中考圆的常见题型
中考数学常考的圆的六种题型
中考题中常考的圆的六种解题策略第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
2020年中考总复习圆的经典题型汇总(含答案)
1、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O 交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．3、如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．5、如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．8、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．9、如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．10、如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．12、如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB 交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．13、如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．14、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC 至F点，使CF＝CD，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．15、已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积16、如图在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接OD．（1）求证：OD∥BC；（2）过点D作⊙O的切线，交BC于点E，若∠A＝30°，求的值．17、如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．18、如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。
中考数学-热点01 与圆有关的计算问题(四川成都专用)(原卷版)
热点01与圆有关的计算问题圆得计算是四川成都中考数学的必考考点，常见以选填的形式，主要是求角、长度、面积等问题，一般出现在中考的第7或8题，偶尔也会出现在A 卷填空题中，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型1与圆有关的角度问题】【例1】（2023·四川成都·统考二模）如图，BC 是O 的直径，点,A D 在O 上，若30,ADC ∠=︒则ACB ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【变式1-1】（2023·四川成都·统考二模）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接OA AC 、，则OAC ∠的大小是（）A ．18︒B ．24︒C ．30︒D ．36︒【变式1-2】（2023·四川成都·统考二模）如图，在O 中，弦AB CD ∥，若82BOD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．41︒B ．52︒C ．68︒D ．82︒【变式1-3】（2023·四川成都·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF 和正方形AGDH 都内接于O ，连接BG ，则弦BG 所对圆周角的度数为（）A ．15︒B ．30︒C ．15︒或165︒D ．30︒或150︒【变式1-4】（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知正五边形ABCDE ，AB BC CD DE AE ====，A 、B 、C 、D 、E 均在O 上，连接AC ，则ACD ∠的度数是（）A ．72︒B ．70︒C ．60︒D ．45︒【题型2与圆有关的长度问题】【变式2-1】（2022·四川成都则正六边形的边长为（）A ．3B ．A ．cos36r R =︒C ．2tan36a r =︒【变式2-3】（2023·的外切正六边形的边长为（A ．233R【题型3与圆有关的面积问题】【例3】（2023·四川成都·统考中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是【变式3-1】（2021·的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（A．16πB．12πA ．23π【变式3-4】（2021·（建议用时：30分钟）1．（2023·四川成都·成都实外校考一模）如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，若28CDB ∠=︒，则AOC ∠的度数为（）A ．28︒B ．56︒C ．58︒D ．62︒2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，ABC 中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，O 为ABC 的内切圆，与三边的切点分别为D 、E 、F ，则O 的面积为___________（结果保留π）（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4πA．22︒B．6．（2022·四川成都·模拟预测）A．5 3π9．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知⊙∠AOB+∠COD=180°，则弦A．610．（2022·四川成都·一模）的面积为（）A．24πππ16．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知上一点，连接点D，若P为O17．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，已知18．（2023·四川成都·模拟预测）则扇形BOC的面积为19.（2021·四川成都·成都实外校考一模）则BE=．20．（2023·四川成都·校考三模）如图，多边形∠=．PAB21．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，分别以边长为边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，内的概率为．。
初三圆中常考题型总结
授课类型T 圆的基本位置关系 C 圆与直线相关性质综合 T 中考真题运用授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理基本概念关系：1、点与圆的位置关系（1）点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内； （2）点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上； （3）点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；2、直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点； （2）直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点； （3）直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；drd=rrd3、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；rdd CBAO内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rRd二、同步题型分析题型1：点与圆例1：（★）⊙O 的半径r=10cm ，圆心到直线L 的距离OM=8cm ，在直线L 上有一点P ，PM=6cm ，则点P （ ）A 在⊙O 内B 在⊙O 外C 在⊙O 上D 不能确定题型2：直线与圆（相交、相离、相切）例1：（★★★）（2013四川巴中，26，13分）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．题型3：直线与圆（切线的证明）．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，求证：DE 是⊙O 的切线．图2rRd图4rRd 图5r Rd．如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切．变式练习1：已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB ︵的度数为120°，连接PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．变式练习2．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ． （1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若OB=BG=2，求CD 的长．变式3：（★★★）已知：如图，射线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．变式4、如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．题型4：直线与圆（切线长定理）（★★★））例1：已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若P A=10cm，求△PCD的周长．O O B AM题型4：圆与圆例1：（★★★）（2013·泰安，18，3分）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．4C ．4π＋4D ．4π－4例2：（★★★）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A ，⊙B 的半径均为1cm ．⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (s )之间的关系式为r =1＋t (t ≥0)．(1)试写出点A ，B 之间的距离d (cm)与时间t (s )之间的函数表达式； (2)问点A 出发多少秒时两圆相切?例3：（★★★）如图所示，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，•设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（ ）．A ．y=14x 2+x B ．y=－14x 2+x C ．y=－14x 2－x D ．y=14x 2－x三、课堂达标检测检测题1：（★★）已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．检测题2：（★★）（2013•东营，7，3分）已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ） A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切检测题3：（★★）（2013江苏泰州，15，3分）如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l 与⊙O 相交于A ， B 两点，AB 43=cm, P 为直线l 上一动点，以l cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点.设PO=d cm ，则d 的范围___________________.检测题4：（★★）（2013•嘉兴5分）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A 的半径为1，将⊙A 绕点O 按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B ，则⊙A 与⊙B 的位置关系为 ．检测题5：（★★）（2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是 ．检测题6：（★★）已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．一、专题精讲题型一：圆的分类讨论例1：（★★）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）A ．2b a +B ．2b a -C ．22ba b a -+或 D ．b a b a -+或例2：（★★）（2013贵州省六盘水，16，4分）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为题型三：三角形与圆例2：（★★★）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．二、专题过关检测题1：（★★★）（2013白银，17，4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=．检测题2:（★★★）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．一、能力培养（2011，十堰）如图，A B是半圆O的直径，点C为半径O B上一点，过点C作C D⊥A B 交半圆O于点D，将△A C D沿A D折叠得到△A E D，A E交半圆于点F，连接D F．（1）求证：D E是半圆的切线；（2）连接O D，当O C＝B C时，判断四边形O D F A的形状，并证明你的结论．例．2．：．[2011．．上，以．．．A E．．为直径的⊙．．．A B．．．．．O．与．．．]．如图，已知点．．．．．·湛江．．．．．．E．在．R t．．△．A B C．．．的斜边直角边．．．B C．．．．D.．．．．相切于点(1)．．．B A C．．．；．．．平分∠．．．求证：．．．A D(2)．．．．．．．O．的半径．．．．若．B E．．＝．2．，．B D．．＝．4．，求⊙。
