2011a5质点的角动量
第五章 角动量 角动量守恒(2011)
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
角动量_精品文档
角动量什么是角动量？在物理学中，角动量是描述物体旋转运动的一种物理量。
它与物体的惯性和旋转速度有关，用来描述物体围绕某个轴或中心进行旋转的能力或力矩。
角动量的定义角动量（L）的定义是物体的质量（m）与其线性速度（v）以及旋转半径（r）三个因素的乘积。
数学上可以表示为：L = mvr其中，L为角动量，m为物体的质量，v为物体的线速度，r为物体的旋转半径。
角动量的单位根据定义的公式可知，角动量的单位为千克·米²/秒（kg·m²/s）。
角动量的性质1.角动量是一个矢量量，具有大小和方向。
2.角动量是守恒量，即在没有外力矩作用下，系统的角动量保持不变。
3.当物体的质量或者速度增加时，角动量也会增加。
4.角动量的方向与线速度和旋转半径的方向相同。
角动量和力矩的关系角动量与力矩有着密切的关系。
根据角动量的定义，当物体受到力矩作用时，其角动量会发生变化。
根据牛顿第二定律和力矩的定义，我们可以得到以下公式：τ = ΔL/Δt其中，τ为力矩，ΔL为角动量的变化量，Δt为时间的变化量。
角动量守恒定律角动量守恒定律是一个重要的物理定律。
在一个孤立系统中，如果没有外力矩作用，系统的总角动量将保持不变。
这一定律的数学表达式为：L₁ + L₂ = L₃其中，L₁和L₂为系统中不同物体的角动量，L₃为系统的总角动量。
角动量在自然界中的应用角动量在自然界中的应用十分广泛。
以下是一些例子：1.行星绕太阳的运动：行星绕太阳的运动是一个典型的角动量守恒的例子。
根据开普勒定律，行星绕太阳的轨道面积速度是一个常数，即行星角动量守恒。
2.自行车或摩托车的稳定：自行车或摩托车在高速行驶时可以保持稳定，部分原因是由于车轮的角动量保持了平衡。
3.陀螺的稳定：陀螺通过旋转稳定自身的原理就是利用了角动量守恒。
结论角动量是描述物体旋转运动的重要物理量，它与物体的质量、线速度和旋转半径相关。
角动量具有一些重要的性质和守恒定律，对于理解自然界中旋转现象起到了重要的作用。
电磁场的角动量
电磁场的角动量一、引言电磁场的角动量是电磁学中重要的概念之一。
它描述了电磁场旋转的性质，并在许多领域中具有广泛的应用，如电磁波传播、电磁激励和天体物理学等。
本文将从基本概念开始，全面探讨电磁场的角动量的定义、性质和应用。
二、电磁场的角动量的定义2.1 角动量的基本概念角动量是物体围绕某一轴旋转时所具有的数量。
对于一个质点，其角动量可以用其质量、速度和与旋转轴的距离来描述。
对于电磁场而言，角动量的定义稍有不同。
2.2 电磁场的角动量的定义电磁场的角动量定义为单位体积内电磁场能量密度与电磁场矢量势之积的积分。
这一定义更适用于描述电磁场整体的旋转特性。
三、电磁场的角动量的性质3.1 电磁场的角动量是矢量电磁场的角动量具有矢量性质，即具有大小、方向和作用方向的特点。
根据右手定则，可确定电磁场角动量的方向。
3.2 角动量守恒定律电磁场的角动量是一个守恒量，如同经典力学中的角动量守恒定律。
这意味着在没有外力或外扭矩作用的情况下，电磁场的角动量保持不变。
3.3 角动量与电磁场传播速度的关系根据电磁场的波动性质，可以推导出电磁场的角动量与电磁场传播速度之间存在一定的关系。
这个关系对于电磁波的传播速度和角动量密度的计算具有重要意义。
3.4 电磁场的角动量与电磁波极化关系电磁场的角动量与电磁波的极化状态之间存在密切的联系。
不同的电磁波极化方式对应着不同的角动量分布规律，这使得电磁场的角动量成为了研究电磁波偏振状态的重要手段。
四、电磁场的角动量的应用4.1 电磁激励中的角动量转移在电磁激励中，电磁场的角动量可以传递给物体，从而实现对物体的扭转或旋转。
这一现象在光学、材料科学和力学等领域中具有重要的应用价值。
4.2 天体物理学中的电磁场角动量电磁场的角动量在天体物理学中发挥着重要作用。
例如，它可以解释恒星的自转速度和行星轨道的演化规律。
通过观测角动量的变化，可以对天体运动和演化进行研究。
4.3 电磁场的角动量和量子力学在量子力学中，电磁场的角动量也具有重要的意义。
角动量守恒定律及其应用
角动量守恒定律及其应用作者：韩芍娜来源：《新校园·上旬刊》2017年第05期摘要：角动量守恒定律是自然界中最基本的守恒定律之一。
它反映了质点和质点系围绕一点或轴运动的普遍规律。
本文从角动量守恒定律出发，对角动量守恒在航天航空、体育赛事、日常生活中等常见现象进行介绍。
关键词：角动量；守恒；应用在研究物体运动时，通常用动量描述物体的运动，而人们经常遇到质点和质点系绕某一定点或定轴运动的情况。
