第二章基本初等函数 2.1数与式学案新人教
高中数学第二章基本初等函数I211第1课时根式学案新人教A版必修1
2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时 根式学 习 目 标核 心 素 养1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)借助根式的性质对根式进行运算，提升数学运算素养.1．根式及相关概念 (1)a 的n 次方根定义如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示 n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 n aR n 为偶数 ±na[0，＋∞)(3)根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．根式的性质(n >1，且n ∈N *), (1)n 为奇数时，na n ＝a . (2)n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？ 提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ； 当n 为大于1的偶数时，a ≥0.1．481的运算结果是( ) A ．3 B ．－3 C ．±3D ．±3A [481＝434＝3.]2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6m D.5－mC [当m <0时，6m 没有意义，其余各式均有意义．] 3．下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4 B [①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.] 4．若x 3＝－5，则x ＝________. －35 [若x 3＝－5，则x ＝3－5＝－35.]n 次方根的概念问题【例1】 (1)27的立方根是________；16的4次方根是 ________；(2)已知x 6＝2 016，则x ＝________；(3)若4x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________．(1)3 ±2 (2)±62 016 (3)[－3，＋∞) [(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x 6＝2 016，所以x ＝±62 016. (3)要使4x ＋3有意义，则需要x ＋3≥0，即x ≥－3.所以实数x 的取值范围是[－3，＋∞)．]n 次方根的个数及符号的确定(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.[跟进训练]1.已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：①6(－3)2n ；②5a 2；③6(－5)2n ＋1；④9－a 2.其中无意义的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个A [①中(－3)2n >0，所以6(－3)2n 有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n ＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]利用根式的性质化简求值【例2】 (教材改编题)化简下列各式： (1)5(－2)5＋(5(－2))5； (2)6(－2)6＋(62)6； (3)4(x ＋2)4.[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2.－x －2，x <－2.正确区分n a n 与(na n )n(1)(n a n )n 已暗含了na n 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性.[跟进训练]2．若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围． [解] ∵9a 2－6a ＋1＝(3a －1)2＝|3a －1|，由|3a －1|＝3a －1可知3a －1≥0， ∴a ≥13.有限制条件的根式的运算[探究问题] 1．当a >b 时，(a －b )2等于多少？提示：当a >b 时，(a －b )2＝a －b .2．绝对值|a |的代数意义是什么？提示：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 思路点拨：(1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简． (2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值． (1)－1 [∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ， ∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)[解] x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.1．将本例(2)的条件“－3<x <3”改为“x ≤－3”，则结果又是什么？ [解] 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.因为x ≤－3，所以x －1<0，x ＋3≤0， 所以原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4. 2．在本例(1)条件不变的情况下，求3x 3＋x 2|x |. [解]3x 3＋x 2|x |＝x ＋|x ||x |＝x ＋1.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.1．核心要点：注意n a n 同(na )n 的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．数学思想：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况.1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 的奇次方根只有一个． ( ) (2)当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2. ( ) (3)(π－4)2＝π－4.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102C.210D ．±102D [∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数， ∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±102.]3.(π－4)2＋3(π－3)3＝________. 1 [(π－4)2＋3(π－3)3＝4－π＋π－3＝1.]4．已知－1<x <2，求x 2－4x ＋4－x 2＋2x ＋1的值． [解] 原式＝(x －2)2－(x ＋1)2＝|x －2|－|x ＋1|. 因为－1<x <2， 所以x ＋1>0，x －2<0， 所以原式＝2－x －x －1＝1－2x .结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。
学年高中数学第二章基本初等函数(I)新人教版必修1
【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第二章基本初等函数（I）新人教版必修12.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位 1.理解n次方根及n次根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.自主预习1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naa∈Rn为偶数±na [0，＋∞)(3)根式式子na n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a＜0）(n为大于1的偶数).即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式.( )(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数.( )(3)a的n次方根是na.( )(4)(m－2)2＝m－2.( )提示(1)错.根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4.(2)对.当整数n为偶数时，(n－5)n没有意义.(3)错.当a>0，n为偶数时，a的n次方根为±na.(4)对.根据n次方根的意义，(m－2)2＝m－2. 答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.已知x7＝16，则x＝( )A.2 2B.716 C.－716 D.±716解析由根式的定义知x＝7 16.答案 B3.若a＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是( )A.a≥0B.a＝2C.a≠2D.a≥0且a≠2解析要使此式子有意义，必须满足a≥0且a－2≠0，即a≥0且a≠2.答案 D4.3（－1）3＝________；481＝________.解析当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|，∴3（－1）3＝－1，481＝3.答案－1 3类型一n次方根的概念问题【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________.解析(1)依题意，a＝±81＝±9，b＝3－8＝－2.∴a＋b＝－11或a＋b＝7.(2)由于根指数是3，只需1a－3有意义，∴a－3≠0，故a的取值范围是{a|a≠3}.答案(1)－11或7 (2){a|a≠3}规律方法(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致.【训练1】 (1)若x4＝3，则x＝________.(2)设m＜0，则(－m)2＝________.解析(1)依题意，x是3的4次方根，∴x＝±43.(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴(－m)2＝－m.答案(1)±43 (2)－m类型二根式的化简与求值【例2】 (1)化简13（2＋5）3＋1（32－5）3；(2)求值5＋26＋7－4 3.解(1)原式＝12＋5＋12－5＝5－2－(5＋2)＝－4.(2)5＋26＋7－43＝3＋26＋2＋4－43＋3＝（3＋2）2＋（2－3）2＝3＋2＋2－3＝2＋ 2.规律方法(1)①解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.②开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.【训练2】(2016·吉林高一检测)化简3（1＋2）3＋4（1－2）4.解3（1＋2）3＋4（1－2）4.＝2＋1＋|1－2|＝2＋1＋2－1＝2 2. 类型三 有限制条件的根式运算(互动探究)【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________；(2)若代数式2x －1＋2－x 有意义， 化简4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4. [思路探究]探究点一 代数式2x －1＋2－x 有意义，x 应满足什么条件？ 提示 要开偶次方根，满足2x －1≥0且2－x ≥0. 探究点二 代数式4x 2－4x ＋1如何去掉根号？提示 将4x 2－4x ＋1化为(2x －1)2，再利用根式的性质去根号.解 (1)当x <0时，x ＋|x |＋x 2x＝x －x ＋|x |x ＝－xx＝－1.(2)由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4＝（2x －1）2＋24（x －2）4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 规律方法 有限制条件的根式化简注意两点：(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.【训练3】 设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 解 原式＝（x －1）2－（x ＋3）2＝|x －1|－|x ＋3| ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 （－3＜x ＜1），－4 （1≤x ＜3）.[课堂小结]1.对n 次方根的三点说明(1)当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数a 的n 次方根是一个负数，记作na . (2)当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记作±na ，负数没有偶次方根. (3)零的任何次方根都是0. 2.根式记号的注意点(1)根式中根指数要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为奇数时，n a 中a ∈R ，当n 为偶数时，na 中a ≥0. 3.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ，n 为奇数；(2)na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.1.若m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3mC.6mD.5－m解析 C 中，6m 隐含m ≥0；当m <0时，没有意义. 答案 C2.下列各式正确的是( ) A.8a 8＝aB.a 0＝1C.4（－4）4＝－4D.3（－3）3＝－3解析 A 中，8a 8＝|a |，当a <0时，不成立.B 中，当a ＝0时，a 0没意义，B 不正确.C 中，4（－4）4＝444＝4，C 不正确；D 中3（－3）3＝－3正确.答案 D3.若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________.解析 原式＝（x －3）2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1(x >3). 答案 －14.(2016·杭州高一检测)化简：(a －1)2＋（1－a ）2＋7（a －1）7. 解 由题意知a －1有意义，则a ≥1.原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1)＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.基 础 过 关1.若a ＜12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1B.－2a －1C.1－2aD.－1－2a解析 ∵a ＜12，∴2a －1＜0，∴（2a －1）2＝1－2a ，∴4（2a －1）2＝1－2a .答案 C2.下列式子中成立的是( )A.a －a ＝－a 3B.a －a ＝－a 3C.a －a ＝－－a 3D.a －a ＝a 3解析 依题意－a ≥0，即a ≤0，∴a －a ＝－（－a ）2（－a ）＝－（－a ）3＝－－a 3. 答案 C3.(2016·天津高一检测)化简（x ＋3）2－3（x －3）3得( ) A.6 B.2xC.6或－2xD.－2x 或6或2解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝x ＋3－x ＋3＝6.当x <－3时，原式＝－(x ＋3)－x ＋3＝－2x . 答案 C4.计算：12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋4（2－e ）4＝____________. 解析 原式＝2＋1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×0.5＋e －2＝e ＋23.答案 e ＋235.若x 2＋4x ＋4＝－x －2，则实数x 的取值范围是________. 解析 因为x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）2＝|x ＋2|. 又|x ＋2|＝－(x ＋2)，所以x ＋2≤0，故x ≤－2. 答案 (－∞，－2]6.化简n（x －π）n (x <π，且n ∈N *). 解 ∵x ＜π，∴x －π＜0，当n 为偶数时，n （x －π）n＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n（x －π）n＝x －π， 综上，n（x －π）n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *.x －π，n 为奇数，n ∈N *7.若等式（x －5）（x 2－25）＝(5－x )x ＋5成立，求实数x 的取值范围. 解 由于（x －5）（x 2－25）＝（x －5）2（x ＋5） 依题意要使（x －5）2（x ＋5）＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.故实数x 的取值范围是[－5，5].8.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9. 解 ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0，即x ≤2， ∴x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝（x －2）2－（x －3）2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝－1.能 力 提 升9.化简－x3x的结果为( )A.－－xB.xC.－xD.－x解析 要使式子有意义，只需－x 3>0，即x <0，所以－x3x ＝－x －xx＝－－x .答案 A10.已知二次函数y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A.a ＋bB.－(a ＋b )C.a －bD.b －a解析 由图象知a ＜0，－b a＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0，∴4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .答案 D11.若a <0，则a 2·(a ＋1)＋3a 3＝________.解析 ∵a <0，∴a 2·(a ＋1)＋3a 3＝|a |(a ＋1)＋a ＝－a (a ＋1)＋a ＝－a 2. 答案 －a 212.若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 015＋y 2 016＝________.解析 由x －1＋4x ＋y ＝0，得x －1＝0且4x ＋y ＝0，∴x ＝1且y ＝－1， 从而x2 015＋y2 016＝12 015＋(－1)2 016＝1＋1＝2.13.已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4（a ＋b ）4＋3（a ＋b ）3的值.解 因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.探 究 创 新14.若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析 因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 14×2－332×2－4x －12＋4x－12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝4x 12－33－4x 12＋4＝4－27＝－23. 答案 －23第2课时 指数幂及运算目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂表示一个正实数的n 次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3.经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实数指数幂的含义.自 主 预 习1.分数指数幂(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝1a m n(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q ).温馨提示：分数指数幂a mn 不能理解为m n个a 相乘；任何有意义的根式都能化为分数指数幂的3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.即 时 自 测1.234化成根式形式为( ) A.324B.423C.432D.243解析 结合正分数指数幂的运算性质可知234＝423. 答案 B2.5a －2可化为( ) A.a －25B.a 52C.a 25 D.－a 52解析5a －2＝(a －2)15＝a －25.答案 A3.计算[(－5)－3]－13的结果是________. 解析 [(－5)－3]－13＝(－5)(－3)(－13)＝－ 5.答案 － 5 4.a 3a 2＝________.解析 ∵a3a 2＝a 12a 23＝a 12－23＝a －16＝16a.答案 16a类型一 根式与分数指数幂的互化【例1】 (1)(2016·济宁高一检测)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 32 C.a 56 D.a 76(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.－x ＝(－x )12(x >0)B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0) D.x －13＝－3x (x ≠0)解析 (1)a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝25132()a a＝a 2a 56＝a2－56＝a 76.(2)选项A 中，(－x )12无意义，不正确.B 中，6y 2＝y 26＝(－y )13(y <0)，B 不正确.C 中，x －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)正确. D 中，x －13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x ≠－3x (x ≠0)，不正确.答案 (1)D (2)C规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数指数幂的分母.②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.(2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.【训练1】 将下列各式化为分数指数幂的形式.(1)13x ·（5x 2）2(x >0)；(2)ab 3ab 5(a >0，b >0).解 (1)原式＝13x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝3513935511x xx -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)原式＝[ab 3(ab 5)12]12＝[a ·a 12b 3(b 5)12]12＝(a 32b 112)12＝a 34b 114. 类型二 利用分数指数幂运算性质化简与求值 【例2】 (2016·宁波高一检测)计算：(1)a 23b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56. (2)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫811614＋|－0.01|12. 