10.2世纪金榜 2013 高三复习 答案

【解析】(1)由题意得 PA =(-2-x,-y),
PB =(-3-x,-y)， 所以 PAPB =(-2-x,-y)·(-3-x,-y),
又因为 PAPB =x2+1,

所以(-2-x,-y)·(-3-x,-y)=x2+1, 化简得：y2+5x+5=0.
设点
列式 化简 证明
【即时应用】
(1)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足 PAPB x 2 1，

则点P的轨迹方程是___________.
(2)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3, 则顶点A的轨迹方程为____________. (3)设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，O为 直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是________.
第二节 曲线与方程
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章首
„„„„三年1考 要 A 曲线与方程 √ B
高考指数:★★ 求 C
内 容
1.曲线与方程 如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程 曲线C的方程 方程f(x,y)=0的曲线 f(x,y)=0叫做____________，曲线C叫做___________________.
又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，
因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一
支(右支).
由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、 C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹
y2 方程为 x 1 (x≥1). 24
P(0,y′),可由已知条件得出x′、y′与x、y之间的关系，同 时得到x′、y′满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.
【规范解答】设M(x′,0),P(0,y′)，N(x,y), 由 MN 2MP，得(x-x′,y)=2(-x′,y′),

x x x x 2 所以 ，解得 y ， x y 2y y 2 又因为 PM PF， =(x′,-y′)， =(1,-y′), PF PM
的轨迹方程.
【提醒】用代入法求轨迹方程是将x′、y′表示成x、y的式子， 同时注意x′、y′的限制条件.
【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且 MN 2MP， 当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. PM PF，
【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x′,0)，
要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.
(3)由题意,设点P(1,a),Q(x,y),
∵△OPQ为等腰直角三角形,且OP为直角边,
OP 0， OQ
即(1,a)·(x,y)=x+ay=0
OP OQ ，即1 a 2 x 2 y2
① ②
由①,②得:y2=1，x2=a2, ∵a∈R,∴y2=1, 即Q的轨迹为两条平行直线.
【反思·感悟】1.从题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关 键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程； 2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.
定义法求轨迹方程 【方法点睛】 定义法
求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭
圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类
(2)设点A(x,y)，因为B(0,0)，
所以AB的中点D ( , ),
x y 2 2
又C(5,0),|CD|=3，
所以 (5 ) 2 (0 ) 2 3, 化简得：(x-10)2+y2=36. 又∵△ABC中的三点A、B、C不能共线， 所以去掉点(4,0)和(16,0).
x 2 y 2
所以(x′,-y′)·(1,-y′)=0,即x′+y′2=0, 所以-x+ ( )2 =0，即y2=4x. 因此所求的轨迹方程为y2=4x.
y 2
【反思·感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x′、 y′之间的关系式及x′、y′与x、y之间的关系；
2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时
【即时应用】
(1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足
“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲
线的方程吗？
提示：不一定. 因为若“曲线上点的坐标都是这个方程的解” 说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方 程的曲线.
(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足 “以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线 是这个方程的曲线吗？ 提示：不一定. 因为若“以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲 线的方程.
切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【解题指南】设动圆P的半径为r,由动圆P与圆C1、圆C2均外切
得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲 线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.
【规范解答】设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r， 因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，
答案：(1)y2+5x+5=0 (2)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0)) (3)两条平行直线
直接法求轨迹方程 【方法点睛】 1.直接法 如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从 而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.
2.应用直接法时应注意的问题 (1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方 程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能 忽视的. (2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.
(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是________.
【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或
x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为
两条直线. 答案：两条直线
2.求曲线方程的基本步骤
建系 建立适当的平面直角坐标系 轨迹上的任意一点一般设为P（x,y） 列出或找出动点P满足的等式 将得到的等式转化为关于x、y的方程 验证所求方程即为所求的轨迹方程
【例1】已知直角坐长与|MQ|的比等于常数λ (λ ＞0)，求动点M的轨
迹方程.
【解题指南】可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长 与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)即可得出方程.
【规范解答】设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：
2
【反思·感悟】1.本例是求轨迹方程，它的特点是利用题设条 件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨 迹方程； 2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵 及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.
相关点(代入)法求轨迹方程 【方法点睛】 相关点(代入)法 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动，而且 动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′ 表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P
型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关
键是理解解析几何中有关曲线的定义.
【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完 整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应 对其中的变量x或y进行限制.
【例2】已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外
P={M||MN|=λ|MQ|}，因为圆C的半径|CN|=1, 所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1， 设点M的坐标为M(x,y)，则
x 2 y 2 1 x 2 y 2，
2
化简整理得： (λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).