2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北省)数学理Word版无答案
(word完整版)2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版),推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项:1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 3. 回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回•第I 卷•选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 2已知集合A={ x |x 2x 30} , B={ x | — 2< x V 2=，则 A B =2. 3. A .[-2,-1]C .[-1,1]D .[1,2)(1 i)3 (1 i)2A .1 iB .1 iC .D . 1 i设函数f(x) , g(x)的定义域都为 R , 且f (x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g(x)是偶函数B .| f (x) |g(x)是奇函数C . f (x) |g(x) |是奇函数D .| f (x) g(x)是奇函数 4.已知F 是双曲线C : x 2 my 2 3m(m 0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A . 3B .3C . ■3mD . 3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率AlB .8 C.86.如图，圆 O 的半径为1, A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线 OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为 M , 将点M 至U 直线OP 的距离表示为x 的函数f (x)，贝U y = f (x)在[0,]上的图像大致7 5A .B .C .3D .22 21，若f (x)存在唯一的零点x °，且x ° >0,则a 的取值范围为A . (2, +s)B . (-g, -2)C . (1, +s)12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为a,b,k 分别为1,2,3，则输出的 AB .C .352(o‘2)，(0,—)，且 tanA ■ 3B .22C .3-D .215』，则cos9.不等式组y 2y 的解集记为 4D •有下面四个命题:Pi:(x,y) D,x 2y 2，P 2 :(x,y) D,x 2y 2 B :(x, y) D, x 2y 3， P 4 :(x,y)D, x 2y其中真命题是A . p 2， l~3B . P 1， P 4C . P 1， P 2D . P 1，P 310.已知抛物线C : UUUT4FQ ， Q 是直线PF 与C 的一个焦点,uuu 若FP 则 | QF |= 3211.已知函数f(x)=ax 3x若输入的7.执行下图的程序框图,8.设 F ，准线为，P 是I 上一点，y 28x 的焦点为A.6 2 B .4 2 C.6 D .4本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． （2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ， 故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二 面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=． 故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==， 由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<， 在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
2014年高考(湖北卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理工类)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷总分值150分．考试用时120分钟．考前须知：1．答卷前：先将自己的、号填写在试题卷和答题卡上，并将号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．(2014，理1)i 为虚数单位，21i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )．A ．－1B ．1C ．－iD ．i 答案：A解析：2221i (1i)2i 11i (1i)2i ---⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，应选A. 2．(2014，理2)假设二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，那么实数a ＝( )．A ．2B ．1 D ．4答案：C解析：二项式通项T r ＋1＝7C r(2x )7－r(ax －1)r ＝27－r a r7C r x 7－2r.由题意知7－2r ＝－3，那么r ＝5. 令22a 557C ＝84，解得a ＝1.3．(2014，理3)设U 为全集，A ，B 是集合，那么“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C 〞是“A ∩B＝∅〞的( )．A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 答案：C解析：如图可知，存在集合C ，使A ⊆C ，B ⊆U C ，那么有A ∩B ＝∅.假设A ∩B ＝∅，显然存在集合C .满足A ⊆C ，B ⊆U C .应选C.4．(2014得到的回归方程为y bx a =+，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0答案：B解析：由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增大而减少的．故b ＜0，又回归直线过第一象限，故纵截距a ＞0.应选B.5．(2014，理5)在如下图的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为( )．A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 答案：D解析：如下图A (0,0,2)，B (2,2,0)，C (1,2,1)，D (2,2,2)，B ，C ，D 点在面yOz 上的射影分别为B 1，C 1，D 1，它们在一条线上，且C 1为B 1D 1的中点．从前往后看时，看不到棱AC ，正视图中AC 1应为虚线．故正视图应为图④.点A ，D ，C 在面xOy 的射影分别为O ，B ，C 2，俯视图为△OC 2B ，应选图②.综上选D.6．(2014，理6)假设函数f (x )，g (x )满足11-⎰f (x )g (x )d x ＝0，那么称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①1()sin2f x x =，1()cos 2g x x =；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C解析：对于①，1111111111sincos sin sin 2222x xdx xdx xdx ---⋅==⎰⎰⎰＝1111(cos ){cos 1[cos(1)]}22x --=---- ＝1(cos1cos1)2-+ ＝0.故①为一组正交函数； 对于②，11211(1)(1)(1)x x dx x dx --+-=-⎰⎰＝31111111333x x -⎛⎫⎛⎫-=---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝242=033-≠， 故②不是一组正交函数； 对于③，1213411111()04x x dx x dx x ---⋅===⎰⎰.故③为一组正交函数，应选C.7．(2014，理7)由不等式组0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，--确定的平面区域记为Ω1，不等式组12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，那么该点恰好在Ω2的概率为( )．A ．18 B ．14 C ．34D ．78答案：D解析：如图，由题意知平面区域Ω1的面积1S Ω＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影局部，面积111721224ABC S S S Ω∆⨯⨯=阴=-=-. 由几何概型得该点恰好落在Ω2的概率177428S P S Ω===阴.应选D.8．(2014，理8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在省江陵县家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )．A ．227B ．258C ．15750D ．355113答案：B解析：由题意可知：L ＝2πr ，即2πLr =，圆锥体积222211112ππ3332π12π75L V Sh r h h L h L h ⎛⎫==⋅≈ ⎪⎝⎭＝＝，故1212π75≈，25π8≈，应选B. 9．(2014，理9)F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )．A．3B．3C ．3D ．2 答案：A解析：设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c . 由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|πcos3. 而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2可得222123=4a a c +.令a 1＝2c cos θ，2 a θ，即122cos a a c c θθ+=+＝2cos θθ⎛⎫⎪⎝⎭1sin 2θθ⎫+⎪⎪⎝⎭π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.A. 10．(2014，理10)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．假设∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，那么实数a 的取值围为( )．A ．1166⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B．⎡⎢⎣⎦ C ．1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D．⎡⎢⎣⎦答案：B解析：由题意得，假设a ＝0，f (x )＝x ，显然成立；假设a ≠0，当x ≥0时，()222222322,0x a x a f x a a x a x x a ⎧>⎪=<≤⎨⎪-≤≤⎩-，，-，，，作出x ≥0的图象 ，利用f (x )是奇函数作出整个定义域上的图象如图：而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x ，都有f (x －1)≤f (x )，至少应向右平移6a 2个单位，所以6a 2≤1，解得a ≤≤且a ≠0. 综上，实数a的取值围是66⎡-⎢⎣⎦. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题(11—14题)11．(2014，理11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．假设(a ＋λb )⊥(a －λb )，那么实数λ＝________.答案：±3解析：由题意得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝0，那么a 2＝λ2b 2.∴22221892λ====a b .∴λ＝±3. 12．(2014，理12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，那么a 2＋b 2＝________.答案：2解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，=cos 452=︒=，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2. 13．(2014，理13)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，那么I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.答案：495解析：不妨取a ＝815，那么I (a )＝158，D (a )＝851，b ＝693； 那么取a ＝693，那么I (a )＝369，D (a )＝963，b ＝594； 那么取a ＝594，那么I (a )＝459，D (a )＝954，b ＝495； 那么取a ＝495，那么I (a )＝459，D (a )＝954，b ＝495. 故输出结果b ＝495. 14．(2014，理14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )＞0.对任意a ＞0，b ＞0，假设经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0)，那么称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x ＞0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝2a b+，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba b+. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案：(2)x (或填(1)k (2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数均可) 解析：经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线方程为()()f a f b y f b x b a b()+()=-+-．令x ＝c ，y ＝0得af b bf a c f a f b ()+()=()+()；(1)令c =()()b a =，可令()f x =前面等式成立． (2)令2abc a b=+，那么得af (b )＝bf (a )，可令f (x )＝x ，前面等式成立． (二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，那么按第15题作答结果计分．)15．(2014，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，P 为O 外一点，过P 点作O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交O 于C ，D 两点．假设QC ＝1，CD ＝3，那么PB ＝________.答案：4解析：由题意知PA ＝PB .PA 切O 于点A ，由切割线定理可得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4. ∴QA ＝2，∴PA ＝2×2＝4＝PB .16．(2014，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)曲线C 1的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，那么C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案：解析：由曲线C 1的参数方程3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得y x =(x ≥0)，① 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2，可得方程x 2＋y 2＝4，②由①②联立解得1,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 1与C 2交点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题总分值11分)(2014，理17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t ⋅-=，t ∈[0,24)． (1)验室这一天的最大温差；(2)假设要验室温度不高于11 ℃，那么在哪段时间实验室需要降温？分析：由函数f (t )为a cos t ＋b sin t 型，故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )＝10－2sin ππ123t ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据t ∈[0,24)，把ππ123t +的围求出，再利用单位圆或者正弦函数的图象求出ππsin 123t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的围，从而求得f (t )的最大与最小值．对于第(2)问，要验室温度不高于11 ℃，即满足不等式f (t )＞11的t 的围就是实验室需要降温的时间段，可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式．解：(1)因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝－，又0≤t ＜24，所以πππ7π+<31233t ≤，ππ1sin +1123t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭－.当t ＝2时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当t ＝14时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得()ππ102sin +123f t t ⎛⎫⎪⎝⎭=-， 故有ππ102sin +11123t ⎛⎫> ⎪⎝⎭-，即ππ1sin +1232t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.又0≤t ＜24，因此7πππ11π61236t <+<，即10＜t ＜18. 在10时至18时实验室需要降温．18．(本小题总分值12分)(2014，理18)等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由．分析：(1)根据{a n }是等差数列，首项a 1，可设公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，即2215a a a =建立关于d 的方程求出d 来，可得通项公式a n .第(2)问可由(1)问求出的a n ，求出数列{a n }的前n 项和S n ，解不等式S n ＞60n ＋800.假设有解那么存在正整数n ，假设无解那么不存在．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，2[242]22n n n S n +(-)==.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题总分值12分)(2014，理19)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．分析：解决立体几何问题往往用两种方法来解决．一是几何法，二是向量法．对于第(1)问，欲证直线BC 1∥平面EFPQ ，首先想到的是利用线面平行的判定定理，即能否在平面EFPQ 找到一条直线与BC 1平行，当λ＝1时，由P ，F 分别是DD 1与AD 的中点，利用中位线定理可得FP ∥AD 1，从而得BC 1∥FP ，于是得证．对于第(2)问，研究是否存在λ的值使面EFPQ 与面PQMN 成直二面角，可根据条件利用几何法作出二面角的平面角，再令此平面角为90°，看λ是否有解．假设有解就存在，假设无解那么不存在．假设用向量法，由于是立方体，可建立空间直角坐标系，要把各点各向量的坐标写准确．第(1)问还可利用向量共线，在平面EFPQ 找到一直线与BC 1平行来解决，或求出平面EFPQ 的法向量n 1，利用11=0BC ⋅n 来证明BC 1∥平面EFPQ .对于第(2)问分别求面EFPQ 与平面MNPQ 的法向量n ，m ，假设存在λ使两平面成直二面角，那么m ·n ＝0有解，假设不存在那么无解．方法一(几何方法)(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1.图①所以BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)解：如图②，连接BD .图②因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，且12EF BD =. 又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形， 故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ， 从而EF ∥PQ ，且12EF PQ =. 在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是EQ FP == 所以四边形EFPQ 是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 那么GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，那么∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，那么由EF ∥MN ，且EF ＝MN ， 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，222211+22OH λλ⎛= ⎝⎭=+-，222211(2)(2)22OG λλ⎛=+--=-+ ⎝⎭， 由OG 2＋OH 2＝GH 2，得2211(2)+422λλ-++=，解得12λ=±故存在12λ=±EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系D －xyz .图③由得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)．1(2,0,2)BC =-，(1,0)FP λ=-，，()1,1,0FE =．(1)证明：当λ＝1时，(1,01)FP =-，， 因为1(2,0,2)BC =-， 所以12BC FP =，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)解：设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0,x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)．假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，那么m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得12λ=±故存在12λ=±EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．(本小题总分值12分)(2014，理20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？分析：(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率．用样本估计总体的方法估计未来的年入流量．因各年的年入流量相互独立，可利用二项分布求出至多有1年的年入流量超过120的概率．(2)分别求出安装1台，2台，3台发电机时，水电站年总利润的数学期望，比拟它们的期望值，选择最正确方案．解：(1)依题意，()11040800.250p P X <<===， p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X ＞120)＝550＝0.1. 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为4341343433991C (1)C (1)+4=0.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=＋.(2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜X ＜80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8；由此得Y所以，E (Y )③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X ＜80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X ＞120时，3台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X ＞120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下所以，E (Y )综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台．21．(本小题总分值14分)(2014，理21)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值围．分析：第(1)问求动点M 的轨迹C 的方程，就是找出动点M (x ，y )中x 与y 的关系，依据点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴距离多1建立等式|MF |＝|x |＋1，而|MF |可用两点间距离公式表示，化简整理可得轨迹C 的方程．而对于第(2)问，由于直线过定点(－2,1)，可用点斜式得直线方程y －1＝k (x ＋2)，讨论直线l 与曲线C 公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题．由第(1)问知曲线C 的方程分为两段：一段是抛物线，一段为射线，而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程，需对二次项系数以及根的判别式作出讨论，还要注意与抛物线联立后有解时x 的取值为非负这一条件．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋11x +，化简整理得y 2＝2(|x |＋x ). 故点M 的轨迹C 的方程为24000.x x y x ≥⎧=⎨<⎩，，，(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组21(2)4y k x y x ⎧⎨⎩-=+，=，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1. 把y ＝1代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭. ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，那么由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得021k x k+=-.③ (a)假设00,0,x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得k ＜－1，或12k >.即当k ∈(－∞，－1)∪1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)假设00,0,x ∆=⎧⎨<⎩或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，或1<02k -≤.即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (c)假设00,0,x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<. 