高考数学题型全归纳：数列在生活中的应用(含答案)
数列在日常生活中的应用
数列在日常生活中的应用储蓄与人们的日常生活密切相关，它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。
数列的知识在解决活期储蓄、分期存款及分期付款等问题时，充分体现了数列在生活中的广泛应用。
一、关于数列的理论数列是按一定的次序排成的一列数，数列中的每一个数都叫做数列的项。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。
德国著名数学家高斯在十岁时就已经用等差数列的思想解答了1+2+3+…+99+100=5050这个问题。
假设等差数列的首项为a1，第n项为an，那么数列前n项的和为Sn=n(a1+an)/2或者Sn=na1+n(n－1)d/2（其中d是等差数列的公差）。
二、数列在日常生活中的应用我们的生活离不开储蓄，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息=本金×存期×利率。
根据国家的规定，个人取得储蓄存款利息应依法纳税，计算公式为：应纳税额=利息全额×税率。
其中的税率为20%。
1、差数列在分期存款中的应用分期存款是分期存入后一次取出的一种储蓄方式。
一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在孩子每年生日那天到银行储蓄5000元一年定期，若年利率为0.2%保持不变，当孩子十八岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，那么取回的钱的总数是多少？第一期存款利息：a1=5000×0.2%×18；第二期存款利息：a2=5000×0.2%×17；……第十七期存款利息：a17=5000×0.2%×2；第十八期存款利息：a18=5000×0.2%×1。
于是，应该得的全部利息就是上面各期利息的和，因为a1至a18构成一个等差数列，所以把各期利息加起来就是：S18=a1+a2+……+a17+a18。
根据等差数列前n项和的公式Sn=n(a1+an)/2可知：S18=18×（5000×0.2%×18+5000×0.2%×1）×1/2=1710（元）。
高考数学专题复习：数列在日常生活中的应用
高考数学专题复习：数列在日常生活中的应用一、单选题1．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠%a ，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（ ）（a 取整数，计算过程中参考以下数据：910111.02 1.195,1.02 1.219,1.02 1.243===） A ．8%B ．9%C ．11%D ．19%2．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值101.005 1.05=，111.005 1.06=）（ ） A ．1767B ．1818C ．1923D ．19463．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）． A ．1B ．3C ．9D ．814．某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第1个星期到第15个星期内，记第n 个星期王师傅上班天数为()f n ，张师傅上班天数为()g n ，用a ，b ，c ，d 分别表示()()g n f n -等于2，1，0，1-的个数，则(a ，b ，c ，d )=（ ）A ．(4,7,4,0)B ．(3,7,4,1)C ．(3,7,5,0)D ．(3,8,4,0)5．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ） A ．5(1)a r + B ．5(1)(1)ar r r⎡⎤+-+⎣⎦ C ．6(1)a r +D ．6(1)(1)a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：781.02 1.149, 1.02 1.172≈≈） A ．5.3B ．4.6C ．7.8D ．67．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为123,,,a a a ．则2035年年底存栏头数为（参考数据：1415161.08 2.9,1.08 3.2,1.08 3.4≈≈≈）（ ） A ．1005 B ．1080C ．1090D ．1105二、双空题8．某公司为一个高科技项目投入启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为________万元，该公司经过________年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标．（lg 20.30≈，lg30.48≈）9．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________．第2008棵树种植点的坐标应为________． 10．已知桶0A 中盛有2升水，桶0B 中盛有1升水．现将桶0A 中的水的34和桶0B 中的水的14倒入桶1A 中，再将桶0A 与桶0B 中剩余的水倒入桶1B 中；然后将桶1A 中的水的34和桶1B 中的水的14倒入桶2A 中，再将桶1A 与桶1B 中剩余的水倒入桶2B 中；若如此继续操作下去，则桶n A ()n *∈N 中的水比桶n B ()n *∈N 中的水多________升．11．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为________万元．四、解答题12．银行按规定每经过一定的时间结算存（货）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性货款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年货款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行货款利息均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？计算精确到千元，参考数据：101.12.594=，101.313.796=）13．某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从2021年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2021为第1年）的利润为150012n⎛⎫+⎪⎝⎭万元（n为正整数）.（1）设从2021起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B万元（须扣除技术改造资金），求n A、n B的表达式；（2）依上述预测，从2021起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？14．小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？15．放射性元素在t =0时的原子核总数为0N ，经过一年原子核总数衰变为0N q ，常数1q -称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年． （1）碳14的年衰变率为多少（精确到610-）（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？16．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？17．假设某银行的活期存款年利率为0.35%某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用n a 表示第n 年到期时的存款余额，求1a 、2a 、3a 及n a .18．某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元. （Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：lg2 ≈0.301，lg3≈ 0.477）参考答案1．B 【分析】设优惠率应不低于%a ，由已知可得，()()()998501%12%5 1.02 1.02 1.021a -+≤⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，解不等式可得答案. 【详解】设优惠率应不低于%a ，由题意可得，()()()998501%12%5 1.02 1.02 1.021a -+≤⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，即1091.0211%0.91610 1.020.02a --≤≈⨯⨯， 解得%8.4%a ≥， 又∵a 取整数， ∴优惠率应不低于9%， 故选：B ． 2．A 【分析】设每月还款x 元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得． 【详解】设每月还款x 元，共还款11个月， 所以10911(1.005 1.005 1.0051)20000 1.005x ⨯++++=⨯，1111111020000 1.00520000 1.00520000 1.0617671 1.061 1.0051 1.005 1.0050.0051 1.005x ⨯⨯⨯===≈--+++--． 故选：A ． 3．D 【分析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可.【详解】 由题意知，第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂， 第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有339⨯=只蜜蜂， 第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有39=27⨯只蜜蜂，第n 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有133=3n n -⨯只蜜蜂， 所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列， 所以其通项公式为：3n ， 所以，第四天共有4381=只蜜蜂. 故选：D 4．D 【分析】由已知得出每个星期王师傅上班天数和每个星期张师傅上班天数，由此可得出选项. 【详解】每个星期王师傅上班天数依次为4,5,5,4,5,5,…，每个星期张师傅上班天数依次为5,6,5,6,6,5,6,5,6,6,…，因此()()g n f n -依次为1,1,0,2,1,0,2,0,1,2,0,1,1,1,1所以()(3840)a b c d =，，，，，，， 故选：D. 5．