高三物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天13万有引力与航天课时达标

万有引力与航天1．(2015·四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )A.B ．火星做圆周运动的加速度较小 C ．火星表面的重力加速度较大 D ．火星的第一宇宙速度较大解析：设公转半径为r ，星球半径为R ，太阳的质量为M ，由公式GMm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT2r ，由题可知火星轨道半径大于地球公转轨道半径，所以火星公转周期大于地球公转周期，所以A 项错；由公式GMmr 2＝ma 得a ＝GMr 2，所以火星运行时的向心加速度小于地球公转时的加速度，所以B 项对；由公式GM R 2＝g ，表格中数据估算可知m 火≈110m 地，R 火≈12R 地，所以g 火≈25g 地，即火星表面重力加速度小于地球表面重力加速度，所以C 项错；又由第一宇宙速度公式v ＝G mR，可得v 火≈15v 地即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，所以D 项错．答案：B2．(多选)(2014·广东卷) 如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )A ．轨道半径越大，周期越长B ．轨道半径越大，速度越大C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析：根据G Mm R 2＝mR 4π2T 2，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；根据G Mm R 2＝m v2R ，可知轨道半径越大则环绕速度越小，故选项B 错误；若测得周期T ，则有M ＝4π2R3GT 2，如果知道张角θ，则该星球半径为r ＝R sin θ2，所以M ＝4π2R 3GT 2＝43π(R sin θ2)3ρ，可得到星球的平均密度，故选项C 正确，而选项D 无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D 错误．答案：AC(2014·浙江五校联盟第一次模拟)如图所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100千米、周期约为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测( )A ．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度大B ．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大C ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的速度比在轨道Ⅰ上经过P 点时大D ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P 点时大解析：第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，等于近月卫星的速度，大于所有卫星的速度，A 项错误；卫星由Ⅰ轨道进入Ⅱ或Ⅲ轨道，需减速做近心运动，机械能减小，B 项正确，C 项错误；卫星在轨道Ⅲ或Ⅰ上经过P 点时，到月心的距离相等，根据GMmr 2＝ma可知，加速度应相等，D 项错误．答案：B4．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后做匀速圆周运动，动能减小为原来的1/4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的 ( )A ．向心加速度大小之比为4∶1B ．角速度大小之比为2∶1C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶2 解析：由GMm r 2＝m v2r可得v ＝GMr，卫星动能减小为原来的1/4，速度减小为原来的1/2，则轨道半径增加到原来的4倍，故D 项错误；由a n ＝v2r 可知向心加速度减小为原来的1/16，故A 项错误；由ω＝v/r 可知，角速度减小为原来的1/8，故B 项错误；由周期与角速度成反比可知，周期增大到原来的8倍，故C 项正确．答案：C5．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC ．(R －d R )2 D ．(R R －d)2解析：物体在地面上时的重力加速度可由g ＝GMR 2得出，根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，矿井底部可以等效为地面，设矿井以下剩余部分地球的质量为M′，矿井底部处重力加速度可由g′＝GM ′（R －d ）2得出，而M ′M ＝（R －d ）3R 3，所以g′＝(1－d R)g. 答案：A6．(多选)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是 ( )A ．卫星距地面的高度为3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G MmR2D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析：天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F 引＝F 向＝m v 2r ＝4π2mrT 2.当卫星在地表运行时，GMmR 2＝mg ，设同步卫星离地面高度为h ，则GMm （R ＋h ）2＝ma 向<mg ，所以C 项错误，D 项正确；由GMm （R ＋h ）2＝mv2R ＋h 得，v ＝GMR ＋h<GM R ，B 项正确；由GMm （R ＋h ）2＝4π2m （R ＋h ）T2，得R ＋h ＝3GMT 24π2，即h ＝3GMT 24π2－R ，A 项错．答案：BD7．(多选)为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2，则( )A ．X 星球的质量为M ＝4π2r 31GT 21B ．X 星球表面的重力加速度为g X ＝4π2r 1T 21C ．登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时的速度大小之比为v 1v 2＝m 1r 2m 2r 1 D ．登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动的周期为T 2＝T 1r 32r 31解析：探测飞船做圆周运动时有G Mm 1r 21＝m 1⎝⎛⎭⎪⎫2πT 12r 1，解得M ＝4π2r 31GT 21，所以选项A 正确；因为X 星球半径未知，所以选项B 错误；根据G Mm r 2＝m v2r，得v ＝GM r ，所以v 1v 2＝r 2r 1，选项C 错误；根据开普勒第三定律得：r 31T 21＝r 32T 22，T 2＝T 1r 32r 31，选项D 正确． 答案：AD8．如图为宇宙中一恒星系的示意图，A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O 运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A 行星运动的轨道半径为R 0，周期为T 0.长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t 0时间发生一次最大偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B (假设其运动轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对A 行星的万有引力引起A 轨道的偏离，由此可推测未知行星B 的运动轨道半径为 ( )A.t 0t 0－T 0R 0 B ．R 03（t 0－T 0t 0）2C ．R 03（t 0t 0－T 0）2D ．R 0（t 0t 0－T 0）3解析：对A 行星有G Mm A R 20＝m A ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 02R 0，对B 行星有G Mm B R 21＝m B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 12R 1，由A 、B 最近到A 、B 再次最近，有2πT 0t 0－2πT 1t 0＝2π，求得R 1＝R 03⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 02.答案：C9．(2014·北京卷)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.a ．若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；b ．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式． (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r 、太阳的半径为R S 和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？解析：(1)设小物体质量为m.a ．在北极地面G Mm R＝F 0在北极上空高出地面h 处G Mm（R ＋h ）2＝F 1F 1F 0＝R 2（R ＋h ）2 当h ＝1.0%R 时F 1F 0＝11.012≈0.98.b ．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R ， 得F 2F 0＝1－4π2R 3GMT2. (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为M S ，地球质量为M ，地球公转周期为T E ，有G M S M r 2＝Mr 4π2T 2E得T E ＝4π2r3GM S＝3πr3G ρR 2S. 其中ρ为太阳的密度．由上式可知，地球公转周期T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．答案：(1)a .F 1F 0＝R2（R ＋h ）2 0.98b .F 2F 0＝1－4π2R 3GMT2 (2)与现实地球的1年时间相同。