即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合ⅰ，ⅱ可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点； 当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ⎛⎫⎧⎫∈--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 22．(本小题总分值14分)(2014，理22)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数ln ()x f x x=的单调区间； (2)求e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．分析：第(1)问是求函数的单调递增递减区间，因此可求函数的导数f ′(x )，令f ′(x )＞0求单调递增区间，令f ′(x )＜0求单调递减区间．第(2)问是研究给定数值大小关系问题，结合给定数的特点有的是底一样，指数不一样，有的指数一样而底不一样，因此可利用函数的单调性初步判断出3e ＜πe ＜π3，e 3＜e π＜3π.因此求6个数中的最大数就是比拟π3与3π，最小数就是比拟3e 与e 3，我们可借助于第(1)问中的结论来到达目的．而第(3)问是在(2)问的根底上转化为比拟e 3与πe ，e π与π3的大小，充分利用第(1)问得到的结论．合理赋值使问题得到解决．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为ln ()x f x x =，所以()21ln x f x x-'＝. 当f ′(x )＞0，即0＜x ＜e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为[e ，＋∞)．(2)因为e ＜3＜π，所以eln 3＜eln π，πln e＜πln 3，即ln 3e ＜ln πe ，ln e π＜ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e ＜πe ＜π3，e 3＜e π＜3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e ＜3＜π及(1)的结论，得f (π)＜f (3)＜f (e)，即ln πln 3ln e π3e<<. 由ln πln 3π3<，得ln π3＜ln 3π，所以3π＞π3； 由ln 3ln e 3e <，得ln 3e ＜ln e 3，所以3e ＜e 3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e ＜πe ＜π3＜3π，3e ＜e 3.又由(2)知，ln πln e πe<，得πe ＜e π， 故只需比拟e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0＜x ＜e 时，()()1e e f x f <=， 即ln 1ex x <. 在上式中，令2e πx =，又2e e π<， 那么2e e ln ππ<， 从而2－ln π＜e π， 即得e ln π2π>-.① 由①得，e 2.72eln πe 2>2.72>2.7(20.88)=3.024>3π 3.1⎛⎫⎛⎫>-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即eln π＞3，亦即ln πe ＞ln e 3，所以e 3＜πe . 又由①得，3e 3ln π66e ππ>>>--， 即3ln π＞π，所以e π＜π3.综上可得，3e ＜e 3＜πe ＜e π＜π3＜3π，即6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.。
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A={ x| x 22 x3 0 } ， － ≤ ＜ ＝，则A B =B={ x | 2 x 2A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2 ）(1 i )32.(1 i )2=A .1 iB . 1 iC . 1 iD . 1 i3.设函数 f ( x) ， g(x)的定义域都为R，且 f (x) 时奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f ( x) | g( x) 是奇函数C . f (x) | g ( x) |是奇函数D .| f (x) g( x) |是奇函数4.已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m( m 0) 的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3B .3C . 3mD . 3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率A . 1B . 3C .5D .7888 86.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a, b, k 分别为 1,2,3 ，则输出的 M =A .20B .16C . 7D .15352 88.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin，则cos22A . 32B . 22C .3D . 2229.不等式组x y 1的解集记为 D .有下面四个命题：x 2 y4p1： ( x, y) D , x 2 y 2 ，p2： ( x, y) D , x 2y 2 ,P( x, y) D , x 2 y 3，p4 ：( x, y) D , x 2 y1.3 ：其中真命题是A .p2，p3B .p1，p4C .p1，p2D .p1，p310.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点， Q 是直线PF与C的一个焦点，若uuur uuurFP4FQ ，则 | QF |=75C .3D .2A .B .2211.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A . 6 2B . 4 2C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年普通高等学校招生全国数学统一考试(课标I卷)及详细答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3 C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B ．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α=，则（ ） A． 3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≥﹣2 p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≥2p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y ≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y ≤﹣1 其中真命题是（ ） A ． p 2，p 3 B ． p 1，p 4 C ． p 1，p 2 D ． p 1，p 310．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A ． B ． 3 C ． D ． 211．（5分）已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ． （2，+∞） B ． （1，+∞） C ． （﹣∞，﹣2） D ． （﹣∞，﹣1） 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分） 13．（5分）（x ﹣y ）（x+y ）8的展开式中x 2y 7的系数为 _________ ．（用数字填写答案） 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；A ．6B ．6C ．4D ．4由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A ．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A ．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3 C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A ．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A ．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专不等式的解法及应用．题：分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A ．B．3 C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A ．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．6B．6 C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．评：20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；析：（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，答：∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考与圆有关的比例线段．点：选作题；几何证明．专题：分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cosθ、y=3sin θ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P （2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．21。
2014年湖北高考数学理精校word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知命题P ：,0,≤∈∃x e R x 则⌝P 为( )A ．0,≤∈∀x e R xB ．0,>∈∀x e R xC ．0,>∈∃x e R xD ．0,≥∈∃x e R x2．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝ （ ）A ．12B ．14C ．16D ．183．已知31tan(),tan(),tan()5646ππαβαβ+=-=+那么=( )A ．16B ．723C ．1318D ．13224、函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为 ( )A （2，3）B (3,)+∞C （1，2）D （0，1）5. 下列命题中，错误．．的是 ( )（A ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）平行于同一平面的两个不同平面平行（C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线6.已知向量,，满足6))(2(-=-+，21==，则与的夹角为（ ） A. 4πB.3π C.6π D.23π 7．函数22cos y x =的一个单调增区间是 （ ）A ． ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8.数列}{n a 中，),()1(2,211*+∈++==N n n n a a a n n 则=10a ( ) A.3.4 B.3.6 C.3.8 D.49．在20,ABC AB BC AB ABC ∆⋅+=∆中，若则是 ( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D . 等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 10．求(1)(12)1i i i-++= 。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔理科〕一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii 〔 〕 A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】此题考查复数的运算，容易题。
2. 假设二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a 〔 〕 A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-aC ，解得42=a ，故选D 。
【点评】此题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，假设C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；假设∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则〔 〕A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】此题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
5.在如下图的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0,0,2〕，〔2,2,0〕，〔1,2，1〕，〔2,2,2〕，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔 〕A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。
