2018-2019学年高中数学必修一练习(人教A版)1.3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性含解析
【同步练习】人教A版2018年 高中数学 必修1 函数单调性与奇偶性 知识点+例题+同步练习(含答案)
函数的基本性质函数的单调性与最大(小值) 第1课时 函数的单调性知识点1 增函数与减函数 设函数f x 的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f(x)=1x，因为f(-1)<f(2)，所以函数f(x)是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )知识点2 函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间． 【预习评价】(1)函数f(x)=x 2＋2x-3的单调减区间是________． (2)函数y=|x|在区间[-2，-1]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减题型一 求函数的单调区间【例1】(1)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y=-x 2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．规律方法根据函数的图象求函数单调区间的方法：(1)作出函数图象；(2)把函数图象向x轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间．【训练1】函数y=1x－1的单调减区间是________．题型二证明函数的单调性【例2】证明函数f(x)=x＋4x在区间(2，＋∞)上是增函数．规律方法利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】证明函数f(x)=1x2在(-∞，0)上是增函数．题型三用单调性解不等式【例3】已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)，求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数，则满足f(x)<f(0.5)的实数x 的取值范围是________．题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围【探究1】若函数y=ax ＋5是(-∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________．【探究2】已知函数y=x 2＋2ax ＋3在区间(-∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【探究3】分别作出函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x>1和g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x>1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(-∞，＋∞)上的单调性．【探究4】已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x>1是减函数，求实数a 的取值范围．【探究5】若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x>1是减函数，求实数a 的取值范围．规律方法：已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y=2x ＋1B ．y=x 2＋1C ．y=3-xD ．y=x 2＋2x ＋12．函数f(x)=-x 2＋2x ＋3的单调减区间是( ) A ．(-∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(-∞，2) D ．(2，＋∞)3．若f(x)=(2k-3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．4．若函数f(x)是R 上的减函数，且f(a-1)>f(2a)，则a 的取值范围是________．5．证明f(x)=x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．函数的奇偶性知识点 函数的奇偶性(1)对于函数y=f(x)，若存在x ，使f(-x)=-f(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数．( ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )题型一 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2-|x|； (2)f(x)=x 2－1＋1－x 2； (3)f(x)=x x －1； (4)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，－x ＋1，x<0.规律方法：判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法：(2)图象法：【训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x 3＋x 5； (2)f(x)=|x ＋1|＋|x-1|； (3)f(x)=2x 2＋2xx ＋1.题型二 奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[-5,0]上的图象． (2)写出使f(x)<0的x 的取值集合．规律方法：1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(-∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(-∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y 轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．题型三 函数奇偶性的应用 方向1 利用奇偶性求函数值：【例3-1】已知f(x)=x 5＋ax 3＋bx-8，若f(-3)=10，则f(3)=( ) A ．26 B ．18 C ．10 D ．-26方向2 利用奇偶性求参数值 【例3-2】若函数f(x)=xx x )1)(1(-+为奇函数，则a=________.方向3利用奇偶性求函数的解析式【例3-3】已知函数f(x)(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f(x)=2x-1，求函数f(x)的解析式．规律方法：1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值，比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系数可求参数值． 2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x)．课堂达标1．下列函数是偶函数的是( )A ．y=xB ．y=2x 2-3C ．y=xD ．y=x 2，x ∈(-1,1]2．若函数f(x)=(m-1)x 2＋(m-2)x ＋(m 2-7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=-x 2＋1x-1，则f(-2)=________.4．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x ≠0，x ∈R }，且f(3)=0，则不等式f(x)<0的解集为________．5．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x ＋1，求f(x)的解析式．参考答案第1课时 函数的单调性【预习评价】提示：(1)×，由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量． (2)×，不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)×，反例：f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈1，2]，x －4，x ∈2，3.知识点2 函数的单调区间【预习评价】解析：(1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x=-1，故其单调减区间是(-∞，-1)． (2)函数y=|x|的单减区间是(-∞，0)，又[-2，-1]⊆(-∞，0)，所以函数y=|x|在区间[-2，-1]上递减． 答案：(1)(-∞，-1) (2)A【例1】(1)解析：观察图象可知，y=f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y=f(x)在区间[-5，-2]，[1,3]上是增函数，在区间[-2,1]，[3,5]上是减函数． 答案 [-2,1] [3,5] [-5，-2] [1,3](2)解 y=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x<0，即y=⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x<0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(-∞，-1]，[0,1]，单调减区间为[-1,0]，[1，＋∞)．【训练1】解析：y=1x －1的图象可由函数y=1x的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(-∞，1)和(1，＋∞)．答案 (-∞，1)，(1，＋∞)【例2】证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=x 1＋4x 1-x 2-4x 2=(x 1-x 2)＋4x 2－x 1x 1x 2=(x 1-x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2-4>0，所以f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．