专题训练--正方形

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八年级数学正方形专题训练卷(附答案)

八年级数学正方形专题训练卷（附答案）一、单选题1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A. B. C. D.3.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B. 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D. 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形5.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 196.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个7.正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则=（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题9.在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…S n，则S n的值为________ （用含n的代数式表示，n为正整数）．10.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ________．11.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=________ 度.12.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ________．13.如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是________ .14.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________ ．（请写出正确结论的序号）．15.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为________ .16.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有________ 个.17.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ________．18.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是 ________，S3的值为 ________．19.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为________ .20.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ________．三、解答题21.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．四、综合题23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上;（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．24.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F 两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．25.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．答案一、单选题1. B2. D3. C4. C5. B6. C7. D8. D二、填空题9. 22n﹣310. 11. 22.512. 45° 13. 90° 14. ①②15. 16. 9 17. 30°18. 3；19. 20. 8三、解答题21. 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．22. 解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．四、综合题23. （1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴OE=2．24. （1）【解答】证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP=．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=×=．由1知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF=﹣=．25. （1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）解：∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．。

全国初中数学联赛专题正方形

ABCDE FGO 专题20 正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l 】如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G .下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >，取线段AE 的中点M .连MD ，MF ．（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M 为AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1MFEGMFGABDCECD BA【例3】如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．GF B CA DE【例4】如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF ∠的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．M NEBCDAFA B CDE F GHP【例6】已知：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造BM DN −是解题的关键．能力训练A 级1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,；ABCDMN图3ABCDMN图2ABCDMN图1④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）B CDA E第1题图第3题图第4题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP =__________. （河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A Λ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cm B ．24cm n C. 241cm n − D. 2)41(cm n（晋江市中考试题）A 5A 3A 4A 2A 1OB F ECA第5题图第6题图ABCDPP ''ABCDC 'D 'A '6. 如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065 D. 0758．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABMBCD ACD E FNE9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．FEB CDA10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41= ．求证：CE 平分BCF ∠．BCADE F11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足．求证：EF AP =．（扬州市中考试题）FEBCAD P12.（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图，在四边形ABCD 中，090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ，AB DE ⊥于E ，若四边形ABCDEFGMABCDEFGMABCD 的面积为8，则DE 的长为__________.2.如图，M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若02290,21=∠=−CMD MB MA ，则=∠MCD __________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图OCB EBC AE B DADMFAC3.如图，在ABC Rt ∆中，3,900==∠AC C ，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且24=OC ，则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于M ，过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点，作BD NP ⊥于点P ，连接NQ ，下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值，其中一定成立的是( )A . ①②③B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，ABCD 是正方形，AC BF //，AEFC 是菱形，则ACF ∠与F ∠度数的比值是( ) A . 3 B ．4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A .58 B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BCFABPNMBC DACDDA QE P7.如图，正方形ABCD 中，8=AB ，Q 是CD 的中点，设α=∠DAQ ，在CD 上取一点P ，使α2=∠BAP ，则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1）（1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）E 图3图2图1N NAB N M ABA B DCCDEDCE MM`9.已知,10,10<<<<b a 求证：22)1()1()1()1(22222222≥−+−+−+++−++b a b a b a b a ．10.如果，点N M ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）A BDC MN11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ，对角线CG AE ,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CG AE ⊥，且CG AE =．（北京市竞赛试题）CBAHGFED12.如图，正方形MNBC 内有一点A ，以AC AB ,为边向ABC ∆外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ，连接BP RM ,．求证：RM BP //．（武汉市竞赛试题）MNPQT BCAR。

专题二正方形多结论问题专题训练

专题二: 正方形多结论问题专题训练1. 如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE=EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB=2AG ；③△GDE ∽△BEF ；④S △BEF =725．在以上4个结论中，正确的有 .图2-1-1 图2-1-2【简析】根据正方形及折叠的性质可得AD=DF ，∠A=∠GFD=90°，根据“HL”判定△ADG ≌△FDG ，①正确；设AG=FG=x ，则EG=x+6，BG=12﹣x ，由勾股定理得：即：（x+6）2=62+（12﹣x ）2 ，解得：x=4，②正确；因△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，③错误；如图2-1-2，FH//BG ，则624,105FH EF FH BG FG ===故,124726255GBE S =创= ,④正确．填①②④变式：如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论中正确结论的个数是（）①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案：①②③】2. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=45；④S 四边形ECFG =2S △BGE ． A 、4B 、3C 、2D 、1【简析】易证Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），则AE=BF ，故①正确；由全等知∠BAE=∠CBF ，又∠BAE 与∠BEA 互余，则∠BGE=90°，故②正确；由∠CFB=∠ABF=∠PFB ，知QF=QB ，设PF=a （k ＞0），则PB=2a ，设AQ=b ，则QP=a+b,在Rt △BPQ 中，222()(2)(2)a b a a b ++=+,则2a b =，即24,5B P a b B Q b ===，故③正确；易知1,22BGE BCF BE BC BF BC == ∽，, 因此，21(),=55BGE BCF BGE BCF S BE S S S BF == 即：，所以4BGE ECFG S S = 四边形．故④错误．故选B ．拓展:如图，正方形ABCD 中，E 、F 均为中点，则有下列结论：①DG=AB ；②GE +GF=GC ； ③DGF CBF ??；④=45CGF 邪图2-2拓-1 图2-2拓-2 图2-2拓-3 图2-2拓-4【简析】如图2-2拓-2，过点D 作DK//BF,连结GK ，易知，K 为AB 中点，由题2知，90AGB ??,则AG KG =,可知DK 垂直平分AG ，故DG=AD=AB ，故①正确；如图2-2拓-3，过点C 作,CL CG ^交GE 的延长线于点L ，则易知4=51=2=3行行?，，又CE CF =，则有FGC ELC≌，那么EL FG LC LG ==，,故△CGL 是等腰直角三角形，因此有GL GE GF =+,故②正确. 由,90DGA DAG AGF DAB ?行=??,因此DGF GAB CBF ???,故③正确.如图2-2拓-4，作CM//AE 于M ，易证CMF BGE ≌，从而易得CM BG MG ==.3. 如图，P 为边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上任一点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF ．给出以下4个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③EF 最短长度为；④若∠BAP=30°时，则EF 的长度为2．其中结论正确的有。

中考数学阅读说理题专题训练(正方形为背景)

图 1 图2图 4 图3 ADF G B 图1 ADF G B 图2 ADFE B 图3阅读理解说明题专题训练正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点,与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.1、（1）如图1,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE 、BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF .（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E 、H 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，EF 、GH 交于点O ，∠FOH ＝90°， EF ＝4.求GH 的长.（3）已知点E 、H 、F ,、G 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，EF 、GH 交于点O ，∠FOH ＝90°，EF ＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图3，矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；②如图4，矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，求GH 的长（用n 的代数式表示）.2、在一次数学课上，张老师在大屏幕上出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．3、（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN =90°，求证：AM =MN ．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB 上截取AE =MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B =∠BCD =90°，AB =BC ．∴∠NMC =180°—∠AMN —∠AMB =180°—∠B —∠AMB =∠MAB =∠MAE ．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2），N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN =60°时，结论AM =MN 是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD ……X ”，请你作出猜想：当∠AMN =° 时，结论AM =MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）4、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF＝BE ．（1）求证：CE ＝CF ；（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．5、如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45 °，则有结论EF ＝BE ＋FD 成立；（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF ＝BE ＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF ＝BE ＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.6、已知正方形ABCD ，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC 、CD 于M 、N ．（1）当M 、N 分别在边BC 、CD 上时（如图1），求证：BM ＋DN ＝MN ；（2）当M 、N 分别在边BC 、CD 所在的直线上时（如图2），线段BM 、DN 、MN 之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；(不用证明)（3）当M 、N 分别在边BC 、CD 所在的直线上时（如图3），线段BM 、DN 、MN 之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．图1 图2B C A DE图25 - 4图25 - 3图25 - 2图25 -1D图①D 图② 图③ 图8-2图8-17、如图25－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，∠M =∠B ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． ⑴求证：ME = MF ．⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并加以证明．⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = m BC ，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并说明理由．⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．8、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）9、如图8-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F. (1) 求证：BP=DP ；(2) 如图8-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .N M B E C DFG 图（1）图（2） M B E AC DFGN10、如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．11、已知, 正方形ABCD 和正方形CEFG .（1）如图①，B 、C 、E 在同一条直线上，点G 在CD 上，猜想：BG 与 DE 的数量关系为：；BG 与DE 的位置关系是 .（2）如图②，B 、C 、E 不在同一条直线上，（1）的结论还成立吗？并说明理由. （3）若将原题中的正方形改为矩形，如图 ③且AB = a ，BC = b ，CE = ka ，CG =kb (a ≠b ，k ＞0) ，请你猜想：BG 与 DE 的数量关系，并证明.H① ② A DG FB C E③12、如图1，奖三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF ＝EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB ＝a ，BC ＝b ，求EFEG 的值．图1 图2 图3A B C D GE F AE F G B D C13、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重合0，PE⊥PB且PE交CD 点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论；（2）若点P在线段CA的延长线上，PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）14、数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：DFFC＝DEEP，因为DE＝EP，所以DF＝FC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.15、已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.图1 图2A BCDHEFG图2E BFGD HAC图3图1ABCDH EFGA BCD E NQM O P 图2图3图4图1 ADE N Q M P16、以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°）， ① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ；③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．17、如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . (1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．18、在正方形ABCD 中，点E 是AD 上一动点， MN ⊥AB 分别交AB ，CD 于M ，N ，连结 BE 交MN 于点O ，过O 作OP ⊥BE 分别交AB ，CD 于P ，Q ．（1）如图1，当点E 在边AD 上时，通过测量猜测AE 与MP +NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；（2）如图2，若点E 在DA 的延长线上时，AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又是怎样？请直接写出结论；（3）如图，连结BN 并延长，交AD 的延长线DG 于H ，若点E 分别在线段DH（如图3）和射线．．HG （如图4）上时，请分别在图中画出符合题意的图形，并判断AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又分别．．怎样？请直接写出结论．。