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . (2)原式＝(0.43)－13－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32414＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.②利用分数指数幂的运算性质进行化简.(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 【训练2】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16；(2)(2016·温州高一检测)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42232()3-解 (1)原式＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23－1＋13y 12＋12－16＝2524x －43y 56.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234·214－122323⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 类型三 分数指数幂的综合应用【例3】 已知a 12＋a -12＝3，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值.解 ∵a 12＋a -12＝3， ∴两边平方得：a ＋a －1＋2a 12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝9， 故a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方得a 2＋a －2＋2a ·a －1＝49. 因此a 2＋a －2＝47.规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.【训练3】 若例3条件变为：已知x ＋x －1＝7，求值：(1)x 12＋x －12；(2)x 12－x －12.解 (1)设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2x 12·x －12＝7＋2＝9.又m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.(2)设n ＝x 12－x －12则n 2＝x ＋x －1－2x 12·x －12＝7－2＝5.∴n ＝±5，即x 12－x －12＝± 5.[课堂小结]1.分数指数幂与根式互化(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化.(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0. 2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积.(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14的值是( ) A.35B.53C.325D.259解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫354－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－1＝53.答案 B2.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3b －23·(－3a －1b )÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －4b －53得( )A.－32b 2B.32b 2 C.－32b 73D.32b 73解析 原式＝－6a －4b134a －4b －53＝－32b 2.答案A3.614－3338＋30.125的值为________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32. 答案 324.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－0.30－16-34； (2)设x 12＋x -12＝2，求x ＋x －1.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38.(2)由x 12＋x-12＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122＝4，即x ＋x －1＋2＝4，故x ＋x －1＝2.基 础 过 关1.已知a m＝4，a n＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B.6C.32D.2解析am －2n＝a m （a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124＝a 4.答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8.答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12； ②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 43＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3；④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19. 答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44) 34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2xy .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0). 解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a .解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a .能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12. 答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a －b的值. 解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8. 所以a 2b＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b－a －b<0. 故a b －a －b＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －ba ＋b>0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质目标定位 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2.能用描点法或借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步理解指数函数的有关性质(定义域、值域、特殊点、单调性).自 主 预 习1.指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2.指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1函数值 的变化 当x ＞0时，y ＞1； 当x <0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数温馨提示：指数函数的图象和性质中，掌握图象是关键，根据图象可以观察理解函数的性质.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3，y ＝2x ＋1，y ＝52x都是指数函数.( )(2)指数函数的图象经过点(2，4)，则当x ＝3时，y ＝8.( )(3)函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象关于y 轴对称.( )提示 (1)错.只有y ＝52x ＝10x是指数函数.(2)对.设指数函数为y ＝a x，得4＝a 2，所以a ＝2.所以y ＝2x.当x ＝3时，y ＝8.(3)对.作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y 轴对称. 答案 (1)× (2)√ (3)√2.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－2)xB.y ＝－5xC.y ＝4x －1D.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x解析 根据指数函数的概念知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x是指数函数. 答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象可能是( )解析 因为43>1，图象经过点(0，1)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 的图象可能是选项A 的图象.答案 A4.函数f (x )＝2x与y 轴的交点坐标为________. 解析 令x ＝0得f (0)＝20＝1. 答案 (0，1)类型一 指数函数的概念【例1】 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x(a ＞1，且a ≠2).解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x，b ＞0且b ≠1，所以是.规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件.【训练1】 函数y ＝(2a －3)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>0，2a －3≠1，解得a >32且a ≠2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)类型二 指数函数的图象【例2】 如图是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c解析 法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c >d >1，b <a <1.∴b <a <1<d <c .法二 作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大. 由图可知b <a <1<d <c .答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.【训练2】 函数y ＝|2x－2|的图象是( )解析 y ＝2x －2的图象是由y ＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的.故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x－2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的.所以选项B 满足函数y ＝|2x－2|的图象特征. 答案 B类型三 求指数型函数的定义域、值域 【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}. 又1x －4≠0，即21x －4≠1， 故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}. (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x的定义域为(－∞，0].由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y ＝1－2x的值域为[0，1). (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]. 规律方法 1.对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型函数的定义域、值域(1)定义域：形如y ＝af (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合.(2)值域可分两步求解：①换元，令t ＝f (x )，x ∈D ，并求t ＝f (x )的值域M . ②利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域. 2.求指数型函数定义域、值域注意两点：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.【训练3】 (1)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________. (2)已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，＋∞) 解析 (1)要使函数有意义，则有1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.解得x ≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的图象过点(2，1)，∴32－b＝1，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2，由于2≤x ≤4，知0≤x －2≤2.故f (x )的值域是[1，9]. 答案 (1)[0，＋∞) (2)C [课堂小结]1.指数函数概念的理解判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否具有三个特征： (1)底数a >0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x . (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1. (3)a x的系数是1.2.指数函数的图象随底数的变化规律由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括为第一象限内，底数自下而上依次增大.3.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1，0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.4.(1)由于指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.(2)求函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下：①换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； ②求t ＝f (x )的值域t ∈M ；③利用y ＝a t的单调性求y ＝a t在t ∈M 上的值域.1.函数f (x )＝2x－32的定义域是( ) A.(5，＋∞) B.[5，＋∞) C.(－∞，5)D.(－∞，5]解析 依题意2x －32≥0，即2x≥25，解得x ≥5.所以函数y ＝2x－32的定义域为[5，＋∞). 答案 B 2.函数y ＝5－|x |的图象是( )解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x，又原函数为偶函数，选项D 的图象满足要求.答案 D3.若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，则实数a ＝________.解析 由y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.答案 24.求函数y ＝512x －4的定义域和值域.解 依题意2x －4>0，∴x >2，∴函数y ＝512x －4的定义域为(2，＋∞).当x >2时，2x －4>0， 则12x －4>0，又指数函数y ＝5t在(0，＋∞)上是增函数，∴y >1， 故函数y ＝512x －4的值域为(1，＋∞).基 础 过 关1.函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2) C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2. 答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x＋2的值域是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题知函数y ＝(a －2)x是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3) 6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2. ∵函数y ＝3x是增函数， ∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， ∴a2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，求函数f (x )＝a1x ＋2的定义域与值域. 解 因为y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4.所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}. 令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}. 能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.4B.14C.－4D.－14解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B10.函数y ＝－e x的图象( ) A.与y ＝e x的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 C.与y ＝e －x的图象关于y 轴对称 D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x的图象与y ＝－e x的图象关于x 轴对称，y ＝－e x的图象与y ＝e －x的图象关于原点对称. 答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x<16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x<16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}. 答案 {0，1，2}12.方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x－1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0. 答案 {a |a ≥1或a ＝0}13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3.f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π.f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 第2课时 指数函数及其性质的应用目标定位 1.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.2.在解决一些简单的实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.会求一些与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等.自 主 预 习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断. 2.简单指数不等式的解法 形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解；(1)当0<a <1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )；(2)当a >1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ).3.形如y ＝af (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a >1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.( )(2)函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是(0，＋∞).( ) (3)函数y ＝3－x ＋1的值域是R .( )提示 (1)对.由复合函数的单调性的性质知，该结论正确； (2)错.由指数函数的定义知，函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是R ；(3)错.函数y ＝3－x ＋1的值域是(0，＋∞).答案 (1)√ (2)× (3)× 2.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg (x ＋y )＝2lg x·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.A 项，2lg x ＋lg y＝2lg x·2lg y，故错误；B 项，2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x ＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y＝(2lg x )lg y，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x·2lg y，正确.答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析 因为x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数.答案 A4.已知某种细菌在培养过程中，每20 min 繁殖一次，经一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个细菌.解析 因为3 h ＝9×20 min ，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).答案 512类型一 利用函数的单调性比较大小 【例1】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24与⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π与1； (3)(0.8)－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12. 解 (1)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x，且0<56<1. ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24＜⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14.(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx ，且0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在(－∞，＋∞)上是减函数， 又－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1.