所以函数f(x)=x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．【训练2】证明：设x 1，x 2是区间(-∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=1x 21-1x 22=x 22－x 21x 21x 22=x 2－x 1x 2＋x 1x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2-x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)=1x2在(-∞，0)上是增函数．【例3】解：由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1，－1<2a －1<1，1－a>2a －1，解得0<a<23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.【训练3】解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x<12，解得-1≤x<12.答案 [-1,0.5).【探究1】答案 (-∞，0)【探究2】解析:函数y=x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x=-a ，要使其在区间(-∞，1]上是减函数，则-a ≥1，即a ≤-1.答案 (-∞，-1]【探究3】解：函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数；函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(-∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x>1是减函数，求实数a 的取值范围．解：由题意得，要使f(x)是减函数，需-2×1＋5≥-2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a<0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得-3≤a ≤-1，则实数a 的取值范围是[-3，-1]．课堂达标1．解析:函数y=3-x 在区间(0，＋∞)上是减函数．答案 C2．解析:易知函数f(x)=-x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x=1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．解析:由题意得2k-3>0，即k>1.5，故k 的取值范围是(1.5,+∞).答案(1.5,+∞). 4．解析:由条件可知a-1<2a ，解得a>-1.答案 (-1，＋∞)5．证明:设x 1>x 2>0，则f(x 1)-f(x 2)=x 21＋x 1-x 22-x 2=(x 1-x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(x 1＋x 2＋1)， 因为x 1>x 2>0，所以x 1-x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f(x 1)-f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)=x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．函数的奇偶性【预习评价】提示：(1)× 反例：f(x)=x 2，存在x=0，f(-0)=-f(0)=0，但函数f(x)=x 2不是奇函数； (2)×存在f(x)=0，x ∈R 既是奇函数，又是偶函数；(3)×函数f(x)=x 2-2x ，x ∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数． 【例1】解：(1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称，且f(x)=0， 又∵f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，-x<0，f(-x)=1-(-x)=1＋x=f(x)；当x<0时，-x>0，f(-x)=1＋(-x)=1-x=f(x)．综上可知，对于x ∈(-∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数．【训练1】解：(1)函数的定义域为R .∵f(-x)=(-x)3＋(-x)5=-(x 3＋x 5)=-f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R .∵f(-x)=|-x ＋1|＋|-x-1|=|x-1|＋|x ＋1|=f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(-∞，-1)∪(-1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．【例2】解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称．由y=f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[-5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5)． 【训练2】解：f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，如图，由图象知，f(2)<f(4).【例3-1】解析：法一 由f(x)=x 5＋ax 3＋bx-8，得f(x)＋8=x 5＋ax 3＋bx.令G(x)=x 5＋ax 3＋bx=f(x)＋8，∵G(-x)=(-x)5＋a(-x)3＋b(-x)=-(x 5＋ax 3＋bx)=-G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(-3)=-G(3)，即f(-3)＋8=-f(3)-8.又f(-3)=10， ∴f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26.法二 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝－35＋a －33＋b －3－8，①f 3＝35＋a ·33＋b ·3－8，② ①＋②得f(3)＋f(-3)=-16，又f(-3)=10，∴f(3)=-26.答案 D【例3-2】解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即－x ＋1－x ＋a －x =-x ＋1x ＋ax，显然x ≠0，整理得x 2-(a ＋1)x ＋a=x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1=0，解得a=-1.答案 -1 【例3-3】解：当x ＜0，-x ＞0，∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=2x ＋1.又f(x)(x ∈R )是奇函数，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.∴所求函数的解析式为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.课堂达标1．解析：对于A ，f(-x)=-x=-f(x)，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f(x)=f(-x)，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B ．答案 B2．解析：f(-x)=(m-1)x 2-(m-2)x ＋(m 2-7m ＋12)，f(x)=(m-1)x 2＋(m-2)x ＋(m 2-7m ＋12)，由f(-x)=f(x)，得m-2=0，即m=2.答案 B3．解析：f(2)=-22＋12-1=-92，又f(x)是奇函数，故f(-2)=-f(2)=92.答案 924．解析：由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R 上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3)．答案 (-3,0)∪(0,3)5．解 当x<0时，-x>0，∴f(-x)=-x ＋1，又f(-x)=-f(x)，故f(x)=x-1，又f(0)=0，所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，0，x ＝0，x －1，x<0.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含解析.pdf
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因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即 4 ∉(1,4),所以 4 ≤1 或 4 ≥4,即 m≤4 或 m≥16.
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答案(-∞,4]∪[16,+∞)
10.证明函数 f(x)=- ������在定义域上为减函数.
证明函数 f(x)=- ������的定义域为[0,+∞).
( )
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a)
D.f(a2+1)<f(a)
解析选项 D 中,因为 a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以 f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当 a=0 时, 自变量均是 0,应取等号.故选 D.
