21.2.1二次函数y=ax2的图象与性质教案
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
二次函数y=ax2的图像教案
二次函数y=ax2的图象教学目标一、知识与技能1、使学生会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生了解，归纳二次函数y=ax2图象性质。
二、过程与方法1、继续培养学生的作图能力；向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。
2、培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；三、情感态度与价值观向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辩证唯物主义思想。
培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识.教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。
掌握二次函数y=ax2的性质。
教学难点：探索、归纳二次函数y=ax2性质。
教具准备：多媒体、投影仪、学案教学过程：一、知识回顾1．以问题形式回顾二次函数的概念⑴二次函数的一般形式是怎样的？⑵下列函数中,哪些是二次函数？2.回顾反比例函数的画法（由学生思考回答）二、讲授新课例1、画二次函数y=x 2的图象。
解：(1)列表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
（这里要突出光滑的曲线）提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
并说出对称轴，顶点坐标，了解最高点和最低点。
由姚明篮球和发射火炮得出抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、动手做一做1、在同一直角坐标系中，画出函数221x y =与22x y =的图象，观察并比较两个图象，你发现它们与2x y =有什么共同点？又有什么区别?1）学生在学案上画图。
教师巡查指导。
（在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
）通过投影展示个别学生的作图，杜绝粗心。
2）学生通过图像归纳共同点与区别。
〖2021年整理〗《二次函数y=ax^2的图象和性质》名师优秀教案
二次函数2ax y =的图象和性质一、教学目标 （一）学习目标1．会用描点法画出形如=a 2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数=a 2的图象特征和性质；3．在类比探究二次函数 =a 2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想． （二）学习重点会画二次函数=a²的图象，理解其图象特征和性质． （三）学习难点用描点法画二次函数=a 2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）二次函数=a 2 ，当a>0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向上；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当=0时，函数有最小值0；③图象是轴对称图形，对称轴是轴（直线=0）；在对称轴的左侧（即0时），抛物线从左到右上升，随的增大而增大（2）二次函数=a 2 ，当a0时），抛物线从左到右下降，随的增大而减小 2．预习自测26x y =，对称轴是________，顶点坐标________，当_______时，随的增大而增大，当_______时，随的增大而减小，当=______时，有最______值,为 ． 【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质 【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】上，轴，（，），＞，22x y -=2ax y =2y ax =2ax y =231x y =13y x =-22ax y =231x y =231x y -=2ax y =2ax y -=72-=m mx y m 2ax y =272m -=3m =±3m =-2ax y =3m =-c bx ax y ++=20时，直线通过一、三象限，随的增大而增大；当2ax y =2x y =xy2x y =y x =20呢？（5）当取什么值时,的值最小最小值是什么？你是如何知道的？ 特点：1图象是一条抛物线，开口向上；（2）原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当=0时，函数有最小值0；（3）图象是轴对称图形，对称轴是轴（直线=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，随的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，随的增大而增大探究二 二次函数2ax y =的图象及性质 重点、难点知识★▲ ●活动① 自主探究 1.画出函数22x y =，221x y =的图象： （1）列表： -2 -1 0 1 2 =2² 8 20 28 =122212122（2）在平面直角坐标系中描点：（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数22x y =，221x y =的图象 =2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫这条抛物线关于轴对称,轴就是它对称轴与抛物 线的交点叫做抛物线=2在轴的上方除顶点外,顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当=0在对称轴的左侧时,随着的增大而减小在对称轴的右侧时, 随着的2.思考归纳 函数 22x y =，221x y =的图象与函数2x y =的图象相比，有什么共同点和不同点？学生讨论后回答，教师点拨相同点：图象都是抛物线，都开口向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 轴，当=0时，的最小值是0；在对称轴左侧，随的增大而减小，在对称轴右侧，随的增大而增大 不同点：a （a ＞0）越大，抛物线的开口越小．猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？ ●活动② 类比探究1.画出函数2x y -= ，22x y -=，221x y -=的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．相同点：图象都是抛物线，都开口向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 轴，当=0时，的最大值是0；在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小。
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第1课时 二次函数y=ax^2的图像和性质
