轴对称图，又是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析几何中圆的某些问题，若能活用题中几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主要有：圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理.活用圆的几何性质可以快速解决圆类问题，降低运算量，培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题.【例题】已知直线:l y x b =+和圆22:20C x y y ++=相交于不同两点A ，B ，点p 在直线l 上，且满足 2PA PB ⋅=，当b 变化时，求p 的轨迹．图1【常规解法】设点 (),P m n ，则:l y x b =+的参数方程为() (1)2x m t y n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 将（1）代入2220x y y ++=，得 显然0∆>．设方程（2）的两根为12t t ，，由 2PA PB ⋅=， 依题意点p 在AB 或BA 的延长线上，∴ 2PA PB PA PB ⋅=⋅=，即122t t ⋅=∴22 22m n n ++=．即22 22x y y ++=为p 的轨迹方程，表示以() 0,-1为圆心，为半径的圆．【点评】由 2PA PB ⋅=联想到直线的参数方程中 t 的几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦属不易，还有运算量相比较还是比较大的，时间成本的控制不如方法一．需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成 【利用圆的几何性质解法】圆22:20C x y y ++=的圆心(0,1),1C r -=．由切割线定理，如图1所示，有221PT PA PB =⋅=>，故点p 在圆C外，∴PC ∴点p 的轨迹方程为22(1)3x y ++=．【点评】显然直线AB 是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制．通过本节微专题学习，发现求解圆的问题时，若能充分揭示问题中的几何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍.切割线定理、圆幂定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛.【针对训练】（2013年福建高考文科试题）如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|OC|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M 、N ．（I ）若点C 的纵坐标为2，求|MN|；（II ）若 A F AM AN ⋅２＝，求圆C 的半径．【分析】本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识．根据条件圆心C 在抛物线上且过原点，解法如下：（Ⅰ）抛物线2:4E y x =的准线l 的方程为=-1x ，由点C 的纵坐标为2，得点C 坐标()1,2，所以点C 到准线l 的距离d =2，又|CO |=5．所以2MN ==．（Ⅱ）【常规解法】设2004y C y （，），则圆C 的方程为：224220000()416y y x y y y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，即22200202y x x y y y -+-=，由1x =-， 220021+02y y y y -+= 设()()121,1y y --M 、N ，得到2220002012=44(1)240212y y y y y y ∆-+=->=+⎧⎪⎨⎪⎩由 A F AM AN ⋅２＝，得124y y =，200142y y ∴+=⇒=0∆>圆心C 的坐标为3(2C 或3(,2C ，从而得233,4CO CO ==，即圆C 的半径为r =【利用圆的几何性质解法】抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幂定理为切入点有下列简洁解法：设圆C 与x 轴交于不同的两点O 、G ．由圆幂定理知：|AO|·|AG|＝|AM|·|AN|．由条件F ()1,0， A F AM AN ⋅２＝，即４＝|AM |·|AN |＝|AO |·|AG |，由条件设2004y C y （，），则2200022y y G AG （，）,＝＋１＝４，2006y y ∴∴＝，＝∴3(2C 或3(,2C ，r ==【点评】（I ）涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特征，结合垂径定理和根与系数关系解决问题．