例如，太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的转动、物体绕某一定轴的转动等，运动的物体速度的大小和方向都在不断变化，因而其动量也在不断变化，人们很难用动量和动量守恒定律解释这类运动的规律。
但是引入角动量和角动量守恒定律后，则可较为简单地描述转动的物体。
角动量是大学物理中的重要物理量，它是描述物体转动特征的物理量，在经典物理、航空技术、近代物理理论中都扮演着极为重要的角色，是物理学中重要的力学概念之一。
角动量守恒定律是自然界中基本的守恒定律之一，在航天航空领域、体育赛事、日常生活中有着广泛的应用。
一、角动量守恒定律若绕定轴转动的刚体所受到的合外力矩为零，则刚体对轴的角动量是恒量的。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律，实际上是对轴上任一定点的角动量定理和角动量守恒定律在定轴方向的分量形式。
无论是对定轴转动的刚体，或是对几个共轴刚体组成的系统，甚至是有形变的物体以及任意质点系，对定轴的角动量守恒定律都成立。
二、角动量守恒应注意的问题若合外力矩为零时，则系统的角动量守恒；若系统转动惯量不变，则系统转动的角速度也不变；若系统转动惯量改变，则系统转动的角速度也会改变，但角动量保持不变。
若系统由几部分构成，总角动量是指各部分相对同一转轴的角动量代数和。
内力矩可影响系统中某个刚体的角动量，但对系统的总角动量无影响。
在冲击等问题中，当内力矩远远大于外力矩时，系统的角动量守恒。
三、角动量守恒在航天航空中的应用1.常平架陀螺仪常平架陀螺仪在支架上面装着可以转动的外平衡环，外平衡环里面装着可以相对于外平衡环转动的内平衡环，内平衡环中心有一个质量较大的转子。
角动量 守恒(2011)
Mij + M ji = ri × f ij + r j × f ji = ri − r j × f ij = 0
(
)
(r
i
− rj
)
与 f ij 共线， 共线，
Mij + M ji = ri × f ij + r j × f ji = ri − r j × f ij = 0
角动量定理
Fdt = dP
t2 t2
dL M= dt M t = dL d
∫ Fdt =ΔP
t1
∫ Mdt =ΔL
t1
F = 0 P = 常矢量
F P
t2
M = 0 L = 常矢量
M L
t2
力 动量
力矩或角力 角动量 或动量矩
∫ Fdt 合力的冲量
t1
Mdt 合力矩的冲量 或冲量矩 ∫
t1
例
讨论行星运动
1 GMm 1 2 GMm 2 mv0 − = mv − 2 r0 2 R v0r0sinθ v= = 4v0sinθ mv0r0sinθ = mvR R
1 3GM sinθ = 1+ 2 4 2Rv0
1/ 2
3GM v = v01+ 2 2Rv 0
L
3、行星近地点速度大，在远地点速度小 、行星近地点速度大 地点速度小
在近日点与远日点
r ⊥v
v近
m r远
v远 =m r近 v近
v
v远 r远
r近
∴ v远 < v近
的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 例5-1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为 m 的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 然后 该点在通过环心 的水平面上),然后 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计 设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球 从 A 点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦略去不计 求小球 的角动量和角速度. 滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度 解 小球受重力和支持力作 支持力的力矩为零,重力 用, 支持力的力矩为零 重力 矩垂直纸面向里
《角动量守恒》课件
瓶子里的小球
当一个小球在一个旋转的瓶 子中运动时，由于角动量守 恒，小球的运动轨迹将发生 奇妙的变化。
总结
1 角动量守恒定理在现实生活中的应用
角动量守恒定理在旋转机械、天体运动等方面有广泛的应用。
2 与其他物理量的关系
角动量与动量、力矩等物理量之间存在一定的关系。
3 角动量守恒定理的限制
角动量守恒定理只在没有外力作用时成立。
《角动量守恒》PPT课件
角动量守恒是力学中一个重要的概念。本课件将介绍角动量的基本概念、角 动量守恒定理以及其在物理世界中的应用。
基本概念
1 角动量的定义
2 角动量的单位
பைடு நூலகம்
角动量是物体在旋转时具有的物理量， 它由转动惯量和角速度的乘积组成。
角动量的单位是千克·米²/秒，记作 kg·m²/s。
