2015届南京高三数学综合训练题(考前押题)
江苏省南京市2015届高考全真模拟数学试题
江苏省南京市2015届高考全真模拟数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．1、复数1i1i 2等于___ ★ ___ 2、函数sin(2)6π=-y x 的最小正周期为___ ★ ___ 3、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==24x x y x A ，(]a B ,∞-=，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是___ ★ ___4、为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文 密文 密文 明文已知加密为2-=xa y (x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”， 再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文 是___ ★ ___5、为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是___ ★ ___ Input xIf x<0 theny=(x+1)*(x+1) Elsey=(x-1)*(x-1)End ifPrint y End6、已知向量 1)，θ=a ，(1 cos )，θ=b ，则⋅a b 的最大值为___ ★ ___7、在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2π=+-+f x x ax b 有零点的概率为___ ★ ___解密 加密 发送8、若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是___ ★ ___ 9、设0)()(0,,),1(log )(223≥+≥++++=b f a f b a b a x x x x f 是则对任意实数的___ ★ ___条件。
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试数学试题 含解析
第Ⅰ卷(共160分）一、填空题：本大题共142个小题，每小题5分,共70分.1。
已知复数z ＝错误!－1,其中i 为虚数单位,则z 的模为 ▲ ． 【答案】5【解析】 试题分析：222(1)11121(1)(1)i i i z i i i i i i +=-=-=+-=-+--+，25z i =-+= 考点:复数的运算．2。
经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5概率0。
1 0.16 0.3 0。
3 0.1 0。
04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．【答案】0。
74 【解析】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点:互斥事件的概率.3。
若变量x ,y 满足约束条件错误!则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ． 【答案】4l OxyCBA考点：线性规划.4.右图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲【答案】6考点：循环结构,程序框图.5.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．【答案】甲【解析】试题分析:甲成绩为87,89,90,91,93，其平均值为90，方差为2，乙成绩为78,88,89,96,99，其平均值为90，方差为53.2，故甲较稳定。
考点:茎叶图，方差.6。
记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x错误!A"是“x错误!B"的充分条件，则实数a的取值范围为▲．【答案】（－∞，－3]【解析】试题分析：由已知{|32}=>，由题意A B⊆,故3B x x aA x x=-<<，{|}a≤-.考点：充分必要条件，集合的关系。
7。
在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点F 作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是▲．【答案】43【解析】试题分析：双曲线的准线为3=±，右焦点为(2,0),学科网把2y xx=代入准线方程得23y=±因此所求面积为124343⨯⨯=2考点：双曲线的性质.8.已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4,则此六棱锥的体积为 ▲ ． 【答案】12 【解析】试题分析:由己知正六棱锥的高为224223h =-=,底面面积为2332632S =⨯=，所以1163231233V Sh ==⨯⨯=.考点：几何体的体积。
江苏省2015年高考提分押题卷数学试题(PDF版)
1 ( x 3 4 x 16) 作为生态环境改造投资方案。………8 分 100 y 1 16 （II）由(1)知 g ( x) ( x2 4 ) ， x 100 x
∴能采用函数模型 y＝ 依题意，当 x [ a, b] ， a 、 b N * 时， 15% g ( x) 22% 恒成立；
令 g '( x) 0 ，得 x 2 。 当 x 2 时， g '( x) 0 ， g ( x) 在 ( , 2) 上是减函数； 当 x 2 时， g '( x) 0 ， g ( x) 在 (2, ) 上是增函数， 又 a 2 ， b 2.5 ，即 x [2, 2.5] ， g ( x) 在 [2, 2.5] 上是增函数， ∴当 x 2 时， g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%， 当 x 2.5 时， g ( x) 有最大值 0.1665=16.65%<22%,
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分）
在 ABC 中， 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 面积， 已知 ABC 的面积 S a (b c) 。
2 2
（I）求 tanA 的值； （II）设 b a ,若 cos C
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17.解： （I）∵ y ' ∴函数 y＝
1 (3 x 2 4) 0 ， 100
………3 分
1 ( x 3 4 x 16) 是增函数，满足条件①。 100 y 1 16 设 g ( x) ( x2 4 ) ， x 100 x
则 g '( x)
2015年高考押题试卷高中数学
-------------------------------------装----------------------订-----------------------线--------------------------------------------2015年高考押题试卷理科数学命题人： 审题人：高三数学组注意事项：1.本试卷答题时间120分钟，满分150分。
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
请将试题答案写在答题卡相应位置上，超出答题区域书写的答案无效。
交卷时只交答题卡。
3.答题前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
4.答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
5.保持卡面整洁，不折叠，不破损。
6.做选考题时，在答题卡上把所选题目对应的题号标明。
第Ⅰ卷 选择题（60分）一、 单项选择题（每题5分，共计60分）1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝{x ||2x －1|＞3}，则集合A ∩B ＝（ ） （A ）{x |2≤x ≤3}（B ）{x |2≤x ＜3} （C ）{x |2＜x ≤3}（D ）{x |－1＜x ＜3}2.1－i (1＋i)2＋1＋i(1－i)2＝（ ） （A ）－1（B ）1（C ）－i（D ）i3.若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60︒，a ·(a ＋b )等于（ ）（A ）4（B ）6（C ）2＋ 3（D ）4＋2 34.等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为（ ） （A ）7 （B ）8 （C ）16 （D ）155.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3（D ）6＋2 36.(x 2－ 1 x)6的展开式中的常数项为（ ）（A ）15 （B ）－15 （C ）20 （D ）－20 7.执行右边的程序框图，则输出的S 是（ ） （A ）5040（B ）4850 （C ）2450（D ）25508.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋3，x ≤0，3－x ，x ＞0，则方程f (x )＋1＝0的实根个数为（ ） （A ）3（B ）2 （C ）1 （D ）09.若双曲线x 2a 2－y2b2＝1（a ＞0，b ＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 14，则双曲线的离心率为（ ）（A ）52（B ）233 （C ） 5 （D ）3210.偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为奇函数，且f (1)＝1，则f (89)＋f (90) 为（ ）（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）111.某方便面厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面5袋，能获奖的概率为（ ）（A ）3181 （B ）3381 （C ）4881 （D ）508112.给出下列命题: ○110.230.51log 32()3<<; ○2函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点; ○3函数4()612-+-=ln x xf x x 的图像以5(5,)12为对称中心;○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有m > n ，x <y ．正视图侧视图俯视图---------------------------------------------装----------------------订-----------------------线--------------------------------------------其中正确命题的个数是（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、 填空题（每题5分，共计20分）（13）由直线x ＝1，y ＝1－x 及曲线y ＝e x围成的封闭图形的面积为_________． （14）数列{a n }的通项公式a n ＝n sinn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.（15）已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于___________．（16）已知圆O : x 2＋y 2=8，点A (2，0) ，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________．三．解答题（本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）已知f (x )=sin (2x －56π)＋2cos 2x ． （Ⅰ）写出f (x )的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若f （A ）=0，b ＋c =2．求a 的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X ，求X 的分布列和期望E (X )． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ π4，点E 在棱BB 1上. （Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A -C 1E -C 的余弦值为55.（20）（本小题满分12分）EACBC 1B 1 A 1-------------------------------------装----------------------订-----------------------线--------------------------------------------设抛物线y 2=4m x （m >0）的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1 、F 2为焦点，离心率e = 1 2 的椭圆与抛物线的一个交点为2(3E ；自F 1引直线交抛物线于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为M ，设11F P F Q λ=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1[,1)2λ∈，求|PQ |的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知f (x )＝e x(x －a －1)－ x 22＋ax ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若x ≥0时，f (x )＋4a ≥0，求正整数a 的值．参考值：e 2≈7.389，e 3≈20.086请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，BC ＝8，AB ＝10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连结DE ．（Ⅰ）若BD ＝6，求线段DE 的长；（Ⅱ）过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ，证明：AF ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3t y ＝23＋t （t 为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|．（Ⅰ）解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；（Ⅱ）若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ( ba)．