高考数学一轮复习 题组层级快练26(含解析)

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【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案

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教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案编辑:__________________时间:__________________(附参考答案)1.若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为( )A.2 B.2 3C.4 D.4 3答案D解析∵椭圆过(-2,),则有+=1,b2=4,c2=16-4=12,c=2,2c =4.故选D.2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1答案A解析圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e==,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3.∴椭圆的标准方程为+=1.3.已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是( )A. B. 3C. D.13答案A解析因为|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线C是椭圆且长轴长2a=6,即a=3.又c=2,∴e=.4.已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为( )A.3 B.3或253C. D.或5153答案B解析若焦点在x轴上,则有∴m=3.若焦点在y轴上,则有∴m=.5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.6.(20xx·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( )A. B.45C. D.34答案B解析因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a =10⇒a=5,则c==4,e==,故选B.7.(20xx·广东广州二模)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )A. B.13C. D.33答案D解析设PF1的中点为M,连接PF2,由于O为F1F2的中点,则OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2.所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.由于∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理,得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=|PF2|.由椭圆定义,得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=.所以椭圆的离心率为e==·=.故选D.8.(20xx·河北邯郸一模)已知P是椭圆+=1(0<b<5)上除顶点外一点,F1是椭圆的左焦点,若|+|=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为( ) A.6 B.4C.2 D.52答案C解析取PF1的中点M,连接OM,+=2,∴|OM|=4.在△F1PF2中,OM 是中位线,∴|PF2|=8.∴|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1|=2,故选C.9.(20xx·北京海淀期末练习)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )A. B.332C. D.154解析由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得y=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,·的最大值为.故B正确.10.(20xx·河北唐山二模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )A.[,1) B.[,]C.[,1) D.[,1)答案C解析在椭圆长轴端点向圆引两条切线P′A,P′B,则两切线形成的角∠AP′B最小,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需∠AP′B≤90°,即α=∠AP′O≤45°.∴sinα=≤sin45°=,解得a2≤2c2,∴e2≥.即e≥.而0<e<1,∴≤e<1,即e∈[,1).11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x 轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.答案+=1解析根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.12.椭圆+=1上一点P到左焦点F的距离为6,若点M满足=(+),则||=________.解析设右焦点为F′,由=(+)知M为线段PF中点,∴||=||=(10-6)=2.13.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是________.答案 3解析∵·=0,∴⊥.∴||2=||2-||2=||2-1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=.14.已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆+=1上一动点,则|MA|+|MB|的最大值为________.答案10+210解析显然A是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为A1(-4,0),连接BA1并延长交椭圆于M1,则M1是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点M有:|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当M1与M重合时取等号),∴|MA|+|MB|的最大值为2a+|A1B|=2×5+=10+2.15.如右图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.答案(1) (2)+=1解析(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形.所以有|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,解得x=,y=-.代入+=1,得+=1.即+=1,解得a2=3.所以椭圆方程为+=1.16.(20xx·新课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.答案(1) (2)a=7,b=27思路本题主要考查椭圆的方程与基本量,考查椭圆的几何性质与离心率的计算,考查直线与椭圆的位置关系,意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力.(1)将M,F1的坐标都用椭圆的基本量a,b,c表示,由斜率条件可得到a,b,c的关系式,然后由b2=a2-c2消去b2,再“两边同除以a2”,即得到离心率e的二次方程,由此解出离心率.若能抓住△MF1F2是“焦点三角形”,则可利用△MF1F2的三边比值快速求解,有:|F1F2|=2c,|MF2|=2c×=c,则|MF1|=c,由此可得离心率e==.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”,可得yM==4,此为一个方程;再转化条件“|MN|=5|F1N|”为向量形式,可得到N的坐标,代入椭圆得到第二个方程.两方程联立可解得a,b的值.解析(1)根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点.故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则⎩⎨⎧-c -=c ,-2y1=2,即⎩⎨⎧x1=-32c ,y1=-1.代入C 的方程,得+=1.② 将①及c =代入②得+=1. 解得a =7,b2=4a =28. 故a =7,b =2.1.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,b =4,离心率为.过F1的直线交椭圆于A ,B 两点,则△ABF2的周长为( )A .10B .12C .16D .20答案 D解析 如图,由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a ,又e ==,即c =a ,∴a2-c2=a2=b2=16. ∴a =5,△ABF2的周长为20.2.椭圆+=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c.若d1,2c ,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( )A. B.22C. D.34答案 A解析 由d1+d2=2a =4c ,∴e==.3.设e 是椭圆+=1的离心率,且e∈(,1),则实数k 的取值范围是( )A .(0,3)B .(3,)C .(0,3)∪(,+∞)D .(0,2)答案 C解析 当k>4时,c =,由条件知<<1,解得k>;当0<k<4时,c =, 由条件知<<1,解得0<k<3,综上知选C.4.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y =k(x +)交于点A ,B ,则△ABM 的周长为______________.答案 8解析 直线y =k(x +)过定点N(-,0),而M ,N 恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为4a =4×2=8.5.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点.当||最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.答案 (1)+=1 (2)1≤m≤4解析 (1)由题意知 解之得⎩⎨⎧a2=16,b2=12.∴椭圆方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1, ∴||2=(x0-m)2+y 20 =x -2mx0+m2+12(1-) =x -2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4).∴||2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为4m.由题意知,当x0=4时,||2最小,∴4m≥4,∴m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4.。

2025高考数学一轮复习课件题组层级快练27

2025高考数学一轮复习课件题组层级快练27

sin2α+1-
3 2 sin
α2=1,
整理得47sin2α-
3sin
α=0,解得 sin
α=0 或 sin
α=4
7
3 .
因为 α∈(0,π),所以 sin α=473,故 cos α=1- 23×473=71.所以 tan
43
α2 =1+sincosαα=1+7 17= 23.故选 A.
αα
α
方法二:因为 sin α=2sin 2 cos 2 ,cos α=1-2sin2 2 ,所以 3sin α
sin cos
10°+cos 10°-sin
10° 10°

cos
1 20°

(cos
(sin 10°+cos 10°)2 10°-sin 10°)(cos 10°+sin
10°)
- cos
120°=1c+os22s1i0n°10-°scino2s1100°°-cos
120°=1+cossin20β+sin β-sin
β β=
1+tan 1-tan
ββ=tanπ4 +β.
∵α∈0,π2 ,β∈0,π2 ,
∴α=π4 +β,即
π α-β= 4 .
9.已知
cosθ+π4 =
55,θ∈0,π2 ,则
π sin(2θ- 4 )的值为(
)
2
3
A. 10
B.10
C√.-
2 10
5 D. 9
方法一:由tan(β-α)=1t+antaβn -βttaann αα=1t+an12βtan-β12 =31,得tan β=1. ∵β为锐角,∴β=π4 . 方法二:tan β=tan[(β-α)+α]=1t-an(tanβ(-βα-)α+)ttaann αα=1-13+13×12 12=1. ∵β为锐角,∴β=π4 .

2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练72(含解析)

2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练72(含解析)

2019-2020年高考数学一轮复习题组层级快练72(含解析)1.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.143种D.153种答案C解析可分三类:一类:语文、数学各1本,共有9×7=63种;二类:语文、英语各1本,共有9×5=45种;三类:数学、英语各1本,共有7×5=35种;∴共有63+45+35=143种不同选法.2.5名应届毕业生报考3所高校,每人报且仅报1所院校,则不同的报名方法的种数是()A.35B.53C.A23D.C35答案A解析第n名应届毕业生报考的方法有3种(n=1,2,3,4,5),根据分步计算原理,不同的报名方法共有3×3×3×3×3=35(种).3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A.24种B.30种C.36种D.48种答案D解析共有4×3×2×2=48(种),故选D.4.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种答案C解析自由选择去四个工厂有43种方法,甲工厂不去,自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法,故不同的分配方案有43-33=37种.5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目.如要将这2个节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为()A.42 B.30C.20 D.12答案A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第一个有6种插法,插入第2个时有7个空,共7种插法,所以共6×7=42(种).6.(xx·沧州七校联考)已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能,因此5个开关共有25种可能,在这25种可能中,电路从P到Q接通的情况有()A.30种B.10种C.16种D.24种(提示:按有几个开关闭合分类)答案C解析5个开关闭合有1种接通方式;4个开关闭合有5种接通方式;3个开关闭合有8种接通方式;2个开关闭合有2种接通方式,故共有1+5+8+2=16种.7.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为()A.2 000 B.4 096C.5 904 D.8 320答案C解析若卡号后四位数没有4且没有7,这样的卡的个数为84=4 096,∴优惠卡的个数为10 000-4 096=5 904个,故选C.8.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是()A.1 205秒B.1 200秒C.1 195秒D.1 190秒答案C解析要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少,只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍.而所有的闪烁共有A55=120个;因为在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,即每个闪烁的时长为5秒,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒,所以要实现所有不同的闪烁,需要的时间至少是120×(5+5)-5=1 195秒.9.(xx·山东日照模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为()A.6种B.12种C.18种D.24种答案A解析因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后之相邻的空格可填6,7,8任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果,故选A.10.若从集合P到集合Q={a,b,c}所有的不同映射共有81个,则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A.32个B.27个C.81个D.64个答案D解析可设P集合中元素的个数为x,由映射的定义以及分步乘法计数原理,可得P→Q的映射种数为3x=81,可得x=4.反过来,可得Q→P的映射种数为43=64.11.(xx·江南十校)已知I={1,2,3},A,B是集合I的两个非空子集,且A中所有数的和大于B中所有数的和,则集合A,B共有()A.12对B.15对C.18对D.20对答案D解析依题意,当A,B均有一个元素时,有3对;当B有一个元素,A有两个元素时,有8对;当B 有一个元素,A有三个元素时,有3对;当B有两个元素,A有三个元素时,有3对;当A,B均有两个元素时,有3对;共20对,选择D.12.现安排一份5天的工作值班表,每天有一个人值日,共有5个人,每个人都可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,则此值日表共有__________种不同的排法.答案 1 280解析完成一件事是安排值日表,因而需一天一天地排,用分步计数原理,分步进行:第一天有5种不同排法,第二天不能与第一天已排的人相同,所以有4种不同排法,依次类推,第三、四、五天都有4种不同排法,所以共有5×4×4×4×4=1 280种不同的排法.13.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤,若一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是________.答案12解析先选上衣,从4件上衣中选一件有4种,第二步选长裤,从3条长裤中选一条有3种,由分步乘法原理可知有4×3=12种配法.14.(xx·济宁模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有________种.答案24解析分步完成,首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法,其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24种.15.直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A,B的值,则可表示________条不同的直线.答案22解析分成三类:A=0,B≠0;A≠0,B=0和A≠0,B≠0,前两类各表示1条直线;第三类先取A有5种取法,再取B有4种取法,故5×4=20种.所以可以表示22条不同的直线.16.若从正方体的6个表面中取3个面,使其中两个面没有公共点,则共有________种不同的取法.答案12解析分两步完成这件事,第一步取两个平行平面,有3种取法;第二步再取另外一个平面,有4种取法,由分步计数原理共有3×4=12种取法.17.由1到200的自然数中,各数位上都不含8的有______个.答案162解析一位数8个,两位数8×9=72个.3位数有9×9=81个,另外1个(即200),共有8+72+81+1=162个.18.标号为A,B,C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C袋中有3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球.(1)若取出的两个球颜色不同,有多少种取法?(2)若取出的两个球颜色相同,有多少种取法?答案(1)11(2)4解析(1)若两个球颜色不同,则应在A,B袋中各取一个或A,C袋中各取一个,或B,C袋中各取一个.∴应有1×2+1×3+2×3=11种.(2)若两个球颜色相同,则应在B或C袋中取出2个.∴应有1+3=4种.19.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是多少?答案 36个解析 设较小的两边长为x 、y 且x ≤y ,则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤y ≤11,x +y >11,x 、y ∈N *.当x =1时,y =11;当x =2时,y =10,11;当x =3时,y =9,10,11;当x =4时,y =8,9,10,11;当x =5时,y =7,8,9,10,11;当x =6时,y =6,7,8,9,10,11;当x =7时,y =7,8,9,10,11;……当x =11时,y =11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36个.1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )A .56B .65 C.5×6×5×4×3×22D .6×5×4×3×2 答案 A解析 因为每位同学均有5种讲座可供选择,所以6位同学共有5×5×5×5×5×5=56种选法.2.用6种不同的颜色把图中A ,B ,C ,D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( )A .400种B .460种C .480种D .496种答案 C解析 用4种颜色涂有A 46种;用3种颜色涂,则A ,B ,C 不同色,A ,D 同色,共有A 36种,∴共有A 46+A 36=480种. 3.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A .12种B .10种C .9种D .8种答案A解析2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C24种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C24A22=12种,故选A.4.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,若从三名工人中选2名分别去操作以上车床,则不同的选派方法有() A.6种B.5种C.4种D.3种答案C解析若选甲、乙2人,则包括甲操作A车床,乙操作B车床或甲操作B车床,乙操作A车床,共有2种选派方法;若选甲、丙2人,则只有甲操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法;若选乙、丙2人,则只有乙操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法.∴共有2+1+1=4种不同的选派方法.5.从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的和不等于11,这样的子集共有________个.答案32解析和为11的数共有5组:1与10,2与9,3与8,4与7,5与6,子集中的元素不能取自同一组中的两个数,即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种,所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.6.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.解析方法一可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法.当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C 染4,则D可染3或5,有2种染色;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420种.方法二以S,A,B,C,D顺序分步染色.第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3(1×3+2×2)=420种.方法三按所用颜色种数分类.第一类,5种颜色全用,共有A55种不同的方法;第二类,只有4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C,或B与D),共有2×A45种不同的方法;第三类,只有3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有A35种不同的方法.由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为A55+2×A45+A35=420种..。