（II ）根据条件抓住几何特征通过圆幂定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果．二、解析几何中巧用三角形相似简化计算解析几何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决几何问题的一门学科，它开创了数、形结合研究方法.解决解析几何问题的最大难度是如何把握好解题的总体思想策略.但在平时的解析几何教学中，师生往往偏重于相关量的数量关系的研究，摒弃了最基本，最直接的解题思路，不重视平面几何知识,但解析几何的“魂”还是“几何”特征.在现代中学教学中，解解析几何时，可以灵活应用平面几何知识，找到简捷的解题途径，简化解析几何的解题过程，降低运算量.运用平面几何知识，能培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何利用平面几何的三角形相似知识巧妙解决解析几何的问题.【例题】如图：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为12F F ，，上顶点为A ，离心率12e =，点P 为第一象限内椭圆上的一个点，且112:2:1,PF APF F SS=则直线1PF 的斜率为 .【常规解法一】P 到直线1AF 的距离和到x 轴的距离的比为2:1，设出P 点坐标，进而求1PF K .设P(m,n)，由题意知直线1:0AF bx cy bc -+=， P 到直线1AF 的距离 2bm cn bcd n a-+==,即2bm cn bc an -+=，（点P 在直线AF 1的右侧，可直接去掉绝对值符号）整理得2n b m c a c ==++ 【常规解法二】A 与2F 到直线1PF 的距离的比为2:1，用点到直线的距离公式直接解出1PF K设直线1PF 方程为0kx y ck -+=,由(0,)A b 与2(,0)F c 到直线1PF 的距离的比为2:1得到等2=，即4,5b b ck ck k c -=⨯∴== （注意点到直线距离公式中绝对值符号是如何去掉的）【利用∆相似比解法一】连接2AF 与1PF 交于点B ，证明B 是线段2AF 的三等分点，进而求1PF K如图，作AM 垂直于1PF 于点M ，作2F N 垂直1PF 于点N ，1122::2:1AF PPF F SSAM F N ==,连接2AF 交1PF 于点B ，由相似比知2:2:1AB BF =，所以B 是线段2AF 的三等分点，而2(0,),(,0)A b F c ，求出B 点坐标是2,33c b ⎛⎫⎪⎝⎭，所以113=255()3PF BF b b K K c c c -===-- 【利用∆相似比解法二】AO 与1PF 交于点B ，证明B 是线段AO 的五等分点，就能得出B 点坐标，进而求1PF K连接OP ，知212:PF OPF F SS112:2PF A PF F S S =，得出11:4:1PF APF OS S=，作AM 垂直1PF 于点M 垂直于PF 于点N ， 设1PF 与y 轴的交点为B B 是线段AO 的五等分点，而(0,)A b ，求出B 点的坐标是05b ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以1150()5PF BF b b K K c c -====--【评析】灵活地应用平面几何知识，可以快速化解题目的难点之处.几何分析是“形”向“数”的转化，是特殊性方法，是“数形结合”思想应用.通过本节微专题学习，对于某些解析几何问题，我们不一定都要通过常规方法入手，只要我们认真分析题目中几何量之间的关系，运用平面几何的观点来审题，认清题目的本质特征，然后再动笔，往往带来很多方便.要让学生在自然的代数过程中联系几何转化，不要刻意分割解析几何中的“数”与“形”，让数形结合思想真正融入解题思维里． 【针对训练】已知圆2 2 2+,x y r =直线( : ,) l x a a r P =＞为l 上的一点，射线OP 交圆于点R ，点Q 在OP 上，且满足2OQ OP OR ⋅=，当P 点在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.【分析】常规解法相当繁琐，令人头疼.限于篇幅，这里不再展示常规解法，但是，如果采用三角形相似来解决的话，会很简单.解：如图所示，过点P 作圆的切线PM ，M 为切点，连接MQ ，易证MQ OP ⊥F 2x PMO由~Rt OHQ Rt OTP ，得OH OP OQ OT =，即22OH a OQ OP OR r ⋅=⋅==， 故2r OH a =为定值，又,MQ OP ⊥故点Q 的轨迹方程为24222()24r r x y a a-+=.【点评】到目前为止,这是我所见到的本题最简洁的解法,简炼有力,令人惊叹！三、平面几何在求轨迹方程中的应用在最近几年的教学中，我发现了同学们学习中存在的一个普遍问题：学哪一段就用哪一段的方法，这样做产生的后果是:思路闭塞，运算繁琐.