2013秋8年级上册 第12章《全等三角形》 同步练习及答案(12.3)
八年级数学上学期《第12章全等三角形》测试卷解析版
八年级数学上学期《第12章全等三角形》测试卷解析版一．选择题（共12小题）1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、两个图形能够完全重合，故本选项正确．B、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2．下列说法中，正确的是（）A．全等图形是形状相同的两个图形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形C．等边三角形都是全等三角形D．全等图形的周长、面积都相等【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、全等图形是指形状相同、大小相等的两个图形，故本选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故本选项错误；C、等边三角形的形状相同、但是大小不一定相等，所以不一定都是全等三角形，故本选项错误；D、全等图形的周长、面积相等，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查的是全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．所谓完全重合是指形状相同，大小相等．熟记定义是解题的关键．同时考查了全等图形的性质：全等图形的周长、面积相等．3．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角以及对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，AC＝CA，∠B＝∠D，BC＝AD，故只有选项D，BC＝DC错误．故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边相等是解题关键．4．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠EDC＝70°，则∠B的度数等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠ADE，进而利用已知得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ADB，∴∠BDA＝∠ADE，∵∠EDC＝70°，∴∠BDA＝∠ADE＝×（180°﹣70°）＝55°．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角和对应边是解题关键．5．如图，∠C＝∠D，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（）A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAB＝∠DBA D．∠ABC＝∠BAD 【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B、根据ASA即可判断△ACO≌△BDO，得OC＝OD，OA＝OB，再用SAS可得三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D、根据AAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．6．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小周书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故选：A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则AD的长为（）A．5.5B．4C．4.5D．3【分析】证明△ABC≌△EFD可得DE＝AC＝10，根据AD＝AE﹣DE可求解．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠A＝∠E．又AB＝EF，∠B＝∠F，∴△ABC≌△EFD（ASA）．∴AC＝DE＝10．∴AD＝AE﹣DE＝10﹣7＝3．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．8．如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED ＝90°，AE＝DE，则BE＝（）A．13B．8C．6D．5【分析】证明△ABE≌△ECD得到CE值，则BE可求．【解答】解：在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质．9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7cm，AC ＝3cm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．1cm D．2cm【分析】根据垂直的定义得到∠C＝∠ADE＝90°，利用AAS定理证明△ACE≌△ADE，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】解：∵AC⊥BC，ED⊥AB，∴∠C＝∠ADE＝90°，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴AD＝AC＝3cm，∴BD＝AB﹣AD＝4cm，故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）A．1；SAS B．2；ASA C．3；ASA D．4；SAS【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．11．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5B．7C．14D．28【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝2，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，∴DE＝CD＝2，∵AB＝7，∴△ABD的面积是：＝＝7，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE ＝CD是解此题的关键．12．有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条角平分线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．故选：A．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二．填空题（共4小题）13．如图，△ABD≌△ACE，AD＝8cm，AB＝3cm，则BE＝5cm．【分析】由△ABD≌△ACE可得AD＝AE，AC＝AB，因为BE＝AE﹣AB，即可AE的长度．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AC＝AB，又AD＝8cm，AB＝3cm，∵BE＝AE﹣AB＝8﹣3＝5，∴BE＝5cm．故填5．【点评】本题考查了全等三角形的性质，找清对应边，本题比较简单．14．如图，已知△ABC≌△DEF，A和D是对应顶点，若∠A＝80°，∠B＝65°，则∠F＝35°．【分析】利用三角形内角和定理可得∠ACB，再根据全等三角形的性质可得∠F＝∠ACB ＝35°．【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝35°，故答案为：＝35．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．15．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是点E，F，若PE＝3．则PF＝3．【分析】根据角平分线的性质直接写出结论即可．【解答】解：∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵PE＝3，∴PF＝PE＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相同．16．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置．测量数据如图所示，则升旗台的高度是69cm．【分析】设升旗台的高度是zcm，AC＝xcm，BC＝ycm．构建方程组即可解决问题．【解答】解：设升旗台的高度是zcm，AC＝xcm，BC＝ycm．由题意：，①+②可得，2z＝138，∴z＝69，故答案为69．【点评】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题）17．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【分析】利用尺规作∠EAC＝∠ACB即可，先证明△ACD≌△CAB，再证明CD∥AB即可．【解答】解：图象如图所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．18．如图，已知AB，CD相交于O，△ACO≌△BDO，AE＝BF，求证：CE＝FD．【分析】首先根据△ACO≌△BDO得到CO＝OD，AO＝OB，进而得到OE＝OF，再证明△COE≌△DOF，即可得到结论．【解答】解：∵△ACO≌△BDO，∴CO＝OD，AO＝OB，∵AE＝BF，∴OE＝OF，∴△COE≌△DOF，∴CE＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．求证：BD＝CE．【分析】根据垂直的定义可得∠BDC＝∠CEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB，再有公共边BC，利用AAS可得△BCD≌△CBE，据此可得BD＝CE．【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD和△CBE中，∠BDC＝∠CEB，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△BCD≌△CBE（AAS），∴BD＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．20．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE ≌Rt△BEC．【分析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．21．已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD．求证：点F是CD的中点．【分析】连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AD，根据AF⊥CD，最后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】证明：如图，连接AC、AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∵AF⊥CD，∴CF＝FD（等腰三角形三线合一）．∴点F是CD的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．22．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°，又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．23．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝CD，∠AFE＝∠BCD．试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）BF∥EC．【分析】（1）由角边角可证明△ABC和△DEF全等；（2）证明△BFC和△ECF全等，可得∠BFC＝∠ECF，继而可得BF∥EC．【解答】证：（1）∵AB∥DE，∴∠A＝∠D∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF∵∠AFE＝∠BCD，∴∠DFE＝∠ACB在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）（2）∵△ABC≌△DEF∴BC＝EF在△BCF和△EFC中，∴△BCF≌△EFC（SAS）∴∠BFC＝∠ECF∴BF∥EC【点评】本题主要考察三角形全等，熟练掌握三角形全等证明条件是解答本题的关键．24．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）DM⊥AM．【分析】（1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME＝MC，再求出ME＝MB，从而证明AM平分∠DAB；（2）利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3＝90°，所以两直线垂直【解答】（1）AM平分∠DAB．证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵DM平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC＝MB，∴ME＝MB，∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM⊥AM．证明：∵∠B＝∠C＝90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB，∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠1＝∠CDA，∠3＝∠DAB（角平分线定义）∴2∠1+2∠3＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AMD＝90度．即DM⊥AM．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明；（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明．【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△FCD和Rt△BED中，，∴Rt△FCD≌Rt△BED，∴CF＝EB；（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．。
2013年人教版八年级上第12章全等三角形单元检测题及答案
第十二章 全等三角形检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（ ）A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等2. 如图所示，错误！未找到引用源。
分别表示△ABC 的三边长，则下面与△错误！未找到引用源。
一定全等的三角形是（ ）A BC D3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B =∠C ，下列不正确的等式是（ ） A .AB =AC B.∠BAE =∠CAD C.BE =DC D.AD =DE4. 在△ABC 和△A B C '''中,AB =A B '',∠B =∠B ',补充条件后仍不一定能保证 △ABC ≌△A B C ''',则补充的这个条件是( )A ．BC =BC '' B ．∠A =∠A 'C ．AC =A C ''D ．∠C =∠C '5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA第3题图第5题图第2题图第6题图6. 要测量河两岸相对的两点错误！未找到引用源。
的距离，先在错误！未找到引用源。
的垂线错误！未找到引用源。
上取两点错误！未找到引用源。
，使错误！未找到引用源。
，再作出错误！未找到引用源。
的垂线错误！未找到引用源。
，使错误！未找到引用源。
在一条直线上（如图所示），可以说明△错误！未找到引用源。
≌△错误！未找到引用源。
，得错误！未找到引用源。
，因此测得错误！未找到引用源。
的长就是错误！未找到引用源。
的长，判定△错误！未找到引用源。
≌△错误！未找到引用源。
人教版数学八年级上册 第12章 12.1--12.3随堂测试题含答案
12.1全等三角形一．选择题1．已知△ABC≌△A1B1C1，若∠C＝60°，则∠C1的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．120°2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．3．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．△ABD和△CDB的周长相等C．AD＝BC D．△ABD和△CDB的面积相等4．如图，△ABN≌△ACM，AB＝AC，BN＝CM，∠B＝50°，∠ANC＝120°，则∠MAC 的度数等于（）A．120°B．70°C．60°D．50°5．下列判断正确的个数是（）（1）能够完全重合的两个图形全等；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形对应边相等．A．1个B．2个C．3个D．4个6．若△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠F的度数是（）A．80°B．40°C．60°D．120°7．如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°8．如图，△ABC≌△BAD，A与B，C与D是对应点，若AB＝4cm，BD＝4.5cm，AD＝1.5cm，则BC的长为（）A．4cm B．4.5cm C．1.5cm D．不能确定9．如果两个图形全等，则这个图形必定是（）A．形状相同，但大小不同B．形状大小均相同C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同10．如图，△ABC≌△DEF，EF＝4，则BC的长为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题11．如图，△ABC≌△ADE．若∠B＝45°，∠C＝30°，∠BAD＝40°，则∠BAE的度数为°．12．如图，△ABC≌△DEF，F A＝1.1，AC＝3.3，则AD＝．13．如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是30cm，DE＝12cm，EF＝13cm，则AC＝cm．14．如图，△ABC≌△DEF，点A、D、B、E在同一直线上，若△DEF的周长是26cm，AC ＝7cm，BC＝10cm，BE＝3cm，则BD＝cm．15．如图，若△ABC≌△A1B1C1，点A与A1对应，B与B1对应，∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝°．三．解答题16．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．（1）求证：BD＝DE+CE；（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE．17．如图，点B，M，N，C在同一直线上，且△ABM≌△ACN，∠B＝20°，∠CAN＝30°，求∠MAN的度数．18．如图，指出图中的全等图形．