21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】会用描点法画出函数y=ax 2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax 2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.◇教学重难点◇【教学重点】理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.【教学难点】用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数的性质.◇教学过程◇一、情境导入从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?二、合作探究探究点1 二次函数y=ax 2的图象典例1 (1)用描点法在同一坐标系中画出y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象. (2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象.[解析] (1)y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象如图所示.(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象如图虚线所示.已知y=(k+2)x k2+k是二次函数.(1)求k的值;(2)画出函数的图象.[解析](1)∵y=(k+2)x k2+k为二次函数,∴{k 2+k=2,k+2≠0,解得k=1.(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.列表:描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3).连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.探究点2二次函数y=ax2的性质典例2已知点(-3,y1),(1,y2),(√2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.[解析]方法一:把x=-3,1,√2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>√2>1,∴y1>y3>y2.(1)求m的值.(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?(4)试说明函数图象的增减性.[解析] (1)∵函数y=(m+3)x m 2+3m -2是关于x 的二次函数,∴m 2+3m-2=2,m+3≠0,解得m 1=-4,m 2=1.(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,∴当m=1时,该函数有最小值.(4)当m=1时,x>0时,y 随x 的增大而增大,x<0时,y 随x 的增大而减小;当m=-4时,x>0时,y 随x 的增大而减小,x<0时,y 随x 的增大而增大.二次函数y=ax 2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,三、板书设计二次函数y=ax 2的图象和性质二次函数y=ax 2的图象和性质{ 开口方向顶点坐标:(0,0)对称轴:y 轴最值增减性◇教学反思◇本节课的内容主要是研究二次函数y=ax 2在a 取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
二次函数y=ax2的图像和性质 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
22.1 二次函数2a x y =的图象和性质（第2课时）一、教学目标知识与技能：会用描点法画出形如 2a x y = 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；过程与方法：通过观察图象，能说出二次函数 2a x y = 的图象特征和性质；情感态度价值观：在类比探究二次函数 2a x y = 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想．二、学情分析学生在学习一次函数时，对于函数图象及性质的研究内容和研究方法已经有了一定的了解，会用描点法画函数图象；知道要从形状和y 随x 的增大如何变化上描述函数的图象和性质；知道可以从图象、列表、解析式三个角度研究函数性质；具有一定的数形结合思想，知道图象“从左到右的变化”对应“函数随自变量的增大的变化”。
在学习函数图象时已经画过二次函数）（02≥=x x y 的图象。
面对曲线型函数图象，在用研究一次函数的方法研究二次函数时，出现了新的研究内容：对称性和最大（小）值。
分段讨论二次函数y 随x 的增大如何变化也是学生没有接触过的。
虽然在研究一次函数时学生知道通过观察函数图象研究函数性质，但仍然有许多学生不能很好地用图象来解释问题。
三、重点难点重点：观察二次函数2a x y =图象，数形结合的得出它的图象特征和性质。
难点：分段讨论二次函数2a x y =随x 的增大如何变化。
四、教学过程1、复习研究函数的一般方法2．探究二次函数 2a x y = 的图象和性质画出二次函数 2x y = 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？用描点法画出二次函数2x y =的图象，选取适当的自变量的值（如形状不明时是否知道通过加密点来画图），描点连线，正确画出图象。
描点法画函数图象的一般步骤：第二步 描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步 连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来）。
数学人教版九年级上册《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计
文安县实验中学教学设计学科数学年纪九年级姓名张超教学设计方案课程名称《二次函数y=ax 2的图象和性质》教学目标一、知识技能：1、会用描点法画出二次函数2ax y =的图象；2、根据图象观察、分析归纳出二次函数2ax y = 的性质；二、过程与方法：培养学生用数形结合的思想研究二次函数y=ax 2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力。
三、情感态度价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。
渗透由特殊到一般的观点；渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力； 培养学生勇于探索创新及实事求是的科学态度.教学重点 二次函数2ax y =的图象的作法和性质教学难点 根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系问题与情景师生行为 设计意图 活动1 创设情景在研究一种函数时，它的图象和性质对我们来说非常重要。
今天我们就来结识二次函数的图象。
请同学们自己先试着画出二次函数ｙ＝ｘ２,ｙ＝-ｘ２图象。
（1）引导学生画出函数 ｙ＝ｘ２ｙ＝-ｘ２的图像。
（2）请学生展示所画的图形，肯定学生的表现，然后用直尺板演作图过程，画出规范的图像，同时指出自变量x可以取任意实数，只需要画出图像的一部分即可，而且描的点越多图像越精确。
学生们过去已熟知了画函数图象的方法：①列表、②描点、③连线。
因此在这一问题上教师不作过多提示，完全把这学过的问题交给学生。
活动2议一议：请同学们观察ｙ＝ｘ２的图象，然后分组探讨。
（1）让学生概括图像的特点，提示学生从开口方向、对称性等方面考虑。
（2）肯定学生的表现，讲解：这样的曲线通常叫做抛物线。
他有一条对称轴，抛物线于它的对称轴的交点叫做在此问题上，不需要按课本上的问题一一叠列给学生，而是尽量充分发挥学生的观察能力；再者学生已研究过正比例函数、一次做一做：（1）教师问：二次函数y=-x 2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x 2的图象有了什么变化？抛物线的顶点。
《二次函数y=ax2的图象和性质》优秀教学设计
二次函数y=ax2的图象与性质一、教学目标(一)知识与能力1.会用描点法画出二次函数y=ax2函数的图象。
2.结合y=ax2图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，及y随x的变化情况。
(二)过程与方法学生尝试去发现二次函数的图象特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法。
(三)情感、态度与价值观培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
二、教学重点、难点教学重点：1.通过列表、描点、连线画函数y=ax2图象.2.通过图象初步理解二次函数性质。
教学难点：结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及根本性质，并归纳总结出来。