答案 D
6.若函数 f(x)=x2+3ax+5 在区间(-∞,5)上为减函数,则实数 a 的取值范围是( )
10
所以 a≤- 3 . 答案 A 7.函数 f(x)=|x-2|的单调递增区间是 . 解析由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
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答案[2,+∞) 8.已知函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当 x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则 f(1)= . 解析∵函数 f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,
设 x1,x2 是[0,+∞)上的任意两个实数,且 0≤x1<x2,则 x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=(- ������2)-(- ������1) = ������1 ‒ ������2
2018-2019学年高中数学人教A版必修一练习：1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 Word版含解析
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号求函数的单调区间2,7函数单调性的判定、证明1,3,4,9,12函数单调性的应用5,6,8,10,11,131.(2018·伊春高一期中)在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1(B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.2.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.3.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.4.(2017·湖北省荆州中学高一质检)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( B )(A)增函数 (B)减函数(C)先增后减 (D)先减后增解析:因为y=ax在(0,+∞)上是减函数,所以a<0.因为y=-在(0,+∞)上是减函数,所以-b>0,b<0.则y=ax2+bx的对称轴x=-<0且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在(0,+∞)上是减函数.故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.7.(2018·郑州模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是 .解析: g(x)=即g(x)=作出函数g(x)的图象,如图所示.由图象可知,g(x)的单调递减区间为[0,1).答案:[0,1)8.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 .解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]9.(2018·江西省九江一中高一上期末)已知函数f(x)=x+.(1)用单调性的定义证明f(x)在[2,+∞)上是增函数;(2)解不等式f(x2-2x+4)≤f(7).(1)证明:设x1,x2是[2,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=,因为2≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4>0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.(2)解:因为x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>2,所以由(1)知x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3.所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-1,0)∪(0,1](C)(0,1) (D)(0,1]解析:因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,所以对称轴x=a应满足a≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,所以a>0,所以0<a≤1.故选D.11.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是 .解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.答案:[0,4]12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.因此f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,解得x>9或x<-9.故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.13.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是 .解析:由<0对任意x1≠x2都成立,得f(x)是减函数,则得a≤0.答案:(-∞,0]。
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
3.2.1单调性与最大(小)值-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习
单调性与最大（小)值同步练习一、选择题1.若函数f(x)={2x+6,1≤x≤2,x+7,−1≤x<1,则f(x)的最大值、最小值分别为（）A. 10，6B. 10，8C. 8，6D. 以上都不对2.函数f(x)=x+√x,x∈[0,9]的最大值为()A. 0B. 2C. 6D. 123.一次函数f(x)=(3a−2)x+1−a，在[−2,3]上的最大值是f(−2)，则实数a的取值范围是（）A. a≥23B. a>23C. a≤23D. a<234.已知使不等式2ax2+ax−3>0对任意的a∈[1,3]恒成立的x的取值集合为A，使不等式mx2+(m−1)x−m>0对任意的x∈[1,3]恒成立的m的取值集合为B，则有（）．A. A⊆(C R B)B. A⊆BC. B⊆(C R A)D. B⊆A5.已知函数f(x)是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，则f(x)在区间[−2,−1]上是A. 单调递减函数，且有最小值−f(2)B. 单调递减函数，且有最大值−f(2)C. 单调递增函数，且有最小值f(2)D. 单调递增函数，且有最大值f(2)6.对于函数f(x)=12x−1给出以下说法(1)f(x)的图像可以由函数y=12x的图像向右移一个单位得到(2)函数f(x)的值域是{y|y≠0}(3)函数f(x)在[1,3]的最大值和最小值分别是f(1)，f(3)则以上判断正确的个数为第10页，共11页A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x)=4x 2−mx +5在区间[−2,+∞)上是增函数，在区间(−∞,−2]上是减函数，则f(1)= ( )A. −7B. 1C. 17D. 258. 已知函数f(x)=m(x −2)+3,g(x)=x 2−4x +3,若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f(x 1)>g(x 2)成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ∈(−2,2)B. m ∈(−32,32)C. m ∈(−∞,−2)D. m ∈(−32,+∞) 9. 已知f(x)=(x+2)2x 2+4，则f(x)在区间[−2,2]上的最大值最小值之和为（）A. 2B. 3C. 4D. 8 10. 已知函数f (x )=ax 2+x−1x 2，函数g (x )=2−acos2x −2asinx ，若∀x 1∈(1,+∞)，∃x 2∈[0,π3]，不等式f (x 1)<g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为A. (−∞,710)B. (−710,78)C. (710,78)D. (−∞,78) 11. 函数f(x)的图象与函数g(x)=(12)x 的图象关于直线y =x 对称，则f(2x −x 2)的单调减区间为( )A. (−∞,1)B. [1,+∞]C. (0,1)D. [1,2]12. 已知函数f(x)=lg|1+x|+lg|1−x|，则f(x)( )A. 是奇函数，且在(1,+∞)上是增函数B. 是偶函数，且在(1,+∞)上是增函数C. 是奇函数，且在(1,+∞)上是减函数D. 是偶函数，且在(1,+∞)上是减函数二、填空题13. 函数y =f(x)的定义域为[−4,6]，且在区间[−4,−2]上单调递减，在区间[−2,6]上单调递增，且f(−4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．14.已知函数f(x)=x+4x ，函数g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．15.若函效f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，则实数a的值为__________；且当x≥4时，f(x)的最大值为__________．16.已知f(x)是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若对任意，不等式恒成立，则2a2+b2的最小值是_______．三、解答题17.已知函数f(x)=log22x−12x+2，(1)判断函数f(x)的单调性；(2)当x∈[1,2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．18.已知函数f(x)=x2−2ax+1．(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1−x)成立，求实数a的值;(2)若f(x)在区间(1,+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围;(3)当x∈[−1,1]时，求函数f(x)的最大值．19.已知函数f(x)=log2(x2−mx)(m∈R)．(Ⅰ)若m=1，求f(2)的值；(Ⅱ)若m<0，函数f(x)在x∈[2,3]上的最小值为3，求，实数m的值．第10页，共11页答案和解析 1.A 解：函数y =2x +6在R 上单调递增，且函数y =x +7在R 上单调递增， 而当x =1时，2x +6=x +7=8，故得f(x)在[−1,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)=10，最小值为f(−1)=6．2.D解：设0≤x 1<x 2≤9，∴f(x 1)−f(x 2)=x 1+√x 1−x 2−√x 2，=(x 1−x 2)+√x 1−√x 2)(√x 1+√x 2)√x +√x ， =(x 1−x 2)+12√x +√x ， =(x 1−x 2)(1+√x +√x )，∵x 1<x 2， ∴x 1−x 2<0，1+√x +√x >0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在[0,9]上为增函数，∴f(x)的最大值为f(9)=9+√9=9+3=12，3.D解：因为一次函数，在[−2,3]上的最大值是f (−2)，则函数f(x)在[−2,3]上为减函数，则3a −2<0，解得a <23， 4.D解：令f(a)=(2x 2+x)a −3，因为f(a)>0对任意的a ∈[1,3]恒成立，所以{f(3)>0,f(1)>0,即{3(2x 2+x)−3>02x 2+x −3>0,解得x<−32或x>1，即，mx2+(m−1)x−m>0，即m(x2+x−1)>x，因为当x∈[1,3]时，x2+x−1>0，所以m>xx2+x−1对任意x∈[1,3]恒成立，又y=xx2+x−1=1x−1x+1在[1,3]上单调递减，故y max=1，故m>1，即B=(1,+∞)．