2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章正方形的性质与判定经典常考题专题训练(二 )

人教版八年级数学下册第18章正方形的性质与判定经典常考题专题训练（二）1．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA＝∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．2．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．3．如图，已知点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CM ＝DN．（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝4，当点E在什么位置时，四边形EFMN的周长最小？并求四边形EFMN 周长的最小值．4．如图，正方形ABCD两条对角线AC、BD交于O，过O任作一直线L与边AB，CD 交于M，N，MN的垂直平分线与边BC，AD交于P，Q．设正方形ABCD的面积为S，四边形MPNQ的面积为S2．1（1）求证：四边形MPNQ是正方形；（2）若S1＝1，求S2的取值范围．5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．6．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，则HR＝．7．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数．8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是正方形．（2）若AC＝，则点E到边AB的距离为．9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向三角形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，BD平分∠ABC．（1）判断四边形ACEF为何种特殊的四边形，请说明理由．（2）若AB＝3，BD＝4，求BC的长．10．已知，如图，在正方形ABCD的各边上截取AE＝BF＝CG＝DH，连接AF、BG、CH、DE，依次相交于点N、P、Q、M，求证：四边形MNPQ是正方形．11．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA ＝EB＝FC＝GD，连接EG、FH，交点为O，连接EF、FG、GH、HE，求证：四边形EFGH是正方形．12．已知，如图，点A′、B′、C′、D′分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．（1）求证：四边形A′B′C′D′是正方形．（2）当点A′、B′、C′、D′处在什么位置时，正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的？请写出计算过程．13．如图，在四边形ABDE中，AD与BE相交于点O，OA＝OB＝OE＝OD，AB＝BD．（1）求证：四边形ABDE是正方形；（2）若∠ACB＝90°，连接OC，OC＝6，AC＝5，求BC的长．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．（1）在直角三角形中作一个正方形EFMN，使得EF、EN分别在边AB、AC上，点M 在BC边上，求正方形的边长．（2）将（1）中的正方形EFMN沿着射线AB以1cm/s的速度向右平移，当点E平移至与B重合时，正方形停止运动，设平移的时间为ts，正方形EFMN与Rt△ABC重叠部分的面积为S，求使用时间t表示S．参考答案1．证明：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠HEA＝∠CGF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形；2．解：（1）AF＝DE．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．3．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CM＝DN，∴BE＝CF＝DM＝NA，又∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△BEF≌△CFM≌△DMN≌△ANE，∴EF＝FM＝MN＝NE，∴四边形EFMN是菱形．∵∠AEN＝∠BFE，且∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEN＝90°，∴∠FEN＝90°．∴菱形EFMN是正方形；（2）当EN最小时，正方形EFMN的周长最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝2，又四边形EFMN是正方形，∴四边形EFMN周长的最小值为．4．解：（1）证明：∵QP垂直平分线段MN，∴MQ＝NQ，PM＝PN，∴△AOQ≌△DON（ASA），∴OQ＝ON，∴∠OQN＝∠ONQ＝45°，同理可得∠OQM＝∠OMQ＝∠OMP＝∠OPM＝45°，∴∠NQM＝∠QMP＝∠MPN＝∠PNQ＝90°，∴四边形MPNQ是矩形，而MQ＝NQ，∴四边形MPNQ是正方形．（2）设AQ＝DN＝x，则QD＝1﹣x，∴而S2≤S1＝1，∴．5．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．6．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝BG，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）＝36，∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，解得：a＝3，即HR＝3；故答案为：3．7．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠PEF＝90°，∠PED+∠PEF＝90°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）①当DE与AD的夹角为35°时，如图2，∵∠ADE＝35°，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝55°，∵∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD＝360°，∴∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣55°＝125°，②当DE与DC的夹角为35°时，如图3∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴点D，点E，点C，点F四点共圆，∴∠EDC＝∠EFC＝35°，综上所述：∠EFC＝35°或125°．8．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是正方形．（2）解：如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，由（1）知：四边形OCED是正方形，∴CD⊥OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴EG⊥AB，∵AC＝，∴AB＝BC＝1＝GH，Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，∴DH＝CH，∴EH＝CD＝0.5，∴EG＝1+0.5＝1.5，∴点E到边AB的距离为1.5；故答案为：1.5．9．（1）解：四边形ACEF是正方形；理由如下：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝45°，AC2＝BC2+AB2＝BC2+9，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∠DAC＝∠DAF＝∠CAF，∴∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD＝45°，∴∠CAF＝2∠DAC＝90°，∴四边形ACEF是正方形；（2）解：作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，如图所示：则△BDM和△BDN是等腰直角三角形，∴DM＝DN＝BD＝4，∴S△ABD＝AB×DM＝×3×4＝6，∵S△ABC＝AB×BC＝BC，S＝BC×DN＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），△BDCS＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD四边形ABCD∴BC+（BC2+9）＝6+2BC解得：BC＝5或BC＝﹣3（舍去），∴BC＝5．10．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG（SAS）∴∠BAF＝∠GBC，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BNF＝90°，∴∠MNP＝90°．∴同理可得∠NPQ＝∠PQM＝90°，∴四边形MNPQ是矩形．在△ABN和△BCP中，，∴△ABN≌△BCP（AAS），∴AN＝BP，在△AME和△BNF中，，∴△AME≌△BNF（AAS），∴AM＝BN，∴MN＝NP，∴矩形MNPQ是正方形．11．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△DHG≌△AEH，∴∠DHG＝∠AEH，∵∠AEH+∠AHE＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．12．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，∴A′B＝B′C＝C′D＝D′A，在△AA′D′和△BB′A′中，，∴△AA′D′≌△BB′A′（SAS），∴A′D′＝A′B′，∠AA′D′＝∠BB′A′，∵∠BB′A′+∠BA′B′＝90°，∴∠AA′D′+∠BA′B′＝90°，∴∠B′A′D′＝90°，同理：∠A′B′C′＝∠B′C′D′＝90°，∴四边形A′B′C′D′是矩形，∴四边形A′B′C′D′是正方形；（2）点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA的三等分点时，正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的；∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，∴正方形A′B′C′D′：正方形ABCD的面积＝（）2＝，∴＝，设A′B′＝a，AB＝3a，A′B＝x，则BB′＝3a﹣x，在Rt△A′BB′中，x2+（3a﹣x）2＝（a）2，解得：x＝a，或x＝2a，∴A′B＝2a，∴点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA的三等分点时，正方形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的．13．解：（1）∵OA＝OB＝OE＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AD＝BE，∴四边形ABDE是矩形，又∵AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形．（2）如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，又∵∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝5，∴OF＝AM＝CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC＝6，根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，解得：CF＝OF＝6，∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，∴BC＝CF+BF＝6+1＝7．14．解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．15．解：（1）设正方形的边长为a．∵MN∥AB，∴＝，∴＝，∴a＝cm，∴正方形的边长为cm．（2）当0＜t≤时，S＝﹣•t•2t＝﹣t2+．当＜t≤时，S＝[（﹣t）+（2﹣t）]＝﹣t+，当＜t≤2时，S＝•（2﹣t）•（4﹣2t）＝t2﹣4t+4．。

长方形和正方形解答题专题训练(试题)-数学三年级上册

苏教版三年级上册数学长方形和正方形解答题专题训练1．用4个边长为2厘米的小正方形拼成一个大的长方形或正方形。

拼成图形的周长各是多少？（先分别画出拼成的示意图，再计算周长）2．一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，将其分成两个完全相同的小长方形，这两个小长方形的周长和比原长方形的周长增加多少厘米？3．张大爷打算围一块长14米、宽8米的长方形菜地。

