2014年高考试题：理科数学(湖北卷)_中小学教育网
2014年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）可先计算出的值，再计算平方的值．解：由于（2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）2x+的展开式即（+2x，代入得：3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，解：对于①：x cos x dx=（﹣对于②：（dx=（（）对于③：（7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为B，面积为，解得（，S=，，8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）BL=（．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）B，cos）×+）=当且仅当，cos ，得，=m，的最大值为10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x 222，]，，]，，解得：的取值范围是二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．解：∵向量=，||=3|，向量=3+λ）⊥（﹣λ+λ﹣λ12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2．）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的=，====13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b ＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可），，，﹣，x=c==，）的直线方程为，x=c=故答案为：的直线方程为=x=c=的调和平均数15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．（，求得交点的直角坐标为（，17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？t+（t+，即＜t+＜﹣（t+≤t+＜，故当t+=时，t+=时，即（t+）t+）（t+）＜﹣＜t+＜18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．=19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．=2，可得===，=2=，则==•±．±20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？，21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．的方程为；由方程组，解得．∈或时，直线或时，直线，解得﹣＜﹣＜或时，直线∈，时，直线22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．，即，又由（Ⅱ）知，时，，ln＜，，π，∴，，，得=，即x=，又ln＜，π．①﹣﹣﹣。
【推荐】2014年湖北省高考数学试卷(理科)
2014年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B ．C．1 D ．C”3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a，则（）a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ． B ．C ．3D ．2 10．（5分）已知函数f （）是定义在R 上的奇函数，当≥0时，f （）=（|﹣a 2|+|﹣2a 2|﹣3a 2），若∀∈R ，f （﹣1）≤f （），则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣，]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ．12．（5分）直线l 1：y=+a 和l 2：y=+b 将单位圆C ：2+y 2=1分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= ．13．（5分）设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a=815，则I （a ）=158，D （a ）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b= ．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．1 D．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为﹣3，求出a即可．【解答】解：二项式（2+）7的展开式即（+2）7的展开式中﹣3项的系数为84，==，所以Tr+1令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A ∩B=∅”；若“A ∩B=∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C ．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a ，则（ ）a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b 、a 的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a ＞0． 故选：B ．【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．【解答】解：对于①：[sin•cos]d=（sin）d=﹣cos=0，∴f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（+1）（﹣1）d=（2﹣1）d=（）≠0，∴f（），g （）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：3d=（）=0，∴f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V ≈L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ，∴=（2πr ）2h ，∴π=． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．B ．C ．3D ．2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2， 即，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2， 即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，（a 1＞a 2），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos =（r 1）2+（r 2）2﹣r 1r 2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则，则a 1+a 2=m ，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）已知函数f（）是定义在R上的奇函数，当≥0时，f（）=（|﹣a2|+|﹣2a2|﹣3a2），若∀∈R，f（﹣1）≤f（），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】把≥0时的f（）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得＜0时的函数的最大值，由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当≥0时，f（）=，由f（）=﹣3a2，＞2a2，得f（）＞﹣a2；当a2＜≤2a2时，f（）=﹣a2；由f（）=﹣，0≤≤a2，得f（）≥﹣a2．∴当＞0时，．∵函数f（）为奇函数，∴当＜0时，．∵对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ±3 ．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（﹣λ），则（+λ）•（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）直线l1：y=+a和l2：y=+b将单位圆C：2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 2 ．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= 495 ．【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【分析】（1）设f（）=，（＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．（2）设f（）=，（＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．【解答】解：（1）设f（）=，（＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，∴当f（）=，（＞0）时，M（a，b）为a，b的几何平均数，f故答案为：．（2）设f（）=，（＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，∴当f（）=（＞0）时，M（a，b）为a，b的调和平均数，f故答案为：．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= 4 ．【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．【解答】解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为2=3y2（≥0，y≥0），即y=（≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为2+y2=4．解方程组，再结合＞0、y＞0，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Sn 为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn 根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n =2，当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2．（Ⅱ）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，当a n =4n ﹣2时，S n ==2n 2，令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．∥FP，利用线面平行的【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥平面EFPQ；判定定理，可以证明直线BC1（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为，y，轴的正1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C10），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∥FP，∴BC1∵FP⊂平面EFPQ，BC⊄平面EFPQ，1∥平面EFPQ；∴直线BC1（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（，y，），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【分析】（1）依题意，p 1=0.2，p 2=0.7，p 3=0.1．由二项分布能求出在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站年总利润为Y ，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．【解答】解：（1）依题意，p 1=P （40＜＜80）==0.2， p 2=P （80≤≤120）==0.7，p 3=P （＞120）==0.1．由二项分布得，在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p=（1﹣p3）4+（1﹣p 3）3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477．…（5分）（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E （Y ）=1000×1=1000．…（7分）②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P （Y=840）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P （Y=2 000）=P （≥80）=p 2+p 3=0.8．由此得Y 的分布列如下：0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680， 因此P （Y=680）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当80≤≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，因此P （Y=1840）=P （80≤≤120）=p 2=0.7；当＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，因此P（Y=3 000）=P（＞120）=p3=0.1．由此得Y的分布列如下：×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=（+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=（+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），依题意得：|MF|=||+1，即，化简得，y2=2||+2．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2=4（≥0），C 2：y=0（＜0）． 依题意，可设直线l 的方程为y ﹣1=（+2）． 由方程组，可得y 2﹣4y+4（2+1）=0．①当=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C 的方程，得．故此时直线l ：y=1与轨迹C 恰好有一个公共点（）． ②当≠0时，方程y 2﹣4y+4（2+1）=0的判别式为△=﹣16（22+﹣1）． 设直线l 与轴的交点为（0，0），则由y ﹣1=（+2），取y=0得． 若，解得＜﹣1或＞． 即当∈时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． 若或，解得=﹣1或=或．