2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12 小题，每小题 5 分，共60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={ x| 2 2 3 0x x } ，B={ x| －2≤x＜2＝，则 A B =A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2）3 (1 i)2. =2(1 i)A .1 iB .1 iC . 1 iD . 1 i3. 设函数 f (x) ，g( x) 的定义域都为R，且 f ( x) 时奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g( x) 是偶函数B .| f (x) |g(x) 是奇函数C . f (x) | g( x) |是奇函数D .| f ( x) g( x) |是奇函数4. 已知F 是双曲线 C ： 2 2 3 ( 0)x my m m 的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A . 3B .3C . 3mD . 3m5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A . 18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x的函数 f ( x) ，则y = f (x) 在[0, ] 上的图像大致为5. 执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，则输出的 M =A .20 3B .165C .7 215 8D .6. 设(0, ) 2 ，(0, ) 2，且tan 1 sin cos，则A .3B . 222C .3D . 22 27. 不等式组xy 1 x 2y 4的解集记为 D .有下面四个命题：p ： (x, y) D, x 2y2 ， p 2 ： ( x, y) D ,x 2y 2 ,1P ： (x, y) D, x 2y 3 ， 3p ： (x, y) D ,x 2y1 .4其中真命题是A . p 2 ， PB . 3p ， p 4C . 1 p ， p 2D . 1p ， 1P38. 已知抛物线 C ：28yx 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个焦点，若F P 4FQ ，则 | QF |=A .7 2B .5 2C .3D .29. 已知函数 f (x) =33 2 1 axx ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 0 ＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .6 2B .4 2C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,含答
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(i i （ ）1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） 2 B. 54 C. 1 D. 423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件x3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5.0- 0.5 0.2- 0.3- 得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则（ ） 0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.3由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.B. C.3 D.210.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ=________. 12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数b a ab +2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）选考题（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；求实验室这一天的最大温差；若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列. 求数列的通项公式.记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点()1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C. 求轨迹为C的方程设斜率为k的直线l过定点()2,1p-，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。
2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版(选择、填空题)纯Word版含解析
2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A ．-1B ．1C ．-iD ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 BC ．1 D【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722kk k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ， 由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。
【答案】C .4．得到的回归方程为y =bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5． 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)， 作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④. 【答案】D .6． 若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2.其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰； 【答案】C .7． 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L h ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B . 9． 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2 【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。
2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版2Word版含解析
2014年高考真题——理科数学（湖北卷）解析版2 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．－1 B．1 C．－i D．i1．A[解析] ＝＝－1.故选A.2．[2014?湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2 B. C．1 D.2．C[解析] 展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C22a5x－3，故含的项的系数是C22a5＝84，解得a＝1.故选C.3．[2014?湖北卷] U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B ＝?"的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．C[解析] 若存在集合C使得A?C，B??UC，则可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A?C，B??UC，故"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B ＝?"的充要条件．故选C.4．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b C．a0 D．a4．B[解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0.故a>0，b5．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O - xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-1A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②5．D[解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．[2014?湖北卷] 若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0 B．1 C．2 D．36．C[解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx ＝0.①f(x)g(x)dx＝sxcosxdx＝sxdx＝＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝＝－≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③f(x)g(x)dx＝x?x2dx＝＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.7．[2014?湖北卷] 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A. B. C. D.7．D[解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，SΩ1＝S△AOB＝×2×2＝2，S△BCE＝×1×＝，则S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－＝.故由几何概型得，所求的概率P＝＝＝.故选D.8．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术："置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.8．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝L2h，则π≈.故选B.9．、[2014?湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C．3 D．29．A[解析] 设|P＝r1，|P＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.所以＋≤.故选A.10．[2014?湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－＋|x －－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.10．B[解析] 因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；当a2f(x)＝＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝＝x－3a2.综上，f(x)＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.11．[2014?湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．11．±3[解析] 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)?(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014?湖北卷] 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.12．2[解析] 依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×s 45°，得＝＝1.故a2＋b2＝2.图1-213．[2014?湖北卷] 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．13．495[解析] 取a1＝815?b1＝851－158＝693≠815?a2＝693；由a2＝693?b2＝963－369＝594≠693?a3＝594；由a3＝594?b3＝954－459＝495≠594?a4＝495；由a4＝495?b4＝954－459＝495＝a4?b＝495.14．、[2014?湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b 的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)(2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝，则＝，即＝.因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝(x>0)；(2)依题意，c＝，则＝，因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)．15．[2014?湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．图1-315．4[解析] 由切线长定理得QA2＝QC?QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014?湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．16.[解析] 由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为.17．