①如果菜地的四周都要围上篱笆，篱笆全长多少米？②如果菜地的一边靠墙，其余三边围上篱笆，篱笆全长至少多少米？4．如图，阴影部分是正方形，求图中最大的长方形的周长。

5．把4个长5厘米、宽3厘米的长方形分别拼成下面的图形。

拼成图形的周长各是多少？6．一块长方形的铁皮长20分米，宽14分米，王师傅从这块铁皮上裁下了一个最大的正方形，剩余部分的周长是多少？7．一块边长为5厘米的正方形的玻璃（如图），请你在它的一角划去一块长4厘米、宽3厘米的长方形玻璃。

计算剩下的玻璃的周长是多少厘米？8．一个长方形的长是70厘米，宽是30厘米，把它剪出一个最大的正方形。

剪下的正方形和剩下的长方形的周长分别是多少厘米？9．有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。

从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？10．小红房间的小阳台是由6块边长6分米的正方形地砖拼成的。

请你算一算，小红房间的阳台周长是多少分米？11．小王把两张边长是80厘米的正方形桌子，拼成了一张长方形的大桌子，这张长方形桌子的周长是多少厘米？12．一块正方形的草坪，边长是60米，沿着它的四周有一条小路，小军沿小路跑了4圈，跑了多少米？13．小王把两张边长是80厘米的正方形桌子，拼成了一张长方形的大桌子，这张长方形桌子的周长是多少厘米？14．下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。

这个零件的周长是多少厘米？15．一个长方形的长是宽的2倍，如果宽延长9厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。

专题训练(一) 正方形中的折叠问题

专题训练(一) 正方形中的折叠问题在这份文档中，我们将讨论正方形中的折叠问题。

正方形折叠问题是一个有趣的数学问题，需要我们探索在一个正方形纸张上进行折叠的可能性和性质。

问题描述假设我们有一张边长为L的正方形纸张。

我们可以在任意位置将纸张折叠，并将其折叠成较小的正方形。

折叠操作可以进行多次，每次折叠都会生成一个新的正方形。

我们的问题是：通过连续的折叠操作，是否可以使得最终的正方形尺寸变为边长为a的正方形？如果可以，我们还需要考虑的问题是：对于任意给定的边长a，我们需要进行多少次折叠操作才能达到目标？解决方案正方形中的折叠问题可以通过简单的数学分析和逻辑推理来解决。

首先，我们需要考虑每次折叠操作会如何改变正方形的边长。

假设我们将正方形纸张沿着对角线折叠一次。

此时，我们得到了一个边长为L/√2的正方形。

接着，我们再次沿着新生成的正方形的对角线进行折叠。

这时，我们会得到一个边长为(L/√2)/√2 =L/2的正方形。

通过上述分析，我们可以看到每次折叠操作都会使正方形的边长减半。

也就是说，经过n次折叠操作后，正方形的边长将变为L/(2^n)。

为了使最终的正方形边长为a，我们需要解方程L/(2^n) = a，求解得n = log2(L/a)。

因此，对于给定的边长a，我们需要进行log2(L/a)次折叠操作才能达到目标。

结论通过上述的分析，我们得出了正方形中的折叠问题的解决方案。

通过连续的折叠操作，我们可以将正方形纸张折叠成所需的目标尺寸。

同时，我们还确定了对于给定的目标尺寸，需要进行的折叠次数。

这个问题不仅有趣，而且具有实际应用价值。

在纸艺、几何学和数学教育等领域，都可以通过这个问题进行探索和教学。

希望这份文档对您理解正方形中的折叠问题有所帮助！。

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

初二数学知识点专题讲解与练习20---正方形(培优版)

当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM = DN 时（如图 1），易证 BM + DN = MN ．（1）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM ≠ DN 时（如图 2），线段 BM , DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM , DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
F
A
D
M
B
C
A
D
F
EB
M C
E
G
图1
图G2
【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ， DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DA .
（重庆市竞
2 / 17
解题思路：构造 AE + FC 的线段是解本例的关键．
赛试题）
A
D
E
G
B
延长线上 (CG > BC) ，取线段 AE 的中点 M .连 MD ， MF ．（1）探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变．探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．
（大
连市中考题改编）解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
（黑龙江省中考试题）
解题思路：对于（2），构造 DN − BM 是解题的关键．
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A
D
N
BM
C
图1
A
D
C MB
A
D
N
BM
C
图2

人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

正方形的性质与判定专题练习

正方形专题训练（含答案)一．选择题（共11小题）1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，）,则点C的坐标为（）2．）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(）A．a2B．a2C．a2D．a23．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF 的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．不确定4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C ．对角线相等D．对角线互相垂直且相等5．正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是（)6．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（）A．45°B．50°C．55°D．60°11．如图,菱形ABCD中,∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（）A．9B．16 C．20 D．25二．填空题(共5小题）12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=_________度．13．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是_________度．14．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形．AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC=_________度．A．8B．4C．8D．1615．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．16．如图所示，正方形ABCD 的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长等于_________cm,四边形EFGH的面积等于_________cm．三．解答题（共6小题）17．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．18．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,连接BP、DP，延长BC到E,使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．20．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．21．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO 并延长,交BC的延长线于点E．(1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE,当∠B=∠AEB=_________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．22．（2014•随州）已知：如图,在矩形ABCD中，M、N 分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）填空：当AB：AD=_________时，四边形MENF 是正方形．一．选择题（共11小题）1．（2014•南充）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，)，则点C 的坐标为( ）A ．（﹣，1） B ． (﹣1，） C ． (，1) D ．（﹣，﹣1）考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE,再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．解答：解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是正方形， ∴OA=OC ，∠AOC=90°, ∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠COE, 在△AOD 和△OCE 中，，∴△AOD ≌△OCE （AAS)， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C 在第二象限, ∴点C 的坐标为（﹣,1）．故选:A ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．2．（2014•山西)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为（）A ． a 2B ． a 2C ． a 2D ． a 2考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，△EPM ≌△EQN,利用四边形EMCN 的面积等于正方形MCQE 的面积求解．解答：解：作EP ⊥BC 于点P,EQ ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°,∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°,∴∠PEM=∠NEQ,∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EN，四边形MCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN(ASA）∴S△EQN=S△EPM,∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积, ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形MCQE的面积=a ×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2,故选：D．点评:本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线,证出△EPM≌△EQN．3．（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是(）A．45°B．50°C．60°D．不确定考点:全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析:过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．解答:解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°,∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，，∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），∴∠HBE=∠IEF ， ∵∠HBE+∠HEB=90°， ∴∠IEF+∠HEB=90°， ∴∠BEF=90°， ∵BE=EF ，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选：A ．点评：本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直且相等考点：正方形的性质;平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．专题：证明题．分析: 本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．解答：解：A 、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质;B 、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C 、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D 、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．故选:A ．点评：本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理．5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）A ． 8B ． 4C ． 8D ． 16考点：正方形的性质．分析：根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．解答：解:∵正方形的一条对角线长为4, ∴这个正方形的面积=×4×4=8．故选:A ．点评：本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．6．（2014•福州）如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A ． 45°B ． 55°C ． 60°D ．75°考点: 正方形的性质；等腰三角形的性质;等边三角形的性质．分析: 根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°,再求∠BFC ．解答：解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=AD=DE,∠DAE=60° ∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150° ∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15° 又∵∠BAC=45° ∴∠BFC=45°+15°=60°故选:C ．点评：本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质,本题的关键是求出∠ABE=15°．7．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形考点:正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质．分析：根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得．解答：解：∵E ，F 是中点， ∴EH ∥BD ，同理，EF ∥AC,GH ∥AC ，FG ∥BD ， ∴EH ∥FG ,EF ∥GH ，则四边形EFGH 是平行四边形．又∵AC ⊥BD ， ∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形．故选：B ．点评：本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．8．（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（） A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定;对顶角、邻补角;平行四边形的性质;矩形的性质．分析：根据对顶角的定义,正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A 、相等的角一定是对顶角错误，例如,角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角,故本选项错误；B 、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形,故本选项错误；C 、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D 、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直,故本选项错误．故选：C ．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质,对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．9．（2014•株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC ⊥BD 四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ) A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析:要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答: 解:A 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；B 、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意；C 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D 、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B ．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．10．（2014•红桥区三模）如图，在正方形ABCD 中,CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 等于（）A ． 45°B ．50° C ．55° D ．60°考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析: 过B 作BF ∥MN 交AD 于F,则∠AFB=∠ANM ，根据正方形的性质得出∠A=∠EBC=90°,AB=BC,AD ∥BC,推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF=MN=CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE,推出∠AFB=∠ECB 即可．解答：解：过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB=∠ANM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠EBC=90°，AB=BC,AD ∥BC ， ∴FN ∥BM,BE ∥MN ，∴四边形BFNM 是平行四边形， ∴BF=MN ， ∵CE=MN ， ∴CE=BF,在Rt △ABF 和Rt △BCE 中∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ）, ∴∠AFB=∠ECB=35°， ∴∠ANM=∠AFB=55°，故选C ．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．11．(2014•四会市一模）如图，菱形ABCD 中,∠B=60°，AB=5,则以AC 为边长的正方形ACEF 的面积为( ）A ． 9B ． 16C ． 20D ． 25考点:菱形的性质；正方形的性质．分析：据已知可求得△ABC 是等边三角形，从而得到AC=AB,从而求出正方形ACEF 的边长,进而可求出其面积．解答：解：∵B=60°,AB=BC ， ∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=5，∴正方形ACEF 的边长为5， ∴正方形ACEF 的面积为25，故选D ．点评：本题考查菱形与正方形的性质，属于基础题，对于此类题意含有60°角的题目一般要考虑等边三角形的应用．二．填空题(共5小题）12．（2009•江西模拟）如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE ，则∠AEB= 15 度．考点:正方形的性质;等边三角形的性质．分析: 由等边三角形的性质可得∠DAE=60°，进而可得∠BAE=150°，又因为AB=AE ，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB 的大小．解答: 解：△ADE 是等边三角形;故∠DAE=60°， ∠BAE=90°+60°=150°，又有AB=AE,故∠AEB=30°÷2=15°；故答案为15°．点评: 主要考查了正方形基本性质：①两组对边分别平行;四条边都相等；相邻边互相垂直；②四个角都是90°;③对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．13．(2008•佛山）如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP=BC,则∠ACP 度数是 22.5 度．考点：正方形的性质．专题:计算题．分析：根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC,从而可求得∠BCP 的度数,从而就可求得∠ACP 的度数．解答：解：∵ABCD 是正方形， ∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC ，∴∠BCP=∠BPC=（180°﹣45°）=67。