即当=﹣1或=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．故当=﹣1或=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． 若，解得﹣1＜＜﹣或0＜＜．即当﹣1＜＜﹣或0＜＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点．此时直线l 与C 恰有三个公共点．综上，当∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（）＞0，f′（）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜＜e时，．，令=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；【解答】解：（Ⅰ）函数f（）的定义域为（0，+∞），∵f（）=，∴f′（）=，当f′（）＞0，即0＜＜e时，函数f（）单调递增；当f′（）＜0，即＞e时，函数f（）单调递减．故函数f（）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜＜e时，f（）＜f（e）=，即．在上式中，令=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D.i3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ）A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.35511310.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）二．填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB.16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A.1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6. 若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.87 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。
【精校】2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学理
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i为虚数单位，()2=( )A. -1B. 1C. -iD. i解析：由于，所以()2=(-i)2=-1.答案：A.2.若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a=( )A. 2B.C. 1D.解析：二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中x-3项的系数为84，所以T r+1==，令-7+2r=-3，解得r=2，代入得：，解得a=1，答案：C.3.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( )A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由题意A⊆C，则C U C⊆C U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆C U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件.答案：C.4.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则( )A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜0解析：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过(3，4)与(4，3.5)附近，所以a＞0.答案：B.5.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②解析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，答案：D.6.若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx=0，则f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)=sin x，g(x)=cos x；②f(x)=x+1，g(x)=x-1；③f(x)=x，g(x)=x2，其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：对于①：[sin x•cos x]dx=(sinx)dx=cosx=0，∴f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数；对于②：(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx=()≠0，∴f(x)，g(x)不为区间[-1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=()=0，∴f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，答案：C.7.由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.B.C.D.解析：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C(0，1)，由，解得，即D(，)，则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，答案：D.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.B.C.D.解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=(2πr)2，∴=(2πr)2h，∴π= .答案：B.9.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C. 3D. 2解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，(a＞a1)，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|-|PF2|=2a1，则|PF1|=a+a1|，|PF2|=a-a1，∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos，即4c2=a2+3a12，则4-，即，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.答案：B10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，若∀x∈R，f(x-1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )A. [-，]B. [-，]C. [-，]D. [-，]解析：当x≥0时，f(x)=，由f(x)=x-3a2，x＞2a2，得f(x)＞-a2；当a2＜x＜2a2时，f(x)=-a2；由f(x)=-x，0≤x≤a2，得f(x)≥-a2.∴当x＞0时，.∵函数f(x)为奇函数，∴当x＜0时，.∵对∀x∈R，都有f(x-1)≤f(x)，∴2a2-(-4a2)≤1，解得：.故实数a的取值范围是.答案：B.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.11.设向量=(3，3)，=(1，-1)，若(+λ)⊥(-λ)，则实数λ=.解析：∵向量=(3，3)，=(1，-1)，∴向量||=3，||=，向量•=3-3=0，若(+λ)⊥((-λ))，则(+λ)•((-λ)=，即18-2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，答案：±3，12.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= . 解析：由题意可得，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，答案：2.13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= .解析：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321-123=198；第二次循环a=198，b=981-189=792；第三次循环a=792，b=972-279=693；第四次循环a=693，b=963-369=594；第五次循环a=594，b=954-459=495；第六次循环a=495，b=954-459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495.答案：495.三、解答题14.设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且f(x)＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点(a，f(a))，(b，-f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)=1(x＞0)时，可得M f(a，b)=c=，即M f(a，b)为a，b 的算术平均数.(1)当f(x)= (x＞0)时，M f(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)= (x＞0)时，M f(a，b)为a，b的调和平均数；(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析：(1)设f(x)=，(x＞0)，在经过点(a，)、(b，-)的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论.(2)设f(x)=x，(x＞0)，在经过点(a，a)、(b，-b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论.答案：(1)设f(x)=，(x＞0)，则经过点(a，)、(b，-)的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f(x)=，(x＞0)时，M f(a，b)为a，b的几何平均数，(2)设f(x)=x，(x＞0)，则经过点(a，a)、(b，-b)的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f(x)=x(x＞0)时，M f(a，b)为a，b的调和平均数，15.如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q 作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= .解析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB.答案：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4.16.已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为.解析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标.答案：把曲线C1的参数方程是(t为参数)，消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 (x≥0，y≥0).曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4.解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为(，1)，17.(11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10-，t∈[0，24)(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解析：(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10-2sin(t+)，t∈[0，24)，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差.(Ⅱ)由题意可得，当f(t)＞11时，需要降温，由f(t)＞11，求得sin(t+)＜-，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论.答案：(Ⅰ)∵f(t)=10-=10-2sin(t+)，t∈[0，24)，∴≤t+＜，故当t-=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10-2=8，故实验室这一天的最大温差为12-8=4℃.(Ⅱ)由题意可得，当f(t)＞11时，需要降温，由(Ⅰ)可得f(t)=10-2sin(t+)，由10-2sin(t+)＞11，求得sin(t+)＜-，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温.18.(12分)(已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断.答案：(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化简得d2-4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+(n-1)•4=4n-2.(Ⅱ)当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n-2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2-30n-400＞0，解得n＞40，或n＜-10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n-2时，存在满足题意的正整数n，最小值为4119.(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ(0＜λ＜2)(Ⅰ)当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论.答案：(Ⅰ)以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，∴=(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)λ=1时，=(-2，0，2)，=(-1，0，1)，∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为=(x，y，z)，则，∴取=(λ，-λ，1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ-2，2-λ，1)，若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0，∴λ=1±.∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.20.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解析：(Ⅰ)先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到. 答案：(Ⅰ)依题意，p1=P(40＜X＜80)=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位，万元)(1)安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000，(2)安装2台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，因此P(Y=4200)=P(40＜X＜80)=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.(2)安装3台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，因此P(Y=3400)=P(40＜X＜80)=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2-800=9200，因此，P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P(Y=15000)=P(X＞120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.21.(14分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程；(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析：(Ⅰ)设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设出直线l的方程为y-1=k(x+2)，和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到.然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.答案：(Ⅰ)设M(x，y)，依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x.∴点M的轨迹C的方程为；(Ⅱ)在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x(x≥0)，C2：y=0(x＜0).依题意，可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组，可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得.故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点().②当k≠0时，方程ky2-4y+4(2k+1)=0的判别式为△=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y-1=k(x+2)，取y=0得.若，解得k＜-1或k＞.即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或，解得k=-1或k=或.即当k=-1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点.当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点.故当k=-1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若，解得-1＜k＜-或0＜k＜.即当-1＜k＜-或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点.此时直线l与C恰有三个公共点.综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{-1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点.点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方22.(14分)π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间；(Ⅱ)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；(Ⅲ)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.解析：(Ⅰ)先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0即可得到单调增、减区间；(Ⅱ)由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.由e＜3＜π及(Ⅰ)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即，由此进而得到结论；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由(Ⅱ)知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)可得0＜x＜e时，.，令x=，有ln＜，从而2-lnπ，即得lnπ.①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；答案：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，∵f(x)=，∴f′(x)=，当f′(x)＞0，即0＜x＜e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0，即x＞e时，函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，+∞).(Ⅱ)∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.由e＜3＜π及(Ⅰ)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(Ⅲ)由(Ⅱ)知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由(Ⅱ)知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)知，当0＜x＜e时，f(x)＜f(e)=，即.在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2-lnπ，即得lnπ.①由①得，elnπ＞e(2-)＞2.7×(2-)＞2.7×(2-0.88)=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe.又由①得，3lnπ＞6-＞6-e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3.综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. 为虚数单位，A. －1B.1C. －D.【解题提示】利用复数的运算法则进行计算【解析】选A.2.若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝A. 2B.C.1D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解析】选C. 因为，令，得，所以，解得a＝1.3.设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断【解析】选C. 依题意，若，则，当，可得；若，不妨另，显然满足，故满足条件的集合是存在的.4.x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为，则A. B. C. D.【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的与的符号问题【解析】选B.画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以，5..在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D. 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x)，满足，则称f(x)，为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③其中为区间的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解析】选C. 对①，，则、为区间上的正交函数；对②，，则、不为区间上的正交函数；对③，，则、为区间上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）A. B. C. D.【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在内的概率为.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i1．A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A.2．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.242．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x 3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C. 3． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.4．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．B [解析]观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B.5．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，A ．①和②B 5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析] 作出Ω1，Ω2S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227 B .258 C.15750 D.3551138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .433 B.233C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．[2014·湖北卷] 设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．13．495 [解析] 取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495. 14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f (x )＝x (x >0)．15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲) 如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若．15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. 17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ .(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln x x的单调区间； (2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e . 由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π. 故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e， 即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－e π.① 由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3e π>6－e>π，即3ln π>π， 所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.。
【推荐】2014年湖北省高考数学试卷(理科)
2014年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B ．C．1 D ．C”3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a，则（）a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ． B ．C ．3D ．2 10．（5分）已知函数f （）是定义在R 上的奇函数，当≥0时，f （）=（|﹣a 2|+|﹣2a 2|﹣3a 2），若∀∈R ，f （﹣1）≤f （），则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣，]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ．12．（5分）直线l 1：y=+a 和l 2：y=+b 将单位圆C ：2+y 2=1分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= ．13．（5分）设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a=815，则I （a ）=158，D （a ）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b= ．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．1 D．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为﹣3，求出a即可．【解答】解：二项式（2+）7的展开式即（+2）7的展开式中﹣3项的系数为84，==，所以T令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A ∩B=∅”；若“A ∩B=∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C ．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a ，则（ ）a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b 、a 的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a ＞0． 故选：B ．