伴随着年龄的增长，同学们所掌握的数学方法越来越多，进入高中以后，特别是接触到解析几何后，我们不少同学就有点喜新厌旧了，把以前初中的平面几何知识抛到一边，认为有点过时了.其实不然，数学方法并没有过时的说法，一些简单地定理往往能带来令人意想不到的效果，如中线定理、角平分线定理、射影定理等平面几何中的基本知识，如果运用得当的话，就可以将你从解析几何繁复的运算中解放出来，甚至能让你拍案叫绝.求轨迹方程是解析几何中的两大基本问题之一，也是高考重点考查的内容.其方法多种多样，但在求轨迹方程中,如果能够充分利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习应用平面几何求解轨迹方程的问题.【例题】已知圆O 的方程是2236x y +=，定点()4,0P ,如图作矩形APBQ （A 、B 两点在圆上）.求矩形的顶点Q 的轨迹方程.【常规解法】设()()()1122Q x y A x y B x y ，，，，，，则：221136x y +=,222236x y +=又1212144y yx x ⋅=--- 即1212124()160x x y y x x +-++=.即所求矩形的顶点Q 的轨迹方程为：2256x y +=.【点评】以上解法很常规，但其消元的过程是在太巧妙了！不易想到.除此之外，还可利用P A 斜率K 为参数，建立Q 的参数方程来解决，但其运算过程相当复杂，不易求解. 【利用中线定理几何性质解法】如上图，连接OP ,OQ ,OA ,OB ,OM （M 为矩形APBQ 的对角线的交点）由平面几何的中线定理知识可知： 在OPQ 中，()2222Q =2M +OP O O PM + 在△AOB 中，()2222B =2M+OA O O AM +从而可得：2Q =56O ，故2256x y +=为所求方程.【点评】在求轨迹方程中，充分利用平面几何知识，结合圆锥曲线的定义，在解题中，特别是在考试的客观题解答中，将使解题过程简单，迅速得出正确答案.通过本节微专题学习，发现求解解析几何的轨迹方程问题时，若能充分灵活运用平面几何知识（中线定理）快速地给出了解答，方法之妙令人叫绝，解题则会事半功倍.平时教学中，教师应注意这方面的指导.【针对训练】点A ，B ，C 依次在直线l 上，且AB=4BC ，过C 作l 的垂线，M 是这条垂线上的动点，以A 为圆心，为AB 半径作圆，1M T 与2MT 是这个圆的切线，求12MT T ∆垂心的轨迹．【分析】如图，以A 为原点，直线AB 为x 轴建立坐标系，H 为12MT T ∆的垂心，N 为12T T 与AM 的交点，记BC=1．以A 为圆心的圆方程为2216x y +=，连结12 ,AT AT ， ∵2212,,AT MT T H MT ⊥⊥21AT T H ∴∥，同理12AT HT ∴∥.又∵12AT AT =，∴12AT HT 是菱形.∴ 2AN AH =．又∵212111,,AM TT AT MT AT AN AM ⊥⊥∴=⋅．设点H 坐标为(x ，y )，点M 坐标为(5，b )，则点N 坐标为(,)22x y ，将坐标代入21AT AN AM =⋅，再由5b y x =，得222161655x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．在AB 上取点K ，使45AK AB =，所求轨迹是以K 为圆心，AK 为半径的圆． 【点评】本题解法的可取之处在于娴熟的运用了平几知识，得出12OT HT 是菱形后，依据菱形对角线互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影定理21OT ON OM =⋅?得出结论．整个解法“平几味”甚浓，扣“形”不放，堪称数形结合的典范，事半功倍．四、巧用投影优化计算高考的解析几何题，似曾相见曾相识，看似平淡需真功。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大学数学中几何方法的运用
针对大部分大三学生来说，大学数学课程内容难度较大，而且极为重要.大学数学是大部分理工课程的基础课程，有利于理工科学生之后的学习，对学生具有积极意义.学生在学习过程中如使用几何方法，能够有效提高自身学习质量.本文简要分析了学生在高等数学学习过程中所存在的问题，同时从阐述数学思维、简化求解过程等多方面分析了学生应如何在大学数学学习过程中应用几何方法，以期增强学生的逻辑性以及提高学生学习能力.
对理工科学生来说，大学数学是必修课程，其不仅为学生之后专业课程的学习奠定了基础，同时也培养了学生良好的逻辑思维能力，使其更为适应之后的社会生活.因此，大学数学的学习质量颇为重要.然而，就目前而言，我国大部分学生的学习水平有待提升，学习过程也存在较大的问题.几何方法可以使学生更为直观地理解逻辑内容.因此，学生应积极在大学数学学习中运用几何方法，以提高自身学习质量，同时加深对大学数学知识的理解.