【知识点解析】专题训练5 正方形性质与判定的应用

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
解：(1)仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN. 又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM， ∴△EAM≌△NAM. ∴ME＝MN. ∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM， ∴BM＋DN＝MN .
(2)DN－BM＝MN. 理由如下：如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD. 又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE. ∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE. ∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN. 又∵AM＝AE，AN＝AN， ∴△AMN≌△AEN. ∴MN＝EN. ∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.
类型3 利用正方形的判定和性质探究正方形的条件
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE. (2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊
四边形？请说明理由．
解：四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE. ∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形．
要点提示
正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是菱形又是矩形即可．
类型1 利用正方形的性质证明线段位置关系

专题18 正方形的判定与性质（含答案）

专题18 正方形的判定与性质知识解读一、正方形的性质1.从边看：正方形的四条边相等，对边平行，邻边垂直.2.从角看：正方形的四个角都是直角.3.从对角线看：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.4.对称性：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.由于矩形和菱形都既是轴对称图形又是中心对称图形，因此正方形作为一个特殊的菱形和矩形，它也既是轴对称图形又是中心对称图形.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如下：二、正方形的判定方法【典例示范】一、正方形常与全等知识综合在一起例1 如图4-18-1，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F．(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)求∠AFB的度数．【提示】(1)要证△ADE≌△BCE，由题意可如AD＝BC，DE＝CE，只需再找出∠ADE与∠BCE相等即可．由题设条件，两角易证得相等；(2)由∠ADE＝30°，AD＝DE，可求出∠DAE ＝75°，又因为AE＝BE，从而可求∠ABF＝15°，从而易求得∠AFB的度数．【技巧点评】正方形的四条边长都相等，四个角度都为90°，等边三角形也是三边相等，三个角都等于60°，因此当图形中出现具有公共顶点的两个等边三角形，两个正方形或一个正方形一个等边三角形的时候，应考虑寻找全等三角形。

跟踪训练》OE ，1.如图4-18-2，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，点E在OA上，点G在OB上，且OG CG的延长线交BE于点F，猜想并证明CG和BE的大小及位置关系.【解答】如图4-18-2例2、在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图4-18-3①，他连接AD ，CF ，经测量发现AD=CF.（1）小辉将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转一定的角度，如图4-18-3②，试判断AD 与CF F 还相等吗？说明你的理由；（2）小辉将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转，使点E 旋转至直线l 上，如图4-18-3③，请你求出CF 的长.【提示】对于（1）根据正方形的性质可得090=∠=∠COA DOF ，OF DO =,OA CO =，然后推出AOD COF =∠,再利用“边角边”证明AOD ∆和COF ∆全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；对于（2），同（1）求出AD CF =，连接DF 交OE 于点G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得OG DF ⊥，121===EO OG DG ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ，从而求出CF 的长。