【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．【解答】解：对于①：[sin•cos]d=（sin）d=﹣cos=0，∴f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（+1）（﹣1）d=（2﹣1）d=（）≠0，∴f（），g （）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：3d=（）=0，∴f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V ≈L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ， ∴=（2πr ）2h ，∴π=． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．B ．C ．3D ．2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2， 即，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2， 即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，（a 1＞a 2），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos =（r 1）2+（r 2）2﹣r 1r 2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则，则a 1+a 2=m ，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）已知函数f（）是定义在R上的奇函数，当≥0时，f（）=（|﹣a2|+|﹣2a2|﹣3a2），若∀∈R，f（﹣1）≤f（），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】把≥0时的f（）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得＜0时的函数的最大值，由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当≥0时，f（）=，由f（）=﹣3a2，＞2a2，得f（）＞﹣a2；当a2＜≤2a2时，f（）=﹣a2；由f（）=﹣，0≤≤a2，得f（）≥﹣a2．∴当＞0时，．∵函数f（）为奇函数，∴当＜0时，．∵对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ±3 ．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（﹣λ），则（+λ）•（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）直线l1：y=+a和l2：y=+b将单位圆C：2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 2 ．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= 495 ．【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【分析】（1）设f（）=，（＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．（2）设f（）=，（＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．【解答】解：（1）设f（）=，（＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，（a，b）为a，b的几何平均数，∴当f（）=，（＞0）时，M故答案为：．（2）设f（）=，（＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，∴当f（）=（＞0）时，M（a，b）为a，b的调和平均数，f故答案为：．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= 4 ．【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．【解答】解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为2=3y2（≥0，y≥0），即y=（≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为2+y2=4．解方程组，再结合＞0、y＞0，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Sn 为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn 根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n =2，当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2．（Ⅱ）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，当a n =4n ﹣2时，S n ==2n 2，令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．∥FP，利用线面平行的【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥平面EFPQ；判定定理，可以证明直线BC1（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为，y，轴的正1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C10），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∥FP，∴BC1∵FP⊂平面EFPQ，BC⊄平面EFPQ，1∥平面EFPQ；∴直线BC1（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（，y，），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【分析】（1）依题意，p 1=0.2，p 2=0.7，p 3=0.1．由二项分布能求出在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站年总利润为Y ，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．【解答】解：（1）依题意，p 1=P （40＜＜80）==0.2， p 2=P （80≤≤120）==0.7，p 3=P （＞120）==0.1．由二项分布得，在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p=（1﹣p3）4+（1﹣p 3）3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477．…（5分）（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E （Y ）=1000×1=1000．…（7分）②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P （Y=840）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P （Y=2 000）=P （≥80）=p 2+p 3=0.8．由此得Y 的分布列如下：0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680， 因此P （Y=680）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当80≤≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，因此P （Y=1840）=P （80≤≤120）=p 2=0.7；当＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，因此P（Y=3 000）=P（＞120）=p3=0.1．由此得Y的分布列如下：×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=（+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=（+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），依题意得：|MF|=||+1，即，化简得，y2=2||+2．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2=4（≥0），C 2：y=0（＜0）． 依题意，可设直线l 的方程为y ﹣1=（+2）． 由方程组，可得y 2﹣4y+4（2+1）=0．①当=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C 的方程，得．故此时直线l ：y=1与轨迹C 恰好有一个公共点（）． ②当≠0时，方程y 2﹣4y+4（2+1）=0的判别式为△=﹣16（22+﹣1）． 设直线l 与轴的交点为（0，0），则由y ﹣1=（+2），取y=0得． 若，解得＜﹣1或＞． 即当∈时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． 若或，解得=﹣1或=或．即当=﹣1或=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．故当=﹣1或=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． 若，解得﹣1＜＜﹣或0＜＜．即当﹣1＜＜﹣或0＜＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点．此时直线l 与C 恰有三个公共点．综上，当∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（）＞0，f′（）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜＜e时，．，令=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；【解答】解：（Ⅰ）函数f（）的定义域为（0，+∞），∵f（）=，∴f′（）=，当f′（）＞0，即0＜＜e时，函数f（）单调递增；当f′（）＜0，即＞e时，函数f（）单调递减．故函数f（）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜＜e时，f（）＜f（e）=，即．在上式中，令=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)最新修正版
2014年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i 为虚数单位，（）2=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣i D ．i2．（5分）若二项式（2x +）7的展开式中的系数是84，则实数a=（ ） A ．2 B ． C ．1 D ．3．（5分）设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A ∩B=∅”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx +a ，则（ ）A．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜05．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．210．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x ﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=．12．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=．三、解答题14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．1 D．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，==，所以T r+1令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A ∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．故选：B．【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x ﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（﹣λ），则（+λ）•（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【分析】（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．【解答】解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．【解答】解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0），即y=x （x≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，再结合x＞0、y＞0，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin （t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t ∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin （t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【分析】（1）依题意，p1=0.2，p2=0.7，p3=0.1．由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站年总利润为Y，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．【解答】解：（1）依题意，p1=P（40＜X＜80）==0.2，p2=P（80≤X≤120）==0.7，p3=P（X＞120）==0.1．由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=（1﹣p3）4+（1﹣p3）3p3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477．…（5分）（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E（Y）=1000×1=1000．…（7分）②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P （Y=840）=P（40＜X＜80）=p1=0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P（Y=2 000）=P（X ≥80）=p2+p3=0.8．由此得Y的分布列如下：所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680，因此P（Y=680）=P（40＜X＜80）=p1=0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，因此P（Y=1840）=P（80≤X≤120）=p2=0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，因此P（Y=3 000）=P（X＞120）=p3=0.1．由此得Y的分布列如下：所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年高考理数真题试卷(湖北卷)