角动量守恒定理
保持不变。
质点做圆周运动时的角动量 守恒
当质点绕着固定轴作圆周运动时， 它的角动量将保持不变。
实例分析
静止的物体受外力时的 角动量守恒
自转的刚体的角动量守 恒
当一个静止的物体受到外力 作用时，由于其角动量守恒， 它将发生旋转而不是直线运 动。
当一个刚体在自转时，由于 其角动量守恒，刚体的自转 速度将保持不变。
1 定义
角动量守恒定理指的是在没有外力作用下，物体的角动量保持不变。
2 守恒定理的意义
角动量守恒定理说明了物体在旋转过程中的稳定性和不变性。
3 质点系之间的角动量守恒
当质点系内部没有相互作用力时，质点系的总角动量将保持不变。
角动量定理的应用
1
刚体的转动
2
刚体的转动可以通过角动量定理来 解释，刚体在转动过程中其角动量
质点角动量
三、动量冲量质点角动量一、选择题1、质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形ABC的水平光滑轨道运动，质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为(A)mv(B)2mv(C)3mv(D)2mv2、在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦及空气阻力）（A）总动量守恒（B）总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒（C）总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒（D）总动量在任何方向的分量均不守恒3、粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，开始时粒子A的速度为（3+4j），粒子B的速度为（2-7），由于两者的相互作用，粒子A的速度变为（7-4），此时粒子B的速度为（A）-5（B）2-7j（C）0（D）5-3j4、一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻放于斜面上，如图。
如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将（A）保持静止（B）向右加速运动（C）向右匀速运动（D）向左加速运动5、如图所示，砂子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平向右运动的传送带上，取重力加速度g=10m/2s，传送带给予砂子的作用力的方向为（A）与水平方向夹角︒53向下53向上（B）与水平方向夹角︒37向上（C）与水平方向夹角︒37向下（D）与水平方向夹角︒6、如图所示，一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上，在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块的冲量（A）沿水平方向（B）只可能沿斜面向上（C）只可能沿斜面向下（D ） 沿斜面向上或向下都有可能7、 质量为20g 的子弹，以400m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980g 的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后与摆球一起运动的速率为（A ） 4m/s（B ） 8m/s（C ） 2m/s（D ） 7m/s8、 已知地球的质量为m,太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为（A ） m GMR（B ） RGMm （C ） M m RG （D ） RGMm 2 二、填空题1、一力F 作用于质量为1.0kg 的质点上，使之沿x 轴运动，已知在此力的作用下质点的运动方程为x=3t-42t +3t (SI),在0到4s 的时间间隔内，力F 的冲量大小I=1、示一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度 匀速转动，在小球转动一周的过程中（1）小球动量增量的大小等于（2）小球所受重力的冲量大小等于（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于2、质量为m 的小球自高为0y 处沿水平方向以速率0v 抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为210y ，水平速率为210v 。
角动量守恒原理及讲解
角动量守恒原理及讲解一、角动量的基本概念1. 定义- 对于一个质点，角动量→L=→r×→p，其中→r是质点相对于某参考点的位置矢量，→p = m→v是质点的动量（m为质点质量，→v为质点的速度）。