高考数学一轮复习 题组层级快练2(含解析)-人教版高三全册数学试题

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题组层级快练(二)1.有下列四个命题:①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“若a >b ,则a 2>b 2”的逆否命题; ③“若x ≤-3,则x 2+x -6>0”的否命题; ④“若a b是无理数,则ab 是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3答案 B2.(2015·某某质检)命题“若a 2+b 2=0,a ,b ∈R ,则a =b =0”的逆否命题是( ) A .若a ≠b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2=0 B .若a =b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 C .若a ≠0且b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 D .若a ≠0或b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 答案 D解析 a =b =0是a =0,且b =0的意思,含有“且”“或”语句在否定时的规律是“且”变为“或”,“或”要变为“且”.3.“a >1”是“1a<1”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件答案 B4.已知p :a ≠0,q :ab ≠0,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 ab =0⇒/ a =0,但a =0⇒ab =0,因此,p 是q 的必要不充分条件,故选B. 5.(2013·某某)给定两个命题p ,q .若綈p 是q 的必要而不充分条件,则p 是綈q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ,所以p 是綈q 的充分而不必要条件. 6.下面四个条件中,使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A .a >b +1 B .a >b -1 C .a 2>b 2D .a 3>b 3答案 A解析 由a >b +1,得a >b +1>b ,即a >b ,而由a >b 不能得出a >b +1,因此,使a >b 成立的充分不必要条件是a >b +1,选A.7.若x ,y ∈R ,则下列命题中,甲是乙的充分不必要条件的是( ) A .甲:xy =0 乙:x 2+y 2=0 B .甲:xy =0 乙:|x |+|y |=|x +y | C .甲:xy =0 乙:x ,y 至少有一个为零 D .甲:x <y 乙:x y<1 答案 B解析 选项A :甲:xy =0即x ,y 至少有一个为0, 乙:x 2+y 2=0即x 与y 都为0.甲/⇒乙,乙⇒甲. 选项B :甲:xy =0即x ,y 至少有一个为0,乙:|x |+|y |=|x +y |即x ,y 至少有一个为0或同号. 故甲⇒乙且乙/⇒甲.选项C :甲⇔乙,选项D ,由甲x <y 知当y =0,x <0时,乙不成立,故甲/⇒乙. 8.在△ABC 中,设p :a sin B =b sin C =csin A ;q :△ABC 是正三角形,那么p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 若p 成立,即a sin B =b sin C =c sin A ,由正弦定理,可得a b =b c =ca=k .∴⎩⎪⎨⎪⎧a =kb ,b =kc ,c =ka ,∴a =b =c .则q :△ABC 是正三角形成立.反之,若a =b =c ,∠A =∠B =∠C =60°,则a sin B =b sin C =csin A .因此p ⇒q 且q ⇒p ,即p 是q 的充要条件.故选C.9.(2015·《高考调研》原创题)“(m -1)(a -1)>0”是“log a m >0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 (m -1)(a -1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1,a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1,a <1,而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1,a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1,0<a <1,所以条件具有必要性,但不具有充分性,比如m =0,a =0时,不能得出log a m >0,故选B.10.设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a|a |=b|b |成立的充分条件是( )A .a =-bB .a ∥bC .a =2bD .a ∥b 且|a |=|b |答案 C解析 因为a |a |=b |b |,则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量,所以a 与b 共线同向,即使a |a |=b|b |成立的充分条件为C 项.11.(2014·某某理)设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f (x )=x |x |,则f (x )在定义域R 上为奇函数.因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以函数f (x )在R 上单调递增,所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.选C.12.(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件.(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件.答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y -x )<0,即x >y >0或y <x <0或x <0<y .(2)题目即判断θ=π4是tan θ=1的什么条件,显然是充分不必要条件.13.如果对于任意实数x ,〈x 〉表示不小于x 的最小整数,例如〈1.1〉=2,〈-1.1〉=-1,那么“|x -y |<1”是“〈x 〉=〈y 〉”的________条件.答案 必要不充分解析 可举例子,比如x =-0.5,y =-1.4,可得〈x 〉=0,〈y 〉=-1;比如x =1.1,y =1.5,〈x 〉=〈y 〉=2,|x -y |<1成立.因此“|x -y |<1”是〈x 〉=〈y 〉的必要不充分条件.14.已知A 为xOy 平面内的一个区域.命题甲:点(a ,b )∈{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≤0,x ≥0,3x +y -6≤0};命题乙:点(a ,b )∈A .如果甲是乙的充分条件,那么区域A 的面积的最小值是________. 答案 2解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≤0,x ≥0,3x +y -6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意,甲是乙的充分条件,则B ⊆A ,所以区域A 面积的最小值为S △PMN =12×4×1=2.15.“a =14”是“对任意的正数x ,均有x +ax ≥1”的________条件.答案 充分不必要解析 当a =14时,对任意的正数x ,x +a x =x +14x≥2x ·14x =1,而对任意的正数x ,要使x +ax≥1,只需f (x )=x +a x 的最小值大于或等于1即可,而在a 为正数的情况下,f (x )=x +a x的最小值为f (a )=2a ≥1,得a ≥14,故充分不必要.16.已知命题p :|x -2|<a (a >0),命题q :|x 2-4|<1,若p 是q 的充分不必要条件,某某数a 的取值X 围.答案 0<a ≤5-2解析 由题意p :|x -2|<a ⇔2-a <x <2+a ,q :|x 2-4|<1⇔-1<x 2-4<1⇔3<x 2<5⇔-5<x <-3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件,所以有⎩⎨⎧-5≤2-a ,2+a ≤-3,a >0,①或⎩⎨⎧3≤2-a ,2+a ≤5,a >0,②.由①得a 无解;由②解得0<a ≤5-2.17.已知f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ,对命题“若a +b ≥0,则f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).”(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 答案 略 解 (1)逆命题:已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ,若f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ),则a +b ≥0. (用反证法证明)假设a +b <0,则有a <-b ,b <-a . ∵f (x )在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f (a )<f (-b ),f (b )<f (-a ).∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ),这与题设中f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )矛看,故假设不成立. 从而a +b ≥0成立.逆命题为真. (2)逆否命题:已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ,若f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ),则a +b <0. 原命题为真,证明如下: ∵a +b ≥0,∴a ≥-b ,b ≥-a . 又∵f (x )在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ).∴f (a )+f (b )≥f (-b )+f (-a )=f (-a )+f (-b ). ∴原命题为真命题. ∴其逆否命题也为真命题.18.(2015·某某兴化月考)已知命题:“∃x ∈{x |-1<x <1},使等式x 2-x -m =0成立”是真命题. (1)某某数m 的取值集合M ;(2)设不等式(x -a )(x +a -2)<0的解集为N ,若x ∈N 是x ∈M 的必要条件,某某数a 的取值X 围. 答案 (1){m |-14≤m <2}(2)(-∞,-14)∪(94,+∞)解析 (1)由题意知,方程x 2-x -m =0在(-1,1)上有解,即m 的取值X 围就为函数y =x 2-x 在(-1,1)上的值域,易知M ={m |-14≤m <2}.(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件,所以M ⊆N . 当a =1时,解集N 为空集,不满足题意; 当a >1时,a >2-a ,此时集合N ={x |2-a <x <a }, 则⎩⎪⎨⎪⎧2-a <-14,a ≥2,解得a >94;当a <1时,a <2-a ,此时集合N ={x |a <x <2-a }, 则⎩⎪⎨⎪⎧a <-14,2-a ≥2,解得a <-14.综上,a >94或a <-14.1.0<x <2是不等式|x +1|<3成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x +1|<3,得-4<x <2.2.“α=π6+2k π(k ∈Z )”是“cos2α=12”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由α=π6+2k π(k ∈Z ),知2α=π3+4k π(k ∈Z ),则cos2α=cos π3=12成立,当cos2α=12时,2α=2k π±π3,即α=k π±π6(k ∈Z ),故选A.3.(2015·某某一模)已知向量a =(-1,2),b =(3,m ),m ∈R ,则“m =-6”是“a ∥(a +b )”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 由已知,a +b =(2,2+m ).若m =-6,则a +b =(2,-4),a ∥(a +b )成立;若a ∥(a +b ),则2-1=m +22,m =-6,所以“m =-6”是“a ∥(a +b )”的充要条件,选A. 4.已知条件p :x +y ≠-2,条件q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1,或y ≠-1,所以綈p :x +y =-2,綈q :x =-1,且y =-1,因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件,故选A.5.(2015·某某一模)以q 为公比的等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“q >1”的( ) A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 在等比数列中,若a 1>0,则由a 1<a 3,可得q 2>1,即q >1或q <-1.由“q >1”可推得“q >1或q <-1”成立,但是反之不成立,故“a 1<a 3”是“q >1”的必要而不充分条件,故选A.6.(2015·东北三省一模)已知p :x ≥k ,q :3x +1<1,若p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值X 围是( )A .[2,+∞)B .(2,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,-1]答案 B 解析 ∵q :3x +1<1,∴3x +1-1<0,∴2-xx +1<0. ∴(x -2)·(x +1)>0,∴x <-1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件,所以k >2,故选B.7.已知命题“若函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”,则下列结论正确的是( ) A .否命题“若函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是减函数,则m >1”是真命题 B .逆否命题“若m ≤1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C .逆否命题“若m >1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D .逆否命题“若m >1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题答案 D解析f′(x)=e x-m≥0,∴m≤e x.又∵x>0,∴e x>1.∴m≤1,故原命题正确,因此选D.8.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d”.对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,其中真命题有________个.答案 2解析逆命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.否命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b且c=d,则a+c=b+d.逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b且c=d.取a=1,b=2,c=3,d=2,则有a≠b或c≠d为真,但a+c=b+d,知原命题为假;逆命题的真假不易判断,但否命题显然为真命题.根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题都是互为逆否关系,真假性相同,可知4个命题中的真命题有2个.9.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为________.答案-1解析由x2>1,得x<-1或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.。

高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)