(3)(0.8)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫542，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜(0.8)－2. 规律方法 比较幂值大小的三种类型及处理方法【训练1】 (1)下列判断正确的是( ) A.2.82.6>2.82.9B.0.52<0.53C.π2<π 2D.0.9－0.3>0.9－0.2(2)(2016·潍坊高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x ) ＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________.解析 (1)函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.(2)因为f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，因此m <n .答案 (1)D (2)m <n 类型二 解简单的指数不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，求x 的取值范围.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝22－x 2，所以原不等式等价于22－x 2≤21.因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2－x 2≤1，所以x 2≥1，即x ≤－1或x ≥1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)因为a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数. 所以x >1－x ，解得x >12.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12.规律方法 1.解指数不等式问题，需注意两点：(1)形如a f (x )>ag (x )的不等式，借助y ＝a x的单调性 ①a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ). ②0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x ).(2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解.2.(1)解指数不等式时，若底数a 的取值不定，要分类讨论.(2)不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 【训练2】 设0＜a ＜1，解关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3.解 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在R 上是减函数， 又∵a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. ∴不等式的解集是(1，＋∞).类型三 指数型函数的单调性(互动探究)【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域.[思路探究]探究点一 函数f (x )是由哪两个函数复合而成的？提示 由二次函数u ＝x 2－2x 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u复合运算得到. 探究点二 如何研究f (x )的单调性？提示 根据二次函数u ＝x 2－2x 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u的单调性，利用“同增异减”的规律确定函数f (x )的单调性.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0，3]. 规律方法 1.形如y ＝af (x )(a >0且a ≠1)的函数的单调性的判定(1)定义法，即“取值——作差——变形——定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.其中影响单调性的因素有两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调区间.【训练3】求函数y＝2－x2＋2x的单调区间.解函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u ＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数.当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].类型四指数型函数在实际中的应用【例4】某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1万立方米)解先归纳出函数解析式，再按指数型函数的性质进行讨论.列表如下：由上表，得经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x，x∈N*.当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.规律方法 1.类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝ka x(k≠0，a＞1且a≠1)的函数称为指数型函数.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教学设计 新人教A版必修1(202
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2。
1。
2指数函数的图像与性质一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力.过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。
领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力.情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质.指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一.教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
指数函数是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题.三、学情分析：学生已经学习了函数的知识，,指数函数是函数知识中重要的一部分内容,学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。
通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。
高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)学案 新人教A版必修1
（新课标同步辅导）2016高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）学案新人教A版必修1 2．1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4.通过具体实例了解实数指数幂的意义．一、根式1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：x＝⎩na，n为奇数，±na，（a＞0）n为偶数.(3)根式．2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，n a n＝a ． (2)n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.(3)n0＝0．(4)负数没有偶次方根． 二、分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．三、有理数指数幂的运算性质 1．a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)．2．(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)． 3．(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 四、无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)（3－π）2＝π－3( )(2)分数指数幂a m n 可能理解为m n个a 相乘．( ) (3)0的任何指数幂都等于0.( )【解析】 (1)∵（3－π）2＝|3－π|＝π－3. ∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2．(1)5a －3化为分数指数幂为________．(2)a －23(a ＞0)用根式表示为________．【解析】 (1)5a －3＝a －35.(2)a －23＝1a 23＝13a 2.【答案】 (1)a －35 (2)13a23．求值：(1)3（－2）3＝________，（－2）2＝________，（x －1）2＝________． (2)若10a＝3，10b＝5，则10a －b＝________．【解析】 (1)3（－2）3＝－2，（－2）2＝|－2|＝2， （x －1）2＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1.(2)10a －b＝10a10b ＝35. 【答案】 (1)－2 2 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1. (2)354．化简(a 34·b －23)6＝________(a ＞0，b ＞0)．【解析】 原式＝(a 34)6·(b －23)6＝a 34×6·b －23×6＝a 92·b －4. 【答案】 a 92·b －4预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1 问题2 问题3 问题4利用根式的性质化简或求值(1)(2014·河北唐山一中期中)当a ＞0时，－ax 3＝( ) A ．x ax B ．x －ax C ．－x －ax D ．－x ax (2)求下列各式的值： ①（a －b ）2.②3－22＋(31－2)3.③(a －1)2＋（1－a ）2＋3（1－a ）3.【解析】 (1)∵a ＞0，∴x ＜0，－ax 3＝|x |－ax ＝－x －ax ，故选C. 【答案】 C(2)①（a －b ）2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b （a ≥b ），b －a （a ＜b ）.②因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝（2－1）2＋1－2＝2－1＋1－2＝0. ③由题意，首先有a －1≥0，即a ≥1.(a－1)2＝a－1, （1－a）2＝|1－a|＝a－1，3（1－a）3＝1－a.∴(a－1)2＋（1－a）2＋3（1－a）3＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．注意正确区分na n与(na)n.根式与分数指数幂的互化(1)3a2·a3(a＞0)；(2)13x（5x2）2；(3)(4b－23)－23(b＞0)．【思路探究】应熟练应用na m＝amn.含有多重根号时，需自里向外用分数指数幂写出，再用性质化简．【解】(1)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.(2)原式＝13x（x25）2＝13x·x45＝13x95＝1（x95）13＝1x35＝x－35.(3)原式＝[(b－23)14]－23＝b－23×14×⎝⎛⎭⎪⎫－23＝b19.1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝amn的两点说明：(1)根指数n↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但像(－a)12＝－a中的a则需要a≤0.特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．计算a2a3a2(a＞0)的结果是( )A.6a 5B ．a 65C ．a －15D ．a【解析】a 2a 3a 2＝a 2a 12·a 23＝a 2－12－23＝a 56＝6a 5.【答案】 A利用分数指数幂化简、求值计算(或化简(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )(a ＞0，b ＞0，c ＞0)； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3(a ＞0，b ＞0)．【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43.1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，并注意运算的顺序． 2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．(2014·黑龙江哈尔滨三中期中)化简a 23b 12(－3a 12·b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56(a ＞0，b ＞0)的结果为( )A ．9aB ．－9aC ．9bD ．－9b【解析】 原式＝(－3)×3a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9ab 0＝－9a .【答案】 B指数式的条件求值问题已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【思路探究】 从已知条件中解出a 的值；然后再代入求值，这种方法太繁琐，是不可取的，应设法寻找要求值的式子与条件a 12＋a －12＝3的联系，进而整体代入求值．【解】 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，故a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49， 故a 2＋a －2＝47.1．在条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的变形，或先对条件加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．若条件不变，试求a 12－a －12的值．【解】 ∵(a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2a 12·a －12＝(a ＋a －1)－2＝7－2＝5， ∴|a 12－a －12|＝5，∴a 12－a －12＝± 5.1.na m＝amn(a＞0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数的分母．2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．忽视被开方数的符号致误(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简x2－4x＋4－x2＋2x＋1.【易错分析】解答本题易忽视被开方数的符号致误．【防范措施】为使开偶次方后不出现符号错误，开方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符号进行化简．【解】原式＝（x－2）2－（x＋1）2＝|x－2|－|x＋1|.∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.——[类题尝试]—————————————————计算3（1＋2）3＋4（1－2）4.【解】3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.课时作业(十二) 指数与指数幂的运算[学业水平层次]一、选择题 1．化简⎣⎡⎦⎤3（－5）234的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 【解析】 ⎣⎡⎦⎤3（－5）234＝(352)34＝(523)34＝512＝ 5.故选B.【答案】 B 2．根式1a 1a(a ＞0)的分数指数幂形式为( )A ．a －43B ．a 43C ．a －34D ．a 34【解析】1a 1a＝a －1·（a －1）12＝a －32＝(a －32)12＝a －34.【答案】 C3．下列各式中正确的个数是( )(1)na n＝(na )n＝a (n 是奇数且n ＞1，a 是实数)；(2)na n＝(na )n＝a (n 是正偶数，a 是实数)； (3)3a 3＋b 2＝a ＋b (a ，b 是实数)． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 由于n 是大于1的奇数，故(1)正确；由于n 是正偶数，故na n中a 可取任意实数，而(na )n中a 只能取非负数，故(2)错误；b 2＝|b |，故(3)错误．【答案】 B4．(2014·湖北孝感期中)若x ＋x －1＝4，则x 12＋x －12的值等于( )A ．2或－2B ．2 C.6或－ 6 D. 6【解析】 (x 12＋x －12)2＝x ＋2＋x －1＝6.∵x 12≥0，x －12＞0，∴x 12＋x －12＝ 6. 【答案】 D 二、填空题5．x 4＝3，则x ＝________．【解析】 ∵x 4＝3，∴x ＝±43. 【答案】 ±436．(2014·广西桂林中学段考)2723＋16－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＝________．【解析】 原式＝(33)23＋(42)－12－22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23＝32＋4－1－4－94＝3. 【答案】 37．若10x＝3，10y＝4，则102x －y＝________．【解析】 ∵10x＝3，10y＝4，∴102x －y＝102x 10y ＝324＝94. 【答案】 94三、解答题8．(2014·合肥高一检测)求使等式（x －2）（x 2－4）＝(2－x )x ＋2成立的x 的取值范围． 【解】 因为（x －2）（x 2－4） ＝（x －2）2（x ＋2）＝(2－x )x ＋2， 所以2－x ≥0且x ＋2≥0， 故－2≤x ≤2.9．化简下列各式：(1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 34·327b a 6(a ＞0，b ＞0)； (2)5x －23y 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 12y 16(x ＞0，y ＞0)．【解】 (1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 34·327b a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 346·⎝ ⎛⎭⎪⎫27b a 613＝（23）23a 3×23（53）23b 3×23·（33）13b 13a 2＝425b 2·3b 13＝1225b －53. (2)原式＝245×5×x －23＋1－12×y 12－13－16＝24x 13－12y 0＝24x －16.[能力提升层次]1．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 为( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1 D.xx －1【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，∴y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D2．化简(－3a 13b 34)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 23·b 14÷(－6a 512·b 712)(其中a ＞0，b ＞0)的结果是( )A.14a 712·b 512 B ．4a 712·b 512 C.14a 512·b 712 D ．－14a 712·b 512【解析】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－3）×12÷（－6）a 13＋23－512·b 34＋14－712＝14a 1－512·b 1－712 ＝14a 712·b 512. 【答案】 A3.a 43－8a 13b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a ＝________．【解析】 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13 ＝a . 【答案】 a4．已知a 12－a －12＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2.【解】 (1)将a 12－a －12＝5两边平方，得a ＋a －1－2＝5，则a ＋a －1＝7.(2)由a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，则a 2＋a －2＝47.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝472－4＝2 205，所以y ＝±215，即a 2－a －2＝±21 5.2．1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)一、指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.二、指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域 (0，＋∞)过定点 (0，1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x＞1.( ) (3)函数f (x )＝2－x在R 上是增函数．( )【解析】 (1)∵对任意x ∈R，a x(a ＞0，且a ≠1)＞0，∴(1)正确． (2)∵2－1＝12＜1，∴(2)错．(3)∵f (x )＝2－x在R 上是减函数，∴(3)错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中是指数函数的是( ) A ．y ＝5x ＋1B ．y ＝x 4C．y＝3－x D．y＝2·3x【解析】形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数是指数函数．只有C选项符合，故选C.【答案】 C3．函数y＝a x－1(a>0且a≠1)的图象一定过点________．【解析】当x－1＝0，即x＝1时，y＝1，∴图象一定过点(1，1)．【答案】(1，1)4．已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x<0时，y>1，则实数a的取值范围是________．【解析】∵x<0时y>1，∴0<a－1<1即1<a<2.【答案】(1，2)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4指数函数的概念(1)已知函数f (x )是指数函数，且f ⎛⎪⎫－3＝5，则f (x )＝________．(2)若函数y ＝(4－3a )x是指数函数，则实数a 的取值范围为________． (3)指出下列函数哪些是指数函数？①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12，且a ≠1；⑥y ＝4－x.【解析】 (1)设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠0)， 又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，得a －32＝525，所以a ＝5，故f (x )＝5x.