---------------------------------------------装----------------------订-----------------------线--------------------------------------------理科数学押题卷参考答案一、选择题：CABDA ACBBD DC 二、填空题：（13） e － 32； （14）1007；（15）－1；（16）4π．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f （x ）=cos （2x ＋π3）＋1 ……………………3分对称中心为：ππ∈+()(,1)212k z k 单增区间为：ππππ∈--()2[,]36k z k k ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：ππ=++=+=-()cos(2)10cos(2)133f A A A70,2.333A A ππππ<<∴<+<23A ππ∴+=于是：3A π=………………………9分根据余弦定理：2222cos3a b c bc π=+-=24343()12b cbc +-≥-=当且仅当1b c ==时，a 取最小值1． ………………………12分 （18）因为k ＝800(60×500－140×100)2160×640×200×600＝16.667＞10.828． ……………………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．（Ⅱ）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为 3 8．由题意可知X ~B(3， 38)，从而X 的分布列为 E (X )＝np ＝98． ………………………12分（19）解：（Ⅰ）因为BC ＝2 ，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ π4，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B ＝2 ， ……………………2分所以C 1B 2＋BC 2＝CC 21，C 1B ⊥BC ． 又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2 ，0，0)， C 1A →＝(0，2，－2)，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1→＝(－2 λ，0，2 λ－2 )，设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 z ＝0，2 λx ＋(2 －2 λ)z ＝0， 令z ＝2 ，取m ＝(2 (λ－1)λ，1，2 )， (9)分又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1___________√__________2(λ－1)2λ2＋3＝5 5，解得λ＝ 1 2．所以当λ＝ 1 2时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为55. (12)分 （20）解： （Ⅰ）由题设，得：22424199a b += ① a 2－b 2a ＝ 12②由①、②解得a 2＝4，b 2＝3，1-------------------------------------装----------------------订-----------------------线--------------------------------------------椭圆的方程为22143xy+=易得抛物线的方程是：y 2＝4x ． …………………………4分 （Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2) 、M (x 1，－y 1) ， 由11F P F Q λ=得：y 1=λy 2 ○3 设直线PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，与抛物线的方程联立，得： 2440ky y k -+= ○* y 1 y 2＝4 ○4 y 1＋y 2＝4k○5 …………………………7分 由○3○4○5消去y 1，y 2得：224(1)k λλ=+ …………………………8分21||||PQ y y =-由方程○*得：||||PQ k = 化简为：4241616||k PQ k-=，代入λ： 4222222(1)(21)||16161(2)16PQ λλλλλλλ+++=-=-=++-∵ 1[,1)2λ∈，∴ 15(2，]2λλ+∈ …………………………11分 于是：2170||4PQ <≤那么：||(0,]2PQ ∈ …………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x－1)， 由a ＞0，得：x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单增； x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单减；x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单增．所以，f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)；减区间为(0，a )． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x ≥0时，f min (x )＝f (a )＝－e a＋a 22，所以f (x )＋4a ≥0，得e a－a 22－4a ≤0． (7)分令g (a )＝e a－a 22－4a ，则g '(a )＝e a－a －4；令h (a )＝e a －a －4，则h '(a )＝e a－1＞0，所以h (a )在(0，＋∞)上是增函数，又h (1)＝e －5＜0，h (2)＝e 2－6＞0，所以∃a 0∈(1，2)使得h (a 0)＝0，即a ∈(0，a 0)时，h (a )＜0，g '(a )＜0；a ∈(a 0，＋∞)时，h (a )＞0，g '(a )＞0， 所以g (a )在(0，a 0)上递减，在(a 0，＋∞)递增．又因为g (1)＝e － 1 2－4＜0，g (2)＝e 2－10＜0，g (3)＝e 3－ 9 2－12＞0，所以：a ＝1或2. …………12分（22）解：（Ⅰ）∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90º，∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 24 5， 在Rt△BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2＝ 18 5．…………5分（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90º， ∴∠AEF ＋∠OEB ＝90º，又∵∠C ＝90º，∴∠A ＋∠B ＝90º，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠A ，∴AE ＝EF ． …………10分（23）解： CABED O F---------------------------------------------装----------------------订-----------------------线--------------------------------------------（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0． (4)分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 3 5，cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．……………10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3． …………4分 所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．…………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( ba)即|ab －1|＞|a －b |．…………6分 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立． (10)分。
【2015高考压轴冲刺3套】江苏省2015届高考数学预测卷及答案
【2015高考压轴冲刺3套】江苏省2015届高考数学预测卷及答案【2015高考压轴冲刺】江苏省2015届高考数学预测卷及答案（一） ............. 1 【2015高考压轴冲刺】江苏省2015届高考数学预测卷及答案（二） ............. 7 【2015高考压轴冲刺】江苏省2015届高考数学预测卷及答案（三） .. (14)【2015高考压轴冲刺】江苏省2015届高考数学预测卷及答案（一）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．1. 若关于x的不等式2x2 3x a 0的解集为m,1 ，则实数m 1．22. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB 6，BC ，则棱锥O ABCD的体积为3．设函数f(x) 2sin(63f(x)的图像交于另外两点B、C.O是坐标原点，则(OB OC) OA 32x)( 2 x 10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数x2 x,x 0,4．已知函数f(x) 2为奇函数，则a b 0 ．ax bx,x 05. 已知函数f(x) 2sin( x )( 0)，若f( 0,(f2 , 则实数的最小值为3．3296. 若m 0,3 ，则直线(m 2)x (3 m)y 3 0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的82概率为．37. 已知点P,A,B,C是球O表面上的四个点，且PA,PB,PC两两成60角，3cm2．28. 已知点G、H分别为ABC的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），20若AC 4，AB 6，则HG BC的值为．39. 正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于PA PBP 1Ccm，则球的表面积为______cm3.10. 若方程x2y2表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，则x1,a 1,5,b 2,4 22abz a b的最小值为2 n n为奇数11. 如已知函数f(n) 2 ，且an f(n) f(n 1)，则a1 a2 a3 a2014n n为偶数.12. 设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°,p．13. 已知函数f x ax sinx的图像在某两点处的切线相互垂直，则a的值为. 14. 已知向量a，b，c满足a b c 0，且a与b的夹角的正切为，b与c的夹角的正2切为，b 2，则a c的值为53二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数f(x) sin( x )( 0,0 )的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数2y f(x )为偶函数．2（1）求f(x)的解析式；3，求sin2 的值．21251 2解：（1）由题设：T , T ，2，22T（2）若为锐角，f()y f(x )为偶函数，函数f(x)的图象关于直线x 对称，22sin( ) 1或sin( ) 1，0 ，2，f(x) sin(2x ) cos2x；23 3（2）f( ) ，cos( ) ，*****4为锐角，sin( )6524sin2( ) 2sin( )cos( ) ，***** 7cos2( ) 2cos2( ) 1 ，66252417 sin2 sin[2( ) ] ( ) ．***-*****6. 如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，DAB 600，C平面PCD 底面ABCD，E是AB的中点，G为PA上的一点．（1）求证：平面GDE 平面PCD；PG的值．GA（1）证明：设菱形ABCD的边长为1，E是AB的中点，DAB 600，113DE2 1 2 cos60 ，424DE2 AE2 AD2，DE AE，DE CD，平面PCD 底面ABCD，平面PCD底面ABCD CD，DE ABCD，DE 平面PCD，又DE 平面GED, 平面GDE 平面PCD；（2）解：连接AC，交DE于H，连接GH，则PC//平面DGE，PC 平面PAC,平面PCA平面GDE GH，PGCHDCPC//GH，2.GAHAAB17. 如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？解：（1）如图，设圆心为O，连结OC，设BC x，（2）若PC//平面DGE，求30)，法一易得BC x (0，所以矩形ABCD的面积为S(x) 2≤x2 900 x2900（cm2）（当且仅当x2900 x2，x cm）时等号成立）此时BC cm；法二设COB ，0 ；则BC 30sin ，OB 30cos ，所以矩形ABCD的面积为S( ) 2 30sin 30cos 900sin2 ，当sin2 1，即时，S( )max 900（cm2），此时BC cm；（2）设圆柱的底面半径为r，体积为V，由AB 2 r得，r ，30)，所以V r2x 1 900x x3 ，其中x (0，。
【精品18套】江苏省2015年高考数学考前指导押题预测
∴a的取值范围是{a|a＞3}；
（2）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x3+x2﹣x+m=0，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．
解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）=3x2+2ax﹣a2，
∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）=3x2+2ax﹣a2=0在[﹣1，1]上没有实数根，
由△=4a2﹣12×（﹣a2）=16a2＞0，二次函数对称轴x=﹣ ＜0，
当f′（x）=0时，即（3x﹣a）（x+a）=0，解得x=﹣a或x= ，
（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．
解题分析
（1）要使函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[﹣1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=﹣a或x= 不在区间[﹣1，1]上；
（2）若函数 的图象关于 对称，则有 ；因此轴对称函数一定会有函数值相等的点，但有函数值相等的点，未必有对称轴，本题第（Ⅱ）（Ⅲ）问就是基于弄清楚这一点来命制的，因此掌握概念的本质是关键.
