子空间禁忌的全局最优化方法部分多维函数的全周满意解 ...
最优化方法归纳总结
最优化方法归纳总结最优化方法归纳总结篇一：最优化方法综述最优化方法综述1.引论1.1应用介绍最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。
1.2优化的问题的基本概念工程设计问题一般都可以用数学模型来描述，即转化为数学模型。
优化设计的数学模型通常包括设计变量、目标函数和约束条件。
三个基本要素。
设计变量的个数决定了设计空间的维数。
确定设计变量的原则是：在满足设计基本要求的前提下，将那些对设计目标影响交大的而参数选为设计变量，而将那些对设计目标影响不大的参数作为设计变量，并根据具体情况，赋以定值，以减少设计变量的个数。
用来评价和追求最优化设计方案的函数就称为目标函数，目标函数的一般表达式为f?x??f?x1,x2,?xn?。
优化设计的目的，就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值。
所谓最佳值就是极大值或极小值。
在设计空间中，虽然有无数个设计点，即可能的设计方案，但是一般工程实际问题对设计变量的取值总是有一些限制的，这些限制条件显然是设计变量的函数，一般称之为优化设计问题的约束条件或约束函数。
最优化方法,汇总
最优化方法结课作业年级数学121班学号201200144209 姓名李强1、几种方法比较无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。
间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。
首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。
根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。
由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak设Φ(a)=f(xk+adk)这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。
其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。
数学中的最优化方法
数学中的最优化方法数学是一门综合性强、应用广泛的学科，其中最优化方法是数学的一个重要分支。
最优化方法被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、计算机科学等等。
本文将从理论和应用两个角度探讨数学中的最优化方法。
一、最优化的基本概念最优化是在给定约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大（或最小）值的问题。
在数学中，最优化可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
1. 无约束最优化无约束最优化是指在没有限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。
常见的无约束最优化方法包括一维搜索、牛顿法和梯度下降法等。
一维搜索方法主要用于寻找一元函数的极值点，通过逐步缩小搜索区间来逼近极值点。
牛顿法是一种迭代方法，通过利用函数的局部线性化近似来逐步逼近极值点。
梯度下降法则是利用函数的梯度信息来确定搜索方向，并根据梯度的反方向进行迭代，直至达到最优解。
2. 有约束最优化有约束最优化是指在存在限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。
在解决有约束最优化问题时，借助拉格朗日乘子法可以将问题转化为无约束最优化问题，进而使用相应的无约束最优化方法求解。
二、最优化方法的应用最优化方法在各个领域中都有广泛的应用。
以下将以几个典型的应用领域为例加以说明。
1. 经济学中的最优化在经济学中，最优化方法被广泛应用于经济决策、资源配置和生产计划等问题的求解。
例如，在生产计划中，可以使用线性规划方法来优化资源分配，使得总成本最小或总利润最大。
2. 物理学中的最优化最优化方法在物理学中也是常见的工具。
例如，在力学中，可以利用最大势能原理求解运动物体的最优路径；在电磁学中，可以使用变分法来求解电磁场的最优配置；在量子力学中，可以利用变分法来求解基态能量。
3. 计算机科学中的最优化在计算机科学中，最优化方法被广泛应用于图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
例如，在图像处理中，可以使用最小割算法来求解图像分割问题；在机器学习中，可以使用梯度下降法来求解模型参数的最优值。
《最优化方法》课程复习考试
《最优化方法》复习提要 第一章 最优化问题与数学预备知识§1. 1 模型无约束最优化问题 12min (),(,,,)T n n f x x x x x R =∈．约束最优化问题（},,2,1,0)(;,,2,1,0)(,|{l j x h m i x g R x x S j i n ===≥∈=∧）min ();...f x s t x S ⎧⎨∈⎩ 即 m i n ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,.i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩其中()f x 称为目标函数，12,,,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域，()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g x i m h x j l ≥===称为约束条件．§1. 2 多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Taylor 公式定义 设:,n n f R R x R →∈．如果n ∃维向量p ，n x R ∀∆∈，有()()()T f x x f x p x o x +∆-=∆+∆．则称()f x 在点x 处可微，并称()T df x p x =∆为()f x 在点x 处的微分．如果()f x 在点x 处对于12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数(),1,2,,if x i n x ∂=∂都存在，则称()f x 在点x 处一阶可导，并称向量12()()()()(,,,)Tnf x f x f x f x x x x ∂∂∂∇=∂∂∂ 为()f x 在点x 处一阶导数或梯度．定理1 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处梯度()f x ∇ 存在，并且有()()T df x f x x =∇∆．定义 设:,n n f R R x R →∈．d 是给定的n 维非零向量，de d=．如果 0()()lim()f x e f x R λλλλ→+-∈存在，则称此极限为()f x 在点x 沿方向d 的方向导数，记作()f x d∂∂． 定理2 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处沿任何非零方向d 的方向导数存在，且()()T f x f x e d ∂=∇∂，其中de d=． 定义 设()f x 是n R 上的连续函数，n x R ∈．d 是n 维非零向量．如果0δ∃>，使得(0,)λδ∀∈，有()f x d λ+<（>）()f x ．则称d 为()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定理3 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 处可微，如果∃非零向量n d R ∈，使得()T f x d ∇<（>）0，则d 是()f x 在点x 处的下降（上升）方向． 定义 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的二阶偏导数2()(,1,2,,)i j f x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点x 处二阶可导，并称矩阵22221121222222122222212()()()()()()()()()()n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∇=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭为()f x 在点x 处的二阶导数矩阵或Hesse 矩阵． 定义 设:,n m n h R R x R →∈，记12()((),(),,())T m h x h x h x h x =，如果 ()(1,2,,)i h x i m =在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数()(1,2,,;1,2,,)i jh x i m j n x ∂==∂都存在，则称向量函数()h x 在点x 处是一阶可导的，并且称矩阵111122221212()()()()()()()()()()n n m n m m m n h x h x h x xx x h x h x h x x x x h x h x h x h x xx x ⨯∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪∂∂∂∇= ⎪ ⎪⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭为()h x 在点x 处的一阶导数矩阵或Jacobi 矩阵，简记为()h x ∇．例2 设,,n n a R x R b R ∈∈∈，求()T f x a x b =+在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设1212(,,,),(,,,)TTn n a a a a x x x x ==，则1()nk k k f x a x b ==+∑，因()(1,2,,)k kf x a k n x ∂==∂，故得()f x a ∇=．又因2()0(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂==∂∂，则2()f x O ∇=．例3 设n n Q R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，称1()2TT f x x Qx b x c =++为二次函数，求()f x 在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设1212(),(,,,),(,,,)T T ij n n n n Q q x x x x b b b b ⨯===，则121111(,,,)2n nnn ij i j k k i j k f x x x q x x b x c ====++∑∑∑，从而111111111()()()nn j j j j j j n n n nj j n nj j j j n f x q x b q x x bf x Qx b f x b q x b q x x ====⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∇===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．