- 在直角坐标系中，如果→r=(x,y,z)，→p=(p_x,p_y,p_z)，那么L_x = yp_z - zp_y，L_y=zp_x - xp_z，L_z = xp_y - yp_x。
2. 单位- 在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg· m^2/s）。
二、角动量定理1. 表达式- 对单个质点，→M=(d→L)/(dt)，其中→M是作用在质点上的合外力矩。
- 对于质点系，→M_{外}=(d→L)/(dt)，这里→M_{外}是系统所受的合外力矩，→L是系统的总角动量。
2. 物理意义- 角动量定理表明，作用于质点（系）的合外力矩等于质点（系）角动量对时间的变化率。
三、角动量守恒定律1. 内容- 当系统所受合外力矩→M_{外} = 0时，系统的角动量→L保持不变，即→L=text{常量}。
2. 条件- 合外力矩为零是角动量守恒的条件。
这可能有多种情况，例如：- 系统不受外力矩作用。
- 系统所受外力矩的矢量和为零。
在有心力场（如地球绕太阳的运动，太阳对地球的引力是有心力，力的作用线始终通过太阳中心）中，物体所受的力矩为零，角动量守恒。
3. 举例说明- 花样滑冰运动员的旋转- 当花样滑冰运动员双臂伸展时开始旋转，此时他具有一定的角动量。
由于冰面的摩擦力矩很小可以忽略不计，运动员所受合外力矩近似为零。
- 当他将双臂收拢时，他的转动惯量I减小（转动惯量I=∑ m_ir_i^2，双臂收拢时，身体各部分到转轴的距离r_i减小）。
根据角动量守恒定律L = Iω=text{常量}（ω为角速度），转动惯量I减小，则角速度ω增大，运动员的旋转速度加快。
- 行星绕太阳的运动- 行星受到太阳的引力是有心力，引力对太阳中心的力矩为零。
理学守恒定律
m v
V
M
MV mv 0
即
V
m
v
M
X x
§3-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t vdt M m x
0
M0
M
v
x M l
V
M
M m
X l x m l
M m
X x
§3-1 动量守恒定律
F
m
x
§3-1 动量守恒定律
解法二：
列车的质量在不断变化，当作变质量问题来解决
F dp dmv v dm dt dt dt
3500 1500 N
[例4]质量为m的人由小车一端走向另一
端，小车质量为M、长为 l ，求人和车
各移动了多少距离?(不计摩擦)
解：水平方向上车和人系统动量守恒
设度车分和别人为相V和对v地 面速
u)
m(v2 u)
m(v1 u)
mv2
mv1
§3-1 动量守恒定律
二、质点系动量定理
相两加个F1 质F1f点12 F时2ddpt1ddpt1
F2
dp2
dt
f21 d
dt
F1
m1
dp2 dt
f12 F2
( p1 p2 )
f21
m2
n个质点时
i
Fi
d dt
求此质点从静止开始在2s内所受合外力
的冲量和质点在2s末的动量
解：
由冲量定义有
2
大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011
vi θ
P
Δmi
o
转动平面
x
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
Ｐ 方向与转动方向成右手螺旋法则。 o θ X 转动平面 op r P点线速度 v r d ( rad / s 2 ) 4. 角加速度矢量 dt 由于在定轴转动中轴的 当加速转动时, 与 方向相同； 方位不变，故 , 只 有沿轴的正负两个方向， 当减速转动时, 与 方向相反;
Δmｊ
质元
Δmi
ｒ iｊ
2. 刚体的运动形式: ⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运 动来代表，通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动。
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, 这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间 变化, 则称定轴转动。
d 3.角速度: 单位：rad/s dt 角速度是矢量 。
Z
ω 转动方向 v
可以用标量代替。
５.当角加速度是常量时： 0 t
( 0 ) t 1 t 2 2
2 2 0 2 ( 0 )
P点线加速度 a r
an r
转轴
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述 1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同. 一般用角量描述。 转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴 Z