函数题（丁沟中学）
三道函数题
1.设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）
（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
当 时， ，即（ ）成立；
假设 时， 成立，
2015南京清江花苑严老师高考押题密卷数学二
2015高考押题密卷数学二第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合{1,1}A k =-，{2,3}B =，且{2}A B =，则实数k 的值为 ． 2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则ab = ． 3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =，则a = ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5．设点P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两互相垂 直，且1PA PB PC cm ===，则球的表面积为 2cm ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,,500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin (3cos sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．11．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ．12． 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若12AC BD ⋅=-uu u r uu u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r．13．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA 的取值范围是 ．14．设函数()f x 满足()(3)f x f x =，且当[1,3)x ∈时，()ln f x x =．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数123,,x x x ，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，2C A π-=，3sin 3A =． （1）求sin C 的值；D A BC 第12题图 0,1s n ←←第4题图（2）若6BC =，求ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=．在面ABC 中，23AB =，4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点N ．（1）求证：N 为AC 中点；（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要B C A 1 B 1 C 1M NA 第16题图求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为cm x ，体积为3cm V ． （1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． （1）若43a b =，43b b m -=．(第17题图)第18题图 xO y A B①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；（2）若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值． 20．（本小题满分16分）设函数2()()x f x ax e a =+∈R 有且仅有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a 满足2311()f x e x =？如存在，求()f x 的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆O 过点A 且与边BC 相切于点D ，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，求证：EF ∥BC ． B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 是以点(2,)6C π-为圆心，2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.ABDCEF O· 1A 1B 1C A23.（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C =中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．。
2015江苏高考数学压轴卷范文
(图1)2015江苏高考数学压轴卷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值3.右为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，图2P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为)1,2()3,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．ABCMPD 图417.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．公 路HG F E DC B A图519.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．（第22题）。
江苏省2015届高三考前高考押题卷数学
I ←1 S ←0While S <20 I ←I+2 S ←2I+1 End While Print I End第5题图江苏省2015届高三数学高考押题试卷数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{13,}A x x x Z =≤≤∈，B={2，m ，4}，若A ∩B={2,3}，则实数m= . 2.若复数2(1a a +∈+iiR )的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于 . 3.两根相距6m 的木杆上系一根水平绳子，并在绳子上随机挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为 .4．为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为 .5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 .6. 已知数列是}{n a 等比数列，若456,1,a a a +成等差数列，且71a =，则10a = .7.投资生产A ，B 两种产品需要资金，场地，以及所获利润如下表所示。
资金（百万元） 场地（百平方米） 利润（百万元） A 产品（百吨） 2 2 3 B 产品（百米） 3 1 2 限制149现某工厂可使用资金1400万元，场地900m 2，若选择投资A ，B 产品最佳组合方案，则获利最大值为 百万元.8.在△ABC 中，已知BC ＝4，AC ＝3，且cos(A －B )= 1718，则cos C ＝ . 9.设向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a 与b 夹角的最大值为 .10.若函数2(0)1y ax a x =+>-的最小值为4，则a 的值为_______． 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 周长(cm) 频率/组距第4题图FE GHDCBAS 4S 2S 3S 113题图11. 底面半径为2cm 的圆柱形容器里放有四个半径为1cm 的实心铁球，使得四个球两两相切，其中底层两球与容器底面也相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.12. 已知点12,F F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为该双曲线左支上的任意一点．若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是 .13.如图，线段EF 和GH 把矩形ABCD 分割成四个小矩形，记四个小矩形的面积分别为(=1,2,3,4)i S i .已知AB =1，11S ≥，21S ≥，31S ≥，42S ≥，则BC 的最小值是 .14.若方程l o g xa a x =(1)a >有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答．题卡指定的区域内．．．．．．．．作答．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15．设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）． （1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式a c a c +<-．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1DD 的中点． （1）求证：1BD 面EAC ； （2）求四面体1EACB 的体积．17．如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E F 、分别在BC CD 、上），根据规划要求1D A 1B D E 1A1C BCECF ∆的周长为2km ． （1）试求EAF ∠的大小；（2）欲使EAF ∆的面积最小，试确定点E F 、的位置．18．如图，线段AB 两端点分别在x 轴，y 轴上滑动，且AB a b =+（a b >）．M 为线段AB 上一点，且MB a =，MA b =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）已知圆O ：221x y +=，设P 为轨迹C 上任一点，若存在以点P 为顶点，与圆O 外切且内接于轨迹C 的平行四边形，求证：22111a b +=．ABxy OMFE DCB A19．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，81a =-． ①求满足0n S <的n 的最小值；②是否存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．（2）设数列{}n a 的前6项均为正整数，公比为q ，且(1,2)q ∈，求6a 的最小值．20．已知函数2)(x x ae e x f -+=，2)(xx e e x g --=，(,)x a ∈∈R R .⑴当1=a 时，试用)(),(),(),(y g x g y f x f 表示)(y x f +；⑵研究函数)(x f y =的图象发现：取不同的a 值，)(x f y =的图象既可以是中心对称图形，也可以是轴对称图形（对称轴为垂直于x 轴的一条直线），试求其对称中心的坐标和对称轴方程；⑶设函数)(x h 的定义域为R ，若对于任意的实数y x ,，函数)(x h 满足)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++，且1)()(≤-x f x h ．证明：)()(x f x h =O 2O 1BCDPA数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲 如图，1O 和2O 外切于点P ，延长1PO 交1O 于点A ，延长2PO 交2O 于点D ，若AC 与2O 相切于点C ，且交1O 于点B . 求证：（1）PC 平分BPD ∠； （2）2PC PB PD =⋅.B ．选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦将直线:10l x y +-=变换成直线l '. （1）求直线l '的方程；（2）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵1A -；若不可逆，请说明理由．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P 为圆22si n 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.D ．选修4-5：不等式选讲设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．22. 必做题（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．. ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．必做题已知抛物线x y =2的焦点为F ，点),(00y x M （与原点不重合）在抛物线上． （1）作一条斜率为021y -的直线交抛物线于H G ,两点，连接MH MG ,分别交x 轴于B A ,两点，（直线MH MG ,与x 轴不垂直），求证MB MA =；（2）设D C ,为抛物线上两点，过D C ,作抛物线的两条切线相交于点P ，（D C ,与M 不重合，与M 的连线也不垂直于x 轴），求证:PFC PFD ∠=∠．命题人员：鲍立华 王正军 陆明明图一图二数学试题参考答案一、填空题1．3 2．0 3． 4． 75% 5．11 6．18 7．14．75 8．169．120 10．1 11．8423ππ+ 12．(1,3] 13．322+ 14．11e a e << 二、解答题15．（1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π， 所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分 当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分 当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分 16．（1）连接BD 交AC 于O 点，连接OE ． 由题知，O 为BD 中点．∴在1BDD 中，OE 为中位线，∴OE ∥1BD ………………………………4分 又OE ⊆面EAC ，1BD ⊄面EAC∴1BD ∥面EAC ．………………………………6分 （2）连接1OB ．∵O 为AC 中点，EA=EC ，11B A B C = ∴EO AC ⊥，1B O AC ⊥∴1BOE ∠为二面角1E AC B --的平面角 由正方体的棱长为2，得3EO =，16OB =，13EB = ∴22211EO OB EB +=，即12B OE π∠=∴EO ⊥面1ABC ，即EO 为四面体1E AB C -的高………………………………12分∴1113E AB C AB C V EO S -=⋅113226232=⨯⨯⨯⨯=………………………………14分17．