2020年中考数学一轮专题复习课时练-第23课时矩形、菱形、正方形专题训练

2020年中考数学一轮专题复习课时练第五单元四边形第23课时矩形、菱形、正方形练习1 矩形点对点·课时内考点巩固35分钟1.(2019株洲)对于任意的矩形，下列说法一定正确的是()A. 对角线垂直且相等B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形2.(2019眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是()A. 1B. 74 C. 2 D.125第2题图3.如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，则S△BCE 为()A. 1B. 255 C.23D.45第3题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上．若AM平分∠DMB，则DM的长为()A.33 B.14 C. 3－32 D. 2－ 3第4题图5.如图，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE的长等于()A. 4B. 3C. 2D. 1第5题图6.(2019陕西黑马卷)如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上一点，连接AM，DM.过点D作DE⊥AM，垂足为点E.若AM＝AD，AE＝2EM，AB＝5，则BM的长为()A. 15B.25C. 5D. 2 5第6题图7.(2019西安交大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，E、F、M分别为AB、BC、CD边上的点，连接EF、FM、ME，且AE＝3，DM＝2.若∠EFM＝90°，BF＞FC，则BF＝()A. 3B. 4C. 5D. 6第7题图8.(2019龙东地区)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝()A. 29B.14C.26D.310第8题图9.(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第9题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为()A. 125B. 2 C.52D. 1第10题图11. (2019徐州)如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点，若MN ＝4，则AC 的长为________．第11题图12.(全国视野创新题推荐·2019百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形A ′B ′C ′D ′，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A ′＝________°.第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG ，垂足为点E ，且DE ＝DC .求证：BF ＝AE .第13题图14.(2019宁夏)如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF ⊥EC ，且AE ＝CD . (1)求证：AF ＝DE ；(2)若DE ＝25AD ，求tan ∠AFE .第14题图点对线·板块内考点衔接20分钟1.(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )第1题图A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND2.(2019泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是()A. 2B. 4C. 2D. 2 2第2题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上．若四边形EFGH为平行四边形，且EF∥AC，则▱EFGH的周长为____________．第3题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP的中点，则△CEF周长的最小值为________．第4题图4．(2019龙东地区)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝12S△PCD，则PC＋PD的最小值为________．第5题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．第6题图练习2 菱形点对点·课时内考点巩固45分钟1.(2019大庆)下列说法中不正确．．．的是()A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等2.(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第2题图3.(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第3题图4.(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 22B. 25C. 42D. 2105.(2019娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，点E是线段BC边上的一个点，点F、G分别是AE、CE的中点，则FG＝()A. 32B. 3 C. 22D. 2 3第6题图7.(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A. 40B. 24C. 20D. 15第7题图8.如图，菱形ABCD的边长为6，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F.若AE＝5，则四边形AECF的周长为()A. 16B. 17C. 32D. 34第8题图9.(2019陕西定心卷)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F.若AE＝4，则DF的长为()A. 352 B.552 C.52D.32第9题图10.(2019陕西黑白卷)如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为点E，连接BD，过点E作EF⊥BD，分别交CD、BD于点F、G.若BC＝10，BE＝8，则EF的长为()A. 85B.855 C.165D.1655第10题图11.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是()A. 3B. 2C. 3D. 2第11题图12.(2019十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．第12题图13.(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________．第13题图14.(2019衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.第14题图15.(2019岳阳)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF.求证：∠1＝∠2.第15题图16.(2019青海)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形．第16题图点对线·板块内考点衔接15分钟1.(全国视野创新题推荐·2019江西)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有()A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A. 25B. 3C. 5D. 6第2题图3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则AMMD等于()A. 38B.23C.35D.45第3题图4.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且EH∥BD，BE＝2AE.若四边形EFGH是矩形，则EF的长为()A. 1B. 43C.163D. 2第4题图5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1.(2019绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为()第1题图A. (2，3)B. (3，2)C. (3，3)D. (3，3)练习3 正方形点对点·课时内考点巩固6分钟1.(2019遵义)我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是()A. AC，BD相等且互相平分B. AC，BD垂直且互相平分C. AC，BD相等且互相垂直D. AC，BD垂直且平分对角2.(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第2题图3.(2019扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．第3题图点对线·板块内考点衔接15分钟1.(人教八下P67第1(3)题改编)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为()A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°第1题图2.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为()A. 16B.13C.15D.14第2题图3.(2019陕师大附中模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接AF交BC于点G，则BG的长为()A. 22－2B. 22－1C. 2D. 1第3题图4.(2019菏泽)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第4题图5.(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第5题图6.(2019凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.第6题图参考答案第23课时矩形、菱形、正方形练习1 矩形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】矩形的性质有：邻边垂直；四个内角都是直角；是轴对称图形，也是中心对称图形；对角线互相平分且相等．故选C .2. B 【解析】如解图，连接EC ，∵OA ＝OC ，且EF ⊥AC ，∴EC ＝AE ，设DE ＝x ，则EC ＝AE ＝8－x ，根据勾股定理可得(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74.第2题解图3. D 【解析】由题意得△BCD 的面积占矩形BDFE 的一半，S △BCD ＝1，∴S △BCE ＋S △CDF ＝1，又∵CD ∶BC ＝AB ∶AD ＝1∶2，∴S △BCE ∶S △CDF ＝4∶1，故可得S △BCE ＝45.4. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，AB ∥CD ，BC ＝AD ＝1，∠C ＝90°，∴∠BAM ＝∠AMD ，∵AM 平分∠DMB ，∴∠AMD ＝∠AMB ，∴∠BAM ＝∠AMB ，∴BM ＝AB ＝2，∴CM ＝MB 2－BC 2＝3， ∴DM ＝CD －CM ＝2－ 3.5. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵∠BOC ＝120°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OB ＝AB ＝4，∵AE ⊥BO ，∴BE ＝12OB ＝2.6. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，∴∠ADM ＝∠DMC ，∵AD ＝AM ，∴∠ADM ＝∠AMD ，∴∠AMD ＝∠DMC ，∵DE ⊥AM ，∴∠DEM ＝∠C ＝90°，∴△DEM ≌△DCM (AAS )，∴DE ＝DC ＝5，EM ＝CM ，∵AE ＝2EM ，∴AE ＝23AM ＝23AD ，∴AE AD ＝23，设AE＝2x ，则AD ＝3x ，在Rt △AED 中，由勾股定理得(2x )2＋52＝(3x )2，解得x ＝5，∴AE ＝25，∵AM ＝AD ＝BC ，EM ＝CM ，∴BM ＝AE ＝2 5.7. B 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝6，∵AE ＝3，DM ＝2，∴BE ＝3，CM ＝4，∵EF ⊥FM ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠MFC ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFM ，∴△BEF ∽△CFM ，∴BF CM ＝BE CF ，即BF 4＝37－BF，解得BF ＝4或BF ＝3(舍去)，∴BF ＝4.8. A 【解析】如解图，连接EO ，延长交AD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OC ，又∵BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OCEB 是菱形，∴BC ⊥EF ，∵BC ⊥DC ，∴EF ∥CD ，∠EDC ＝∠FED ，在△EFD 中，tan ∠FED ＝DF EF ＝12BC 32AB ＝29，∴tan ∠EDC ＝29.第8题解图9. C 【解析】如解图，过点P 作PM ⊥AD 于点M ，反向延长线交BC 于点N ，∵DF ＝AE ＝2，PF ＝8，∴S 矩形MPFD ＝DF ·PF ＝2×8＝16，S △PDF ＝8，∵S PDF S △PFC ＝DF FC ＝MPFC ，S △BEP ＝S △BNP ，S △BPN S △PNC ＝BN NC ，S △PNC ＝S △PFC ，∴S △BEP S △PFC ＝BN NC ＝EP NC ，∴四边形AEPM 与四边形PNCF 相似，∴PM PN ＝EP PF ，即DF FC ＝BNNC ，∴S △PFD S △PFC ＝S △BEP S △PFC，∴S △BEP＝S △PDF ，∴S △BEP ＝8，∴S 阴影＝16.第9题解图10. A 【解析】由题易得AC ＝BD ＝32＋42＝5，设AP ＝x ，则PD ＝4－x .∵∠EAP ＝∠DAC ，∠AEP ＝∠ADC ，∴△AEP ∽△ADC ，∴AP AC ＝PE CD ，故x 5＝PE 3①.同理可得△DFP ∽△DAB ，∴DP DB ＝PFBA ，故4－x 5＝PF 3②.①＋②得45＝PE ＋PF 3，∴PE ＋PF ＝125.11. 16 【解析】在△OBC 中，根据三角形中位线等于它所对的边的一半得到OB ＝2MN ＝8，又根据矩形的性质：对角线相等且互相平分得到AC ＝BD ＝2OB ＝16.12. 30 【解析】如解图，过点B ′作B ′E 垂直于A ′D ′于点E .设矩形ABCD 的边AD 长为a ，AB 长为b ，B ′E 长为c ，则S 矩形ABCD ＝ab ，S ▱A ′B ′C ′D ′＝ac .∵S ▱A ′B ′C ′D ′＝12S 矩形ABCD ，∴ac ＝12ab ，∴c ＝12b ，∴sin A ′＝cb ＝12，∴∠A ′＝30°.第12题解图13.证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ∥AD ，∠B ＝90°，DE ＝CD , ∴AB ＝DE ，∠BF A ＝∠EAD . ∵DE ⊥AG ， ∴∠AED ＝90°. ∴∠AED ＝∠B . 在△ABF 与△DEA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BF A ＝∠EAD ∠B ＝∠AED AB ＝DE， ∴△ABF ≌△DEA (AAS )． ∴BF ＝AE .14. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC ＝90°.∴∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠DEC ＝90°. ∴∠AFE ＝∠DEC ，在△AEF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ∠AFE ＝∠DEC AE ＝CD， ∴△AEF ≌△DCE (AAS )． ∴AF ＝DE ； (2)解：∵DE ＝25AD ，∴AE ＝32DE .∵AF ＝DE ，∴tan ∠AFE ＝AE AF ＝32DE DE ＝32.