19．国昌实验中学八年级合作学习小组的同学学习了全等三角形的概念后，聪明的正宇同学代表本小组给其他小组内的同学出了这样一个问题：在直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（﹣1，3），若有一个直角三角形与Rt△ABC全等，且它们只有一条公共直角边．这样的直角三角形有几个？若有，请写出第三个顶点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1＝∠C＝60°，故选：B．2．【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；故选：D．3．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴∠ABD＝∠CDB，选项说法错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，选项说法正确；C、∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，选项说法正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，选项说法正确；故选：A．4．【解答】解：∵∠ANC＝120°，∴∠ANB＝180°﹣120°＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BAN＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∵△ABN≌△ACM，∴∠BAN＝∠MAC＝70°．故选：B．5．【解答】解：（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；（3）根据“ASA”或“AAS”定理，有两角和一边对应相等的两个三角形，比如一边是两角的夹边和一角对边相等，则这两个三角形就不全等，故原说法错误；（4）全等三角形对应边相等，正确．所以有2个判断正确．故选：B．6．【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C＝60°，故选：C．7．【解答】解：△ABC中，∠A＝65°，∠B＝55°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∵两个三角形全等，又∵∠A＝∠A′＝65°，AB＝A′C′＝5cm∴点C的对应点是B′，∴x＝∠B′＝∠C＝60°．故选：D．8．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A与B，C与D是对应点，∴BC＝AD．又∵AD＝1.5cm，∴BC＝1.5cm．故选：C．9．【解答】解：如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同．故选：B．10．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，EF＝4，∴BC＝EF＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝45°，∠C＝∠E＝30°，∴∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．∵∠BAD＝40°，∴∠BAE＝105°﹣40°＝65°．故答案为：65．12．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∴AD＝FC，∵F A＝1.1，AC＝3.3，∴AD＝FC＝AC﹣F A＝3.3﹣1.1＝2.2，故答案为：2.2．13．【解答】解：∵△DEF周长是30cm，DE＝12cm，EF＝13cm，∴DF＝5cm，∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF＝5cm，故答案为：5．14．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝FD，BC＝EF．∴DE＝26﹣7﹣10＝9．∴BD＝DE﹣BE＝9﹣3＝6cm．故答案为：6．15．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1＝∠C，又∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠C1＝∠C＝30°．故答案为：30．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：∵△BAD≌△ACE，∴AD＝CE，BD＝AE，∵A，D，E三点在同一直线上，∴AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE；（2）解：假如BD∥CE，则∠BDE＝∠E，∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB＝∠E，∴∠ADB＝∠BDE，又∵∠ADB+∠BDE＝180°，∴∠ADB＝∠BDE＝90°，∴当∠ADB＝∠E＝90°时，BD∥CE．17．【解答】解：∵△ABM≌△ACN，∠B＝20°，∠CAN＝30°，∴∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，∴∠AMN＝30°+20°＝50°，∴∠ANM＝∠AMN＝50°，∴∠MAN＝180°﹣50°﹣50°＝80°．18．【解答】解：⑤和⑨是全等形；故答案为：⑤和⑨．19．【解答】解：如图：与Rt△ABC全等，且它们只有一条公共直角边的三角形有：△ABD、△ABE、△BCF、△BCE、△BCG、△ABH共6个．第三个顶点点D的坐标（﹣1，﹣3）点E的坐标（﹣3，3），点F的坐标（1，0），点G的坐标（1，3），点H的坐标（﹣3，﹣3）．12.2 全等三角形的判定一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知AB＝AD，若利用SSS证明△ABC≌△ADC，则需要添加的条件是()A．AC＝ACB．∠B＝∠DC．BC＝DCD．AB＝CD2. 如图，已知∠1＝∠2，欲证△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选项是()A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠CC．DB＝DC D．AB＝AC3. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．∠A＝∠D D．BF＝EC4. 如图，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是()A．BD＝CD，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝CD5. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD 的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD6. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D7. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC9. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 6二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________．(只需写一个，不添加辅助线)12. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．14. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D 处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．15. 如图，小明和小丽为了测量池塘两端A，B两点之间的距离，先取一个可以直接到达点A和点B的点C，沿AC方向走到点D处，使CD＝AC；再用同样的方法确定点E，使CE＝BC.若量得DE的长为60米，则池塘两端A，B两点之间的距离是______米．16. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．三、解答题（本大题共4道小题）17. 已知：如图，点C，F在AD上，AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D.求证：AB ＝DE.18. 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.(1)如图K－10－13①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.19. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？20. 在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD 的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF.(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图(a).①请你将图形补充完整;②线段BF，AD所在直线的位置关系为，线段BF，AD的数量关系为.(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图(b)，在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明;如果不成立，请说明理由.人教版 八年级数学 12.2 全等三角形的判定培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C[解析] 当添加条件A 时，可用“ASA”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件B 时，可用“AAS”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件D 时，可用“SAS”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件C 时，不能证明△ABD ≌△ACD.3. 【答案】C[解析] 选项A 中添加AB ＝DE 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B 中添加AC ＝DF 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意； 选项C 中添加∠A ＝∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意； 选项D 中添加BF ＝EC 可得出BC ＝EF ，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.4. 【答案】D[解析] A ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)，故本选项不符合题意； B ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS)，故本选项不符合题意； C ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(AAS)，故本选项不符合题意；D ．根据∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，BD ＝CD 不能推出△ABD ≌△ACD(SSA)，故本选项符合题意．故选D.5. 【答案】C [解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.6. 【答案】C7. 【答案】A[解析] 由题意可得，要用“SSS”判定△ABC 和△FED 全等，需要AB ＝FE ，若添加①AE ＝FB ，则可得AE ＋BE ＝FB ＋BE ，即AB ＝FE ，故①可以；若添加AB ＝FE ，则可直接用“SSS”证明两三角形全等，故②可以；而③④都不可以．8. 【答案】D [解析] 在△AFD 和△AFB 中，∴△AFD ≌△AFB. ∴∠ADF=∠ABF. ∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD ∥BC.9. 【答案】A [解析] AB=b ，AB 是斜边，小惠作的斜边长是b 符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.10. 【答案】B【解析】如解图，连接OC ，由已知条件易得∠A ＝∠OCE ，CO＝AO ，∠DOE ＝∠COA ，∴∠DOE －∠COD ＝∠COA －∠COD ，即∠AOD ＝∠COE ，∴△AOD ≌△COE (ASA)，∴AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝CD ＋AD ＝AC＝22AB ＝3，故选B.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AD ＝CD [解析] 因为AB ＝BC ，BD ＝BD ，所以：(1)当AD ＝CD 时，△ABD ≌△CBD(SSS)； (2)当∠ABD ＝∠CBD 时，△ABD ≌△CBD(SAS)； (3)当∠A ＝∠C ＝90°时，Rt △ABD ≌Rt △CBD(HL)．12. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC ＝∠DCB ，且BC ＝CB ，∴若添加①∠A ＝∠D ，则可由“AAS”判定△ABC ≌△DCB ； 若添加②AC ＝DB ，则属于“SSA”，不能判定△ABC ≌△DCB ； 若添加③AB ＝DC ，则可由“SAS”判定△ABC ≌△DCB.13. 【答案】2[解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)． ∴AD ＝CF ＝3.∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.14. 【答案】17[解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ≌△EDC(ASA)．∴AB ＝ED ＝17米．15. 【答案】60[解析] 在△ACB 和△DCE 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ACB ≌△DCE(SAS)．∴DE ＝AB. ∵DE ＝60米，∴AB ＝60米．16. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：∵AF ＝DC ，∴AC ＝DF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(AAS)．∴AB ＝DE.18. 【答案】证明：由作法得OD ＝OC ＝O′D′＝O′C′，CD ＝C′D′.在△OCD 和△O′C′D′中，⎩⎨⎧OC ＝O′C′，OD ＝O′D′，CD ＝C′D′，∴△OCD ≌△O′C′D′. ∴∠COD ＝∠C′O′D′， 即∠A′O′B′＝∠AOB.19. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．20. 【答案】解:(1)①如图所示.②∵CD ⊥EF ，∴∠DCF=90°.∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCF. ∴∠ACD=∠BCF.又∵AC=BC ，CD=CF ，∴△ACD ≌△BCF ，∴AD=BF ，∠BAC=∠FBC ，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF ⊥AD.故答案为:互相垂直，相等. (2)成立.证明:∵CD ⊥EF ，∴∠DCF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCF=∠ACB. ∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD ，即∠BCF=∠ACD.又∵AC=BC ，CD=CF ，∴△ACD ≌△BCF.∴AD=BF ，∠BAC=∠FBC.∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF ⊥AD.12.3角平分线的性质一．选择题1．下列作图语句正确的是（）A．以点O为顶点作∠AOBB．延长线段AB到C，使AC＝BCC．作∠AOB，使∠AOB＝∠αD．以A为圆心作弧2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．43．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是（）A．10B．15C．20D．304．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△P AB ＝S，则满足此条件的点P（）△PCDA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）6．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP＝4，则PQ的最小值为（）A．B．4C．2D．7．如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM＝3，N是OB上一个动点，线段PN 的最小值是（）A．2B．3C．4D．58．如图，在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D；如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于（）A．4B．6C．8D．109．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若DP＝6，则PE的长为（）A．5B．6C．7D．810．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，王玲同学根据给定的条件写出了四个结论：①AP⊥BP；②点P到AD，BC的距离相等；③PD＝PC；④AD+BC＝AB，其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是．12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长为．13．如图，已知：四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ACB ＝72°，∠ABC ＝50°，并且∠BAD +∠CAD ＝180°，那么∠BDC 的度数为 ．14．如图，已知△ABC 的三边AB 、AC 、BC 的长分别为20、30、40，其三条角平分线交于点O ，则S △AOB ：S △AOC ：S △BOC ＝ ．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若AB ＝10，BC ＝8，BD ＝5，则△ABD 的面积为 ．三．解答题16．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝60°，∠CAB 的平分线AP 与∠CBA 的平分线BP 相交于点P ，连接CP ．