第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014年高考理数真题试卷（湖北卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. （2014•湖北）设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆⊆U C”是“A∩B=⊆”的（ ） A . 充分而不必要的条件 B . 必要而不充分的条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件2. （2014•湖北）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）= （|x ﹣a 2|+|x ﹣2a 2|﹣3a 2），若⊆x⊆R ，f （x ﹣1）≤f （x ），则实数a 的取值范围为（ ）A . [﹣ ， ]B . [﹣ ， ]C . [﹣ ， ]D . [﹣ ， ]3. （2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A . ①和②B . ③和①C . ④和③D . ④和②答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. （2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A .B .C .D .5. （2014•湖北）由不等式组 确定的平面区域记为Ω1 ， 不等式组 确定的平面区域记为Ω2 ， 在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ） A . B . C . D .6. （2014•湖北）已知F 1 ， F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且⊆F 1PF 2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A .B .C . 3D . 27. （2014•湖北）i 为虚数单位，（）2=（ ）A . ﹣1B . 1C . ﹣iD . i8. （2014•湖北）若函数f （x ），g （x ）满足 f （x ）g （x ）dx=0，则f （x ），g （x ）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f （x ）=sinx ，g （x ）=cosx ；②f （x ）=x+1，g （x ）=x ﹣1； ③f （x ）=x ，g （x ）=x 2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 39. （2014•湖北）若二项式（2x+ ）7的展开式中的系数是84，则实数a=（ ）。
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
20XX 普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 〔1〕[20XXXX ，理1，5分]i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭〔〕〔A 〕1-〔B 〕1〔C 〕i -〔D 〕i [答案]A[解析]因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． [点评]本题考查复数的运算，容易题．〔2〕[20XXXX ，理2，5分]若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =〔〕〔A 〕2〔B 〕54〔C 〕1〔D 〕24[答案]D[解析]因为()77727722xrr r r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得24a =，故选D ．[点评]本题考查二项式定理的通项公式，容易题．〔3〕[20XXXX ，理3，5分]设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅〞的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；若A B =∅，不能推出U B C C ⊆，故选A ．[点评]本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题． 〔4〕[20XXXX ，理4，5分]根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆybx a =+，则〔〕 〔A 〕0a >，0b >〔B 〕0a >，0b <〔C 〕0a <，0b >〔D 〕0a <，0b < [答案]B[解析]依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． [点评]本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题． 〔5〕[20XXXX ，理5，5分]在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔〕 〔A 〕①和②〔B 〕③和①〔C 〕④和③〔D 〕④和② [答案]D[解析]在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．[点评]本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题． 〔6〕[20XXXX ，理6，5分]若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是〔〕 〔A 〕0〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕3 [答案]C[解析]对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．[点评]新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．〔7〕[20XXXX ，理7，5分]由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为〔〕〔A 〕18〔B 〕14〔C 〕34〔D 〕78[答案]D[解析]依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．[点评]本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题．〔8〕[20XXXX ，理8，5分]《算数书》竹简于上世纪八十年代在XX 省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖〞的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为〔〕〔A 〕227〔B 〕258〔C 〕15750〔D 〕355113[答案]B[解析]设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．[点评]本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．〔9〕[20XXXX ，理9，5分]已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕〔A 〕433〔B 〕233〔C 〕3〔D 〕2[答案]B[解析]设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B ． [点评]本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理与用基本不等式求最值，难度中等．〔10〕[20XXXX ，理10，5分]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值X 围为〔〕〔A 〕11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔B 〕66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔D 〕33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ [答案]B[解析]依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a xx a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得6666a -≤≤，故实数a 的取值X 围是66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． [点评]本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值与恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 〔一〕必考题〔11-14题〕〔11〕[20XXXX ，理11，5分]设向量()3,3a =，()1,1b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=． [答案]3±[解析]因为()3,3a b λλλ+=+-，()3,3a b λλλ+=++，因为()()a b a b λλ+⊥-，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．[点评]本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．〔12〕[20XXXX ，理12，5分]直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=．[答案]2[解析]依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 4522a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． [点评]本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题．〔13〕[20XXXX ，理13，5分]设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a〔例如815a =，则()158I a =，()851D a =〕．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =． [答案]495[解析]当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．[点评]新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．〔14〕[20XXXX ，理14，5分]设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b的算术平均数．〔1〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数； 〔2〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；〔以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可〕[答案]〔1〕x 〔2〕x 〔或填〔1〕1k x 〔2〕2k x ，其中12,k k 为正常数均可〕[解析]设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．[点评]本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．〔一〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．〕〔15〕[20XXXX ，理15，5分]〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，P 为O 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． [答案]4[解析]由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． [点评]本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．〔16〕[20XXXX ，理16，5分]〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线1C 的参数方程是33x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为．[答案]()3,1[解析]由33x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 与2C 的交点坐标为()3,1．[点评]本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔17〕[20XXXX ，理17，11分]某实验室一天的温度〔单位：C ︒〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．〔1〕XX 验室这一天的最大温差；〔2〕若要XX 验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：〔1〕因为31()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． 〔2〕依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由〔1〕得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． 〔18〕[20XXXX ，理18，12分]已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．〔2〕当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．〔19〕[20XXXX ，理19，12分]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．