点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵BM ＝DN ，∴OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .2. D 【解析】如解图，取DE 的中点M ，CD 的中点N ，连接MN ，则点P 一定在△CDE 的中位线MN 上，∴当BP ⊥MN 时，即点P 与CD 的中点N 重合时，PB 最小，此时点F 与点C 重合．∵AB ＝CD ＝4，P 为CD 的中点，∴PC ＝2.∵BC ＝AD ＝2，∠BCD ＝90°，∴PB ＝2 2.第2题解图3. 20 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，∠ABC ＝90°，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∵四边形EFGH 为平行四边形，且EF ∥AC ，∴EF ∥AC ∥GH ，EF ＝HG ，∴△BEF ∽△BAC ，△DHG ∽△DAC ，∴BE AB ＝EF AC ①，HG AC ＝DH DA ，∴BE AB ＝DH AD ，∴EH ∥BD ，∴EH ∥BD ∥FG ，∴AE AB ＝EH BD ，∴AE AB ＝EHAC ②，∴①＋②得BE ＋AE AB ＝EF ＋EH AC，∵BE ＋AE ＝AB ，∴EF ＋EH ＝AC ＝10，∴▱EFGH 的周长为20.第3题解图4.2＋1 【解析】如解图，连接PD ，∵E 为CD 中点，F 为CP 中点，∴EF ＝12PD ，∴C △CEF ＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋12(CP ＋PD )＝12 (CD ＋PC ＋PD )＝12C △CDP ，∴当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；即PC ＋PD 的值最小时，△CEF 的周长最小．作点D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点P ，∵AD ＝AD ′＝BC ，AD ′∥BC ，∴四边形AD ′BC 是平行四边形，∴AP ＝PB ＝1，PD ′＝PC ，∴CP ＝PD ＝2，∴C △CEF ＝12C △CDP ＝2＋1.第4题解图5. 45 【解析】∵S △P AB ＝12S △PCD ，AB ＝CD ，∴点P 在直线AD 的三等分的直线上，又∵AB ＝4，BC＝6，此题可以转化为在正方形A ′B ′CD 中求PC ＋PD 的最小值．如解图，点F 是点D 关于点A ′的对称点，∴PF ＝PD ，当PF 和PC 在一条直线上时，PC ＋PD 的值最小，FC ＝42＋82＝45，故PC ＋PD 的最小值是4 5.第5题解图6. (1)证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴BD ＝AE ，BD ∥AE . ∵D 为BC 的中点， ∴CD ＝BD ，∴CD ＝AE .∴四边形AECD 是平行四边形．又∵AB ＝AC ， ∴∠ADC ＝90°， ∴四边形ADCE 是矩形； (2)解：∵四边形ADCE 是矩形， ∴AO ＝EO . ∵∠AOE ＝60°， ∴△AOE 为等边三角形． ∴AO ＝AE ＝2. ∴AC ＝2OA ＝4.故矩形ADCE 对角线的长为4.练习2 菱形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】A .四边相等的四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；B .对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；C .菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，此选项错误；D .菱形的四边都相等，邻边也一定相等，此选项正确．故选C .2. C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形，当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得：∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．3. D 【解析】根据菱形的性质可知∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∴∠1＝12∠DAB ＝15°.4. C 【解析】∵菱形的对角线相互垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－12＝4 2.5. C 【解析】顺次连接任意四边形的四边中点，得到四边形一定是平行四边形，如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．菱形的对角线互相垂直，所以它的中点四边形是矩形．6. A 【解析】如解图，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝AB ＝3，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝3，∵点F 、G 分别是AE 、CE 的中点，∴FG 是△ACE 的中位线，∴FG ＝12AC ＝32.第6题解图7. B 【解析】∵AB ＝AD ，OB ＝OD ，∴AO ⊥BD ，∠ADO ＝∠ABO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∠ADO ＝∠CDO ，又∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD .∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴AC ＝2AO ＝2AB 2－OB 2＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ×BD ＝24.8. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，AD ∥BC ，∴AF ∥CE ，∵AE ⊥AC ，AC ⊥CF ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴CF ＝AE ＝5，AF ＝CE ，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠BAE ＝90°，∠BCA ＋∠E ＝90°，∴∠BAE ＝∠E ，∴BE ＝AB ＝6，∴CE ＝6＋6＝12，∴平行四边形AECF 的周长为2(AE ＋CE )＝2×(5＋12)＝34.9. B 【解析】∵AE ⊥BC ，AB ＝5，AE ＝4，∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3.∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BE ，∴∠DAF ＝∠BEF ＝90°，∵∠AFD ＝∠EFB ，∴△DAF ∽△BEF ，∴DA BE ＝AF EF ，即53＝AF 4－AF ，解得AF ＝52，∴在Rt △DAF 中，DF ＝AD 2＋AF 2＝552.10. D 【解析】如解图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝AD ＝10，∵BE ⊥AD ，BE ＝8，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴DE ＝4.∴tan ∠ADB ＝BE DE ＝84＝2，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴tan ∠ABD ＝2，∴AOOB ＝2，在Rt △ABO 中，由勾股定理得：OB 2＋(2OB )2＝102，解得OB ＝25，∴AC ＝2AO ＝4OB ＝85，∵EF ⊥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ∥AC ，∴DE DA ＝EF AC ＝25，∴EF ＝25AC ＝1655.第10题解图11. A 【解析】∵菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∴△BCM ∽△BGF ，∴CM GF ＝BCBG ，即CM 3＝22＋3，解得CM ＝65，∴DM ＝2－65＝45，∵∠A ＝120°，∴∠ABC ＝180°－120°＝60°，∴菱形ABCD 边CD 上的高为2sin60°＝2×32＝3，菱形ECGF 边CE 上的高为3sin60°＝3×32＝332，∴S 阴影＝S △BDM ＋S △DFM ＝12×45×3＋12×45×332＝ 3.12. 24 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，BO ＝DO ，∵点E 是BC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ＝2×3＝6，∴菱形ABCD 的周长为4×6＝24.13.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝24，∴AH ＝245.14.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D . ∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． ∴AE ＝AF .15.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD .∵DF ＝DE ，∠D ＝∠D ， ∴△ADF ≌△CDE (SAS)．∴∠1＝∠2.16.证明：(1)∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE . ∵AF ∥BC ，∴∠EAF ＝∠EDB ，∠AFE ＝∠DBE . 在△AEF 和△DEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠EDB ∠AFE ＝∠DBF ，AE ＝DE∴△AEF ≌△DEB (AAS )；(2)∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点， ∴AD ＝BD ＝DC . 由(1)知，△AEF ≌△DEB . ∴AF ＝DB . ∴AF ＝DC . 又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AD ＝DC ，∴平行四边形ADCF 是菱形．点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】根据题目所给图形可知，原图中已经有2个菱形了，再添2根小棒只要使拼接后的图形再增加一个菱形即可．符合条件的拼接方法有6种，如解图所示．第1题解图2. C 【解析】如解图，连接EF ，交AC 于点O ，∵四边形EGFH 是菱形，∴EF 与GH 互相垂直平分．又∵CF ∥AE ，∴△AOE ≌△COF ，∴AO ＝CO .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝82＋42＝45，∴AO ＝12AC＝2 5.∵∠OAE ＝∠BAC ，∠AOE ＝∠ABC ＝90°.∴Rt △AOE ∽Rt △ABC ，∴AO AB ＝AE AC ，即258＝AE45，解得AE ＝5.第2题解图3. C 【解析】∵四边形MBND 是菱形，∴MD ＝MB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°.设AB ＝x ，AM ＝y ，(x 、y 均为正数)则MB ＝2x －y .在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2，即x 2＋y 2＝(2x －y )2, 解得x ＝43y ，∴MD ＝MB ＝2x －y ＝53y , ∴AM MD ＝y 53y ＝35.4. C 【解析】如解图，设EF 交BD 于点I ，AC 交BD 于点J ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .∵EH ∥BD ，四边形EFGH 是矩形，∴EF ∥AC ，则EI ∥AJ .∴△BEI ∽△BAJ .∵2AE ＝BE ，∴BEBA ＝BI BJ ＝EI AJ ＝23.∵AJ ＝12AC ＝4，∴EI AJ ＝EI 4＝23，解得EI ＝83. 易得EI ＝FI ，∴EF ＝2EI ＝2×83＝163.第4题解图5.3 【解析】如解图，连接DE 、BD ，DE 与AC 的交点即为点P .由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD ＝PB ，∴PE ＋PB ＝PE ＋PD ＝DE ，即DE 就是PE ＋PB 的最小值，∵∠BAD ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE ＝BE ，∴DE ⊥AB ，在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2－AE 2＝ 3.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵四边形OABC 为菱形，∠AOC ＝60°，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝30°，△AOC 为等边三角形，AC ⊥OB ，∴∠F AE ＝60°，∵A (4，0)，∴OA ＝4，∴AE ＝12AO ＝12×4＝2，∴AF ＝12AE ＝1，∴EF ＝AE 2－AF 2＝22－12＝3，∴OF ＝AO －AF ＝4－1＝3，∴E (3，3)．第1题解图练习3 正方形点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据题意可得中点四边形一定是平行四边形，若AC 与BD 相等则中点四边形是菱形，若AC 与BD 互相垂直，则中点四边形是矩形，∴当AC 与BD 相等且互相垂直时，中点四边形是正方形．2. B 【解析】∵EC ＝2，EB ＝1，∠B ＝90°，利用勾股定理可得BC ＝3，则正方形ABCD 的面积为(3)2＝3.3.132 【解析】如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF ＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第3题解图点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°，∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.2. A 【解析】如解图，设BC ＝x ，则CE ＝1－x ，易证△ABC ∽△FEC ，∴AB FE ＝BC EC ＝12＝x1－x ，解得x＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接EG .∵正方形ABCD 的边长为2，∴对角线AC ＝22，∠ACG ＝45°，∵四边形AEFC 为菱形，∴AE ＝AC ＝22，AF 平分∠CAE ，∴△ACG ≌△AEG (SAS)，∴∠BEG ＝∠ACG ＝45°，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BG ＝BE ＝AE －AB ＝22－2.第3题解图4. 85 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC . ∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝25.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第4题解图5.证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90°.AB ＝AD .∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB .在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠ABF ∠DGA ＝∠AFB AB ＝AD，∴△DAG ≌△ABF (AAS )．∴AF ＝DG , BF ＝AG .∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG .∴BF －DG ＝FG .6.证明：在正方形ABCD 中，∵AC ⊥BD ，AM ⊥BE ，∴∠AOF ＝∠BOE ＝∠AME ＝90°.∴∠F AO ＋∠AEB ＝∠EBO ＋∠AEB ＝90°.∴∠F AO ＝∠EBO .∵AC ＝BD ，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ， ∴OA ＝OB .∴△AOF ≌△BOE (ASA)． ∴OE ＝OF .。