（1）求证：CP 平分∠ACB ；（2）若AP ＝4，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积．17．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；＝15，求△ABE的面积．（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD19．知识储备：＝BCAD．（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC比例的性质：若，则．知识运用：（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；知识延展：（3）如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误；B、延长线段AB到C，则AC＞BC，即AC＝BC不可能，错误；C、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确；D、画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误．故选：C．2．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，＝BCEF＝×5×2＝5，∴S△BCE故选：C．3．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，故选：B．4．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．故选：D ．5．【解答】解：作∠E 的平分线，可得点P 到AB 和CD 的距离相等，因为AB ＝CD ，所以此时点P 满足S △P AB ＝S △PCD ．组成∠E 的角平分线和外角平分线所在的直线（E 点除外）故选：D ．6．【解答】解：过点P 作PQ ⊥OM ，垂足为Q ，则PQ 为最短距离，∵OP 平分∠MON ，P A ⊥ON ，PQ ⊥OM ，∴P A ＝PQ ，∵∠AOP ＝∠MON ＝30°，∴OP ＝2，∴PQ ＝2，故选：C ．7．【解答】解：由垂线段最短可得PN ⊥OB 时，PN 最短，∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA ，∴PN ＝PM ＝3，即线段PN 的最小值是3．故选：B ．8．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝CD ＝2，∴S △ABD ＝ABDE ＝×8×2＝8．故选：C ．9．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PE＝PD，又PD＝6，∴PE＝PD＝6．故选：B．10．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAP＝∠P AB，∠ABP＝∠PBC，∴∠P AB+∠ABP＝90°，∴AP⊥BP，故结论①正确；∵AP平分∠DAB，∴点P到AD，AB的距离相等，∵BP平分∠ABC，∴点P到AB，BC的距离相等，∴点P到AD，BC的距离相等，故结论②正确；如图，延长AP，与BC的延长线交于点E．在△APB和△EPB中，，∴△APB≌△EPB（ASA），∴AP＝EP．∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECP，∠DAP＝∠E．在△APD和△EPC中，，∴△APD≌△EPC（AAS），∴PD＝PC，AD＝EC，故结论③正确；∵AP＝EP，BP⊥AE，∴BP是AE的垂直平分线，∴AB＝BE，∵BE＝EC+BC，AD＝EC，∴AD+BC＝AB，故结论④正确；故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD＝5，AC＝4，∠C＝90°，∴CD＝＝＝3，∵AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝3．故答案为：3．12．【解答】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∴S△ABC ＝S△ABD+S△ACD＝ABDE+ACDF，∵△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，∴×20DE+×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，解得DE＝2cm．故答案为：2cm．13．【解答】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中，，∴△BDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°∴∠CAD＝∠EAD，∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，在Rt△ADE与Rt△ADG中，，∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，∴DG＝DF．在Rt△CDG与Rt△CDF中，，∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL）∴CD为∠ACF的平分线∠ACB＝72°∴∠DCA＝54°，△ABC中，∵∠ACB＝72°，∠ABC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣72°﹣50°＝58°，∴∠DAC＝＝61°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣61°﹣54°＝65°，∴∠BDC＝180°﹣25°﹣54°﹣72°＝29°．故答案为：29°．14．【解答】解：先过点O 作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC 于点D 、E 、F ， ∵点O 是三条角平分线的交点，∴OD ＝OE ＝OF ，∴S △AOB ：S △AOC ：S △BOC ＝AB ：AC ：BC ＝20：30：40＝2：3：4．故答案为：2：3：4．15．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BC ＝8，BD ＝5，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣5＝3，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，∴△ABD 的面积＝ABDE ＝×10×3＝15．故答案为：15．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：过点P 作PD ⊥AB 于D ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥AC 于F ， 则PD ，PE ，PF 分别是P 到AB ，BC ，CA 的距离，∵P 是△ABC 角平分线的交点，∴PD ＝PE ＝PF ，∴CP平分∠ACB；（2）解：∵∠CAB＝60°，∴∠P AB＝30°，在Rt△P AD中，P A＝4，∴PD＝2，∴S△ABC ＝S△APB+S△BPC+S△CP A＝ABPD+BCPE+CAPF＝（AB+BC+CA）PD＝×20×2＝20．17．【解答】证明：过E点作EF⊥AB于F，如图，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，∴EC＝EF，∵E是CD的中点，∴ED＝EC，∴EF＝ED，而EF⊥AB，ED⊥AD，∴AE平分∠DAB．18．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S＝15，△ACD∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．19．【解答】2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，∵，，∴，∵，，∴，∴，3．证明：由（1）知，∴，∵AB+AE＝BC+CE，∴，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．。
八年级数学上册《第十二章全等三角形》练习题-带答案(人教版)
八年级数学上册《第十二章全等三角形》练习题-带答案(人教版)姓名班级学号成绩一、选择题：1．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 2．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均错误3．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A＋∠ABD＝∠C＋∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC4．如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，要判定△ABC≌△ADC，还需要补充的条件不能是（）A．AB=AD，∠1=∠2，B．AB=AD，∠3=∠4C ．∠1=∠2，∠3=∠4D ．∠1=∠2， ∠B=∠D5．如图，AD 是ABC 的中线，//CE AB 交AD 的延长于点E ，AB=5，AC=7，则AD 的取值可能是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．126．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC||AB ，AB=5，BD=1，则CF 的长度为（ ）A ．2B ．2.5C ．4D ．57．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．208．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，△AEF 的边EF 过点C ，且AE=EF ，AB ∥EF ，AD 平分∠BAE ，CE=3，AB=13，则CF=( )A ．10B ．8C ．7D ．6二、填空题： 9．如图，在 ACB 中 ACB 90︒∠= ， AC BC = 点 C 的坐标为 ()2,0- ，点 A 的坐标为 ()8,3- ，点 B 的坐标是 .10．如图，在ABC 中45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点8AC =cm ，则线段BF 的长度为 ．11．如图，D 为Rt △ABC 中斜边BC 上的一点，且BD=AB ，过D 作BC 的垂线，交AC 于E ，若AE=12cm ，则DE 的长为 cm ．12．如图，在△ABC 中，点M 、N 是∠ABC 与∠ACB 三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN 的度数是 .三、解答题：13．已知，如图，∠C ＝∠D ＝90°，E 是CD 的中点，AE 平分∠DAB.求证：BE 平分∠ABC.14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C,D,使BC=CD,再画出BF 的垂线DE,使E 与A,C 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长。
八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版
《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
人教版八年级数学上：第12章《全等三角形》单元测试(含答案)(含答案)
第12章全等三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．55．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣29．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．25．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．第12章全等三角形参考答案一、选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF=AC=8cm，故选C．2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．3．（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．综上所述，D选项的所走的线路最长．故选：D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．在△AKC和△CHA中，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4．∴KC=4．∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．故选：C．5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选：C．6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【解答】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即=，∴y=﹣．故选：A．8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故选：A．9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ ，∵AC 是∠BCD 的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ ，四边形PCQE 是正方形，在△EPM 和△EQN 中，，∴△EPM ≌△EQN （ASA ）∴S △EQN =S △EPM ，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积， ∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC=a ，∵EC=2AE ，∴EC=a ，∴EP=PC=a ，∴正方形PCQE 的面积=a ×a=a 2， ∴四边形EMCN 的面积=a 2，故选：D．二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．∴cos∠ECF=．∵∠E CF=30°，CF=8．∴CF=CF•cos30°=8×=4；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵在△ABF和△DEC中∴△ABF≌△DEC （SAS）；（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠ECF，∴BF∥EC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠CEF=90°，∴四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．∴∠ACD=∠BCF，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴AD=BF同理：△CBD≌△CAE（SAS）∴BD=AE∴AE+BF=BD+AD=AB；（2）BF﹣AE=AB，如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；（3）AE﹣BF=AB，如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．12．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．【解答】证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，由旋转可知：CP=CE，BP=BD，∴CA﹣CE=CB﹣CP，即AE=BP，∴AE=BD．又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB；（2）成立，理由如下：连接AE，则△AEC≌△BCP，∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，∵BP=BD，∴BD=AE，∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，∴∠OAE=∠OBD，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB，②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：解法一：当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，∴∠DEC=∠OCE=45°+α．设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，解得：α+β=45°，∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：当AB=DE时，四边形AEBD为矩形则∠DBE=90°=∠DBP，∴点P落在线段BE上．∵△ECP为等腰直角三角形，∴∠EPC=45°，∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4，∴AC=2AO=8．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD．（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，解得：x=45，答：这个班有45名学生．23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．25．（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，即∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC与△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（ASA），∴AF=CG；（2）延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，在△ADE与△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CG，CH平分AB，∴DG=BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【解答】（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH，在△ABH与△ACD中，∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．。
第12章《全等三角形》单元测试题卷(含答案)