再对1()(1,2,,)nij j i j i f x q x b i n x =∂=+=∂∑求偏导得到2()(,1,2,,)ij i jf x q i j n x x ∂==∂∂，于是1112121222212()n n n n nn q q q q q q f x Q q q q ⎛⎫⎪ ⎪∇== ⎪⎪⎝⎭． 例 4 设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求(),()t t ϕϕ'''．解 由多元复合函数微分法知 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+． 定理4 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，则()f x 在点x 处有Taylor 展式21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．证明 设()(),[0,1]t f x t x t ϕ=+∆∈，则(0)(),(1)()f x f x x ϕϕ==+∆．按一元函数Taylor 公式()t ϕ在0t =处展开，有21()(0)(0)(),(0)2t t t t ϕϕϕϕθθ'''=++<<．从例4得知2(0)(),()()()T T f x x x f x x x ϕϕθθ'''=∇∆=∆∇+∆∆．令1t =，有21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．根据定理1和定理4，我们有如下两个公式()()()()()T f x f x f x x x o x x =+∇-+-，221()()()()()()()()2T T f x f x f x x x x x f x x x o x x =+∇-+-∇-+-．§1. 3 最优化的基本术语定义 设:n f R R →为目标函数，n S R ⊆为可行域，x S ∈．（1） 若x S ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的全局（或整体）极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的全局（或整体）最优解，并称()f x为其最优值．（2） 若,x S x x ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格全局（或整体）极小点．（3） 若x ∃的δ邻域(){}(0)n N x x R x x δδδ=∈-<>使得()x N x S δ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的局部极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的局部最优解．（4） 若x ∃的δ邻域()(0)N x δδ>使得(),x N x S x x δ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格局部极小点．第二章 最优性条件§2.1 无约束最优化问题的最优性条件定理 1 设:n f R R →在点x 处可微，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=．定义 设:()n f S R R ⊆→在int x S ∈处可微，若()0f x ∇=，则称x 为()f x 的平稳点．定理2 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=，且2()f x ∇半正定．定理3 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若()0f x ∇=，且2()f x ∇正定，则x 是问题min ()f x 的严格局部极小点． 注：定理2不是充分条件，定理3不是必要条件．例1 对于无约束最优化问题2312min ()f x x x =-，其中212(,)T x x x R =∈，显然 2212()(2,3),T f x x x x R ∇=-∀∈，令()0f x ∇=，得()f x 的平稳点(0,0)T x =，而且2222020(),()0600f x f x x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．易见2()f x ∇为半正定矩阵．但是，在x 的任意δ邻域x x δ-<，总可以取到(0,)2T x δ=，使()()f x f x <，即x 不是局部极小点．例2 对于无约束最优化问题42241122min ()2f x x x x x =++，其中212(,)T x x x R =∈， 易知3223112122()(44,44)Tf x x x x x x x ∇=++，从而得平稳点(0,0)T x =，并且 22221212221212001248(),()008412x x x x f x f x x x x x ⎛⎫+⎛⎫∇=∇=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 显然2()f x ∇不是正定矩阵．但是，22212()()f x x x =+在x 处取最小值，即x 为严格局部极小点．例3 求解下面无约束最优化问题332122111min ()33f x x x x x =+--，其中212(,)T x x x R =∈， 解 因为21212222201(),()0222x x f x f x x x x ⎛⎫-⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以令()0f x ∇=，有2122210,20.x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解此方程组得到()f x 的平稳点(1)(2)(3)(4)1111,,,0202x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．从而2(1)2(2)2020(),()0202f x f x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2(3)2(4)2020(),()0202f x f x --⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由于2(1)()f x ∇和2(4)()f x ∇是不定的，因此(1)x 和(4)x 不是极值点．2(3)()f x ∇是负定的，故(3)x 不是极值点，实际上它是极大点．2(2)()f x ∇是正定的，从而(2)x 是严格局部极小点．定理4 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微，若()0f x ∇=，则x 为min ()f x 的全局极小点．推论5 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微．则x 为min ()f x 的全局极小点的充分必要条件是()0f x ∇=． 例 4 试证正定二次函数1()2TT f x x Qx b x c =++有唯一的严格全局极小点1x Q b -=-，其中Q 为n 阶正定矩阵．证明 因为Q 为正定矩阵，且(),n f x Qx b x R ∇=+∀∈，所以得()f x 的唯一平稳点1x Q b -=-．又由于()f x 是严格凸函数，因此由定理4知，x 是()f x 的严格全局极小点．§2.2 等式约束最优化问题的最优性条件定理1 设:n f R R →在点x 处可微，:(1,2,,)n j h R R j l →=在点x 处具有一阶连续偏导数，向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题min ();..()0,1,2,,j f x s t h x j l ⎧⎨==⎩的局部极小点，则,1,2,,j v R j l ∃∈=，使得1()()0lj j j f x v h x =∇-∇=∑．称(,)()()T L x v f x v h x =-为Lagrange 函数，其中12()((),(),,())T l h x h x h x h x =．称12(,,,)T l v v v v =为Lagrange 乘子向量．易见(,)x v L L x v L ∇⎛⎫∇= ⎪∇⎝⎭，这里1(,)()(),(,)()lx j j v j L x v f x v h x L x v h x =∇=∇-∇∇=-∑．定理 2 设:n f R R →和:(1,2,,)n j h R R j l →=在点n x R ∈处具有二阶连续偏导数，若l v R ∃∈，使得(,)0x L x v ∇=，并且，,0n z R z ∀∈≠，只要()0,1,2,,T j z h x j l ∇==，便有2(,)0T xx z L x v z ∇>，则x 是问题min ();..()0,1,2,,j f x s t h x j l ⎧⎨==⎩的严格局部极小点．例1 试用最优性条件求解 221212min ();..()80.f x x x s t h x x x ⎧=+⎨=-=⎩解 Lagrange 函数为221212(,)(8)L x v x x v x x =+--，则1221122(,)2(8)x vx L x v x vx x x -⎛⎫⎪∇=- ⎪ ⎪--⎝⎭， 从而得(,)L x v 的平稳点(8,8,2)T 和(8,8,2)T --，对应有(8,8),2T x v ==和(8,8),2T x v =--=．由于221222(,),()222xx x v L x v h x x v--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇==∇= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因此1212(){(,)|(,)()0}T M x z z z z h x =∇=121221{(,)|0}T z z z x z x =+= 1212{(,)|}T z z z z ==-．并且(),0z M x z ∀∈≠，有222211221(,)24280T xx z L x v z z z z z z ∇=-+=>．利用定理2，所得的两个可行点(8,8)T x =和(8,8)T x =--都是问题的严格局部极小点．§2.3 不等式约束最优化问题的最优性条件定义 设,,,0n n S R x clS d R d ⊆∈∈≠，若0δ∃>，使得，,(0,)x d S λλδ+∈∀∈， 则称d 为集合S 在点x 处的可行方向． 这里{|,(),0}n clS x x R SN x δδ=∈≠∅∀>．令 {|0,0,,(0,)}D d d x d S δλλδ=≠∃>+∈∀∈使，0{|()0}T F d f x d =∇<．定理 1 设n S R ⊆是非空集合，:,,()f S R x S f x →∈在点x 处可微．若x 是问题min ()x Sf x ∈的局部极小点，则 0F D =∅．对于min ();..()0,1,2,,,i f x s t g x i m ⎧⎨≥=⎩ （1）其中:,:(1,2,,)n n i f R R g R R i m →→=．令(){|()0,1,2,,}i I x i g x i m ===，其中x 是上述问题（1）的可行点．定理 2 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，如果x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G =∅，其中0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈．定理 3 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，若x 是问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的非负数0,(())i u u i I x ∈，使0()()()0iii I x u f x u g x ∈∇-∇=∑． （x 称为Fritz John 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的非负数01,,,m u u u ，使01()()0,()0,1,2,,.mi i i i iu f x u g x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为Fritz John 点） 例1 设1311222min ();..()(1)0,()0.f x x s t g x x x g x x =-⎧⎪=--≥⎨⎪=≥⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点． 解 因为12100(),(),()011f x g x g x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，所以为使Fritz John 条件01210000110u u u -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．取0120,0u u u α===>即可，因此x 是Fritz John 点．定理 4 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且()(())i g x i I x ∇∈线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在0(())i u i I x ≥∈，使得()()()0iii I x f x u g x ∈∇-∇=∑． （x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在0(1,2,,)i u i m ≥=，使得1()()0,()0,1,2,,.mi i i i if x ug x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为K-T 点） 例2 求最优化问题21211222min ()(1);..()20,()0f x x x s t g x x x g x x ⎧=-+⎪=--+≥⎨⎪=≥⎩的K-T 点． 解 因为1122(1)10(),(),()111x f x g x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以K-T 条件为111211222122(1)0,10,(2)0,0,0,0.x u u u u x x u x u u -+=⎧⎪+-=⎪⎪--+=⎨⎪=⎪⎪≥≥⎩ 若20u =，则11u =-，这与10u ≥矛盾．故20u >，从而20x =；若120x -+=，则12u =-，这与10u ≥矛盾．故10u =，从而211,1u x ==； 由于120,0u u ≥≥，且(1,0)T x =为问题的可行点，因此x 是K-T 点． 定理5 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．§2.4 一般约束最优化问题的最优性条件考虑等式和不等式约束最优化问题min ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,,i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩（1） 其中:,:(1,2,,),:(1,2,,)n n n i j f R R g R R i m h R R j l →→=→=．并把问题（1）的可行域记为S ．,(){|()0,1,2,,}i x S I x i g x i m ∀∈==．定理 1 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G H =∅，这里0{|()0}T F d f x d =∇<，0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈，0{|()0,1,2,,}T j H d h x d j l =∇==．定理 2 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续．若x 为问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的数0,(())i u u i I x ∈和(1,2,,)j v j l =，且0,0(())i u u i I x ≥∈，使0()1()()()0liijji I x j u f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑． （x 称为Fritz John 点）若()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的数0,(1,2,,)i u u i m =和(1,2,,)j v j l =，且0,0(1,2,,)i u u i m ≥=，使011()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i iu f x u g x v h x u g x i m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为Fritz John 点）例1 设2212311222212min ();..()0,()0,()(1)0.f x x x s t g x x x g x x h x x x ⎧=+⎪=-≥⎪⎨=≥⎪⎪=--+=⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点．解 (){2}I x =，且2200(),(),()011f x g x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，因此为使Fritz John 条件022*******u u v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．所以取020,1,1u u v ===-，即知x 是Fritz John 点．定理 3 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，且向量组()(()),()(1,2,,)i j g x i I x h x j l ∇∈∇=线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在数0(())i u i I x ≥∈和(1,2,,)j v j l =，使()1()()()0liijji I x j f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑． （x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在数0(1,2,,)i u i m ≥=和(1,2,,)j v j l =，使11()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i if x ug x vh x u g xi m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为K-T 点） 令 1212()((),(),,()),()((),(),,())T T m l g x g x g x g x h x h x h x h x ==，1212(,,,),(,,,)T T m l u u u u v v v v ==，称u 与v 为广义Lagrange 乘子向量或K-T 乘子向量．()()()0,()0,0.T T Tf xg x uh x v u g x u ⎧∇-∇-∇=⎪=⎨⎪≥⎩令(,,)()()()T T L x u v f x u g x v h x =--为广义Lagrange 函数．称(,,)L x u v 为广义Lagrange 函数．则K-T 条件为(,,)0,()0,0.x TL x u v u g x u ∇=⎧⎪=⎨⎪≥⎩定理 4 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，()(1,2,,)j h x j l =是线性函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．例2 求解最优化问题221221212min ()(3)(1);..()0,()230.f x x x s t g x x x h x x x ⎧=-+-⎪=-+≥⎨⎪=+-≥⎩ 解 广义Lagrange 函数为222121212(,,)()()()(3)(1)()(23)L x u v f x ug x vh x x x u x x v x x =--=-+---+-+-．因为111(,,)2(3)22L x u v x ux v x ∂=-+-∂，22(,,)2(1)L x u v x u v x ∂=---∂．所以K-T 条件及约束条件为112212212122(3)220,2(1)0,()0,0,230,0.x ux v x u v u x x x x x x u -+-=⎧⎪---=⎪⎪-+=⎪⎨-+≥⎪⎪+-=⎪≥⎪⎩ 下面分两种情况讨论． （1） 设0u =，则有12122(3)20,2(1)0,230.x v x v x x --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ 由此可解得12718,,555x x v ===-，但71(,)55T x =不是可行点，因而不是K-T 点．（2） 设0u >，则有112212122(3)220,2(1)0,0,230.x ux v x u v x x x x -+-=⎧⎪---=⎪⎨-+=⎪⎪+-=⎩ 由此可得211230x x --+=，解得11x =或13x =-。
最优化方法 第二版 孙文瑜 部分课后答案
T = {x|f (x) α}
为函数 f (x) 关于实数 α 的水平集. 证明对任意实数 α，集合 T 是凸集. 证: 对于 ∀x1, x2 ∈ T ，根据 T 的定义则有 f (x1) α, f (x2) α. 由于 D 是凸集，则对于 ∀λ ∈ [0, 1]，必 有
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ D 又由于 f (x) 是 D 上的凸函数，则有
11 − ,−
T
是否是可行点? 如果是可行点，是内点还是边界点? 是哪个约束的边界点?
22
解: 画出可行域 F，图如下
T
和
x2
1 x2 x1 0
x1 x12 x22 1
则 x(1) 是可行点，是 1 − x2 + x1 0 的边界点； x(2) 不是可行点；
x(3) 是可行点，是 x21 + x22 1 和 1 − x2 + x1 x(4) 是可行点，是 x1 0 的边界点； x(5) 是可行点，也是内点.
Ax 0, x 0, bTx > 0; ATy = b, y 0.