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题组层级快练(六十)1.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为( ) A .x 2+y 2-2x -1=0 B .x 2+y 2-2x -3=0 C .x 2+y 2+2x -1=0 D .x 2+y 2+2x -3=0答案 B解析 ∵抛物线y 2=4x 的焦点是(1,0),∴圆的标准方程是(x -1)2+y 2=4,展开得x 2+y 2-2x -3=0.2.若圆(x +3)2+(y -1)2=1关于直线l :mx +4y -1=0对称,则直线l 的斜率为( ) A .4 B .-4 C.14 D .-14答案 D解析 依题意,得直线mx +4y -1=0经过点(-3,1), 所以-3m +4-1=0.所以m =1.故直线l 的斜率为-14.3.过点P (0,1)与圆x 2+y 2-2x -3=0相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A .x =0 B .y =1 C .x +y -1=0 D .x -y +1=0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线,因此所求直线方程是x +y =1,即x +y -1=0,选C.4.过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ,b ),半径为r . ∵圆心C 在直线x +y -2=0上,∴b =2-a . ∵|CA |2=|CB |2,∴(a -1)2+(2-a +1)2=(a +1)2+(2-a -1)2. ∴a =1,b =1.∴r =2. ∴方程为(x -1)2+(y -1)2=4.5.(2015·四川成都外国语学校)已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为( )A .(x +2)2+(y -2)2=1 B .(x -2)2+(y +2)2=1 C .(x +2)2+(y +2)2=1 D .(x -2)2+(y -2)2=1答案 B解析 C 1:(x +1)2+(y -1)2=1的圆心为(-1,1),它关于直线x -y -1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C 2的方程为(x -2)2+(y +2)2=1.6.(2015·山东青岛一模)若过点P (1,3)作圆O :x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 和B ,则弦长|AB |=( )A. 3 B .2 C. 2 D .4答案 A解析 如图所示,∵PA ,PB 分别为圆O :x 2+y 2=1的切线,∴OA ⊥AP .∵P (1,3),O (0,0), ∴|OP |=1+3=2. 又∵|OA |=1,∴在Rt △APO 中,cos ∠AOP =12.∴∠AOP =60°,∴|AB |=2|AO |sin ∠AOP = 3.7.在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A .5 2B .10 2C .15 2D .20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x -1)2+(y -3)2=10,则圆心(1,3),半径r =10,由题意知AC ⊥BD ,且|AC |=210,|BD |=210-5=25,所以四边形ABCD 的面积为S =12|AC |·|BD |=12×210×25=10 2. 8.已知点P 在圆x 2+y 2=5上,点Q (0,-1),则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A .x 2+y 2-x =0 B .x 2+y 2+y -1=0 C .x 2+y 2-y -2=0 D .x 2+y 2-x +y =0答案 B解析 设P (x 0,y 0),PQ 中点的坐标为(x ,y ),则x 0=2x ,y 0=2y +1,代入圆的方程即得所求的方程是4x 2+(2y +1)2=5,化简,得x 2+y 2+y -1=0.9.已知两点A (0,-3),B (4,0),若点P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,则△ABP 面积的最小值为( ) A .6 B.112 C .8 D.212答案 B解析 如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ,连接BP ,AP ,这时△ABP 的面积最小.直线AB 的方程为x 4+y-3=1,即3x -4y -12=0,圆心C 到直线AB 的距离为d =|3×0-4×1-12|32+-42=165, ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.10.在平面直角坐标系中,若动点M (x ,y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,x +y -2≤0,y -1≥0,动点Q 在曲线(x -1)2+y 2=12上,则|MQ |的最小值为( )A. 2B.322C .1-22D.5-12答案 C解析 作出平面区域,由图形可知|MQ |的最小值为1-22.11.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________. 答案 (x +2)2+(y -32)2=254解析 对于直线3x -4y +12=0,当x =0时,y =3;当y =0时,x =-4.即以两点(0,3),(-4,0)为端点的线段为直径,则r =32+422=52,圆心为(-42,32),即(-2,32).∴圆的方程为(x +2)2+(y -32)2=254.12.从原点O 向圆C :x 2+y 2-6x +274=0作两条切线,切点分别为P ,Q ,则圆C 上两切点P ,Q 间的劣弧长为________.答案 π解析 如图,圆C :(x -3)2+y 2=94,所以圆心C (3,0),半径r =32.在Rt △POC 中,∠POC =π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32=π.13.设圆C 同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y =x 上;③截y 轴所得的弦长为4,则圆C 的方程是________.答案 (x +2)2+(y +2)2=8或(x -2)2+(y -2)2=8 解析 由题意可设圆心A (a ,a ),如图,则22+22=2a 2,解得a =±2,r 2=2a 2=8.所以圆C 的方程是(x +2)2+(y +2)2=8或(x -2)2+(y -2)2=8.14.一个圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且在直线y =x 上截得的弦长为27,求此圆的方程.答案 x 2+y 2-6x -2y +1=0或x 2+y 2+6x +2y +1=0解析 方法一:∵所求圆的圆心在直线x -3y =0上,且与y 轴相切, ∴设所求圆的圆心为C (3a ,a ),半径为r =3|a |. 又圆在直线y =x 上截得的弦长为27, 圆心C (3a ,a )到直线y =x 的距离为d =|3a -a |12+12.∴有d 2+(7)2=r 2.即2a 2+7=9a 2,∴a =±1. 故所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 方法二:设所求的圆的方程是(x -a )2+(y -b )2=r 2, 则圆心(a ,b )到直线x -y =0的距离为|a -b |2.∴r 2=(|a -b |2)2+(7)2.即2r 2=(a -b )2+14.①由于所求的圆与y 轴相切,∴r 2=a 2.② 又因为所求圆心在直线x -3y =0上, ∴a -3b =0.③ 联立①②③,解得a =3,b =1,r 2=9或a =-3,b =-1,r 2=9.故所求的圆的方程是(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 方法三:设所求的圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,圆心为(-D 2,-E 2),半径为12D 2+E 2-4F .令x =0,得y 2+Ey +F =0.由圆与y 轴相切,得Δ=0,即E 2=4F .④又圆心(-D 2,-E2)到直线x -y =0的距离为|-D 2+E2|2,由已知,得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|-D 2+E 2|22+(7)2=r 2,即(D -E )2+56=2(D 2+E 2-4F ).⑤ 又圆心(-D 2,-E2)在直线x -3y =0上,∴D -3E =0.⑥ 联立④⑤⑥,解得D =-6,E =-2,F =1或D =6,E =2,F =1.故所求圆的方程是x 2+y 2-6x -2y +1=0 或x 2+y 2+6x +2y +1=0.15.已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |=410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程. 答案 (1)x +y -3=0(2)(x +3)2+(y -6)2=40或(x -5)2+(y +2)2=40 解析 (1)直线AB 的斜率k =1,AB 的中点坐标为(1,2), ∴直线CD 的方程为y -2=-(x -1),即x +y -3=0. (2)设圆心P (a ,b ),则由P 在CD 上得a +b -3=0.① 又直径|CD |=410, ∴|PA |=210. ∴(a +1)2+b 2=40. 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =6或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2.∴圆心P (-3,6)或P (5,-2).∴圆P 的方程为(x +3)2+(y -6)2=40或(x -5)2+(y +2)2=40. 16.已知实数x ,y 满足x 2+y 2-2y =0. (1)求2x +y 的取值范围;(2)若x +y +c ≥0恒成立,求实数c 的取值范围. 答案 (1)1-5≤2x +y ≤1+ 5 (2)c ≥2-1解析 (1)方法一:圆x 2+(y -1)2=1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =1+sin θ,∴2x +y =2cos θ+sin θ+1. ∵-5≤2cos θ+sin θ≤5, ∴1-5≤2x +y ≤5+1.方法二:2x +y 可看作直线y =-2x +b 在y 轴的截距,当直线与圆相切时b 取最值,此时|2×0+1-b |5=1.∴b =1±5,∴1-5≤2x +y ≤1+ 5.(2)∵x +y =cos θ+1+sin θ=2sin(θ+π4)+1,∴x +y +c 的最小值为1-2+c . ∴x +y +c ≥0恒成立等价于1-2+c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2-1.1.将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0 D .x -y +3=0答案 C解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2.设A (0,0),B (1,1),C (4,2),若线段AD 是△ABC 外接圆的直径,则点D 的坐标是( ) A .(-8,6) B .(8,-6) C .(4,-6) D .(4,-3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x +y -1=0与线段AC 的垂直平分线2x +y -5=0的交点即圆心(4,-3),直径为10,易得点D 的坐标为(8,-6).3.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴相切,则该圆的标准方程是( ) A .(x -3)2+(y -73)2=1B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -32)2+(y -1)2=1答案 B解析 设圆心为(a,1),由已知得d =|4a -3|5=1,∴a =2(舍-12).4.圆心在抛物线x 2=2y (x >0)上,并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( ) A .x 2+y 2-x -2y -14=0B .x 2+y 2+x -2y +1=0 C .x 2+y 2-x -2y +1=0 D .x 2+y 2-2x -y +14=0答案 D解析 ∵圆心在抛物线上,∴设圆心(a ,a 22).∴圆的方程为(x -a )2+(y -a 22)2=r 2.∴x 2+y 2-2ax -a 2y +a 2+a 44-r 2=0.对比A ,B ,C ,D 项,仅D 项x ,y 前系数符合条件.5.若方程16-x 2-x -m =0有实数解,则实数m 的取值范围为( ) A .-42≤m ≤4 2 B .-4≤m ≤4 2 C .-4≤m ≤4 D .4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16-x 2=x +m 有实数解,分别作出y =16-x 2与y =x +m 的图像,若两图像有交点,需-4≤m ≤4 2.6.若直线l :4x -3y -12=0与x ,y 轴的交点分别为A ,B ,O 为坐标原点,则△AOB 内切圆的方程为________.答案 (x -1)2+(y +1)2=1解析 由题意知,A (3,0),B (0,-4),则|AB |=5.∴△AOB 的内切圆半径r =3+4-52=1,内切圆的圆心坐标为(1,-1).∴内切圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=1.7.已知圆C 的方程为x 2+y 2-mx -2my =0(m ≠0),以下关于这个圆的叙述中,所有正确命题的序号是________.①圆C 必定经过坐标原点;②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限; ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ;④直线y =x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心. 答案 ①②8.(2015·吉林长春一调)若圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称,则由点(a ,b )向圆所作的切线长的最小值为________.答案 4解析 圆C :(x +1)2+(y -2)2=2,圆心坐标为C (-1,2)代入直线2ax +by +6=0,得-2a +2b +6=0即点(a ,b )在直线x -y -3=0上.过C (-1,2)作l 的垂线,垂足设为D ,过D 作圆C 的切线,切点设为E ,则切线长|DE |最短,于是有|CE |=2,|CD |=|6|2=32,∴切线长|DE |=|CD |2-r 2=4.9.在直角坐标系xOy 中,以M (-1,0)为圆心的圆与直线x -3y -3=0相切. (1)求圆M 的方程;(2)如果圆M 上存在两点关于直线mx +y +1=0对称,求实数m 的值.(3)已知A (-2,0),B (2,0),圆内的动点P 满足|PA |·|PB |=|PO |2,求PA →·PB →的取值范围.答案 (1)(x +1)2+y 2=4 (2)m =1 (3)[-2,6)解析 (1)依题意,圆M 的半径r 等于圆心M (-1,0)到直线x -3y -3=0的距离,即r =|-1-3|1+3=2.∴圆M 的方程为(x +1)2+y 2=4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx +y +1=0对称, ∴直线mx +y +1=0必过圆心M (-1,0). ∴-m +1=0,∴m =1.(3)设P (x ,y ),由|PA ||PB |=|PO |2,得x +22+y 2·x -22+y 2=x 2+y 2,即x 2-y 2=2.∴PA →·PB →=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y ) =x 2-4+y 2=2(y 2-1). ∵点P 在圆M 内,∴(x +1)2+y 2<4,∴0≤y 2<4,∴-1≤y 2-1<3. ∴PA →·PB →的取值范围为[-2,6).。

高考调研高一数学必修一题组层级快练答案

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高考调研高一数学必修一题组层级快练答案1、下列表示正确的是()[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ2、36、下列生活实例中, 数学原理解释错误的一项是( ) [单选题] *A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠, 数学原理: 在同一平面内, 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线(正确答案)B. 两个村庄之间修一条最短的公路, 其中的数学原理是:两点之间线段最短C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子, 其中的数学原理是: 两点确定一条直线D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路, 数学原理: 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短.3、16.我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数,若气温升高时,气温变化记作,那么气温下降时,气温变化记作()[单选题] *A.-10℃(正确答案)B.-13℃C.+10℃D.+13℃4、14.在防治新型冠状病毒的例行体温检查中,检查人员将高出37℃的部分记作正数,将低于37℃的部分记作负数,体温正好是37℃时记作“0”。

记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+1,-3,-5,+1,-6,+2,-4,那么,该被测者这一周中测量体温的平均值是(??)[单选题] *A.1℃B.31℃C.8℃(正确答案)D.69℃5、260°是第()象限角?[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限6、19、如果点M是第三象限内的整数点,那么点M的坐标是()[单选题] *(-2,-1)(-2,-2)(-3,-1)(正确答案)(-3,-2)7、以A(3,2),B(6,5),C(1,10)为顶点的三角形是()[单选题] *A、锐角三角形B、锐角三角形C、直角三角形(正确答案)D、无法判断8、1、方程x2?-X=0 是(? ? )? ? ? ? ? ? 。

[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程9、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是()。

高考数学一轮复习 题组层级快练26(含解析)

高考数学一轮复习 题组层级快练26(含解析)

题组层级快练(二十六)1.函数f (x )=(1+3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A .2π B.3π2 C .π D.π2答案 A解析 f (x )=(1+3tan x )cos x =cos x +3sin x cos x ·cos x =2cos(x -π3),则T =2π.2.下列函数中,周期为π,且在[π4,π2]上为减函数的是( )A .y =sin(2x +π2)B .y =cos(2x +π2)C .y =sin(x +π2)D .y =cos(x +π2)答案 A解析 对于选项A ,注意到y =sin(2x +π2)=cos2x 的周期为π,且在[π4,π2]上是减函数,故选A.3.函数y =sin(π4-x )的一个单调递增区间为( )A .(3π4,7π4)B .(-π4,3π4)C .(-π2,π2)D .(-3π4,π4)答案 A解析 y =sin(π4-x )=-sin(x -π4),故由2k π+π2≤x -π4≤2k π+3π2,解得2k π+34π≤x ≤2k π+74π(k ∈Z ).因此,函数y =sin(π4-x )的单调增区间为[2k π+34π,2k π+74π](k ∈Z ).4.(2015·湖南洛阳模拟)若函数y =sin x +φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A.π2B.23πC.32πD.53π 答案 C解析 sin(-x 3+φ3)=sin(x 3+φ3)观察选项.当φ=32π时,等式恒成立.5.函数f (x )=(1+cos2x )sin 2x 是( ) A .周期为π的奇函数 B .周期为π的偶函数 C .周期为π2的奇函数D .周期为π2的偶函数答案 D解析 f (x )=(1+cos2x )sin 2x =2cos 2x sin 2x =12sin 22x =1-cos4x 4,则T =2π4=π2且为偶函数.6.函数g (x )=sin 22x 的单调递增区间是( ) A .[k π2,k π2+π4](k ∈Z ) B .[k π,k π+π4](k ∈Z )C .[k π2+π4,k π2+π2](k ∈Z ) D .[k π+π4,k π+π2](k ∈Z )答案 A7.如果函数y =3cos(2x +φ)的图像关于点(4π3,0)成中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 A解析 依题意得3cos(8π3+φ)=0,8π3+φ=k π+π2,φ=k π-136π(k ∈Z ),因此|φ|的最小值是π6. 8.已知函数y =sin ωx 在[-π3,π3]上是增函数,则实数ω的取值范围是( )A .[-32,0)B .[-3,0)C .(0,32]D .(0,3]答案 C解析 由于y =sin x 在[-π2,π2]上是增函数,为保证y =sin ωx 在[-π3,π3]上是增函数,所以ω>0且π3·ω≤π2,则0<ω≤32. 9.下列函数中,对于任意x ∈R ,同时满足条件f (x )=f (-x )和f (x -π)=f (x )的函数是( ) A .f (x )=sin x B .f (x )=sin x cos x C .f (x )=cos x D .f (x )=cos 2x -sin 2x答案 D解析 因为对任意x ∈R 有f (x )=f (-x )且f (x -π)=f (x ),所以f (x )为偶函数且f (x )的最小正周期为π.故A ,C 错.B 项中,f (x )=sin x cos x =12sin2x 为奇函数,故B 错,D 项中,f (x )=cos 2x -sin 2x=cos2x ,满足条件,故选D.10.将函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( ) A .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递增 答案 B解析 y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度得到y =3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2+π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π.令2k π-π2≤2x -23π≤2k π+π2,得k π+π12≤x ≤k π+712π,k ∈Z .则y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π12,k π+712π,k ∈Z .令k =0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,712π,故B 正确.画出y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上的简图,如图,可知y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上不具有单调性,故C ,D 错误.11.(2015·南昌大学附中)设f (x )=sin(ωx +φ),其中ω>0,则f (x )是偶函数的充要条件是( ) A .f (0)=1B .f (0)=0C .f ′(0)=1D .f ′(0)=0答案 D解析 f (x )=sin(ωx +φ)是偶函数,有φ=k π+π2,k ∈Z .∴f (x )=±cos ωx .而f ′(x )=±ωsin ωx ,∴f ′(0)=0,故选D.12.(2015·北京顺义一模)已知函数f (x )=cos(2x +π3)-cos2x ,其中x ∈R ,给出下列四个结论: ①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数; ②函数f (x )图像的一条对称轴是直线x =2π3;③函数f (x )图像的一个对称中心为(5π12,0);④函数f (x )的单调递增区间为[k π+π6,k π+2π3],k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4答案 C解析 由已知得,f (x )=cos(2x +π3)-cos2x =cos2x cos π3-sin2x sin π3-cos2x =-sin(2x +π6),不是奇函数,故①错.当x =2π3时,f (2π3)=-sin(4π3+π6)=1,故②正确;当x =5π12时,f (5π12)=-sin π=0,故③正确;令2k π+π2≤2x +π6≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ,故④正确.综上,正确的结论个数为3.13.(2013·江西理)函数y =sin2x +23sin 2x 的最小正周期T 为________. 答案 π解析 y =sin2x +23sin 2x =sin2x -3cos2x +3=2sin(2x -π3)+3,所以该函数的最小正周期T =2π2=π. 14.将函数y =sin(ωx +φ)(π2<φ<π)的图像,仅向右平移4π3,或仅向左平移2π3,所得到的函数图像均关于原点对称,则ω=________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半,即有T 2=4π3-(-2π3)=2π,T =4π,即2πω=4π,ω=12.15.设函数f (x )=sin(3x +φ)(0<φ<π),若函数f (x )+f ′(x )是奇函数,则φ=________. 答案2π3解析 由题意得f ′(x )=3cos(3x +φ),f (x )+f ′(x )=2sin(3x +φ+π3)是奇函数,因此φ+π3=k π(其中k ∈Z ),φ=k π-π3.又0<φ<π,所以φ=2π3. 16.已知函数f (x )=sin x +a cos x 的图像的一条对称轴是x =5π3,则函数g (x )=a sin x +cos x 的初相是________.答案 23π解析 f ′(x )=cos x -a sin x ,∵x =5π3为函数f (x )=sin x +a cos x 的一条对称轴,∴f ′(5π3)=cos 5π3-a sin 5π3=0,解得a =-33.∴g (x )=-33sin x +cos x =233(-12sin x +32cos x ) =233sin(x +2π3). 17.(2013·安徽理)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f (x )在区间[0,π2]上的单调性.答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0,π8],单调递减区间为[π8,π2]解析 (1)f (x )=4cos ωx ·sin(ωx +π4)=22sin ωx ·cos ωx +22cos 2ωx =2(sin2ωx +cos2ωx )+ 2 =2sin(2ωx +π4)+ 2.因为f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 从而有2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知,f (x )=2sin(2x +π4)+ 2.若0≤x ≤π2,则π4≤2x +π4≤5π4.当π4≤2x +π4≤π2,即0≤x ≤π8时,f (x )单调递增; 当π2≤2x +π4≤5π4,即π8≤x ≤π2时f (x )单调递减. 综上可知,f (x )在区间[0,π8]上单调递增,在区间[π8,π2]上单调递减. 18.已知函数f (x )= sin x -cos x sin2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递减区间.答案 (1){x ∈R |x ≠k π,k ∈Z } T =π (2)[k π+3π8,k π+7π8](k ∈Z )解析 (1)由sin x ≠0,得x ≠k π(k ∈Z ). 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z }. 因为f (x )=(sin x -cos x )sin2xsin x=2cos x (sin x -cos x ) =sin2x -cos2x -1 =2sin(2x -π4)-1,所以f (x )的最小正周期为T =2π2=π.(2)函数y =sin x 的单调递减区间为[2k π+π2,2k π+3π2](k ∈Z ).由2k π+π2≤2x -π4≤2k π+3π2,x ≠k π(k ∈Z ),得k π+3π8≤x ≤k π+7π8(k ∈Z ).所以f (x )的单调递减区间为[k π+3π8,k π+7π8](k ∈Z ).1.(2013·浙江理)已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,φ∈R ),则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 f (x )是奇函数时,φ=π2+k π(k ∈Z );φ=π2时,f (x )=A cos(ωx +π2)=-A sin ωx 为奇函数.所以“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件,选B.2.已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A .[k π-π3,k π+π6](k ∈Z )B .[k π,k π+π2](k ∈Z )C .[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z )D .[k π-π2,k π](k ∈Z )答案 C解析 由题意知,f (x )在π6处取得最大值或最小值,∴x =π6是函数f (x )的对称轴.∴2×π6+φ=π2+k π,φ=π6+k π,k ∈Z .又由f (π2)>f (π),得sin φ<0.∴φ=-56π+2k π(k ∈Z ),不妨取φ=-56π.∴f (x )=sin(2x -5π6).由2k π-π2≤2x -56π≤2k π+π2,得f (x )的单调递增区间是[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ). 3.若函数f (x )=M sin(ωx +φ)(ω>0)在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )=-M ,f (b )=M ,则函数g (x )=M cos(ωx +φ)在[a ,b ]上( )A .是增函数B .是减函数C .可以取得最大值MD .可以取得最小值-M 答案 C解析 方法一(特值法):取M =2,w =1,φ=0画图像即得答案.方法二:T =2πw ,g (x )=M cos(wx +φ)=M sin(wx +φ+π2)=M sin[w (x +π2w )+φ],∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的.由b -a =T 2,可知,g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b -a2得到的.∴得到g (x )图像如图所示.选C.4.已知函数f (x )=2cos 2x +23sin x cos x -1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程; (2)求函数f (x )的单调增区间. 答案 (1)T =π,对称轴方程为x =k π2+π6(k ∈Z ) (2)[k π-π3,k π+π6](k ∈Z )解析 f (x )=2cos 2x +23sin x cos x -1=3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6).(1)f (x )的周期T =π,函数f (x )的对称轴方程为x =k π2+π6(k ∈Z ). (2)由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2(k ∈Z ),得kx -π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z ).∴函数f (x )的单调增区间为[k π-π3,k π+π6](k ∈Z ).5.已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 答案 (1)12 (2)T =π,⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z思路 (1)由sin α=22与α的取值范围,求出cos α或α的值;再代入函数f (x ),即可求出f (α)的值.(2)利用二倍角公式与辅助角公式,化简函数f (x ),再利用周期公式,即可求出函数f (x )的最小正周期;利用正弦函数的单调性,即可求出函数f (x )的单调递增区间.解析 方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,∴cos α=22.∴f (α)=22⎝ ⎛⎭⎪⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12=12sin2x +12cos2x =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12=12sin2x +12cos2x =22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4.(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4.从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=22sin 3π4=12.(2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .。