(2)y ＝(4－3a )x是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1. 【答案】 (1)5x(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1(3)②不是指数函数，因自变量不在指数位置上；③是－1与4x的乘积，故不是指数函数；④因－4＜0，故不是指数函数；①⑤⑥是指数函数．1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数的定义表达式中，要牢牢抓住四点：(1)幂的系数是1；(2)底数a＞0，且a≠1；(3)指数是单个自变量“x”且处在指数的位置；(4)指数函数不会是多项式，如y ＝2x＋1不是指数函数．2．求指数函数的解析式常用待定系数法．指数函数的图象与性质(1)函数y＝3－x(2)函数y＝a x－1－3(a＞0)的图象恒过定点坐标是( )A．(1，－3) B．(1，－2)C．(2，－3) D．(2，－2)【思路探究】 (1)可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x. (2)令x －1＝0，求出y 值，可得定点坐标．【解析】 (1)y ＝3－x即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，在(－∞，∞)上是减函数，且过定点(0，1)，故选B. (2)令x －1＝0，得x ＝1，此时y ＝a 0－3＝1－3＝－2， ∴函数y ＝ax －1－3恒过定点(1，－2)．故选B.【答案】 (1)B (2)B1．可用指数函数的图象过定点(0，1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题． 2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点． 3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 函数y ＝a x(0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0，1)，所以函数y ＝a x＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0，1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0，1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．【答案】 A指数函数的定义域与值域(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2. 【思路探究】【解】 (1)由x －4≠0，得x ≠4， ∴定义域为{x |x ∈R，且x ≠4}． ∵1x －4≠0，∴21x －4≠1， ∴y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由x －2≥0，得x ≥2. ∴定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0，又0<13<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0<y ≤1}．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝af (x )的值域的求法如下：(1)换元，令t ＝f (x )；(2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域．求函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域和值域． 【解】 ∵x 应满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，即x ≥0， ∴y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1， ∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1，即0≤y ＜1.∴y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的值域为{y |0≤y ＜1}．1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0，且a≠1)这一结构形式．2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的单调性取决于底数a，分底数a＞1，0＜a＜1两种情况．3．由于指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝a f(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．4．求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域．对指数函数的概念理解不清致误函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，求实数a .【易错分析】 解答本题易忽视对底数a 的约束条件或幂的系数值致误．【防范措施】 形如f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的函数是指数函数，在用题设条件求出a 的值后，应检验是否满足①幂的系数是1；②底数a ＞0，且a ≠1；③指数位置上是单个自变量x .【解】 ∵函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，∴由指数函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋4＝1，a >0且a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝3，a >0且a ≠1，∴a ＝3.——[类题尝试]————————————————— 已知函数y ＝(a 2－3)a x是指数函数，求a 的值． 【解】 根据指数函数的定义可知a 2－3＝1，解得a ＝2或a ＝－2.因为指数函数y ＝a x 中要求a ＞0，且a ≠1，故a ＝－2舍去，即a ＝2.课时作业(十三) 指数函数的图象及性质[学业水平层次]一、选择题1．函数y＝2x－1的定义域是( )A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.【答案】 C2．函数f(x)＝3x＋1的值域为( )A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．[1，＋∞)【解析】∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数的值域是(1，＋∞)．【答案】 B3．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x【解析】 四个选项中函数的定义域均为R.对于选项A ，f (－x )＝－x －1≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，故该函数为非奇非偶函数；对于选项B ，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，故该函数为非奇非偶函数； 对于选项C ，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x －2－x)＝－f (x )，故该函数为奇函数； 对于选项D ，因为f (－x )＝2－x＋2x ＝2x ＋2－x＝f (x )，故该函数为偶函数，故选D. 【答案】 D4．(2014·安徽师大附中高一期中)函数y ＝2|x |的图象是( )【解析】 ∵y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（x ≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x （x ＜0），故选B.【答案】 B 二、填空题 5．函数y ＝ax －3＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 因为指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3，4)．【答案】 (3，4)6．函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝________，b ＝________． 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，∴k ＝－1，b ＝2. 【答案】 －1 2 7．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为________． 【解析】 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0， 即13－x＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0， ∴2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x＋13x ＋1＝－1，∴a ＝－12.【答案】 a ＝－12三、解答题8．(2014·无锡高一检测)求函数f (x )＝3－x－1的定义域、值域．【解】 因为f (x )＝3－x－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，所以函数f (x )＝3－x－1的定义域为R.由x ∈R 得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1>－1，所以函数f (x )＝3－x－1的值域为(－1，＋∞)．9．(2014·潍坊高一检测)设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象．(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 【解】 (1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．[能力提升层次]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，g （x ），x ＞0.若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－14B ．－4 C.14 D ．4【解析】 当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝2－x，即－f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∴g (x )＝f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 因此有g (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14. 【答案】 A2．(2014·湖北教学合作体期末)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如下图211所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象( )图211【解析】 由题图可知0＜a ＜1，b ＜－1，则g (x )是一个减函数，可排除C ，D ；再根据g (0)＝1＋b ＜0，可排除B ，故选A. 【答案】 A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．【解析】 由已知，得f (1)＝2；又当x ＞0时，f (x )＝2x＞1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a ＜0， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 【答案】 －34．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图212(1)所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图212(2)所示，求a ，b 的取值范围； (3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．(1) (2)图212【解】 (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3.(2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)， 又f (0)＝1＋b <0，∴b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)由图(1)可知y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图可知使|f (x 1)|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.第2课时 指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小，解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)指数函数单调性的应用(1)(2014·泰安高一检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)比较下列各组数的大小： ①1.52.5和1.53.2；②0.6－1.2和0.6－1.5；③1.50.3和0.81.2.【解析】 (1)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为(－∞，＋∞)上的减函数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，所以2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.【答案】 B(2)①∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.②∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.③由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.1．比较幂大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f(x)＞a g(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．指数函数的综合应用(1)函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．(2)已知定义域R 的函数f (x )＝b －2xa ＋2x是奇函数．①求a ，b 的值；②用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；③若对于任意t ∈R，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，求k 的取值范围． 【思路点拨】 (1)分a ＞1，0＜a ＜1两种情况求解．(2)①可利用f (x )为R 上的奇函数，则有f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，求出a ，b 再进行检验． ③可结合②，由于该函数在定义域上是减函数，故可得t 2－2t ＞k －2t 2，转化为恒成立问题．【解析】 (1)若a ＞1，则函数f (x )＝a x 在[1，2]上单调递增，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．若0＜a ＜1，则函数f (x )＝a x在[1，2]上单调递减，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)．综上，所求a 的值是12或32.【答案】 12或32(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意． ②任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝（1－2x 1）（2x 2＋1）－（1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1），因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0， 又(2x 2＋1)(2x 1＋1)＞0，故f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．③因为t ∈R，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.1．指数函数y ＝a x(a ＞1)为单调递增函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝m 时有最小值a m，当x ＝n 时有最大值a n.2．指数函数y ＝a x(0＜a ＜1)为单调递减函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝n 时有最小值a n，当x ＝m 时有最大值a m.3．对于函数y ＝af (x )，x ∈D ，其最值由底数a 和f (x )的值域确定．求指数函数的最值时要注意函数定义域．题(2)③中的“若对于任意t ∈R”改为“若对于t ∈[1，2]”，其他条件不变，又如何求解？【解】 对于t ∈[1，2]，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t恒成立，即问题转化为当t ∈[1，2]求3t 2－2t 的最小值，令M (t )＝3t 2－2t ，而M (t )＝3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13在t ∈[1，2]内是增函数，故M (t )＝3t 2－2t 的最小值为M (t )min ＝M (1)＝1.故k ＜1.所以k 的范围为k ＜1.指数函数的实际应用(1)试写出该市人口总数y (万人)与经过时间x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.01210≈1.127，1.01211≈1.140，1.01212≈1.154，1.01213≈1.168，1.01214≈1.182，1.01215≈1.196，1.01216≈1.210)【思路探究】 本题考查有关增长问题，即设原有人口为N ，年平均增长率为p ，则对于经过x 年后的总人口y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【解】 (1)1年后该市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．∴10年后该市人口总数约为113万人．(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴约15年以后，该市人口将达到120万人．此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．【答案】191．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n. 2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x＞a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0＜a ＜1和a ＞1两种情况进行讨论． (2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解． (3)形如a x＞b x的不等式，可借助图象求解．换元时忽视中间变量的范围致误求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的值域． 【易错分析】 用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．【防范措施】 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【解】 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．——[类题尝试]————————————————— 求函数y ＝9x ＋2·3x－2的值域．【解】 设3x＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3. ∵上式中当t ＝0时，y ＝－2， 又t ＝3x＞0，∴y ＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)． 课时作业(十四) 指数函数及其性质的应用[学业水平层次]一、选择题 1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 【解析】 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.【答案】 D2．下列判断正确的是( )A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83C．π2＜π 2 D．0.90.3＞0.90.5【解析】∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.【答案】 D3．(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x【解析】A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．【答案】 A4．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x＞0时总有f(x)＞1，则实数a的取值范围是( )A．1＜|a|＜2 B．|a|＜2C．|a|＞1 D．|a|＞ 2【解析】由题意知a2－1＞1，解得a＞2或a＜－2，故选D.【答案】 D 二、填空题 5．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________(用区间表示)．【解析】 ∵0<0.5<1，∴由0.52x>0.5x －1得2x <x －1，即x <－1.【答案】 (－∞，－1)6．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的和为6，则a 的值为________．【解析】 由于函数在[1，2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a ＋a 2＝6，又a ＞0，解得a ＝2.【答案】 27．若2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，则x 的取值范围为________．【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5＝2－0.5，又y ＝2x在R 上是增函数，∴2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5⇔2x >2－0.5⇔x >－0.5.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 三、解答题8．(2014·广州高一检测)已知f (x )的图象与g (x )＝2x的图象关于y 轴对称，且f (2x －1)＞f (3x )，求x 的取值范围． 【解】 因为f (x )的图象与g (x )＝2x的图象关于y 轴对称，。
高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1