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2s，故有10－2s>11，即s又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温．18．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2.从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.19．、、、[2014?湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ ＝λ(0(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.图①图②(2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．同理可证四边形PQ也是等腰梯形．分别取EF，PQ，的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ与面PQ所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.连接，，则由EF∥，且EF＝知四边形M是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝1±，故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．图③\s\up6(→(→)＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，因为\s\up6(→(→)＝(－2，0，2)，所以\s\up6(→(→)＝2\s\up6(→(→)，即BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由\s\up6(→(\o(FE,\s\up6(→)可得于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面PQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则m?n＝(λ－2，2－λ，1)?(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．20．[2014?湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y －1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．22．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e由π3；由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(3)由(2)知，3e又由(2)知，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由(1)知，当0即在上式中，令x＝，又2－.①由①得，π>e>2.7×>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即π>3，亦即πe> e3，所以e3又由①得，π>6－>6－e>π，即π>π，所以eπ综上可得，3e即这6个数从小到大的顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.。
2014年湖北高考理科数学试题及答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________ 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式. （2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
2014年高考湖北理科数学试题 及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】为虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因为，故选A．【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）（A）2 （B）（C）1 （D）【答案】D【解析】因为，令，得，，解得，故选D．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题．（3）【2014年湖北，理3，5分】设为全集，，是集合，则“存在集合使得，是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，若，则，，可得；若，不能推出，故选A．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题．（4）【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据3456784.0 2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为，则（）（A），（B），（C），（D），【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以，，故选B．【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的与的符号，容易题．（5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）（A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和②【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题．（6）【2014年湖北，理6，5分】若函数，满足，则称，为区间上的一组正交函数，给出三组函数：①，；②，；③,，其中为区间的正交函数的组数是（）（A）0 （B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】对①，则，为区间上的正交函数；对②，则，不为区间上的正交函数；对③，则，为区间上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在内的概率为：，故选D．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题．（8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B．【点评】本题考查《算数书》中的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）（A）（B）（C）3（D）2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得：，所以，即，，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选B．【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等．（10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】依题意，当时，，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，所以当时，的最大值为，因为对任意实数都有，，所以，，解得，故实数的取值范围是，故选B．【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2014年湖北，理11，5分】设向量，，若，则实数．【答案】【解析】因为，，因为，所以，解得．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．（12）【2014年湖北，理12，5分】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】2【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，，所以，故．【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题．（13）【2014年湖北，理13，5分】设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果．【答案】495【解析】当，则，当，则；当，则，终止循环，故输出．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．（14）【2014年湖北，理14，5分】设是定义在上的函数，且，对任意,,,，若经过点,的直线与轴的交点为，则称为,关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数．（1）当=________（）时，为的几何平均数；（2）当=________（）时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）（2）（或填（1）（2），其中为正常数均可）【解析】设，则经过点，的直线方程为，令，所以，所以当，为的调和平均数．【点评】本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，为的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若，，则_______．【答案】【解析】由切割线定理得，所以，．【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】由，消去得，由得，解方程组，得与的交点坐标为．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为，又，所以，当时，；当时，，于是在上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．（2）依题意，当时实验室需要降温，由（1）得，故有，即，又，因此，即，在10时至18时实验室需要降温．（18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，解得或，当时，；当时，，从而得数列的通项公式为或．（2）当时，，显然，此时不存在正整数，使得成立，当时，，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且．（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接，由是正方体，知，当时，是的中点，又是的中点，所以，所以，而平面，且平面，故直线平面．（2）如图2，连接，因为，分别是，的中点，所以，且，又，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，，于是，所以四边形是等腰梯形．同理可证四边形是等腰梯形．分别取的中点为，连接，则，而，故是面与面所成的二面角的平面角．若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，连接，，则由，且，知四边形是平行四边形，连接，因为，是，的中点，所以，在中，，，由，得，解得，故存在，使面与面所成的二面角为直二面角．解法二：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标年入流量X40<X<8040X80X>120发电机最多可运行台数123系，由已知得，，，，，，，．（1）当时，，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面．（2）设平面的一个法向量为，则由，可得，于是可取，同理可得平面的一个法向量为，若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得．故存在，使面与面所成的二面角为直二面角．（20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，，，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为．（2）记水电站年总利润为（单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，．（3）安装3台发电机的情形：当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为．（1）求轨迹为的方程；（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围．解：（1）设点，依题意得，即，化简整理得，故点的轨迹的方程为．（2）在点的轨迹中，记，依题意，可设直线的方程为，由方程组，可得①（1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（2）当时，方程①的判别式为②设直线与轴的交点为，则由，令，得③（ⅰ）若由②③解得，或，即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点．（ⅱ）若或，由②③解得，或，即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点，当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点．（ⅲ）若由②③解得，或，即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点．综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）求这6个数中的最大数与最小数；（3）将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因为，所以，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中．由及（1）的结论，得，即．由，得，所以；由，得，所以．综上，6个数中最大数是，最小数是．（3）由（2）知，，又由（2）知，，得故只需比较与和与的大小，由（1）知，当时，，即，在上式中，令，又，则，从而，即得①由①得，，即，亦即，所以，又由①得，，即，所以．综上可得，，即6个数从小到大的顺序为．。
2014年高考(湖北卷)(理)试卷及答案(纯word版)
湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1-B ．1C ．i -D ．i1．A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A.2．若二项式7(2)a x x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a =A ．2BC ．1D2．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C.3．设U 为全集.A ,B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，⊆B ∁U C ”是“A B =∅”的A ．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C[解析] 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A ∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁U C，故“存在集合C使得A ⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.4．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy bx a=+，则A．0b<a>，0b>B．0a>，0C．0a<，0b<b>D．0a<，04．B[解析]观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B.5．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为数学（理工类）第2页（共6页）数学（理工类） 第3页（共6页）A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．若函数()f x , ()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称()f x , ()g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数. 给出三组函数：①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,()1f x x g x x =+=-；③2(),()f x x g x x ==.其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是 A ．0 B ．1C ．2D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ²x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .7．由不等式组0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式组1,2x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区图③ 图①图④图②第5题图数学（理工类） 第4页（共6页）域记为2Ω. 在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为A ．18B ．14C ．34D ．787．D [解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12³2³2＝2，S △BCE ＝12³1³12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.数学（理工类） 第5页（共6页）8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227 B ．258 C ．15750D ．355113 8．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．已知12F F ，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A.B. C. 3 D. 2 9．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13³3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--.若x ∀∈R ，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为A ．11[,]66-B ．[C ．11[,]33- D ．[ 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.数学（理工类） 第6页（共6页）综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设向量(3,3)=a ，(1,1)=-b . 若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ= .11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += . 12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1³sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = . 13．495 [解析] 取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693；第13题图数学（理工类） 第7页（共6页）由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495.14. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >. 对任意0a >，0b >，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b . 例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为,a b 的算术平均数.（Ⅰ）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的几何平均数； （Ⅱ）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)[解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f (x )＝x (x >0)． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O 外一点，过P 点作O 的两条切线，切点分别为A ,B . 过PA 的中点Q作割线交O 于C ,D 两点. 若1QC =，3CD =，则PB = .数学（理工类） 第8页（共6页）15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1³(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=. 则1C 与2C 交点的直角坐标 为 . 16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】（Ⅰ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 第15题图数学（理工类） 第9页（共6页）当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.（Ⅱ）依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（Ⅰ）得 ππ()102sin()123f t t =-+，故有ππ102sin()123t -+>11， 即ππ1sin()<1232t +-. 又024t ≤<，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<. 在10时至18时实验室需要降温.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.数学（理工类） 第10页（共6页）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 19．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ， 11A B ，11A D 的中点，点P ，Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（Ⅰ）当1λ=时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.数学（理工类） 第11页（共6页）几何方法：（Ⅰ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知BC 1∥AD 1. 当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1．所以BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图2，连接BD ．因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且12EF BD =．又DP BQ =，DP ∥BQ ， 所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ =BD ， 从而EF ∥PQ ，且12EF PQ =. 在R t △EBQ 和R t △FDP 中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是EQ FP =EFPQ 是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，第19题图第19题解答图2EC 1D 1 B 1 A 1BACD PQ FMN第19题解答图1EC 1D 1 B 1 A 1 BA CDPQFMN第19题解答图3G O H数学（理工类） 第12页（共6页）则GO PQ ⊥，HO PQ ⊥，而GO HO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=． 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==. 在△GOH 中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+，222211(2)(2)2OG λλ=+--=-+， 由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得1λ=±，故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 向量方法：以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D －xyz ． 由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ．1(2,0,2)BC =-，(1,0,)FP λ=-，(1,1,0)FE =．（Ⅰ）证明：当1λ=时， (1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩ 于是可取(,,1)λλ=-n ．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)λλ=--m ．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则(2,2,1)(,,1)0λλλλ⋅=--⋅-=m n ，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得1λ=±．故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．数学（理工类） 第13页（共6页）20．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站. 过去50年的水文资料显示，水库年．入流量．．．X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和. 单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（Ⅰ）求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】（Ⅰ）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==， 35(120)0.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991C (1)C (1)()4()()0.9477101010p p p p =-+-=+⨯⨯=.（Ⅱ）记水电站年总利润为Y (单位：万元).（1）安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此23(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，数学（理工类） 第14页（共6页）因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此(9200)(80120)P Y P X ==≤≤=2p 0.7=；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分布列如下综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.【解析】（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③数学（理工类） 第15页（共6页）（ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 22．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（Ⅲ）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．数学（理工类） 第16页（共6页）故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln 3eln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>； 由ln 3ln e3e<，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <．又由（Ⅱ）知，ln πlneπe<，得e ππe <． 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小．由（Ⅰ）知，当0e x <<时，1()(e)e f x f <=，即ln 1e x x <．在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得eln π2π>-． ① 由①得，e 2.72eln πe(2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.0243π 3.1>->⨯->⨯-=>，即eln π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<． 又由①得，3e3ln π66e ππ>->->，即3ln ππ>，所以π3e π<． 综上可得，e 3e π3π3e πe π3<<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3．。