D 【分析】根据题意分析得到:到2020年1月1日将之前所有存款为5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++，最后根据等比数列求和即可. 【详解】根据题意可得：自2015年1月1日到银行新存入a 元，则到2016年1月1日之前银行存款共(1)a r +，2016年1月1日再存入a 元， 到2017年1月1日之前银行存款2(1)(1)a r a r +++，2017年1月1日再存入a 元， 到2018年1月1日之前银行存款32(1)(1)(1)a r a r a r +++++，2018年1月1日再存入a 元，到2019年1月1日之前银行存款432(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r +++++++，2019年1月1日再存入a 元，到2020年1月1日之前银行存款共计5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++， 因为5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++5432(1)(1)(1)(1)(1)a r r r r r ⎡⎤=+++++++++⎣⎦56(1)1(1)(1)(1)1(1)a r r ar r r r⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤==+-+⎣⎦-+， 故选：D. 6．A 【分析】设每年存入x 万元，分别求出2021年初至2027年初到2027年底的所有本利和，求和即可求解. 【详解】设每年存入x 万元，则2021年初存入的钱到2027年底本利和为()712%x +， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为()612%x +， ……2027年初存入的钱到2027年底本利和为()12%x +， 则()()()2712%12%12%40x x x ++++++=，即()71.021 1.02401 1.02x -=-，解得 5.3x ≈.故选：A. 7．C 【分析】依据题意可得每年年初存栏数满足()118%100n n a a -=⨯+-，构造等比数列{}1250n a -，利用等比数列通项公式求得()15018%1250n n a -=-⨯++，问题得解.【详解】由题可得11200a =，()2120018%100a =⨯+-，()3218%100a a =⨯+-，…… 由此下去可得：()118%100n n a a -=⨯+- 令()()118%n n a x a x -+=++ 整理可得()118%0.08n n a a x -=⨯++ 令0.08100x =-，解得1250x =-∴数列{}1250n a -是以50-为首项，公比为18%+的等比数列 ∴()112505018%n n a --=-⨯+∴()15018%1250n n a -=-⨯++则2035年年底存栏头数为()()()1511518%1005018%125018%100a -⎡⎤⨯+-=-⨯++⨯+-⎣⎦50 3.21250 1.081001090≈-⨯+⨯-=故选：C8．2440 6 【分析】设n a 是经过n 年后该项目的资金，则1(120%)200n n a a +=+-，从而可求出经过两年后该项目的资金，构造等比数列{}1000-n a ，求出n a ，根据翻一番（即原来的2倍）的目标建立不等式，解指数不等式，即可求出所求． 【详解】设n a 是经过n 年后该项目的资金，则1(120%)200n n a a +=+-， 所以12000(120%)2002200a =+-=， 22200(120%)2002440a =+-=，所以经过两年后该项目的资金为2440万元； 因为1(120%)200n n a a +=+-，设1(120%)()n n a p a p ++=++，则1000p =-， 即11000(120%)(1000)n n a a +-=+-，所以{}1000-n a 是以1.2为公比，1200为首项的等比数列， 所以11200 1.210001000 1.21000n n n a -=⨯+=⨯+， 由已知得1000 1.210004000n ⨯+≥，lg3lg36lg 6lg5lg312lg 2n=≈--+，即该公司经过6年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标． 故答案为：①2440；②6． 9． (1,2) (3, 402) 【详解】 T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k =1,2,3,4……)．一一代入计算得数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)． 10．12n． 【分析】根据题意，得到n A ，n B 之间的关系，然后用数列知识求解． 【详解】根据题意可得，11313,44n n n n n A B A A B --+==+， ∴1113113(3)4424n n n n A A A A ---=+-=+， ∴1313()222n n A A --=-，即数列32n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1003313124424A A B -=+-=为首项，12为公比的等比数列，∴1131112422n n n A -+-=⋅=⇒13122n n A +=+， ∴131322n n n B A +=-=-，∴*1112()22n n n n A B n N +-=⨯=∈．故答案为：12n11．4.368【分析】分别求出2017年、2018年、2019年这三年每一年存入的1万元取出时的本息，再计算他们的和即可求解. 【详解】2017年存入1万元到2020年取回的本息为()33120% 1.2+=万元， 2018年存入1万元到2020年取回的本息为()22120% 1.2+=万元， 2019年存入1万元到2020年取回的本息为()1120% 1.2+=万元，所以取回的金额为3321.2(1 1.2)1.2 1.2 1.2 4.3681 1.2-++==-万元，故答案为：4.368. 12．答案见解析. 【分析】由题意可知，甲方案中增长利率是定值，所以每年利润数是以1为首项，以1.3为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式求出10年利润总数；乙方案中每年增长的利润是一定值，所以每年利润数是以1为首项，以0.5为公差的等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求出10年利润总数，然后比较两种情况的数值． 【详解】解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（元）， 到期时银行的本息和为()10110%1010 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）， ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）， 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元） 贷款的本利和为：1091.111.11(110%)(110%) 1.117.531.11-⎡⎤+++++=⨯=⎣⎦-（万元）， ∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）， 所以，甲方穿的获利较多． 13．（1）249010n A n n =-，n B =5005001002nn --；（2）至少经过4年. 【分析】（1）利用等差数列的求和公式可求得n A ，利用分组求和法可求得n B ； （2）作差得出25010102n n n B A n n ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，令25010102n n c n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，分析数列{}n c 的单调性，可得出340c c <<，由此可得出结论.【详解】（1）依题设，()()()()2201500205004050020500490102n n n A n n n n +=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-， 2111111500225001116005005001001222212n n n n B n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++⋅⋅⋅++-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦； （2）()225005050010049010101022n n n n B A n n n n n ⎛⎫-=----=+-- ⎪⎝⎭， 令25010102n n c n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为单调递增数列， 且32510204c ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，425101608c ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以，当且仅当4n ≥时，n n B A >.至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 14．18281.21元 【分析】根据复利计算即可得出答案. 【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为： ()()()()65411000010.027*******.027*******.027*******.0275++++++++()()()()()56120010.0275110.027********.0275110.0275+-+=++-+18281.21≈（元）即能取到18281.21元.15．（1）0.999879；（2）4221.【分析】（1）根据题意，生物体死亡n 年后，体内每克组织中的碳14的残留量为n a ，则可判断出{}n a 是一个等比数列，由题意列出通项公式，解出q 即可； （2）由题意，利用等比数列的通项公式列方程，解出n. 【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则 57305730112n a a qq===，解得：157301()0.9998792q =≈． 