三、教学过程1、创设情景引入新课〔多媒体展示〕(1)、一次函数的图象是什么形状?〔一条直线〕(2)、画函数图象的根本方法与步骤是什么?(3)、前面我们已经学习了二次函数，那二次函数的一般式怎么表示？函数的图象是研究函数的主要方法之一，因此，我们这节课就先研究最简单的二次函数y=ax2的图象与性质。
2、活动1 做一做〔多媒体展示〕例1、在同一直角坐标系中，画出以下函数的图象。
1、y=x22、 y=-x2〔每个同学观察所画函数的图象，并与同桌所画函数的图像比照，发现有什么共同点？又有什么区别?〔让同学们展开讨论〕在学生画函数图象的同时，教师可巡视指导，点出学生之缺乏。
讲评时，可以通过学生讨论、交流。
让学生发表不同的意见，达成共识。
〔用幻灯片显示在同一坐标系下的两个函数图象〕这两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。
3、活动二归纳、概括分组画函数y ＝ x 2、y=- x 2、y=2x 2、y=-2x 2的图象，由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，总结函数y=ax 2的一般性质：函数y=ax 2(a≠0)的图象是一条抛物线。
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计04
所属学科：初中数学所属课程：二次函数的图像和性质适用对象：九年级学生二次函数y=ax 2的图象和性质--------函数y=x 2的图象和性质一、教学内容分析本内容“二次函数y=ax 2的图象和性质”选自初中数学九年级上册第二十二章第1单元第2节《二次函数y=ax 2的图象和性质》，本节微课以“函数y=x 2的图象和性质”为主要片段，引导学生利用描点法画出函数y=x 2的图象，再探究函数y=x 2的图象和性质，从而为整节课二次函数y=ax 2的图象和性质的学习打下基础。
二、学情分析本节课教授的对象是九年级的学生，他们在八年级下册已经学习了一次函数的图像和性质，对于函数的研究已经有了一定的基础，会利用描点法画函数的图像，并会根据图像概括出一些基本的性质，但是二次函数的图像是一条抛物线，在图像的形状和性质方面与一次函数有所不同， 对于学生来说有一定的难度。
三、教学目标知识与技能：1、会利用描点法画出二次函数y=x 2的图像；2、会根据图像概括出二次函数y=x 2的性质。
四、教学重难点：二次函数y=x 2的图像和性质五、教学过程本节课我们学习二次函数y=ax 2的图象和性质，我们从最简单的二次函数y=x 2开始研究。
首先我们画出它的图像：1. 列表在自变量的取值上要注意：要有代表性、均匀、对称2. 描点：以x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标进行描点3. 连线：从左到右依次用光滑的曲线连接起来，并注意要向上无线伸展.它的图像是一条抛物线，关于y 轴对称，对称轴和抛物线的交点叫顶点；下面我们从以下三个方面概括二次函数y=x 2的性质：1．形状和位置：开口向上；图象关于y 轴对称图形；图像在x 轴上方（除顶点外）；2. 顶点和最值：顶点是坐标原点；当x=0时,y 的最小值为0； 2x y xO3.增减性：当x<0（即在对称轴左侧）时, y随着x的增大而减小,当x>0 （即在对称轴右侧）时，y随着x的增大而增大.以后在函数的学习当中，我们都是要从以上三个方面去探究它的性质的。
《二次函数y=ax2图像和性质》教案
《二次函数y=ax2图像和性质》教案教学目标知识与技能能够利用描点法画出函数y=±x2的图像，并根据图像认识和理解二次函数；y==±x2的性质，比较两者的异同．数学思考与问题解决1．发展学生的观察、归纳、猜测、验证的能力．2．通过观察、思考、交流等过程，得出二次函数y=ax2的性质．情感与态度让学生全身心地投入到数学活动中，能够积极与同伴合作交流，并进行探索活动，发展实践能力与创新精神．重点难点重点二次函数y=x2与y=-x2的图像特点•难点二次函数y=x2的图像特点的探索过程．教学设计—、复习引入，导入新课我们在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数的定义后，都借助图像研免了它们的性质，而上节课我们所学的二次函数的图像是什么呢？本节课我们将从最简单的二次函数y =x2入手去研究．二、自主研究，合作交流1．画二次函数y=x2的图像．回顾画函数图像的一般步骤：列表、描点、连线．（1）观察函数的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：（图像是未知的，所以应根据自变量的取值，x为任意实数，选取一些有代表性、方便计算的z值，如：几个负整数、0、几个正整数）（3)用光滑的曲线连接各点，便得到二次函数y=x2的图像．（能用直线连接吗？）2．议一议．对于二次函数的图像：（1)你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流．（2)图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？（4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5)图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．分析并总结：二次函数：y=x2的图像是抛物线．（1)抛物线的开口向上；（2)图像有最低点，最低点的坐标是（0，0)；（3)图像是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；（4)图像与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图像的最低点，坐标为（0，0)；（3)因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，：y最小=03．做一做．二次函数y=-x2的图像是什么形状？先想一想，然后画出它的图像，它与二次函数y=x2的图像有什么关系？与同伴交流．分析并总结：二次函数的图像y=-x2是抛物线．（1）抛物线的开口向下；（2)图像有最高点，最高点的坐标是（0，0)；（3)图像是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；（4)图像与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图像的最高点，坐标为（0，0)；（5)因为图像有最高点，所以函数有最大值，当x=0时，y最大=0．三、课堂小结本节课你有哪些收获？本节课你发现自己还存在哪些不足？二次函数y=ax2的图像和性质：练习：（1)教材第31页练习第1、2题．（2)已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8)．①求此抛物线的函数表达式；②判断点B（-l，-4)是否在此抛物线上；③求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．五、布置作业教材第31页习题A组、B组．。
新沪科版初中数学九年级上册21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质1公开课优质课教学设计