解：（1）设,BAE DAF αβ∠=∠=，,(01,01)CE x CF y x y ==<≤<≤， 则tan 1,tan 1x y αβ=-=-，由已知得：222x y x y +++=，即2()2x y xy +-=…………………………………4分tan tan 112()2()tan()11tan tan 1(1)(1)[22()]x y x y x y x y x y xy x y x y αβαβαβ+-+--+-++=====----+-++-+0,24ππαβαβ<+<∴+=，即.4EAF π∠=…………………………8分（2）由（1）知，1221121sin 244cos cos 4cos cos AEF S AE AF EAF AE AF αβαβ∆=⋅∠=⋅=⋅⋅=⋅=22111142cos (sin cos )sin 22cos sin 2cos 21cos cos()4πααααααααα⋅===++++- =12sin(2)14πα++．…………………………………………………12分04πα<<，242ππα∴+=，即8πα=时AEF ∆的面积最小，最小面积为21-．22tan 8tan ,tan 21481tan 8ππππ=∴=--，故此时21BE DF ==- 所以，当21BE DF ==-时，AEF ∆的面积最小．………………………………14分18．（1）点M 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=………………………………6分（2）显然圆O 外切的平行四边形为菱形，连接PO 并延长交椭圆C 于点Q ，过O 作PQ 垂线交椭圆于C ，D ，连接PC 与圆O 切于点H.当PO 斜率不存在时，可得22111a b +=………………………………8分 当PO 斜率存在时设为k ，PO 方程y kx =与22221x y a b +=联立解得222222a b x b a k =+，2222222a b k y b a k=+………………………………10分 所以2222222222211b a k OP x y a b a b k +==++ 同理可求得2222222221a b k OC a b a b k +=+所以22221111OP OC a b +=+………………………………14分 又Rt POC ∆的斜边与圆O 切于点H ，故222111OP OC OH += 所以22111a b+=………………………………16分 19.（1）①设数列{}n a 的前6项等比数列的公比为q ，从第5项起等差数列的公差为d ． 由544a a q q ==，22644a a q q ==，则244d q q =-； 又285343(44)1a a d q q q =+=+-=-，解得12q =或16q =（舍，因为n a 为整数）， 所以12q =，1d =-．故61()(6,*)27(7,*)n n n n N a n n n N -⎧≤∈⎪=⎨⎪-≥∈⎩．……2分 所以164[1()](6,*)2(7)(6)63(7,*)2n n n n N S n n n n N ⎧-≤∈⎪⎪=⎨--⎪-≥∈⎪⎩…………4分∵0n S < ∴7n ≥ 由(7)(6)6302n n ---<得17n >所以，满足0n S >的n 的最小值为18．……………………………6分 ②假设存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立， 即2(1)(1)0m m a a +-+= 由1m a =或21m a +=-得6m =所以，存在正整数6m =，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立．…………………10分 （Ⅱ）设11n n a a q -=，由1a ，…，6a 都是正整数，则q 必为有理数．设sq r =，其中s ，r 都是正整数，且(,)1s r =，22r s r ≤<<，则5615s a a r=．由(,)1s r =，得55(,)1s r =，所以1a 是5r 的整数倍．因此，5556153243s a a s r=≥≥=．……………14分当2r =，3s =时，即32q =，512a =时，6a 取到最小值243．……16分 20．⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)(2)(xx x x ee x g e e xf 得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-)()()()(xg x f e x g x f e x x)()()()(2)(y g x g y f x f e e e e y x f yx y x +=+=+--……………………………4分（2）设)(x f 关于点),(n m 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+n ae e ae e m x x m x x 422=+++---0)(4)(22222=++-+m m x m m x e a e e ne a e e 对R x ∈恒成立⎪⎩⎪⎨⎧==+04022mm ne a e 故当0<a 时存在对称点（)0),ln(21(a - …………………………7分 同理当0>a 时存在对称轴a x ln 21=……………………………9分 当0=a 时函数不存在对称点或对称轴 ……………………………10分 （3）设)()()(x f x h x G -=,假设存在实数a 使得0)(≠a G 因为)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++ 所以)()()(x yG y xG xy G +=)()()(x aG a xG xa G += ……………………………12分)()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥1a a G x -≥)()(1a G a x +≤……………………………14分即只有当)(1a G a x +≤时，)()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥不等式才能恒成立与R x ∈矛盾所以不存在实数a 使得G （a ）0≠,故)()(x f x h = ……………………………16分附加题部分21．A ．选修4-1：几何证明选讲 （1）连结2O C ，AC 切2O 于点C ，2AC OC ∴⊥，又AP 是1O 的直径，90ABP AB PB ∴∠=∴⊥，2//PB O C ∴，……………………………………………………………………………2分 2BPC O PC ∴∠=∠，又22O P O C =，22O PC O CP ∴∠=∠， ………………………………………4分 PC ∴平分BPD ∠.………………………………………………………………………5分 （2）连结CD ，可得BCP D ∠=∠，…………………………………………………6分 又BPC CPD ∠=∠，BPC CPD ∴∆∆，………………………………………………………………… 8分 PB PC PC PD∴=， 2PC PB PD ∴=⋅. ……………………………………………………………… 10分B ．选修4-2:矩阵与变换（1）在直线l 上任取一点00(,)P x y ，设它在矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下变为(,)Q x y ．∵002113x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………………2分 ∴000023x x y y x y =+⎧⎨=-+⎩，即003727x y x x yy -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，……………………………………………………4分 又∵点00(,)P x y 在直线:10l x y +-=， ∴321077x y x y-++-=， 即直线l '的方程为470x y +-=.…………………………………………………………5分（2）21013≠-，∴矩阵A 可逆． ………………………………………………7分设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………8分 ∴21203031a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解之得37171727a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，∴131771277A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ……………………10分 C ．选修4-4:坐标系与参数方程圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………… 2分直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=， ……………… 4分 设点(22cos ,22sin 1)P αα-，则点到直线70x y +-=的距离4sin()822cos 22sin 8422d πααα+-+-==，…………………………………………………………………………………………8分∴min 4222d ==；max 12622d ==.……………………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲 2()13f x x x =-+，22()()-=--+f x f a x x a a ……………………………………………………2分 1=-⋅+-x a x a ……………………………………………………………………4分 1<+-x a ，………………………………………………………………………… 5分又1()21+-=-+-x a x a a …………………………………………………… 7分21≤-+-x a a ………………………………………………………………………9分 1212(1)<++=+a a ．………………………………………………………………10分22. （1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．…………2分 （2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………4分 它们是等可能的。
江苏省南京市2015届高三数学考前综合题(定稿)
a2k－1 4 a1 a2k－1 4 a1 9 1 4 · )＝ (当且仅当 ＋ ＝1，且 ＝ ， a1 a2k－1 2 a1 a2k－1 a1 a2k－1
3cos20－sin20＋sin20 ＝ 3． cos20
【说明】切化弦､ 向特殊角转化､ 向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路． π 4 π 7．设 α 是锐角，且 cos(α＋ )＝ ，则 sin(2α＋ )的值为 6 5 12 17 2 【答案】 50 π π 2π π 4 π 3 【提示】因为 α 是锐角，所以 ＜α＋ ＜ ，因为 cos(α＋ )＝ ，所以 sin(α＋ )＝ ． 6 6 3 6 5 6 5 π π π 24 π π 7 sin2(α＋ )＝2sin(α＋ )cos(α＋ )＝ ，cos2(α＋ )＝1－2sin2(α＋ )＝ ． 6 6 6 25 6 6 25 ．
南京市 2015 届高三数学考前综合训练题
一、填空题 1．数列{an}为等比数列，其前 n 项的乘积为 Tn，若 T2＝T8，则 T10＝ 【答案】1 【提示】法一：由 T2＝T8 得 a3· a4· „· a8＝1，则(a3· a8)3＝1，a3· a8＝1． 从而 T10＝a1· a2· „· a10＝(a1· a10)5＝(a3· a8)5＝1； 法二：(特殊化思想)，取 an＝1，则 T10＝1． 【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{an}为正项等比数列，其前 n 项的乘积为 Tn，若 Tm＝Tn， 则 Tm＋n＝1； 可类比： {an}为等差数列， 其前 n 项的和为 Sn， 若 Sm＝Sn， 则 Sm＋n＝0． (其 中 m，n∈N*，m≠n)． 2．已知点 P 为圆 C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0 上的动点，点 P 到某直线 l 的最大距离为 5．若在直线 l 上任 取一点 A 作圆 C 的切线 AB，切点为 B，则 AB 的最小值是________． 【答案】 5． 【提示】由 P 到直线 l 的最大距离为 5，得圆心 C 到直线 l 的距离为 3，从而直线 l 与圆 C 相离． 过 A 引圆 C 的切线长 AB＝ AC2－r2＝ AC2－4≥ 32－4＝ 5． 【说明】点､ 直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､ 直线问题． 3 3．已知直线 l：x－2y＋m＝0 上存在点 M 满足与两点 A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为－ ， 4 则实数 m 的值是___________． 【答案】[－4，4]． x2 y2 【提示】点 M 的轨迹为 ＋ ＝1(x≠±2)．把直线 l：x＝2y－m 代入椭圆方程得， 4 3 16y2－12my＋(3m2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m≤4． 【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想． 1 4 4．已知数列{an}为正项等差数列，满足 ＋ ≤1(其中 k∈N*且 k≥2)，则 ak 的最小值为_________． a1 a2k－1 9 【答案】 ． 2 ．
2015高考数学江苏省三轮冲刺模拟试题