一、大学数学学习中存在的问题
(一)学习时间以及资源不足
大学数学是理工科类学生学习专业课知识的必备工具，如物理中
的力学、电学等课程知识的学习都涉及了大学数学中的知识.定积分的几何运用在机械设计课程中得到广泛应用.然而，就目前而言，我国大部分大学给予大学数学课程的课时并不多，但该课程知识内容数量繁多，且学习难度较高，学生难以在课堂短时间内消化，所以学习时间明显不足.加之课堂知识内容被大幅压缩，将部分定理的证明过程直接删除，学生单纯依靠记忆进行理解与使用，忽视了以几何的角度理解定理，导致大部分学生并不理解定理的来源，也不理解定理的几何意义.除此以外，部分高校还需面对教学资源不足这一问题.部分学校的教师或是教室会存在不足的现象.受教学资源的限制，部分高校采取大班授课的方式，令多个班级甚至多个专业同时听课.如此一来，学生即使在学习状态、进度以及学习方式等方面出现问题，由于人数众多，无法直接向教师提问.且课堂气氛沉闷单调，学生无法与教师或是其他学生进行直接交流与讨论.只好被动接受知识，无法进行自主思考以及对知识的创新，课堂学习效率自然难以提升.
(二)学生学习方式存在问题
学生在学习过程中，应注重调节自身心态，注意自身课堂细微的情感变化.学生学习状态、热情度以及积极性直接影响了其课堂教学效率.大部分学生学习时，往往只研究课本上的定理及其证明内容，但定理及其证明方面的知识晦涩难懂，且学习过程枯燥无味，导致学习过程较为沉闷无趣，久而久之，学生便会逐渐丧失学习兴趣.所以，
若学生采用上述学习方式，便限制了自身思维，逐渐丧失了学习热情，甚至产生厌学的洗能力.学生采用几何方法学习，能够使数学知识更为直观，容易理解.同时也能令学习过程较为轻松.但是部分学生却过于依赖使用几何方法进行学习，忽视了对数学思想的解释，或是直接利用几何图像替代了教材中的定理以及相关证明，从而令自身无法更为深入地理解问题，从理性的角度看待以及解决问题.由此可见，部分学生无法正确使用几何方法，导致学生学习方式存在较大问题.不仅如此，学生若不将代数与几何联系为一体，之后的学习也会收到一定影响，以建筑工程为例，建筑工程中大部分问题为几何问题，而大学数学中大部分为代数语言，若学生仅了解几何内容，则学生生无法了解两者之间的联系.同理，若学生仅了解大学数学中代数内容，则无法利用大学数学知识解决建筑工程中的问题.
(三)学生对几何方法的认识有误
随着现代科技的发展，信息技术在大学学习中的应用逐渐丰富.学生可借助目前的科技设备，如计算机、手机等设备构建更为形象以及直观的图形，图形也由平面图形转化为立体图形，使得学生突破了空间限制，也解决了之前纸笔绘制图形时，图形不准确这一问题.然而，学生在构建图形并进行研究的过程中，往往会走向误区，发生以偏概全的现象.大部分学生绘图过程中不理解几何方法的实质，错误地认为，针对定理证明问题，无需使用严谨的数学语言以及逻辑进行
验证，只需绘制特定函数的函数图像即可.然而并非如此，学生运用几何方法理解定理以及定理证明内容，实质是举例，但举例并不能包括所有的状况，所以学生在学习之前，需反复研究几何示例，同时清楚、了解几何学习方式的特殊性.学生也可选用多个几何示例作为对比，更为深入地了解几何学习方式的实质.
二、大学数学中几何方法的实际运用
(一)阐述数学定理
数学定理是课程内容的重点，学生学习数学定理的目的，不仅是要求自身对数学定理有所记忆，还需对知识有一定理解，同时能够灵活运用.然而，大学数学数学的定理知识过于抽象，大部分学生抽象思维能力不足，难以理解定理内容，对定理所描述的情况也没有清晰地认识，使得学生虽然能够记忆定理，但无法深刻理解，也难以正确运用.针对上述情况，学生便可运用几何学习方式，将定理转化为图像，使定理的表现形式更为直观，也有利于自己接受.