即碳14的年衰变率为0.999879；(2)设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n n a a q ===，解得4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡． 16．424万元 【分析】设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金，则由规律可得第五年剩余资金为：5234333331000()[1()()()]22222x ⨯-++++，由题意知，5234333331000()[1()()()]200022222x ⨯-++++=，即可求得x 的值． 【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金，则： 第一年剩余资金为：31000(150%)10002x x +-=⨯-，第二年剩余资金为：23333(1000)1000()(1)2222x x x ⨯-⨯-=⨯-+， ⋯⋯以此类推，第五年剩余资金为：5234333331000()[1()()()]22222x ⨯-++++，由题意知，5234333331000()[1()()()]200022222x ⨯-++++=，即553()132[]1000()20003212x -=⨯--，解得：424x ≈，故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金．17．110.035a ，210.070a ，310.105a ，1010.35%nn a . 【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果. 【详解】11010.35%10.035a ，221010.35%10.070a ，331010.35%10.105a ，1010.35%nna .18．（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为 q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过 n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可. 【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为 q ，显然 q > 0 ， q ≠ 1. 所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=， 所以21616450q q +-=，解得 54q =或49q =-（舍去）， 所以 154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过 n 年，总投入为 41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414nn⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n⎛⎫⎛⎫+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t⎛⎫=<<⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t-+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫<⎪⎝⎭，解得454lg42lg2(lg3lg5)3lg2lg3115log 5.94152lg2lg53lg21lg5n-+-->===≈--由此得n≥6 .所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入.。
浅析数列在日常生活中的应用
浅析数列在日常生活中的应用在实际生活和经济活动中, 很多问题都与数列密切相关.如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析,从而予以解决. 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用. 数学家华罗庚曾经说过:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学. " 这是对数学与生活关系的精彩描述. 下面笔者将举几个生活中的小例子来浅谈一下数列在日常生活中的运用.一、在生产生活中在给各种产品的尺寸划分级别时, 当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时, 常按照等差数列进行分级. 若为等差数列, 且有an=m,am=n. 则a(m+n)=0.其实等差数列生活中处处可见, 关键是发现它, 并用以解决实际问题. 在路灯的排列、银行的按揭贷款、银行的利息结算等等.例如1 台电脑售价为1 万元, 如果采取分期付款, 在1 年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%). 假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑,除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式. 你能帮他们参谋选择一下吗?方案分几次付清付款方法每期所付款额方案1.分6 次付清. 购买后2 个月第1次付款, 再过2 个月第2 次付款……购买后12 个月第6 次付款方案2.分12 次付清. 购买后1 个月第1次付款, 再过1 个月第2 次付款……购买后12 个月第12 次付款方案3.分3 次付清. 购买后4 个月第1次付款,再过4 个月第2 次付款,再过4 个月第3 次付款分析:思路1: 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12 个月的欠款数为0 元.设每次应付x 元,则:二、细胞分裂中的数列自然界是由许许多多的细胞组成的,细胞分裂产生新的生命, 人的孕育也是由细胞分裂开始的. 以某种细胞为例我们一起来分析一下细胞是如何分裂的.某种细胞每过30 分钟便由 1 个分裂成 2 个,经过 5 小时,这种细胞由 1 个分裂成几个?经过N 小时,细胞由1 个能分裂成几个?该细胞分裂数是公比为2 的等比数列方式增加.显然不用减去那最初的一个母细胞了,因为题目问的是:"经过5 小时, 这种细胞由一个分裂成几个,"当然是1024 了,又不是问由一个分裂"出"几个,那就要减去最初的母细胞了.显然N 时后,该细胞会由一个分裂"成"2(k-1)个(k为自然数,k=2N+1)即:N 时后,会有22N个细胞,(其中N 表示整时,单位为时,N=0,1,2,3,……)因此,经过N 时后,细胞由一个分裂成22N个(N=0,1,2,3,…)三、爬楼梯小明同学在小的时候喜欢爬楼梯, 不为什么,只是觉得这种阶梯状的建筑非常好玩,等到他长大了,可以一次跨上一级,也可以跨两级,所以,他想知道,有多少种不同的上到楼梯顶端的方案.首先假设楼梯只有一级,那么小明只有一种爬法;如果有 2 级,那么小明可以一级一级地往上爬,也可以一次就上两级,用算式表示为1+1 或2, 说明他上 2 级楼梯有 2 种不同的爬法;如果有 3 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级,那么还剩下 2 级, 上面已经讨论过了有 2 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 1 级,上面也已经讨论过了,只有 1 种爬法;合计起来就有2+1=3 种不同的爬法. 有算式表示为3=1+2(2 种不同的爬法)=2+1(1 种不同的爬法);如果有4 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级, 那么还剩下3级,上面已经讨论过了有3 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 2 级,上面也已经讨论过了,有 2 种不同的爬法;合计起来就有3+2=5 种不同的爬法. 用算式表示为4=1+3(3种不同的爬法)=2+2(2 种不同的爬法);……照这样推下去, 可以得一串斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……由此可知,爬上有10 级台阶的楼梯,一共有89 种不同的爬法.随着科学的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生, 我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题,这样才能更好地适应社会的发展和需要. 数学既不严峻,也不遥远,它既和所有的人类活动有关,又对每一个真正感兴趣的人有益. 数学研究、科学研究从身边的活动做起. 让我们从一个小小的数列开始,多思考,找规律,相信任何问题都可以迎刃而解的.。
数列在日常生活中的应用
运输成本控制
利用数列分析，可以精确 计算运输成本，为企业制 定合理的价格策略提供依 据。
运输安全保障
通过数列分析，可以发现 运输过程中的安全隐患， 采取有效措施保障运输安 全。
04
CATALOGUE
医学与健康
医学研究
疾病预测
药物研发
建筑材料
混凝土的配合比设计
混凝土是建筑工程中常用的建筑材料之一，其配合比设计对工程质量有着至关重要的影响。通过数列 的方法进行配合比设计，可以更加准确地确定各种材料的比例关系，提高混凝土的强度和耐久性。
钢材的规格与数列
在建筑工程中，钢材也是必不可少的建筑材料之一。不同规格的钢材具有不同的力学性能和适用范围 ，通过数列的方法可以对各种规格的钢材进行分类和排列，便于工程中选用合适的钢材规格。
药物副作用监测
通过收集和分析患者的用药数据，可以及时发现 药物的副作用和不良反应，保障患者安全。
05
CATALOGUE
教育与培训
课程设计
数学课程
数列是数学教育中的重要内容，用于教授学生数列的基本概念、 性质和计算方法。
编程课程
在编程中，数列常用于算法设计和数据结构，如数组和链表等。
经济学课程
在经济学中，数列用于描述经济数据的变化趋势和规律，如时间序 列分析。
物流管理
01
02
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库存管理
利用数列表示不同商品的 销售量，可以预测商品的 库存需求，避免库存积压 和浪费。
配送路线优化
通过数列分析，可以找到 最优的配送路线，降低物 流成本和提高配送效率。
物流数据分析
利用数列分析，可以对物 流数据进行挖掘和可视化 ，帮助企业做出更科学的 决策。
数列在生活中的应用1
思考交流:银行整存整取定期储蓄年利率如表所示:
存期
1年
2年
3年
5年
年利率/% 1.98 2.25 2.52 2.79
某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理 (不考虑利息税): (1)直接存入5年定期; (2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.