江苏省2015届高考数学预测卷六一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 已知cos cos sin ,a B b A c C +=222b c a B +-==，则__3π___． 2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()4,3，则此双曲线的方程为___221169x y -=_____． 3．已知函数()2,01,0kx x f x nx x +≤⎧=⎨>⎩()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k的取值范围是_2k ≤-______.4．如图，在梯形A B C D 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为5. 已知点M 是⊿ABC 的重心，若A =60°，3AB AC ⋅=，则AM 的最小值为6. 已知F 2、F 1是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为___2____.7. 设变量x ，y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.目标函数2z ax y =+处取得最小值，则a 的取值范围为 (-4,2) .8. 已知O 为坐标原点，1P 、2P 是双曲线22194x y -=上的点.P 是线段12PP 的中点，直线OP 、12PP 的斜率分别为1k 、2k ，若124k ≤≤=，则2k 的取值范围是___12,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦_____.9. 己知2()ln f x x a x =+的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a 的取值范围是____⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21_____.10. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9420S S =+，则13S 的值为 52 11. 在圆OAB 不过圆心，则AO AB 的值为 1 12. 关于x 的不等式),(1+∈>+R b a b ax 的解集为),1(+∞,那么ba 11+的取值范围是 [)+∞,4 .13. 设有一组圆k C ：)(2)3()1(*422N k k k y k x ∈=-++-. 下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的个数为 314. 直角坐标系xOy 中，已知两定点A （1，0），B （1，1）．动点(,)P x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤1020OB OP ，则点(,)M x y x y +-构成的区域的面积等于 4 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，1AC BC ==，12AA =．以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1DA 和1DC ．（Ⅰ）求证：1A D ∥平面11BCC B； （Ⅱ）求直线1CC 与平面11DAC 所成角的正弦值； （Ⅲ）线段BC 上是否存在点F ，使平面11DAC 与平面11AC F 垂直？若存在，求出BF 的长；若 不存在，说明理由． 解：略16. 如图6，圆22:(2)36C x y ++=，P 是圆C 上的任意 一动点，A 点坐标为（2，0），线段P A 的垂直平分线l 与半径CP 交于点Q .（1）求点Q 的轨迹G 的方程；（2）已知B ，D 是轨迹G 上不同的两个任意点，M 为 BD 的中点. ①若M 的坐标为M （2，1），求直线BD 所在的直线方程；②若BD 不经过原点，且不垂直于x 轴，点O 为轨迹G 的中心. 求证：直线BD 和直线OM 的斜率之积是常数（定值）.解：（1）圆C 的圆心为C （-2，0），半径r =6，4CA =. （1分） 连结QA ，由已知得QA QP =， （2分） 所以6QC QA QC QP OP r CA +=+===>. （3分） 根据椭圆的定义，点Q 的轨迹G 是中心在原点，以C 、A 为焦点，长轴长等于6的椭圆， 即a =3，c =2，222945b a c =-=-=， （4分）所以，点Q 的轨迹G 的方程为22195x y +=. （5分） （2）①设B 、D 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+4595459522222121y x y x （6分） 两式相减，得121212125()()9()()0x x x x y y y y -++-+=， （7分） 当BD 的中点M 的坐标为（2，1）时，有⎩⎨⎧=+=+242121y y x x ， （8分）所以0)(18)(202121=-+-y y x x ，即9102121-=--=x x y y k BD . （9分）故BD 所在的直线方程为)2(9101--=-x y ，即029910=-+y x . （10分） ②证明：设1122(,),(,)B x y D x y ，且21x x ≠， 由①可知121212125()9()BD y y x x k x x y y -+==--+, （11分）又1212OM y y k x x +=+ （12分）所以95)(9)(521212121-=++⨯++-=⋅x x y y y y x x k k OM BD （定值）. （14分）17. 已知函数211()ln ,()22f x x xg x x ==+． (Ⅰ)设()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的图像在1x =处的切线方程：(Ⅱ)求证：()()f x e g x ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立；(Ⅲ)若,,a b c R +∈，且2223a b c ++=，求证：222()()()6111ab c b c c a a b a b c +++++≤+++． 解：（1）211()()()ln 22F x f x g x x x x =+=++，()1ln F x x x '=++，则(1)1F = (1)2F '=，∴()F x 图像在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-即210x y --= 3分（2）令()ln 211()()22f x x x G x eg x e x =-=--，ln ()(1ln )x x G x e x x '=+- 4分 则ln 2ln ln 2(1)ln 1()(1ln )1(1ln )1x x x x x x x x G x e x ee x e x-''=++⋅-=++- ∵1x -与ln x 同号 ∴(1)ln 0x x -≥ ∴(1)ln 10x xe--≥ ∴()0G x ''> ∴()G x '在(0,)+∞单调递增 6分 又(1)0G '=，∴当(0,1)x ∈时，()0G x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0G x '> ∴()G x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ∴min ()(1)0G x G ==∴()0G x ≥ 即()()f x eg x ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立 8分（3）由（2）知21122xx x ≥+ 9分则222222222()()()()()()131313*********a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c ++++++++≤++++++++222222222222()()()2222b c c a a b a b c a b c a b c ⎡⎤+++=++⎢⎥++++++⎣⎦11分 由柯西不等式得22222222222()()()()b c a b a c b c a b a c⎡⎤++++≥+⎣⎦++ ∴2222()2b c a b c +≤++222222b c a b a c +++ 13分同理2222()2b c a b c +≤++222222c a a b b c +++ 2222()2a b a b c +≤++222222a b a c b c+++ 三个不等式相加即得证。
2015届高考数学仿真押题卷——江苏卷(10)-高考理科数学试卷与试题
17. (本题满分14分)
参考答案：
[14分]
18. 参考答案：
19. 参考答案：
[16分] [16分]
20. 参考答案：
（附加题）
[16分]
21.
参考答案：
[20分]
22. 参考答案：
[10分]
23. 参考答案：
[10分]
计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ ． 答案：[5分] 参考答案：
7. 若在区间 的椭圆的概率为 ▲ ． 答案：2[5分] 参考答案已知三次函数 ▲． 答案：3[5分] 参考答案： 3
10.
参考答案：
11.
参考答案：
表示焦点在x轴上 答案：
的最小值为 [5分] [5分]
12. 参考答案：
[5分]
13. 参考答案：
[5分]
14. 已知定义在 ▲． 答案：[5分] 参考答案：
解集
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明 过程或演算步骤．
15.
参考答案：
[14分]
16. (本题满分14分)
参考答案：
[14分]
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为 ▲ ．[5分] 参考答案： 100
4. 如图是一个算法的流程图，则最后输出的W的值为 ▲ ． [5分]
参考答案： 14
5. 已知
的最大值是 ▲ ．
答案：9[5分] 参考答案： 9
6. 用半径为
的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不
2015届高考数学仿真押题卷——江苏卷（10）
试卷总分：200 答题时间：120分钟
江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试卷
2015届高三模拟考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．1 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i .锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N M ，则实数x 的值为__________．2. 若复数z ＝a ＋ii (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a 的值为__________．3. 在一次射箭比赛中，某运动员5次射中的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是__________．i ←1 S ←0While i ＜8 i ←i ＋3 S ←2×i ＋S End While Print S(第6题)4. 甲、乙两位同学下象棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为__________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则实数a 的值为__________．6. 运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为________．7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为__________．8. 已知一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为____________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0的值为__________．10. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为__________．11. 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”成立的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．13. 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f(x)＝2x －1.又已知函数g(x)＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数m 的取值范围是______________．14. 已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n (n ∈N *)．若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知锐角α的始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆交于点P(x 1，y 1)．将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后，与单位圆交于点Q(x 2，y 2)．记f(α)＝y 1＋y 2.(1) 求函数f(α)的值域；(2) 记△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若f(C)＝2，且a ＝2，c ＝1，求b.16.(本小题满分14分)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 、E 分别为B 1D 、AB 的中点．求证： (1) OE ∥平面BCC 1B 1； (2) 平面B 1DC ⊥平面B 1DE.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线为直线x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F.已知斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1) 求a ，b 的值；(2) 将直线l 绕点A 旋转，与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，求直线l 的斜率．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，设计方案中，体育馆侧面的外轮廓线为如图乙所示的封闭曲线ABCD.曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(0＜t ≤25，单位：m)，曲线BC 是抛物线y ＝－ax 2＋50(a ＞0)的一部分，CD ⊥AD ，且CD 恰好等于圆E 的半径．假定拟建体育馆的高OB ＝50 m.甲乙(1) 若要求CD ＝30 m ，AD ＝24 5 m ，求实数t 与a 的值；(2) 若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75 m ，求实数a 的取值范围； (3) 若a ＝125，求AD 的最大值．⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：若f （x ）＝a －x ，则f′（x ）＝－12a －x设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1a 5＝64，S 5－S 3＝48. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对于正整数k ，m ，l(k ＜m ＜l)，求证：“m ＝k ＋1且l ＝k ＋3”是“5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列”的充要条件；(3) 设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，且集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫n|b n a n≥λ，n ∈N *中有且仅有3个元素，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝mx ＋n ，其中e 是自然对数的底数，m ，n ∈R . (1) 设h(x)＝f(x)－g(x)．① 若函数h(x)的图象在x ＝0处的切线过点(1，0)，求m ＋n 的值；② 当n ＝0时，若函数h(x)在(－1，＋∞)上没有零点，求m 的取值范围．