转动方向
刚体的角动量
L J
角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。
角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。
关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and theirapplicationAbstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.Key words:Angular momentum;Torque;Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。
例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。
地球的角动量
地球的角动量一、角动量的基本概念1. 定义- 角动量在经典力学中是与物体的转动相关的物理量。
对于一个质点，角动量L = r× p，其中r是质点相对于某一参考点的位置矢量，p = mv是质点的动量（m是质点质量，v是质点速度）。
从矢量叉乘的几何意义来看，角动量的大小等于r和p 的大小以及它们夹角正弦值的乘积，即L = rpsinθ，方向遵循右手螺旋定则。
2. 单位- 在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg· m^2/s）。
1. 地球的公转角动量- 计算- 地球绕太阳公转可近似看作质点的圆周运动。
设地球质量为m，公转轨道半径为r（约为1.5×10^11m），公转速度为v（约为3×10^4m/s）。
- 根据角动量定义L = r× p，由于是圆周运动，p = mv，且r与v垂直，所以地球公转角动量L_{公}=mrv。
将数值代入可得L_{公}=m×1.5× 10^11×3×10^4（这里m为地球质量，约为6×10^24kg），计算得L_{公}=2.7×10^40kg· m^2/s。
- 守恒性- 地球公转过程中，由于太阳对地球的引力是有心力（力的方向始终指向太阳中心），根据角动量守恒定律，在有心力场中，质点的角动量守恒。
所以地球公转角动量在没有外界力矩干扰的情况下保持不变。
2. 地球的自转角动量- 计算- 把地球看作一个刚体，对于刚体绕定轴转动的角动量L = Iω，其中I是刚体对轴的转动惯量，ω是角速度。
- 对于均匀球体绕直径转动，转动惯量I=(2)/(5)mr^2（m为地球质量，r为地球半径，约为6.4×10^6m），地球自转角速度ω=(2π)/(T)（T = 24×3600s）。
- 先计算ω=(2π)/(24×3600)≈7.3×10^-5rad/s，I=(2)/(5)×6×10^24×(6.4×10^6)^2≈9.8×10^37kg· m^2，则地球自转角动量L_{自}=Iω = 9.8×10^37×7.3×10^-5≈7.1×10^33kg· m^2/s。
026角动量
r 例平点解L题 抛 所M：出 受2）(mr去 的vvr一dg0d，重tLvtm质iˆ0用力vvtv量002角对tikˆ12mˆi为ˆ动参ggm(gt量 考12v的2tg0定 点ˆj12ˆj质tt)k2理 的ˆm点ˆj m求 力g以v(质 矩0速vt0。2i度ˆkˆ)OYvgM0t12ˆj从)mmL参gg考vvZ00点tm2Xkˆv
例4）质量为m的小球A，以速度 v0 沿质量为M
的，半径为R的地球 表面水平切向向右飞出（如
图O阻。O） 力’相Z地 ，交轴 求于小Ov0O球3R’与A的在CvC点0点，平的不行考v，虑小已与地球知球A：v的0的M轨之自,道间转m与的与, R轴夹空, v角气0 ,
r X
m
0
O M地
r1
O’
C
v
Y
F
三角动量定理 1）角动量定理的微分形式
M
Z L
对L一个r 质 P点：1
dd（Ltd1）r 式ddt对Prt求r导P：dP
dt dt
O
r
X
mv
Y
mg
r
M
F M dL
dt
v P r F 此称质点的角动量定理
r r Z
1
M
F1
1m1
F12M
d M10 F21
Y
2X
2 M 20 m2
求：
解：以M，m 为研究对象。
系统只受万有引力（保守力）故机械
能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。
以无穷远为势能零点，则：
Z
r0
v0
m
r1
O O’
X
M地
C
v
Y
r0 R r1 3R
1 2
动能定理角动量定理
注意 1)守恒条件： M 0
能否为 Mdt 0 ?