中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．23【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB=，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，∴∠FBA+∠ABO=90°，∴∠FAB+∠BAO=90°，即∠FAO=90°，∴PA⊥OA，∴PA是圆O的切线；（3）过点F作FH⊥AD于点H，∵BD⊥AD，FH⊥AD，∴FH∥BC，由(2)，知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF.∵BF=FG，∴AF=FG，∴△AFG是等腰三角形.∵FH⊥AD，∴AH=GH，∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，∴四边形BDHF 是矩形，∴BD =FH ，∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG ，∴12FH HG CD DG ==， 即12BD CD =， ∴23 2.153≈， ∵O 的半径长为32，∴BC =62，∴BD =13BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.5．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP ≌△ACF ；（2）求证：AC 2=PA•AE ；（3）求PB 和PC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA •AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。
2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测
重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。
初中圆题型总结
初中圆题型总结近几年的中考数学试题中，圆的相关概念和性质通常以填空题和选择题的形式出现，并占有10分至15分左右的分值。
综合性问题则以计算证明的形式考查，如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等。
此外，将圆的知识与其他知识点如代数函数、方程等相结合作为中考压轴题也很常见。
圆的实际应用题、阅读理解题和探索存在性问题仍然是热门考题，需要引起注意。
下面将就近年来圆的热点题型举例解析。
一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；（3）圆周角定理及推论；（4）圆内接四边形性质。
例1】（江苏镇江）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H。
1）证明：E为弧ADB的中点，其中CE为OC的平分线，OE与⊙O相交于点E。
2）如果⊙O的半径为1，CD=3，求O到弦AC的距离，并填空：此时圆周上存在一个点到直线AC的距离为____。
解析】（1）根据垂径定理，OE∥CD。
又因为CD⊥AB，所以∠AOE=∠BOE=90°。
又因为OC=OE，所以∠E=∠OCE。
又因为∠OCE=∠DCE，所以∠E=∠DCE。
因此，OE∥CD且OE=CD/2，所以E为弧ADB的中点。
2）根据勾股定理，CH=CD=3，所以OH=√（1^2-（3/2）^2）=√（1/4）=1/2.由于∠COB=60°，所以∠BAC=30°。
作OP⊥AC于P，则OP=OA=1/2.因此，O到弦AC的距离为1/2.又因为∠BAC=30°，所以圆周上存在一个点到直线AC的距离为3.点评】此题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力。
在解题过程中，需要添加辅助线构造与定理相关的基本图形，如圆心到弦的距离。
在解有关弦心距半径有关问题时，常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距，将垂径定理和勾股定理结合起来解题。
例2】（安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，且∠BOC=46°，求∠AED的度数。
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
中考圆的概念定义及习题专练
中考圆的定义及习题专练◆考点聚焦知识点直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)： P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆，三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点，三角形外接圆圆心叫外心。
外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等。
圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r 内切内含圆与直线的关系：相切相交相离切线的定义及性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)根据切线的判定定理来判定．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．切线长定理：是指从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
等于它所夹的弧的圆周角度数。
与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。
相交弦定理：是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
中考复习专题—圆综合
〔3〕求图中两局部阴影面积的和．
13.〔2013•〕如图，在 中，弦AB与弦CD相交于点G， 于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F， .
〔1〕假设 ，求证：BF是 的切线；
〔2〕假设 ， ，请用 表示 的半径；
〔3〕求证： .
14.〔2013•江〕如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
〔1〕求证：CF是⊙O的切线；
〔2〕求证：△ACM∽△DCN；
〔3〕假设点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
题型三：圆与四边形
1.〔2012〕如图，四边形ABCD接于⊙O，直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．
〔1〕求AC的长．
〔2〕求CE：EA的值．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E。
〔1〕求证，ED为⊙O的切线；
〔2〕如果⊙O的半径为 ，ED=2，延长EO交⊙O于ຫໍສະໝຸດ ，连接DF、AF求△ADF的面积。
3.〔2012，〕如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
〔3〕在CB的延长线上取一点P，使CB= BP，求证：直线PA与⊙O相切．
2.〔2012资阳〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP
〔1〕BD=DC吗？说明理由；
〔2〕求∠BOP的度数；
5.如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．EH= CD，
九年级数学圆专题训练题
九年级数学圆专题训练题九年级数学圆专题训练题一、选择题1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC，其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.0考点：切线的性质.分析：连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立.解答：解：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC=90°，又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD.∴∠C=∠BDC=30°，∴BD=BC，②成立;∴AB=2BC，③成立;∴∠A=∠C，∴DA=DC，①成立;综上所述，①②③均成立，故答案选：A.点评：本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键.2.如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()A.3次B.4次C.5次D.6次考点：直线与圆的位置关系.分析：根据题意作出图形，直接写出答案即可.解答：解：如图：，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选B.点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(﹣3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()(第1题图)A.1B.1或5C.3D.5考点：直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可.解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1;当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的.关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径.4.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切;(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个分析：(1)利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO(SSS)，即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可;(2)利用(1)所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB(SAS)，即可得出答案;(3)利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA)，进而得出CO=PO=AB;(4)利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可.解：(1)连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故此选项正确;(2)由(1)得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确;(3)连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确;(4)∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确;故选：A.点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.5.(2014•武汉，第10题3分)如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是()A.1B.1/2C.3/5D.2考点：切线的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义分析：(1)连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=.利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可.解答：解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=.在Rt△BFP和Rt△OAF中，，∴Rt△BFP∽RT△OAF.∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴(PA+AF)2﹣PB2=FB2∴(r+BF)2﹣()2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB===，故选：B.6.如图，G为△ABC的重心.若圆G分别与AC、BC相切，且与AB 相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确?()A.BCACC.ABAC分析：G为△ABC的重心，则△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断.解：∵G为△ABC的重心，∴△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积，又∵GHa=GHb>GHc，∴BC=AC故选D.点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键.7.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC;②BC=6;③sin∠AOB=;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是()A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④考点：垂径定理;菱形的判定;圆周角定理;解直角三角形.分析：分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可.解答：解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确;∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵点A是点A是劣弧的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OB=OB=AB=6cm，∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故B正确;∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正确;∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC=OC，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确.故选B.点评：本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题.8.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是()A.4B.7C.3D.5解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为(3，3)，∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+.故选B.点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.。