(2) 设函数r(x)＝1f （x ）＋nxg （x ），且n ＝4m(m ＞0)，求证：当x ≥0时，r(x)≥1. (这是边文，请据需要手工删加)2015届高三模拟考试试卷(一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知点P 为Rt △ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt △ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D.若PA ＝18，PC ＝6，求线段CD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，求直线x －y －1＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22表示的变换作用下所得曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1的距离．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x ＋1|＋|x －2|＜4.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →＝λCC 1→(λ＞0)，且当λ＝12时，AB 1⊥BP.(1) 求棱CC 1的长；(2) 若二面角B 1ABP 的大小为π3，求λ的值．23.设集合S ＝{1，2，3…，n}(n ∈N *，n ≥2)，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数．记满足条件的集合对(A ，B)的个数为P n .(1) 求P 2，P 3的值； (2) 求P n 的表达式．2015届高三模拟考试试卷(一)(盐城、南京)数学参考答案及评分标准1. 12. －13. 654. 0.35. 22 6. 42 7. 8 8. 3π3 9. 5π12 10.4 11. 必要不充分 12. 10 13. [－5，－2] 14. （－2）n －1315. 解：(1) 由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，(4分)所以f(α)＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.(6分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，故f(α)∈(1，2]．(8分)(2) 因为f(C)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝2，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以C ＝π4.(10分)在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，即1＝2＋b 2－22×22b ， 解得b ＝1.(14分)(说明：第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)16. 证明：(1) 连结BC 1，设BC 1∩B 1C ＝F ，连结OF ，(2分) 因为O 、F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF ＝12DC.又E 为AB 中点，所以EB ∥DC ，且EB ＝12DC ，从而OF ∥EB ，OF ＝EB ，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以OE ∥BF.(6分) 又OE Ë平面BCC 1B 1，BF Ì平面BCC 1B 1，所以OE ∥平面BCC 1B 1.(8分)(2) 因为DC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1Ì平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥DC.(10分)又BC 1⊥B 1C ，且DC ，B 1C Ì平面B 1DC ，DC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1DC.(12分) 而BC 1∥OE ，所以OE ⊥平面B 1DC.又OE Ì平面B 1DE ，所以平面B 1DC ⊥平面B 1DE.(14分)17. 解：(1) 由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a)，即2x －y －2a ＝0，(2分) ∴ 右焦点F 到直线l 的距离为|2c －2a|5＝255，∴ a －c ＝1.(4分)又椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，∴ c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，∴ b 2＝3，b ＝ 3.∴ 椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 由(1)知B(0，3)，F(1，0)，∴ 直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，(8分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0y ＝3(舍)，即P ⎝⎛⎭⎫85，－335，(12分)∴ 直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎫－3352－85＝332.(14分)18. 解：(1) 因为CD ＝50－t ＝30，解得t ＝20.(2分)此时圆E ：x 2＋(y －20)2＝302，令y ＝0，得AO ＝105，所以OD ＝AD －AO ＝245－105＝145，将点C(145，30)代入y ＝－ax 2＋50(a>0)中，解得a ＝149.(4分)(2) 因为圆E 的半径为50－t ，所以CD ＝50－t ，在y ＝－ax 2＋50中令y ＝50－t ，得OD ＝ta ，则由题意知FD ＝50－t ＋ta≤75对t ∈(0，25]恒成立，(8分) 所以1a ≤t ＋25t 恒成立，而当t ＝25t ，即t ＝25时，t ＋25t 取最小值10， 故1a ≤10，解得a ≥1100.(10分) (3) 当a ＝125时，OD ＝5t ，又圆E 的方程为x 2＋(y －t)2＝(50－t)2，令y ＝0，得x ＝±1025－t ，所以AO ＝1025－t.从而AD ＝f(t)＝1025－t ＋5t(0<t ≤25)．(12分)因为f′(t)＝5⎝⎛⎭⎪⎫－125－t ＋12t ＝5（25－t －2t ）225－t·t，令f′(t)＝0，得t ＝5，(14分) 当t ∈(0，5)时，f ′(t)>0，f(t)单调递增；当t ∈(5，25)时，f ′(t)<0，f(t)单调递减，从而当t ＝5时，f(t)取最大值为25 5.答：当t ＝5 m 时，AD 的最大值为25 5 m ．(16分)(说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法来解决，类似给分)19. 解：(1) ∵ 数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴ a 1a 5＝a 23＝64，∴ a 3＝8.∵ S 5－S 3＝48，∴ a 4＋a 5＝8q 2＋8q ＝48，∴ q ＝2，∴ a n ＝8·2n －3＝2n .(4分) (2) (ⅰ)必要性：设5a k ，a m ，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列，① 若2·5a k ＝a m ＋a l ，则10·2k ＝2m ＋2l ，∴ 10＝2m －k ＋2l －k ，∴ 5＝2m －k －1＋2l －k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2m －k －1＝1，2l －k －1＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝k ＋1，l ＝k ＋3.(6分) ② 若2a m ＝5a k ＋a l ，则2·2m ＝5·2k ＋2l ，∴ 2m ＋1－k －2l －k ＝5，左边为偶数，等式不成立． ③ 若2a l ＝5a k ＋a m ，同理也不成立．综合①②③，得m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，∴ 必要性成立．(8分) (ⅱ) 充分性：设m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，则5a k ，a m ，a l 这三项为5a k ，a k ＋1，a k ＋3，即5a k ，2a k ，8a k ，调整顺序后易知2a k ，5a k ，8a k 成等差数列，所以充分性也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立．(10分)(3) 因为a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，即21b n ＋22b n －1＋23b n －2＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，(*)∴ 当n ≥2时，21b n －1＋22b n －2＋23b n －3＋…＋2n －1b 1＝3·2n －4n －2，(**)则(**)式两边同乘以2，得22b n －1＋23b n －2＋24b n －3＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－8n －4，(***) (*)－(***)，得2b n ＝4n －2，即b n ＝2n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，2b 1＝3·22－10＝2，即b 1＝1，适合b n ＝2n －1(n ≥2)，∴ b n ＝2n －1.(14分)∴b n a n ＝2n －12n ，∴ b n a n －b n －1a n －1＝2n －12n －2n －32n －1＝5－2n 2n ， ∴ n ＝2时，b n a n －b n －1a n －1>0，即b 2a 2>b 1a 1；∴ n ≥3时，b n a n －b n －1a n －1<0，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减，又b 1a 1＝12，b 2a 2＝34，b 3a 3＝58，b 4a 4＝716，∴ 716<λ≤12.(16分) 20. (1) 解：① 由题意，得h′(x)＝(f(x)－g(x))′＝(e x －mx －n)′＝e x －m ， 所以函数h(x)在x ＝0处的切线斜率k ＝1－m.(2分)又h(0)＝1－n ，所以函数h(x)在x ＝0处的切线方程y －(1－n)＝(1－m)x ， 将点(1，0)代入，得m ＋n ＝2.(4分)② 当n ＝0，可得h′(x)＝(e x －mx)′＝e x －m ，因为x>－1，所以e x >1e，当m ≤1e 时，h ′(x)＝e x －m>0，函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，而h(0)＝1，所以只需h(－1)＝1e ＋m ≥0，解得m ≥－1e ，从而－1e ≤m ≤1e .(6分)当m>1e时，由h′(x)＝e x －m ＝0，解得x ＝lnm ∈(－1，＋∞)，当x ∈(－1，lnm)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减；当x ∈(lnm ，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增．所以函数h(x)在(－1，＋∞)上有最小值为h(lnm)＝m －mlnm ，令m －mlnm>0，解得m<e ，所以1e <m<e.综上所述，m ∈⎣⎡⎭⎫－1e ，e .(10分)(2) 证明：由题意，r(x)＝1f （x ）＋nx g （x ）＝1e x ＋n m x x ＋n m＝1e x ＋4x x ＋4，而r(x)＝1e x ＋4xx ＋4≥1等价于e x (3x －4)＋x ＋4≥0，令F(x)＝e x (3x －4)＋x ＋4，(12分)则F(0)＝0，且F′(x)＝e x (3x －1)＋1，F ′(0)＝0，令G(x)＝F′(x)，则G′(x)＝e x (3x ＋2)，因为x ≥0，所以G′(x)>0，所以导数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，于是F′(x)≥F′(0)＝0，(14分)从而函数F(x)在[0，＋∞)上单调递增，即F(x)≥F(0)＝0.从而，当x ≥0时，r(x)≥1.(16分)2015届高三模拟考试试卷(一)(盐城、南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由切割线定理，得PC 2＝PA·PB ，解得PB ＝2，所以AB ＝16，即Rt △ABC 的外接圆半径r ＝8，记Rt △ABC 外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC ⊥PC ，在Rt △POC 中，由面积法得OC·PC ＝PO·CD ，解得CD ＝245.(10分) B. 解：设P(x ，y)是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q(x′，y ′)， 则⎩⎨⎧22x′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ，解得⎩⎨⎧x′＝22（x ＋y ），y ′＝22（y －x ），(5分) 代入x′－y′－1＝0中，得22(x ＋y)－22(y －x)－1＝0， 化简可得所求曲线方程为x ＝22.(10分) C. 解：将圆ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1，0)，(4分)又2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，即2ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1， 所以直线的普通方程为3x ＋y －1＝0，(8分)故所求的圆心到直线的距离d ＝3－12.(10分) D. 解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；(3分) 当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4，解得－1≤x ≤2；(6分)当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.(9分) 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－32，52.(10分) 22. 解：(1) 以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1(3，0，m)，B(3，0，0)，P(0，4，λm)，所以AB 1→＝(3，0，m)，PB →＝(3，－4，－λm )，AB →＝(3，0，0)，(2分)当λ＝12时，有AB 1→·PB →＝(3，0，m)·⎝⎛⎭⎫3，－4，－12m ＝0， 解得m ＝32，即棱CC 1的长为3 2.