2)与动量守恒定律对比：
当
F 0
时，
当
M
0
时，
p
恒矢量
L 恒矢量
彼此独立
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒定律适用于以下情况：
(1)对于单一刚体：J、 均不变， 则匀速转动
(2) 对于系统: Ji、 均可以变化，但
角动量守恒
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
注意：区分两类冲击摆
角动量守恒
(1)
O
l v0
m M
质点
质点 柔绳无切向力
➢水平方向： Fx = 0 ， px 守恒
mv0 = (m+M)v
➢ 对 O点：
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、
N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l/2 l
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒
vM (2gh)1 2
u l
2
N
C
M h
A
B
l/2
l
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 ml 2 12 ml2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
线性动量与角动量的关系与应用
线性动量与角动量的关系与应用引言：物理学是研究物质运动和相互作用的科学，而动量则是物理学中一个重要的概念。
线性动量和角动量是描述物体运动状态的重要物理量，它们之间存在着密切的关系，并在许多实际应用中发挥着重要作用。
一、线性动量与角动量的定义线性动量是描述物体运动状态的物理量，用来衡量物体运动的惯性。
它的定义是物体的质量乘以其速度，即p=mv，其中p表示线性动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
线性动量的大小与物体的质量和速度成正比，当质量或速度增加时，线性动量也相应增加。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，用来衡量物体绕某一轴旋转的惯性。
它的定义是物体的转动惯量乘以其角速度，即L=Iω，其中L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
角动量的大小与物体的转动惯量和角速度成正比，当转动惯量或角速度增加时，角动量也相应增加。
二、线性动量与角动量的关系线性动量和角动量之间存在着密切的关系。
根据牛顿第二定律和牛顿第二定律的角动量形式，可以推导出线性动量和角动量之间的关系。
对于一个质点，其线性动量的变化率等于作用在它上面的合外力，即F=dp/dt。
同样地，对于一个刚体，其角动量的变化率等于作用在它上面的合外力矩，即τ=dL/dt。
这说明线性动量和角动量都是物体运动状态变化的原因，它们之间存在着相互转换的关系。
三、线性动量与角动量的应用线性动量和角动量在物理学中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用案例：1. 碰撞问题：线性动量守恒定律是研究碰撞问题的基本原理。
在碰撞中，物体的总线性动量在碰撞前后保持不变，这可以用来解决碰撞中物体的速度和质量之间的关系。
2. 自转问题：角动量守恒定律是研究自转问题的基本原理。
在物体自转过程中，物体的总角动量在自转前后保持不变，这可以用来解决物体自转的角速度和转动惯量之间的关系。
3. 行星运动：在行星运动中，行星绕太阳的轨道是一个椭圆。
根据角动量守恒定律，行星在轨道上不断改变其角速度和距离，从而保持总角动量不变。
刚体运动与角动量守恒
刚体运动与角动量守恒刚体运动是物理学中一个重要的概念，它涉及到物体的运动状态和动力学性质。
与此同时，角动量守恒也是刚体运动中一个基本的定律。
本文将探讨刚体运动与角动量守恒的关系，并解释其在实际生活中的应用。