综上，B⊆A．5.B解：由题意，得f(x)在[1,2]有最小值f(2)，则f(x)在区间[−2,−1]上是单调递减函数，且有最大值f(−2)=−f(2)，6.C解：(1)f(x)=12x−1=12(x−12)，f(x)的图象应当由y=12x的图象向右平移12个单位得到，故(1)错误；(2)函数f(x)=12x−1的值域为：{y∈R|y≠0}，故(2)正确；(3)f(x)=12x−1在[1,3]上是单调递减函数，函数的最大值为f(1)，最小值为f(3)，故(3)正确；7.D解：由题意知函数f(x)的对称轴方程为x=m8=−2，∴m=−16，∴f(x)=4x2+16x+5，∴f(1)=25．8.A解：∵对任意x1∈[0,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)>g(x2)成立，∴f(x1)min>g(x2)min，又∵g(x)=x2−4x+3，x2∈[1,4]，∴g(x)的值域为[−1,3]，第10页，共11页当m=0时，f(x)=3，符合题意；当m>0时，f(x)=m(x−2)+3为增函数，又∵x1∈[0,4]，∴f(x1)min=f(0)=−2m+3，∴−2m+3>−1，解得：m<2，∴0<m<2，当m<0时，f(x)=m(x−2)+3为减函数，又∵x1∈[0,4]，∴f(x1)min=f(4)=2m+3，∴2m+3>−1，解得：m>−2，∴−2<m<0，综上所述：−2<m<2．9.A解：由f(x)=x2+4+4xx2+4=1+4xx2+4令g(x)=4xx2+4，可得g(−x)=−4xx2+4=−g(x)是奇函数，可得g(x)区间[−2,2]上的最大值最小值之和为0．那么f(x)在区间[−2,2]上的最大值为1+g(x)max，最小值为1+g(x)min；∴f(x)在区间[−2,2]上的最大值最小值之和为2．10.D解：函数f(x)=ax2+x−1x2，函数g(x)=2−acos2x−2asinx，若∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[0,π3]，使得不等式f(x1)<g(x2)⇔f(x1)在(1,+∞)上的最大值小于g(x2)在[0,π3]上的最大值．由f(x)=ax2+x−1x2=a+x−1x =−(1x−12)2+a+14，所以f(x)max=a+14；由g(x)=2−acos2x−2asinx=2−a(cos2x+2sinx)=2+a(2sin2x−2sinx−1)=2−32a+2a(sinx−12)2，x∈[0,π3]；∴当a=0时，f(x)max=14，g(x)=2，符合题意；当a>0时，g(x)在x∈[0,π6]单调递减，在x∈[π6,π3]单调递增，g(0)=2−a，g(π3)=2+a2−√3a，因为(2−a)−(2+a2−√3a)=√3a−32a>0，则g(x)max=2−a；此时{a>02−a>a+14，得出0<a<78．当a<0时，g(x)在x∈[0,π6]单调递增，在x∈[π6,π3]单调递减，则g(x)max=g(π6)=2−32a，此时{a<02−32a>a+14，得出a<0．综上所述实数a的取值范围为(−∞,78)，11.C解：由题意函数f(x)的图象与函数g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称知，函数f(x)是函数g(x)=(12)x的反函数，所以f(x)=log12x，即f(2x−x2)=log12(2x−x2)，令2x−x2>0，解得0<x<2，又f(x)=log12x是减函数，t=2x−x2在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，由复合函数的单调性知，f(2x−x2)的单调减区间为(0,1)．12.B解：根据题意，函数f(x)=lg|1+x|+lg|1−x|，函数定义域为{x|x≠±1}f(−x)=lg|1−x|+lg|1+x|=f(x)，则函数f(x)为偶函数．x>1时，f(x)=lg(1+x)+lg(x−1)=lg(x2−1)，第10页，共11页∵t(x)=x2−1在(1,+∞)单调递增，y=lgt在(0,+∞)单调递增，故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，故选B．13.f(−2)；f(6)解：依题意，x∈[−4,−2]时，f(−2)≤f(x)≤f(−4)，又x∈[−2,6]时，f(−2)≤f(x)≤f(6)，由于f(−4)<f(6)，故f(x)在[−4,6]上的最大值为f(6)，最小值为f(−2)．14.[12,+∞)解：依题意知f(x)max≤g(x)max．因为f(x)=x+4x 在[12,1]上是减函数，所以f(x)max=f(12)=172．又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数，所以g(x)max=g(3)=8+a，因此172≤8+a，则a≥12．15.2；13解：∵函数f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，∴f(1)=−f(−1)，即1(1+2)(1−a)=−−1(−1+2)(−1−a)，解得a=2；∴当x≥4时，f(x)=x(x+2)(x−2)=xx2−4=1x−4x，又f(x)=1x−4x在[4,+∞)上为减函数，第10页，共11页 ∴当x ≥4时，f(x)的最大值为f (4)=14−1=13．故答案为2；13． 16.83解：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，所以不等式恒成立， 转化为|a +|x −b ||≥||x |−2|x −1||，令g (x )=|a +|x −b ||，ℎ(x)=||x |−2|x −1||，则g(x)图象恒在ℎ(x)图象上方或重合，易知当a <0时，g(x)图象不可能恒在ℎ(x)图象上方或重合，所以a ≥0， 则g (x )=|a +|x −b ||=a +|x −b |，最低点为(b,a)，ℎ(x)、g(x)的图象如下图：由图象可知：点(b,a)在y =|x −2|的图象上或图象上方， 则a ≥|b −2|，即a 2≥|b −2|2，所以2a 2+b 2≥2|b −2|2+b 2=3b 2−8b +8=3(b −43)2+83≥83， 则2a 2+b 2的最小值是83．故答案为83． 17.解：(1)∵f(x)=log 22x−12x+2=log 2(1−32x+2)，∴2x−12x+2>0，即x <−1或x >12，因为u =1−32x+2为增函数，log 2u 为增函数，根据复合函数的单调性，,+∞)上单调递增．∴f(x)在(−∞,−1)和(12(2)由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，=−2，故当x=1是函数有最小值，最小值为f(1)=log214=−1，故当x=2是函数有最大值，最大值为f(2)=log21218.解：(1)由题意知函数f(x)=x2−2ax+1的对称轴为x=1，即a=1．(2)函数f(x)=x2−2ax+1的图像的对称轴为直线x=a．y=f(x)在区间[1,+∞)上为单调递增函数，得，a≤1.(3)函数图像开口向上，对称轴为直线x=a，当a<0时，x=1时，函数取得最大值为：f(x)max=2−2a;当a>0时，x=−1时，函数取得最大值为：f(x)max=2+2a;当a=0时，x=1或−1时，函数取得最大值为：f(x)max=2．19.解：(Ⅰ)若m=1，则f(x)=log2(x2−x)，可得f(2)=log22=1；(Ⅱ)若m<0，函数f(x)在x∈[2,3]上的最小值为3，<0，可令z=x2−mx，可得z的对称轴为x=m2可得区间[2,3]为函数z=x2−mx的增区间，即为函数f(x)的增区间，可得x=2时，f(x)取得最小值，且为3，则log2(22−2m)=3，解得m=−2．。
人教A版高中数学必修一1.3.1+函数的单调性和最大小值+教案
函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。
函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。
这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。
首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。
这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。
二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。
但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。
三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。
掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。
2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。
通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。
3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。
新人教A版必修1高中数学1.3.1单调性与最大(小)值导学案
高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值导学案 新人教A 版必修1学习目标：掌握函数的单调性的概念和最大值、最小值的定义 学习重点：函数单调性及最值的应用 学习过程：一、 观察与总结观察下列函数的图象特征，分别反映了函数数与形的哪些变化规律1、增函数___________________________________ 减函数___________________________________2、最大值_______________________________________ 最小值_____________________________________ 二、 理论与实践 1、已知函数xx f 1)(（1） 求其定义域（2）画出其图象（3）指出它的单调区间（4）利用定义证明其在()∞，0单调递减+2、作出6xxf的图象，=x5)(2--指出其单调区间并求其值域3、函数12)(-=x x f （[]6,2∈x ）， 求函数的最大值和最小值 4、 求函数322-+=x x y 的增区间和减区间5、已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f（1）若)-，(xf的单调递减区间是(]4,∞求a的取值范围（2）若)-上市减函数，f在(]4,∞(x求a的取值范围三、课后感悟【课后作业与练习】一、选择题1. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数 的增区间是（ ）。