第12章全等三角形单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法错误的是（）A．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D第2题第3题第5题第7题3．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC4．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（）A．一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B．两人都取6cm的木条C．两人都取8cm的木条D．B、C两种取法都可以5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）A．5对B． 6对C． 7对D． 8对6．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等．A．1个B． 2个C． 3个D． 4个7．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A．B． 4 C．D． 58．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD与△ADC的面积比是（）A．1：1 B． 3：4 C． 4：3 D．不能确定第8题第9题第12题9．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的和为（）A．5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm10．已知P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_____P 点到∠AOB两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定二、填空题（每小题3分，共24分）11．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=．12．如图，∠1=∠2，CD=BD，可证△ABD≌△ACD，则依据是_________。
人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元练习题(含答案)
第十二章《全等三角形》单元练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A． 4B． 3C． 6D． 52.如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等3.如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（）A．小于CDB．大于CDC．等于CDD．不能确定4.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A． 40°B． 35°C． 30°D． 25°5.已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠BDCB．∠ACO=∠BCOC．CD平分∠ACD和∠ADBD．AB平分∠CAD和∠CBD6.如图所示，△ABC≌△DEC，则边AB的对应边是（）A．DEB．DCC．ECD．BC7.如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（）A．仅①B．仅①③C．仅①③④D．仅①②③④8.△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（）.A． 110°B． 120°C． 130°D． 140°二、填空题9.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是.10.如图：已知∠1=∠2，要根据SAS判定△ABD≌△ACD，则需要补充的条件为.11.如图，若D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 ___________．12.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有________个．①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等．13.如图，△ABC中，AB=AC，AE=CF，BE=AF，则∠E=________，∠CAF=__________．14.如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要用SAS判定△ABC≌△ADE，可补充的条件是.15.如图，在△ABD和△CDB中，AD=CB，AB、CD相交于点O，请你补充一个条件，使得△ABD≌△CDB．你补充的条件是________________.16.如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是____________．三、解答题(共5小题,每小题分,共0分)17.已知△ABC≌△DFE，∠A=100°，∠B=50°，DF=12cm，求∠E的度数及AB的长．18.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．19.如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？20.如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．21.如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．第十二章《全等三角形》单元练习题答案解析1.【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故选B．2.【答案】D【解析】已知有点到∠BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要满足∠1=∠2，须有DE=DF，于是答案可得．3.【答案】A【解析】如图，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE、PF分别为点P到∠AOB两边的距离，∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC+PD，∴PE+PF＜CD，即点P到∠AOB两边距离之和小于CD．故选A．4.【答案】B【解析】∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，=70°-35°，=35°．故选B.5.【答案】A【解析】在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD，∴∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠BDC，∴故选项B、C、D不符合要求；根据已知不能推出∠ACD=∠BDC，故本选项正确；故选A．6.【答案】A【解析】根据全等三角形中互相重合的边是对应边，则可得到结论.7.【答案】D【解析】∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴AE=ED，①成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠D，又∠DEC+∠D=90°，∴∠DEC+∠ABE=90°，即∠AED=90°，∴AE⊥DE，②成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴AB=EC，BE=CD，又BC=BE+EC，∴BC=AB+CD，③成立；∵∠B+∠C=180°，∴AB∥DC，④成立，故选D．8.【答案】A【解析】∵O到三角形三边距离相等，∴AO，BO，CO都是三角形的角平分线，∴有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180-40=140，∴∠OBC+∠OCB=70，∴∠BOC=180-70=110°．9.【答案】全等三角形的对应角相等【解析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，利用全等三角形的对应角相等，得到∠A′O′B′=∠AOB.10.【答案】BD=CD【解析】如图，∵在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，AD=AD，∴添加BD=CD时，可以根据SAS判定△ABD≌△ACD，故答案是BD=CD．11.【答案】AB=AC【解析】由题中点定义可知BD=CD，图中公共边AD=AD，要想用SSS判定△ABD≌△ACD，只要添加AB=AC即可.12.【答案】3【解析】①两条直角边对应相等，利用SAS，故本选项正确；②斜边和一锐角对应相等，符合判定AAS或ASA，故本选项正确；③斜边和一条直角边对应相等，符合判定HL；④面积相等不一定全等，故本选项错误．故答案为3．13.【答案】∠F；∠ABE【解析】∵AB=AC，AE=CF，BE=AF，∴△AEB≌△CFA（SSS），∴∠E=∠F，∠CAF=∠ABE．14.【答案】AC=AE【解析】可补充的条件是：当AC=AE，△ABC≌△ADE（SAS）.15.【答案】∠ADB=∠CBD【解析】∠ADB=∠CBD，理由是：∵在△AOD和△COB中，∴△ABD≌△CDB（SAS），故答案为∠ADB=∠CBD．16.【答案】（-2，0）【解析】∵△AOB≌△COD，∴OD=OB，∴点D的坐标是（-2，0）．故答案为（-2，0）．17.【答案】解：∵△ABC≌△DFE，∴∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，DF=AB∴∠E=180°-100°-50°=30°，∵DF=12cm，∴AB=12cm．【解析】根据全等三角形性质得出∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，利用三角形内角和定理即可求出∠E的度数，再根据DF=AB，即可求出AB的长．18.【答案】解：（1）∵在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠D=∠B．（2）∵△ADE≌△CBF，∴∠AED=∠CFB，∵∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF．【解析】（1）根据SSS推出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可；（2）根据全等三角形的性质推出∠AED=∠CFB，求出∠AEO=∠CFO，根据平行线的判定推出即可．19.【答案】（1）解：∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE．（2）解：△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°（添加的条件是∠ADB=90°），∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【解析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．20.【答案】证明：∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∵△ACE≌△AFB，∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF，∴∠CAF=∠BAE=90°，而∠ACE=∠F，∴∠FMC=∠CAF=90°，∴CE⊥BF．【解析】先利用垂直定义得到∠BAE=90°，再利用三角形全等的性质得∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，则∠CAF=∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理易得∠FMC=∠CAF=90°，然后根据垂直的定义即可得到结论．21.【答案】解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF；若选择如果①③，那么②，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE 和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD．【解析】（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E=∠F，CE=BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD，等式左右两边都减去BC，得到AB=CD，得证．。
初中数学八年级上册第12章《全等三角形》单元同步检测试题 考卷形式稍难(Word版附答案)
第12章 《全等三角形》单元同步检测试题考生注意： 1.考试时间90分钟.2. 全卷共三大题，满分120分. 题号 一 二 三总分 21 22 23 24 25 26 27 28 分数一、选择题（每题3分，共30分）1.下列说法中不正确的是 （ ）A ．全等三角形的对应高相等B ．全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等D ．周长相等的两个三角形全等2.如图所示，在Rt △ABC 中，AD 是斜边上的高，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点F 、E ，EG ⊥BC 于G ，下列结论正确的是（ ） A ．∠C=∠ABCB ．BA=BGC ．AE=CED ． AF=FD3.P 是∠AOB平分线上一点，CD ⊥OP 于F ，并分别交OA ．OB 于CD ，则P 点到∠AOB 两边距离之和．( ) A ．小于 B ．大于 C ．等于D ．不能确定4.如果两个三角形全等,则不正确的是 （ ）A ．它们的最小角相等B ．它们的对应外角相等 C.它们是直角三角形D ．它们的最长边相等5.下列条件中，不能判定三角形全等的是 （ ）A ．三条边对应相等B ．两边和一角对应相等C.两角的其中一角的对边对应相等 D ．两角和它们的夹边对应相等6.如图，已知AD=AE ，BE=CD ，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE 的度数是（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE 、CF 是中线，则由（ ）可得△AFC ≌△AEB .A ． SSSB ． SASC ． AASD ． ASA8.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A ． SSS B ． SAS C ． AAS D ． ASA9.平面上有△ACD 与△BCE ，其中AD 与BE 相交于P 点，如图．若AC=BC ，AD=BE ，CD=CE ，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD 的度数为（ ） A ．110°B ．125°C ．130°D ．155°10.如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在△ABC 与△ADC 中，已知AD ＝AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需再添加的一个条件可以是________．12．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点DA B CE D G FC DBA21EABCEF 第2题图第3题图 第6题图 第7题图第8题图 第9题图第10题图到斜边AB的距离为________．13．如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，则∠A′CO＝________．14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．15.如图，已知AB∥CF，E为AC的中点，若FC＝6cm，DB＝3cm，则AB＝________．16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是________．17．我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是________时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是________时，它们一定不全等．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：∠B＝∠D.20.(8分)如图，点D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC，下面有三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．21．(8分)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．22．(10分)如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积．23．(10分)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，求点B的坐标．24．(10分)如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F.(1)求证：BE＝CF；(2)如果AB＝8，AC＝6，求AE，BE的长．25．(12分)在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.(1)求∠EFD的度数；(2)判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．参 考 答 案：一．选择题 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.C ． 10.B二、填空题11．DC ＝BC 或∠DAC ＝∠BAC 12.4 13．82° 14.3 15.9 16.50°17．钝角三角形或直角三角形 钝角三角形18．(6，6) 解析：如图，过点C 作CE ⊥OA ，CF ⊥OB ，垂足分别为E ，F .则∠OEC ＝∠OFC ＝90°.∵∠AOB ＝90°，∴∠ECF ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCF .在△ACE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠BFC ＝90°，∠ACE ＝∠BCF ，AC ＝BC ，∴△ACE ≌△BCF (AAS)，∴AE ＝BF ，CE ＝CF ，∴点C 的横纵坐标相等，∴OE ＝OF .∵AE ＝OE －OA ＝OE －3，BF ＝OB －OF ＝9－OF ，∴OE ＝OF ＝6，∴C (6，6)．三、解答题19．证明：∵点C 是AE 的中点，∴AC ＝CE .(2分)在△ABC 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE (SAS)，(7分)∴∠B ＝∠D .(8分)20．解：选②BC ＝DE .(1分)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠E ＝∠C .(3分)在△ADE 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AC ，∠E ＝∠C ，DE ＝BC ，∴△ADE ≌△ABC (SAS)．(8分)21．解：猜想：BF ⊥AE .(2分)理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°.