（完整版）中考数学圆综合题（含答案）
1 / 17一.圆地概念集合形式地概念： 1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合； 2.2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合； 3.3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念：1.1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,,定长为半径地圆；（补充）2.2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）； 3.3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4.4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；5.5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. .二.点与圆地位置关系1.1.点在圆内点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2.2.点在圆上点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3.3.点在圆外点在圆外 ⇒ d r > ⇒点A 在圆外；三.直线与圆地位置关系1.1.直线与圆相离直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2.2.直线与圆相切直线与圆相切⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 3.3.直线与圆相交直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒有两个交点； drd=rrd四圆与圆地位置关系外离（图1）⇒ 无交点⇒ d R r >+； r dd CBAO外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-； 图1rRd图3rR d五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. .推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心）弦地垂直平分线经过圆心,,并且平分弦所对地两条弧；（3）平分弦所对地一条弧地直径）平分弦所对地一条弧地直径,,垂直平分弦垂直平分弦,,并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理个定理,,简称2推3定理：此定理中共5个结论中个结论中,,只要知道其中2个即可推出其它3个结论个结论,,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论个结论. . 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等：圆地两条平行弦所夹地弧相等. .即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六.圆心角定理图2r Rd 图4rRd图5r RdO EDCBAOCDAB圆心角定理：同圆或等圆中同圆或等圆中,,相等地圆心角所对地弦相等相等地圆心角所对地弦相等,,所对地弧相等相等,,弦心距相等弦心距相等. . 此定理也称1推3定理定理,,即上述四个结论中即上述四个结论中,,只要知道其中地1个相等个相等,,则可以推出其它地3个结论个结论, , 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七.圆周角定理1.1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. . 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对地圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2.2.圆周角定理地推论：圆周角定理地推论：推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,,相等地圆周角所对地弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆是半圆,,所对地弦是直径所对地弦是直径. .即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半：若三角形一边上地中线等于这边地一半,,那么这个三角形是直角三角形角三角形. .即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理. .八.圆内接四边形F E DCBAOCBAODCB AOCBAOC BAO圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,,外角等于它地内对角外角等于它地内对角. . 即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九.切线地性质与判定定理（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径两个条件：过半径外端且垂直半径,,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点：过圆心垂直于切线地直线必过切点. . 推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心：过切点垂直于切线地直线必过圆心. . 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个. .十.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆地两条切线从圆外一点引圆地两条切线,,它们地切线长相等它们地切线长相等,,这点和圆心地连线平分两条切线地夹角切线地夹角. .即：∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠EDCBANMAOPBAO十一十一..圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交：圆内两弦相交,,交点分得地两条线段地乘积相等交点分得地两条线段地乘积相等. . 即：在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交）推论：如果弦与直径垂直相交,,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项条线段地比例中项. .即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线：从圆外一点引圆地切线和割线,,切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项点地两条线段长地比例中项. .即：在⊙O 中,∵PA 是切线是切线,,PB 是割线 ∴2PA PC PB =⋅ （4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线：从圆外一点引圆地两条割线,,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. . 即：在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二十二..两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦共弦. .如图：12O O 垂直平分AB 即：∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三十三..圆地公切线两圆公切线长地计算公式：PO DCBAO EDCBA DEC BPAOBA O1O2C O2O1B A（1）公切线长：12Rt O O C ∆中,22221122AB CO O O CO ==-； （2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和是半径之和 . . 十四十四..圆内正多边形地计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理同理,,四边形地有关计算在Rt OAE ∆中进行中进行,,::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理同理,,六边形地有关计算在Rt OAB ∆中进行中进行,,::1:3:2AB OB OA =十五十五..扇形扇形..圆柱和圆锥地相关计算公式1.1.扇形：扇形：（1）弧长公式：180n R l π=；（2）扇形面积公式：213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应地圆地半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2012数学中考圆综合题数学中考圆综合题1．如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆地切线；是圆地切线；DCBAOECBADOBAOS lBAO（2）若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =35,求圆地直径．求圆地直径．2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB ＝2,∠B ＝30°,C 是弦AB 上地任意一点（不与点A.B 重合）,连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD ．(1)弦长AB 等于等于▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时,求∠BOD 地度数；地度数；(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程．为顶点地三角形相似？请写出解答过程．3. 如图右如图右,,已知直线PA 交⊙交⊙00于A.B 两点两点,AE ,AE 是⊙是⊙00地直径．点C 为⊙为⊙00上一点上一点,,且AC 平分∠分∠PAE,PAE,PAE,过过C 作CD CD⊥⊥PA,PA,垂足为垂足为D. (1)(1)求证：求证：求证：CD CD 为⊙为⊙00地切线；地切线；(2)(2)若若DC+DA=6,DC+DA=6,⊙⊙0地直径为l0,l0,求求AB 地长度地长度. . 1. (1)证明：连接证明：连接OC, ∵点C 在⊙在⊙00上,0A=OC,,0A=OC,∴∠∴∠∴∠OCA=OCA=OCA=∠∠OAC,OAC,∵∵CD CD⊥⊥PA,PA,∴∠∴∠∴∠CDA=90CDA=90CDA=90°°,有∠有∠CAD+CAD+CAD+∠∠DCA=90DCA=90°°,∵AC 平分∠平分∠PAE,PAE,PAE,∴∠∴∠∴∠DAC=DAC=DAC=∠∠CAO. ∴∠∴∠DC0=DC0=DC0=∠∠DCA+DCA+∠∠ACO=ACO=∠∠DCA+DCA+∠∠CAO=CAO=∠∠DCA+DCA+∠∠DAC=90DAC=90°°. 又∵点C 在⊙在⊙O O 上,OC 为⊙为⊙00地半径地半径,,∴CD 为⊙为⊙00地切线．地切线． (2)(2)解：过解：过0作0F 0F⊥⊥AB,AB,垂足为垂足为F,F,∴∠∴∠∴∠OCA=OCA=OCA=∠∠CDA=CDA=∠∠OFD=90OFD=90°°, ∴四边形OCDF 为矩形为矩形,,∴0C=FD,OF=CD. ∵DC+DA=6,DC+DA=6,设设AD=x,AD=x,则则OF=CD=6-x,OF=CD=6-x,∵⊙∵⊙∵⊙O O 地直径为10,10,∴∴DF=OC=5,DF=OC=5,∴∴AF=5-x,在Rt Rt△△AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =.由AD<DF,AD<DF,知知05x <<,故2x =. 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF OF⊥⊥AB,AB,由垂径定理知由垂径定理知由垂径定理知,F ,F 为AB 地中点地中点,,∴AB=2AF=6.4．