证: 先给这个系统标号：
Ax 0, x 0, bTx > 0; (1) ATy = b, y 0; (2)
要证 (1)(2) 中有且仅有一组解，即证 (1) 有解 ⇐⇒ (2) 无解。 先证充分性：若 (1) 有解，则说明 ∃x¯ 0 使得 Ax¯ 0, bTx¯ > 0. 用反证法证明 (2) 无解，若在 (1) 的条 件下，(2) 有解，则 ∃y¯ 0 使得 ATy¯ = b，即 y¯TA = bT，两边同时右乘 x¯，则有
λx1 + (1 − λ)y1 − λx2 − (1 − λ)y2 = λ(x1 − x2) + (1 − λ)(y1 − y2) 0
最优化方法(刘)第一章
所以 c T x 是凸函数． 类似可以证明 c T x 是凹函数．
凸函数的几何性质
对一元函数 f x , 在几何上f x1 1 f x2
下面的图形给出了凸函数 f x, y x 3x y
4 2
4
y 2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集
凸函数的判定
定理1:设 f x 是定义在凸集 D R n 上，x, y D , 令 t f tx 1 t y , t 0,1, 则: (1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对 任意的x, y D ,一元函数 t 为 0,1上的凸函数. (2)设 x, y D , x y, 若 t 在 0,1 上为严格 凸函数， f x 在 D 上为严格凸函数． 则
例1： 证明超球 x r 为凸集．
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 1, 设
则有：
x 1 y
x 1 y
r 1 r r 即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集 为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的 集合是凸集： D y y x , x D （３）设 D1 , D2 是凸集， D1 , D2 的和集 则
相关定义（P7—P8）
定义１.1 可行解 满足约束条(1.2)和(1.3)
的x称为可行解，也称为可行点或容许点。
定义１.2 可行域 全体可行解构成的集合 称为可行域，也称为容许集，记为F,即：
多目标最优化方法
多目标最优化方法多目标最优化方法是一种用于解决具有多个目标函数的优化问题的方法。
在传统的单目标优化中，目标函数只有一个，需要寻找一个解使得该目标函数最小化或最大化。
而在多目标优化中，有多个目标函数需要最小化或最大化，这些目标函数通常是相互冲突的，即改变一个目标函数的值会影响其他目标函数的值。
多目标最优化方法的目标是通过找到一组解，使得这组解在多个目标函数上都具有较好的性能。
因此，在多目标最优化中，我们不能再使用单一的度量来衡量一个解的优劣，而是需要使用一种综合度量来评估一个解相对于其他解的优劣。
在多目标最优化方法中，最常用的方法之一是帕累托前沿（Pareto Frontier）方法。
帕累托前沿是一条曲线，该曲线上的每个点都表示在多个目标函数上都达到最优的解，这些解被称为非支配解（Non-dominated Solutions）。
在帕累托前沿上，没有任何一个解可以在所有的目标函数上都比其他解更好。
求解多目标最优化问题的常用方法之一是使用进化算法。
进化算法是一类通过模拟自然进化过程来求解问题的优化算法。
其中最常用的进化算法是遗传算法。
遗传算法通过模拟自然界中基因的交叉、变异和选择过程，逐步改进当前的解，并且通过适应度函数来评估一个解的优劣。
除了遗传算法之外，粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）、模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）和蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）等进化算法也可以应用于解决多目标最优化问题。
进化算法的基本思想是通过维护一组解的种群，并通过模拟自然进化过程来不断改进种群中的解。
具体来说，进化算法包括以下几个步骤：1.初始化种群：随机生成一组解作为初始种群。
2.选择操作：根据适应度函数，选择一部分解作为父代，用于产生下一代的解。
3.变异操作：对选中的解进行变异操作，引入一定的随机性，以增加种群的多样性。
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值知乎（原创实用版）目录一、什么是多元函数的极值与最值二、多元函数极值与最值的求解方法1.驻点法2.海塞矩阵法3.泰勒展开法三、多元函数极值与最值的应用1.优化问题2.经济学中的应用3.物理学中的应用正文一、什么是多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值是数学中的一个重要概念，它研究的是多元函数在某一点上的最大值或最小值。
在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
二、多元函数极值与最值的求解方法1.驻点法驻点法是求多元函数极值与最值的一种常用方法。
首先，求出函数的驻点，即函数偏导数为零的点。
然后，通过对驻点处的二阶导数进行判断，确定该点是极大值、极小值还是鞍点。
2.海塞矩阵法海塞矩阵法是一种基于梯度的求极值方法。
对于一个多元函数，我们首先求出它的梯度，然后构造一个称为海塞矩阵的二阶矩阵。
通过判断海塞矩阵的正定性，我们可以得到函数的极值情况。
3.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒展开式的求极值方法。
对于一个多元函数，我们在某一点附近进行泰勒展开，并根据展开式的高阶项来判断该点附近的极值情况。
三、多元函数极值与最值的应用1.优化问题在优化问题中，我们通常需要求一个多元函数的最小值。
通过运用上述求极值的方法，我们可以找到函数的最小值点，从而解决优化问题。
2.经济学中的应用在经济学中，多元函数的极值与最值问题常常出现在生产、消费等领域。
通过研究多元函数的极值与最值，我们可以找到最优的生产或消费策略，从而提高经济效益。
3.物理学中的应用在物理学中，多元函数的极值与最值问题常常出现在力学、电磁学等领域。
Matlab中的多目标优化算法详解
Matlab中的多目标优化算法详解多目标优化是指在优化问题中同时考虑多个目标函数的最优解。
与单目标优化问题不同，多目标优化问题的解称为“帕累托最优解”。
Matlab提供了一些强大的多目标优化算法，本文将详细介绍这些算法的原理和应用。
一、多目标优化的基本概念多目标优化问题的目标函数通常是一组相互矛盾的指标，求解该问题即要在这些指标之间找到一个平衡点。
传统的单目标优化算法无法直接应用于多目标优化问题，因为它们只能找到单个最优解。
因此，需要借助多目标优化算法来解决这类问题。
多目标优化的基本概念可以用“帕累托最优解”来描述。