(二)简化题目
数形结合思想一直是数学常用的思想之一，其不仅能够令题目变得更为直观与形象，同时也能简化题目步骤，从而提高学生的解题效率以及正确率.部分题目如果仅依靠代数进行计算，计算量较大，计算过程中容易发生错误.若学生将题目部分量转化为图形，则能够轻易观察到各量值之间的关系，同时也省去大量计算，大大降低了出错的概率.
如题：设存在一旋转抛物面，该抛物面方程为z=x2+y2，同时存在一平面，方程为x+y-2z=2，求解两面之间相距距离最短时是多少.
该问题共有两种求解方式：第一种方法，学生可使用条件极值的方式进行求解，单纯依靠代数知识解答，其中并不涉及任何几何方式.该方法具体如下：
在旋转抛物面上随意截取一点，设该点坐标为P(x，y，z)，那么点P与平面x+y-2z=2之间相距的距离可通过下列式子表示：d=16|x+y-2z-2|.此时，问题便发生了变化，即求解约束条件下，函数f(x，y，z)=(x+y-2z-2)2的极限值.学生设立拉格朗日辅助函数：F(x，y，z，λ)=(x+y-2z-2)2-λ(x2+y2-z).由上可得：计算完成后，可知拉格朗日函数有且仅有一个驻点，即x=y=14，z=18，λ=1.将上述数值代入算式d=16|x+y-2z-2|当中，此时便能求的旋转抛物面同平面之间的距离最
短时为746.
该解答方法看似步骤较为简洁，但其计算量极大，且学生在求解驻点时，方法也是极为繁琐，且会耗费学生大量时间.所以，学生可使用第二种方法，即结合几何方法进行求解.具体解法如下：
从几何的角度进行分析，若希望旋转抛物面z=x2+y2上任意一点同平面之间的为最短距离，那么旋转抛物面z=x2+y2上点的法向量应当与平面的法向量保持平行关系.在旋转抛物面z=x2+y2上任取一点，设该点为P，坐标为P(x，y，z).此时可以通过求解得出，点P处，旋转抛物面的法向量，表示为(2x，2y，-1)，还有平面的法向量(1，1，-2).所以可得：2x1=2y1=-1-2.
通过上式可以解出：x=y=14.之后将该结果代入旋转抛物面方程当中，可解得结果z=18.学生再将所得结果代入求解点与平面距离公式当中，便能够求得结果d=746.
(三)运用几何图像活跃思维
数学定理一定有其形成过程，也有其思考以及证明过程.学生若只是背诵了定理，而不了解其产生的原因以及过程，便无法灵活运用.学生应结合图像探索定理的实质内容.以极为重要的极限
limx→0sinxx=1为例，该极限在之后的使用都较为频繁.然而学生是无法通过定义以及极限运算的方式了解该极限的含义，需要使用夹逼准则进行证明.然而，以学生的能力，难以找到与sinxx相关的不等式.学生需使用x同正弦函数sinx之间的联系作为引入，复习高中所学的有关
图3单位圆示意图三角函数的知识，构建单位圆，寻找x、sinx 以及tanx之间的关系.具体如图3所示，设定∠AOB=x，其中x的取值范围为0，π2，使得BC与OA为垂直关系.学生可知sinx=2S∠AOB，x=2S 扇形AOB.之后学生寻找tanx的代表式，构建圆的切线，令圆过点A，且与OB延伸线相交，交点为点D，此时tanx=2S∠AOD，通过面积大小的对比，学生较为容易得出sinx结束语
大学数学是理工科学生学习其他专业课程必备的知识，所以对学生之后的学习生活尤为重要.作为学生，应灵活运用几何学习方式辅助自己进行学习，从而提高自身学习效率，提升数学水平.
作者：刘昂洋来源：数学学习与研究2016年13期。