〔1〕当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；〔2〕是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：〔1〕如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． 〔2〕如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =， 故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()22GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)22OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得212λ=±，故存在212λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知 得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -，(1,0,)FP λ-，(1,1,0)FE ． 〔1〕当1λ=时，(1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．〔2〕设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由00FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得12λ=±．故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 〔20〕[20XXXX ，理20，12分]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米〕都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． 〔1〕求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；〔2〕水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：〔1〕依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．〔2〕记水电站年总利润为Y 〔单位：万元〕〔1〕安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．〔2〕安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：所以，()E Y =〔3〕安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y PX p ==>==， 由此得所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．〔21〕[20XXXX ，理21，14分]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．〔1〕求轨迹为C 的方程；〔2〕设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值X 围．解：〔1〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+，故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x yx ≥⎧=⎨<⎩．〔2〕在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++=①〔1〕当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =， 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ 〔ⅰ〕若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． 〔ⅱ〕若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．〔ⅲ〕若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．〔22〕[20XXXX ，理22，14分]π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．〔1〕求函数xxx f ln )(=的单调区间； 〔2〕求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数；〔3〕将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：〔1〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函 数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． 〔2〕因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<与〔1〕的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e <，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e ．〔3〕由〔2〕知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由〔2〕知，ln ln ee ππ<，得e e ππ<故只需比较3e 与e π和e π与 3π的大小，由〔1〕知，当0x e <<时，1()()f x f e e <=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2lne eππ<，从而2ln eππ-<，即得ln 2eππ>-①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333eee e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
数学高考真题-2014湖北卷理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科数学一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)**为虚数单位，＝( )A.－1B.1C.－iD.i2.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) ** B. C.1 D.3.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4.根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y ** ** －0.5 **－2.0 －3.0 得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )**＞0，b ＞0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.a ＜0，b ＜05.在如图所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②6.若函数f (x )，g (x )满足⎰-11)()(x g x f d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )** B.1 C.2 D.37.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.788.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551139.已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝3π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C.3D.2 10.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-61,61B.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-66,66C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31D.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-33,33 二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)(一)必考题(11~14题)11.设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.12.直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851).阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.14.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )＞0.对任意a ＞0，b ＞0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b ).例如，当f (x )＝1(x ＞0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数. (1)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab a ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)(二)选考题(请在第15，16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分)15.(选修4-1：几何证明选讲)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点.若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.16.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系f (t )＝10－3cos 12πt －sin 12πt ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年．入流量．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X ＜80 80≤X ≤120 X ＞120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.22.(本小题满分14分)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数.(1)求函数f (x )＝ln x x的单调区间； (2)求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.。
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2014年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B ．C．1 D ．C”3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a，则（）a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ． B ．C ．3D ．2 10．（5分）已知函数f （）是定义在R 上的奇函数，当≥0时，f （）=（|﹣a 2|+|﹣2a 2|﹣3a 2），若∀∈R ，f （﹣1）≤f （），则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣，]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ．12．（5分）直线l 1：y=+a 和l 2：y=+b 将单位圆C ：2+y 2=1分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= ．13．（5分）设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a=815，则I （a ）=158，D （a ）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b= ．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．1 D．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为﹣3，求出a即可．【解答】解：二项式（2+）7的展开式即（+2）7的展开式中﹣3项的系数为84，==，所以Tr+1令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A ∩B=∅”；若“A ∩B=∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C ．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a ，则（ ）a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b 、a 的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a ＞0． 故选：B ．【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．【解答】解：对于①：[sin•cos]d=（sin）d=﹣cos=0，∴f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（+1）（﹣1）d=（2﹣1）d=（）≠0，∴f（），g （）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：3d=（）=0，∴f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V ≈L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ，∴=（2πr ）2h ，∴π=． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．B ．C ．3D ．