(4分)(2) 设平面PAB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n 1＝0，PB →·n 1＝0，得⎩⎨⎧3x ＝0，3x －4y －32λz ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，4y ＋32λz ＝0，令z ＝1，则y ＝－32λ4，所以平面PAB 的一个法向量为n 1＝⎝⎛⎭⎫0，－32λ4，1.(6分) 又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)． 因为二面角B 1ABP 的平面角的大小为π3， 所以||cos 〈n 1，n 2〉＝12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32λ4⎝⎛⎭⎫32λ42＋1，结合λ>0，解得λ＝269.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝2时，即S ＝{1，2}，此时A ＝{1}，B ＝{2}，所以P 2＝1，(2分) 当n ＝3时，即S ＝{1，2，3}，若A ＝{1}，则B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2，3}； 若A ＝{2}或A ＝{1，2}，则B ＝{3}；所以P 3＝5.(4分)(2) 当集合A 中的最大元素为“k”时，集合A 的其余元素可在1，2，…，k －1中任取若干个(包含不取)，所以集合A 共有C 0k －1＋C 1k －1＋C 2k －1＋…＋C k －1k －1＝2k －1种情况，(6分) 此时，集合B 的元素只能在k ＋1，k ＋2，…，n 中任取若干个(至少取1个)，所以集合B 共有C 1n －k ＋C 2n －k ＋C 3n －k ＋…＋C n －k n －k ＝2n －k －1种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k”时，集合对(A ，B)共有2k －1(2n －k －1)＝2n －1－2k －1对，(8分)当k 依次取1，2，3，…，n －1时，可分别得到集合对(A ，B)的个数，求和可得P n ＝(n －1)·2n －1－(20＋21＋22＋…＋2n －2)＝(n －2)·2n －1＋1.(10分)。
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2008届南京高三数学综合训练题（考前押题）1．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是___________cm 3．2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是________个．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．4．已知P 为抛物线x 2＝14y 上的点，点P 到x 轴的距离比它到y 轴的距离大3，则点P 的坐标是____________．5．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x轴，AB →²AP →＝9，若B 点坐标为（0，1），则椭圆方程是__________ ． 6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }． （1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．7．在锐角△ABC 中，sin A ＝35，tan(A －B )＝－12．求tan B 及cos C 的值．8．A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点，已知AB ＝BC ＝a ，∠APB ＝90︒，∠BPC＝45︒ ，∠PBA ＝θ．求：（1）tan θ ；（2）PA →²PC →．P 主视图 左视图 （第1题图） 寿命（h ） （第2题图）9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos B cos C ＝－ b2a ＋c ．（1）求角B 的度数；（2）若b ＝19，a ＋c ＝5，求a 和c 的值．10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．11．如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA ．求证：（1）平面AMD ∥平面BPC ；（2）平面PMD ⊥平面PBD ．12．已知点A (－3，1)在椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左准线上．过A 点、斜率为－ 52的光线，经直线y ＝－2反射后经过椭圆的左焦点F ． （1）求椭圆的方程；（2）点P 是直线y ＝－2上的一个动点，求以AP 为直径且经过点F 的圆的方程．13．已知B 2，B 1分别是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F 是C 的右焦点，FB 1＝2，F 到C 的左准线的距离是733．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ，B 2P 与x 轴分别交于点M ，N ．求证：→OM ·→ON 是定值．14．如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为Ｍ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．15．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700 x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000（单位：万元）．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )． （1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？E BCD A 1 B 1 C 1D 1 （第9题图）ABC DPM（第10题图）（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 16．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t （百万元），可增加销售额约为－t 2＋5t （百万元）（0≤t ≤5）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x （百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益＝销售额－投放）．17．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？18．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )． （1）如果a ＝l ，求f (x )的极小值； （2）如果a ≥l ，g (x )＝|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．19．设函数f (x )＝2ln x －x 2．（1）求函数f (x )的单调递增区间；（2）设a ∈R ，讨论关于x 的方程f (x )＋2x 2－5x －a ＝0的解的个数．20．已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x ． （1）求函数f (x )的值域；（2）设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，记F (x )的最大值为g (m )，求g (m )的表达式．21．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝2a n 2＋2 a n ，其中n 为正整数． （1）设b n ＝2a n ＋1，证明：数列{b n }是“平方递推数列”，且数列{lg b n }为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”{b n }的前n 项之积为T n ，即T n ＝（2a 1＋1）（2a 2＋1）…（2a n ＋1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式； （3）记c n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{c n }的前n 项之和S n ，并求使S n ＞2008的n 的最小值．22．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．23．已知数列{a n }满足：a 1＝a ，a n +1＝⎩⎨⎧a n ―3，(a n ＞3，n ∈N *)，4－a n ，(a n ≤3，n ∈N *)．（1）若a ＝202，求数列{a n }的前30项和S 30的值；（2）求证：对任意的实数a ，总存在正整数m ，使得当n ＞m （n ∈N *）时，a n +4＝a n 成立．2008届南京高三数学综合训练题参考答案1．4．2．650．3．x ＝－1或5x ＋12y －31＝0．4．(1，4)或(－1，4)．5．x 212＋ y 24＝1．6．由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．（1）∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．（2）∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．∵A ⊂∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．7．在锐角△ABC 中，∵sin A ＝35，∴cos A ＝45，tan A ＝34．∴tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan(A －B )1＋tan A tan(A －B )＝34－(－12)1＋34³(－12)＝2．∵sin Bcos B ＝tan B ＝2，∴sin B ＝2cos B ．又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴cos 2B ＝15．∵B 为锐角，∴cos B ＝55，sin B ＝255．∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(45³55－35³255)＝2525．8．（1）设BP ＝x ，∵∠APB ＝90︒ ，AB ＝a ，∠PBA ＝θ，∴x ＝a cos θ ．又△BPC 中，BC ＝a ，∠BPC ＝45°，∠BCP ＝θ－45︒ ， a sin45︒ ＝x sin(θ－45︒ )，∵a sin45︒＝a cos θsin(θ－45︒ )，sin45︒cos θ＝sin(θ－45︒)， sin45︒ cos θ＝sin θcos45︒ －cos θsin45︒ ，sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2．（2）∵tan θ＝2＞0，∴θ为锐角，sin θ＝25．又在Rt △ABP 中，AP ＝AB sin θ＝2 a5．因为PA ⊥PB ，所以PA →²PC →＝PA →²(PB →＋BC →)＝PA →²PB →＋PA →²BC →＝PA →²BC →＝－AP →²BC →＝－|AP →|²|BC →|cos(90︒－θ)＝－ 2 a 5⋅ a ⋅(25)＝－45a 2.(2)另解：∵tan θ＝2＞0，∴sin θ＝25，cos θ＝15．△BPC 中，BC ＝a ，PB ＝AB cos θ＝a 5，∴PC 2＝a 2＋(a 5)2－2a ³a 5³cos (π－θ)＝85a 2，所以PC ＝225a ．则PA →²PC →＝|PA →|²|PC →|²cos(90︒＋45︒)＝2 a 5³225a ³(－ 22)＝－45a 2．9．（1）由题设，可得cos B cos C ＝－ sin B2sin A ＋sin C，则－sin B cos C ＝2cos B sin A ＋cos B sin C ．sin B cos C ＋cos B sin C ＋2cos B sin A ＝0，sin(B ＋C)＋2cos B sin A ＝0，sin A ＋2cos B sin A ＝0．因为sin A ≠0 ，所以cos B ＝－ 12，所以B ＝120o ．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴19＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos120o ，∴ac ＝6．又a ＋c ＝5，可解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2．10．（1）证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ．由条件得ABCD 为正方形，故O 为AC 中点．因为E 为CC 1中点，所以OE ∥AC 1．因为OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/平面BDE ．所以AC 1∥平面BDE ．（2）连接B 1E ．设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ＝2a ，BB 1＝2a ．所以BE 2＋B 1E 2＝BB 12．所以B 1E ⊥BE ．由正四棱柱得，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE ．所以BE ⊥平面A 1B 1E ．所以A 1E ⊥BE ．同理A 1E ⊥DE ．所以A 1E ⊥平面BDE ．11．（1）证明：因为PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，所以PB ∥MA ．因PB ⊂平面BPC ，MA ⊂/平面BPC ，所以MA ∥平面BPC ．同理DA ∥平面BPC ，因为MA ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，MA ∩AD ＝A ，所以平面AMD ∥平面BPC ．（2）连接AC ，设AC ∩BD ＝E ，取PD 中点F ，连接EF ，MF ．因ABCD 为正方形，所以E为BD 中点．因为F 为PD 中点，所以EF ∥=12PB ．因为AM ∥=12PB ，所以AM ∥=EF ．所以AEFM 为平行四边形．所以MF ∥AE ．因为PB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥AE ．所以MF ⊥PB ．因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ．所以MF ⊥BD ．所以MF ⊥平面PBD ．又MF ⊂平面PMD ．所以平面PMD ⊥平面PBD ． 12．（1）由题意，得A 关于直线y ＝－2的对称点为A '(－3，－5)．