材料力学习题解答81

h2 4 y 2 tan 2 4 xy 1 h2 4 y 2 arctan 2 4 xy
主应力：


2) y 0, x 0
y x sin 2 xy cos 2 0 2 xy cos 2 0 45

2 xy 2 x x 2 x 6 Fxy h2 4 y 2 2 2 1 ( ) xy [1 1 ( ) [1 1 ( ) ] 3 2 2 2 x bh 4 xy 2 0 x x 2 6 Fxy h2 4 y 2 2 2 3 ( ) xy 3 [1 1 ( ) ] 2 2 bh 4 xy
x ? y 40 MPa xy ?
x
n
60
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 40 2 x 40 x 40 cos120 xy sin 120 0 2 2 x 40 40 sin 120 xy cos 120 0 xy x tan 120 2 2 x 40 x 40 40 cos120 x tan 120 sin 120 0 2 2 2 x 40 ( x 40)(0.5 1.732 0.866) 0
2) y 0, x 0
F
0
45
结论： 横力弯曲梁截面上的 剪力所产生的剪切变形 将使梁的截面产生微小 的翘曲效应。
2.58 45
y
h
b
1m
1m
2m
35．如图所示平面应力状态，各应力分量的单位为 MPa
3 材料的弹性模量 E 200 GPa ，泊松比 0.，求该点的应变分量
40MPa ，则杆件的拉力 F 是多少？ 解: x y x y cos 2 sin 2 xy 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2 80 x y 0 xy 0 89.4 MPa 2 cos 0.8944 x x cos 2 cos 2 2 2 F 89.4 MPa sin 2 sin cos A 2
40

80 40 80 40 cos( 2 60 ) 2 2
50
80
30

60 20 (0.5) 50 MPa
80 40 60 sin 120 2 20 0.866 17.32 MPa
28．如图所示平面三角形单元体的斜面为自由表面， 角度 30 ，各应力分量的单位为MPa，求 x 和 xy 解:
x , y , xy 。
解:
x 100 MPa y 80 MPa
xy 50 MPa
80
50
100
根据广义虎克定律有：
x y
1 1 6 ( x y ) ( 100 0 . 3 80 ) 380 10 380 3 E 200 10 1 1 6 ( y x ) ( 80 0 . 3 100 ) 250 10 250 E 200 103 1 2(1 ) 2(1 0.3) 6 xy xy 50 650 10 650 G E 200 103
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
20
40
30

30
30
x 40 MPa
xy 20 MPa
y 0
20

40 40 cos( 60 ) 20 sin( 60 ) 2 2
40 tan 0.5 80
F 89.4 40 80 286.2 103 N 286 kN
26.565
F 286 kN
32*． 如图所示宽 b 20 mm 、高
h 60 mm
的矩形截面悬臂梁，
在自由端受竖直向下的集中力 F
xy
40[1 (0.5 1.5)] x 120 MPa 1 0.5 1.5
xy
120 40 tan 120 69.3 MPa 2
29．如图所示平面正三角形单元体的应力分量的单位 为MPa，求 1 和 2 以及该应力状态的主应力。 解:
xy 0
20 kN 作用，考虑剪力的影响。
（1）试求任意截面 x 处距中性轴 y(0 y 30 mm) 处的主应力和主方向。 （2）绘出中间截面自上而下各点主平面方位变化的图形。 解: （1）
M ( x) Fx
FS ( x) F
F
M ( x) y 12 Fxy Iz bh 3 x FS ( x) S ' ( y ) 2m bI z h 1 h b h h S ' ( y ) b( y ) [ y ( y )] ( y )( y ) z y 2 2 2 2 2 2 b h2 ( y2 ) b 2 4 F h2 3F 2 2 ( y2 ) ( h 4 y ) 3 2I z 4 2bh

80
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2 x y x y x y sin 60 1 cos 60 80 2 2 2 x y x y x y sin 300 2 cos 300 80 2 2 2
E 40 GPa ，泊松比 0.25 ，
qy
qx 50 N/mm 。求 q y 是多大。
解:
q a q y x x x a 1 1 x ( x y ) E E 1 1 y ( y x ) E E xy 0
xy
x
32 10 103 500 81.6 MPa 3 3.14 50
x 81.6 MPa
xy 40.8 MPa
26．如图所示各结构，在A处截取一个单元体，试计 算单元体微分面上的应力。 (b)
A
10 kN
xy
T 16T Wp d 3
50
5 kN m
xy
36．如图所示简单扭转圆轴，其直径为d，材料的弹性 模量为E，泊松比为 ，在圆轴表面 45 方向测得线 应变 45 ，求扭矩m 的大小。

解:
m
m


m 16m 3 W p d
45
45 sin( 2 45 )
45 sin( 2 45 )
（2）
h2 4 y 2 tan 2 4 xy
1 h2 4 y 2 arctan 2 4 xy
x 1m
602 4 y 2 1 900 1) y 0, x 0 tan 2 ( y) 4000 y 1000 y 1 900 y 30 mm tan 2 ( 30) 0 0 1000 30 1 900 y 15 mm tan 2 ( 15) 0.045 2.58 1000 15
80
1
80
x 80 ( x 80) 0.5 160
x 80 MPa
i, j
x y x y 2 2 ( ) xy 2 2
1 2 0
1 2 80 MPa
3 0
30． 一宽 b 40 mm 、高 h 80 mm 的矩形截面杆件受简单 拉伸作用，如果其某个截面上的正应力 80MPa ，切应力
F
(C)
RB (a b) Fa
a
A
h
h
Fa RB ab FS RB Fa ab
b
RA
RB
xy k
FS 3 Fa 1 2 2 ( a b) h A
xy
xy
3Fa 2(a b)h 2
27.如图所示各平面应力状态，各应力分量的单位为 MPa ，用解析法求指定截面上的正应力和切应力。 (a)



45

Байду номын сангаас
1 ( 45 45 ) 1 E E 1 16m 3 E d
Ed 3 m 45 16(1 )
37．如图所示，正方形平板厚度
45 150。材料的弹性模量

2 mm ，在水平和竖直方向
分别受均布载荷 q x 和 q y 作用，在对角线上有一应变片，读数为
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
n
40
60
80
30
60
60
x 80 MPa
xy 0
y 40 MPa
17.32
7.32
40
30

20 20 0.5 20 0.866 47.32 MPa
47.32
40
30

40 sin( 60 ) 20 cos( 60 ) 2 20 0.866 20 0.5 7.32 MPa
30
80
习题27(b)图
27.如图所示各平面应力状态，各应力分量的单位为 MPa ，用解析法求指定截面上的正应力和切应力。 (b)
qy

xy 0
qx