2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2， 即，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2， 即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，（a 1＞a 2），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos =（r 1）2+（r 2）2﹣r 1r 2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则，则a 1+a 2=m ，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）已知函数f（）是定义在R上的奇函数，当≥0时，f（）=（|﹣a2|+|﹣2a2|﹣3a2），若∀∈R，f（﹣1）≤f（），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】把≥0时的f（）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得＜0时的函数的最大值，由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当≥0时，f（）=，由f（）=﹣3a2，＞2a2，得f（）＞﹣a2；当a2＜≤2a2时，f（）=﹣a2；由f（）=﹣，0≤≤a2，得f（）≥﹣a2．∴当＞0时，．∵函数f（）为奇函数，∴当＜0时，．∵对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ±3 ．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（﹣λ），则（+λ）•（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）直线l1：y=+a和l2：y=+b将单位圆C：2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 2 ．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= 495 ．【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【分析】（1）设f（）=，（＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．（2）设f（）=，（＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．【解答】解：（1）设f（）=，（＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，（a，b）为a，b的几何平均数，∴当f（）=，（＞0）时，M故答案为：．（2）设f（）=，（＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，∴当f（）=（＞0）时，M（a，b）为a，b的调和平均数，f故答案为：．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= 4 ．【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．【解答】解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为2=3y2（≥0，y≥0），即y=（≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为2+y2=4．解方程组，再结合＞0、y＞0，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin （t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Sn 为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn 根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n =2，当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2．（Ⅱ）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，当a n =4n ﹣2时，S n ==2n 2，令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．∥FP，利用线面平行的【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥平面EFPQ；判定定理，可以证明直线BC1（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为，y，轴的正1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C10），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∥FP，∴BC1∵FP⊂平面EFPQ，BC⊄平面EFPQ，1∥平面EFPQ；∴直线BC1（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（，y，），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【分析】（1）依题意，p 1=0.2，p 2=0.7，p 3=0.1．由二项分布能求出在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站年总利润为Y ，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．【解答】解：（1）依题意，p 1=P （40＜＜80）==0.2， p 2=P （80≤≤120）==0.7，p 3=P （＞120）==0.1．由二项分布得，在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p=（1﹣p3）4+（1﹣p 3）3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477．…（5分）（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E （Y ）=1000×1=1000．…（7分）②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P （Y=840）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P （Y=2 000）=P （≥80）=p 2+p 3=0.8．由此得Y 的分布列如下：0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680， 因此P （Y=680）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当80≤≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，因此P （Y=1840）=P （80≤≤120）=p 2=0.7；当＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，因此P（Y=3 000）=P（＞120）=p3=0.1．由此得Y的分布列如下：×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=（+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=（+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），依题意得：|MF|=||+1，即，化简得，y2=2||+2．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2=4（≥0），C 2：y=0（＜0）． 依题意，可设直线l 的方程为y ﹣1=（+2）． 由方程组，可得y 2﹣4y+4（2+1）=0．①当=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C 的方程，得．故此时直线l ：y=1与轨迹C 恰好有一个公共点（）． ②当≠0时，方程y 2﹣4y+4（2+1）=0的判别式为△=﹣16（22+﹣1）． 设直线l 与轴的交点为（0，0），则由y ﹣1=（+2），取y=0得． 若，解得＜﹣1或＞． 即当∈时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． 若或，解得=﹣1或=或．即当=﹣1或=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．故当=﹣1或=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． 若，解得﹣1＜＜﹣或0＜＜．即当﹣1＜＜﹣或0＜＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点．此时直线l 与C 恰有三个公共点．综上，当∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（）＞0，f′（）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜＜e时，．，令=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；【解答】解：（Ⅰ）函数f（）的定义域为（0，+∞），∵f（）=，∴f′（）=，当f′（）＞0，即0＜＜e时，函数f（）单调递增；当f′（）＜0，即＞e时，函数f（）单调递减．故函数f（）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜＜e时，f（）＜f（e）=，即．在上式中，令=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
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2014年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B ．C．1 D ．C”3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a，则（）a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ． B ．C ．3D ．2 10．（5分）已知函数f （）是定义在R 上的奇函数，当≥0时，f （）=（|﹣a 2|+|﹣2a 2|﹣3a 2），若∀∈R ，f （﹣1）≤f （），则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣，]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ．12．（5分）直线l 1：y=+a 和l 2：y=+b 将单位圆C ：2+y 2=1分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= ．13．（5分）设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a=815，则I （a ）=158，D （a ）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b= ．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）若二项式（2+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．1 D．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为﹣3，求出a即可．【解答】解：二项式（2+）7的展开式即（+2）7的展开式中﹣3项的系数为84，==，所以T令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A ∩B=∅”；若“A ∩B=∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C ．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=b+a ，则（ ）a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b 、a 的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a ＞0． 故选：B ．【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣y中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）若函数f（），g（）满足f（）g（）d=0，则f（），g（）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（）=sin，g（）=cos；②f（）=+1，g（）=﹣1；③f（）=，g（）=2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．【解答】解：对于①：[sin •cos ]d=（sin ）d=﹣cos =0，∴f（），g （）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于②：（+1）（﹣1）d=（2﹣1）d=（）≠0，∴f （），g （）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于③：3d=（）=0，∴f （），g （）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C ．【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB ，面积为， 平面区域Ω2，为△AOB 内的四边形BDCO ，其中C （0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V ≈L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ， ∴=（2πr ）2h ，∴π=． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．B ．C ．3D ．2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2， 即，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2， 即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，（a 1＞a 2），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1PF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos =（r 1）2+（r 2）2﹣r 1r 2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则，则a 1+a 2=m ，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）已知函数f（）是定义在R上的奇函数，当≥0时，f（）=（|﹣a2|+|﹣2a2|﹣3a2），若∀∈R，f（﹣1）≤f（），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】把≥0时的f（）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得＜0时的函数的最大值，由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当≥0时，f（）=，由f（）=﹣3a2，＞2a2，得f（）＞﹣a2；当a2＜≤2a2时，f（）=﹣a2；由f（）=﹣，0≤≤a2，得f（）≥﹣a2．