由k AF ＝－ 52，得k A ’F ＝52．∴A 'F 的方程为y ＋5＝52(x ＋3)，即y ＝52x ＋52．∵A 'F 过点F (－c ，0)，∴c ＝1．∵a 2c ＝3，∴a 2＝3，b 2＝2．∴椭圆的方程是x 23＋y 22＝1．（2）设P (m ，－2)．由题意，得→FA ·→FP ＝0，即－2m －2－2＝0．∴m ＝－2．∴P (－2，－2)．∴以AP 为直径的圆的方程是( x ＋ 52 )2＋( y ＋ 12)2＝52．13．（1）设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得，FB 1＝a ＝2，c ＋a 2c ＝733，所以a＝2，c ＝3，b ＝1．所以所求的椭圆方程为x 24＋ y 2＝1．（2）设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，直线B 1P ：y ＋1y 0＋1＝x x 0．令y ＝0得x ＝x 0y 0＋1，即M (x 0y 0＋1，0)．直线B 2P ：y －1y 0－1＝x x 0，令y ＝0得x ＝－ x 0y 0－1，即N (－ x 0y 0－1，0)∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1．∵x 024＋y 02＝1，∴1－y 02＝x 024，∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1＝4．EA B CD A 1 B 1C 1D 1O A BC DP M FE即−→OM ⋅−→ON 为定值．14．（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧a 2c ＝4，a 2c－c ＝3．∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．∴b＝3．所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y 23＝1．（2）由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝12PM ．∴PF ≠PM ．①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．②若FM ＝PM ，设P (x ，y )(x ≠±2)，则M (4，y )．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16－8x＋x 2，又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2．∴9＋3－34x 2＝16－8x ＋x 2，∴74x 2－8x ＋4＝0．∴7x 2－32x ＋16＝0．∴x ＝47或x ＝4．∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47．∴P (47，±3157)．综上，存在点P (47，±3157)，使得△PFM 为等腰三角形．15．（1）P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000 (x ∈N *，且1≤x ≤20)，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275 (x ∈N *，且1≤x ≤19)． (2) P ’(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)； ∴当0＜x ＜12时，P (x )＞0，当x ＞12时，P (x )＜0，∴当x ＝12时，P (x )有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． （3）∵MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.∴1≤x ≤19时，MP (x )是减函数，其实际意义是随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘相比，在减少．16．（1）设投入t （t 百万元）的广告费后增加的收益为f (t )（百万元），则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)，所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（2）设用技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的资金为(3－x )（百万元），则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－ 13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g '(x )＝－x 2＋4．令g '(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去）．又当0≤x ＜2时，g '(x )＞0，当2＜x ≤3时，g '(x )＜0．故g (x )在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．17．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ．因为h ＞0，所以0＜R ＜33V 2π．设总造价为y ，则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa (32R 2＋Rh )＝a (32πR 2＋V R －23πR 2)＝a (56πR 2＋V R )．y '＝a (53πR －VR 2)＝5π aR 3－3a V 3R 2，令y '＝0得R＝33V5π，当R ∈(0，33V5π）时，y '＜0，y 为减函数；当R ∈(33V 5π，33V2π)时，y '＞0，y 为增函数．所以当R ＝33V5π时，y 有最小值． 答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R ＝33V5π时，造价最低． 18．（1）∵当a ＝1时，f ′ (x )＝3x 2－3，令f ′ (x )＝0，得x ＝－1或x ＝1．当x ∈(－1，1)时，f ′ (x )＜0，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′ (x )＞0． ∴f (x )在(－∞，－1)单调递增，在(－1，1)上单调递减，在 (1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝－2．（2）因为g (x )＝|f (x )|＝| x 3－3ax |在[－1，1]上为偶函数，所以只求在[0，1]上最大值．当a ≥1时，f ′ (x )＝3(x ＋a )(x －a )．列表如下：∵a ≥1，∴a ≥1．当x ∈(0，1)时，f ′ (x )＜0．∴f (x )在(0，1)上单调递减，f (x )＜f (0)＝0． ∴当x ∈(0，1)时，g (x )＝－f (x )＝－x 3＋3ax ．∴g ′ (x )＝－f ′ (x )＞0．∴g (x )在(0，1)上单调递增．∴当x ∈[0，1]时，F (a )＝g (1)＝3a －1．19．（1）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′ (x )＝2(1x －x )＝2(1＋x )(1－x )x．∵x ＞0，则使f ′ (x )＞0的x 的取值范围为(0，1)，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)．（2）∵f (x )＝2ln x －x 2．∴f (x )＋2x 2－5x －a ＝0⇔a ＝2ln x ＋x 2－5x ．令g (x )＝2ln x ＋x 2－5x ，∴g ′ (x )＝2＋2x －5＝(2x －1)(x －2)．∵x ＞0∴g (x )在(0，12)，(2，＋∞)上单调递增，在(12，2)上单调递减．∵g (12)＝－2ln2－94，g (2)＝2ln2－6，∴x ∈(0，12)时，g (x )∈(－∞，－2ln2－94)；x ∈(12，2)时，g (x )∈(2ln2－6，－2ln2－94)；x ∈(2，＋∞)时，g (x )∈(2ln2－6，＋∞)．∴当a ∈(－2ln2－94，＋∞)∪(－∞，2ln2－6)时，方程有一解；当a ＝－2ln2－94或a ＝2ln2－6时，方程有两解；当a ∈(2ln2－6，－2ln2－94)时，方程有三解．20．（1）要使f (x )有意义，必须1＋x ≥0且1－x ≥0，即－1≤x ≤1．∵[f (x )]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f (x )≥0，∴f (x )的值域是[2，2]．（2）设f (x )＝t ，则1－x 2＝12t 2－1，∴F (x )＝m (12t 2－1)＋t ＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]．由题意知g (m )即为函数h (t )＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]的最大值，∵直线t ＝－ 1m 是抛物线h (t )＝12mt 2＋t －m 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当m ＞0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t ＝－ 1m＜0知h (t )在[2，2]上单调递增，故g (m )＝h (2)＝m ＋2；②当m ＝0时，h (t )＝t 在[2，2]上单调递增，有g (m )＝h (2)＝m ＋2＝2； ③当m ＜0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，若t ＝－ 1m ∈(0，2]，即m ≤－ 22时，g (m )＝h (2)＝2；若t ＝－ 1m ∈(2，2]，即m ∈(－ 2 2，－12]时，g (m )＝h (－ 1m )＝－m －12m ；若t ＝－ 1m ∈(2，＋∞)，即m ∈(－12，0)时，g (m )＝h (2)＝m ＋2．综上所述，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2，m ＞－12，－m －12m ，－22＜m ≤－12，2，m ≤－ 22．21．（1）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．（2）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg5，∴2a n ＋1＝52n－1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5⋅(1－2n )1－2＝(2n －1)lg5．∴T n ＝52n －1．（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg52n －1lg5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴S n ＝2n －[1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1]＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2[1－⎝⎛⎭⎫12n]＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n． 由S n ＞2008得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞2008，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，当n ≤1004时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＜1005，当n ≥1005时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，∴n 的最小值为1005．22．(1)∵点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)．∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13． ∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)．解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )．23．(1) ∵a ＝202＝3³9＋(202－27)，当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3，∴a 1，a 2，a 3，…，a 10，是首项为202、公差为―3的等差数列． ∵a 10＝202－27∈(1，3)，当a n ≤3时，a n +1＝4－a n ， ∴当n ≥10时，a n ∈(1，3)，且a n +1＋a n ＝4．∴S 30＝( a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12)＋…＋(a 29＋a 30)＝10·202－135＋4³10 ＝2002－95．(2) ∵当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3．(Ⅰ)当a ＞3时，不妨设a ＝3k ＋p (k ∈N *，0≤p ＜3)，由a n +1＝a n ―3，得a 1，a 2，a 3，…，a k +1成等差数列，a k +1＝p ∈[0，3)． ①当p ＝0时，则有a k +2＝4，a k +3＝1，a k +4＝3，a k +5＝1，…∴存在正整数m ＝k ＋3，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，即a n +4＝ a n 成立．②当0＜p ＜1时，则有a k +2＝4－p ∈(3，4)，a k +3＝1－p ∈(0，1)，a k +4＝3＋p ∈(3，4)， a k +5＝p ∈(0，1)，…，∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +4＝ a n 成立． ③当p ＝1时，则有a k +2＝3，a k +3＝1，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，即a n +4＝ a n 成立． ④当1＜p ＜3时，则有a k +2＝4－p ∈(1，3)，a k +3＝p ∈(1，3)，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，即a n +4＝a n 成立． (Ⅱ)当a ＝3时，a 2＝1，由(2) (Ⅰ) ③知命题成立． (Ⅲ)当0＜a ＜3时，由(2) (Ⅰ) ②③④知命题成立．(Ⅳ)当a＝0时，由(2) (Ⅰ) ①知命题成立．(Ⅴ)当a＜0时，则a2＝4－a＞3，由(2) 知命题成立．综上得：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n＞m(n∈N*)时，a n+4＝a n成立．。