（已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合）,连接PA.PB.PC.PD ．(1)如图①,当PA 地长度等于地长度等于 ▲ 时,∠PAB ＝60°；°； 当PA 地长度等于地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形；是等腰三角形；(2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所示地直角坐标系示地直角坐标系（点（点A 即为原点O ）,把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3．坐标为（a ,b ）,试求2 S 1 S 3－S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值．地值．5.6.6.（（11金华）如图,射线PG 平分∠EPF ,O 为射线PG 上一点,以O 为圆心,10为半径作⊙O ,分别与∠EPF地两边相交于A .B 和C .D ,连结OA ,此时有OA//PE ． （1）求证：AP =AO ； （2）若tan ∠OPB =12,求弦AB 地长；地长；（3）若以图中已标明地点（即P .A .B .C .D .O ）构造四边形,则能构成菱形地四个点为则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为能构成等腰梯形地四个点为▲ 或 ▲ 或 ▲ .（1）∵PG 平分∠EPF ,∴∠DPO =∠BPO ,∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA ,∴∠BPO =∠POA ,∴P A =OA ； ……2分 （2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =12AB ,……1分 ∵ tan ∠OPB =12OH PH=,∴PH =2OH ,…………1分 设OH =x ,则PH =2x ,由（1）可知P A =OA = 10 ,∴AH =PH －P A =2x －10,∵222222AH OH OA +=, ∴222222(210)10x x -+=, ……1分 解得10x =（不合题意,舍去）,28x =, ∴AH =6, ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P A O C ；A B.D.C 或 P .A.O.D或P .C.O.B . 7．（芜湖市）（本小题满分12分）分）如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点．点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4,P A ＝ 32AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长．地长．8．（黄冈市）（6分）如图如图,,点P 为△为△ABC ABC 地内心地内心,,延长AP 交△交△ABC ABC 地外接圆于D,D,在在AC 延长线上有一点E,E,满足满足AD 2＝AB AB··AE,求证：求证：DE DE 是⊙是⊙O O 地切线地切线. .PABCO D EFG第21题图题图H PABCO DEF G（证明：连结DO,DO,∵∵AD 2＝AB AB··AE,AE,∠∠BAD BAD＝∠＝∠＝∠DAE,DAE,DAE,∴△∴△∴△BAD BAD BAD∽△∽△∽△DAE, DAE, ∴∠∴∠ADB ADB ADB＝∠＝∠＝∠E. E. E. 又∵∠又∵∠又∵∠ADB ADB ADB＝∠＝∠＝∠ACB,ACB,ACB,∴∠∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠＝∠＝∠E,BC E,BC E,BC∥∥DE, 又∵又∵OD OD OD⊥⊥BC,BC,∴∴OD OD⊥⊥DE,DE,故故DE 是⊙是⊙O O 地切线）地切线）9．（义乌市）如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是»AE 地中点,OM 交AC 于点D ,60BOE ∠=°,1cos 2C =,23BC =．（1）求A ∠地度数；地度数；（2）求证：BC 是⊙O 地切线；地切线；（3）求¼MD 地长度．地长度． （解：（1）∵∠BOE =60=60°° ∴∠A ＝12∠BOE ＝ 30° （2）在△ABC 中 ∵1cos 2C = ∴∠C =60=60°…°…°…11分 又∵∠A ＝3030°°∴∠ABC =90=90°∴°∴AB BC ⊥…………22分 ∴BC 是⊙O 地切线地切线 （3）∵点M 是»AE 地中点地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt Rt△△ABC 中∵23BC = ∴AB =tan 60233BC ︒=⨯=g 6 ∴OA =32AB = ∴OD =12OA =32∴MD =32） 10. （兰州市）（本题满分10分）如图如图,,已知AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径,,点C 在⊙在⊙O O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2COB=2∠∠PCB.（1）求证：）求证：PC PC 是⊙是⊙O O 地切线；地切线； （2）求证：）求证：BC=BC=21AB AB；；（3）点M 是弧AB 地中点地中点,CM ,CM 交AB 于点N,N,若若AB=4,AB=4,求求MN MN··MC 地值地值. . 解：（1）∵）∵OA=OC,OA=OC,OA=OC,∴∠∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO ∵∠∵∠COB=2COB=2COB=2∠∠A ,∠COB=2COB=2∠∠PCB ∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO=ACO=∠∠PCB∵AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径 ∴∠∴∠ACO+ACO+ACO+∠∠OCB=90OCB=90°° ∴∠∴∠PCB+PCB+PCB+∠∠OCB=90OCB=90°°,即OC OC⊥⊥CP ∵OC 是⊙是⊙O O 地半径地半径 ∴PC 是⊙是⊙O O 地切线地切线（2）∵）∵PC=AC PC=AC ∴∠∴∠∴∠A=A=A=∠∠P ∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO=ACO=∠∠PCB=PCB=∠∠P ∵∠∵∠COB=COB=COB=∠∠A+A+∠∠ACO,ACO,∠∠CBO=CBO=∠∠P+P+∠∠PCB ∴∠∴∠CBO=CBO=CBO=∠∠COB∴BC=OC ∴BC=21AB(3)连接MA,MB∵点M 是弧AB 地中点地中点 ∴弧∴弧AM=AM=弧弧BM ∴∠∴∠∴∠ACM=ACM=ACM=∠∠BCM∵∠∵∠ACM=ACM=ACM=∠∠ABM ∴∠∴∠∴∠BCM=BCM=BCM=∠∠ABM∵∠∵∠BMC=BMC=BMC=∠∠BMN ∴△∴△MBN MBN MBN∽△∽△∽△MCB MCB∴BM MNMC BM = ∴BM 2=MC =MC··MN∵AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径,,弧AM=AM=弧弧BM ∴∠∴∠AMB=90AMB=90AMB=90°°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC MC··MN=BM 2=811．（本题满分14分） OB ACE M D如图（1）,两半径为r 地等圆1O e 和2O e 相交于M N ，两点,且2O e 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交1O e 和2O e 于A B ，两点,连结NA NB ，．（1）猜想点2O 与1O e 有什么位置关系,并给出证明；并给出证明；（2）猜想NAB △地形状,并给出证明；并给出证明； （3）如图（2）,若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN ,且点A B ，在点M 地两侧,那么（2）中地结论是否成立,若成立请给出证明．若成立请给出证明．4. （1）2O 在1O e 上证明：2O Q e 过点1O ,12O O r ∴=．又1O Q e 地半径也是r ,∴点2O 在1O e 上．上． （2）NAB △是等边三角形是等边三角形 证明：MN AB ⊥Q ,90NMB NMA ∴∠=∠=o o． BN ∴是2O e 地直径,AN 是1O e 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上．上．连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线．1222AB O O r ∴==． AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形．是等边三角形．（3）仍然成立．证明：由（2）得在1O e 中¼MN 所对地圆周角为60o．在2O e 中¼MN 所对地圆周角为60o． ∴当点A B ，在点M 地两侧时,在1O e 中¼MN 所对地圆周角60MAN ∠=o ,在2O e 中¼MN 所对地圆周角60MBN ∠=o,NAB ∴△是等边三角形．是等边三角形．12．如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点．点．O 2O 1NMBA 图（1） O 2O 1NMBA图（2）（1）求弦DE 地长．地长．（2）若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点地三角形相似．为顶点地三角形相似． 1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点．在Rt ADP △中,2252AP AD DP =+=又1122ADP S AD DP AP DF ==Q g g △ 55DF ∴=»AD Q 地度数为90o 45DEA ∴∠=o 1025DE DF ∴==（2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QCCP=得：1QC =．即点Q 与点B 重合,0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PC QC =得14QC =,即334BQ BC CQ =-=∴当0BQ =或34BQ =时,三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点地三角形相似．为顶点地三角形相似．13.．（本小题满分10分）如图,⊙O 是Rt △ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°=30°,,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状；(2)设⊙O 地半径为1,且OF =213-,求证△DCE ≌△OCB ． 6. 解：(1)∵∠ABC =30°=30°,,∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．是正三角形．又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°=90°,,∴∠DCE =180°=180°-60°-60°-60°-90°-90°-90°=30°=30°． 而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°=90°--∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形．为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+． 又∵∠AEF =30°=30°,,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°=90°--60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .14（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）分） BADE PC图12第6题图题图A B DEOF C B A D E P C5题图1FB A D E P C5题图2Q BA D EPC5题图3（Q如图14,直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 地切线；地切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明；并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=,O e 地半径为3,求OA 地长．地长．（1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线．地切线．（2）2BC BD BE =g ． ED Q 是直径,90ECD ∴∠=o o． 90E EDC ∴∠+∠=o o． 又90BCD OCD ∠+∠=o oQ ,OCD ODC ∠=∠, BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△ BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ,12CDEC ∴=．BCD BEC Q △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =． 又2BC BD BE =g ,2(2)(6)x x x ∴=+g ．解之,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．