又BC ＝AC ，BD ＝AE ，∴△BDC ≌△AEC (HL)．∴∠CBD ＝∠CAE .(5分)又∵∠CAE ＋∠E ＝90°，∴∠EBF ＋∠E ＝90°.∴∠BFE ＝90°，即BF ⊥AE .(8分)22．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .(2分)∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD ＝2.(5分)∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×2×(AB ＋BC ＋AC )＝12×2×12＝12.(10分)23．解：如图，过A 和B 分别作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，(1分)∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE .(3分)在△ADC 和△CEB 中，∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠CAD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴CD ＝BE ，AD ＝CE .(6分)∵点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，∴OC ＝2，CE ＝AD ＝3，OD ＝6，∴CD ＝OD －OC ＝4，OE ＝CE －OC ＝3－2＝1，∴BE ＝4，∴点B 的坐标是(1，4)．(10分)24．(1)证明：连接DB ，DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴∠DGB ＝∠DGC ＝90°，BG ＝CG .又DG ＝DG ，∴△DGB ≌△DGC ，∴DB ＝DC .∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠AED ＝∠DFC ＝90°.(3分)在Rt △DBE 和Rt △DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF (HL)，∴BE ＝CF .(5分)(2)解：在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF (HL)，∴AE ＝AF .(7分)∵AC ＋CF ＝AF ，∴AE ＝AC ＋CF .∵AE ＝AB －BE ，∴AC ＋CF ＝AB －BE ，即6＋BE ＝8－BE ，∴BE ＝1，∴AE ＝8－1＝7.(10分)25．解：(1)∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝30°.(1分)∵AD ，CE 分别是∠BAC 和∠BCA 的平分线，∴∠F AC ＝12∠BAC ＝15°，∠FCA ＝12∠ACB ＝45°.∴∠AFC＝180°－∠F AC －∠FCA ＝120°，∴∠EFD ＝∠AFC ＝120°.(4分)(2)结论：FE ＝FD .(5分)证明：如图，在AC 上截取AG ＝AE ，连接FG ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAF ＝∠GAF .在△F AE 和△F AG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF (SAS)，∴FE ＝FG ，∠AFE ＝∠AFG .(8分)∵∠EFD ＝120°，∴∠DFC ＝60°，∠AFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠CFG ＝60°＝∠DFC .∵EC 平分∠BCA ，∴∠DCF ＝∠FCG ＝45°.在△FGC 和△FDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GFC ＝∠DFC ，FC ＝FC ，∠FCG ＝∠FCD ，∴△FGC ≌△FDC (ASA)，∴FG ＝FD ，∴FE＝FD .(12分)。
人教版八年级数学上册《第十二章 全等三角形》测试题-附含答案
人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》测试题-附含答案班级：姓名：得分：总分：150分时间：120分钟一．选择题（共12小题）1．下列各图形中不是全等形的是（）A．B．C．D．【解答】解：观察发现B、C、D选项的两个图形都可以完全重合∴是全等图形A选项中两组图画不可能完全重合∴不是全等形．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形【解答】解：A、所有的等边三角形都是全等三角形错误；B、全等三角形是指面积相等的三角形错误；C、周长相等的三角形是全等三角形错误；D、全等三角形是指形状相同大小相等的三角形正确．故选：D．3．如图AB与CD交于点O已知△AOD≌△COB∠A＝40°∠COB＝115°则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵△AOD≌△COB∴∠C＝∠A＝40°由三角形内角和定理可知∠B＝180°﹣∠BOC﹣∠C＝25°故选：A．4．已知△ABC的六个元素如图所示则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是（）A．甲、乙B．乙、丙C．只有乙D．只有丙【解答】解：已知△ABC中∠B＝50°∠C＝58°∠A＝72°BC＝a AB＝c AC＝b∠C＝58°图甲：只有一条边和AB相等没有其它条件不符合三角形全等的判定定理即和△ABC不全等；图乙：只有两个角对应相等还有一条边对应相等符合三角形全等的判定定理（AAS）即和△ABC全等；图丙：符合SAS定理能推出两三角形全等；故选：B．5．如图已知MB＝ND∠MBA＝∠NDC下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN【解答】解：A、∠M＝∠N符合ASA能判定△ABM≌△CDN故A选项不符合题意；B、AB＝CD符合SAS能判定△ABM≌△CDN故B选项不符合题意；C、根据条件AM＝CN MB＝ND∠MBA＝∠NDC不能判定△ABM≌△CDN故C选项符合题意；D、AM∥CN得出∠MAB＝∠NCD符合AAS能判定△ABM≌△CDN故D选项不符合题意．故选：C．6．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）你认为将其中的哪一块带去就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A ．第1块B ．第2块C ．第3块D ．第4块【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素 所以不能带它们去 只有第2块有完整的两角及夹边 符合ASA 满足题目要求的条件 是符合题意的．故选：B ．7．如图是一个平分角的仪器 其中AB ＝AD BC ＝DC 将点A 放在角的顶点 AB 和AD 沿着角的两边放下 沿AC 画一条射线 这条射线就是角的平分线 在这个操作过程中 运用了三角形全等的判定方法是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【解答】解：在△ADC 和△ABC 中{AD =AB DC =BC AC =AC∴△ADC ≌△ABC （SSS ）∴∠DAC ＝∠BAC∴AC 就是∠DAB 的平分线．故选：A ．8．如图 点A 、D 、C 、E 在同一条直线上 AB ∥EF AB ＝EF ∠B ＝∠F AE ＝10 AC ＝7 则CD 的长为（ ）A ．5.5B ．4C ．4.5D ．3 【解答】解：∵AB ∥EF∴∠A ＝∠E在△ABC 和△EFD 中{∠A =∠E AB =EF ∠B =∠F∴△ABC ≌△EFD （ASA ）∴AC ＝ED ＝7∴AD ＝AE ﹣ED ＝10﹣7＝3∴CD ＝AC ﹣AD ＝7﹣3＝4．故选：B ．9．如图 ∠B ＝∠C ＝90° M 是BC 的中点 DM 平分∠ADC且∠ADC ＝110° 则∠MAB ＝（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60° 【解答】解：作MN ⊥AD 于N∵∠B ＝∠C ＝90°∴AB ∥CD∴∠DAB ＝180°﹣∠ADC ＝70°∵DM 平分∠ADC MN ⊥AD MC ⊥CD∴MN ＝MC∵M 是BC 的中点∴MC＝MB∴MN＝MB又MN⊥AD MB⊥AB∴∠MAB=12∠DAB＝35°故选：B．10．如图AB＝AD AE平分∠BAD点C在AE上则图中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【解答】解：∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠CAE在△ABC和△ADC中{AB=AD∠BAC=∠DAC AC=AC∴△DAC≌△BAC（SAS）∴BC＝CD；在△ABE和△ADE中{AB=AD∠BAE=∠DAE AE=AE∴△DAE≌△BAE（SAS）∴BE＝ED；在△BEC和△DEC中{BC=DC EC=EC EB=ED∴△BEC≌△DEC（SSS）故选：B．11．如图直线a、b、c表示三条公路现要建一个货物中转站要求它到三条公路的距离相等则可供选择的地址有（）A．一处B．两处C．三处D．四处【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点过点P作PE⊥AB PD⊥BC PF⊥AC∴PE＝PF PF＝PD∴PE＝PF＝PD∴点P到△ABC的三边的距离相等∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等满足这条件的点有3个；综上到三条公路的距离相等的点有4个∴可供选择的地址有4个．故选：D．12．如图AD是△ABC的角平分线DF⊥AB垂足为F DE＝DG△ADG和△AED的面积分别为60和35 则△EDF的面积为（）A ．25B ．5.5C ．7.5D ．12.5【解答】解：如图 过点D 作DH ⊥AC 于H∵AD 是△ABC 的角平分线 DF ⊥AB∴DF ＝DH在Rt △ADF 和Rt △ADH 中 {AD =AD DF =DH∴Rt △ADF ≌Rt △ADH （HL ）∴S Rt △ADF ＝S Rt △ADH在Rt △DEF 和Rt △DGH 中 {DE =DG DF =DH∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ）∴S Rt △DEF ＝S Rt △DGH∵△ADG 和△AED 的面积分别为60和35∴35+S Rt △DEF ＝60﹣S Rt △DGH∴S Rt △DEF =252．故选：D ．二．填空题（共4小题）13．已知△ABC ≌△DEF ∠A ＝60° ∠F ＝50° 点B 的对应顶点是点E则∠B 的度数是 70° ．【解答】解：∵△ABC ≌△DEF ∠A ＝60° ∠F ＝50°∴∠D ＝∠A ＝60° ∠C ＝∠F ＝50°∴∠B ＝∠E ＝70°．故答案为：70°．14．如图BD＝CF FD⊥BC于点D DE⊥AB于点E BE＝CD若∠AFD＝145°则∠EDF＝55°．【解答】解：∵FD⊥BC于点D DE⊥AB于点E∴∠BED＝∠FDC＝90°∵BE＝CD BD＝CF∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）∴∠BDE＝∠CFD∵∠AFD＝145°∴∠DFC＝35°∴∠BDE＝35°∴∠EDF＝90°﹣35°＝55°故答案为55°．15．如图△ABC中∠C＝90°AD平分∠BAC AB＝5 CD＝2 则△ABD的面积是5．【解答】解：∵∠C＝90°AD平分∠BAC∴点D到AB的距离＝CD＝2∴△ABD的面积是5×2÷2＝5．故答案为：5．16．如图四边形ABCD中AB＝AD AC＝6 ∠DAB＝∠DCB＝90°则四边形ABCD的面积为18．【解答】解：∵AD＝AD且∠DAB＝90°∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°AD与AB重合得到△ABE．∴∠ABE＝∠D AC＝AE．根据四边形内角和360°可得∠D+∠ABC＝180°∴∠ABE+∠ABC＝180°．∴C、B、E三点共线．∴△ACE是等腰直角三角形．∵四边形ABCD面积＝△ACE面积=12×AC2=12×62＝18；故答案为：18．三．解答题（共20小题）17．如图所示△ABE≌△ACD∠B＝70°∠AEB＝75°求∠CAE的度数．解：∵△ABE≌△ACD∴∠C＝∠B＝70°∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝5°．18．如图已知∠1＝∠2 ∠3＝∠4 求证：BC＝BD．证明：∵∠ABD+∠4＝180°∠ABC+∠3＝180°且∠3＝∠4∴∠ABD＝∠ABC在△ADB和△ACB中∴△ADB≌△ACB（ASA）∴BD＝BC．19．如图AB＝AD AC＝AE∠CAE＝∠BAD．求证：∠B＝∠D．证明：∵∠CAE＝∠BAD∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB∴∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B＝∠D．20．如图点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量）点A、D在l异侧测得AB＝DE AB ∥DE∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m BF＝3m求FC的长度．（1）证明：∵AB∥DE∴∠ABC＝∠DEF在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF∴BC＝EF∴BF+FC＝EC+FC∴BF＝EC∵BE＝10m BF＝3m∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．21．某段河流的两岸是平行的数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知BC＝DC∠ABC＝∠EDC＝90°在Rt△ABC和Rt△EDC中∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB＝ED即他们的做法是正确的．22．如图AD为△ABC的高E为AC上一点BE交AD于F且有BF ＝AC FD＝CD．求证：（1）△BFD≌△ACD；（2）BE⊥AC．证明：（1）∵AD为△ABC的边BC上的高∴△BDF和△ADC为直角三角形．∴∠BDF＝∠ADC＝90°．在Rt△BFD和Rt△ACD中∴Rt△△BFD≌Rt△ACD（HL）；（2）∵△BDF≌△ADC∴∠DBF＝∠DAC．∵∠AFE与∠BFD是对顶角∴∠BDF＝∠AEF＝90°∴BE⊥AC．23．如图①点A E F C在同一条直线上且AE＝CF过点E F分别作DE⊥AC BF⊥AC垂足分别为E F AB＝CD．（1）若EF与BD相交于点G则EG与FG相等吗？请说明理由；（2）若将图①中△DEC沿AC移动到如图②所示的位置其余条件不变则（1）中的结论是否仍成立？不必说明理由．解：（1）EG＝FG理由如下：∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EF即AF＝CE∵DE⊥AC BF⊥AC∴∠AFB＝∠CED＝90°在Rt△ABF和Rt△CDE中∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE在△DEG和△BFG中∴△DEG≌△BFG（AAS）∴EG＝FG；（2）（1）中的结论仍成立理由如下：同（1）得：Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE在△DEG和△BFG中∴△DEG≌△BFG（AAS）∴EG＝FG．24．【阅读理解】课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题：如图1 △ABC中若AB＝8 AC＝6 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长AD到点E使DE＝AD请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是CA．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2 已知：CD＝AB∠BDA＝∠BAD AE是△ABD的中线求证：∠C＝∠BAE．（1）解：∵在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）故答案为：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB∴BE＝AC＝6 AE＝2AD∵在△ABE中AB＝8 由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6∴1＜AD＜7故答案为：C．（3）证明：如图延长AE到F使EF＝AE连接DF∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED在△ABE与△FDE中∴△ABE≌△FDE（SAS）∴AB＝DF∠BAE＝∠EFD∵∠ADB是△ADC的外角∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD∠BAE＝∠EFD ∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD∴∠ADF＝∠ADC∵AB＝DC∴DF＝DC在△ADF与△ADC中∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．。