2019-2020学年度最新数学高考一轮复习(文科)训练题:天天练 26 Word版含解析

2019-2020学年度最新数学高考一轮复习(文科)训练题:天天练 26 Word版含解析

2019-2020学年度最新数学高考一轮复习(文科)训练题:天天练26 Word版含解析一、选择题1.(2018·四川资阳联考)给出下列几个命题,其中正确命题的个数是()①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形,且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等;④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.A.0 B.1C.2 D.3答案:B解析:①错误,只有这两点的连线平行于轴线时才是母线;②正确;③错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等;④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④不正确.故选B.2.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是()答案:C解析:A选项中的几何体,正视图不符,侧视图也不符,俯视图中没有虚线;B选项中的几何体,俯视图中不出现虚线;C选项中的几何体符合三个视图;D选项中的几何体,正视图不符.故选C.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如右图所示),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的正视图为()答案:C解析:过点A,E,C1的平面与棱DD1,相交于点F,且F是棱DD1的中点,截去正方体的上半部分,剩余几何体的直观图如右图所示,则其正视图应为选项C.4.(2018·保定一模)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点C1的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A.①②B.①③C.③④D.②④答案:D解析:蚂蚁由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点C1的位置,若把平面BCC1B1展开到与平面ABB1A1在同一个平面内,在矩形中连接AC1,会经过BB1的中点,故此时的正视图为②.若把平面ABCD展开到与平面CDD1C1在同一个平面内,在矩形中连接AC1,会经过CD的中点,此时正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了.故选D.5.(2018·福建南平一模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23 D .1答案:B解析:由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,其中P A ⊥底面ABC ,P A =2,AB ⊥BC ,AB =BC =1.∴S △ABC =12·AB ·BC =12×12=12.因此V =13·S △ABC ·P A =13×12×2=13.故选B.6.(2018·辽宁铁岭三联)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为( )A.8π3B.16π3C .16π D.64π3答案:D解析:由三视图知几何体是三棱锥S -ABC ,且平面SAC 与底面ABC 垂直,高为23,如图所示,其中OA =OB =OC =2,SO ⊥平面ABC ,且SO =23,其外接球的球心在SO 上,设球心为M ,OM =x ,则4+x 2=23-x ,解得x =233,∴外接球的半径R =433,∴几何体的外接球的表面积S =4π×163=643π.故选D.7.(2018·广东七校联考(二))《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2 000斛,(注:1丈=10尺,1尺=10寸,1斛≈1.62立方尺,圆周率取3),则圆柱底面圆周长约为( )A .1丈3尺B .5丈4尺C .9丈2尺D .48丈6尺答案:B解析:由题意,圆柱形谷仓的高h =10+3+110×⎝ ⎛⎭⎪⎫3+13=403(尺),体积V ≈2 000×1.62=3 240(立方尺).设圆柱的底面半径为R 尺,由体积公式得πR 2×403≈3 240,得3R 2×403≈3 240,解得R 2≈81,故R ≈9,所以底面圆周长C =2πR ≈2×3×9=54(尺),即5丈4尺,故选B.8.(2018·山西临汾三模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面直径为4,高为4的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为( )A.38B.58C.512D.712答案:C 解析:由题图及题意可知,该几何体是由两个圆台组成的,圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为2,所以该几何体的体积为V 1=13⎝⎛⎭⎫π×12+π×22+π×12×π×22×2×2=283π.原毛坯的体积为V =π×22×4=16π,所以切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为V -V 1V =512.二、填空题9.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱,AB =3,BC =2,圆柱上底面圆心为O ,△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥O -EFG 体积的最大值是________.答案:4解析:由题意知,圆柱的底面半径r =BC =2,高h =AB =3.由△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形可得,该三角形的斜边长为2r =4,不妨设两直角边分别为a ,b ,则a 2+b 2=(2r )2=16,该直角三角形的面积S =12ab ,三棱锥O -EFG 的高等于圆柱的高h =3,所以其体积V =13×12ab × 3=12ab .由基本不等式可得V =12ab ≤12×a 2+b 22=14×16=4(当且仅当a =b 时等号成立).10.(2017·天津卷,10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.答案:92π解析:本题考查正方体的表面积及外接球的体积.设这个正方体的棱长为a ,由题意可知6a 2=18,所以a =3,所以这个正方体的外接球半径R =32a =32,所以这个正方体外接球的体积V =43πR 3=43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323=92π. 11.如图是一个几何体的三视图,若其正视图的面积等于8 cm 2,俯视图是一个面积为4 3 cm 2的正三角形,则其侧视图的面积等于________.答案:4 3 cm 2 解析:易知三视图所对应的几何体为正三棱柱,设其底面边长为a ,高为h ,则其正视图的长为a ,宽为h ,故其面积为S 1=ah =8;①而俯视图是一个底面边长为a 的正三角形,其面积为S 2=34a2=4 3.②由②得a =4,代入①得h =2. 侧视图是一个长为32a ,宽为h 的矩形,其面积为S 3=32ah =4 3(cm 2).三、解答题 12.已知一个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表面积.解析:由几何体的三视图,可知该几何体是一个组合体,其左边是底面半径为1、高为3、母线长为2的半圆锥,右边是底面为等腰三角形(底边长为2、高为2)、高为3的三棱锥,所以此组合体左半部分的表面积为S 左边=S 底面+S 侧面=12π×12+12π×1×2=32π,组合体右边三棱锥的两个侧面是两个全等的三角形(其中三角形的三边分别为2,5,7), 所以长为5的边所对角α的余弦值为cos α=22+(7)2-(5)22×2×7=3714,则sin α=13314,S 右侧面=12×2×7×13314×2=19,S 右边=S 底面+S 侧面=12×2×2+19=2+19,所以该几何体的表面积为S 表面积=S 左边+S 右边=32π+2+19.。

2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练52(含解析)

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2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练52(含解析)1.已知两条不同直线l 1和l 2及平面α,则直线l 1∥l 2的一个充分条件是( ) A .l 1∥α且l 2∥α B .l 1⊥α且l 2⊥α C .l 1∥α且l 2⊄α D .l 1∥α且l 2⊂α答案 B解析 l 1⊥α且l 2⊥α⇒l 1∥l 2.2.(xx·浙江文)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ∥α,m ∥β,则α∥β C .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α D .若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β 答案 C解析 A 项中,直线m ,n 可能平行,也可能相交或异面,直线m ,n 的关系是任意的;B 项中,α与β也可能相交,此时直线m 平行于α,β的交线;D 项中,m 也可能平行于β.故选C 项.3.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ,BD 的长分别是8,12,过AB 的中点E 且平行于BD ,AC 的截面四边形的周长为( )A .10B .20C .8D .4答案 B解析 设截面四边形为EFGH ,F ,G ,H 分别是BC ,CD ,DA 的中点,∴EF =GH =4,FG =HE =6.∴周长为2×(4+6)=20.4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,若A 1M =AN =2a 3,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A .相交B .平行C .垂直D .不能确定答案 B解析 连接CD 1,在CD 1上取点P ,使D 1P =2a3,∴MP ∥BC ,PN ∥AD 1.∴MP ∥面BB 1C 1C ,PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ,∴MN ∥面BB 1C 1C .5.(xx·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )答案 D解析 如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H ,M ,N ,P ,Q 分别为相应棱的中点,容易证明平面EFGH ,平面MNPQ 均与平面BDD 1B 1平行.平面EFGH 和平面MNPQ 中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求,故共有12条直线符合要求.6.如图所示,在四个正方体图形中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,P 分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①③7.考查下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l ,m 为直线,α,β为平面),则此条件为________.①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α;②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α;③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l 为平面α外的直线”,即“l ⊄α”,它也同样适合②③,故填l ⊄α.8.在四面体ABCD 中,M ,N 分别是△ACD ,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是________.答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ,连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知,E ,F 重合为一点,且该点为CD 的中点E .由EM MA =EN NB =12,得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .9.过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条.答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线,记AC ,BC ,A 1C 1,B 1C 1的中点分别为E ,F ,E 1,F 1,则直线EF ,EF 1,EE 1,FF 1,E 1F ,E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行,故符合题意的直线共6条.10.如图所示,已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体,点E 在AA 1上,点F 在CC 1上,G 在BB 1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.(1)求证:E ,B ,F ,D 1四点共面; (2)求证:平面A 1GH ∥平面BED 1F . 答案 (1)略 (2)略 解析 (1)连接FG .∵AE =B 1G =1,∴BG =A 1E =2. ∴BG 綊A 1E ,∴A 1G ∥BE .又∵C 1F 綊B 1G ,∴四边形C 1FGB 1是平行四边形. ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形. ∴A 1G 綊D 1F ,∴D 1F 綊EB . 故E ,B ,F ,D 1四点共面. (2)∵H 是B 1C 1的中点, ∴B 1H =32.又B 1G =1,∴B 1G B 1H =23. 又FC BC =23,且∠FCB =∠GB 1H =90°, ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH =∠CFB =∠FBG ,∴HG ∥FB .又由(1)知,A 1G ∥BE ,且A 1G ⊂平面A 1GH ,HG ⊂平面A 1GH ,BF ⊄平面A 1GH ,BE ⊄平面A 1GH , ∴BF ∥平面A 1GH ,BE ∥平面A 1GH . 又∵BF ∩BE =B ,∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .11.(xx·福建文)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥AD ,BC =5,DC =3,AD =4,∠P AD =60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时,画出四棱锥P -ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为P A 的中点,求证:DM ∥平面PBC ; (3)求三棱锥D -PBC 的体积. 答案 (1)略 (2)略 (3)83 解析 方法一:(1)在梯形ABCD 中,过点C 作CE ⊥AB ,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,AE =CD =3.在Rt △BEC 中,由BC =5,CE =4,依勾股定理,得BE =3,从而AB =6.又由PD ⊥平面ABCD ,得PD ⊥AD .从而在Rt △PDA 中,由AD =4,∠P AD =60°, 得PD =4 3.正视图如图所示.(2)取PB 中点N ,连接MN ,CN .在△P AB 中,∵M 是P A 中点, ∴MN ∥AB ,MN =12AB =3.又CD ∥AB ,CD =3, ∴MN ∥CD ,MN =CD .∴四边形MNCD为平行四边形.∴DM∥CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.(3)V D-PBC=V P-DBC=13S△DBC·PD,又S△DBC=6,PD=43,所以V D-PBC=8 3.方法二:(1)同方法一.(2)取AB的中点E,连接ME,DE.在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,∴四边形BCDE为平行四边形.∴DE∥BC.又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在△P AB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC.又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME,∴DM∥平面PBC.(3)同方法一.12.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB.当点M在何位置时,BM∥平面AEF?答案当M为AC中点时,BM∥平面AEF.解析方法一:如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC , ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC =2FB , ∴OM ∥FB 綊12EC .∴四边形OMBF 为矩形. ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ,BM ⊄面AEF ,故BM ∥平面AEF ,此时点M 为AC 的中点.方法二:如图所示,取EC 的中点P ,AC 的中点Q ,连接PQ ,PB ,BQ . ∴PQ ∥AE .∵EC =2FB , ∴PE 綊BF ,PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ,PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB =P , ∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ,∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ,此时点M 为AC 的中点.13.(xx·邯郸上学期二模)如图所示,四边形ABCD 是矩形,DA ⊥平面ABE ,AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE ,AC 和BD 交于点G .(1)求证:AE ∥平面BFD ; (2)求三棱锥C -BFG 的体积. 答案 (1)略 (2)13解析 (1)证明:由题意可知G 是AC 的中点,连接FG . ∵BF ⊥平面ACE ,∴CE ⊥BF . ∵EB =BC ,∴F 是EC 的中点.在△AEC 中,FG ∥AE ,又∵AE ⊄平面BFD ,FG ⊂平面BFD , ∴AE ∥平面BFD .(2)∵BC ⊥平面ABE ,AE ⊂平面ABE ,∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ,AE ⊂平面ACE ,∴AE ⊥BF . 又∵BC ∩BF =B ,∴AE ⊥平面BCE . ∵AE ∥FG ,∴FG ⊥平面BCF . ∵G 是AC 的中点,F 是CE 的中点, ∴FG =12AE =1.∵AD ⊥平面ABE ,AD ∥BC ,∴BC ⊥平面ABE . ∴∠CBE =90°.∴在Rt △BCE 中,BF =12CE =CF = 2.∴S △CFB =12×2×2=1.∴V C -BGF =V G -BCF =13S △CFB ·FG =13×1×1=13.14.(xx·安徽文)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .(1)证明:GH ∥EF ;(2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积. 答案 (1)略 (2)18解析 (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ⊂平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .(2)如图,连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK .因为P A =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC . 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在底面内, 所以PO ⊥底面ABCD .可编辑修改精选文档 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,且PO ⊄平面GEFH ,所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH =GK ,所以PO ∥GK ,且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB =8,EB =2,得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4.从而KB =14DB =12OB ,即K 为OB 的中点. 再由PO ∥GK ,得GK =12PO .即G 是PB 的中点,且GH =12BC =4.由已知可得OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,所以GK =3.故四边形GEFH 的面积S =GH +EF 2·GK=4+82×3=18..。