21．2 二次函数的图象和性质1．二次函数y＝a2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y＝a2的图象，概括出图象的特点；(重点)3．掌握形如y＝a2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a2的图象【类型一】画二次函数y＝a2的图象在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝122；②y＝22；③y ＝－122；④y＝－22根据图象回答下列问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如图所示．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝22和y ＝122的图象有最低点，函数y ＝－122和y ＝－22的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y ＝a 2(a ≠0)的图象时，的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y ＝a 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝a 2(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝a 2与直线y ＝a ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a 、b 的符号确定．当a >0时，抛物线y ＝a 2的开口向上．∵ab >0，∴b>0∴直线y＝a＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝a2的开口向下．∵ab>0，∴b<0∴直线y＝a＋b过第二、三、四象限．故选D方法总结：本例综合考查了一次函数y＝a＋b和二次函数y＝a2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y＝a2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝a2；②y＝b2；③y＝c2；④y＝d2，则a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>c．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝a2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y＝a2(a≠0)与直线y＝2－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝a2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．解析：直线与二次函数y＝a2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2－3与二次函数y＝a2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴错误!∴错误!(2)由(1)知二次函数为y＝－2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－2＝2－3，解得1＝1，2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作A⊥轴，BD⊥轴，垂足分别为、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，M＝1，D＝1＋3＝4，BD＝9，A＝1，∴S△AMB＝S梯形ABD－S△AM－S△BDM＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y＝a2的性质【类型一】二次函数y＝a2的增减性作出函数y＝－2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(1，y1)，B(2，y2)，使2<1<0，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点(3，y3)，D(4，y4)，使3＞4＞0，试比较y3与y4的大小．解析：根据画出的函数图象确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y2；(2)由图象可知y3<y4方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数y＝a2的最值已知函数y＝(1－n)n2＋n－4是关于的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当为何值时，y随的增大而增大？解：∵函数y＝(1－n)n2＋n－4是关于的二次函数，∴错误!解得n＝2或n＝－3∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1∴n＝－3∴当>0时，y随的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝a2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的；当a>0时，抛物线有最低点；当a<0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n)．探究点五：利用二次函数y＝a2的图象和性质解题【类型一】 利用二次函数y ＝a 2的性质解题当为何值时，函数y ＝2－的图象是开口向下的抛物线？当为何值时，y 随的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得应满足错误!解得＝－1当<0时，y 随的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0方法总结：本题主要考查函数y ＝a 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0当a <0且<0时，y 随的增大而增大．【类型二】 二次函数y ＝a 2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB的宽为20，如果水位上升3，水面D 的宽为10(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280(桥长忽略不计)．货车正以每小时40的速度开往乙地，当行驶了1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时025的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在D 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝a 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面D 的距离为h ，则D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴错误!解得错误!∴抛物线的函数表达式为y ＝－1252；(2)水位由D 处涨到最高点O 的时间为h ÷025＝1÷025＝4(h)，货车按原速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到/h ，即当4＋40×1＝280时，＝60∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60/h方法总结：一般地，求二次函数y ＝a 2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出D到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y＝a2的图象和性质错误!教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．。
2017年九年级数学上册21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质教案2新沪科版
21.2 二次函数的图象和性质1.二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.解:分别填表,再画出它们的图象.x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y=x2…8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …x …-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2…8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
二次函数y=ax2的图象与性质教学设计
精讲点拨例、已知y =(m+1)x是二次函数且其图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。
（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?