第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念， 目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减， 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数， 并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
m
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.1函数的概念》教案
1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.三维目标1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.课时安排2课时教学过程第1课时函数的概念导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题.思路2.问题:已知函数y=1,x∈瘙 綂 下标RQ,0,x∈瘙 綂 下标RQ,请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应:(幻灯片)①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.图1-2-1-1根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况根据上表,可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:f:t→y,t∈A,y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f:A→B的值域为C,那么集合B=C吗？活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性. 解：(1)共同特点是:集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B 下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.(2)一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.在研究函数时常会用到区间的概念,设a,b是两个实数,且a<b,如下表所示:(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.(4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等. (5)C ⊆B. 应用示例思路11.已知函数f(x)=3x ++21+x , (1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f(32)的值; (3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. 活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使3x +和21+x 有意义的自变量的取值范围;3x +有意义,则x+3≥0, 21+x 有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. (2)让学生回想f(-3),f(32)表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f(32)表示自变量x=32时对应的函数值.分别将-3,32代入函数的对应法则中得f(-3),f(32)的值.(3)f(a)表示自变量x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值. 分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值. 解：(1)要使函数有意义,自变量x 的取值需满足⎩⎨⎧≠+≥+.02,03x x 解得-3≤x<-2或x>-2,即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=33-++231+-=-1;f(32)=2321332+++=23383+.(3)∵a>0,∴a ∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=3a ++21+a ; f(a-1)=21131-a +-++a =112+++a a .点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x 的函数,又可以表示自变量x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x 2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x 为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f ［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y 是变量x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y 等于f 与x 的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m 是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m 是常数时,f(m)表示自变量x=m 对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即: (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练1.求函数y=x x x --++11)1(2的定义域. 答案：{x|x≤1,且x≠-1}.点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y=x+1x -1-,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式. 2.若f(x)=x1的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R ,则M∩N 等于( ) A.M B.N C.M D.N分析:由题意得M={x|x>0},N=R ,则M∩N={x|x>0}=M. 答案：A3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1. 答案：［0,1］思路21.已知函数f(x)=221xx +,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31) +f(4)+f(41)=________. 活动：观察所求式子的特点,引导学生探讨f(a)+f(a1)的值. 解法一：原式=22222222222222)41(1)41(414)31(1)31(313)21(1)21(212111+++++++++++++=21+ 17117161011095154+++++=27. 解法二：由题意得f(x)+f(x 1)=2222)1(1)1(1xx x x +++=222111x x x +++=1. 则原式=21+1+1+1=27.点评：本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x 是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(x 1),故先探讨f(x)+f(x1)的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特 ?找到规律再求解.受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 变式训练1.已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a=x,b=1(x ∈N *),则有f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即有)()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式= 2006222++=4012. 答案：40122.设函数f(n)=k(k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π=3.1415926535…,则[]{}100)10(f f f 等于________.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…, 则有[]{}100)10(f f f =1.答案：12.已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B 满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足f(a)+f(b)+f(c)=0. 解：当f(a)=-1时,则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f(a)=1时,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C.点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( )A.9个B.8个C.5个D.4个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x=±1;令x 2=4,得x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个. 答案：A 知能训练 1.已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++=______.解：∵f(p+q)=f(p)f(q), ∴f(x+x)=f(x)f(x),即f 2(x)=f(2x). 令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),∴)()1(p f p f +=f(1)=3.∴原式=)9()10(2)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2f f f f f f f f f f ++++=2(3+3+3+3+3)=30. 答案：30 2.若f(x)=x1的定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为B,那么( ) A.A ∪B=B B.A B C.A ⊆B D.A∩B=∅分析:由题意得A={x|x≠0},B={x|x≠0,且x≠-1}.则A ∪B=A,则A 错;A∩B=B,则D 错;由于B A,则C 错,B 正确. 答案：B 拓展提升问题:已知函数f(x)=x 2+1,x ∈R .(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.活动：让学生探求f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明. 解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意x∈R,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意得f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x).∴对任意x∈R,总有f(x)=f(-x).课堂小结本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解. 作业课本P24,习题1.2A组1、5.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数． 证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________． 解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号， 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象； 当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.1指数函数》教案(2)
2.1.2 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象,根据图象理解和掌握指数函数的性质.2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象．2．教学难点：指数函数的概念和图象及性质．（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的1.073(20)xy x x=∈≤与问题(2)中时间t和C-14含量P的对应关系]t51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2tP=t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a=（a＞0且a≠1来表示）.学生思考回答函数的特征．由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．形成概念理解概念指数函数的定义一般地，函数xy a=（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22xy+=（2）(2)xy=-（3）2xy=-（4）xyπ=（5）2y x=学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能（6）24y x =（7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x 当时,等于若当时,无意义若a＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，a 为常数, 如：,,xy x =1xxy=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式, 所以不是指数函数 .析，教师点拨指导． 力． 使学生进一步理解指数函数的概念.深化 概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究xy a =（a ＞1）的图象，用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50- 1.00-00.000.50 1.00 1.50 2.002x y = 18-141212 4再研究xy a =（0＜a ＜1）的图象，学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评．通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的点（x ，y ）xy x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.问题：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.00 1.00 1.50 2.00 2.501()2x y =14121 2 4思维过程．培养学生的归纳概括能力．从图上看x y a =（a ＞1）与x y a -=两函数图象的特征——关于y 轴对称.应用 举例例1：（P 66 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.例1分析：要求(0),(1),(3)f f f -的值,,,xa x π13只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.解：将点（3，π），代入()xf x a =得到(3)f π=，即3a π=， 解得：13a π=，于是3()x f x π=，所以0(0)1f π==， f(1)=31π=3π , 11(3)f ππ--==.学生思考、解答、交流，教师巡视，注意个别指导，发现带有普遍性的问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论．巩固所学知识，培养学生的数形结合思想和创新能力．归纳总结1、理解指数函数(0),xy a a =>101a a ><<注意与两种情况2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .学生先自回顾反思，教师点评完善．通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系. 形成概念概念图象特征a ＞10＜a ＜1向x 轴正负方向无限延伸:函数的定义域为师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象通过分析图象，得到图象特深化 R图象关于原点或y 轴不对称：非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方：函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1）：0a =1 自左向右，图象逐渐上升：增函数 自左向右，图象逐渐下降：减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1：x ＞0，x a ＞1在第一象限内的图象纵坐标都小于1：x ＞0，x a ＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1：x ＜0，x a ＜1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1：x ＜0，x a ＞1问题：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善.师：画出几个图象提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高）征，从而进一步 得到指数函数的性质。
第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1数与式学案(新人教A版必修1)
数与式（一）数的发展： 自然数： →整数：→有理数（分数）： →实数（小数）： 。
（二）数的关系结构：⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩自然数（非负整数）整数正整数有理数(有限小数和无限循环小数）实数（小数）负整数分数无理数（无限不循环小数） （三）数的一些常识：1、奇数的定义是被2整除余数为1的整数。
一一列举奇数：...,-5,-3,-1,1,3,5,...偶数的定义是被2整除余数为0的整数。
一一列举偶数：...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...2、素数（质数）：只能被1和它自己本身整除的正整数。
写出5个素数： ，合数：除了被1和它自己本身整除，还能被其他整数整除的正整数。
写出5个合数： ；3、因数分解：把正整数分解成为若干个素数相乘的形式（注意充分利用短除法）。
比如因数分解：12= ，18= ， 所以，① 12和18的最小公倍数为 ；② 12和18的最大公因数为 ；③ 12的正约数为 ；④ 18的正约数为 ；（四）数的运算：（1）2781()36518259125-++= ；（2）23235146+--+= ； （3= ； （4= 。
（5= 。
（五）式：（1）单项式22a bc -3的次数为 ，系数为 ；（2）齐次整式：2224a ab b +--3；（3）齐次分式：23a b a b -+，222224a ab b a b +---3，22222a ab b a b +--，（六）二项式相乘算法1--横式算法：前内一个括号内的每一项分别乘以后内一个括号内的每一项，最后合并同类项。
比如：2)(23)x x ++=（ ，2)(23)x x --=（ 。
算法2—竖式算法：类比于小学数的乘法的竖式算法进行。
比如：（1）2312⨯= ,（2）2)(3)x x ++=（ ，（3）2)(23)x x --=（ . 解：(1)4623276⨯+ 2 3）1 2） (2) 222336256x x x x x x x +⨯+++++ ）， （3） 222233624276x x x x x x x -⨯--+--+ ）注意事项：相同次项的一定要上下对齐。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算(1)学案 新人教A版必修1(202
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2.2。
1对数与对数运算（1）一、学习目标：(1）理解指数式与对数式的相互关系，能熟练进行指数式与对数式的互化。
(2）并能运用恒等式进行计算二、课前导学:对数概念：1。
一般地,如果a (0,1a a >≠）的b 次幂等于N ,即b a N =，那么数b 叫做 ，记作log a N b =．其中,a 叫做对数的 ，N 叫做 ．例如：2339 log 92=⇒=，读作:以3为底9的对数为2 ．（1)概念分析：对数式log a b N =中各字母的取值范围:a : 0,1a a >≠ ；b ： b R ∈ ; N ：0N > ．（2)零和负数没有对数；1的对数为0，即log 10a =（0a >且1≠a ）；底数的对数为1，即log 1a a =（0a >且1≠a ）．2.以10为底的对数称为 ，以e 为底的对数称为 。
3.log b a a = log a N a = 。
三、合作探究：探究一.指数式和对数式互化1。
将下列指数式写成对数式：4211 5625 10 81 () 5.731003a m e -===①②③④＝ 解析：直接用对数式的定义进行改写．解： m a ==-==73.5log )4(,81ln )3(,21001lg)2(,4625log )1(315变1。
高中数学第二章基本初等函数I新人教版必修1