∴当＞0时，．∵函数f（）为奇函数，∴当＜0时，．∵对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀∈R，都有f（﹣1）≤f（）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ= ±3 ．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（﹣λ），则（+λ）•（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）直线l1：y=+a和l2：y=+b将单位圆C：2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 2 ．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D （a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= 495 ．【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．设f（）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（）=1（＞0）时，可得Mf （a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（）= （＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【分析】（1）设f（）=，（＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．（2）设f（）=，（＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得=c=，从而得出结论．【解答】解：（1）设f（）=，（＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，（a，b）为a，b的几何平均数，∴当f（）=，（＞0）时，M故答案为：．（2）设f（）=，（＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得=c=，∴当f（）=（＞0）时，M（a，b）为a，b的调和平均数，f故答案为：．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= 4 ．【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．【解答】解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为2=3y2（≥0，y≥0），即y=（≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为2+y2=4．解方程组，再结合＞0、y＞0，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an }满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Sn 为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn 根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n =2，当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2．（Ⅱ）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，当a n =4n ﹣2时，S n ==2n 2，令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．∥FP，利用线面平行的【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥平面EFPQ；判定定理，可以证明直线BC1（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为，y，轴的正1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C10），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∥FP，∴BC1∵FP⊂平面EFPQ，BC⊄平面EFPQ，1∥平面EFPQ；∴直线BC1（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（，y，），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【分析】（1）依题意，p 1=0.2，p 2=0.7，p 3=0.1．由二项分布能求出在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）记水电站年总利润为Y ，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．【解答】解：（1）依题意，p 1=P （40＜＜80）==0.2， p 2=P （80≤≤120）==0.7，p 3=P （＞120）==0.1．由二项分布得，在未4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p=（1﹣p3）4+（1﹣p 3）3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477．…（5分）（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E （Y ）=1000×1=1000．…（7分）②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P （Y=840）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P （Y=2 000）=P （≥80）=p 2+p 3=0.8．由此得Y 的分布列如下：0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680， 因此P （Y=680）=P （40＜＜80）=p 1=0.2；当80≤≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，因此P （Y=1840）=P （80≤≤120）=p 2=0.7；当＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，因此P（Y=3 000）=P（＞120）=p3=0.1．由此得Y的分布列如下：×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21．（14分）在平面直角坐标系Oy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M 的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=（+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=（+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），依题意得：|MF|=||+1，即，化简得，y2=2||+2．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2=4（≥0），C 2：y=0（＜0）．依题意，可设直线l 的方程为y ﹣1=（+2）． 由方程组，可得y 2﹣4y+4（2+1）=0．①当=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C 的方程，得．故此时直线l ：y=1与轨迹C 恰好有一个公共点（）． ②当≠0时，方程y 2﹣4y+4（2+1）=0的判别式为△=﹣16（22+﹣1）． 设直线l 与轴的交点为（0，0），则由y ﹣1=（+2），取y=0得． 若，解得＜﹣1或＞． 即当∈时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． 若或，解得=﹣1或=或．即当=﹣1或=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．故当=﹣1或=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． 若，解得﹣1＜＜﹣或0＜＜．即当﹣1＜＜﹣或0＜＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点． 此时直线l 与C 恰有三个公共点． 综上，当∈∪{0}时，直线l 与C 恰有一个公共点；当∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（）＞0，f′（）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜＜e时，．，令=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；【解答】解：（Ⅰ）函数f（）的定义域为（0，+∞），∵f（）=，∴f′（）=，当f′（）＞0，即0＜＜e时，函数f（）单调递增；当f′（）＜0，即＞e时，函数f（）单调递减．故函数f（）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=ln，y=e，y=π在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜＜e时，f（）＜f（e）=，即．在上式中，令=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2
)11(i
i （ ）
A. 1-
B. 1
C. i -
D. i 2. 若二项式7
)2(x
a x +的展开式中
3
1
x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B.
5
4 C. 1 D.
4
2 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x 3 4 5
6 7
8
y
4.0
2.5
5.0-
0.5
0.2-
0.3-
得到的回归方程为a bx y
+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a
5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），
（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A. ①和②
B.③和①
C. ④和③
D.④和②
6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11
-=⎰
-为区间
则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 2
1
cos )(,21sin
)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
7.由不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥≤0
200
x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中
随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.8
7
8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2
1.36
v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2
275
v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258
C.15750
D.355113
9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=,则椭圆和双曲线的离心
率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
3
B.3
C.3
D.2
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）
11.设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r ，若()(
)
a b a b λλ+⊥-r r r r
，则实数λ=________.
12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆2
2
:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22
a b +=________.
13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图
所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.
14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2
)
,(b
a c
b a M f +=
=，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数b
a ab
+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
（二）选考题
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若
,3,1==CD QC 则_____=PB
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩
⎪
⎨⎧=
=33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________
17、（本小题满分11分）
某实验室一天的温度（单位：
）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
18（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.
（1） 求数列的通项公式.
（2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得
若存在，求n 的最小值；若
不存在，说明理由.
19(本小题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . （1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;
（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C.
(1)求轨迹为C 的方程
(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。