帕累托最优解是指在多个目标函数下，无法通过对一个目标函数的改进而不损害其他目标函数的值。
多目标优化问题的解集是所有帕累托最优解的集合，称为“帕累托前沿”。
二、多目标优化算法的分类在Matlab中，多目标优化算法可以分为以下几类：1. 基于加权的方法：将多个目标函数加权求和，然后将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
这类方法的优点是简单有效，但是需要人工设定权重。
2. 遗传算法：通过模拟进化的过程，搜索出多目标优化问题的解集。
遗传算法具有全局搜索的能力，但是收敛速度较慢。
3. 粒子群优化算法：通过模拟鸟群觅食行为，搜索出多目标优化问题的解集。
粒子群优化算法具有较快的收敛速度和较强的全局搜索能力。
4. 差分进化算法：通过模拟物种进化的过程，搜索出多目标优化问题的解集。
差分进化算法具有较快的收敛速度和较强的全局搜索能力。
5. 支配排序算法：通过定义支配关系，将多目标优化问题的解集划分为不同的非支配解等级。
支配排序算法能够有效地寻找帕累托最优解。
三、多目标优化算法的应用多目标优化算法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 工程优化：在设计工程中，常常需要在多个目标之间进行权衡。
例如，在机械设计中，需要同时考虑产品的成本、质量和安全性等指标。
2. 金融投资：在金融投资领域，投资者通常需要考虑多个指标，如收益率、风险和流动性等。
一种改进的禁忌搜索算法及其在连续全局优化中的应用
An Improved Tabu Search Algorithm for Continuous Global Optimization Problems
作者： 郭崇慧[1] 岳晓晖[2]
作者机构： [1]大连理工大学系统工程研究所,辽宁大连116024 [2]大连理工大学应用数学
系,辽宁大连116024
出版物刊名： 运筹与管理
页码： 6-11页
主题词： 运筹学 元启发式算法 禁忌搜索算法 连续全局优化
摘要：禁忌搜索算法是一种元启发式的全局优化算法，是局部搜索算法的一种推广，已被成功地应用于许多组合优化问题中。
本文针对有界闭区域上的连续函数全局优化问题，提出了一
种改进的禁忌搜索算法，并进行了理论分析和数值实验。
数值实验表明，对于连续函数全局优
化问题的求解该算法是可行有效的，并且结构简单，迭代次数较少，是一种较好的全局启发式
优化算法。
多目标最优化问题常用求解方法
多目标最优化问题常用求解方法在这个快节奏的时代，我们每个人都像个多面手，试图在工作、生活、家庭和个人兴趣之间找到一个平衡点。
你有没有想过，科学界也面临着类似的挑战？没错，今天我们要聊的就是“多目标最优化问题”，这听起来像个高深的数学问题，但其实和我们日常生活息息相关。
说白了，就是如何在多个目标中找到最佳方案，简直就像你在选择晚餐时，想吃披萨、汉堡又不想胖，这可咋办？1. 什么是多目标最优化？多目标最优化，顾名思义，就是在一个问题中，有多个需要优化的目标。
就好比你想在考试中既考得高分，又希望能留点时间玩游戏。
很显然，两个目标是有点冲突的。
在数学中，这就需要我们找到一个折中的方案，尽可能让两个目标都满意。
这个过程听起来简单，但实际上可没那么容易，尤其是在目标彼此矛盾时。
1.1 多目标的复杂性想象一下，如果你是个商家，想要最大化利润的同时，又想减少生产成本。
这就像在沙滩上走路，两只脚却在不同的方向移动，走起来可真费劲！所以，优化的过程中，我们常常会遇到“帕累托前沿”这个概念，听起来高大上，其实就是找一个折衷的方案，让各个目标都尽量满意。
1.2 常见的求解方法说到求解方法，我们可就要聊聊那些“招数”了。
首先是“权重法”，这就像做菜时加盐，你需要决定到底放多少，才能让整道菜刚刚好。
把各个目标赋予不同的权重，然后统一成一个目标进行优化，简单有效。
但问题是，权重的设置就像量体裁衣，得小心翼翼，稍不留神就可能“翻车”。
2. 经典算法那么，还有哪些经典的算法可以解决这些麻烦呢？来，接着往下看。
2.1 进化算法进化算法就像自然选择，你总是能看到那些更强壮的个体存活下来。
这种方法通过模拟自然选择的过程，逐步逼近最优解。
听起来很神奇吧？而且这一方法还挺受欢迎，特别是在复杂的多目标问题中，它能在短时间内找到不错的解，真是个“快枪手”！2.2 粒子群优化再说说粒子群优化，这就像一群小鸟在空中飞舞，每只鸟都有自己的目标，同时也受到其他鸟的影响。
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1 )].([arg )(arg m in m axx f x f nnRx Rx -=∈∈ √2 {}{}.:)(min :)(max nnR D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯3 设.:R R D f n →⊆ 若nR x∈*，对于一切nR x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R RD f n→⊆ 若Dx∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数RR D f n→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设RRD f n→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，Dx ∈*.则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n是凸集。
√12 设{}kx 为由求解)(minx f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{},2,1,0∈∀k ，恒有)()(1kk x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
1 (LP)的解集是凸的. √2 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有.1+>k T k T x c x c ×3 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √4 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0<k σ，则线性规划(LP)没有最优解。
量子计算的子空间方法与问题求解技巧
量子计算的子空间方法与问题求解技巧量子计算作为一种新兴的计算模型，其强大的计算能力吸引了人们的广泛关注与研究。
而在量子计算领域中，子空间方法和问题求解技巧是解决复杂问题的重要手段。
本文将重点介绍量子计算的子空间方法和问题求解技巧，并探讨其中的挑战。
一. 子空间方法子空间方法是量子计算的一种基本策略，通过限制问题空间的维度，减少计算的复杂度。
在传统计算中，问题的答案通常只有一个，而在量子计算中，一个问题可能有多个可能的答案，这称为问题的"解空间"。