高中数学第二章基本初等函数（I）新人教版必修12.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位 1.理解n次方根及n次根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.自主预习1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示(3)根式n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a＜0）(n为大于1的偶数).即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式.()(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数.()(3)a 的n 次方根是na .( ) (4)(m －2)2＝m －2.( )提示 (1)错.根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4. (2)对.当整数n 为偶数时，(n－5)n 没有意义.(3)错.当a >0，n 为偶数时，a 的n 次方根为±na . (4)对.根据n 次方根的意义，(m －2)2＝m －2. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.已知x 7＝16，则x ＝( ) A.2 2B.716C.－716D.±716解析 由根式的定义知x ＝716. 答案 B3.若a ＋(a －2)0有意义，则a 的取值范围是( ) A.a ≥0B.a ＝2C.a ≠2D.a ≥0且a ≠2解析 要使此式子有意义，必须满足a ≥0且a －2≠0，即a ≥0且a ≠2. 答案 D4.3（－1）3＝________；481＝________.解析 当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，∴3（－1）3＝－1，481＝3. 答案 －1 3类型一 n 次方根的概念问题【例1】 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________.(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)依题意，a ＝±81＝±9，b ＝3－8＝－2. ∴a ＋b ＝－11或a ＋b ＝7.(2)由于根指数是3，只需1a －3有意义，∴a －3≠0，故a 的取值范围是{a |a ≠3}.答案 (1)－11或7 (2){a |a ≠3}规律方法 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.(2)根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致. 【训练1】 (1)若x 4＝3，则x ＝________. (2)设m ＜0，则(－m )2＝________.解析 (1)依题意，x 是3的4次方根，∴x ＝±43. (2)∵m ＜0，∴－m ＞0，∴(－m )2＝－m .答案 (1)±43 (2)－m 类型二 根式的化简与求值 【例2】 (1)化简13（2＋5）3＋1（32－5）3；(2)求值5＋26＋7－4 3.解 (1)原式＝12＋5＋12－5＝5－2－(5＋2)＝－4.(2)5＋26＋7－43＝3＋26＋2＋4－43＋3 ＝（3＋2）2＋（2－3）2＝3＋2＋2－3＝2＋ 2.规律方法 (1)①解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.②开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.【训练2】 (2016·吉林高一检测)化简3（1＋2）3＋4（1－2）4. 解3（1＋2）3＋4（1－2）4.＝2＋1＋|1－2|＝2＋1＋2－1＝2 2.类型三 有限制条件的根式运算(互动探究) 【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________；(2)若代数式2x －1＋2－x 有意义， 化简4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4. [思路探究]探究点一 代数式2x －1＋2－x 有意义，x 应满足什么条件？ 提示 要开偶次方根，满足2x －1≥0且2－x ≥0. 探究点二 代数式4x 2－4x ＋1如何去掉根号？提示 将4x 2－4x ＋1化为(2x －1)2，再利用根式的性质去根号. 解 (1)当x <0时，x ＋|x |＋x 2x＝x －x ＋|x |x ＝－xx＝－1.(2)由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4 ＝（2x －1）2＋24（x －2）4 ＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 规律方法 有限制条件的根式化简注意两点：(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.【训练3】 设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 解 原式＝（x －1）2－（x ＋3）2＝|x －1|－|x ＋3| ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 （－3＜x ＜1），－4 （1≤x ＜3）.[课堂小结]1.对n 次方根的三点说明(1)当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数a 的n 次方根是一个负数，记作na . (2)当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记作±na ，负数没有偶次方根. (3)零的任何次方根都是0. 2.根式记号的注意点(1)根式中根指数要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为奇数时，n a 中a ∈R ，当n 为偶数时，na 中a ≥0.3.掌握两个公式：(1)(na )n＝a ，n 为奇数；(2)na n＝a ，n 为偶数，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.1.若m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3mC.6mD.5－m解析 C 中，6m 隐含m ≥0；当m <0时，没有意义. 答案 C2.下列各式正确的是( ) A.8a 8＝aB.a 0＝1C.4（－4）4＝－4D.3（－3）3＝－3解析 A 中，8a 8＝|a |，当a <0时，不成立.B 中，当a ＝0时，a 0没意义，B 不正确.C 中，4（－4）4＝444＝4，C 不正确；D 中3（－3）3＝－3正确.答案 D3.若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________.解析 原式＝（x －3）2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1(x >3). 答案 －14.(2016·杭州高一检测)化简：(a －1)2＋（1－a ）2＋7（a －1）7. 解 由题意知a －1有意义，则a ≥1.原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1)＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.基 础 过 关1.若a ＜12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1B.－2a －1C.1－2aD.－1－2a解析 ∵a ＜12，∴2a －1＜0，∴（2a －1）2＝1－2a ，∴4（2a －1）2＝1－2a .答案 C2.下列式子中成立的是( ) A.a －a ＝－a 3B.a －a ＝－a 3C.a －a ＝－－a 3D.a －a ＝a 3解析 依题意－a ≥0，即a ≤0，∴a －a ＝－（－a ）2（－a ）＝－（－a ）3＝－－a 3. 答案 C3.(2016·天津高一检测)化简（x ＋3）2－3（x －3）3得( ) A.6 B.2xC.6或－2xD.－2x 或6或2解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝x ＋3－x ＋3＝6.当x <－3时，原式＝－(x ＋3)－x ＋3＝－2x . 答案 C4.计算：12－1－⎝⎛⎭⎫350＋⎝⎛⎭⎫94－0.5＋4（2－e ）4＝____________.解析 原式＝2＋1－1＋⎝⎛⎭⎫232×0.5＋e －2＝e ＋23.答案 e ＋235.若x 2＋4x ＋4＝－x －2，则实数x 的取值范围是________. 解析 因为x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）2＝|x ＋2|. 又|x ＋2|＝－(x ＋2)，所以x ＋2≤0，故x ≤－2. 答案 (－∞，－2]6.化简n（x －π）n (x <π，且n ∈N *). 解 ∵x ＜π，∴x －π＜0，当n 为偶数时，n（x －π）n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n（x －π）n ＝x －π， 综上，n（x －π）n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *.x －π，n 为奇数，n ∈N * 7.若等式（x －5）（x 2－25）＝(5－x )x ＋5成立，求实数x 的取值范围. 解 由于（x －5）（x 2－25）＝（x －5）2（x ＋5） 依题意要使（x －5）2（x ＋5）＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.故实数x 的取值范围是[－5，5].8.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9. 解 ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0，即x ≤2， ∴x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝（x －2）2－（x －3）2 ＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝－1.能 力 提 升9.化简－x 3x 的结果为( )A.－－xB.xC.－xD.－x解析 要使式子有意义，只需－x 3>0，即x <0，所以－x 3x ＝－x －xx ＝－－x .答案 A10.已知二次函数y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A.a ＋bB.－(a ＋b )C.a －bD.b －a解析 由图象知a ＜0，－ba ＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0，∴4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .答案 D11.若a <0，则a 2·(a ＋1)＋3a 3＝________.解析 ∵a <0，∴a 2·(a ＋1)＋3a 3＝|a |(a ＋1)＋a ＝－a (a ＋1)＋a ＝－a 2. 答案 －a 212.若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 015＋y 2 016＝________.解析 由x －1＋4x ＋y ＝0，得x －1＝0且4x ＋y ＝0，∴x ＝1且y ＝－1， 从而x 2 015＋y 2 016＝12 015＋(－1)2 016＝1＋1＝2. 答案 213.已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4（a ＋b ）4＋3（a ＋b ）3的值.解 因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.探 究 创 新14.若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析 因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 14×2－332×2－4x －12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝4x 12－33－4x 12＋4＝4－27＝－23. 答案 －23第2课时 指数幂及运算目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂表示一个正实数的n 次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3.经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实数指数幂的含义.自 主 预 习1.分数指数幂(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n ＝a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a mn (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q ).温馨提示：分数指数幂a mn 不能理解为mn 个a 相乘；任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式.3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.即 时 自 测1.234化成根式形式为( ) A.324B.423C.432 D.243解析 结合正分数指数幂的运算性质可知234＝423. 答案 B2.5a －2可化为( ) A.a －25 B.a 52C.a 25D.－a 52解析5a －2＝(a －2)15＝a －25.答案 A3.计算[(－5)－3]－13的结果是________. 解析 [(－5)－3]－13＝(－5)(－3)(－13)＝－5.答案 － 5 4.a 3a 2＝________.解析 ∵a3a 2＝a 12a 23＝a 12－23＝a －16＝16a .答案16a类型一 根式与分数指数幂的互化 【例1】 (1)(2016·济宁高一检测)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 32 C.a 56 D.a 76(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0) D.x －13＝－3x (x ≠0)解析 (1)a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝25132()a a＝a 2a 56＝a 2－56＝a 76. (2)选项A 中，(－x )12无意义，不正确. B 中，6y 2＝y 26＝(－y )13(y <0)，B 不正确. C 中，x －34＝⎝⎛⎭⎫1x 34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)正确. D 中，x －13＝⎝⎛⎭⎫1x 13＝31x ≠－3x (x ≠0)，不正确.答案 (1)D (2)C规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数指数幂的分母.②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.(2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.【训练1】 将下列各式化为分数指数幂的形式. (1)13x ·（5x 2）2(x >0)；(2)ab 3ab 5(a >0，b >0).解 (1)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝3513935511x xx -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)原式＝[ab 3(ab 5)12]12＝[a ·a 12b 3(b 5)12]12＝(a 32b 112)12＝a 34b 114. 类型二 利用分数指数幂运算性质化简与求值【例2】 (2016·宁波高一检测)计算：(1)a 23b 12·⎝⎛⎭⎫－3a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫13a 16b 56. (2)(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋⎝⎛⎭⎫811614＋|－0.01|12.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . (2)原式＝(0.43)－13－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32414＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.②利用分数指数幂的运算性质进行化简.(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 【训练2】 化简求值：(1)⎝⎛⎭⎫5x －23y 12·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12·⎝⎛⎭⎫－56x 13y －16； (2)(2016·温州高一检测)计算：⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42解 (1)原式＝5·⎝⎛⎭⎫－14·⎝⎛⎭⎫－56x －23－1＋13y 12＋12－16＝2524x －43y 56. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234·214－122323⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝⎝⎛⎭⎫2313＋21－⎝⎛⎭⎫2323×12＝⎝⎛⎭⎫2313＋2－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 类型三 分数指数幂的综合应用【例3】 已知a 12＋a -12＝3，求a ＋a －1，a 2＋a－2的值.解 ∵a 12＋a -12＝3，∴两边平方得：a ＋a －1＋2a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝9， 故a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方得a 2＋a －2＋2a ·a －1＝49.因此a 2＋a －2＝47.规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.【训练3】 若例3条件变为：已知x ＋x －1＝7，求值：(1)x 12＋x －12；(2)x 12－x －12.解 (1)设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2x 12·x －12＝7＋2＝9.又m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.(2)设n ＝x 12－x －12则n 2＝x ＋x －1－2x 12·x －12＝7－2＝5.∴n ＝±5，即x 12－x －12＝±5. [课堂小结]1.分数指数幂与根式互化(1)指数幂a m n 不可以理解为mn 个a 相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化.(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0. 2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积.(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.⎝⎛⎭⎫81625－14的值是( ) A.35B.53C.325D.259解析 ⎝⎛⎭⎫81625－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫354－14＝⎝⎛⎭⎫35－1＝53.答案 B2.计算⎝⎛⎭⎫2a －3b －23·(－3a －1b )÷⎝⎛⎭⎫4a －4b －53得( ) A.－32b 2B.32b 2 C.－32b 73D.32b 73 解析 原式＝－6a －4b134a －4b －53＝－32b 2.答案 A3.614－3338＋30.125的值为________. 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫522－3⎝⎛⎭⎫323＋3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. 答案 324.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－0.30－16-34；(2)设x 12＋x -12＝2，求x ＋x －1.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38. (2)由x 12＋x-12＝2，得⎝⎛⎭⎫x 12＋x －122＝4，即x ＋x －1＋2＝4，故x ＋x －1＝2.基 础 过 关1.已知a m ＝4，a n ＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B.6C.32D.2解析am －2n＝a m（a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( )A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.x x －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( ) A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝⎛⎭⎫a 124⎝⎛⎭⎫a 124＝a 4.答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8. 答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝⎛⎭⎫x y －34＝4⎝⎛⎭⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12； ②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝⎛⎭⎫x y －34＝⎝⎛⎭⎫y x 43＝4⎝⎛⎭⎫y x 3； ④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19.答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)化简：44x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44) 34＋⎝⎛⎭⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2x y .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0). 解 原式＝⎣⎡⎦⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12 ＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13 ＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝⎛⎭⎫a 133－⎝⎛⎭⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a . 能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）2＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1 ＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( )A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2＝________.解析 原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－⎝⎛⎭⎫827－23＋⎝⎛⎭⎫232＝12－⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫232＝12.答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a－b的值.解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8.所以a 2b ＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b －a －b <0. 故a b －a －b ＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －b a ＋b >0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质目标定位 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2.能用描点法或借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步理解指数函数的有关性质(定义域、值域、特殊点、单调性).自 主 预 习1.指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质温馨提示：指数函数的图象和性质中，掌握图象是关键，根据图象可以观察理解函数的性质.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 3，y ＝2x ＋1，y ＝52x 都是指数函数.( )(2)指数函数的图象经过点(2，4)，则当x ＝3时，y ＝8.( ) (3)函数y ＝2x与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象关于y 轴对称.( )提示 (1)错.