15 如图如图14,14,直线直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 地切线；地切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系三者之间地等量关系,,并加以证明；并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=,O e 地半径为3,3,求求OA 地长．地长． 4 解：解：（1）证明：如图3,3,连接连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线．地切线．（2）2BC BD BE =g ． ED Q 是直径是直径,,90ECD ∴∠=o．90E EDC ∴∠+∠=o． 又90BCD OCD ∠+∠=o oQ ,OCD ODC ∠=∠,BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ,12CD EC ∴=．BCD BEC Q △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =．又2BC BD BE =g ,2(2)(6)x x x ∴=+g ．解之解之,,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．5 ⊙O 地半径OD 经过弦AB (不是直径不是直径))地中点C ,过AB 地延长线上一点P 作⊙O 地切线PE ,E 为切点为切点,,PE ∥OD ；延长直径(5题) PEDKHGC A B F OAG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ,交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ； （3）若EF ＝2,FO ＝1,1,求求KE 地长．地长．5解：(1)∵AC ＝BC ,AB 不是直径,∴OD ⊥AB ,∠PCO ＝90°90°(1(1分) ∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°90°,,∵PE 是切线,∴∠PEO ＝90°90°,(2,(2分) ∴四边形OCPE 是矩形.(3分)(2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分)(3)∵EF ＝2,OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD ,∴∠KEO ＝∠DOE ,∠K ＝∠ODG .∴△OFD ∽△EFK ,(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 如图如图如图,,直角坐标系中直角坐标系中,,已知两点O(0,0) A(2,0),A(2,0),点点B 在第一象限且△在第一象限且△OAB OAB 为正三角形为正三角形,,△OAB 地外接圆交y 轴地正半轴于点C,C,过点过点C 地圆地切线交X 轴于点D ． （1）求B C ，两点地坐标；（2）求直线CD 地函数解析式；地函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上地两个动点上地两个动点,,且EF 平分四边形ABCD 地周长．地周长． 试探究：AEF △地最大面积？地最大面积？6 （1）(20)A Q ，,2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ,OAB Q △为正三角形, 1OG ∴=,3BG =．(13)B ∴，．连AC ,90AOC ∠=oQ ,60ACO ABO ∠=∠=o ,23tan 303OC OA ∴==o．2303C ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，．（2）90AOC ∠=oQ ,AC ∴是圆地直径,又CD Q 是圆地切线,CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠=o ,2tan 303OD OC ==o ．203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 设直线CD 地函数解析式为(0)y kx b k =+≠,则233203b k b⎧=⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得3233k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线CD 地函数解析式为2333y x =+． （3）2AB OA ==Q ,23OD =,423CD OD ==,233BC OC ==,∴四边形ABCD 地周长2363+．设AE t =,AEF △地面积为S ,则333AF t =+-,133sin 603243S AF AE t t ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭og ． 233393733434632St t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥=+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ．∴当936t +=时,max 733128S =+． Q 点E F ，分别在线段AB AD ，上,023203233t t ⎧⎪∴⎨+-+⎪⎩≤≤≤≤,解得1323t +≤≤． 936t +=Q 满足1323t +≤≤,AEF ∴△地最大面积为733128+． 7 如图（1818））,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,,ABC △地边AB 在x 轴上轴上,,且OA OB >,以AB 为直径地圆过点C ．若点C 地坐6题（第6题）题）标为(02)，,5AB =,A.B 两点地横坐标A x ,B x 是关于x 地方程2(2)10x m x n -++-=地两根．地两根． （1）求m .n 地值；地值；（2）若ACB ∠平分线所在地直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应地一次函数解析式；对应地一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA .CB （点C 除外）于点M .N ．则11CM CN+地是否为定值？若是地是否为定值？若是,,求出该定值；若不是该定值；若不是,,请说明理由．请说明理由．7 解：（1）Q 以AB 为直径地圆过点C ,90ACB ∴∠=o ,而点C 地坐标为(02)，, 由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△,2CO AO BO ∴=g ,即：4(5)AO AO =-g ,解之得：4AO =或1AO =．OA OB >Q ,4AO ∴=,即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩g ,解之5m =-,3n =-． （2）如图（）如图（33）,过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E ,易知DE AC ⊥,且45ECD EDC ∠=∠=o ,在ABC △中,易得255AC BC ==，,AD AE DE BC DB EC∴=Q ∥，,AD AE DE EC BD DE =∴=Q ，, 又AED ACB △∽△,有AE AC ED BC =,2AD ACDB BC∴==,553AB DB ==Q ，,则23OD =,即203D ⎛⎫-⎪⎝⎭，,易求得直线l 对应地一次函数解析式为：32y x =+． 解法二：过D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ,由ACD BCD ABC S S S +=△△△,求得253DE = 又1122BCD S BD CO BC DF ==g g △求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ．CD Q 为ACB ∠地平分线地平分线,,DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△,有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△, 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN ∴+=+=, 即1113510CMCNDE+==8 如图如图如图,,在ABC △中90ACB ∠=o,D 是AB 地中点地中点,,以DC 为直径地O e 交 ABC △地三边地三边,,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，地交点为M ,且46ME =, :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O e 地直径CD 地长．地长．8 （1）连接DF CD Q 是圆直径是圆直径,,90CFD ∴∠=o,即DF BC ⊥90ACB ∠=o Q ,DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．Q 在O e 中BDF GEF ∠=∠,GEF A ∴∠=∠． 2分（2）D Q 是Rt ABC △斜边AB 地中点地中点,,DC DA ∴=,DCA A ∴∠=∠, 又由（又由（11）知GEF A ∠=∠,DCA GEF ∴∠=∠．y x图（3）NB AC O DM EE F (0，2) l l 'EADGBFCOM第25题图题图又OME EMC ∠=∠Q ,OME ∴△与EMC △相似OM MEME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯4分 又46ME =Q ,2(46)96OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =Q ,:3:2OM MD ∴=,:3:8OM MC ∴=设3OM x =,8MC x =,3896x x ∴⨯=,2x ∴= ∴直径1020CD x ==．。
中考数学圆的综合综合经典题含详细答案
中考数学圆的综合综合经典题含详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △AHC 中，tan ∠ACH =tan ∠G =AH HC =34，∵AH =33，∴HC =43，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r ﹣33，HC =43，∴222(33)(43)r r -+=，∴r =2536，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ，∵∠OEM =∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ，∴AH HC EM OE =，∴33432536EM =，∴EM =2538． 点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O 的切线．理由：连接OD ．CDB ADE ∠=∠，ADC EDB ∴∠=∠，//CD AB ，CDA DAB ∴∠=∠，OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠，ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，90ADB ∴∠=，90ADB ODE ∴∠=∠=，DE OD ∴⊥，DE ∴是O 的切线．()2//CD AB ，ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，AC BD ∴=，AC BD ∴=，DCB DAB ∠=∠，EDB DAB ∠=∠，EDB DCB ∴∠=∠，CDB ∴∽DBE ，CD DB BD BE∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，2AC CD BE ∴=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.4．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.5．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．38313 24313n+ 【解析】 分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 32，∴1＝32－1)2＋14a 22， 解得a 283 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32 a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得a n ＝24331n n + .6．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；(3)如图2，当∠DCE ＝2∠F ，CE ＝3，DG ＝2.5时，求DE 的长．【答案】（1）CG 与⊙O 相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE ＝2【解析】【分析】（1）连接CE ，由AB 是直径知△ECF 是直角三角形，结合G 为EF 中点知∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，再由OA ＝OC 知∠OCA ＝∠OAC ，根据OF ⊥AB 可得∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，据此即可得证；（2）证△ABC ∽△FBO 得BC AB BO BF =，结合AB ＝2BO 即可得； （3）证ECD ∽△EGC 得EC ED EG EC =，根据CE ＝3，DG ＝2.5知32.53DE DE =+，解之可得．