A ．B ．C ．D ．3． 在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A ．B ．C ．D ．4．当时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f)(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23） B ．（∞-，23）C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,328.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)9.若(31)41()log 1a a x ax f x xx -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)710.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14] D ．(－∞，3)二、填空题 1．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________ 2．已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：① （ 为常数）是___________；② （ 为常数）是___________；③ 是____________；④是__________．3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题1．求函数 的单调递减区间.2.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数3.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(全部三章)
高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩， 即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈=2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+=方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆）{0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x =（或2{0}{|}x x x ⊆=）2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+=方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B 痧?．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð，则(){2,4}U A B =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1（第11页）A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4_______R ；（5Z ；（6）2_______N ．1．（1）237Q ∈237是有理数；（2）23N ∈239=是个自然数；（3）Q π∉π是个无理数，不是有理数；（4R 是实数；（5Z 3=是个整数；（6）2N ∈25=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用“∈”或“∉”符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ；3-_______A ；{2}_______B ；B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ；{1}-_______A ；∅_______A ；{1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉；3A -∉；{2}B ；B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈；{1}-A ；∅A ；{1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．6．解：3782x≥，得{|24},{|3}-≥-，即3x x=≤<=≥，A x xB x x则{|2}=≤<．A B x x=≥，{|34}A B x x7．设集合{|9}=是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}A x x==，求A B，B CA C，()A B C．A B C，()7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}==是小于的正整数，A x x则{1,2,3}A C=，A B=，{3,4,5,6}而{1,2,3,4,5,6}B C=，{3}B C=，则(){1,2,3,4,5,6}A B C=，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C=．8．学校里开运动会，设{|}=是参加一百米跑的同学，A x x=是参加四百米跑的同学，{|}C x x=是参加二百米跑的同学，{|}B x x学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B；（2）A C．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C=∅．（1）{|}A B x x=是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}=是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．A C x x9．设{|}B x x=是平行四边形，{|}=是菱形，A x xS x x=是平行四边形或梯形，{|}=是矩形，求B C，A B{|}C x xð．ð，S A9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x=是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð，{|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð，(){|3,7}R A B x x x =<≥或ð，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．1．4集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？ 2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =，得U B A ⊆ð，即()U U A B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+；（2）()1f x =． 1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤， 得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 4．设{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素60相对应的B 中的元素是什么？与B中的元素2相对应的A 中元素是什么？ 4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B因为2sin 45=BA 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-；（2）()f x =（A ）（B ）（C ）（D ）（3）26()32f x x x =-+；（4）()f x = 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x = 即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，2x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-； （3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象： （1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩；（2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？ 8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩． Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象． （1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略． 3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h，步行的速度是5/km h，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．请将t表示为x的函数．（2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？4．解：（112x-，得1235xt-=+，(012)x≤≤，即1235xt-=+，(012)x≤≤．（2）当4x=时，12483()3535t h-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个.5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+；（2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=；（4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间增函数还是减函数. 上函数()y f x =是（1）256y x x =--；（2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减. 2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为 5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+， 即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间；（2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？ 2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断. 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a=-，或11a=， 得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-. 6.求下列函数的定义域： （1）y =（2）||5y x =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a+=+；（2）因为1()1xf x x -=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+． 8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =， 集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． 5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤.5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤.6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-， 又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y 元，则由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1.a 21=a ,a 43=43a ,a 53-=531a,a 32-=321a.2.