问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方 式更合算? 问题2:你能设计出更好的存款方案吗?
例3.分期付款模型 小华准备购买一台售 价为5000元的电脑,采用分期付款的方式, 并在一年内将款全部付清.商场提出的付款 方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月 第2次付款……购买后12个月第6次付款,每 次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月 利息按复利计算.求小华每期付的金额是多 少?
同理,购买12个月后第6次付款 x 元,此 x 元当月的
本利和为 x1 0.0080 元
又,小华一年后应还给商场的总金额增值为:
50001 0.00812 元
x 11.0082 1.0084 1.00810 50001.00812
5000 1.00812 x 1 1.0082 1.0084 1.00810
数列在日常 经济生活中的应用
单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,
对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为
利息=本金×利率×存期
若以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S 代表本金和利息和(简称本利和),则有
S=P(1+nr)
复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,
在计算时每一期的本金,在计算时每一期的数 额是不同的.复利的计算公式是
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整 取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目 的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部 本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利 (暂不考虑利息税).
数列在日常经济生活中的应用
分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公
比，其一般形式是：an＋a1－n an×100%＝q(常数)．
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2， 其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新 建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那 么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%? 审题指导 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数 列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的最 小正整数解．
2． 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则 本利和y＝a(1＋xr)．
(2)根据上式，5年后本利和为 a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元).
答：5年后得本利和约为1.148万元.
解题方法
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－15的等差数列．a5＝4
高三数学数列在日常生活中的应用
• [例1] 某人有七位朋友．第一位朋友每天 晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个 晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上 去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去 他家做客，依次类推，直至第七位朋友每 隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚 在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在 主人家中碰面吗？
• 解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第 二位朋友以后在主人家的天数为第： 2,4,6,8，„，这些数构成以2为首项，公差 为2的等差数列，通项公式为：an＝2n；第 三位朋友以后在主人家的天数为第： 3,6,9，„，这些数构成以3为首项，公差 为3的等差数列，通项公式为：an＝3n；第 四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天 数构成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、 6、7的等差数列，通项公式分别为an＝4n， an＝5n，an＝6n，an＝7n；他们要在同一 晚上出现，这个数应为这七个数列的公共
• (4)分期付款模型 • a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息 还款数，n为贷款月数，则⑫________.
• 三、数列综合应用题的解题步骤 • (1)⑬________——弄清题意，分析涉及哪些 数学内容，在每个数学内容中，各是什么 问题． • (2)⑭________——把整个大题分解成几个小 题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步 骤”分别是数列问题、函数问题、解析几 何问题、不等式问题等． • (3)⑮________——分别求解这些小题或这些 小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
• 解析：设每年应付款x元，那么到最后一次 付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生 利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生 利息之和为x×1.0758元，„，第九年付款及 其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款 为x元，而所购房余款的现价及其利息之和 为[1000×92－(28800＋14400)]×1.07510＝ 48800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋ 1.0752＋„＋1.0759)＝48800×1.07510(元)， 所以x＝48800×1.07510× ≈48800×2.061×0.071≈7141(元)．
数列在日常生活中的应用
教材P38 例3 分期付款模型 教材 另一解法： 另一解法： 每期付款产生的本利和的累加 = 一年后付款的总额 解：设每期还款x元，则 设每期还款 元 x（1+1.0082+1.0084+…+1.00810）= 5000*1.00812 （
பைடு நூலகம்
3、有若干台型号相同的联合收割机收割小麦，若 、有若干台型号相同的联合收割机收割小麦， 同时投入工作到收割完毕需24小时 小时， 同时投入工作到收割完毕需 小时，但它们是 每隔相同的时间按顺序投入工作的， 每隔相同的时间按顺序投入工作的，每一台投入 工作后都一直工作到小麦收割完毕。 工作后都一直工作到小麦收割完毕。如果第一台 收割时间是最后一台的5倍 收割时间是最后一台的 倍，求用这种方法收割 完毕需多少时间？ 完毕需多少时间？
a1 = 5a n a1 a2 an 24n + 24n + ⋯ + 24n = 1
a1=40
1、小王每日节省100元，想以零存整取的方式存入 、小王每日节省 元 银行，攒足 元购买冰箱， 银行，攒足2625元购买冰箱，如果月利率为 元购买冰箱 P=0.0075，问存两年能否够购买冰箱的钱？ ，问存两年能否够购买冰箱的钱？ 2、现有1万元存入银行，存30年，年利率为 ，利息 、现有 万元存入银行 万元存入银行， 年 年利率为r， 税20%，以下列方式存储，则到期本息共多少？ ，以下列方式存储，则到期本息共多少？ 定期一年 定期二年 定期三年
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）一、例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。
以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n=）.次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是n a毫克，（即1a mm=，求2a､3a；(1)已知12(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？二、银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。