高考数学一轮复习 题组层级快练68(含解析)-人教版高三全册数学试题

高考数学一轮复习 题组层级快练68(含解析)-人教版高三全册数学试题

题组层级快练(六十八)1.若过抛物线y =2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=( ) A .-2B .-12C .-4D .-116答案 D解析 由y =2x 2,得x 2=12y .其焦点坐标为F (0,18),取直线y =18,则其与y =2x 2交于A (-14,18),B (14,18),∴x 1x 2=(-14)·(14)=-116.2.设离心率为e 的双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,直线l 过焦点F ,且斜率为k ,则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A .k 2-e 2>1 B .k 2-e 2<1 C .e 2-k 2>1 D .e 2-k 2<1答案 C解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是-b a <k <b a ,即k 2<c 2-a 2a2=e 2-1,即e 2-k 2>1,故选C.3.已知椭圆x 2+2y 2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A .3 2 B .2 3 C.303D.326 答案 C解析 设y -1=k (x -1),∴y =kx +1-k . 代入椭圆方程,得x 2+2(kx +1-k )2=4. ∴(2k 2+1)x 2+4k (1-k )x +2(1-k )2-4=0. 由x 1+x 2=4kk -12k 2+1=2,得k =-12,x 1x 2=13. ∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4-43=83.∴|AB |=1+14·263=303.4.已知抛物线y =2x 2上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,那么m 的值等于( )A.32B.52 C .2 D .3答案 A解析 因为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在抛物线y =2x 2上,所以y 1=2x 21,y 2=2x 22,两式相减,得y 1-y 2=2(x 1-x 2)(x 1+x 2),不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y =x +m 互相垂直,所以y 1-y 2x 1-x 2=-1,所以x 1+x 2=-12.而x 1x 2=-12,解得x 1=-1,x 2=12,设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-14,y 0=y 1+y 22=2x 21+2x 222=54.因为中点M 在直线y =x +m 上,所以54=-14+m ,解得m =32.5.已知双曲线x 2-y 24=1,过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点,则l 的条数为( )A .4B .3C .2D .1答案 A解析 ①斜率不存在时,方程为x =1符合. ②设斜率为k ,y -1=k (x -1),kx -y -k +1=0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-y 2=4,y =kx -k +1, (4-k 2)x 2+(2k 2-2k )x -k 2+2k -5=0.当4-k 2=0,k =±2时符合;当4-k 2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共4条.6.(2015·东北三校)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点M (-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ,B ,且满足AF →·BF →=0,则直线AB 的斜率k =( )A. 2B.22C. 3D.33答案 B解析 依题意,设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),代入抛物线方程y 2=4x 并整理,得k 2x 2+(2k2-4)x +k 2=0.因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以Δ=(2k 2-4)2-4k 4>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4-2k 2k 2,x 1x 2=1.又因为AF →·BF →=0,所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0,(1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0.把⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4-2k 2k 2,x 1x 2=1,代入并整理,得k 2=12.又k >0,所以k =22,故选B.7.已知抛物线y 2=8x ,过动点M (a,0),且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ,B ,|AB |≤8,则实数a 的取值X 围是________.答案 -2<a ≤-1解析 将l 的方程y =x -a 代入y 2=8x , 得x 2-2(a +4)x +a 2=0. 则|AB |=2[x 1+x 22-4x 1x 2]=324+2a ≤8,又∵|AB |>0, ∴-2<a ≤-1.8.(2015·某某静安一模)已知椭圆C :x 22+y 24=1,过椭圆C 上一点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线PA ,PB ,分别交椭圆C 于A ,B 两点.则直线AB 的斜率为________.答案2解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),同时设PA 的方程为y -2=k (x -1),代入椭圆方程化简得(k 2+2)x2-2k (k -2)x +k 2-22k -2=0,显然1和x 1是这个方程的两解.因此x 1=k 2-22k -2k 2+2,y 1=-2k 2-4k +22k 2+2.由-k 代替x 1,y 1中的k ,得x 2=k 2+22k -2k 2+2,y 2=-2k 2+4k +22k 2+2,所以y 2-y 1x 2-x 1= 2. 9.(2015·某某某某质检)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y =b ax 对称,则该双曲线的离心率为________.答案5解析 由题意可知双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y =bx a 对称,则PF 1⊥PF 2.又|PF 2||PF 1|=ba,联立|PF 2|-|PF 1|=2a ,|PF 2|2+|PF 1|2=(2c )2,可得b 3+a 2b =2c 2a .所以b =2a ,e = 5.10.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点. (1)若AF →=2FB →,求直线AB 的斜率;(2)设点M 在线段AB 上运动,原点O 关于点M 的对称点为C ,求四边形OACB 面积的最小值. 答案 (1)±2 2 (2)4解析 (1)依题意知F (1,0),设直线AB 的方程为x =my +1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立,消去x ,得y 2-4my -4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.① 因为AF →=2FB →,所以y 1=-2y 2.② 联立①和②,消去y 1,y 2,得m =±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称,得M 是线段OC 的中点.从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等,所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB =2×12·|OF |·|y 1-y 2|=y 1+y 22-4y 1y 2=41+m 2,所以当m =0时,四边形OACB 的面积最小,最小值是4.11.(2015·某某某某七中适应性训练)如图所示,设抛物线C 1:y 2=4x 的准线与x 轴交于点F 1,焦点F 2.椭圆C 2以F 1和F 2为焦点,离心率e =12.设P 是C 1与C 2的一个交点.(1)求椭圆C 2的方程;(2)直线l 过C 2的右焦点F 2,交C 1于A 1,A 2两点,且|A 1A 2|等于△PF 1F 2的周长,求直线l 的方程. 答案 (1)x 24+y 23=1(2)y =2(x -1)或y =-2(x -1)解析 (1)由条件,F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 2的两焦点,故半焦距为1,再由离心率为12知长半轴长为2,从而C 2的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)可知△PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=6.又C 1:y 2=4x ,而F 2(1,0).若l 垂直于x 轴,易得|A 1A 2|=4,矛盾,故l 不垂直于x 轴,可设其方程为y =k (x -1),与C 1方程联立可得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,从而|A 1A 2|=k 2+1|x 1-x 2|=k 2+1·2k 2+42-4k4k 2=4k 2+1k 2.令|A 1A 2|=6可解出k 2=2,故l 的方程为y =2(x -1)或y =-2(x -1).12.(2014·某某文)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y =-12x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |=534,求直线l 的方程. 答案 (1)x 24+y 23=1(2)y =-12x +33或y =-12x -33思路 (1)构造关于a ,b ,c 的方程组;(2)利用直线与圆的位置关系得|CD |,直线的方程与椭圆方程联立得方程组,利用根与系数的关系得|AB |,构造关于m 的方程求m ,进而得出直线l 的方程.解析 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b =3,c a =12,b 2=a 2-c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =3,c =1.∴椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)由题设,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1,∴圆心到直线l 的距离d =2|m |5. 由d <1,得|m |<52.(*) ∴|CD |=21-d 2=21-45m 2=255-4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-12x +m ,x 24+y 23=1,得x 2-mx +m 2-3=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-3. ∴|AB |=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-122[m 2-4m 2-3]=1524-m 2.由|AB ||CD |=534,得4-m 25-4m 2=1,解得m =±33,满足(*). ∴直线l 的方程为y =-12x +33或y =-12x -33.13.(2014·某某理)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点,直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.答案 (1)x 2-y 22=1(2)x -(362-1)y -3=0或x +(62-1)y -3=0思路 (1)先求切线方程,再利用条件列出方程组求解字母的值;(2)利用关系设出椭圆方程,再利用直线与椭圆的位置关系求解.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0),即x 0x +y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S =12·4x 0·4y 0=8x 0y 0.由x 20+y 20=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=2时,x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(2,2).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-2b2=1,a 2+b 2=3a 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1,b 2=2.故C 1的方程为x 2-y 22=1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(-3,0),(3,0),由此设C 2的方程为x 23+b 21+y 2b 21=1,其中b 1>0.由P (2,2)在C 2上,得23+b 21+2b 21=1.解得b 21=3,因此C 2的方程为x 26+y 23=1.显然,l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my +3,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +3,x 26+y 23=1,得(m 2+2)y 2+23my -3=0.又y 1,y 2是方程的根,因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-23mm 2+2, ①y 1y 2=-3m 2+2. ②由x 1=my 1+3,x 2=my 2+3,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=m y 1+y2+23=43m 2+2, ③x 1x 2=m 2y 1y 2+3my 1+y 2+3=6-6m 2m 2+2. ④因为AP →=(2-x 1,2-y 1),BP →=(2-x 2,2-y 2), 由题意知AP →·BP →=0,所以x 1x 2-2(x 1+x 2)+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.⑤ 将①②③④代入⑤整理,得2m 2-26m +46-11=0. 解得m =362-1或m =-62+1.因此直线l 的方程为x -(362-1)y -3=0或x +(62-1)y -3=0.。

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高考复习题组层级快练(附参考答案)1.若椭圆x 216+y 2b2=1过点(-2,3),则其焦距为( )A .2 5B .2 3C .4 5D .4 3答案 D解析 ∵椭圆过(-2,3),则有416+3b 2=1,b 2=4,c 2=16-4=12,c =23,2c =4 3.故选D.2.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C :x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 216+y 212=1 C.x 24+y 2=1 D.x 216+y 24=1 答案 A解析 圆C 的方程可化为(x -1)2+y 2=16. 知其半径r =4,∴长轴长2a =4,∴a =2.又e =c a =12,∴c =1,b 2=a 2-c 2=4-1=3.∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.3.已知曲线C 上的动点M (x ,y ),向量a =(x +2,y )和b =(x -2,y )满足|a |+|b |=6,则曲线C 的离心率是( )A.23B. 3C.33D.13答案 A解析 因为|a |+|b |=6表示动点M (x ,y )到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线C 是椭圆且长轴长2a =6,即a =3.又c =2,∴e =23.4.已知椭圆x 25+y 2m =1的离心率e =105,则m 的值为( )A .3B .3或253C.15D.15或5153答案 B解析 若焦点在x 轴上,则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ,5-m 5=105.∴m =3.若焦点在y 轴上,则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5,m -5m=105.∴m =253. 5.已知圆(x +2)2+y 2=36的圆心为M ,设A 为圆上任一点,N (2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上,故|PA |=|PN |.又AM 是圆的半径,∴|PM |+|PN |=|PM |+|PA |=|AM |=6>|MN |.由椭圆的定义知,P 的轨迹是椭圆.6.(2015·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x 24-y 212=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( )A.35B.45C.54D.34 答案 B解析 因为双曲线的焦点在x 轴上,所以设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a =10⇒a =5,则c =4+12=4,e =c a =45,故选B.7.(2015·广东广州二模)设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a +y 2b=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,则椭圆的离心率为( )A.16B.13C.36D.33答案 D解析 设PF 1的中点为M ,连接PF 2,由于O 为F 1F 2的中点,则OM 为△PF 1F 2的中位线,所以OM ∥PF 2.所以∠PF 2F 1=∠MOF 1=90°.由于∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2|PF 2|. 由勾股定理,得|F 1F 2|=|PF 1|2-|PF 2|2=3|PF 2|.由椭圆定义,得2a =|PF 1|+|PF 2|=3|PF 2|⇒a =3|PF 2|2,2c =|F 1F 2|=3|PF 2|⇒c =3|PF 2|2.所以椭圆的离心率为e =ca =3|PF 2|2·23|PF 2|=33.故选D. 8.(2015·河北邯郸一模)已知P 是椭圆x 225+y 2b2=1(0<b <5)上除顶点外一点,F 1是椭圆的左焦点,若|OP→+OF 1→|=8,则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A .6B .4C .2 D.52答案 C解析 取PF 1的中点M ,连接OM ,OP →+OF 1→=2OM →,∴|OM |=4.在△F 1PF 2中,OM 是中位线,∴|PF 2|=8.∴|PF 1|+|PF 2|=2a =10,解得|PF 1|=2,故选C.9.(2015·北京海淀期末练习)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆C 上的点A满足AF 2⊥F 1F 2,若点P 是椭圆C 上的动点,则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332 C.94 D.154 答案 B解析 由椭圆方程知c =4-3=1,所以F 1(-1,0),F 2(1,0).因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2,则可设A (1,y 0),代入椭圆方程可得y 20=94,所以y 0=±32.设P (x 1,y 1),则F 1P →=(x 1+1,y 1),F 2A →=(0,y 0), 所以F 1P →·F 2A →=y 1y 0.。