只有y ＝52x ＝10x 是指数函数.(2)对.设指数函数为y ＝a x ，得4＝a 2，所以a ＝2.所以y ＝2x .当x ＝3时，y ＝8. (3)对.作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y 轴对称.答案 (1)× (2)√ (3)√2.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－2)x B.y ＝－5x C.y ＝4x －1D.y ＝⎝⎛⎭⎫15x解析 根据指数函数的概念知，y ＝⎝⎛⎭⎫15x是指数函数. 答案 D3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x的图象可能是( )解析 因为43>1，图象经过点(0，1)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫43x 的图象可能是选项A 的图象.答案 A4.函数f (x )＝2x 与y 轴的交点坐标为________. 解析 令x ＝0得f (0)＝20＝1. 答案 (0，1)类型一 指数函数的概念【例1】 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx ；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a ＞1，且a ≠2).解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b ＞0且b ≠1，所以是. 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件.【训练1】 函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>0，2a －3≠1，解得a >32且a ≠2.答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) 类型二 指数函数的图象【例2】 如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c解析 法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c >d >1，b <a <1.∴b <a <1<d <c .法二 作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大. 由图可知b <a <1<d <c .答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.【训练2】 函数y ＝|2x －2|的图象是( )解析 y ＝2x －2的图象是由y ＝2x 的图象向下平移2个单位长度得到的.故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x －2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的.所以选项B 满足函数y ＝|2x －2|的图象特征. 答案 B类型三 求指数型函数的定义域、值域 【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}.又1x －4≠0，即21x －4≠1， 故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}.(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0].由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0，1).(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]. 规律方法 1.对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型函数的定义域、值域(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合. (2)值域可分两步求解：①换元，令t ＝f (x )，x ∈D ，并求t ＝f (x )的值域M . ②利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域. 2.求指数型函数定义域、值域注意两点：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.【训练3】 (1)函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________.(2)已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，＋∞)解析 (1)要使函数有意义，则有1－⎝⎛⎭⎫12x≥0，即⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120.解得x ≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的图象过点(2，1)，∴32－b ＝1，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2，由于2≤x ≤4，知0≤x －2≤2.故f (x )的值域是[1，9]. 答案 (1)[0，＋∞) (2)C [课堂小结]1.指数函数概念的理解判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否具有三个特征： (1)底数a >0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x . (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2.指数函数的图象随底数的变化规律由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括为第一象限内，底数自下而上依次增大.3.指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1，0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.4.(1)由于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.(2)求函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下： ①换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； ②求t ＝f (x )的值域t ∈M ；③利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域.1.函数f (x )＝2x －32的定义域是( ) A.(5，＋∞) B.[5，＋∞) C.(－∞，5)D.(－∞，5]解析 依题意2x －32≥0，即2x ≥25，解得x ≥5.所以函数y ＝2x －32的定义域为[5，＋∞). 答案 B 2.函数y ＝5－|x |的图象是( )解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝⎛⎭⎫15x，又原函数为偶函数，选项D 的图象满足要求.答案 D3.若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________.解析 由y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 答案 24.求函数y ＝512x －4的定义域和值域.解 依题意2x －4>0，∴x >2，∴函数y ＝512x －4的定义域为(2，＋∞).当x >2时，2x －4>0， 则12x －4>0，又指数函数y ＝5t 在(0，＋∞)上是增函数，∴y >1， 故函数y ＝512x －4的值域为(1，＋∞).基 础 过 关1.函数y ＝2x＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x 在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2) C.(1，2)∪(2，＋∞) D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2. 答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x 的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x 的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x ＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x ＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x ＋2的值域是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x 是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题知函数y ＝(a －2)x 是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3)6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵函数y ＝3x 是增函数， ∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域. 解 (1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12， ∴a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1， 于是0＜⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x 是指数函数，求函数f (x )＝a 1x ＋2的定义域与值域.解 因为y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4.所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}.令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t ≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}.能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A.4B.14C.－4D.－14解析 因为f ⎝⎛⎭⎫19＝1－⎝⎛⎭⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝2－2＝14. 答案 B10.函数y ＝－e x 的图象( ) A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x 的图象与y ＝－e x 的图象关于x 轴对称，y ＝－e x 的图象与y ＝e －x 的图象关于原点对称. 答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x <16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x <16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}.答案 {0，1，2}12.方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x －1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0. 答案 {a |a ≥1或a ＝0} 13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π. f (m )＝3m，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|x |－1. (1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点. 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 第2课时 指数函数及其性质的应用目标定位 1.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.2.在解决一些简单的实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.会求一些与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等.自 主 预 习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断. 2.简单指数不等式的解法形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解； (1)当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )； (2)当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x ). 3.形如y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当a >1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.( )(2)函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是(0，＋∞).( )(3)函数y ＝3－x ＋1的值域是R .( )提示 (1)对.由复合函数的单调性的性质知，该结论正确；(2)错.由指数函数的定义知，函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是R ；(3)错.函数y ＝3－x ＋1的值域是(0，＋∞).答案 (1)√ (2)× (3)× 2.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg (x＋y )＝2lg x ·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y解析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.A 项，2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y ，故错误；B 项，2lg x ·2lgy＝2lg x＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y＝(2lg x )lg y ，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y ，正确. 答案 D 3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析 因为x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫121－x ＝2x －1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数.答案 A4.已知某种细菌在培养过程中，每20 min 繁殖一次，经一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个细菌.解析 因为3 h ＝9×20 min ，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个). 答案 512类型一 利用函数的单调性比较大小 【例1】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫56－0.24与⎝⎛⎭⎫56－14；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π与1； (3)(0.8)－2与⎝⎛⎭⎫54－12.解 (1)考查函数y ＝⎝⎛⎭⎫56x，且0<56<1.∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫56x 在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－14，∴⎝⎛⎭⎫56－0.24＜⎝⎛⎭⎫56－14. (2)考查函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx ，且0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx在(－∞，＋∞)上是减函数， 又－π＜0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π＞⎝⎛⎭⎫1π0＝1.(3)(0.8)－2＝⎝⎛⎭⎫45－2＝⎝⎛⎭⎫542.函数y ＝⎝⎛⎭⎫54x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴⎝⎛⎭⎫54－12＜⎝⎛⎭⎫542，即⎝⎛⎭⎫54－12＜(0.8)－2. 规律方法 比较幂值大小的三种类型及处理方法【训练1】 (1)下列判断正确的是( ) A.2.82.6>2.82.9 B.0.52<0.53 C.π2<π 2D.0.9－0.3>0.9－0.2(2)(2016·潍坊高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x ) ＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________.解析 (1)函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.(2)因为f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x 在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，因此m <n . 答案 (1)D (2)m <n类型二 解简单的指数不等式【例2】 (1)解不等式⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤2.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，求x 的取值范围.解 (1)⎝⎛⎭⎫12x 2－2＝22－x 2，所以原不等式等价于22－x 2≤21. 因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2－x 2≤1，所以x 2≥1，即x ≤－1或x ≥1.所以⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤2的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)因为a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， 所以y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数. 所以x >1－x ，解得x >12.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. 规律方法 1.解指数不等式问题，需注意两点：(1)形如a f (x )>a g (x )的不等式，借助y ＝a x 的单调性①a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x ). ②0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x ).(2)形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解.2.(1)解指数不等式时，若底数a 的取值不定，要分类讨论.(2)不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 【训练2】 设0＜a ＜1，解关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3. 解 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数， 又∵a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. ∴不等式的解集是(1，＋∞).类型三 指数型函数的单调性(互动探究)【例3】 判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域.[思路探究]探究点一 函数f (x )是由哪两个函数复合而成的？提示 由二次函数u ＝x 2－2x 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u复合运算得到.探究点二 如何研究f (x )的单调性？提示 根据二次函数u ＝x 2－2x 及指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u的单调性，利用“同增异减”的规律确定函数f (x )的单调性.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0，3].规律方法 1.形如y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)的函数的单调性的判定(1)定义法，即“取值——作差——变形——定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.其中影响单调性的因素有两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调区间. 【训练3】 求函数y ＝2－x 2＋2x 的单调区间.解 函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数. 当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]. 类型四 指数型函数在实际中的应用【例4】 某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x 年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1万立方米) 解 先归纳出函数解析式，再按指数型函数的性质进行讨论.列表如下：由上表，得经过x 年后，该林区的木材蓄积量为f (x )＝200(1＋5%)x ＝200×1.05x ，x ∈N *.当x ＝9时，f (9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.规律方法 1.类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x ，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ≠0，a ＞1且a ≠1)的函数称为指数型函数. 2.解指数型函数应用题的流程(1)审题：弄清题目中的已知条件与未知条件. (2)建模：根据题目的条件建立指数型函数模型. (3)解模：解答此指数型函数模型.(4)结论：把解答结果还原为实际问题，归纳得出结论.【训练4】 某工厂2014年开发一种新型农用机械，每台成本为5 000元，并以纯利润20%标价出厂.自2 015年开始，加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，预计2 018年平均出厂价尽管只有2 014年的80%，但却可实现纯利润为50%的高效益.以2 014生产成本为基础，设2 014年到2 018年生产成本平均每年每台降低的百分数为x ，试建立2 018年生产成本y (元)与x 的函数关系式，并求x 的值(可能用到的近似值2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24). 解 根据题意，从2 015年到2 018年生产成本经历了4年的降低. 所以y ＝5 000(1－x )4.由2 014年出厂价为5 000(1＋20%)＝6 000元， 得2 018年出厂价为6 000×80%＝4 800元， 由4 800＝y (1＋50%)，得y ＝3 200.再由5 000(1－x )4＝3 200，得x ＝⎝⎛⎭⎫1－255×100%≈10.4%.所以，从2 015年到2 018年生产成本平均每年每台降低约为10.4%. [课堂小结]1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c且c >b n ，则a m >b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x >a y 的不等式，当a >1时，a x >a y ⇔x >y ；当0<a <1时，a x >a y ⇔x <y .1.若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.a ＜b ＜c C.a ＜c ＜bD.b ＜c ＜a解析 ∵y ＝0.5x 在R 上是减函数，而12＞13＞14，∴0.512＜0.513＜0.514，即a ＜b ＜c . 答案 B2.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域都为R ，则( )A.f (x )与g (x )均为偶函数B.f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C.f (x )与g (x )均为奇函数D.f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，f (x )为偶函数，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，g (x )为奇函数.答案 B3.若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________.解析 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ， 故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2，故a 2＝2a ， 解得a ＝2，综上，a ＝12或a ＝2.答案 2或12。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.1 指数函数课堂导学案 新人教A版必修1