【详解】解：（1）CG 与⊙O 相切，理由如下：如图1，连接CE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACF ＝90°，∵点G 是EF 的中点，∴GF ＝GE ＝GC ，∴∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OF ⊥AB ，∴∠OAC +∠AEO ＝90°，∴∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，∴CG 与⊙O 相切；（2）∵∠AOE ＝∠FCE ＝90°，∠AEO ＝∠FEC ，∴∠OAE ＝∠F ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△FBO ， ∴BC AB BO BF=，即BO •AB ＝BC •BF ， ∵AB ＝2BO ，∴2OB 2＝BC •BF ；（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ，∴∠F ＝∠GCF ，∴∠EGC ＝2∠F ，又∵∠DCE ＝2∠F ，∴∠EGC ＝∠DCE ，∵∠DEC ＝∠CEG ，∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC ED EG EC=， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53DE DE =+，整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），故DE＝2．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，3 ，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=123 ，3， 在Rt △DEP 中，∵37∴22(7)(3)- =2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE ，∠BED=∠AEC ，∴△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=17 ，∴AE=577∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ， ∴BE AE DF AD= ，即5757125DF = ， 解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=123， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯-3﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）233π- 【解析】【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵AE DE =，∴OE ⊥AD ．∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=． 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）6334π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ；（2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,Rt △ACM 中，易得AC=23×32=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3∵△CDO ≌△EDO(AAS)，∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ． 【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42． ∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=C 2，∴NF=b c 2-，CK=a c 2-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2，化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴2==， 即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝35，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC的长为145．【解析】【分析】（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan∠ABD34=，cos∠ABD＝45，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AE=，∴∠ADE＝∠ABD，∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AG＝GD；（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD ＝22AB BD -＝8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145． ∴BC 的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．12．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF .（1）求证：DF 是O 的切线；（2）连接BC ，若30BCF ∠=︒，2BF =，求CD 的长.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，∠CDF=∠DCF，由∠CDO=∠OCD，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD⊥DF，结论成立.(2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再证ΔOCB为等边三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF∴∠CDF=∠DCF∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线（2）解：连接OD∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°∴∠OCB=60°∵OC=OB∴ΔOCB为等边三角形，∴∠COB=60°∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB∴FB=OB= OC =2在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°CE3∠==sin COEOC2∴CF3==∴CD=2 CF23【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，巧解直角三角形.13．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝36．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，∴△CDB≌△AEO（AAS），∴CD＝AE，∵EC＝EA，∴AC＝2CD．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线；（2）AD ＝AQ ；（3）BC 2＝CF×EG ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】()1连接BD ，由DC AB ⊥，C 为AB 的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD =，再根据正方形的性质，可得90ADB ∠=；()2由BD BG =与//CD BE ，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=∠=，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，即可证得Rt DCF ∽Rt GED ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．【详解】证明：()1连接BD ，四边形BCDE 是正方形，45DBA ∴∠=，90DCB ∠=，即DC AB ⊥，C 为AB 的中点，CD ∴是线段AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，45DAB DBA ∴∠=∠=，90ADB ∴∠=，即BD AD ⊥，BD 为半径，AD ∴是B 的切线；()2BD BG =，BDG G ∴∠=∠，//CD BE ，CDG G ∴∠=∠，122.52G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=， ADQ AQD ∴∠=∠，AD AQ ∴=；()3连接DF ，在BDF 中，BD BF =，BFD BDF ∴∠=∠，又45DBF ∠=，67.5BFD BDF ∴∠=∠=，22.5GDB ∠=， 在Rt DEF 与Rt GCD 中，67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，Rt DCF ∴∽Rt GED ，CF CD ED EG∴=， 又CD DE BC ==，2BC CF EG ∴=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．15．如图1，D 是⊙O 的直径BC 上的一点，过D 作DE ⊥BC 交⊙O 于E 、N ，F 是⊙O 上的一点，过F 的直线分别与CB 、DE 的延长线相交于A 、P ，连结CF 交PD 于M ，∠C ＝12∠P ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，DM ＝1，求PM 的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF 、BM ；在线段DN 上有一点H ，并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求DH 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM ＝43﹣2；（3）满足条件的DH 的值为632- 或122311+． 【解析】【分析】（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=，分别构建方程即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，∴直线PA 是⊙O 的切线．（2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，∴OA ＝2OF ＝8，CD ＝3DM ＝3 ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝4﹣3 ，∴AD ＝OA+OD ＝8+4﹣3 ＝12﹣3 ，在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×33 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM 3BF ＝3，CM ＝2DM ＝2，CD 3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝3﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ， ∴34432=- ，∴DH ＝632 ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =， ∴34432DH =-，∴DH 1223+ ， ∵DN ()22443833--=-，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为62- 或1211+． 【点睛】 本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。
圆的培优专题：聚焦圆中无图多解题
圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。