专题训练：与正方形相关的证明

BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于
点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是腰直角
三角形，且S四边形OEBF＝
1 S4 正方形ABCD.
模型3 正方形中三垂直全等模型 ——教材P69复习题T14的变式与应用
3．【原题呈现】如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC 的中点，∠AEF＝90°，且EAFE交＝E正F.方形外角的平分线CF于点 F.求证：EAF交E＝正方E形F.外角的平分线CF于点F.
人教版八年级下册数学
第二十章数据的分析
专题训练：与正方形有关的四个常考模型
模型1 正方形中相交垂线段问题 ——教材P68复习题T8的变式与应用
1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
模型2 正方形中过对角线交点的直角问题
2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，
(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则 EF＝DF－BE.
问题发现：
（1）如图（1），已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，
M是BC边上的一点，MN⊥AM，求证：AM=MN；

正方形中的分类讨论专题训练

正方形中的分类讨论专题训练正方形是一种独特的几何图形，具有许多特殊的属性和应用。

在这篇文档中，我们将探讨正方形的分类和相关讨论，以帮助我们更好地理解和运用这一几何形状。

正方形的定义与特性正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的几何形状。

其特点如下：- 所有边长相等：正方形的四条边长度相等，记为$a$。

- 具有四个直角：正方形的四个角都是直角，即$90^\circ$。

正方形的分类根据正方形的特性和属性，可以将其进行不同的分类讨论。

根据边长分类根据正方形的边长，我们可以将其分为以下几类：1. 边长相等的正方形：当一个正方形的边长为$a$时，我们称其为边长为$a$的正方形。

2. 不同边长的正方形：当一个正方形的边长不完全相等时，我们称其为不同边长的正方形。

根据角度分类根据正方形的内角度数，我们可以将其进行以下分类：1. 直角正方形：所有内角均为直角的正方形，即每个内角为$90^\circ$。

2. 非直角正方形：存在至少一个内角不为直角的正方形。

正方形的应用和相关讨论正方形具有许多应用和相关讨论，以下是其中一些重要的方面：1. 面积计算：正方形的面积可以通过公式$A = a^2$来计算，其中$A$代表正方形的面积，$a$代表正方形的边长。

2. 对角线长：根据正方形的特性，正方形的对角线长度等于边长$a$的平方根乘以$\sqrt{2}$，即$d = a\sqrt{2}$。

3. 相似性和共轭：正方形具有相似性和共轭关系，可以通过旋转和镜像进行变换来得到新的正方形。

4. 延伸讨论：基于正方形的属性和特征，我们可以进一步讨论其性质和应用，如正方形的切割、面对角等。

通过对正方形的分类讨论和相关探索，我们能够更好地理解和应用这一几何形状。

正方形在数学、建筑、工程等领域具有重要地位和广泛应用，对其深入了解将有助于我们扩展知识和解决实际问题。

结论正方形是一种具有特殊属性和应用的几何形状。

通过对其分类讨论和相关探索，我们能够更好地理解和应用正方形。

长方形和正方形的解决问题的专题训练

长方形和正方形的解决问题的专
题训练(总1页)
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长方形和正方形的解决问题的专题训练
1、一个正方形的边长是48米，它的面积是多少如果用花边把这个正方形的四
周围上一圈，需要多长的花边
2、一个长方形泳池的长是1 2米，宽是9米，这个长方形的泳池有多大小红沿
着泳池的边跑一圈，小红跑了多少米跑了两圈呢
3、一条长方形的毛巾，长是15米，宽是9米，如果每平方米要5元，买这条
毛巾要多少钱
4、一个正方形的周长是24米，它的面积是多少平方米
5、一辆洒水车每分钟行驶150米，洒水宽度20米，洒水车行驶10分钟，能
给多大的地面洒水
6、一块长是45米，宽是30米的长方形实验田，占地多少平方米
7、小明房间的前面墙壁，长是10米，宽是9米，墙上有一幅20平方米的山
水画，现在要粉刷这墙壁，要粉刷的面积是多少平方米
8、一张长方形的纸，长是18米，宽是12米，在这张长方形纸里剪出一个最
大的正方形，剩下的部分是什么图形它的面积是多少平方米
9、篮球场的长是42米，宽是20米，它的面积是多少半场是多少平方米
10、一个长方形的长是12米，比宽长了3米，这个长方形的面积是多少平方米
11、一个长方形，宽是6米，比长少2米，这个长方形的面积是多少平方米
12、一个长方形，宽是5米，长是宽的3倍，这个长方形的面积是多少平方米
13、一个边长是200米的正方形果园，一共种了2400棵果树，平均每公顷种
果树多少棵。

人教版三年级数学下册长方形正方形周长专项专题训练

人教版三年级数学下册长方形正方形周长专项专题训练1. 观察如图，比较A，B的周长（）A .A长B .B长C .一样长2. 下面三个图形中，哪个面积最大?哪个面积最小?请把面积最大的图形涂上绿色，面积最小的涂上红色，并按面积大小排序。

(填序号)3. 用9个边长为5厘米的正方形拼成下图的形状，这个图形的周长是多少厘米？4. 下图是一个长方形，长12厘米，宽8厘米。

在这个长方形中剪出一个正方形，能剪出的最大的正方形的周长是______厘米，剩下的图形是一个______形。

5. 用15个同样大小的正方形，可以拼成( )种不同的长方形。

A .2B .3C .46. 边长4米的正方形，它的周长和面积相等。

（判断对错）7. 一个平行四边形的周长是24厘米，其中的一条边是8厘米，相邻的另一条边长是______厘米．8. 用两个同样大小的正方形拼成一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形的周长的和（）。

A .少B .多C .相等D .无法比较9. 一个长方形的长是8米，宽是4米，这个长方形的周长是( )米。

A .12B .24C .3210. 把一块边长为2米的花布做成面积是4平方分米的手帕，可以做多少块？11. 边长是______分米的正方形，它的面积是1平方米。

12. 像13. 量一量，想一想。

长方形的长是______厘米，宽是______厘米，从中截取一个最大的正方形．正方形的边长是______厘米．14. —个长方形长增加2厘米，宽减少2厘米，它的面积( )。

A .不变B .增加了C .减少了15. 计算下面图形的周长及面积。

16. 下图中的每个小方格的面积是1平方厘米，请你把每个阴影部分的面积填在横线上。

__________________17. 一块长方形菜地长8米、宽5米，长边靠墙，用篱笆围菜地，至少需要篱笆多少米?菜地的面积是多少平方米?18. 一个正方形的边长增加2厘米，它的周长增加8厘米．（判断对错）19. 量一量，算一算。

2021年中考临考专题训练：正方形及四边形综合问题(含答案)