2.1.1 指数函数课堂导学三点剖析一、根式、分数指数幂与无理数指数幂的意义 【例1】 计算下列各式的值: (1)2)3(-; (2)33)3(-; (3)n n )3(-(n ∈N *,且n>1);(4)42)3(π-; (5)2)3(-a ; (6)33)2(-+44)2(-π+33)2(π-.思路分析:n a 的意义是n 为奇数时,a ∈R;n 为偶数时,a ≥0.n 为奇数时,n n a =a;n 为偶数时,nn a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,0a aa a解:(1)2)3(-=9=3.(2)33)3(-=327-=-3.解析:(1)2325=232)5(=2325⨯=53=125.(2)3227=323)3(=32=9.(3)23)425(-=232])25[(-=(25)-3=(52)3=1258.(4)834-aa a (a>0)=21a ·41a ·83-a=834121-+a=83a=83a . (5)231-x (2131x -232-x )=2×21×3131+-x -2×2×3231--x =1-4x -1=1-x4.温馨提示进行根式运算时,通常将根式化为幂的形式,再利用分数指数幂的运算法则进行运算. 【例3】 已知21a +21-a=3，求下列各式的值.（1）a+a -1；（2）a 2+a -2；（3）21212323----aa a a .解析：(1)将21a +21-a=3,两边平方得a+a -1+2=9,所以a+a -1=7.(2)a 2+a -2=（a+a -1）2-2=72-2=47.(3)21212323----aa a a =212112121)1)((----++-aa a a a a =8.温馨提示给值求值问题应结合已知条件,将所求式子变形，寻求与已知条件的联系. 三、分数指数幂的运算性质【例4】 下列等式成立吗？说明理由： （1）a 0=1；（2）3y x +=124)(y x +；（3）32bm -=1284)(m b -.解析：（1）不一定成立，当a ≠0时成立，当a=0时不成立. （2）不一定成立，只有当x+y 为非负数时才成立，否则不成立.（3）不成立，因为当-bm 2≤0时，不适合分数指数幂的运算性质. 温馨提示在进行根式、分数指数幂的运算时，要特别注意其使用的条件，否则导致错误.如nm a =npmp a 成立的条件是a ＞0，初学者最容易忽视条件导致错误.如同学们经常出现 如下的错误：31)1(-=62)1(-=62)1(-=1；n n y x 22)(-=x-y. 各个击破 类题演练1求下列各式的值： (1)2)2(-；(2)33)8(-+44)23(-. 答案：(1)2 (2)-6-3 变式提升1（1）化简:44)(n m -+33)(n m -. 解析:|m-n|+(m-n)=⎩⎨⎧<≥-.,0,),(2n m n m n m答案：⎩⎨⎧<≥-.,0,),(2n m n m n m（2）化简:30211-+1027-.解析:原式=2)56(-+2)25(-=6-5+5-2=6-2.答案:6-2 类题演练2计算下列各式的值： (1)(3121-yx )6(x>0,y>0);(2)3163)278(--ba 解析：（1）原式=x 3y -2=23yx .（2）原式=131316318)()27(-a b =1223-a b =23ab 2. 答案：（1）23y x (2)23ab 2变式提升2化简:(1)733-3324-6391+4333; (2)322b a ab b a . 解析：(1)原式=7×313-3×313×2-6×323-+4131)33(⨯=313-6×323-+313=2×313-2×3×323-=2×313-2×313=0.(2)原式=212)(b a ·412)(a b ·813)(b a =83422181411-+-+-b a =8387-b a =8571b a b答案：（1）0 （2）8571b a b温馨提示化为分数指数幂是化简根式的重要方法.化简题的最后结论习惯上常与题干的结构形式一致.类题演练3 已知21x -21-x =5.求:(1)21x +21-x;(2)x+x -1;(3)x-x -1.解析：（1）（21x +21-x）2=（21x -21-x）2+4=5+4=9，∴21x +21-x=3.（2）x 1+x -1=（21x +21-x ）2-2=7.（3）x-x -1=（21x +21-x）（21x -21-x ）=35.答案：（1）3 （2）7 （3）35 变式提升3 若x+x -1=3，求21x -21-x .解析：∵（21x -21-x ）2=x+x -1-2=1，∴21x -21-x=±1.答案：±1 类题演练4a ∈R ，下列各式中正确的是( ) A.52a =25a B.（mn a-）2=2)(m n aC.（n a ）n=a D.（a 4）3=（a 3）4解析：A 项中，当a ≥0时，52a =52a ，运算错；当a ＜0时，25a 无意义，∴A 项错.B 项中，当a=0时，mn a-无意义；若a ＞0时，指数运算也是错的，∴B 项错. C 项中，当a ＜0时，n为大于1的偶数时，n a 没有意义，∴C 项错，D 项成立. 答案：D变式提升4有下列命题,其中正确命题的个数是( )①n na =a ②若a ∈R ，则（a 2-a+1）0=1 ③334y x +=34x +y ④35-=62)5(-A.0个B.1个C.2个D.3个 解析：①中缺少a ＞0的条件; ②中，a 2-a+1=（a-21）2+43＞0,故（a 2-a+1）0=1成立; ③334y x +=3134)(y x +≠34x +y ，故③错误;④35-=-35=625≠62)5(-，故④错误.答案：B(3)n n)3(-=⎩⎨⎧-.3,3为偶数为奇数n n(4)42)3(π-=42)3(-π=3-π. (5)2)3(-a =|a-3|=⎩⎨⎧<-≥-.33,33a aa a(6)33)2(-+44)2(-π+33)2(π-=-2+π-2+2-π=-2. 温馨提示运算时要分清n n a 与（n a ）n这两种形式，对于后者利用（n a ）n=a （n ＞1且n ∈N *）计算.对于前者,要注意n 的奇偶数. 二、分数指数幂再讨论【例2】 计算下列各式的值:(1)2325; (2)3227; (3)23)425(-; (4)834-a a a (a>0);(5)231-x (3121x -232-x ).。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1第1课时根式教案新人教A版
2.1.1 第1课时根式1.知识与技能(1)理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.(2)能利用根式的性质对根式进行运算.2.过程与方法(1)让学生通过x n=a来理解n次方根和n次根式,把n次方根理解为平方根和立方根的推广,把n次根式看成是由二次根式和三次根式推广而来的,让学生通过类比来理解.(2)学习根式的两个性质时,建议分别给出如=3等多个等式,让学生自己归纳出两个性质,这样学生可由感性认识上升到理性认识,学习效果会明显提高.3.情感、态度与价值观(1)通过n次方根及根式的概念的学习,使学生认清基本概念的来龙去脉,加深对事物的一般规律的理解和认识,体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣;(2)教学过程中,通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流,加深理解n次方根的性质.重点:n次方根和n次根式的概念和性质.难点:根式的概念、n次方根的性质及应用.重难点的突破:以初中学习根式为切入点,通过复习平方根、立方根的定义,然后类比出n次方根的定义.为了更好地分解这一难点,教学中应放慢速度,多举几个具体的例子,帮助学生理解,并在此基础上类比得出n次方根的一般定义与性质.n次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广,教学时,可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明,加深对这一性质的理解.1.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,且a>b>0,求的值.解:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,∴∵a>b>0,∴>0.∴>0., ∴.2.已知x>0,y>0,且x--2y=0,求的值.解:∵x--2y=0,x>0,y>0,∴()2--2()2=0.∴()(-2)=0.由x>0,y>0,得>0,∴-2=0.∴x=4y.∴.。
(新)高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_1指数函数知识导学案新人教A版必修11
2.1 指数函数知识导学在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x 就叫a 的立方根.如此类推,我们便得出了n 次实数方根的定义.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.当0<a<1时,x →+∞,y →0;当a>1时,x →-∞,y →0.当a>1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快;当0<a<1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.(2)熟悉指数函数y=10x ,y=2x ,y=(21)x ,y=(101)x 在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.记忆口诀:(1)方根口诀正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.(2)指数函数性质口诀指数增减要看清,抓住底数不放松,反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(0,1)点.疑难导析用语言叙述这三个公式:(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.(2)n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a ≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=a x (a>0,a ≠1)的形式.问题导思指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来. 另外,底数a 对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,函数图象就越靠近y 轴.一定要注意底数a 对函数值变化的影响. 典题导考绿色通道根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些. 第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？黑色陷阱做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题. 典题变式1.计算下列各式(式中字母都是正数):(1)(232a 21b )(-621a 31b )÷(-361a 65b );(2)(41m 83-n )8. 答案:(1)4a;(2)32nm . 2.已知21a +21-a =3,求a 2+a -2的值. 答案:47.3.已知函数f(x)=a x +a -x (a>0且a ≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.答案:12绿色通道比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m 、n 的定位进行判断.黑色陷阱如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B 的情形.典题变式 如图2-1-5,曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x 、y=b x 、y=c x 和y=d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )图2-1-5A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<c<dD.b<a<1<d<c 答案:D绿色通道1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.典题变式1.设y 1=40.9,y 2=80.44,y 3=(21)-1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2 B.y 2>y 1>y 3 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2答案:D2.当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( )A.1<|a|<2B.|a|<1C.|a|>1D.|a|>2 答案:D绿色通道本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.典题变式1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案:B2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.黑色陷阱解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量,t 的单位是年.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章教学设计
第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。
（Ⅱ）复习回顾 =____ (m,n ∈Z)___=； -_____9=（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为na x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。
此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。
结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
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数与式
（一）数的发展： 自然数： →整数：
→有理数（分数）： →实数（小数）： 。
（二）数的关系结构：
⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪
⎪⎪⎩⎪
⎪⎩
自然数（非负整数）
整数正整数有理数(有限小数和无限循环小数）实数（小数）负整数分数
无理数（无限不循环小数） （三）数的一些常识：
1、奇数的定义是被2整除余数为1的整数。
一一列举奇数：...,-5,-3,-1,1,3,5,...
偶数的定义是被2整除余数为0的整数。
一一列举偶数：...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...
2、素数（质数）：只能被1和它自己本身整除的正整数。
写出5个素数： ，
合数：除了被1和它自己本身整除，还能被其他整数整除的正整数。
写出5个合数： ；
3、因数分解：把正整数分解成为若干个素数相乘的形式（注意充分利用短除法）。
比如
因数分解：12= ，18= ， 所以，① 12和18的最小公倍数为 ；② 12和18的最大公因数
为 ；
③ 12的正约数为 ；④ 18的正约数为 ；
（四）数的运算：
（1）278
1(
)36518259125
-++= ；
（2）
23235146
+-
-+= ； （3
= ； （4
= 。
（5
= 。
（五）式：（1）单项式2
2
a bc -3的次数为 ，系数为 ；
（2）齐次整式：2
2
24a ab b +--3；
（3）齐次分式：23a b a b -+，222224a ab b a b +---3，22
22
2a ab b a b +--，
（六）二项式相乘
算法1--横式算法：前内一个括号内的每一项分别乘以后内一个括号内的每一项，最后合并同类项。
比如：2)(23)x x ++=（ ，
2)(23)x x --=（ 。
算法2—竖式算法：类比于小学数的乘法的竖式算法进行。
比如：
（1）2312⨯= ,（2）2)(3)x x ++=（ ，（3）
2)(23)x x --=（ . 解：(1)
46
23276
⨯+ 2 3
）1 2
） (2) 222336256x x x x x x x +⨯+++++ ）， （3） 22223
3624276
x x x x x x x -⨯--+--+ ）
注意事项：相同次项的一定要上下对齐。
再加工：去掉竖式中的x ，只留下系数和常数，简化竖式运算，发现规律：
2121336
1
2
56
x x ⨯++ ）
2122336
2
4
276
x x -⨯----+ ）
分析二项式相乘的结果中的系数的来历：
练习：应用竖式运算求：
（1）(35)(23)x x +-， （2）(2)(23)x x -+； （3）2
2
(35)(23)x x x x -+--
（七）常用公式
完全平方公式： 2
)a b +=（ ，2
)a b -=（ ，
2)a b c ++=（ ，
平方差：2
2
a b -= ，
立方和（差）：3
3
a b ±= ， 和（差）立方：3
)a b ±=（ ，
第二课时：因式分解
（一） 因式分解的理论基础是二项式相乘以及公式的逆用 （二）因式分解的方法：
（1）提公因式；（2）公式法（完全平方公式和平方差公式）；（3）十字相乘法； （4）分组分解法
例1、逆用二项式相乘的竖式运算对下式子因式分解：
（1）2
56x x -+，（2）2
6x x --； （3）2
276x x -+；
分析：依据二项式相乘的结果中的系数的来历，十字相乘法因式分解的步骤如下： 第一步：对二次项的系数进行因数分解成为两个正整数；
第二步：对常数项进行因数分解成为两个整数注意符号（同号两数的积为正，异号两数的积为负）
第三步：根据一次项的系数的来历（十字交叉的乘积的和），对前两步的因数分解的结果是否符合题意，进行多次尝试，一直到符合题意为止。
例2、求下列二次三项式的判别式，然后因式分解：
（1）2
275x x -+，（2）2
235x x --，（3）2
656x x --，（4）2
358x x -- 复习：（1）十字相乘法因式分解，关键是常数项的因数分解中的符号；
（2）可以用判别式去分析式子能否用十字相乘法。
例3、因式分解：（1）2
5x x -， （2）2
9x - ， （3）2
69x x -+， （4）222()12x x -- ； （5）222(3)4(3)x x x x --- ， （6）3
49x x -，（7）2212x xy y -++，（8）3
2
44x x x +--， 点拨：（1）因式分解的理论基础及其注意事项，（2）整体代换化繁为简
第三课时：一元二次方程
例1、解方程：
（1）2560x x -+=； （2）2
560x x --=；
（3）4
2
120x x --= ；（4）222(3)4(3)0x x x x ---= 。
复习：（1）求根公式，（2）根与系数的关系。
例2、已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2530x x -+=的实数根，求下列式子的值：
（1）
12
11
x x +，（2）2212x x +，（3）212()x x -，（4）3312x x +，（5
，
复习：韦达定理及简单的变形技巧，也可以用因式分解的方法。
第四课时：初中函数的图象与性质（特别是一、二次函数）
1.一次函数、常函数、反比例函数
[知识梳理]：
注意:过原点的直线的方程,图像,性质
例1、作出下列函数的图象，并求其最大、最小值、x 和y 的取值范围。
（1）32,(21)y x x =+-≤≤；（2）32,(21)y x x =--≤≤ （3）3,(21)y x =-≤≤； （4）2
,(12)y x x
=≤≤
例2、（1）一次函数(3)5y a x b =++-的图象经过点（1，1）和（2，2），则a b += ． （2）关于x 的一次函数(3)25y a x a =-+-的图象与y 轴的交点不在x 轴的下方，且y 随
x 的增大而减小，则a 的范围是
2. 二次函数
二次函数的表达形式有以下三种：
（1）一般形式：2
()f x ax bx c =++（0a ≠），
（2）顶点式（或称配方式）2
()()f x a x k h =-+（0a ≠），
（3）零点式（或称双根式）12()()()f x a x x x x =--（0a ≠），（前提：有根12,x x ） 对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。
例1．对下列函数配方，（1）求其图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标及对称轴方程，（2）作简图. （3）求x 、y 的取值范围
（1）21y x =-， （2）222y x =-+， （3）223y x x =-+， （4）322+--=x x y ，（5）223y x x =--，（6）y x x =--+123
2
2。
例2．求满足下列条件的二次函数的解析式,并作简图.
(1)顶点(1,2), 过点A(0,4)； (2) 过三点A(1,0),B(2,2),C(3,0)； （3）图像过点(2，-1)和(-1，-1),且函数的最大值为8。
例3．已知二次函数y=(m-2)x 2
+2mx+m+1，其中m 为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方？
例4．（1）二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象如图，试分析a 、b 、c 的符号。