人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案

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人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案(附参考答案)1.y=ln(-x)的导函数为()A.y′=-B.y′=1xC.y′=ln(x) D.y′=-ln(-x)答案B2.若曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为()A.(-1,1) B.(-1,-1)C.(1,1)或(-1,-1) D.(1,-1)答案C解析y′=3x2,∴3x2=3.∴x=±1.当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-1.3.已知函数y=xlnx,则这个函数在点x=1处的切线方程是()A.y=2x-2 B.y=2x+2C.y=x-1 D.y=x+1答案C解析∵y′=lnx+1,∴x=1时,y′|x=1=1.∵x=1时,y=0,∴切线方程为y=x-1.4.(2015·济宁模拟)已知f(x)=x(2 014+lnx),f′(x0)=2 015,则x0=()A.e2B.1C.ln2 D.e答案B解析 由题意可知f ′(x)=2 014+lnx +x ·=2 015+lnx.由f ′(x0)=2 015,得lnx0=0,解得x0=1.5.若函数f(x)=ax4+bx2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于()A .-1B .-2C .2D .0答案 B解析 f ′(x)=4ax3+2bx ,∵f ′(x)为奇函数且f ′(1)=2,∴f ′(-1)=-2.6.若函数f(x)=x2+bx +c 的图像的顶点在第四象限,则函数f ′(x)的图像是()答案 A解析 由题意知 即⎩⎪⎨⎪⎧ b <0,b2>4c.又f ′(x)=2x +b ,∴f ′(x)的图像为A.7.f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f ′(x)=g ′(x),则f(x)与g(x)满足()A .f(x)=g(x)B .f(x)=g(x)=0C .f(x)-g(x)为常数函数D .f(x)+g(x)为常数函数答案 C8.若P 为曲线y =lnx 上一动点,Q 为直线y =x +1上一动点,则|PQ|min =()A .0 B.22C.D .2答案 C解析 如图所示,直线l 与y =lnx 相切且与y =x +1平行时,切点P 到直线y =x +1的距离|PQ|即为所求最小值.(lnx)′=,令=1,得x =1.故P(1,0).故|PQ|min==.故选C.9.曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为()A.- B.12C.- D.22答案B解析∵y′=·[cosx(sin x+cosx)-sinx·(cos x-sinx)]=,∴y′|x==,∴k=y′|x==.10.(2015·山东烟台期末)若点P是函数y=ex-e-x-3x(-≤x≤)图像上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是()A.B.3π4C.D.π6答案B解析由导数的几何意义,k=y′=ex+e-x-3≥2-3=-1,当且仅当x=0时等号成立.即tanα≥-1,α∈[0,π),又∵tanα<0,所以α的最小值为,故选B.11.已知y=x3-x-1+1,则其导函数的值域为________.答案[2,+∞)12.已知函数f(x)=f′()cosx+sinx,所以f()的值为________.答案1解析因为f′(x)=-f′()sinx+cosx,所以f′()=-f′()sin+cos,所以f′()=-1.故f()=f′()cos+sin=1.13.(2013·江西文)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=________.答案2解析由题意y′=αxα-1,在点(1,2)处的切线的斜率为k=α,又切线过坐标原点,所以α==2.14.(2015·广东肇庆一模)曲线f(x)=在x=0处的切线方程为________.答案2x+y+1=0解析根据题意可知切点坐标为(0,-1),f′(x)==,故切线的斜率为k=f′(0)==-2,则直线的方程为y-(-1)=(-2)(x-0)⇒2x+y+1=0,故填2x +y+1=0.15.(2015·河北邯郸二模)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________.答案log2e解析∵y′=,∴k=.∴切线方程为y=(x-1).∴三角形面积为S△=×1×==log2e.16.若抛物线y=x2-x+c上的一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为________.答案4解析∵y′=2x-1,∴y′|x=-2=-5.又P(-2,6+c),∴=-5.∴c=4.17.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.答案(1)y=13x-32(2)切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y =4x-18或y=4x-14解析(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)∵切线与直线y =-x +3垂直,∴切线的斜率为k =4.设切点的坐标为(x0,y0),则f ′(x0)=3x +1=4.∴x0=±1.∴或⎩⎪⎨⎪⎧ x0=-1,y0=-18.∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y =4(x -1)-14或y =4(x +1)-18.即y =4x -18或y =4x -14.18.设函数f(x)=ax -,曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.答案 (1)f(x)=x -(2)定值为6解析 (1)方程7x -4y -12=0可化为y =x -3.当x =2时,y =.又f ′(x)=a +,于是解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =3.故f(x)=x -.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上的任一点,由y ′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y -y0=(1+)(x -x0),即y -(x0-)=(1+)(x -x0).令x =0得y =-,从而得切线与直线x =0的交点坐标为(0,-). 切线与直线y =x 的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为|-||2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.1.若曲线y=lnx(x>0)的一条切线是直线y=x+b,则实数b的值为()A.2 B.ln2+1C.ln2-1 D.ln2答案C解析∵y=lnx的导数为y′=,∴=,解得x=2.∴切点为(2,ln2).将其代入直线y=x+b,得b=ln2-1.2.下列图像中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图像,则f(-1)=()A.B.-13C.D.-或53答案B解析f′(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,∴y=f′(x)是开口向上,以x=-a为对称轴,(-a,-1)为顶点的抛物线.∴(3)是对应y=f′(x)的图像.∵由图像知f′(0)=0,对称轴x=-a>0,∴a2-1=0,a<0,∴a=-1.∴y=f(x)=x3-x2+1.∴f(-1)=-,选B.3.y=x2sincos的导数为________.答案y′=xsinx+x2cosx.。

2021年高考数学一轮复习 题组层级快练27(含解析)

2021年高考数学一轮复习 题组层级快练27(含解析)

1.函数y =cos(x +π6),x ∈[0,π2]的值域是( ) A .(-32,12] B .[-12,32]C .[12,32]D .[-32,-12]答案 B解析 x ∈[0,π2],x +π6∈[π6,23π],∴y ∈[-12,32].2.如果|x |≤π4,那么函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值是( )A.2-12B .-2+12C .-1D.1-22答案 D解析 f (x )=-sin 2x +sin x +1=-(sin x -12)2+54,当sin x =-22时,有最小值,y min=24-22=1-22. 3.函数f (x )=sin x -cos(x +π6)的值域为( ) A .[-2,2]B .[-3,3]答案B解析∵f(x)=sin x-cos(x+π6)=sin x-32cos x+12sin x=32sin x-32cos x=3sin(x-π6),∴f(x)的值域为[-3,3].4.函数y=2sin(πx6-π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2- 3 B.0C.-1 D.-1-3答案A解析当0≤x≤9时,-π3≤πx6-π3≤7π6,-32≤sin(πx6-π3)≤1,所以函数的最大值为2,最小值为-3,其和为2- 3.5.函数y=sin x+sin|x|的值域是( )A.[-1,1] B.[-2,2]C.[0,2] D.[0,1]答案B解析当x>0时,y=2sin x,y∈[-2,2],x≤0时,y=0.6.函数y=12sin(2x+π6)+5sin(π3-2x)的最大值是( )A.6+532B .17C.13 D.12答案C解析y=12sin(2x+π6)+5cos[π2-(π3-2x)]=12sin(2x+π6)+5cos(2x+π6)=13sin(2x+π6+φ),故选C.7.当0<x<π4时,函数f(x)=cos2xcos x sin x-sin2x的最小值是( )A.14B.12C.2 D.4答案D解析f(x)=1-tan2x+tan x=1-tan x-122+14,当tan x=12时,f(x)的最小值为4,故选D.8.已知f(x)=sin x+1sin x,x∈(0,π).下列结论正确的是( )A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值答案 B解析 令t =sin x ,t ∈(0,1],则y =1+1t,t ∈(0,1]是一个减函数,则f (x )只有最小值而无最大值.另外还可通过y =1+1sin x ,得出sin x =1y -1,由sin x ∈(0,1]也可求出,故选B.9.若函数y =sin 2x +2cos x 在区间[-23π,α]上最小值为-14,则α的取值范围是________.答案 (-2π3,2π3] 解析 y =2-(cos x -1)2,当x =-23π时,y =-14,根据函数的对称性x ∈(-2π3,2π3].10.(xx·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.答案 1解析 f (x )=sin[(x +φ)+φ]-2sin φcos(x +φ)=sin(x +φ)cos φ-cos(x +φ)sin φ=sin(x +φ-φ)=sin x ,因为x ∈R ,所以f (x )的最大值为1.11.若函数f (x )=(sin x +cos x )2-2cos 2x -m 在[0,π2]上有零点,则实数m 的取值范围是________.解析f(x)=1+2sin x cos x-2cos2x-m=0有解,x∈[0,π2].即sin2x-cos2x=m有解.2sin(2x-π4)=m有解.∵x∈[0,π2],∴2x-π4∈[-π4,3π4].∴2sin(2x-π4)∈[-1,2].12.函数y=1sin2x+2cos2x的最小值是________.答案3+22解析y=1sin2x+2cos2x=sin2x+cos2xsin2x+2sin2x+2cos2xcos2x=3+cos2xsin2x+2sin2xcos2x≥3+22,∴y min=3+2 2.13.(xx·湖北武汉调研)已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+m在区间[0,π2]上的最大值为3,则:(1)m=________;(2)对任意a∈R,f(x)在[a,a+20π]上的零点个数为________.答案(1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )=3sin2x +2cos 2x +m =3sin2x +1+cos2x +m =2sin(2x +π6)+m +1, 因为0≤x ≤π2,所以π6≤2x +π6≤7π6. 所以-12≤sin(2x +π6)≤1,f (x )max =2+m +1=3+m =3,所以m =0.(2)由(1)f (x )=2sin(2x +π6)+1,T =2π2=π, 在区间[a ,a +20π]上有20个周期,故零点个数为40或41.14.已知函数f (x )=cos(π3+x )cos(π3-x ), g (x )=12sin2x -14.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最大值,并求使h (x )取得最大值的x 的集合. 答案 (1)π (2)22 {x |x =k π-π8,k ∈Z }解析 (1)f (x )=cos(π3+x )cos(π3-x )=(12cos x -32sin x )(12cos x +32sin x )=14cos 2x -34sin 2x =1+cos2x 8-3-3cos2x 8=12cos2x -14, ∴f (x )的最小正周期为2π2=π. (2)h (x )=f (x )-g (x )=12cos2x -12sin2x =22cos(2x +π4),h (x )取得最大值时,对应的x 的集合为{x |x =k π-π8,k ∈Z }.15.(xx·江西百强中学月考)设函数f (x )=3sin x cos x +cos 2x +a . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间;(2)当x ∈[-π6,π3]时,函数f (x )的最大值与最小值的和为32,求实数a 的值. 答案 (1)T =π,[-π3+k π,π6+k π](k ∈Z ) (2)a =0解析 (1)∵f (x )=3sin x cos x +cos 2x +a =32sin2x +12(1+cos2x )+a =32sin2x +12cos2x +a +12=sin(2x +π6)+a +12,∴函数f (x )的最小正周期T =2π2=π. 令-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π(k ∈Z ),解得-π3+k π≤x ≤π6+k π(k ∈Z ).故函数f (x )的单调递增区间为[-π3+k π,π6+k π](k ∈Z ). (2)∵-π6≤x ≤π3,∴-π6≤2x +π6≤5π6.当2x +π6=-π6时,函数f (x )取最小值,即f (x )min =-12+a +12=a ; 当2x +π6=π2时,函数f (x )取最大值,即f (x )max =1+a +12=a +32. ∴a +a +32=32,∴a =0.16.(xx·江西理)已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2. (1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.答案 (1)最大值为22,最小值为-1 (2)a =-1,θ=-π6解析 (1)f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4+2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x=22cos x -22sin x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4.故f (x )在[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.(2)由⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0,f π=1,得⎩⎨⎧cos θ1-2a sin θ=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1.由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2知cos θ≠0,解得⎩⎨⎧a =-1,θ=-π6.23533 5BED 寭(30315 766B 癫23980 5DAC 嶬22809 5919 夙30231 7617 瘗kj276366BF4 毴N39969 9C21 鰡20408 4FB8 侸32463 7ECF 经26659 6823 栣。