通过构建一个合适的子空间，精确地描述和计算问题的解，进而提高计算效率。
子空间的选择原则选择合适的子空间是子空间方法的关键。
一个好的子空间应该满足以下原则：（1）保持问题的重要特征：选择的子空间应该能够保留问题的核心特征，以便能够得到准确的解。
（2）降低空间维度：合理选择子空间的维度，使得计算能够更加高效。
（3）控制计算误差：选择合适的子空间方法可以减少量子计算中的误差，提高计算的准确性。
子空间算法的应用子空间算法在量子计算的各个领域都有重要应用。
在量子多体系统中，子空间方法能够进行精确的能谱计算和较快的演化步骤。
在量子优化中，子空间优化能够通过在子空间内搜索最优解来提高计算效率。
在量子模拟中，子空间化技术能够模拟更大尺度的量子系统。
二. 问题求解技巧问题求解技巧是量子计算的另一重要组成部分，它能够帮助我们更好地利用量子计算的特性，解决现实生活中的复杂问题。
以下将介绍几种常用的问题求解技巧。
量子优化算法量子优化算法是解决优化问题的重要技术，在很多领域具有广泛的应用。
量子优化算法通过利用量子并行计算和量子搜索算法的特性，能够更快地找到优化问题的全局最优解。
量子近似优化算法由于某些优化问题的求解过程非常复杂，寻找到精确的全局最优解往往是困难的。
为了解决这一问题，量子近似优化算法应运而生。
该技巧通过使用量子计算的特性，在保证一定的精度下找到接近全局最优解的近似解。
量子计算的子空间方法与问题求解技巧(九)
量子计算的子空间方法与问题求解技巧引言：量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有在某些特定问题上比传统计算机更高效的潜力。
与传统计算机的位计算不同，量子计算通过利用量子比特（qubit）的叠加态与纠缠态提供了更大的计算空间。
在量子计算中，子空间方法和问题求解技巧是两个重要的方面，本文将重点探讨其原理和应用。
一、子空间方法子空间方法是一种通过选择特定的量子态子空间来处理问题的技术。
在量子计算中，由于量子态的叠加性质，不同的子空间能够以并行的方式进行计算，提高计算效率。
1. 子空间选择在量子计算中，选择合适的子空间对于问题的求解至关重要。
一般情况下，选择与问题相关的子空间能够减少计算的复杂度。
例如，在优化问题中，通过选择对应于目标函数的最小值的子空间，可以在较短的时间内找到最优解。
2. 子空间交互不同的子空间之间可以通过量子门操作进行交互。
通过在子空间之间传递量子比特，可以实现信息的传递与共享。
这在处理复杂的问题时尤为重要，可以将问题分解为更小的子问题进行计算。
3. 子空间合并在解决问题的过程中，可能需要将不同的子空间合并为一个更大的子空间。
这样可以减少计算的复杂性，并提高计算的效率。
通过将子空间合并为更大的量子态，可以利用更多的量子比特进行并行计算，从而加快问题求解的速度。
二、问题求解技巧问题求解技巧是在量子计算中解决复杂问题的方法和策略。
通过合理的问题求解技巧，可以在有限的计算资源下有效地求解问题。
1. 近似算法在量子计算中，找到问题的精确解可能是困难的，因此近似算法成为求解复杂问题的一种常用技巧。
通过近似算法，可以在保证解的质量的前提下，大大减少计算的复杂度。
2. 优化算法优化算法是指通过对问题的目标函数进行优化来求解问题的方法。
在量子计算中，通过利用量子态的叠加性质，可以使用优化算法来寻找问题的最优解。
其中，量子模拟算法和量子优化算法是两种常用的优化算法。
3. 量子搜素算法量子搜索算法是一种用于在未排序的数据库中寻找目标项的技术。
子空间迭代法
子空间迭代法
子空间迭代法是一种有效的数值计算求解最优化问题的方法，它的基本思想是：先给定一个初始解，然后在可行解子空间内逐步搜索，最终找到全局最优解。
传统的最优化方法，如曲面拟合或凸优化，是通过在整个解空间内搜索最优解来实现的。
这种方法可能会遇到搜索范围广泛，所需计算量非常大的问题。
此外，由于当前解往往不是最优解，因此可能存在局部最优解，而忽略了全局最优解。
子空间迭代法是一种改进的最优化方法，它不是将整个解空间作为搜索空间，而是从初始解出发，在尽可能小的子空间内搜索，逐步向全局最优解前进。
它能够在较小的时间和空间内找到最优解，并且不易陷入局部最优解而忽略全局最优解。
子空间迭代法的收敛效果一般比传统最优化方法更加可靠。
此外，它的实施过程简单，需要的计算量小，鲁棒性较强；而且由于只搜索可行解子空间，所以更能够节省计算资源。
总的来说，子空间迭代法是解决最优化问题的一种很好的方法，它比传统最优化方法拥有更高的收敛性，更优的时间和空间复杂度，以及更好的鲁棒性。
它已经成为多种工程设计中不可或缺的重要部分，为优化问题的解决提供了一种有效的途径。
凸优化问题的子空间优化算法研究
凸优化问题的子空间优化算法研究第一章：引言凸优化问题是数学和工程领域中的一个重要研究领域。
在许多实际问题中，我们需要最小化或最大化一个凸函数，同时满足一些线性或非线性约束。
凸优化问题具有许多重要的特性，例如全局最优解的存在性和唯一性。
然而，对于大规模的凸优化问题，传统的算法往往效率低下。
为了解决这个问题，研究者们提出了许多子空间优化算法。
第二章：子空间优化算法概述子空间优化算法是一类特殊的迭代算法，其基本思想是在每个迭代步骤中，在一个低维子空间中求解一个局部最小值。
这种方法可以大大降低计算复杂度，并提高求解效率。
第三章：基本原理和步骤在子空间优化算法中，首先需要选择一个初始点，并计算初始点所对应函数值及梯度信息。
然后，在每个迭代步骤中，在当前点所对应的子空间上求解一个局部最小值，并更新当前点为新求得的局部最小值。
这个过程不断迭代，直到满足停止准则。
第四章：常用的子空间优化算法在凸优化问题的子空间优化算法中，有许多常用的方法，包括共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法在不同场景下有不同的适用性。
共轭梯度法适用于大规模线性约束问题，牛顿法适用于二次约束问题，拟牛顿法则是对牛顿法的改进。
第五章：算例分析本章将通过一些具体的算例来分析子空间优化算法在凸优化问题中的应用。
通过对比不同方法在求解效率和精度上的表现，可以更好地理解和评估这些方法。
第六章：应用前景和挑战子空间优化算法在凸优化问题中具有重要意义，并且已经得到了广泛应用。
然而，在实际应用中仍然存在一些挑战。
例如，在高维空间中求解局部最小值时可能陷入局部最小值，并且计算复杂度仍然较高。
第七章：总结与展望本文对凸优化问题的子空间优化算法进行了综述，并分析了其基本原理、常用方法和应用前景。
子空间优化算法在凸优化问题中具有重要的作用，可以提高求解效率和精度。
然而，仍然有许多挑战需要克服，需要进一步的研究和探索。
相信在未来的研究中，子空间优化算法将会得到更广泛的应用，并取得更好的效果。
moe 切分策略
moe 切分策略
“MOE 切分策略”通常指的是多目标优化算法中的一种策略，特别是在遗
传算法中。
MOE是多目标优化问题（Multi-Objective Optimization Problem）的缩写。
在多目标优化问题中，通常存在多个相互冲突的目标，例如最大化收益和最小化成本。
传统的单目标优化算法只能找到一个最优解，但在多目标优化问题中，可能存在多个最优解或非支配解。