下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9002.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A．()()1010111M mm++-B．()101Mmm+C．()()1010111Mm mm++-D．()()1010111Mm mm+++2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?三、 环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。
北师大版高中数学必修五§4 数列在日常经济生活中的应用
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只 2. 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．43. 一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．20004.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足关系式S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C .7月、8月D.8月、9月二、填空题（每小题5分，共30分）5.一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时． 6. 某市20082012国内生产总值平均每年增长率为p ,那么该市2012年国内生产总值比2007年国内生产总值增长的倍数为 .7.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成__________.8. 凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________． 9.某纺织厂的一个车间有n (n >7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n .定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n 7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…时间该林区原有林地减少后的面积该年开荒 造林面积 2003年年底 99.8000万公顷 0.3000万公顷 2004年年底 99.6000万公顷 0.3000万公顷 2005年年底 99.4001万公顷 0.2999万公顷 2006年年底 99.1999万公顷 0.3001万公顷 2007年年底 99.0002万公顷0.2998万公顷＋a3n＝2，则说明__________.10.函数f(x)＝a·b x的图象过点A(2，12)，B(3,1)，若记a n＝log2f(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和，则S n 的最小值是________．三、解答题（本大题共4小题，共50分）11.（12分）某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2002年年底的林地面积为100万公顷，从2003年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：试根据此表所给数据进行预测.（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）（1）如果不进行从2003年开始的开荒造林，那么到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？（2）如果从2003年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？12.（12分）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)13.（13分）某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积为32a m2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S n. 14.（13分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n – 2，…，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出T n与T n – 1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：T n = A n + B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5. ；6. ；7. ； 8. ；9. ；10. .三、解答题11.12.13.14.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5） 答案一、选择题1.A 解析： 依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列.设a 1＝7，d >0，S n 1＝65－10＝55. ∴ 有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55，即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， ∴ (n －1)[7＋(n －2)d2]＝55.∵ 55＝11×5且(n －1)为正整数，[7＋(n －2)d2]为正整数. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得 n ＝6.2.A 解析：根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴ P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴=1.3.D 解析：设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958，∴ 7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000.4. C 解析1：由S n 可求出a n =301（－n 2+15n －9），解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9. 解析2：将选项中的月份代入计算验证. 二、填空题5.5 解析：由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息的总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55，即2n +1≥56，∴ n +1≥6，∴ n ≥5．6.(1+)5-1 解析：设2007年国内生产总值为，则(1)5为2012年国内生产总值，增长倍数为(1)5-1.7.512 解析：由题意知a 1=1，公比q =2，经过3小时分裂9次，∴ 末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．8. 9 解析：由条件得 (n －2)×180°＝120°×n ＋n (n －1)2×5°， 解得 n ＝9或n ＝16，∵ a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°， ∴ n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°， ∴ n ＝9.9. 1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴ a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n7＝1. 同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0， 即第3号工人操作了2台织布机．10. －3 解析：将A 、B 两点坐标代入,得解得∴＝18·2x， ∴ f(n)＝18·2n ＝2n －3， ∴ a n ＝log 2＝n －3.令a n ≤0，即≤0，∴ ≤3.∴ 数列前3项小于或等于零，故3或2最小．3＝1＋2＋3＝－2＋(－1)＋0＝－3.三、解答题 11. 解 ：（1）记2003年该林区原有林地面积为1，到2016年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为14，从表中看出｛a n ｝是等差数列，公差约为0.2，故141＋（,所以到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．（2）根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2003年起，年后林地总面积达102万公顷，结合（1）可知：解得， 即2022年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．12. 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴ a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量 S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵ S 10≤80，∴ 10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴ a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．