(1)32x =x 32,(2)43)(b a +=(a +b )43,(3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3.(1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a 814121-+=a 85;(4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58） 1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa 2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(m m mm m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.7100;对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可.答案：2.8810;对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.7288;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.8250.4.解：(1)a 31a 43a 127=a1274331++=a 35;(2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y 43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y 31-)(3x 21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y 41-)(2x 21-3y 41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-; (8)4x 41(-3x 41y 31-)÷(-6x 21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31.点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x 的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}. 点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8. (2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n .(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309 =(21)9≈0.002.答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1.当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.解：(1)设y =x 21+x 21-,那么y 2=(x 21+x 21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1000,r =0.0225,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1000×(1+0.0225)5=1000×1.02255≈1118.答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1118元.4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-.(2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-.当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=；（2）2log 325=；（3）21log 12=-；（4）2711log 33=- 2.（1）239=；（2）35125=；（3）2124-=；（4）41381-= 3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-； 4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5. 练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）22211lglg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=； （2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-;（4）11ln 22e == 3.(1)22226log 6log 3log log 213-===;(2)lg5lg 2lg101+==;(3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==; (4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1;(2)1;(3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2.(1)(,1)-∞；(2)(0,1)(1,)+∞;（3）1(,)3-∞；（4）[1,)+∞3.(1)1010log 6log 8<(2)0.50.5log 6log 4<(3)2233log 0.5log 0.6>(4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2A 组（P74）1.(1)3log 1x =；(2)41log 6x =;（3）4log 2x =；（4）2log 0.5x = (5)lg 25x =(6)5log 6x =2.(1)527x =(2)87x =(3)43x =(4)173x = (5)100.3x =(6)x e =3.(1)0;(2)2;(3)2-;(4)2;(5)14-;(6)2. 4.(1)lg6lg 2lg3a b =+=+;(2)3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab ===; (3)2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+;(4)3lg lg3lg 22b a =-=-5.(1)x ab =;(2)mx n=;(3)3n x m =;(4)x =.6.设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x +=解得 1.073log 420x =≈.答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7.(1)(0,)+∞;(2)3(,1]4.8.(1)m n <;(2)m n <;(3)m n >;(4)m n >. 9.若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402MM M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10.(1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方. 所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略.(3)与原函数关于x 轴对称. 11.(1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12.(1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =.答：鲑鱼的游速为1.5米/秒.(2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =.答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位. B 组1.由3log 41x =得：143,43x x -==，于是11044333x x -+=+= 2.①当1a >时，3log 14a <恒成立；②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<. 综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >。
【同步课堂】人教A版高中数学必修1第一章1.3.1 单调性与最大(小)值—函数的最大(小)值课件(共12张PPT)
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
最小值．
x 1
例3：画出函数y | x 1| | 2x 4 |的图像， 写出它们的单调区间和最值。
例4：求函数f (x) x2 2ax 1在区间[1, 2]内的最值。
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
3、常用初等函数的最值求法.
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度.
2018-2019学年人教A版高中数学必修一练习：1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值
第一章 1.3 1.3.1 第2课时1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析：由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2.答案：C2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：作出图象可知y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为( ) A ．1,2a ＋1 B ．2a ＋1,1 C ．1＋a,1D ．1,1＋a 解析：因为a ＜0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x ＝0时，函数取得最大值为1；当x ＝2时，函数取得最小值为2a ＋1.答案：A4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________． 解析：∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3. 答案：35．若函数y ＝kx(k ＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析：因为k ＞0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y 最小＝k4，由题意知k4＝5，k ＝20.答案：206．如图为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午6时的气温是多少？这天的最高、最低气温分别是多少？(2)在什么时刻，气温为0℃？(3)在什么时间段内，气温在0℃以上？解：(1)上午6时的气温约是－1℃，全天的最高气温是9℃，最低气温是－2℃.(2)在上午7时和晚上23时气温是0℃.(3)从上午7时到晚上23时气温在0℃以上．。
2019年高一数学人教版必修1达标训练：1.3.1单调性与最大(小值) Word版含解析
答案：（-∞，-π）∪（π，+∞）
10.（经典回放）f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞]上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是____________.