2025高考数学一轮复习题组层级快练1含答案7777

2025高考数学一轮复习题组层级快练1含答案7777

题组层级快练(一)一、单项选择题1.下列说法正确的是( )A .M ={(2,3)}与N ={(3,2)}表示同一集合B .M ={(x ,y )|x +y =1}与N ={y |x +y =1}表示同一集合C .M ={x ∈N |x (x +2)≤0}有2个子集D .设U =R ,A ={x |lg x <1},则∁U A ={x |lg x ≥1}={x |x ≥10}答案 C2.若A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y +12∈Z ,则A ∪B 等于( ) A .BB .AC .∅D .Z答案 D 解析 A ={x |x =2n ,n ∈Z }为偶数集,B ={y |y =2n -1,n ∈Z }为奇数集,∴A ∪B =Z .3.(2023·全国甲卷,理)设集合A ={x |x =3k +1,k ∈Z },B ={x |x =3k +2,k ∈Z },U 为整数集,∁U (A ∪B )=( )A .{x |x =3k ,k ∈Z }B .{x |x =3k -1,k ∈Z }C .{x |x =3k -2,k ∈Z }D .∅答案 A解析 因为整数集Z ={x |x =3k ,k ∈Z }∪{x |x =3k +1,k ∈Z }∪{x |x =3k +2,k ∈Z },U =Z ,所以∁U (A ∪B )={x |x =3k ,k ∈Z }.故选A.4.已知集合A ={(x ,y )|xy =1},B ={(x ,y )|x ∈Z ,y ∈Z },则A ∩B 有________个真子集.( )A .3B .16C .15D .4 答案 A解析 A ={(x ,y )|xy =1},B ={(x ,y )|x ∈Z ,y ∈Z },则A ∩B ={(1,1),(-1,-1)},真子集个数为22-1=3.故选A.5.(2023·山东济宁检测)设全集U ={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A ={-2,-1,0,1},B ={x |x 2-x -2=0},则下列四个图中的阴影部分所表示的集合为{-2,0,1}的是( )答案 C解析因为A={-2,-1,0,1},B={x|x2-x-2=0}={-1,2},所以A∩B={-1},A∪B={-2,-1,0,1,2}.则A中的阴影部分所表示的集合为{-2,0,1,2};B中的阴影部分所表示的集合为{2};C中的阴影部分所表示的集合为{-2,0,1};D中的阴影部分所表示的集合为{-1}.故选C.6.(2022·石家庄二中模拟)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1] B.(0,1]C.[0,1) D.(-∞,1]答案 A解析集合M={0,1},集合N={x|0<x≤1},M∪N={x|0≤x≤1},所以M∪N=[0,1].7.(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()A.∅B.SC.T D.Z答案 C解析当n=2k,k∈Z时,S={s|s=4k+1,k∈Z};当n=2k+1,k∈Z时,S={s|s=4k+3,k∈Z}.所以T S,S∩T=T.故选C.8.(2024·河北辛集中学模拟)已知集合A={1,3,a2-2a},B={3,2a-3},C={x|x<0},若B⊆A且A∩C=∅,则a=()A.1 B.2C.3 D.2或3答案 B解析方法一:由题得2a-3=1或2a-3=a2-2a.若2a-3=1,则a=2,故A={0,1,3},B={1,3},此时满足B⊆A,A∩C=∅.若2a-3=a2-2a,则a=1或a=3,当a=1时,A={-1,1,3},B={-1,3},此时A∩C ={-1},不符合题意;当a=3时,a2-2a=3,不符合题意.故a=2,选B.方法二:因为A∩C=∅,故集合A中的元素均为非负数,从而a2-2a≥0,得a≤0或a≥2,故排除A;由集合中元素的互异性得2a-3≠3,即a≠3,排除C、D.故选B.9.若非空且互不相等的集合M,N,P满足:M∩N=M,N∪P=P,则M∪P=()A.M B.NC.P D.∅答案 C解析∵M∩N=M,∴M⊆N,∵N∪P=P,∴N⊆P,∵M,N,P非空且互不相等,∴M N P,∴M∪P =P.故选C.10.(2018·课标全国Ⅱ,理)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9 B.8C.5 D.4答案 A解析方法一:由x2+y2≤3知,-3≤x≤3,-3≤y≤ 3.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为C31C31=9,故选A.方法二:根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x 2+y 2=3中有9个整点,即为集合A 的元素个数,故选A.二、多项选择题11.已知集合M ={y |y =x -|x |,x ∈R },N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y =⎝⎛⎭⎫13x ,x ∈R ,则下列选项正确的是( ) A .M =NB .N ⊆MC .M ∩N =∅D .M =∁R N答案 CD 解析 由题意得M ={y |y ≤0},N ={y |y >0},∴∁R N ={y |y ≤0},∴M =∁R N ,M ∩N =∅.12.(2024·重庆八中适应性考试)已知全集U 的两个非空真子集A ,B 满足(∁U A )∪B =B ,则下列关系一定正确的是( )A .A ∩B =∅B .A ∩B =BC .A ∪B =UD .(∁U B )∪A =A答案 CD解析 令U ={1,2,3,4},A ={2,3,4},B ={1,2},满足(∁U A )∪B =B ,但A ∩B ≠∅,A ∩B ≠B ,故A 、B 均不正确;由(∁U A )∪B =B ,知∁U A ⊆B ,∴U =[A ∪(∁U A )]⊆(A ∪B ),∴A ∪B =U ,由∁U A ⊆B ,知∁U B ⊆A ,∴(∁U B )∪A =A ,故C 、D 均正确.13.1872年,德国数学家戴德金用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”).所谓“戴德金分割”,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足M ∪N =Q ,M ∩N =∅,M 中每一个元素均小于N 中的每一个元素,则称(M ,N )为“戴德金分割”.试判断下列选项中,可能成立的是( )A .M ={x ∈Q |x <0},N ={x ∈Q |x >0}是一个戴德金分割B .M 没有最大元素,N 有一个最小元素C .M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D .M 没有最大元素,N 也没有最小元素答案 BD解析 对于A ,因为M ∪N ={x ∈Q |x ≠0}≠Q ,故A 错误;对于B ,设M ={x ∈Q |x <0},N ={x ∈Q |x ≥0},满足“戴德金分割”,故B 正确;对于C ,不能同时满足M ∪N =Q ,M ∩N =∅,故C 错误;对于D ,设M ={x ∈Q |x <2},N ={x ∈Q |x ≥2},满足“戴德金分割”,此时M 没有最大元素,N 也没有最小元素,故D 正确.三、填空题与解答题14.集合A ={0,|x |},B ={1,0,-1},若A ⊆B ,则A ∩B =________,A ∪B =________,∁B A =________. 答案 {0,1} {1,0,-1} {-1}解析因为A⊆B,所以|x|∈B,又|x|≥0,结合集合中元素的互异性,知|x|=1,因此A={0,1},则A∩B={0,1},A∪B={1,0,-1},∁B A={-1}.15.已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c},c>0.若A∪B=B,则c的取值范围是________.答案[2,+∞)解析A={x|0<x<2},由数轴分析可得c≥2.16.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求a的值;(2)若A∪B=A,求a的取值范围;(3)若U=R,A∩(∁U B)=A,求a的取值范围.答案(1)-1或-3(2)(-∞,-3](3){a|a≠-1±3且a≠-1且a≠-3}解析A={1,2}.(1)由A∩B={2},得2∈B,则4+4a+4+a2-5=0,得a=-1或-3.当a=-1时,B={x|x2-4=0}={2,-2},符合题意;当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},符合题意.综上,a=-1或-3.(2)由A∪B=A,得B⊆A.①若B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,得a<-3;②若B={1},则1+2a+2+a2-5=0且Δ=0,此时无解;③若B={2},则4+4a+4+a2-5=0且Δ=0,得a=-3;④若B={1,2},则1+2a+2+a2-5=0且4+4a+4+a2-5=0,此时无解.综上,a的取值范围为(-∞,-3].(3)由A∩(∁U B)=A,得A∩B=∅,所以1+2a+2+a2-5≠0且4+4a+4+a2-5≠0,解得a≠-1±3且a≠-1且a≠-3.故a的取值范围为{a|a≠-1±3且a≠-1且a≠-3}.17.(2024·成都七中月考)已知非空集合A,B满足A∪B={1,2,3,4},A∩B=∅,且A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则集合A,B的所有可能情况种数为()A.1 B.2C.3 D.4答案 B解析易知A的元素个数不能为2,否则A,B中必然有一个含有元素2,且集合中元素个数为2,不合题意.所以A的元素个数为1或3,所以可能情况有A={3},B={1,2,4}或A={1,2,4},B={3},共2种.故选B. 18.【多选题】设集合X是实数集R的子集,如果x0∈R满足对任意的a>0,都存在x∈X,使得0<|x-x0|<a,则称x0为集合X的聚点.则下列集合中是以0为聚点的集合有()A .{x |x ∈R ,x ≠0}B .{x |x ∈Z ,x ≠0} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =1n ,n ∈N *D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =n n +1,n ∈N *答案 AC解析 对于A ,对任意的a >0,都存在x =a 2使得0<|x -0|=a 2<a ,故0是集合{x |x ∈R ,x ≠0}的聚点. 对于B ,对于某个实数a >0,比如取a =12,此时对任意的x ∈{x |x ∈Z ,x ≠0},都有|x -0|≥1,也就是说0<|x -0|<12不可能成立,从而0不是集合{x |x ∈Z ,x ≠0}的聚点. 对于C ,对任意的a >0,都存在n >1a ,即1n <a ,0<|x -0|=1n <a ,故0是集合{x |x =1n,n ∈N *}的聚点. 对于D ,n n +1=1-1n +1,故n n +1随着n 的增大而增大,故n n +1的最小值为11+1=12,即x ≥12,故对任意的0<a <12,不存在x ,使得0<|x -0|<a ,故0不是集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =n n +1,n ∈N *的聚点.故选AC.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练26等差数列北师大版

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练26等差数列北师大版

课时规范练26 等差数列基础巩固组1.(2021北京海淀高三月考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差是( ) A.1B.2C.3D.42.(2021广东深圳高三一模)在数列{a n }中,a 1=3,a m+n =a m +a n (m ,n ∈N *),若a 1+a 2+a 3+…+a k =135,则k=( )A.10B.9C.8D.73.(2021山东日照高三期中)在等差数列{a n }中,a 1与a 4 041是f (x )=x-4ln x-mx 的两个极值点,则lo g √2a 2 021= ( )A.1B.2C.0D.124.(2021天津高三期中)已知数列{b n }是公差不为0的等差数列,且b 122-4b 12=b 20102-4b 2 010,则数列{b n }的前2 021项和为( ) A.20214B.20212C.2 021D.4 0425.(2021江苏镇江高三月考)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且Sn T n=2n+70n+3,则使得an b n为整数的正整数n 的个数为( )A.4B.5C.6D.76.已知等差数列{a n }是递增数列,a 7=3a 5,前n 项和为S n ,下列选项错误的是( ) A.d>0B.a 1<0C.当n=5时S n 最小D.S n >0时n 的最小值为87.在数列{a n }中,a 1=1,a n +a n+1=3n ,则下列说法错误的是( ) A.a 6=8 B.{a 2n }是等差数列 C.S 20=300D.a 2n -a 2n-1=38.(2021湖北荆州高三期末)已知等差数列{a n }的公差为2,且a 1,a 2,a 3+1成等比数列,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 9= .9.(2021江西南昌高三月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5=5,S 10=40,则数列S n n的前30项和T 30等于 .综合提升组10.(2021山东淄博高三一模)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则“S 2 020>0,S 2 021<0”是“a 1 010a 1 011<0”的( ) A.充要条件 B .充分不必要条件 C.必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件11.(2021湖北荆州高三月考)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 5S 10=13,则S 5S20+S 10=( )A.19B.713C.113D.11012.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d ,a 3=12,S 12>0,a 7<0,则下列说法错误的是( ) A.d<0 B.a 6<0C.-247<d<-3D.S n <0时,n 的最小值为1313.(2021湖南师大附中高三月考)在等差数列{a n }中,a 1+a 7=12,当a 32+a 42+a 52取得最小值时,a 2021= .14.(2021四川成都外国语学校高三期中)已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若Sn T n=38n+142n+1(n ∈N *),则a6b 7= .15.(2021广东佛山高三月考)在数列{a n }中,a 1=1,a n +a n-1=2n (n ≥2,n ∈N *). (1)记b n =a 2n ,求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .创新应用组16.(2021江西南昌高三模拟)已知数列{a n}的前n项和S n满足:当n≥2时,a n,S n,S n-1成等比数列,且2a1=1,则a n=.课时规范练26 等差数列1.D 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则a 4+a 5=2a 1+7d=24,S 6=6a 1+15d=48,即{2a 1+7d =24,2a 1+5d =16,解得{a 1=-2,d =4.故选D . 2.B 解析:令m=1,由a m+n =a m +a n 可得a n+1=a 1+a n ,所以a n+1-a n =3,所以数列{a n }是首项为3,公差为3的等差数列,所以a n =3+3(n-1)=3n ,所以a 1+a 2+a 3+…+a k =k(a 1+a k )2=k(3+3k)2=135,整理得k 2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去).故选B .3.B 解析:f'(x )=1-4x +mx 2=x 2-4x+mx 2(x>0).因为a 1与a 4041是f (x )=x-4ln x-mx 的两个极值点,所以a 1与a 4041是方程x 2-4x+m=0的两个根,即a 1+a 4041=4,即2a 2021=4,所以a 2021=2,则lo g √2a 2021=2log 22=2.故选B .4.D 解析:∵数列{b n }是公差不为0的等差数列,且b 122-4b 12=b 20102-4b 2010,∴(b 12-b 2010)(b 12+b 2010)=4(b 12-b 2010),且b 12≠b 2010,∴b 12+b 2010=4,∴数列{b n }的前2021项和S 2021=20212(b 1+b 2021)=20212(b 12+b 2010)=20212×4=4042.故选D .5.B 解析:依题意,a nb n=S 2n -1T 2n -1=2(2n -1)+70(2n -1)+3=2n+34n+1=2+32n+1.要使a n b n为整数,当且仅当32n+1是整数,而n ∈N *,则n+1是32的大于1的约数.又32的正约数有1,2,4,8,16,32六个,所以n 的值有1,3,7,15,31五个,所以使得an b n 为整数的正整数n 的个数为5.故选B .6.C 解析:由题意,设等差数列{a n }的公差为d.因为a 7=3a 5,所以a 1+6d=3(a 1+4d ),解得a 1=-3d.又等差数列{a n }是递增数列,所以d>0,则a 1<0,故选项A,选项B 正确;因为S n =d2n 2+a 1-d 2n=d2n 2-7d2n ,且--7d 2d=72,所以当n=3或4时S n 最小,故选项C 错误;令S n =d2n 2-7d2n>0,解得n<0或n>7,即S n >0时n 的最小值为8,故选项D 正确.故选C . 7.D 解析:因为a n +a n+1=3n ,n ∈N *, ① 所以a n+1+a n+2=3(n+1),②所以②-①得a n+2-a n =3(n ∈N *).又因为a 1=1,所以a 2=2,所以a 6=a 4+3=a 2+6=8,且奇数项和偶数项均为公差为3的等差数列,故A,B 正确;对于C 选项,S 20=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)=3+9+…+57=10×(3+57)2=300,故C 正确;对于D 选项,由a n+2-a n =3(n ∈N *)且a 2-a 1≠3可知,a 2n -a 2n-1=3不成立,故D 错误.故选D .8.108 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则d=2.因为a 1,a 2,a 3+1成等比数列,所以a 1(a 3+1)=a 22,即a 1(a 1+5)=(a 1+2)2,解得a 1=4,所以S 9=na 1+n×(n -1)2×d=9×4+9×82×2=108.9.227 解析:设数列{a n }的公差为d ,由已知得{a 5=a 1+4d =5,S 10=10a 1+10×9d 2=40,∴{a 1=13,d =-2,故a n =-2n+15,且S n =-n 2+14n ,∴S n n={-n +14,n ≤14,n -14,n ≥15,∴T 30=14(13+0)2+16(1+16)2=227.10.B 解析:∵S 2020>0,S 2021<0,∴2020(a 1+a 2020)2=1010(a 1010+a 1011)>0,即a 1010+a 1011>0.又2021×a 1+a 20212=2021a 1011<0,∴a 1010>0,a 1011<0,可得a 1010a 1011<0,充分性成立.反之,若a 1010<0,a 1011>0,满足a 1010a 1011<0,不能推出“S 2020>0,S 2021<0”,必要性不成立.故“S 2020>0,S 2021<0”是“a 1010a 1011<0”的充分不必要条件.故选B . 11.C 解析:令S 5=t ,则由S 5S 10=13,得S 10-S 5=2t ,S 10=3t.又由等差数列{a n }的性质得S 5,S 10-S 5,S 15-S 10,S 20-S 15成等差数列,所以有S 10-S 5=2t ,S 15-S 10=3t ,S 20-S 15=4t ,相加可得S 20-S 5=9t ,所以S 20=10t.故S 5S 20+S 10=t 10t+3t =113.故选C .12.B 解析:依题意,S 12=a 1+a 122·12=6(a 6+a 7)>0,于是得a 6+a 7>0,而a 7<0,a 6>-a 7>0,故选项B 错误;显然有(a 3+3d )+(a 3+4d )>0,而a 3=12,解得d>-247,又a 3+4d<0,解得d<-3,因此得-247<d<-3,故选项A,选项C 正确;数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减数列,前6项都为正,从第7项起的各项都为负,而S 12>0,S 13=a 1+a 132·13=13a 7<0,于是得n ≥13时,S n <0,从而得S n <0时,n 的最小值为13,故选项D 正确.故选B .13.6 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由等差中项的性质,得a 1+a 7=2a 4=12,解得a 4=6,所以a 32+a 42+a 52=(6-d )2+62+(6+d )2=2d 2+108.当d=0时,a 32+a 42+a 52取得最小值108,此时a 2021=a 4=6.14.16 解析:∵等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,S nT n=38n+142n+1(n ∈N *),∴S nT n=n2(38n+14)n2(2n+1).设S n =nk 2(38n+14)=n 2(a 1+a n )(k ≠0),∴k (38n+14)=a 1+a n ,∴a 1=S 1=k2(38+14)=26k ,a n =k (38n-12),∴a 6=216k.设T n =nk 2(2n+1)=n 2(b 1+b n )(k ≠0),∴k (2n+1)=b 1+b n ,b 1=T 1=3k 2,b n =k 2n-12,∴b 7=272k ,故a 6b 7=216k27k 2=16.15.解(1)当n=2时,a 2+a 1=4.因为a 1=1,所以b 1=a 2=3.由a n +a n-1=2n ,可得a 2n+2+a 2n+1=2(2n+2)=4n+4,a 2n+1+a 2n =2(2n+1)=4n+2, 两式相减可得a 2n+2-a 2n =4n+4-(4n+2)=2. 因为b n =a 2n ,所以b n+1-b n =2,所以{b n }是以3为首项,2为公差的等差数列. 所以b n =3+(n-1)×2=2n+1.(2)当n=2k (k ∈N *)时,因为a n +a n-1=2n (n ≥2,n ∈N *),S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+(a 5+a 6)+…+(a 2k-1+a 2k )=2×2+2×4+2×6+…+2·2k=2×(2+4+6+…+2k )=2×(2+2k)k2=(2+2k )k=n(n+2)2,当n=2k+1(k ∈N *)时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+(a 6+a 7)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+2×3+2×5+2×7+…+2(2k+1)=1+2×[3+5+7+…+(2k+1)]=1+2×k(3+2k+1)2=1+k (2k+4)=(n -1)(n+3)2+1=n(n+2)-12,a 1=1=1×(1+2)-12也满足上式.综上所述,S n ={n(n+2)2,n =2k(k ∈N *),n(n+2)-12,n =2k +1(k ∈N *).16.{1,n =1,-2(2n -1)(2n -3),n ≥2 解析:由题意,当n ≥2时,a n ,S n ,S n -12成等比数列,可得S n 2=a nS n -12.又因为a n =S n -S n-1,所以S n 2=(S n -S n-1)S n -12可得12(S n-1-S n )=S n S n-1,易得S n ≠0(n ∈N *),所以1S n−1S n -1=2,且1S 1=1a 1=1,所以数列1S n是以1为首项,2为公差的等差数列,所以1S n=1+(n-1)×2=2n-1,即S n =12n -1.当n≥2时,a n =S n -S n-1=12n -1−12n -3=-2(2n -1)(2n -3),经验检n=1时不符合,所以a n ={1,n =1,-2(2n -1)(2n -3),n ≥2.。