13.解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a . 设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ， 解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a2.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n－1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N .14.解：（1）依题设有T n = T n – 1(1 + r) + a n (n ≥2).（2）T 1 = a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n = T n – 1(1 + r) + a n = T n – 2(1 + r)2+ a n – 1(1 + r) +a n = a 1(1 + r)n – 1 + a 2(1 + r) n – 2+ … + a n – 1(1 + r) + a n . ① 在①式两端同乘 (1 + r)，得(1 + r)T n = a 1(1 + r)n + a 2 (1 + r)n – 1 + … +a n – 1(1 + r)2+ a n (1 + r) . ② ② – ①，得rT n = a 1(1 + r )n + d [(1 + r )n – 1 + (1 + r) n– 2 + … + (1 + r )] – a n =d r[(1 + r )n– 1 – r ] + a 1(1 + r ) n– a n ，又a n = a 1 +（n – 1）d ，则1122(1)n n a r d a r d dT r n r r r++=+--. 如果记1122(1),nn na r d a r d d A r B n r r r ++=+=--， 则T n = A n + B n ，其中{A n }是以12(1)a r d r r ++为首项，以1 + r (r ＞0)为公比的等比数列，{B n}是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列.。
数学高考重点数列与级数的应用与题型解析
数学高考重点数列与级数的应用与题型解析数学中的数列与级数一直是高中数学的重点内容，也是高考中经常涉及的考点。
掌握数列与级数的应用以及相应的解题技巧，对于高中数学学习和高考备考都至关重要。
本文将针对数列与级数的应用与题型进行详细解析，帮助同学们更好地理解与掌握这一部分知识点。
一、数列的应用1. 等差数列的应用等差数列是高中数学中最基础的数列之一，在实际生活中有着广泛的应用。
常见的等差数列应用包括等差数列的求和、等差数列的平均数、等差数列的累加与差的应用等。
下面以一个具体例子来阐述等差数列的应用。
【例题】某班级一次考试的数学成绩是等差数列，已知第一次考试的平均成绩为80分，共有20个学生参加考试，而第二次考试的平均成绩为85分，共有25个学生参加考试。
问这两次考试的总平均成绩是多少？【解析】设第一次考试的第一个人的成绩为a，公差为d，根据等差数列的求和公式可得：第一次考试的总分 = 20 ×（2a + (20-1)×d）/ 2 = 20a + 190d第一次考试的平均成绩 = 第一次考试的总分 / 参加考试的学生数 = （20a + 190d）/ 20 = a + 9.5d同理，设第二次考试的第一个人的成绩为b，公差为d，则第二次考试的平均成绩为 b + 12d。
根据题意得知，a + 9.5d = 80，b + 12d = 85。
将两个等式联立解方程组，可得a = 65，b = 35。
两次考试的总平均成绩 = （第一次考试的总分 + 第二次考试的总分）/ （参加考试的学生数之和）= （20 × 65 + 190 × d + 25 × 35 + 300 × d）/ （20 + 25）= （1300 + 490d + 875 + 300d）/ 45= （2175 + 790d）/ 45经过计算可得，两次考试的总平均成绩为 80.56 分。
2. 等比数列的应用等比数列在数学中同样有着广泛的应用，尤其是在解决与增长、衰减、利润等相关问题时常会涉及等比数列。
生活中数列知识点归纳总结
生活中数列知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，它在我们的日常生活中无处不在。
数列不仅仅存在于数学课本中的题目里，它还隐藏在我们的生活中的方方面面。
本文将就生活中数列的应用进行归纳总结，帮助读者更好地理解数列的概念及其在实际生活中的应用。
1. 薪水增长生活中，我们经常会面对工作与收入的问题。
假设某位年薪为10万元的职工，每年薪水增长率为5%。
那么他的薪水数列可以表示为：10, 10.5, 11.025, 11.57625, ...。
这个数列是一个等比数列，每一项都是前一项乘以一个相同的比率，即1.05。
通过数列的概念，我们可以方便地计算出未来几年该职工的年薪。
2. 光的传播光的传播速度在真空中是恒定的，约为每秒30万公里。
假设某事件发生后，我们观察到这个事件的时间间隔为1秒，那么光从事件发生地传播到我们所在的位置所需的距离就是30万公里。
我们可以将这个过程看作是一个等差数列，其中每一项表示光传播1秒所经过的距离。
通过数列的性质，我们可以推算出每一秒光传播的距离。
3. 财务投资在投资财务领域，数列也有着广泛的应用。
比如，我们在银行存款或理财产品中所获得的利息。
假设某人将1万元存入银行，年利率为4%。
每年的利息将会按照4%的比率增加。
这个数列可以表示为：1,1.04, 1.04^2, 1.04^3, ...。
通过数列的概念，我们可以计算出未来几年该存款的本金和利息总和。
4. 花费节省人们经常会制定消费计划，力图合理安排自己的日常花费。
假设某人每月花费的金额比上个月花费增加10%，那么他的花费数列可以表示为：1000, 1100, 1210, 1331, ...。
这个数列是一个等比数列，每一项都是前一项乘以一个相同的比率，即1.10。
通过数列的性质，我们可以预测未来几个月的花费情况。
5. 人口增长人口的增长也可以用数列进行描述。
假设某地的人口增长率为2%，初始人口为100万。
那么该地未来几年的人口数可以通过数列进行计算。
数列知识在日常生活中的应用例谈
数列知识在日常生活中的应用例谈数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。
本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。
例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。
那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。
应用数列知识我们很快就会求得。
显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个）例2：某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由．(参考数据1.059≈1.551，1.0510≈1.628)解析：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的结余数为an，∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05)……a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)=6×1.0510－0.8×=6×1.0510－16×(1.0510－1)=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元)所以一次性付款合算．例3：假如某市2010年新建住房面积为4000平方米，其中，250平方米为中低价房，预计在今后若干年内该市每年新建住房面积平均不上一年增长8%，加50平方米，问到哪一年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米？解析：设中低价房的面积构成数列{ an},由题意可以知道，an 为等差数列，a1=250，d=50sn =250×n +[n(n-1)/2] ×50=25n2 +225n令25n2 +225n≥4750，解之得到：n≥10或者n≤-19（不符合题意，舍去）由此可知，要到2020年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米。
最新人教版高中数学必修5第一章数列在日常经济生活中的应用（附答案）