MOE切分策略的基本思想是将多目标优化问题分解为多个单目标优化问题，并分别求解。
具体来说，它首先将多目标优化问题的目标空间划分为多个子空间，然后在每个子空间上独立求解单目标优化问题。
这样，可以获得一组解，其中每个解对应一个子空间的最优解。
这种策略的优势在于，它可以快速找到一组非支配解，并且可以很容易地扩展到大规模问题。
然而，它也有一些局限性，例如可能忽略某些重要的解，或者在某些情况下可能无法找到任何非支配解。
请注意，以上解释是基于一般的MOE切分策略的理解，具体的实现和应用可能因领域和问题而异。
如果您有关于特定领域或具体应用的更多问题，请提供更多详细信息。
子空间码的组合和代数构造方法刘双庆博士论-概述说明以及解释
子空间码的组合和代数构造方法刘双庆博士论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述子空间码是一种重要的纠错编码技术，广泛应用于通信领域和计算机存储系统中。
子空间码的设计旨在提高数据传输的可靠性和效率，通过利用向量空间的线性代数性质来实现错误更正和数据恢复的功能。
传统的组合方法和代数构造方法是设计子空间码的两种主要思路，它们各具特点，具有不同的适用场景和优势。
在本文中，我们将首先介绍子空间码的概念和应用背景，然后分别探讨子空间码的组合方法和代数构造方法。
通过深入分析这两种设计方法的原理和特点，我们可以更好地理解子空间码的设计思想和实现技术，为进一步研究和应用子空间码奠定基础。
同时，我们也将展望子空间码在未来通信和存储系统中的发展前景，探讨其在数据传输和处理中的潜在应用和挑战。
1.2 文章结构本文主要包括三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，首先对子空间码的概念进行了介绍，然后对文章的结构和目的进行了说明，为读者提供了整体的框架。
在正文部分，主要分为两个小节，分别是子空间码的组合方法和代数构造方法。
在子空间码的组合方法中，首先简要介绍了子空间码的概念，然后详细讨论了传统的组合方法及其应用。
在子空间码的代数构造方法中，同样进行了简要介绍，然后详细介绍了一种代数构造方法。
最后，在结论部分对本文的内容进行总结，并展望未来在子空间码研究领域的发展方向。
通过以上结构安排，可以清晰地了解本文的内容和逻辑顺序，便于读者理解和掌握文章的主要观点和结论。
1.3 目的本文的主要目的是探讨子空间码的组合和代数构造方法，通过分析和比较传统组合方法和代数构造方法，探讨它们在提高编码效率和解码性能方面的优劣势。
同时，通过深入研究子空间码的构造方法，旨在为未来在通信和数据存储领域中使用子空间码提供更加有效和可靠的编码方案。
通过本文的分析和探讨，希望能促进子空间码技术的进一步发展和应用。
2.正文2.1 子空间码的组合方法2.1.1 简介子空间码是一种编码技术，通过在信道上发送空间符号而不是传统的比特来提高通信系统性能。
子空间迭代法课件副本
参数自适应调整
研究自适应调整算法参数的方 法，以适应不同问题和计算环
境的需求。
04
子空间迭代法的实现细节
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
预处理技巧
矩阵分解
通过将原矩阵分解为若干个简单的矩 阵，降低迭代法的计算复杂度。
稀疏近似
利用矩阵的稀疏性，用近似矩阵代替 原矩阵，提高计算效率。
详细描述
优化问题涉及到寻找函数的最优值，子空间迭代法通过 迭代搜索子空间中的最优解，能够快速找到局部最优解 ，尤其适用于非线性优化问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
子空间迭代法通过构造矩阵的特征子空间，利用迭代优化技术寻找特征值和特 征向量。这种方法能够有效地处理大型矩阵的特征值问题，并且可以应用于各 种工程领域，如结构动力学、流体动力学等。
优化问题求解
总结词
子空间迭代法可以应用于求解约束优化和非线性优化问题， 通过迭代寻找最优解。
详细描述
子空间迭代法可以将复杂的优化问题转化为子空间优化问题 ，利用梯度下降、共轭梯度等方法进行迭代优化。这种方法 在处理大规模约束优化和非线性优化问题时具有较好的效果 ，能够有效地提高求解效率。
自适应子空间迭代法
总结词
自适应子空间迭代法是一种改进的子空间迭 代法，它根据问题的特性和迭代过程中的信 息，自适应地调整子空间的划分方式和迭代 策略。
详细描述
自适应子空间迭代法能够根据问题的特性和 迭代过程中的信息，动态地调整子空间的划 分方式和迭代策略。这种方法能够更好地适 应问题的变化，提高算法的收敛速度和精度 。自适应子空间迭代法通常需要更多的计算 资源和存储空间，但其灵活性和适应性使其 成为解决复杂问题的重要工具。
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Ｃｈｅｎ（ ２００２）（４１ （９７提出了改进的禁忌算法，对先前已搜索的子空间进行记录，引人多始点过程，邻域搜索分 为多样性阶段和强化阶段。在强化阶段，川还结合了遗传算法的种群和交叉的概念。两文献分别仅举一 例考题验证其算法，且不可求解有约束问题。Ｚｈａｎｇ＆ Ｈｅ（ ２００１）Ｅｅｌ 提出均匀布点的全局优化方法，用均匀
全局 最 优 化寻优方法的研究始于 ２０世纪 ６０年代左右，但进展缓慢，成熟的方法稀少。此类寻优方法 可分为两种类型：确定性方法和元启发式方法。确定性方法是通过构造辅助函数，企图跳出极小点的吸引 区域，下降到另一极小点区域，它借助成熟的局部寻优方法对辅助函数寻优。较有影响的有填充函数法和
隧道方法，前者可较好地解决变量维数ｎ＞２的问题〔’］；后者在实际计算时对ｎ＞２的问题几乎无能为力。
２ ３
图 １ 禁 忌 子 空 间 的几 何 意 义 该子空间禁忌全局优化的直观描述可由一二维多极值函数表示：如图１所示，带序号的点是随机的全
·９６８ ·
中国科协第二届优秀博士生学术年会论文集
局均匀搜索点，序号表示该全局搜索的次序。 局部 确 定 性搜索就是对非落人禁忌子空间的全局随机均匀搜索点施以算法Ａ的局部搜索，如图 １所
心，Ｒ：为半径的局部区域称为禁忌子空间 ７＂，ｂ，通常可理解为超球空间。所有禁忌子空间的集合称为禁忌 空间 ７＂二１７＂＂ Ｉ 。禁忌子空间的几何意义如图１所示的虚线他｝。
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ｆ（二）Ｊ（ＸＬ）＋十 ［ｘ一ｘｃ］Ｔ ·Ｈ（ＸＬ） ·［ｘ一二：〕
由此 可 见 ，任意形式的目标函数在极值点附近的特性，都近似于一个二次函数。可以证明在极值点附 近二元函数的特性是一组近似的同心椭圆族 ，ｎ维函数在极值点附近的特性是一组近似的同心超椭球族。
密度为Ｐ洲山“是心 的子集，从而Ｎｂ．的体积密度亦为Ｐ。禁忌空间的体积为〔７０〕＝Ｐ·Ｎ．ｂ．，全局解空间 的体积为〔Ｒ－１＝ Ｐ·Ｎａ，于是ｒｒａｂ“二［尹〕／汇Ｒ＂］二Ｎ．，／Ｎ．，，证毕。
定理 ２：禁 忌搜索率 ｒｒ．ｂ。总是区间【０，１）内的实数。 证明 ： 因 为Ｎ，ｎｂ，叽 总是自然数，且Ｎ，ｂ＜ Ｎ ａ，从而ｒｒ，ｂｕ＜ １ ；又ｍｉｎＮ ． ＝ ０ ，ｍ ｉｎＮ ‘二１，ｍ ｉｎＮ ，，，，二