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1B解析：B【分析】 先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12 OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．3．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF，∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．4．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．5．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDCD ．ED ＋AC >AD B解析：B【分析】 利用角平分线的性质定理判断A ；利用直角三角形两锐角互余判断B ；证明△AED ≌△ACD ，由此判断C ；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD ，由此判断D ．【详解】∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DC ，∠BAD=∠DAC ，∵BD+DC=BC ，∴BD+ED=BC ，故A 正确；∵∠C=90︒，∴∠B+∠BAC=90︒，∴∠B+2∠DAC=90︒，故B 错误；∵DE ⊥AB ，∴∠AED=∠C=90︒,又∵∠BAD=∠DAC ，DE=CD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠ADE=∠ADC ，∴AD 平分∠EDC ，故C 正确；在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴ED ＋AC >AD ，故D 正确；故选：B ．【点睛】此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．6．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ C解析：C【分析】 先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．7．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL D解析：D直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.8．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γB解析：B【分析】 根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD ，根据∠ADC 是△BDC 的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD ，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB ，于是得到结果．【详解】解：∵EF ∥AB ，∠EFC=β，∴∠B=∠EFC=β，∵CD 平分∠BCA ，∴∠ACB=2∠BCD ，∵∠ADC 是△BDC 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD ，∵∠ADC=γ，∴∠BCD=γ-β，∵∠MAC 是△ABC 的外角，∴∠MAC=∠B+∠ACB ，∵∠MAC=α，∴α=β+2（γ-β），∴β=2γ-α，故选：B ．本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5D解析：D【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．10．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．二、填空题11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．12．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．13．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD解析：4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．【详解】∵ DC ⊥BC ，∴ ∠BCD=90︒，∵ ∠ACB=120︒，∴ ∠ACD=30︒，如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，∵ D 为 AB 的中点，∴ AD=BD ，在 ΔADH 与 ΔBCD 中，CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A 到CD 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC 解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．【详解】∵∠ABC 的平分线交∠ACE 的外角平分线∠ACE 的平分线于点D ，∴∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ，∵∠DCE 是△BCD 的外角，∴∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∵∠ACE 是△ABC 的外角，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ＝2∠DCE ﹣2∠DBE ＝2（∠DCE ﹣∠DBE ），∴∠A ＝2∠D ＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．16．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．17．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有 解析：5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答.【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，∴PM=PD=5，故答案为：5.【点睛】此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的18．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判解析：ASA【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或72【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC ∆与QFC ∆全等，PC QC ，683∴-=-t t ，解得:1t =；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或72．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，连接DF．（1）请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系；（2）若点D是BC中点，在图2中画出图形，猜想线段AD，CF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想．解析：（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，∴∠CAD＝∠BCF；（2）如图所示：猜想：AD ＝CF +DF ，理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，则∠ACB +∠CBG ＝180°，∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，在△ACD 和△CBG 中，∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BG ＝BD ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CBA ＝45°，∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG ＝∠FBD ，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．22．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．【详解】（1）作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP =⎧⎨=⎩∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6， 故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．24．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求： （1）∠EDC 的度数．（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．解析：（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出12BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402BED n ∠=︒+︒；（3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=，即可得到1()BED n αβ∠=+． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ADC =∠BAD =80°，又∵DE 平分∠ADC ，∴1402EDC ADC ∠=∠=︒；（2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =n °，又∵BE 平分∠ABC ，∴12ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=︒， ∵EF ∥CD ，∴∠FED =∠EDC =40°，∴1402BED n ∠=︒+︒． （3）1()αβ+n．如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，∴1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ， ∴1BEF ABE n β∠=∠=， ∴1()BED nαβ∠=+． 故答案为：1()αβ+n ．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．25．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案； （2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案； （3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ，∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：解析：（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ， ∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．27．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．28．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．解析：（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，∴∠BDE ＝105°；（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，∴∠EGH ＞∠ABC ，又∵DE//BC ，∴∠ABC ＝∠ADE ，∴∠EGH ＞∠ADE ；（3）全等．证明：E 是AC 和FG 的中点，∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，在△AFE 和△CEG 中，AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．。
人教版八年级上数学12.3 角的平分线的性质 _同步练习及答案(含答案)
第12章《全等三角形》同步练习班级学号姓名得分一、填空题（每题3分，共30分）1．到一个角的两边距离相等的点都在_________.2．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 3．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm．5．如图，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________．6．三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_________的交点．7．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________．8．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________．9．（1）如图，已知∠1 =∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE____DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE = DF，则∠1_____∠2．10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．二、选择题（每题3分，共24分）11．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（）A．PC = PD B．OC = ODC．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC12．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，（第3题）（第4题）（第5题）21ABCDEF（第9题）ABCDOP（第11题）④ ①②③ （第14题）DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm13．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点 14． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 15．给出下列结论，正确的有（ ）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与 三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的 逆命题一定是假命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16．已知，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12 17．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．两个三角形一定不全等C ．如果还有一角相等，两三角形就全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等18．如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON =α，∠BOC =β，则表示∠AOD 的代数式为（ ）A ．2α－βB ．α－βC ．α+βD ．2α三、解答题（共46分） 19．（7分）如图，已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，若∠AOB =90°，∠EOD =70°，求∠BOC 的度数．ED CB A （第12题）（第18题）20．（7分）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）21．（8分）如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF22．（8分）已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADF A B EC D D A23．（8分）如图，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①求证：∠BPC =90°-12∠BAC ． ②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？24．（8分）如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．PC B AD E参考答案一、填空题1．这个角的平分线上2．1.5cm 3．30°4．8 5．MN⊥PQ 6．三条角平分线7．6cm 8．到角的两边的距离相等9．（1）=（2）= 10．135二、选择题11．D 12．B 13．D 14．D 15．B 16．C 17．D 18．A三、解答题19．50°20．画两个角的角平分线的交点P 21．略22．提示：过点D做DM⊥BC 23．①略；②锐角三角形24．提示：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF。
人教版八年级数学上册第12章 《全等三角形》 单元同步检测试题【稍难】(附答案)
(装订线内不要答题)学校考场班级姓名装订线第12章《全等三角形》单元同步检测试题考生注意：1.考试时间90分钟.2.全卷共三大题，满分120分.题号一二三总分2122232425262728分数一、选择题（每题3分，共30分）1.在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A ＝44°15′，∠B ＝67°12′，∠C′＝68°33′，∠A′＝44°15′，且AC ＝A′C′，则这两个三角形（）A ．一定不全等B ．一定全等C ．不一定全等D ．以上都不对2.下列说法不正确的是（）A ．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B ．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D ．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等3.如图，AB >AC ，点P 为ΔABC 的角平分线AD 上一点，则下列说法正确的是（）A ．AB –AC >PB –PC B ．AB –AC <PB –PC C ．AB –AC =PB –PC D ．无法确定4.如图，已知ΔABC 中，AB=10，BC=15，CA=20，点O 是ΔABC 内角平分线的交点，则ΔABO 、ΔBCO 、ΔCAO 的面积比是()A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55.如图所示，点A ．B 分别是∠NOP 、∠MOP 平分线上的点，AB ⊥OP 于点E ，BC ⊥MN 于点C ，AD ⊥MN 于点D ，下列结论错误的是（）A ．AD ＋BC ＝ABB ．∠AOB ＝90°C ．与∠CBO 互余的角有两个D ．点O 是CD 的中点6.如图所示，AO=BO,CO=DO,连接AD,BC,设AD,BC 交于点P,结论：①△AOD≌△BOC;②△AP C≌△BPD ;③点P 在∠AOB 的平分线上。