首先，我们来了解一下什么是刚体运动。
刚体是指其内部各部分相对位置不变的物体。
在刚体运动中，物体的形状和大小并不发生变化，只有整体的位置和方向发生改变。
刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
在平动中，刚体的中心质点沿直线运动，速度和加速度都相同。
而在转动中，刚体绕着某一轴旋转，角速度和角加速度相同。
接下来，我们来讨论刚体运动中的角动量守恒。
角动量是刚体运动中一个重要的物理量，它与物体的转动有关。
角动量的大小等于物体的转动惯量乘以角速度。
在刚体运动中，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，即角动量守恒。
这意味着刚体在旋转过程中，其角动量大小和方向不会发生变化。
角动量守恒在实际生活中有许多应用。
例如，在体育项目中，如跳高、撑杆跳等，运动员的身体可以看作是一个刚体。
在运动过程中，运动员通过改变身体的姿势和角速度来实现跳高或撑杆跳等动作。
而这些动作的实现正是通过角动量守恒来保证的。
运动员在空中进行旋转时，通过改变身体的姿势来改变刚体的转动惯量，从而实现旋转的速度和方向的变化。
此外，角动量守恒还在天文学中有着重要的应用。
例如，行星绕太阳的运动可以看作是一个刚体运动。
根据角动量守恒定律，行星在绕太阳运动的过程中，其角动量大小和方向都保持不变。
这就解释了为什么行星在椭圆轨道上运动，而不是直线运动。
太阳的引力作用使得行星的运动轨道发生弯曲，但由于角动量守恒，行星总是保持在一个稳定的轨道上。
除了运动学层面的角动量守恒，刚体运动中还存在着动力学层面的角动量守恒。
在刚体受到外力矩作用时，其角动量的变化等于外力矩的大小乘以时间。
根据牛顿第二定律和角动量守恒，我们可以推导出刚体运动的动力学方程，进一步研究刚体的运动规律。
力矩的时间累积效应
3-2
力矩对时间的累积效应
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后 轮以 两轮的角速度。
解： 两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
1
2
25
3-2
力矩对时间的累积效应
1
2
得：
26
3-2
2
o
r
m
2 质点的角动量定理
dL M dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
4
3-2
力矩对时间的累积效应
dL 质点角动量定理的推导 M dt dp dL Lrp F， ？ dt dt dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dL dp dr v, v p 0 r r F dt dt dt
v
L r p r mv 大小 L rmv sin L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg· m2· s-1
L
v
r
3
3-2
力矩对时间的累积效应
质点以 作半径为 r 的圆周运动，相对圆心
L
p
L rmv m r I
为一不变量 即为一不变量
o
r
vdt
Lrp
8
3-2
力矩对时间的累积效应
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
——质点对z轴的角动量守恒定律 ▲质点对轴的角动量定理和角动量守恒定律可推 广到质点系（证明略）。
M外z dLz dt
若M 外 z ＝0 Lz 恒量
例：茹可夫斯基凳实验：
L 各质点绕z轴作圆周运动： z ri m i v i
v i ri z
L z ( m i ri ) z J z z
2
两臂伸开 J z z
L z 守恒
两臂收回 J z z
＊花样滑冰、跳水、体操。。。 ＊物理学三大守恒定律：能量、动量、角动量 当过程细节不清楚时应利用守恒定律求解。
作业：习题4-14
练习：学习指导“力学” 二、33—36，44 三、73 五、93