2021中考临考专题训练：正方形及四边形综合问题一、选择题1. 下列命题是假命题的是()A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B.同角(或等角)的余角相等C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分2. 下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC3. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH 的周长为( )A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋14. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.5. （2020·温州）如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH ＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14 B．15 C．83 D．656. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AEAB＝23，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( )A.3＋318B.3＋118C.3＋36D.3＋168. （2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD 于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③222PE PF PO；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤A BCDEFMNOP二、填空题9. 将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD= .(结果保留根号)10. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.11. 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是.12. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为.13. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.14. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.15. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.16. 如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是________．三、解答题17. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.18. 如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM. (1)如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.(2)如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.19. 已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．20. 如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．21. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE<BE)，且∠EOF=90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长.22. 已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.(1)如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求证：△BCF≌△ABE；(2)如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，AG＝nCG，求n的值.23. （2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BB CE′的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB E′的值.24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？2021中考临考专题训练：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD 可得是正方形，故此选项错误;B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.3. 【答案】B【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH的周长为4×22＝2 2.4. 【答案】C[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt △ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF==x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+(1-x)2=(x)2，解得x=-1(舍负).故选C.5. 【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP∽△CBQ，所以CD DPCB BQ=，即2CD CD PECB CB PE-=-，解得：BC＝2CD，所以CQ＝2CP，则CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，则tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝12，不妨设DP＝x，则DC＝2x，在R t△DCP中，22(2)25x x+=，解得x＝.∴DC＝，BC＝，所以AB＝10，△ABC的斜边上的高＝4AC BCAB⋅==,所以CR＝14，所以因此本题选A．7. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12，∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3. 解得：B 3C 3＝13.则D 3C 3＝13.根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36. 则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 8. 【答案】B【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．①∵正方形ABCD ，∴∠APE =∠AME =45°，∵PM ⊥AE ，∴∠AEP =∠AEM =90°，∵AE =AE ，∴△APE ≌△AME （ASA ）；②过点N 作NQ ⊥AC 于点Q ，则四边形PNQE 是矩形，∴PN =EQ ，∵正方形ABCD ，∴∠PAE =∠MAE =45°，∵PM ⊥AE ，∴∠PEA =45°，∴∠PAE =∠APE ，PE =NQ ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME= NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在R t△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=22PM，BP=22PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．二、填空题9. 【答案】-1[解析]∵四边形ABCD为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=-1.故答案为-1.10. 【答案】8[解析]∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，又∠CAE+∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF，则在△ACE和△FAB中，∵∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴AB=CE=4，∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8.11. 【答案】30°或150°[解析]如图①，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠2=90°.∴∠CDE=150°，DE=DC，∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠1=∠2=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠CDA=90°.∴DE=DC，∠3=30°，∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.12. 【答案】5[解析]∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠FAE=45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∴∠AEF=45°，∴EF=AF=3，∵△EFC的周长为12，∴FC=12-3-EC=9-EC，在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，∴EC2=9+(9-EC)2，解得EC=5.13. 【答案】8[解析]如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD=OB=OA=OC ， ∵AE=CF=2，∴OA -AE=OC -CF ，即OE=OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形， ∴DE=DF=BE=BF ， ∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF 的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.14. 【答案】233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NGAE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM ′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33cm .解图15. 【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.16. 【答案】62≤a≤3－ 3 【解析】∵ABCD是正方形，∴AB＝a＝22AC，∴a 的取值范围与AC的长度直接相关．如解图①，当A，C两点恰好是正六边形一组对边中点时，a的值最小，∵正六边形的边长为1，∴AC＝3，∴AB＝a＝22AC＝62；如解图②，连接MN，延长AE，BF交于点G，∵正六边形和正方形ABCD，∴△MNG、△ABG、△EFG为正三角形，设AE＝BF＝x，则AM＝BN＝1－x，AG＝BG ＝AB＝1＋x＝a，∵GM＝MN＝2，∠BNM＝60°，∴sin∠BNM＝sin60°＝BC2BN＝a21－x，∴3()1－x＝a，∴3()2－a＝a，解得，a＝233＋1＝3－ 3.∴正方形边长a的取值范围是62≤a≤3－ 3.三、解答题17. 【答案】证明:在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOF=∠BOE=90°.∵AM⊥BE，∴∠AME=90°，∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°，∴∠FAO=∠EBO.在正方形ABCD中，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴△AOF≌△BOE(ASA)，∴OE=OF.18. 【答案】解:(1)结论:DM⊥EM，DM=EM.[解析]延长EM交AD于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.(2)结论不变.DM⊥EM，DM=EM.证明:延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD ， ∴AD ∥EF ， ∴∠MAH=∠MFE ， ∵AM=MF ，∠AMH=∠FME ， ∴△AMH ≌△FME ， ∴MH=ME ，AH=EF=EC ， ∴DH=DE ， ∵∠EDH=90°， ∴DM ⊥EM ，DM=ME.19. 【答案】(1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(3分) (2)解：∵AB ＝3，BE ＝1， ∴AE ＝10，EC ＝4， ∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，(4分) 设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，(6分) ∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913.(8分)20. 【答案】解图解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2， ∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(4分) (2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎨⎧DG ＝DE∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )， ∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ， ∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，(7分)∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ，(9分) ∴AH ＝6510.(10分)21. 【答案】解:(1)证明:正方形ABCD 中，AC=BD ，OA=AC ，OB=OD=BD ，∴OA=OB=OD ， ∵AC ⊥BD ，∴∠AOB=∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN ，又∵∠EOF=90°，∴∠AOM=∠BON ， ∴△AOM ≌△BON ，∴OM=ON. (2)如图，过点O 作OP ⊥AB 于P ， ∴∠OPA=90°，∠OPA=∠MAE ， ∵E 为OM 中点，∴OE=ME ，又∵∠AEM=∠PEO ，∴△AEM ≌△PEO ，∴AE=EP ，∵OA=OB ，OP ⊥AB ，∴AP=BP=AB=2， ∴EP=1.Rt △OPB 中，∠OBP=45°，∴OP=PB=2， Rt △OEP 中，OE==，∴OM=2OE=2，Rt △OMN 中，OM=ON ，∴MN=OM=2.22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ，在△BCF 和△ABE 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠ABEBC ＝AB∠CBF ＝∠BAE， ∴△BCF ≌△ABE (ASA)；(2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ， ∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°， ∴A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ， ∴GO 平分∠AGF ；(3)解：如解图，连接EF ，解图∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°， ∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∴CE ＝CF ，同(1)得△BCF ≌△ABE ， ∴CF ＝BE ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(2)得A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠BOG ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ， ∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°， ∴△AOG ∽△CEG ， ∴AG CG ＝OACE＝2，∴AG ＝ 2 CG ， ∴n = 2 .23. 【答案】解： (1). (2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB ′，∠BAB ′=，∴∠AB ′B=90°-2a，∵∠B ′AD=a -90°，AD=AB ′，∴∠AB ′D=135-2a，∴∠EB ′D=∠AB ′D-∠AB ′B=45°.∵DE ⊥BB ′，∴∠EDB ′=∠EB ′D=45°，∴△DEB ′是等腰直角三角形，∴DBDE′.∵四边形ABCD 为正方形，∴BD CD ，∠BDC=45°.∴DB DE′=BDCD ，∵∠EDB ′=∠BDC ，∴∠EDB ′+∠EDB=∠BDC+∠EDB ，即∠BDB ′=∠CDE.∴△B ′DB ∽△EDC ，∴2BB BD CE CD′； ②3或1.思路提示：分两种情况.情形一，如图，当点B ′在BE 上时，由BB CE′=2，设BB ′=2m ，CE=2m .∵CE ∥B ′D ，CE=B ′D ，∴B ′D=2m ，在等腰直角三角形DEB ′中，斜边B ′D=2m ，∴B ′E=DE=m ，于是得到BE B E ′2=3m mm. 情形二，如图，当点B ′在BE 延长线上时，由BB CE′=2，设BB ′=2m ，CE=2m .∵CE ∥B ′D ，CE=B ′D ，∴B ′D=2m ，在等腰直角三角形DEB ′中，斜边B ′D=2m ，∴B ′E=DE=m 。

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专题复习----正方形
一．正方形的性质：
【例1】（2008湖北襄樊）如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.
【例2】如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，CE=AC，AE交CD于F，求∠AFC的度数。

【例3】如图4-60，正方形ABCD的对角线相交于O，EF∥AB，并且分别与OA，OB相交于E，F．若BE=3厘米，求CF的长．
【练习1】(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于
点，连接，则图中全等三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【练习2】（2010 天津）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，1
DE=．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90︒，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于．
【练习3】（2008佛山12）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP= BC，则∠ACP度数是．
【练习4】（2005山西）如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.(1) 观察猜想BE与DC之间的大小关系，并说明你的结论; (2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形? 若存在，请说出旋转过程; 若不存在，请说明理由.
【练习5】（2008广东肇庆市）如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，
正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.
（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.
ＭＤ
Ｑ
Ｂ
【练习6】（2010湖南长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED ＝120°时，求EFD ∠的度数．
【练习7】（2010四川宜宾）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是．
二．正方形的折纸：【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落
在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（）．
（A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm 【练习】 (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ = ．
三．正方形的面积：【练习1】（2010南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（）（A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ） 16
【练习2】如图，正方形ABCD 中，边长为2，其中正方形A ’B ’C ’O 与正方形ABCD 全等，顶点O 在正方形ABCD 对角线交点O ，求阴影部分面积。

【练习3】（2007年烟台）将n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，……，A n 分别
是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为（）
A ．
41cm 。

B ．4n cm 2 Ｃ．（n －41）cm 2 D ．(4
1）n cm
2
3. 如图，正方形ABCD 各边中点为E 、F 、G 、H ，设正方形ABCD 面积为S ，求图中LKMN 的面积。

4. （2010山东日照）如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）证明：∠BAE =∠FEC ；（2）证明：△AGE ≌△ECF ；（3）求△AEF 的面积．
四．正方形的判定：
【例1】如图，正方形ABCD 中，DH CG BF AE ===．求证：四边形EFGH 是正方形．
【练习1】已知：如图，△ABC 中，︒=∠90C ，CD 平分ACB ∠，BC DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F ．求证：四边形CFDE 是正方形．
五．正方形的有关计算：
【例1】已知：如图4-57，已知四边形ABCD 是正方形，︒=∠=35,MCE MN CE ．求ANM ∠．
【例2】如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外做等边三角形ABE ，交BD 于F ，求∠AFD 的度
数。

【练习1】如图,P 是正方形ABCD 边AB 上任意一点,AC,BD 交于O,PM ⊥OA,PN ⊥OB 于N,若AB=10,则四边形PMON 的周长为____________.
【练习2】在正方形ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE ＝4，CF ＝3，则EF ＝；【练习3】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，且BE=2，EC=1，点P 在BD 上，求PE+PC
的最小值；
【练习4】如图，将边长为a 的正方形ABCD 沿直线l 按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O 所经过的路径长为____。

【练习5】（2006，福州）如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是（） A
； B
； C
； D
．
六．正方形的综合题：
【例1】已知正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N ，（如图甲）（1）求证：MD ＝MN ；（2）若将上述条件中的“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余的条件不变，（如图乙），则结论MD ＝MN 还成立吗？如果成立，请证明，若不成立，请说明理由；
A
B
C。