2014年高考数学湖北卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 因为()221i 1i 2i i 1i 1i 2---===-+-，所以()221i i 11i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，故选A . 2. 解析 ()77177271C 22C rrrr r rr r a T x a x x --+-⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭.令273r -=，则5r =. 由25572C 84a ⋅=得1a =，故选C .3. 解析 由韦恩图易知充分性成立.反之，AB =∅时，不妨取UC B=ð，此时A C ⊆.必要性成立. 故选C .4. 解析 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图，由图可知0b <，0a >. 故选B .5. 解析 设()002A，，，()220B ，，，()121C ，，，()222D ，，，因为B ，C ，D 在平面yOz 上的投影的坐标分别为()020，，，()021，，，()022，，，点()002A ，，在平面yOz 上，又点C 的横坐标小于点B 和D 的横坐标，所以该几何体的正视图为图④.因为点A ，C ，D 在平面xOy 上的投影坐标分别为()000，，，()120，，，()220，，，点()220B ，，在平面xOy 上，所以该几何体的俯视图为图②. 故选D .评注 本题考查了空间直角坐标系和三视图，考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各项点的坐标画出几何体的直观图再求解.6. 解析 由①得()()111sin cos sin 222f xg x x x x ==，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上正交函数；由②得()()21f x g x x =-，所以()()()31121114d 1d 133x f x g x x x x x --⎛⎫=-=-=- ⎪-⎝⎭⎰⎰，所以②不是区间[]1,1-上的正交函数；由③得()()3f x g x x =，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上的正交函数. 故选C .7. 解析 区域1Ω为直角AOB △及其内部，其面积12222AOB S =⨯⨯=△.区域2Ω是直线1x y +=和2x y +=-夹成的条形区域.由题意得所求概率127428AODC AOB S P S -===四边形△.故选D .评注 本题考查了可行域和概率的基础知识.正确理解可行域的概念和掌握概率的求法是求解的关键.8. 解析 圆锥的体积22211ππ332π12πL L h V r h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由题意得7512π2≈，π近似取为258，故选B .9. 解析 解法一: 设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，离心率为1e ，双曲线的方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，12,F F 分别为左，右焦点，则易知1211222,2,PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得112212,.PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12F PF △中，由余弦定理得()()()()222121212122cos 604a a a a a a a a c ++--+⋅-=，整理得2221234a a c +=，所以22122234a a c c +=，即2212134e e +=.设121,e e ⎛= ⎝⎭a，1,3⎛= ⎝⎭b ，所以1211e e +=⋅⋅==…a b a b ，故1211e e +的最大值是13，故选A. 解法二：不妨设P 在第一象限，1PF m =，2PF n =.在12F PF △中，由余弦定理得2224m n mn c +-=.设椭圆的长轴长为12a ，离心率为1e ，双曲线的实轴长为22a ，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，则12121122m n m na a m e e c c c+-+++===. 所以22222221211441m m e e c m n mn n n m m⎛⎫+=== ⎪+-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，易知21n n m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为34.故12max11e e ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选A. 评注 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质；考查了利用不等式和函数求最值的基本方法.本题对运算能力的要求较高.10. 解析 当0x …时，()2222223, 2,, 2,, 0,x a x a f x a a x a x x a ⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩…剟画出图像，再根据()f x 是奇函数补全图像.因为满足x ∀∈R ，()()1f x f x -…，所以261a …，即66a -剟.故选B.11. 解析=ab =()31310⋅⨯+⨯-=a b =.因为()()b b λλ+⊥-a a ，所以()()22221820b b b λλλλ+⋅-=-=-=a a a .故3λ=±.x-1()评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出和的值时解题的关键.12. 解析 由题意知直线1l 和2l 与单位圆C 所在的位置如图.因此11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩故22112a b +=+=.评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a 和b 的值是解题的关键.13. 解析 设组成数a 的三个数字是m ，n ，p ，其中19m n p <<剟，所以()()b Da I a =-=()100101001099p n m m n p p m ++---=-=()()()()10010019010p m p m p m p m ---=--++-+，即数b 的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a 的十位数字是9，设a 的另两个数字是x ，y ， 其中18y x<剟，此时()90010Da x y =++，()100109I a y x =++， 89199b y =-，若8919910090y x y -=++，则()801100x y =+，无解.若8919910090y y x -=++，则801199y x =+，解得5x =，4y =.所以495b =.14. 解析 （I ）若(),f M a b 是a ，b 的几何平均数，则c 由题意知，()(),a f a)，()(),b f b -0f a f b -+=f a f b，所以可取()f x .（II ）若(),f M a b 是a ，b 的调和平均数，则2ab c a b =+，由题意知()(),a f a ，2,0ab a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，()(),b f b -共线，所以()()22f x f b ab ab a ba b a b=--++，化简得()()f a f b a b =，所以可取()f xx =.15. 解析 由切割线定理得()21134QAQC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，因为Q 为PA 的中点，所以24PA QA ==.故4PB PA ==. 16. 解析 曲线1C为射线y x =()0x ….曲线2C为圆224x y +=.设P 为1C 与2C 的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q ，因为tan POQ ∠=，所以30POQ ∠=，又因为2OP =，所以1C 与2C 的交点P的直角坐标为).评注 本题考查了参数方程和极坐标方程.容易忽视0x …，误认为1C为直线y x =. 17. 解析 （I ）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C . （II ）依题意，当()11f t …时实验室需要降温.由（I ）得()ππ102sin 123f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 故有ππ102sin 11123t ⎛⎫-+>⎪⎝⎭，即ππ1s i n 1232t ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭.又024t <…，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<.在10时至18时实验室需要降温.评注 本题考查了正弦函数的性质，考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一，应充分重视.18. 解析 （I ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意2，2d +，24d +，成等比数列，故有()()22224d d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =.当0d =时，2n a =；当4d =时，()21442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（II ）当2n a =时，2n S n =.显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，()224222n n n S n ⎡+-⎤⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.评注 本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了分类讨论的方法. 19. 解析 解法一：（几何方法）（I ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知1//BC AD .当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD .所以1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）如图2，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12E F B D=.又DP BQ =，//DP BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =.在Rt EBQ △和Rt FDP △中，因为BQ =DP =λ，1BE=DF=，于是EQ=，所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形. 分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则G O P Q ⊥，HO PQ ⊥，而GOHO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=.连接EM ，FN ，则由//EF MN ，且E F M N =，知四边形EFNM 是平行四边形.连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==.在GOH △中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+⎝⎭，()()222211222OG λλ=+--=-+⎝⎭， 由222OG OH GH +=，得()22112422λλ-+++=，解得1λ=±， 图1N QPF E M D 1C 1B 1A 1DCB故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.解法二：（向量方法）以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -. 由已知得()2,2,0B，()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()0,0,P λ.