以上结论中（）A ．只有①正确B ．只有②正确C ．只有①②正确D ．①②③都正确7.如图，直线a 、b 、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．两处C ．三处D ．四处8.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA9.如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，不正确的等式是（）A ．AB ＝ACB ．∠BAE ＝∠CADC ．BE ＝DCD ．AD ＝DE10.如图，从下列四个条件：①BC ＝B′C ；②AC ＝A′C ；③∠A′CA ＝∠B′CB ；④AB ＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每空3分，共30分）11．能够____的两个图形叫做全等图形．12．已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有对全等三第5题图PDCBAOCBA第3题图第4题图第5题图第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图装订线(装订线内不要答题)角形．13．如图，△ABC≌△ADE，则，AB=，∠E=∠．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=．14．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=．15．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB 的距离是________．16．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌，且DF=．17．△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD= 6cm，AD=5cm，则BC=________cm．三、解答题(共60分)18．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．证明：∵AD平分∠BAC∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∵∴△ABD≌△ACD（）19．（8分）已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等（要求写出作法，并保留作图痕迹，写出结论）作法：20．（8分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：△BEC≌△DAE21．（9分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝D C，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．BCDEFABC DEF AONMBA第16题图第12题图第13题图(装订线内不要答题)学校考场班级姓名装订线22．（9分）已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．23．（9分）已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．24．（9分）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28，AB ＝20cm，AC ＝8cm，求DE 的长．AE BDCF AC B DEF装订线(装订线内不要答题)参考答案：一、选择题1.B2.C3.B4.C5.C6.D7.D8.D9.D10.B二、填空题11．完全重合12．313．AD C80°14．515．4cm三、解答题16．BAD CAD AB＝AC∠BAD＝∠CAD AD＝AD SAS17．作∠BOA的平分线交MN于P点，就是所求做的点。
人教版八年级上册数学第12章《全等三角形》测试题【含答案】
一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图1，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD及△APE全等的理由是（）A．SSS B．SASC．SSA D．AAS2．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图2），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（）A．①B．②C．③ D．④3．有下列条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等．其中能判定两直角三角形全等的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图3，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SSS B．SASC．ASA D．AAS5．如图4，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．如图5，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，补充下列条件中的一个，不能得出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．AC＝ADC．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB7．如图6，△ABC≌△EFD，则（）A．AB＝DE，AC＝EF，BC＝DFB．AB＝DF，AC＝DE，BC＝EFC．AB＝EF，AC＝DE，BC＝DFD．AB＝EF，AC＝DF，BC＝DE8．如图7，用“AAS”直接判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是（）A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B二、填空题（每小题4分，共32分）9．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6厘米，△ABC的面积为9平方厘米，则EF边上的高是__________厘米.10．如图8，已知AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中共有__________对全等三角形．11．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件__________，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF．12. 如图9，如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是32 cm，DE＝12 cm，EF＝13 cm，则AC＝__________．13．如图10，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，延长CB至点D，使BD＝AC，作∠BDE＝90°，∠DBE=∠A，两角的另一边相交于点E，则DE的长为__________．14．如图11，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝__________．15．如图12，点D在AB上，点E在AC上，CD及BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝__________．16．如图13，已知△ABC，且点A（0，1），点C（4，3），如果要使△ABD及△ABC全等，则点D 的坐标是__________．三、解答题（共64分）17．（10分）如图14，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E，BC及ED相等吗说明理由．18．（10分）如图15，若BE＝CD，∠1＝∠2，则BD及CE相等吗为什么19．（10分）如图16，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．△BEC及△CDA全等吗请说明理由．20．（10分）如图17，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，且CF，BE交于点D，BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．21．（12分）如图18，已知△ABC≌△ADE，BC及DE相交于点F，连接CD，EB．请你找出图中其他的全等三角形，并说明理由．22．（12分）如图19，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并说明理由．第十二章全等三角形测试题一、1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．B二、9．3 10．311．答案不唯一，如AC＝DF等12．7 cm 13．４ 14．60° 15．20°16．（４，－1）或（－1，3）或（－1，－1）三、17．解：BC＝ED．理由：因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD．在△BAC及△EAD中，∠B＝∠E，AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，所以△BAC≌△EAD．所以BC＝ED．18．解：相等.理由：因为∠1＝∠2，所以180°－∠1＝180°－∠2，即∠ADC＝∠AEB．又BE＝CD，∠A＝∠A，所以△ABE≌△ACD．所以AB＝AC，AE＝AD．所以AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE．19．解：△BEC≌△CDA．理由：因为BE⊥CE，AD⊥CE，所以∠BEC＝∠CDA＝90°．因为∠BCE＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，所以∠CBE＝∠ACD．在△BEC和△CDA中，∠BEC＝∠CDA，∠CBE＝∠ACD，CB＝AC，所以△BEC≌△CDA． 20．解：因为CF⊥AB，BE⊥AC，所以∠CED=∠BFD=90°.又∠CDE=∠BDF， CD=BD，所以△ECD≌△FBD.所以DE=DF.又DF⊥AB，DE⊥AC，所以AD平分∠BAC.21．解：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF．理由：因为△ABC≌△ADE，所以AC＝AE，AB＝AD，∠CAB＝∠EAD．所以∠CAB-∠BAD＝∠EAD－∠BAD，即∠CAD＝∠EAB．所以△ACD≌△AEB（SAS）．所以∠ACD＝∠AEB，CD＝EB.因为△ABC≌△ADE，所以∠ACB＝∠AED．所以∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，即∠DCF＝∠BEF．又∠DFC＝∠BFE，所以△DCF≌△BEF（AAS）．22．解：OE⊥AB.理由：在△ABC和△BAD中，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB=BA，所以△ABC≌△BAD.所以∠CBA＝∠DAB，∠C=∠D.在△AOC和△BOD中，∠AOC=∠BOD，∠C=∠D，AC=BD，所以△AOC≌△BOD.所以OA=OB.在△AOE和△BOE中，OA=OB，∠OAE=∠OBE，AE=BE，所以△AOE≌△BOE.所以∠OEA=∠OEB=90°，即OE⊥AB.。
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析
人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ）A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ）3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） B.∠BAE=∠CADA.AB=AC C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是( )A ．BC=B /C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C /D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） 第3题图第5题图 第2题图第6题图AB C DA.边角边B.角边角C.边边边D.边边角7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是（ ）A ．∠A 与∠D 互为余角B ．∠A=∠2C ．△ABC ≌△CED D ．∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ） A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F 9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于 点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ； ②△BAD ≌△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④10、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个二、填空题（每题3分，共21分）11．如图６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌ ；应用的判定方法是 ．12．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为 ．13．已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm ，则点Ｄ到ＡＣ的距离为 ．Ｂ Ｃ ＤＡ 图6 D O CBA 图8 A D CB图7 第9题图 第7题图14．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝ ，根据 可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝ ．15．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ”说明 ≌ 得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“ ”证明△ＡＯＢ≌ 得到ＯＢ＝ＯＣ． 16．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 ．17．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ． 三、解答题（共29分）18. （6分）如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．解： ∵AD 平分∠BAC∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴△ABD ≌△ACD （ ） 19． （8分）如图，已知△≌△是对应角．（1）写出相等的线段与相等的角；（2）若EF=2.1 cm ，FH=1.1 cm ，HM=3.3 cm ，求MN和HG 的长度.第19题图图10 DCBA20．（7分）如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．21．（8分）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．四、解答题（共20分）22．（10分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．B C EF A23．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．12章·全等三角形（详细答案）一、选择题 CBDCD BDCDC二、填空题 11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm 14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC 16、相等 17、○3 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B 解：(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N ∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG ≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF －FH=3.3－1.1=2.2cm 20、解：∵DE ∥AB ∴∠A=∠E在△ABC 与△CDE 中∠A=∠E BC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC ≌△CDE(ASA)∴AB=DE21、证明：∵AB ∥DE∴∠A=∠EDF∵BC ∥EFCA∴∠ACB=∠F∵AD=CF∴AC=DF在△ABC与△DEF中∠A=∠EDFAC=DF∠ACB=∠F△ABC≌△DEF(ASA)四、解答题22、证明：①∵ＢＥ⊥ＣＤ∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＥＡ＝９０°在Ｒｔ△ＢＥＣ与Ｒｔ△ＤＥＡ中ＢＣ＝ＤＡＢＥ＝ＤＥ∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ（ＨＬ）②∵Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ∴∠Ｃ＝∠ＤＡＥ∵∠ＤＥＡ＝９０°∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°∴∠Ｄ＋∠Ｃ＝９０°∴∠ＤＦＣ＝９０°∴ＤＦ⊥ＢC23、证明：在△ABC与△ADC中1=∠2AC=AC3=∠4∴△ABC≌△ADC(ASA)∴CB=CD在△ECD与△ECB中CB=CD∠3=∠4CE=CE∴△ECD≌△ECB(SAS)∴∠5=∠6第十二章全等三角形一、填空题（每小题4分,共32分）.1．已知：///ABC A B C ∆∆≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=︒，15AB cm =，则/C ∠=_________，//A B =__________．2．如图1，在ABC ∆中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形_______对．图1 图2 图33． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ cm 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________c m ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________．6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________．8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为______．二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与B F 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E OB 的度数为（ ）A 、600B 、700C 、750D 、85010．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )A ．A 、FB ．C 、E C ．C 、AD ．E 、F12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD= BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ≌△ABC ， 得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）NAMC B图7 图8 图9 图10A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理13．如图9，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3C．2:3 D．1:414．如图10，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_____P点到∠AOB两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定三、解答题（共46分）中，∠ACB=90°，延长BC至B'，使15．已知如图11，ABCC B'=BC，连结A B'．求证：△AB B'是等腰三角形．图11第十二章全等三角形。