因为圆是一个特殊对称图形，而同学们往往考虑不周，丢掉另一种情况，造成失分较多，现将圆中无图两解或多解试题列举如下，供同学们参考：答案：60°或120°2、若AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB＝2，AC＝2，AD＝1，则∠CAD＝.答案：15°或105°3、在直径为50cm的⊙O中，弦AB＝40cm，弦CD＝48cm，且A B∥CD，则AB与CD之间的距离是.答案：22cm或8cm4、已知P点到⊙O的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙O的半径为.答案：4cm或2cm5、相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为32，5，则这两圆的圆心距等于 .答案：7cm或1 cm6、点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3cm，在过点P的所有弦中长度为整数的弦一共有条.答案：4条7、已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8，P为AB上一动点，且OP长为整数，满足条件的P点有个.答案：5个8、⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B＝90°那么∠AO2B的度数是.答案：135°或459、从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线交⊙O于B、C，且A B·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于.答案：241或610、已知⊙O的半径为5cm，AB是弦，P是直线AB上的一点，PA＝3cm，AB＝8cm，则tan∠OPB的值为.3答案：3或711、已知PA、PB是⊙O的两条切线，点C是⊙O上异于A、B的一点，过C点切线交PA、PB于D、E两点，若∠APB＝400，则∠DOE＝.答案：70°或110°12、已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC＝8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB ＝ .答案：25cm 或45cm13、在△ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则R 的取值范围 .答案：R ＝2.4或3<R ≦414、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 .答案：外离或内含15、在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 .答案：10或816、已知⊙O 1和⊙O 2仅有一条公切线，⊙O 1半径为3cm ，且O 1O 2＝5cm,则⊙O 2的半径等于 .答案：2cm 或8cm17、已知⊙O 上有A 、B 、C 三点，若弦AC 的长恰好等于⊙O 的半径，则∠ABC ＝ .答案：30︒或150︒18、已知⊙O 的半径是5cm ，P 是直线l 上的一点，且OP ＝5cm ，那么直线l 与⊙O 的位置关系是 . 答案：相交或相切19、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，且△ABC 的面积为12cm 2，则△ABC 外接圆的半径为 .答案：625cm 或 825cm 20、AB 、AC 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于A 、B 的一动点，则∠BPC＝ .答案：65°或115°。
中考圆的常见题型总结
中考圆的常见题型总结中考圆的常见题型总结圆是中考数学中的一个重要概念，掌握圆的性质和相关题型能有效提高数学成绩。
下面将对中考圆的常见题型进行总结。
常见题型一：圆的基本性质题1. 求圆的面积和周长：圆的面积公式为：S = πr²圆的周长公式为：C = 2πr2. 求圆心角的度数：圆心角所对的弧与圆周所对的角相等，所以可以用圆心角的度数去表示弧的度数。
常见题型二：圆的位置关系题1. 判断关系：a. 外切圆和内切圆的位置关系：两个相切的圆，内切圆的圆心在外切圆的圆心的同一直线上。
b. 相交关系：两个相交的圆在两个交点的位置关系，可以根据边长和半径等关系进行求解。
c. 同圆关系：两个同圆的圆是重合的，即它们的半径相等。
d. 不交相离：两个完全不相交的圆，它们的位置关系为不交相离。
2. 判断位置：判断一个点在圆的内部、外部还是圆上，可以通过求这个点到圆心的距离是否等于圆的半径来判断。
常见题型三：弧和扇形的性质题1. 弧段公式：已知圆的半径和弧长，可以用弧长公式计算圆心角的度数。
2. 扇形面积公式：已知扇形中心角的度数和半径，可以用扇形面积公式计算扇形的面积：S = (θ/360°)πr²常见题型四：切线和切点的性质题1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的直线。
2. 切点的性质：切点与切线垂直，切点到圆心的距离等于半径。
常见题型五：菱形和正方形的圆内接问题1. 菱形的性质：菱形的四个角都是直角，因此可以通过对角线的性质判断是否为菱形。
2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的菱形，它的四条边相等且四个角都是直角。
常见题型六：圆锥、圆台和球的性质题1. 圆锥的性质：圆锥是一个底面是圆而侧面是圆锥曲线的立体。
求圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h求圆锥的侧面积公式为：S = πrl2. 圆台的性质：圆台是一个底面是圆而顶面平行于底面的立体。
求圆台的体积公式为：V = (1/3)π(R² + r² + Rr)h求圆台的侧面积公式为：S = π(R + r)l3. 球的性质：求球的体积公式为：V = (4/3)πr³求球的表面积公式为：S = 4πr²以上是中考圆的常见题型总结，通过对这些题目的分析和解答，可以有效提高对圆的理解和掌握，并且能够在中考数学中灵活运用。
中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。
圆的各种常考题型总结80题
《各章节核心资料“圆”80道常考题》【韩春成内部学员资料（30）】知识构架一、概念二、垂径定理三、弧、弦、圆心角的关系四、圆周角1.圆周角2.圆周角与圆心角3.圆周角与直径五、点与圆的位置关系六、过三点的圆七、三角形的外接圆、外心4.三角形外接圆半径5.与外接圆有关的计算与证明八、线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系2.切线的性质3.切线的判定：1.半径+垂直 2.垂直+半径4.切线长定理及三角形内切圆5.切线长定理（三角形内切圆）五、圆与圆的位置关系两圆的公切线、公共弦六、函数与圆典题精炼概念1.【易】如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对2.【易】（孝感市高中阶段学校招生考试数学）下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交3.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤4. 【易】（安徽省初中毕业学业考试数学）如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（ ） A ．当弦PB 最长时，APC △是等腰三角形 B ．当APC △是等腰三角形时，PO AC ⊥ C ．当PO AC ⊥时，30ACP ∠=︒D ．当30ACP ∠=︒，PBC △是直角三角形5. 【易】（北京景山学校第二学期八年级期末数学试卷）如图，如果AB 为O ⊙直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．BAC BAD =∠∠D ．AC AD >6. 【易】判断题：⑴ 直径是弦 （ ） ⑵ 弦是直径 （ ） ⑶ 半圆是弧 （ ） ⑷ 弧是半圆 （ ）⑸ 长度相等的两条弧是等弧 （ ）⑹ 等弧的长度相等 （ ）⑺ 两个劣弧之和等于半圆 （ ）⑻ 半径相等的两个圆是等圆 （ ）⑼ 两个半圆是等弧 （ ）⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R （ ）7. 【易】（福建宁德中考）如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是弦，若32ACO ∠=︒，则CO B ∠的度数等于__________．BOCBA垂径定理8. 【易】（湖南省株洲中考数学题）如图AB 是O ⊙的直径，42BAC ∠=︒，点D 是弦AC 的中点，则DOC ∠的度数是________度．9. 【易】（福建厦门中考）如图，O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ．若6A B c m =，则AE =_______cm ．10. 【易】（房山区一模）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，联结OC ，若5OC =，2AE =，则CD 等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．811. 【易】（北京55中九年级上月考）已知：如图，O 的直径CD AB E ⊥弦于，若16AB DE ==,求:O 的半径42°ODCBAODE CBAD12. 【易】（北京市第八十中学第一学期初三）已知，如图，在O ⊙中，弦16MN =，半径OA MN ⊥，垂足为点B ，4AB =，求O ⊙半径的长．13. 【易】（东城二模）如图，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为__________cm .14. 【易】(浙江省2013年初中毕业生学业考试绍兴市试卷)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）A.4mB.5mC.6mD.8m15. 【中】（内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷）如图，半圆O 的直径10cm AB =，弦6c m AC =，AD 平分BAC ∠，则AD 的长为（ ）A．B．C．D ．4cm16. 【中】（四川省宜宾市中考数学试卷）如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点G ，点F 是CD 上一点，且满足13CF FD =，连接AF 并延长交O ⊙于点E ，连接AD DE 、，AOABDCA(第11题)若=2=3CF AF ，．给出下列结论：①ADF AED △∽△；②2FG =；③tan E =∠；④DEF S =△________．弧、弦、圆心角的关系17. 【易】（厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）如图所示，在O 中，AB AC =，30A ∠=︒，则B ∠=（ ）A ．150︒B ．75︒C ．60︒D ．15︒18. 【易】（通州区初三年级模拟考试）如图，AB 是O 的弦，OD AB ⊥于点D ，C 是AB 优弧上任意一点，则图中所有相等的线段有_____________；所有相等的角有_____________．19. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）如图：AC CB =，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？OD CBA圆周角20. 【易】（山东日照初中学业考试)如图，在ABC △中，以BC 为直径的圆分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接BD 、DE ．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是( ) A ．BD AC ⊥ B ．22AC AB AE =⋅ C ．ADE △是等腰三角形 D ．2BC AD =21. 【易】（九年级第三次质量预测试题）如图，正三角形ABC 内接于O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A B 、重合，则BPC ∠等于（ ）A ．B ．C ．D ．22. 【易】（通州二模）如图，已知O 的两条弦AC BD ，相交于点E ，60A ∠=︒，则sin BDC∠的值为（ ）A ．12B3C2D2OCBAED30 60 90 4523. 【易】 (台湾第一次中考数学科试题如图)（七），圆上有A B C D 、、、四点，其中80BAD ∠=︒。
中考圆与角平分线有关题型
圆专题一：圆与角平分线复习目标：1、圆与角平分线问题2、垂径定理3、全等与相似三角形的性质一、圆与内角平分线例1、如图，AB是O的直径，BA与弦DC的延长线相交于点P，OD平分∠CDB。
（1）求证：CD=BD（2）若PA=5，PC=6，求tan∠PDO的值P举一反三：如图，AB是O的直径，C、D为O上的点，且OC平分∠ACD，CF⊥DB 于F,(1)求证：CA=CD(2)若DB=3BF，求tan∠BAC的值A例2、如图，RT △ABC ，∠DPB=90°，以AB 为直径做O 交AC 于D ，BD DE ，DF ⊥AE于F.(1) 求证：DF 为O 的切线(2) 若DF=3，O 的半径为5，求tan ∠BAC 的值举一反三：1、如图，RT △ABC ，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心，过点B 、D 两点做O ，O 交AB 于点E ，EF ⊥AC 于点F. （1） 求证：AC 为O 的切线 （2） 若EF=2，BC=4，求tan ∠A 的值A2、如图，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，∠BAC 的平分线交O 于D ，DE ⊥AC于F ，BN ∥AE 交ED 的延长线于N 。
（1） 求证：NE 为O 的切线 （1） 若BN=2，AC=6，求AF 的长D3、如图，RT △ABC ，∠A=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D 。
以BC 上一点O 为圆心，过AF点C 、D 两点做O.（3） 求证：AB 为O 的切线 （4） 若CD=5，S △ADC =6，求O 的半径B4、如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，∠BAC 的平分线AD 交O 于D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，OE 交AD 于点F 。
（1） 求证：DE 为O 的切线 (2) 若35AC AB ，求AFDF的值5、如图，点O 位Rt △ABC 斜边AB 上的一点，点D 是AC 边上的一点，BD 平分∠ABC ，以OB 为半径的O 经过点D ，于BC 交于点G 。
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中考圆的常见题型1、如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ B ） A ．2 B ．1 C ．1.5 D ．0.52、如图（2），在R t ABC △中，9068C AC BC O ∠===°，，，⊙为A B C △的内切圆，点D 是斜边A B 的中点，则tan O D A ∠=（ Ｄ ） A．2B．3CD ．23、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（C ）A．πB．πC．3πD．2π4、如图，点A B C ，，在O 上，50A ∠=°， 则B O C ∠的度数为（ ） A ．130° B ．50°C ．65°D ．100°5、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米6、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连接AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． (1)求证：AB ＝AC ；(2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60º，求DE 的长． （1）证明：连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°又∵BD=CD ∴AB=AC 。