()12,0,2BC =-，()1,0,FP λ=-，()1,1,0FE =.GO H图2E FM PQ N D 1C 1B 1A 1DCB A（I ）证明：当1λ=时，()1,0,1FP =-，因为()12,0,2BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩于是可取(),,1λλ=-n .同理可得平面MNPQ 的一个法向量为()2,2,1λλ=--m .若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10λλλλ⋅--⋅-=m n =，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±.故存在1λ=±，使使面EFPQ 与面P Q M N 所成的二面角为直二面角.评注 本题考查了线面平行的证明方法和二面角的计算.体现了利用平面的法向量解决二面角中有关求值问题的优势.充分利用方程的思想方法是解题的关键.20. 解析 （I ）依题意，()11040800.250p P X =<<==，()235801200.750p P X ===剟，()351200.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为()()43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（II ）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.由于水库年人流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应得年利润5000Y =，()500015000EY =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行， 此时50008004200Y =-=，因此()()1420040800.2PY P X p ==<<==；当80X …时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X p p ===+=…；由此得Y所以，()42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此()()1340040800.2P Y P X p ==<<==；当80120X 剟时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 因此()()29200801200.7P Y P X p ====剟；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分部列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.评注 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.21.解析 （I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x =+，化简整理得()221y x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+.由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=.①（1）当0k =时，此时1y =.把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-.② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-.③ （i ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >.即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ii)若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<….即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点. 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. （iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<. 即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 评注 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用判别式时求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线()00y x =<就会造成错解二失分.22.解析 （I ）函数()f x 的定义域为()0,+∞.因为()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=. 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减.故函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞.（II ）因为e 3π<<，所以e ln 3e ln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<. 于是根据函数ln y x =，e xy =，πxy =在定义域上单调递增， 可得e e 33ππ<<，3ππe e 3<<.故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中. 由e 3π<<及（I ）的结论，得()()()π3e f f f <<，即ln πln 3ln e π3e<<.由ln πln 3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>；由l n 3l n e3e <，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <. 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3.(III)由（II ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <.又由（II ）知，ln πln eπe<，得e ππe <. 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小.由（I ）知，当0e x <<时，()()1e e f x f <=，即l n 1e x x <.在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得e ln π2π>-.①由①得，()e 2.72eln πe 2 2.72 2.720.88 3.0243π 3.1⎛⎫⎛⎫>->⨯->⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即e l n π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<.又由①得，3e3ln π>66e ππ->->，即3ln ππ>， 所以π3e π<.综上可得，e 3e π3π3e πe <π3<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.评注 本题考查了函数和导数的综合应用；考查了不等式求解的能力，考查了分析问题、解决问题的综合能力.充分考查了考生的综合素质.在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力.。
2014年湖北省高考理科数学22试题Word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ）A. 1-B. 1C. i -D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和②6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin )(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________17、（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式.（2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2
)11(i
i （ ）
A. 1-
B. 1
C. i -
D. i 2. 若二项式7
)2(x
a x +的展开式中
3
1
x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B.
5
4 C. 1 D.
4
2 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.根据如下样本数据
得到的回归方程为a bx y
+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a
5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），
（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A. ①和②
B.③和①
C. ④和③
D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11
-=⎰
-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组
函数： ①x x g x x f 2
1
cos )(,21sin
)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
7.由不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥≤0
200
x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1
Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.8
7
8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2
1.36
v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2
275
v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258
C.15750
D.355113
9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=,则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.3
B.3
C.3
D.2
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题
号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）
11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()
a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.
12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则2
2
a b +=________. 13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.
14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()
b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,
c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当
())0(1>=x x f 时，可得2
),(b
a c
b a M f +=
=，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数b
a ab
+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
（二）选考题
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若
,3,1==CD QC 则_____=PB
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________
17、（本小题满分11分）
某实验室一天的温度（单位
：
）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系
；
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
18（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.
（1） 求数列
的通项公式.
（2） 记为数列
的前n 项和，是否存在正整数n ，使得
若存在，求n 的最小值；
若不存在，说明理由.
19(本小题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点
Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .
（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;
（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关
系；
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的
轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程
(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点
时k 的相应取值范围。