答案：a>0 且 b≤0
1
11.已知 A=［1，b］（b＞1），对于 f（x）= （x-1）2+1，若 x∈A，f（x）∈A，试求 b 的
2
x
A.（0，+∞）
B.（-∞，0）
C.（-∞，0）∪（0，+∞）
D.（1，+∞）
3
思路解析：f（x）= 的递减区间有两个，即（-∞，0），（0，+∞）.
x
答案：C
3.设函数 f（x）=（2a-1）x+b 是 R 上的减函数，则有（ ）
1
A.a≥
2
1
B.a≤
2
1
C.a＞-
2
1
思路解析：由已知 f（x）为一次函数，且 2a-1＜0，解得 a＜ .
取值范围.
1
1
答案：∵f（x）= （x-1）2+1 的图象是抛物线， >0，∴开口向上，顶点坐标是
2
2
（1，1）.
当 x∈［1，b］时，f（x）单调递增.
当 x=b 时，f（x）max=f（b）∈［1，b］.∴f（b）≤b，
1
即 （b-1）2+1≤b，b2-4b+3≤0.解得 1≤b≤3.
2
∵b>1，∴1＜b≤3 为所求.
A.-3
B.13
C.7
D.由 m 而定
m
m
思路解析：二次函数的对称轴为 x= ，由条件，得 =-2，所以 m=-8.所以 f（x）
单调性与最大(小)值(第一课时)【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册限时作业含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！§3．2．1 单调性与最大（小）值（第一课时）限时作业一．选择题1．下列图象表示的函数中，在R 上是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()y f x ＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）A ．[20]-，B ．[0]1，C ．[21]-，D ．[11]-，4．下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x Î+¥，当x 1<x 2时，都有()()12f x f x >的是( )A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+5．若函数()1f x kx =+为R 上的增函数，则实数k 的值为（ ）A ．(),2-¥B ．()2,-+¥C ．(),0-¥D ．()0,+¥6．函数()111f x x =-- ( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减7．函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-¥是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a ³-B ．7a ³C ．3a ³D ．7a £-8．函数()y f x =在R 上为增函数，且()()29f m f m >-+，则实数m 的取值范围( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)二．填空题9．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．三．解答题12．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．§3．2．1 单调性与最大（小）值（第一课时）限时作业【参考答案】一．选择题1．下列图象表示的函数中，在R 上是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2．函数()y f x ＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）A ．[20]-，B ．[0]1，C ．[21]-，D ．[11]-，【答案】C【答案】C4．下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x Î+¥，当x 1<x 2时，都有()()12f x f x >的是( )A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x=D ．()21f x x =+【答案】B 5．若函数()1f x kx =+为R 上的增函数，则实数k 的值为（ ）A ．(),2-¥B ．()2,-+¥C ．(),0-¥D ．()0,+¥【答案】D6．函数()111f x x =-- ( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减【答案】B7．函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-¥是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a ³-B ．7a ³C ．3a ³D ．7a £-【答案】B 8．函数()y f x =在R 上为增函数，且()()29f m f m >-+，则实数m 的取值范围( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【答案】C二．填空题的单调减区间为________．三．解答题。
2018-2019学年最新人教版高中数学必修一1.3.1《单调性与最大(小)值》练习题
1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R 上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a ＝2.(2)由(1)知. 任取x 1,x 2∈(1,＋∞)且x 1＜x 2,,因为1＜x 1＜x 2,所以x 1－1＞0,x 2－1＞0,x 2－x 1＞0.所以f(x 1)－f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.。
2018高中数学人教a版必修一1.3.1单调性与最大值word练
1.3.1单调性与最大值（2）一、选择题：1.函数y=2x-1在区间[3,6]上的最大值与最小值别离是( )A.最大值是9,最小值是3B.最大值是36,最小值是9C.最大值是11,最小值是5D.最大值是16,最小值是62.函数y=-3x+1在区间[2,5]上的最大值与最小值别离是( )A.最大值是5,最小值是2B.最大值是7,最小值是3C.最大值是-5,最小值是-14D.最大值是6,最小值是73.函数y=3x 2在区间[0,3]上的最大值与最小值别离是( )A.最大值是27,最小值是0B.最大值是3,最小值是0C.最大值是24,最小值是0D.最大值是9,最小值是04.函数y=-x 2在区间[2,4]上的最大值与最小值别离是( )A.最大值是-4,最小值是-16B.最大值是16,最小值是4C.最大值是6,最小值是2D.最大值是-2,最小值是-65.函数y=x 1在区间[1,4]上的最大值与最小值别离是( ) A.最在值是4,最小值是1 B.最大值是1,最小值是41 C.最大值是5,最小值是3 D.最大值是2,最小值是16.函数y=-x1在区间[-5,-2]上的最大值与最小值别离是( ) A.最大值是-3,最小值是7 B.最大值是21,最小值是51 C.最大值是-51,最小值是-21 D.最大值是-71,最小值是-31 7.函数x ∈{-2-1,0,1,2}的最大值是__________, 现在对应的自变量是__________.8.函数 的最大值___________,此时对应的自变量 为____________,取的最小值是_________,现在对应的自变量x 为___________.该函数的概x -2 -1 0 1 2 -1y321 02 4 6 8 x -4 -1念域是________________,值域是________________.三、解答题:9.已知f(x+1)=x2-3x+2,求:(1)f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象,并指出单调区间;(3)求f(x)在x [-1,1]上的最大值与最小值.。
2018高中数学人教a版必修一1.3.1单调性与最大值word练
1.3.1单调性与最大值一、填空题:1.增函数的概念是___________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________.2.减函数的概念是______________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________.3.若是对于概念域内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,且x 1≠x 2,都有0)()(2121>--x x x f x f ,那么函数f (x)在区间D 上是_________函数(填“增”或“减”)。
4．若是对于概念域内某个区间D 上任意两个自变量的值x 1,x 2, 且x 1≠x 2,都有0)()(2121<--x x x f x f ,那么函数f(x)在区间D 上是_________函数(填“增”或“减”)。
5．下列函数 ① x ∈{0,1,2,3,4} x2= x + ④y=-4x 2+2x-5 x ),0[+∞∈ 在给定集合或区间上是增函数的有_________,是减函数的有________.(将序号填在横线上)6.若是下列函数在给定集合区间上是减函数,那么字母k 属于什么区间: ①y=kx x ∈R k ∈__________ ②y=xk x ∈(-∞,0) k ∈____________ ③y=-kx+2 x ∈R k ∈____________ ④y=kx 2-32x+1 x ),0[+∞∈ k ∈___________ 三、解答题: 7.作出y=-3x+4的图象，并证明它是R 上的减函数。