（2）解：∵∠BAC=60°，由（1）知AB=AC ∴△ABC 是等边三角形A图（2）（第4题图）A BOC在Rt △BAD 中，∠BAD=30°，AB=8 ∴BD=4，即DC=4 又∵DE ⊥AC ，∴DE=DC×sinC=4×sin60°=42⨯=7、如图，P A 为O ⊙的切线，A 为切点．直线P O 与O ⊙交于B C 、两点，30P ∠=°，连接A O A B A C 、、．求证：AC B APO △≌△．证明：P A 为O 的切线，90PAO ∴∠=°． ················································································ 1分 又30P ∠= °，60AO P ∴∠=°， ········································································································· 2分1302C A O P ∴∠=∠=°，··························································································································· 3分C P ∴∠=∠， ·················································································································································· 4分A C A P ∴=． ··················································································································································· 5分 又BC 为O 直径，90C AB PAO ∴∠=∠=°，··············································································· 6分 AC B APO ∴△≌△（ASA ）． ·················································································································· 7分（注：其它方法按步骤得分．）8、如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，N 是线段 BC 上一点（不与B ﹑C 重合），过N 作AB 的垂线交AB 于M ， 交AC 的延长线于E ，过C 点作半圆O 的切线交EM 于F. ⑴求证：△ACO ∽△NCF ； ⑵若NC ∶CF ＝3∶2，求sinB 的值.（1）证明：∵AB 为⊙O 直径 ∴∠ACB=90° ∴EM ⊥AB∴∠A=∠CNF=∠MNB=90°-∠B ……………………………………（1分） 又∴CF 为⊙O 切线 ∴∠OCF=90° ∴∠ACO=∠NCF=90°-∠OCB ………………………………………（2分） ∴△ACO ∽△NCF ……………………………………………………（4分）（2）由△ACO ∽△NCF 得：23==CF CN CO AC …………………………………（5分）在Rt △ABC 中，sinB=4322===COAC AOACABAC ………………………（7分）A（第7题图） OBPCENO CBAF （第8题图）CE DAFOB（第10题）9、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长．（1）证明：∵∠BED =∠BAD ，∠C =∠BED∴∠BAD =∠C ···················································································································· 1分∵OC ⊥AD 于点F ∴∠BAD +∠AOC =90o ····································································································· 2分 ∴∠C +∠AOC =90o ∴∠OAC =90o∴OA ⊥AC ∴AC 是⊙O 的切线. ····································································································· 4分（2）∵OC ⊥AD 于点F ，∴AF =21AD =8 ························································································ 5分在Rt △OAF 中，OF=22AFOA-=6 ·············································································· 6分∵∠AOF =∠AOC ，∠OAF =∠C∴△OAF ∽△OCA ··························································································································· 7分 ∴OAOF OCOA = 即 OC =35061002==OFOA ······································································································· 8分在Rt △OAC 中，AC =34022=-OA OC ．···································································10分10、如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(30)-，，经过A O 、两点作半径为52的C ⊙，交y 轴的负半轴于点B ．（1）求B 点的坐标；（2）过B 点作C ⊙的切线交x 轴于点D ，求直线B D 的解析式．（1）90AO B ∠= °A B ∴是直径，且5A B = ·································································· 1分在AO B Rt △中，由勾股定理可得4BO === ············································· 3分B ∴点的坐标为(04)-，······································································ 4分BA（2）BD 是C ⊙的切线，C B 是C ⊙的半径 BD AB ∴⊥，即90A B D ∠=° 90D AB AD B ∴∠+∠=° 又90BD O O BD ∠+∠= ° D A B D B O ∴∠=∠················································································································································· 5分90AO B BO D ∠=∠= °A B O B D O ∴△∽△··············································································································································· 6分2241633OA OB OBOD OBODOA∴=∴===D ∴的坐标为1603⎛⎫⎪⎝⎭，············································································································································ 7分 设直线B D 的解析式为(0)y kx b k k b =+≠，、为常数则有16034k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩··················································································································································· 8分344k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩··································································································································································· 9分 ∴直线B D 的解析式为344y x =-··················································································································· 10分11、如图，A B 是O 的直径，C D 是弦，CD AB ⊥于点E ， （1）求证：A C E C B E △∽△；（2）若8A B =，设O E x =（04x <<），2C E y =，请求出y 关于x 的函数解析式；（3）探究：当x 为何值时，tan 3D ∠=．（1）证明：A B 为O 直径，A C B ∴∠=90A C E B C E ∠+∠=°又C D A B ⊥，90A A C E ∴∠+∠=°A E CB ∴∠=∠，R t R t AC E C BE ∴△∽△ ······················································································ 3分（2）A C E C B E △∽△A E C E C EE B∴=即2()()CE AE BE AO OE OB OE ==+-2(4)(4)16y x x x ∴=+-=- ···················································································································· 6分（3）解法一：tan 3D∠=即tan 3A ∠=C3C E AE∴=则2213C E AE=即22161(4)3xx -=+解得2x =或4x =-（舍去）故当2x =时，tan 3D ∠=···················································································································10分解法二：tan 3BE BE D D EC E∠====即3=221(4)316x x-∴=-解得2x =或4x =（舍去）故当2x =时，tan 3D ∠=···················································································································10分12、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，过点D 作DF ⊥AB于点E ，交⊙O 于点F ，已知OE ＝1cm ，DF ＝4cm ． (1)求⊙O 的半径； (2)求切线CD 的长13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC 、BC ，若∠BAC ＝60º，CD＝6cm ．(1)求∠BCD 的度数；(4分) (2)求⊙O 的直径．(6分)14、如图，直线l 切⊙O 于点A ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交⊙O 于点C 、B ，点D 在线段AP 上，连结DB ，且AD=DB ． （1）求证：DB 为⊙O 的切线．（2）若AD=1，PB=BO ，求弦AC 的长．（1）证明: 连结OD………………………………………………………1 分∵PA为⊙O切线∴∠OAD= 90°………………………………………2 分∵ OA=OB，DA=DB，DO=DO，∴ΔOAD≌ΔOBD…………………3分∴∠OBD=∠OAD = 90°，∴PA为⊙O的切线…………………4 分（2）解：在RtΔOAP中，∵PB=OB=OA∴∠OPA=30°………………5 分∴∠POA=60°=2∠C，∴PD=2BD=2DA=2……………………………6 分∴∠OPA=∠C=30°…………………………………7 分∴AC=AP=3…………………………………………8 分。