第12章 全等三角形 人教版数学八年级上册章节同步训练(含答案)
第十二章全等三角形章节同步训练2024-2025学年人教版数学八年级上册（1）一、单选题1．下列各组图形中，是全等图形的是（）A．B．C．D．2．如图：，添加下列条件（）不能保证A．B．C．D．3．到三角形三条边的距离都相等的点是（）A．两条中线的交点B．两条高的交点C．两条角平线的交点D．两条边的垂直平分线的交点4．若，且厘米，厘米，厘米，则的长为（）A．厘米B．厘米C．厘米D．不能确定5．下列说法中，不正确的有（）A．三角对应相等的两个三角形全等B．三边对应相等的两个三角形全等C．两角及一边对应相等的两个三角形全等D．两边及夹角对应相等的两个三角形全等6．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A．1处B．2处C．3处D．4处7．如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）A．B．C．D．8．中，，线段两点分别在线段和射线上移动，且．若与全等，则的长度为（）A．6B．12C．6或12D．以上答案都不对9．如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（）A．B．C．D．10．如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（）A．B．C．D．二、填空题11．已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：．12．如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则．13．如图，分别是外部的两点，连接，有，，．连接交于点，则的度数为．14．如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，则（1）；（2）若，则．三、解答题15．如图，点是边上一点．(1)在的左侧作；（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)根据上面所作的图形，你认为和一定平行吗？请说明理由．16．如图，已知．求证：．17．如图，已知，点在上，与相交于点．(1)当，时，求线段的长；(2)已知，，求的度数．18．如图，罗甸大小井景区的河流一侧有两个景点A和C，河边上有一个观景台B（点D，B，F在同一直线上，其中米，米），点B到景点A和C的距离相等，且，测得，某游客要从观景台B到景点A和C游玩，但步行只能沿着线段BD到线段再到线段行走，请求出该游客行走该路线的总长度．参考答案1．B2．B3．C4．C5．A6．D7．B8．A9．D10．B11．12．13．/大于14．1115．(1)(2)16．17．(1)2；(2)的度数为18．该游客行走该路线的总长度为米．。
人教版八年级上册第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 同步练习
角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．点P是△ABC内一点，且点P到三角形三边的距离相等，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点2．如图，已知△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC，且CD：BD=3：4．若BC=21，则点D到AB边的距离为（）A．7B．9C．11D．143．如图，△ABC的△B的外角的平分线BD与△C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD中的中线，若△ABC的面积是24，AB=5，AC=3，则△ABE的面积是（）A．15B．12C．7.5D．65．已知：如图，△ABC中，△C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD△BC，OE△AC，OF△AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=5，BC=4，CA=3，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，36．如图，△ABC中，AD△BC交BC于D，AE平分△BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG△AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：△△DAE=△F；△△AGH=△BAE+△ACB；△S△AEB：S△AEC=AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．37．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分△ABC，交CD于点E，BC=5，DE=，则△BCE的面积等于（）A．3B．C．D．158．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE△AB于点E，AF△BC 于点F，若DE=2，则AF的长为（）A．3B．C．3.5D．9．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12B．15C．16D．1810．如图，已知在Rt△ABC中，△ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE=AD，连接ED，作EF△BD于F，连接CF．则下面的结论：△CD=CF；△△EDF=45°；△△BCF=45°；△若CD=4，AD=5，则S△ADE=10．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，AB△CD，BE和CE分别平分△ABC和△BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD=8，则PE的最小值为（）A．8B．6C．5D．4二．填空题（共5小题）12．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分△ABC和△ACB，OD△BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是．13．如图，△ABC中，△ABC与△ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE=OE，OF=3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为cm2．14．如图，点E在△BOA的平分线上，EC△OB，垂足为C，点F在OA上，若△AFE=30°，EC=3，则EF= ．15．如图，AB△CD，BP和CP分别平分△ABC和△DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD=8，则点P到BC的距离是．16．如图，四边形ABCD中，△A=△B=90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是△BCD和△ADC 的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD=8，那么AB的长度为．三．解答题（共6小题）17．如图，BD平分△ABC交AC于点D，DE△AB于E，DF△BC于F，AB=6，若S△ABD=12，求DF的长．18．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM△AB于点M，PN△AC于点N．求证：PA平分△MAN．19．已知：如图，AD△BC，DB平分△ADC，CE平分△BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．20．如图，在△ABD中，△BAD=80°，C为BD延长线上一点，△BAC=130°，△ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；（2）求△BED的度数．21．如图，△ABC中，AD平分△BAC，DG△BC且平分BC，DE△AB于E，DF△AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．22．在△ABC中，△ABC与△ACB的平分线相交于点P．（1）如图△，若△BPC=α，则△A= ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图△，作△ABC外角△MBC、△NCB的角平分线交于点Q，试探究△Q与△BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图△，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求△A的度数参考答案1-5：BBACA 6-10:DBBBC 11:D12、513、614、615、416、617、：∵AB=6，S△ABD=12，∴×AB×DE=12，∴DE=4，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=4．18、作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD，同理，PN=PD，∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．19、证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD=90°，∴∠DOC=90°，又CE平分∠BCD，∴CB=CD，∴OB=OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB=ED，又∠DOC=90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．20、：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH=EF，∵∠BAC=130°，∴∠FAE=∠CAD=50°，∴EF=EG，∴EG=EH，∴ED平分∠CDG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）∵ED平分∠CDG，∴∠HED=∠DEG，设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°，∴∠GEA=∠FEA=40°，∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBF=∠EBH，∴∠FEB=∠HEB，∴2y+x=80-x，2y+2x=80，y+x=40，即∠DEB=40°．21、（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE，AF=AC+CF，∴5-x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4．22、：（1）如图①中，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A），=90°+∠A，∵∠BPC=α，∴∠A=2α-180°．故答案为2α-180°．（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如图②中，∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=（∠MBC+∠NCB）=（360°-∠ABC-∠ACB）=（180°+∠A）=90°+∠A，∴∠Q=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，∵∠BPC=90°+∠A，∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）延长CB至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ABF=2∠EBF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB，∵∠EBF=∠ECB+∠E，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，即∠ABF=∠ACB+2∠E，又∵∠ABF=∠ACB+∠A，∴∠A=2∠E，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ=∠ACB+∠NCB=90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；④∠E=2∠Q，则∠A=2（90°-∠A），解得∠A=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。
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（第14题）
第12章《全等三角形》
同步练习
一、填空题（每题3分，共30分）
1．到一个角的两边距离相等的点都在_________.
2．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE
⊥OB
于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.
4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_________
cm ．
5．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，过E 作∠AEC 及∠AED 的平分线PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是
_________．
6．三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_________的交点．
7．△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD ：CD =3：2，BC =15cm ，则点D 到AB 的距离是__________． 8．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________． 9．（1）如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ．
（2）已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2．
10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．
二、选择题（每题3分，共24分）
11．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是（ ）
A ．PC
= PD B ．OC = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC
12．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平
分线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )
A ．10cm
B ．8cm
C ．6cm
D ．9cm
13．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A ．三条中线的交点
B ．三条高的交点
C ．三条边的垂直平分线的交点
D 14． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有（ ）
Ａ．1处
Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处
15．给出下列结论，正确的有（ ）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； ②角的平分线与三角形平分线都是射线； ③任何一个命题都有逆命题；④假命题的
逆命题一定是假命题 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
16．已知，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离
为（ ） A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
17．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）
A ．两个三角形全等
B ．两个三角形一定不全等
C ．如果还有一角相等，两三角形就全等
D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 18．如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分
∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON =α，∠BOC =β，则表示∠AOD 的代数式为（ ）
A ．2α－β
B ．α－β
C ．α+β
D ．2α
三、解答题（共46分）
19．（7分）如图，已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，
若
∠
AOB =90°，∠EOD =70°，求∠BOC 的度数．
（第3题） （第4题） （第5题）
2
1
A
B
C
D
E
F
（第9
A B
C
D
O
P （第11题）
E
D
C
B
（第12题）
（第18题）
20．（7分）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保
留画图痕迹）
21．（8分）如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥
AF 于F ． 求证：CE = CF
22．（8分）已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．
求证：BC = AB + AD
23．（8分）如图，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①求证：∠BPC =90°-
1
2
∠BAC ．
②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的
三角形按角分类属于什么三角形？
24．（8分）如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．
F
A B
E
C
D
D
B A
C
P
C B
A
D
E。