2018-2019学年高一数学人教A版必修1同步教学课件：1.3.1 1单调性与最大(小)值
y
x x
1, 1,
x x
0 0
(5) y x2 2 x 3
(6) y x2 2x 3
怎样去画 y f (| x |) 和 y f (x) 的函 数图像？
题型二 函数的单调区间Leabharlann 例2 写出下列函数的单调区间.
(1)y＝|x2－3x＋2|；
【解析】 (1)y＝|x2－3x＋2|
(2)y＝2x＋ －3x.
(2)如果一个函数在其定义域内的两个区间A，B上都是单调
增(减)函数，一般不能认为该函数在区间A∪B上是单调增(减)函
数，如函数f(x)＝－
2 x
在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函
数，不能说函数的单调增区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)，即不能
将这些区间并在一起.
(3)单调区间的书写：若函数在区间端点处有定义，则写成 闭区间(当然也可写成开区间)；若函数在区间端点处没有定义， 则必须写成开区间.
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(第1课时)
函数的单调性 单调区间
要点1 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1， x2.当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函 数. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1， x2.当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函 数.
第二步：作差变形.作出y差式f(x1)－f(x2)，并且通过提取公 因式、通分、配方等手段，向有利于判断差的符号的方向变 形，一般地写成几个最简因式相乘的形式.
第三步：判断符号.根据已知条件，确定Δy的符号. 第四步：下结论.根据定义，作出结论.
青海省平安县第一高级中学2018-2019学年高一数学必修一课后练习：1.3.1单调性与最大(小)值 Word版含答案
1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.1.3.1单调性与最大（小）值课后作业·详细答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.。
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1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第一课时函数的单调性
【选题明细表】
1.(2018·伊春高一期中)在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )
(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1
(C)y= (D)y=2x2+x+1
解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.
2.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )
(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)
(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)
解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,
所以当x≤-时单调递减.故选C.
3.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增
(B)函数在区间[1,4]上单调递增
(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性
解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.
4.(2017·湖北省荆州中学高一质检)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( B )
(A)增函数 (B)减函数
(C)先增后减 (D)先减后增
解析:因为y=ax在(0,+∞)上是减函数,所以a<0.
因为y=-在(0,+∞)上是减函数,
所以-b>0,b<0.
则y=ax2+bx的对称轴x=-<0且抛物线开口向下,
所以y=ax2+bx在(0,+∞)上是减函数.故选B.
5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )
(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)
(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)
解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.
6.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )
(A)(-∞,3) (B)(0,3)
(C)(3,+∞) (D)(3,9)
解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.
7.(2018·郑州模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.
解析: g(x)=
即g(x)=
作出函数g(x)的图象,如图所示.
由图象可知,g(x)的单调递减区间为[0,1).
答案:[0,1)
8.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是
.
解析:由题意得解得-3≤a≤-2.
答案:[-3,-2]
9.(2018·江西省九江一中高一上期末)已知函数f(x)=x+.
(1)用单调性的定义证明f(x)在[2,+∞)上是增函数;
(2)解不等式f(x2-2x+4)≤f(7).
(1)证明:设x1,x2是[2,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,
则
f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=
,
因为2≤x1<x2,
所以x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)<f(x2),
所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.
(2)解:因为x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>2,
所以由(1)知x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,
解得-1≤x≤3.
所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.
10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(0,1]
(C)(0,1) (D)(0,1]
解析:因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,
所以对称轴x=a应满足a≤1,
因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,
所以a>0,所以0<a≤1.故选D.
11.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是.
解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
答案:[0,4]
12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且
当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
解:(1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,
故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),
且x1>x2,则>1,
由于当x>1时,f(x)<0,
所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.
因此f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(3)由f()=f(x1)-f(x2)得
f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,
所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, 且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,
解得x>9或x<-9.
故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.。