自我测评
1、函数y=2x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对
称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y 随x的增大而。
2、函数y=-3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x 的增大而。
3、已知 y=（k+2）x k2+k-4是二次函数，且当x>0时，y 随x增大而增大，则k=；
达标训练1、抛物线y=-3x2，开口，对称轴是，当x时,y随着x的增大而减小，当x时，函数y有最值，此时y＝。
2、观察函数y=x2的图象，则下列判断中错误的是（）
A、开口向上
B、对称轴是y轴
C、当x＞0时，y随x的增大而增大
D、当x<0时，y随x的增大而增大
3、已知函数是二次函数，且开口向上。
求：m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律
小结提升通过本节课的学习，你收获了什么？
课后作业1、说出下抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1）y=2x2 (4)y=-1|3x2
2、抛物线y=-3x2，开口，对称轴是，顶点坐标，当x时,y随着x的增大而减小。
3、已知 y=（k+2）x k2-3k-2是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，则k=；
2
m m
+
()()
222
12
m m
y m x m x
-+
=-+-
y
x
o。
【教学设计】二次函数y=ax2的图像和性质
题目：《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计年级学科：九年级数学学校：青岛西海岸新区信阳初级中学姓名：姜德法《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计一、教学内容分析《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节的内容，在学生已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是今后学习《确定二次函数的表达式》、《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程》的预备知识，也是学生高中阶段数学学习的基础知识，因此这一节在教材中起着承上启下的作用。
本节围绕形如y=ax2（a≠0）图像和性质的研究，是对九下第二章第二节第1,2课时的一个整合，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
二、学情分析1.知识与能力：学生会建立函数模型，并掌握了二次函数的相关概念以及探究一次函数、反比例函数的图像与性质的方法，且有了一定的观察、分析、探究、归纳的能力。
2.活动经验：学生具备了用描点法画一次函数、反比例函数图像并根据图像探究函数性质的活动经验。
3.年龄、心理发展特点：九年级学生大约十五六岁，思维比较活跃，善于独立思考，乐于动手操作，勇于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解。
三、教学目标1、知识目标：会用描点法画出二次函数y=ax2的图像，能根据图像观察、分析出二次函数y=ax2的性质。
2、能力目标：通过函数图像进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中；提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力和分析问题的能力。
3、情感目标：通过作函数图像，认识数形结合的数学思想方法，体会数学中的特殊与一般的辨证关系；培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。
四、教学重难点教学重点：画出二次函数y=ax2的图像，根据图像观察、分析出二次函数y=ax2的性质，尤其以抛物线的对称性更为重要。
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21.2.1二次函数y=ax²的图象与性质
教学目标：
1.会用描点法画出y=ax²的图像，并能通过图像认识二次函数y=ax²的性质。
2.会确定二次函数y=ax²图像的顶点坐标，开口方向和对称轴。
3.通过学习二次函数y=ax²的图像和性质，体会从特殊到一般的思想。
教学重点：画y=ax²的图像，通过观察图像总结这类函数图像的特点与性质。
教学难点：会选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像。
教学过程
导入：我们知道一次函数的图像是一条直线，那么二次函数的图像是什么呢？怎么去画它呢？
自学指导：看课本第5-8页
1.用描点法画函数图像的一般步骤？
2.画二次图像应注意什么？
3.总结二次函数y=ax²图像的特点和性质。
当堂训练：
1）、看例1的图像，完成第6页观察。
2）、画出 y=-x2 的图象，并仿照例1总结它的特点。
作业巩固：
1.填写第9页的表格。
2.完成第10的思考。
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1.顶点都在原点;
2.当a>0时，开口向上；
3.当a<0时，开口向下．
4.还可以发现｜a｜越大，则开口越小；
｜a｜越小，则开口越大。