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题组层级快练(二十六)1.函数f (x )=(1+3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A .2π B.3π2 C .π D.π2答案 A解析 f (x )=(1+3tan x )cos x =cos x +3sin x cos x ·cos x =2cos(x -π3),则T =2π.2.下列函数中,周期为π,且在[π4,π2]上为减函数的是( )A .y =sin(2x +π2)B .y =cos(2x +π2)C .y =sin(x +π2)D .y =cos(x +π2)答案 A解析 对于选项A ,注意到y =sin(2x +π2)=cos2x 的周期为π,且在[π4,π2]上是减函数,故选A.3.函数y =sin(π4-x )的一个单调递增区间为( )A .(3π4,7π4)B .(-π4,3π4)C .(-π2,π2)D .(-3π4,π4)答案 A解析 y =sin(π4-x )=-sin(x -π4),故由2k π+π2≤x -π4≤2k π+3π2,解得2k π+34π≤x ≤2k π+74π(k ∈Z ).因此,函数y =sin(π4-x )的单调增区间为[2k π+34π,2k π+74π](k ∈Z ).4.(2015·湖南洛阳模拟)若函数y =sin x +φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A.π2B.23πC.32πD.53π 答案 C解析 sin(-x 3+φ3)=sin(x 3+φ3)观察选项.当φ=32π时,等式恒成立.5.函数f (x )=(1+cos2x )sin 2x 是( ) A .周期为π的奇函数 B .周期为π的偶函数 C .周期为π2的奇函数D .周期为π2的偶函数答案 D解析 f (x )=(1+cos2x )sin 2x =2cos 2x sin 2x =12sin 22x =1-cos4x 4,则T =2π4=π2且为偶函数.6.函数g (x )=sin 22x 的单调递增区间是( ) A .[k π2,k π2+π4](k ∈Z ) B .[k π,k π+π4](k ∈Z )C .[k π2+π4,k π2+π2](k ∈Z ) D .[k π+π4,k π+π2](k ∈Z )答案 A7.如果函数y =3cos(2x +φ)的图像关于点(4π3,0)成中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 A解析 依题意得3cos(8π3+φ)=0,8π3+φ=k π+π2,φ=k π-136π(k ∈Z ),因此|φ|的最小值是π6. 8.已知函数y =sin ωx 在[-π3,π3]上是增函数,则实数ω的取值范围是( )A .[-32,0)B .[-3,0)C .(0,32]D .(0,3]答案 C解析 由于y =sin x 在[-π2,π2]上是增函数,为保证y =sin ωx 在[-π3,π3]上是增函数,所以ω>0且π3·ω≤π2,则0<ω≤32. 9.下列函数中,对于任意x ∈R ,同时满足条件f (x )=f (-x )和f (x -π)=f (x )的函数是( ) A .f (x )=sin x B .f (x )=sin x cos x C .f (x )=cos x D .f (x )=cos 2x -sin 2x答案 D解析 因为对任意x ∈R 有f (x )=f (-x )且f (x -π)=f (x ),所以f (x )为偶函数且f (x )的最小正周期为π.故A ,C 错.B 项中,f (x )=sin x cos x =12sin2x 为奇函数,故B 错,D 项中,f (x )=cos 2x -sin 2x=cos2x ,满足条件,故选D.10.将函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( ) A .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递增 答案 B解析 y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度得到y =3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2+π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π.令2k π-π2≤2x -23π≤2k π+π2,得k π+π12≤x ≤k π+712π,k ∈Z .则y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π12,k π+712π,k ∈Z .令k =0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,712π,故B 正确.画出y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上的简图,如图,可知y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上不具有单调性,故C ,D 错误.11.(2015·南昌大学附中)设f (x )=sin(ωx +φ),其中ω>0,则f (x )是偶函数的充要条件是( ) A .f (0)=1B .f (0)=0C .f ′(0)=1D .f ′(0)=0答案 D解析 f (x )=sin(ωx +φ)是偶函数,有φ=k π+π2,k ∈Z .∴f (x )=±cos ωx .而f ′(x )=±ωsin ωx ,∴f ′(0)=0,故选D.12.(2015·北京顺义一模)已知函数f (x )=cos(2x +π3)-cos2x ,其中x ∈R ,给出下列四个结论: ①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数; ②函数f (x )图像的一条对称轴是直线x =2π3;③函数f (x )图像的一个对称中心为(5π12,0);④函数f (x )的单调递增区间为[k π+π6,k π+2π3],k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4答案 C解析 由已知得,f (x )=cos(2x +π3)-cos2x =cos2x cos π3-sin2x sin π3-cos2x =-sin(2x +π6),不是奇函数,故①错.当x =2π3时,f (2π3)=-sin(4π3+π6)=1,故②正确;当x =5π12时,f (5π12)=-sin π=0,故③正确;令2k π+π2≤2x +π6≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ,故④正确.综上,正确的结论个数为3.13.(2013·江西理)函数y =sin2x +23sin 2x 的最小正周期T 为________. 答案 π解析 y =sin2x +23sin 2x =sin2x -3cos2x +3=2sin(2x -π3)+3,所以该函数的最小正周期T =2π2=π. 14.将函数y =sin(ωx +φ)(π2<φ<π)的图像,仅向右平移4π3,或仅向左平移2π3,所得到的函数图像均关于原点对称,则ω=________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半,即有T 2=4π3-(-2π3)=2π,T =4π,即2πω=4π,ω=12.15.设函数f (x )=sin(3x +φ)(0<φ<π),若函数f (x )+f ′(x )是奇函数,则φ=________. 答案2π3解析 由题意得f ′(x )=3cos(3x +φ),f (x )+f ′(x )=2sin(3x +φ+π3)是奇函数,因此φ+π3=k π(其中k ∈Z ),φ=k π-π3.又0<φ<π,所以φ=2π3. 16.已知函数f (x )=sin x +a cos x 的图像的一条对称轴是x =5π3,则函数g (x )=a sin x +cos x 的初相是________.答案 23π解析 f ′(x )=cos x -a sin x ,∵x =5π3为函数f (x )=sin x +a cos x 的一条对称轴,∴f ′(5π3)=cos 5π3-a sin 5π3=0,解得a =-33.∴g (x )=-33sin x +cos x =233(-12sin x +32cos x ) =233sin(x +2π3). 17.(2013·安徽理)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f (x )在区间[0,π2]上的单调性.答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0,π8],单调递减区间为[π8,π2]解析 (1)f (x )=4cos ωx ·sin(ωx +π4)=22sin ωx ·cos ωx +22cos 2ωx =2(sin2ωx +cos2ωx )+ 2 =2sin(2ωx +π4)+ 2.因为f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 从而有2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知,f (x )=2sin(2x +π4)+ 2.若0≤x ≤π2,则π4≤2x +π4≤5π4.当π4≤2x +π4≤π2,即0≤x ≤π8时,f (x )单调递增; 当π2≤2x +π4≤5π4,即π8≤x ≤π2时f (x )单调递减. 综上可知,f (x )在区间[0,π8]上单调递增,在区间[π8,π2]上单调递减. 18.已知函数f (x )= sin x -cos x sin2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递减区间.答案 (1){x ∈R |x ≠k π,k ∈Z } T =π (2)[k π+3π8,k π+7π8](k ∈Z )解析 (1)由sin x ≠0,得x ≠k π(k ∈Z ). 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z }. 因为f (x )=(sin x -cos x )sin2xsin x=2cos x (sin x -cos x ) =sin2x -cos2x -1 =2sin(2x -π4)-1,所以f (x )的最小正周期为T =2π2=π.(2)函数y =sin x 的单调递减区间为[2k π+π2,2k π+3π2](k ∈Z ).由2k π+π2≤2x -π4≤2k π+3π2,x ≠k π(k ∈Z ),得k π+3π8≤x ≤k π+7π8(k ∈Z ).所以f (x )的单调递减区间为[k π+3π8,k π+7π8](k ∈Z ).1.(2013·浙江理)已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,φ∈R ),则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 f (x )是奇函数时,φ=π2+k π(k ∈Z );φ=π2时,f (x )=A cos(ωx +π2)=-A sin ωx 为奇函数.所以“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件,选B.2.已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A .[k π-π3,k π+π6](k ∈Z )B .[k π,k π+π2](k ∈Z )C .[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z )D .[k π-π2,k π](k ∈Z )答案 C解析 由题意知,f (x )在π6处取得最大值或最小值,∴x =π6是函数f (x )的对称轴.∴2×π6+φ=π2+k π,φ=π6+k π,k ∈Z .又由f (π2)>f (π),得sin φ<0.∴φ=-56π+2k π(k ∈Z ),不妨取φ=-56π.∴f (x )=sin(2x -5π6).由2k π-π2≤2x -56π≤2k π+π2,得f (x )的单调递增区间是[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ). 3.若函数f (x )=M sin(ωx +φ)(ω>0)在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )=-M ,f (b )=M ,则函数g (x )=M cos(ωx +φ)在[a ,b ]上( )A .是增函数B .是减函数C .可以取得最大值MD .可以取得最小值-M 答案 C解析 方法一(特值法):取M =2,w =1,φ=0画图像即得答案.方法二:T =2πw ,g (x )=M cos(wx +φ)=M sin(wx +φ+π2)=M sin[w (x +π2w )+φ],∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的.由b -a =T 2,可知,g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b -a2得到的.∴得到g (x )图像如图所示.选C.4.已知函数f (x )=2cos 2x +23sin x cos x -1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程; (2)求函数f (x )的单调增区间. 答案 (1)T =π,对称轴方程为x =k π2+π6(k ∈Z ) (2)[k π-π3,k π+π6](k ∈Z )解析 f (x )=2cos 2x +23sin x cos x -1=3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6).(1)f (x )的周期T =π,函数f (x )的对称轴方程为x =k π2+π6(k ∈Z ). (2)由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2(k ∈Z ),得kx -π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z ).∴函数f (x )的单调增区间为[k π-π3,k π+π6](k ∈Z ).5.已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 答案 (1)12 (2)T =π,⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z思路 (1)由sin α=22与α的取值范围,求出cos α或α的值;再代入函数f (x ),即可求出f (α)的值.(2)利用二倍角公式与辅助角公式,化简函数f (x ),再利用周期公式,即可求出函数f (x )的最小正周期;利用正弦函数的单调性,即可求出函数f (x )的单调递增区间.解析 方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,∴cos α=22.∴f (α)=22⎝ ⎛⎭⎪⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12=12sin2x +12cos2x =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12=12sin2x +12cos2x =22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4.(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4.从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=22sin 3π4=12.(2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .。

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