最新⼈教版⾼中数学必修5第⼀章数列在⽇常经济⽣活中的应⽤（附答案）§4 数列在⽇常经济⽣活中的应⽤1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元2．某林⼚年初有森林⽊材存量S ⽴⽅⽶，⽊材以每年25%的增长率⽣长，⽽每年末要砍伐固定的⽊材量x ⽴⽅⽶，为实现经过两次砍伐后的⽊材的存量增加50%，则x 的值是( )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 383．某中学的“希望⼯程”募捐⼩组暑假期间⾛上街头进⾏了⼀次募捐活动，共获得捐款1 200元．他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每⼀天获得的捐款都⽐前⼀天多10元．这次募捐活动⼀共进⾏的天数是( )A ．14B ．15C ．16D ．174．某地为了保持⽔⼟资源，实⾏退耕还林．如果2005年退耕8万公顷，以后每年增加10%，那么2010年需退耕多少公顷？(结果保留到个位)答案：1．A 设经过3次降价后，计算机的价格为数列{a n }，由条件得{a n }是⼀个等⽐数列，其中a 1＝8 100，q ＝1－13＝23，n ＝4.所以a 4＝a 1q 3＝8 100×(23)3＝2 400(元)．2．C ⼀次砍伐后⽊材的存量为S (1＋25%)－x ；⼆次砍伐后⽊材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S36.故选C.3．B 由题意可知，每天获得的捐款数组成⼀个等差数列，记作{a n }，其中a 1＝10，d＝10，由10n ＋n (n －1)2×10＝1 200，解得n ＝15.4．解：设n 年后需退耕a n 万公顷，则{a n }是⼀个等⽐数列，其中a 1＝8，q ＝1＋0.1，那么2010年需退耕a 6＝a 1·1.15＝8×1.15≈13(万公顷)．答：2010年需退耕约13万公顷．1．1990年我国⼯农业总产值为a 千亿元，要实现邓⼩平同志提出的到2010年⼯农业总产值翻两番的战略⽬标，年平均增长率⾄少应达到 …( )A ．4201－1 B ．2201－1C ．4211－1D ．2211－12．某⼯⼚⽣产总值连续两年的年增长率依次是p%，q%，则这两年的年平均增长率是 …( )A.p%＋q%2 B ．(p%)·(q%)C.(1＋p%)(1＋q%)－1D.(1－p%)(1－q%)－13．李先⽣为今年上⾼中的⼉⼦办理了“教育储蓄”，从8⽉1号开始，每个⽉的1号都存⼊100元，存期三年．已知当年“教育储蓄”存款的⽉利率是 2.7‰，问到期时李先⽣⼀次可⽀取本息共多少元？4．某市2007年底有住房⾯积1 200万平⽅⽶，计划从2008年起，每年拆除20万平⽅⽶的旧住房．假定该市每年新建住房⾯积是上年年底住房⾯积的5%.(1)分别求2008年底和2009年底的住房⾯积；(2)求2027年底的住房⾯积(计算结果以万平⽅⽶为单位，且精确到0.01)．答案：1．A 已知1990年我国⼯农业总产值为a ，设平均年增长率为p ，则⾃1990年起，每年的⼯农业总产值成等⽐数列．由题意得a 21＝4a 即4a ＝a (1＋q )20，解得q ＝2014－1.2．C 设年增长率为x ，基础值为a ，则a (1＋x )2＝a (1＋p %)(1＋q %)，∴x ＝(1＋p %)(1＋q %)－1.3．解：因为100元存款的⽉利息是100×2.7‰＝0.27(元)．第1个100元存36个⽉，得利息0.27×36(元)，第2个100元存35个⽉，得利息0.27×35(元)， ……第36个100元存1个⽉，得利息0.27×1(元)，所以到期时李先⽣⼀次可⽀取本息共：100×36＋0.27×(36＋35＋…＋1)＝3 600＋179.82＝3 779.82(元)． 4．解：(1)2008年底的住房⾯积为 1 200(1＋5%)－20＝1 240(万平⽅⽶)， 2009年底的住房⾯积为1 200(1＋5%)2－20(1＋5%)－20＝1 282(万平⽅⽶)．所以2008年底的住房⾯积为1 240万平⽅⽶，2009年底的住房⾯积为1 282万平⽅⽶． (2)2027年底的住房⾯积为1 200(1＋5%)20－20(1＋5%)19－20(1＋5%)18－…－20(1＋5%)－20＝1 200(1＋5%)20－20×1.0520－10.05≈2 522.64(万平⽅⽶)，则2027年底的住房⾯积为2 522.64万平⽅⽶．1．某企业在今年初贷款a 万元，每年年利率为r ，从今年末开始，每年年末偿还⼀定的⾦额，预计5年内还清，则每年年末平均偿还的⾦额应是( )A.a(1＋r)5(1＋r)5－1万元B.ar(1＋r)5(1＋r)5－1万元C.a(1＋r)5(1＋r)4－1万元 D.ar (1＋r)5万元答案： B2.从盛满m 升的纯酒精的容器⾥倒出n(nA ．m(1－n m )kB ．m(1－n m )k ＋1C ．n(1－m n )kD ．n(1－m n)k ＋1答案： A 第1次倒出n 升，再加满⽔，容器中有纯酒精m －n 升，浓度为m －nm；第2次倒出n 升，再加满⽔，容器中有纯酒精为(m －n )－m －n m ·n ＝(m －n )(1－n m )＝(m －n )2m升，浓度为(m －n )2m 2；第3次倒出n 升，再加满⽔，容器中有纯酒精(m －n )2m －(m －n )2m 2·n ＝(m －n )2m (1－nm)＝(m －n )3m 2升，浓度为(m －n )3m 3；…，第k 次倒出后，容器中有纯酒精(m －n )k mk －1＝m (1－nm )k .3．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________．答案： 25% 原价与三次调价后的价格构成⼀个等⽐数列，设平均每次降价的百分率为x ，原价为a 0，第三次调价后的价格为a 3，则a 3＝a 0(1－x )3，即512(1－x )3＝216.解得x ＝25%.4．某村镇1999年的⼈⼝为1万⼈，⼈均住房⾯积为5 m 2，若该村镇每年⼈⼝的平均增长率为1%，欲使2009年底⼈均住房⾯积达10 m 2，那么每年平均需新建住房⾯积__________m 2.答案： 6 046 依题意，每年年底的⼈⼝数组成⼀等⽐数列，a 1＝1(万)，公⽐q ＝1＋1%＝1.01，n ＝11，则a 11＝1×(1.01)11－1＝1.0110≈1.105(万)．⼜每年年底的住房⾯积数组成⼀个等差数列，公差为d ，到2009年底⼈均住房⾯积为5＋10d 1.0110＝10，解得d ≈6 046(m 2)，即每年平均新建住房⾯积6 046 m 2. 5．碘131是⼀种放射性物质，在医疗诊断中常会⽤到它，下表是20 g 碘131在4天内问7答案：解：由表可知，碘131每天的剩余量是以18.3420＝0.917 0为公⽐的等⽐数列，所以7天后还有20.00×0.917 07＝10.904 7>10.所以7天后还有10 g 可⽤于治疗．6．在4⽉份，有⼀新款服装投⼊某商场，4⽉1⽇该服装仅售出10件，第⼆天售出35件，第三天销售60件，每天售出的件数分别递增25件，直到⽇销售量达到最⼤后，每天销售的件数分别递减15件，到⽉底该服装共售出4 335件．(1)问4⽉⼏号该款服装销售件数最多，其最⼤值是多少？(2)按规律，当该商场销售此服装超过2 000件时，社会上就流⾏，⽽⽇销售量连续下降，当低于150件时，则流⾏消失，问该款服装在社会上流⾏是否超过10天？请说明理由．答案：解：(1)4⽉份第n 天销售的件数为10＋(n －1)×25＝25n －15，则4⽉30⽇销售的件数为(25n －15)－(30－n )×15＝40n －465.∴[10n ＋n (n －1)2×25]＋[(30－n )(40n －465)＋(30－n )(29－n )2×15]＝4 335.解得n ＝12，即4⽉12⽇的销售量最⼤，其最⼤值为25×12－15＝285(件)．(2)n ＝12时，S 12＝10×12＋12×112×25＝1 770<2 000，即未流⾏；n ＝13时，S 13＝S 12＋a 13＝1 770＋270＝2 040>2 000，即从4⽉13⽇起，社会上开始流⾏；当n >13时，a n ＝a 13－(n －13)×15＝465－15n ，令a n <150，解得n >21，即从4⽉22⽇起，社会上流⾏消失，故流⾏时间只有9天，不超过10天．7．学数学，能使⼈更聪明，使⼈的思维更缜密．在美国⼴为流传的⼀道数学题⽬是：⽼板给你两种加⼯资的⽅案，⼀是年薪制，每年末再加1 000元；⼆是半年薪制，每半年结束时再加300元，请你选择⼀种．⼀般不擅长数学的，很容易选择前者．根据以上材料，解答下列问题：(1)如果在公司连续⼯作10年，问选择那⼀种⽅案加薪更多？多加薪多少元？(2)如果第⼆种⽅案中的每半年加300元改成每半年加a 元，问a 取何值时总是选择第⼆次⽅案⽐第⼀种⽅案多加薪？答案：解：(1)第10年的年末，依第⼀种⽅案构成⾸项为1 000，公差为1 000的等差数列，故可得1 000×(1＋2＋…＋10)＝1 000×10(10＋1)2＝55 000(元)．依第⼆种⽅案，则构成⾸项为300，公差为300的等差数列，可得 300×(1＋2＋ (20)＝300×20(20＋1)2＝63 000(元)．∵63 000－55 000＝8 000(元)，∴在该公司⼲10年，选择第⼆种⽅案⽐第⼀种⽅案多加薪8 000元．(2)第n 年年末，依第⼀种⽅案可得1 000(1＋2＋…＋n )＝1 000×n (n ＋1)2＝500n (n ＋1)．依第⼆种⽅案可得a ·(1＋2＋3＋…＋2n )＝a ·2n (2n ＋1)2＝an (2n ＋1)．据题意，an (2n ＋1)＞500n (n ＋1)，对任意n ∈N ＋恒成⽴，即a ＞500(n ＋1)2n ＋1＝250＋2502n ＋1对所有正整数n 恒成⽴，只需a ＞250＋2503＝1 0003.∴当a ＞1 0003时，总是选择第⼆种⽅案⽐第⼀种⽅案多加薪．。
第一章 第四节 数列在日常经济生活中的应用