dp F外 dt 比
较
若M 外＝0 L 恒量
若F外＝0 p 恒量
（2）由M 外
t2
dL dt
dL M 外 dt
L2 L1
t2
t1
M 外 dt
dL L2 L1
t1
Mdt — — M在t1 t 2内的冲量矩（角冲量）
SI单位：kg· 2/s m
3、质点对固定点的角动量定理和角动量守恒定律
dL d dr dp L r p (r p) pr dt dt dt dt dr dp p mv F v dt dt dL v mv r F dt dL v m v ＝ 0, r F ＝M dt dL 质点对某固定点的角动量对时间的变化 M dt 率等于质点所受的合力对该点的力矩
（力矩对时间的累积效应）
M 外 dt L ——积分形式
t2
t1
（3）有心力对力心的力矩为0（ r // F），
故对力心的角动量守恒。
例4、（p97,例4-10）
o
r
v
光滑
· m
F
在平面上，质点m 所受合力为有心力， 对o点的力矩为0， 故对o点的角动量守 恒：
r v
z
r//
O
M z r F 力 F 对 z 轴上任一点 O 的力矩为 M r F ( r r// ) ( F F // ) F r F r F // F// r// F r// F // r F ( r F ) // z 轴，r F // ) z 轴 , ( m ( r// F ) z 轴 , ( r// F // ) 0 M 在 z 轴的投影为 M z r F sin r — —力 F 对 z 轴的力矩 力对z轴的力矩等于
r
r
m
p
p//
L z r p sin
r//
O
— —质点对 z 轴的角动量
质点对z轴的角动量等于 质点对z轴上任一点的角动量在轴的投影。 z
3、质点对轴的角动量定理和角动量守恒定律
M dL dt
在z轴投影
M
z
dL z dt
——质点对z轴的角动量定理
力 动量 ——描述平动
F外
dp dt
力和动量无法描述转动
力矩
动量矩 ？ (角动量)
——描述转动
力矩与动量矩 关系？
§4-4 角动量与角动量定理
一、质点对固定点（参考点）的角动量定理
1、力对固定点（参考点）的力矩
M
质点m所受的力 F 对固定点
O
· d
r m
F
O的力矩定义为 M rF
力对z轴上任一点的力矩在轴的投影。 z
2、质点对轴（z轴）的角动量
z
L z r p
质点 m 对 z 轴上任一点 O 的角动量为 L r p ( r r// ) ( p p // ) p 同理， L 在 z 轴的投影为
——质点对固定点的角动量定理
若M＝0 L 恒量
若质点所受的合力对某固定点的力矩为0，则 此质点对该固定点的角动量守恒 ——质点对固定点的角动量守恒定律 （1）质点对固定点的角动量定理和角动量守恒 定律可推广到质点系（证明略）。 对质点系：内力矩抵消
M外 dL dt
——微分形式
r 、 v 决定的平面不变
L
v
m
dr
dr
日心
r
行星作平面运动
L rmv sin rm sin dt 1 r d r sin dS 2 2m 2m dt dt dS 不变 dt
近日点快还是远日点快？
二、质点对轴的角动量定理 1、力对轴（z轴）的力矩
i i
分力矩的矢量和=合力的力矩 2、质点对固定点（参考点 p L r p r mv r O m
·
方向： r 、 p 、 L 成右螺关系
大小： L rmv sin
方向： r 、 F 、 M 成右手螺旋关系
d——力臂 ▲力矩的方向和所引起的转向成右螺关系。
力矩SI单位：N· m
大小： M rF sin Fd
若质点受几个力 F i ( i 1, 2 ...) 的作用，则 ( r Fi ) r ( Fi )
Ek
rmv 恒量
力F对质点m作功： A E k
例5、(p97)证明关于行星运动的开普勒第二定律： 行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面 积。这个结论也叫等面积原理。 行星在有心力作用下 绕日运动，力对日心 的力矩为0，故对日 心的角动量守恒。
L r m v 方向不变