局部 子 空 间禁忌搜索既是对落人禁忌子空间的全局随机均匀搜索点实施禁忌，如落人点 ２禁忌距离 内的点 １２，１５，２９等均被禁忌，它们不再参加局部子空间的搜索。
定义 ２ ：设 ｍ。为链表，链表中的每一元素包含ｘｃ，人和凡三项记录，该表称为子空间禁忌表。禁忌表中
实际记录的是非重复的禁忌子空间。
定义 ３ ：设 在Ｒ＂空间中，禁忌空间为７０，两空间的体积比ｒ、 二〔７＾］／［Ｒ＂」称为禁忌搜索率，［·〕表示
定理 ４ ：设 全局优化问题的极值点数为有限值，ｄ８６［ ０，１）作为禁忌搜索率的上界阔值，当ｒ．．，＿：５ｓ 时 Ｎ，总可取有限数。
证明 ： 由 条件得 ｒｒ．ｎ．＝ Ｎ ｂ．ＩＮ４＜ ｓ ，可推出Ｎ，＜＿ Ｎ ，，．，，／（ ｌ 一ｓ），其中因全局优化问题的极值点数是有 限值 Ｎ，，，亦为有限值，从而Ｎ，有有限数存在，证毕。
数 Ｎ．ｕ；
制造科技
ＩｎｉｔｉａｌｉｚｅＮ ，ｉ，＝Ｎ，．ｎｅ ０
９６９
图 ２ 子 空 间 禁 忌 的 全 局 优 化流 程
ｓｔｅｐ ２： 检 测ｘ０是否落人已有的禁忌子空间，若是，则禁忌搜索ｘｅ，并记录禁忌搜索次数Ｎ．ａｕ，转 ｓｔｅｐｌ； ｓｔｅｐ ３： 用 局部确定性优化算法Ａ对ｘ，进行搜索； ｓｔｅ妙 ： 在 搜索过程中做边界检测 ，当搜索点进人一禁忌子空间时，判别是否好于该子空间；如果是，则 继续搜索，重复此步骤，找出子空间 ７０，ｂ；否则扩展该子空间。 ｓｔｅｐ ５： 若禁 忌表中无子空间几 ，将几 加人到子空间禁忌表；否则计算新的禁忌距离ＲＬ，更新相应禁 忌子空间（ｘＬ．Ｆ Ｌ，ＲＬ ） ，若新的极值更优，则同时替代原极值； ｓｔｅｐ ６： 检 测解空间Ｒ＂的禁忌搜索率ｒＴ．Ｌ．，若 Ｔ．．，，．＞ ｅ ，全局搜索收敛，停止全局搜索，否则转ｓｔｅｐｌｏ
示，点 １，２，４，５，６，８，１７，此结果会找出新的极值点和相应的禁忌子空间，或对已有禁忌子空间进行扩张。 禁忌 子 空 间扩张是指新的局部子空间确定性搜索进人了已有禁忌子空间，使得该禁忌子空间的禁忌
距离增大，从而扩大了已有的禁忌子空间，如点４使已有禁忌子空间 １增长为子空间４，而禁忌子空间 １７ 又使已有子空间４进一步增长，同时迅速缩减了可施加局部搜索的空间范围。
２ 子空间禁忌全局最优化方法的基本原理
本方 法 的 原始思想来源于对二元函数在极值点附近特性的观察和分析，如图 １所示。对于任意形式 的目标函数ｆ（ｘ），在极值点ｘ：附近展开成泰勒级数，且忽略高阶小项，只取其前三项，则有
，·） －Ｊ（Ｘ Ｌ卜 〔二 ·：） ］Ｔ·［．ｘ一：卜合：ｘ一：‘〕Ｔ·ｖ２！（－Ｌ） ·［ｘ一：：〕
本方 法 的 思想是用局部的确定性搜索可以容易地找到某一极值点及其同心超椭球族，然后禁忌对该
同心超椭球族空间的重复搜索，依次找出各极值点。当用随机均匀搜索检测完解空间Ｒ＂后 ，就可获得全局
最优解。
２． １ 概 念
该方 法 主 要由三部分构成：全局随机均匀搜索 ＋局部子空间确定性搜索 ＋局部子空间禁忌搜索。全 局随机均匀搜索即用均匀随机的方法在 Ｒ＂空间内布置待局部搜索的初始点。
元启发式方法是目前用于求解全局满意解较常用的方法，常见的如模拟退火和遗传等模仿 自然的原理的 算法。这类算法的稳健性好，可求解高维问题，但只能求出全局满意解，其计算复杂性随维数迅速增大。
禁忌 策 略 来源于组合优化，其基本思想就是禁忌重复前面的工作。用禁忌表记录已得到局部最优 信息，下次搜索将不再或有选择地搜索这些点，从而跳出局部最优。近几年的文献显示，求解连续非线性
助Ｈｏｏｋｅ＆ Ｊｅ ｅｖｅ算法的稗测搜索和摸式搜索，其次算法生成随机搜索方向并完成沿每一方向的一维搜
索，将最好点记录在禁忌表中，它只能求解无约束全局最优化间题。Ｍａｃｈａｄｏ＆ Ｙａｎｇ（ ２００功［３１的基本思想
是：对 Ｈｕ氏禁忌方法的全面改进并组合了领域消除法，特点是引人了搜索轨迹集合，它记录了起始点到局
求实空间的体积。 定义 ４：设 全局随机均匀搜索的总点数为 Ｎａ，参加局部子空间确定性搜索的点数为 Ｎ，ａａＩ，则被禁忌的
点数 Ｎ．ｂ。二Ｎａ一Ｎ，＿． 。
２．２ 基 本理论
定理 ｌ：禁 忌搜索率 ｒｒｍ．二Ｎｂ／Ｎａｕｏ 证明 ： 因 全局随机均匀搜索的总点数Ｎａ是用均匀随机ＭｏｎｔｅＣ ａｒｌｏ法在Ｒ＂中得到的，设单位点的体积
实验设计的布点思想设置全局多始点，然后对解空间的多始点实施确定性的局部寻优，尽量找出各局部极 值，从而得到满意的全局最优解。仅用了一个实例，不够充分。均匀实验设计的布点方法主要取决于问题 的变量数，而不是问题的多极值数，因此容易失去一些极值点的搜索。其实例显示该方法会重复搜索已发
现的极值。Ｓ．Ｓａ ｌｈｉ＆ Ｎ ．Ｍ ．Ｑ ｕｅｅｎ（ ２００４）提出了一种运用模拟退火，禁忌搜索和下降方法的混合搜索。
局部 搜 索 收敛准则依赖于确定性局部优化算法Ａ，它直接影响局部寻优效率，间接影响全局最优解的 精度，本文不详述。
３ 算法描述
根据上述基本概念 ，本文所述全局优化的主要步骤概述如下。流程如图２所示。 ｓｔｅ闪：初始化 Ｎ，二Ｎａ二仇
ｓｔｅｐ ｌ： 用 均匀随机 ＭｏｎｔｅＣ ａｒｌｏ法在 Ｒ＂中做全局随机均匀搜索，得搜索点ｘ０．记录全局随机均匀搜索次
２．３ 收敛 准则
本文 方 法 涉及到两个收敛准则，全局搜索收敛准则和局部搜索收敛准则。
全局 搜 索 收敛准则：由定理４知，设禁忌搜索率 ｒｒ，，．＇＜ｓ，ｓｅ［ ０，１），总能通过有限的Ｎ．，次全局随机 均匀搜索达到条件 ｒ．．．．＞ ｓ ，使解空间得到较全面搜索，从而获得最优解或满意解。由此可见禁忌搜索率 ｒ．．，“可以作为全局最优化策略的收敛准则。
多极值问题的全局最优方法较少，而基于连续函数总体寻优的禁忌方法人不成熟，已有的方法只能够求解
部分多维函数的全周满意解（Ｓｕｌｔａｎ＆Ｆａｗｚａｎ１９ ９７，Ｍａ ｃｈａｄｏ＆Ｙａｎｇ＆Ｎｉ２００ １，Ｈｏ＆Ｙａｎｇ＆Ｎｉ２００ １，
Ｃｈｅｎ＆Ｎｉ＆Ｙａｎｇ２０ ０２，Ｓ． Ｓａ ｌｈｉ＆Ｎ．Ｍ ．Ｑ ｕｅｅｎ２ ００４）。Ｓｕｌｔａｎ＆Ｆａｗｚａｎ（ １９９７）（ ２７ 的基本思想是：首先借
其禁忌域围绕着模拟退火解和局部最小解。该方法需要大约设置 １４个参数。其数值试验依赖于单纯形
制造 科技
·９６７ ·
法，且所测试的考题类型还不够丰富。 本文 提 出 的子空间禁忌的全局最优化策略不同于上述已有的算法和方法，而是经典局部寻优算法、随
机法和禁忌法的结合。它发挥了确定性局部寻优算法的精确性和随机法的全局性特点。对中小规模多极 值问题可求得全局最优解 ，对大规模多极值问题可求得全局最优解或全局满意解。函数求值次数较算法 ［２］和【３］显著减少，较算法〔４］和【９］的求值精度明显提高，且可以求解有约束问题。与文献〔８〕的方法 相比，其计算复杂性不主要受维数的影响，而是依赖于待求问题的极值数。与上述算法相比所适用的考题 亦更为广泛，是与初始点无关的全局最优化方法。
定义 Ｉ ：设 ：。ｅＲ ＂是ｎ维空间的全局随机均匀搜索点，用确定性搜索算法Ａ找到最近的极值点二‘，对应 函数极值为ｆＬＩ围 绕该极值点形成一个子空间。可有两种超空间体可简单且近似地描述该子空间，超球体