第四节 数列在日常经济生活中的应用1．某储蓄所计划从2004年起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）A ．24%B ．32%C ．（308.1－1）100％D ．（408.1－1）100％2．某工厂1996年至19999年的产量和为100吨，1998年至2001年的产量和为121吨，则该工厂1996年至2001年的年平均增长率为（ ）A ．10%B ．21%C ．7％D ．14％3．在2000年至2003年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2004年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A 、4)1(q m +元B 、5)1(q m +元C 、q q q m )]1()1[(4+-+元D 、qq q m )]1()1[(5+-+元 4．本金3000元，每月复利一次，一年后得到本利和3380元，月利率是_______．5．用分期付款的方式购买某家用电器，其价格为l150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为l%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款，全部欠款付清后，买这件家电实际付钱多少元？6．某地现有居民住房的面积为a ㎡，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．（1）如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积r 是多少（可取6.21.110≈）？（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少（保留到小数点后第1位）？7、某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ）A 、pB 、12pC 、12)1(p +D 、1)1(12-+p8、某种产品计划每年降低成本%q ，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是 。
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数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中、很多问题都与数列密切相关。
如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析、从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、日用之繁、无处不用数学。
这是对数学与生活关系的精彩描述。
首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策、购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出、极大地刺激了人们的消费欲望、扩大了内需、有效地拉动了经济增长。
众所周知、按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
这个等额数是如何得来的、此外若干月后、还应归还银行多少本金、这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形、得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见、{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项、1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题、均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题
数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外、在企业经营管理上也是不可或缺的。
一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题、但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。
因此、解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。
(三)数列在艺术中的广泛应用
把一条线段分割为两部分、使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是[5^(1/2)-1]/2、取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽、因此称为黄金分割、也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字、我们以0.618来近似、通过简单的计算就可以发现：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域、而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始、它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“菲波那契数列”、这些数被称为“菲波那契数”。
特点是即除前两个数（数值为1）之外、每个数都是它前面两个数之和。
菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现、相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n-1)-→0.618…。
由于菲波那契数都是整数、两个整数相除之商是有理数、所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时、就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“菲波那契数”是这样、随便选两个整数、然后按照菲波那契数的规律排下去、两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的、我国的国旗上就有五颗、还有不少国家的国旗也用五角星、这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形、都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形还有一个特殊性、所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形、但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
黄金分割在文艺复兴前后、经过阿拉伯人传入欧洲、受到了欧洲人的欢迎、他们称之为“金法”、17世纪欧洲的一位数学家、甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”、也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”、我国也有记载。
虽然没有古希腊的早、但它是我国古代数学家独立创造的、后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的、而不是直接从古希腊传入的。
因为它在造型艺术中具有美学价值、在工艺美术和日用品的长宽设计中、采用这一比值能够引起人们的美感、在实际生活中的应用也非常广泛、建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割、舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央、而是偏在台上一侧、以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观、声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方、如果从一棵嫩枝的顶端向下看、就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中、选取方案常用一种0.618法、即优选法、它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用、所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
接下来讲体系黄金律形式美法则的应用。
（黄金律两点重要内容：1、典型的美的比例；2、由多次分割同一比值造成的重复的节奏。
有比例的重复、这是对艺术形式规律最本质的概况。
）“根号2矩形”、纸的长宽比例、如果宽边为1、则长边为根号2、这个矩形使得整开纸以任何对开裁法、都能保持同一比例、大大方便了作为文化载体的纸的利用。
相似的还有三合板600乘以900cm的比例、以及相关家具、建筑材料、构件具有的相似的比例。
书法中一笔三转、一波三折等要诀、三横三点、三竖的互相联系——形状、距离、长短、方向角度等的处理。
书法中“二”字一长一短、“十”字竖笔被分为2∶3的两段、“口”、“田”则上宽下窄、“吕”、“炎”、“林”、“羽”则将本身是等大的两半部分分成一大一小、“品”、“森”则将本是等大的三部分写成三种大小、以上规律在行书中更为清晰。
中国书法美学的规律是与黄金比原则一致的。
西文中“S”、“B”等字母及阿拉伯“3”、“8”的上下两半比例适度。
拉丁文26个字母中、下行的是5个、上行8个、中行13个、所以连写数行、参差错落、比例适中、再加上大小写的比例差别、在视觉上也具有书法艺术的整体美感。
油画中的“三色法”、在一个有固定主调的色彩背景中配置三色（或三个笔触）、一色是相对暖色、一色相对冷、第三色则是中性色、这个中性色绝不该是绝对值的“中间”色。
中性色稍有偏向、就拉近了或拉大了对两色的色距、对两个色距比例的选择、就是色彩的优选法。
素描的虚实、明暗程度、色块面积、复线排列的交叉穿插角度等、都可发现数的比值规律的运用、不详细讲。
中国画、画面都是“自一至万、自万法以治一”（石涛《画语录》）、由“一条线”开始、以后的许多线都是这第一条线的相反相成的铺陈、以至完成全画。
“一笔”中的粗细、曲直、方圆、浓淡、干湿、虚实……
美的线条：“蛇形曲线或称波状曲线”、“S形线”。