【新课标】备战2012年高考文科数学专题复习第23课(精)
2012年高考数学冲刺复习：数学精练23.pdf
? 教学目的 1．朗读、背诵文育课文。
2．理解积累一些文言实词。
3．认识作者通过描写“世外桃源＂所表达的不满黑暗现实，追求理想社会的思想感情。
重点、难点重点： （1）朗读、背诵文言文。
（2）理解积累一些文言实词。
（3）理解文章的叙事线索。
难点： 理解文章故事曲折回环，悬念迭起，引人入胜的写法。
教学时间:二课时 教学过程 第一课时 一、预习 1．查字典，读准下列加点字的音。
豁然（huo）严然（yau）阡陌（qian?mo）诣（yi） 2．熟读课文，查字典，参考课文注释，试翻译课文。
二、导入 1．作者简介： 陶渊明生于东晋末朝，出身于没落的地主官僚家庭。
他少时颇有壮志，博学能文，任性不羁。
当时社会动乱不安，他有志不得展。
做过小官，由于不满官场的丑恶，弃官回乡，这时他四十一岁，从此过着“躬耕自资”的隐居生活。
忧愤、饥寒、劳累、赢疾一起折磨着他，六十三岁去世。
后称靖节先生。
他所作的诗文，内容多描写农村生活，表现了优美的自然风光，抒发他热爱田园生活、乐于和农民来往和不愿与统治者同流合污的高尚感情；但也包含了乐天知命、消极适世的因素。
在形式上一反当时华而不实的文风，明朗清新，质朴自然，善于抓住客观事物最突出的特征，淡淡几笔传神的表现它的形象，简洁含蓄而富有韵味，对后代作家有较大的影响。
本文写作年代大约是宋永初二年（421年），其时陶渊明已经五十七岁了。
他拒绝同刘格的来政权合作，不满黑暗的政治现实，同时由于他和农民接近，理解他们追求理想社会的愿望，所以写了这篇记和诗。
2、导语：同学们学过“世外桃源”这个成语吗？它是晋朝陶渊明在《桃花源记》中所描述的一个与世隔绝的，不遭战祸的安乐而美好的地方。
现在我们一起跟着渔人到这个世外桃源去看看。
三、课文分析 1．朗读课文。
（或听老师范读，听课文录音后齐读课文） 2．请同学们试翻译课文。
（每生翻译一句） 3．掌握课文注释的词语。
（补充注释如下） 为业：靠……谋生。
2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a ，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则()A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为() A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以21 2a=，213 122S=+=.显然只有B项符合．7．C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A，剩余5人进行全排列：55A，故总的情况有：14A·55A＝480种．故选C 项．8．D连结AC交BD于点O，连结OE，∵AB=2，∴AC=又1CC=AC=CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为C H的中点．由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.9．D∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||5AB=.∴||5CD==.∴2||25AD ==. ∴4544445()5555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ， 由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m＝.∴m 又24c ==， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞1log 2=，121e2z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12， ∴2112KX =，∴X 2为HD 中点，2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x )8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r ＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin xx＝1π2(sin )2sin()23x x x =-． 当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中，2222213cos 5a a a a a AEA ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪∠==. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12， 即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3； 由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-， 整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，… a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ， 所以PC ⊥BD ． 设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =P A =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC = 从而PC FC =，ACEC =， 因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠P AC =90°， 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC ． 又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (220,0)，D 2，b,0)，其中b ＞0， 则P (0,0,2)，E (23，0，23)，B 2b,0)． 于是PC ＝(220，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b =-，n ＝(1，b-)． 因为面P AB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b = 于是n ＝(1，－1)，DP ＝(2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ， P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1x2＝－1当x∈(－∞，－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－11时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x1－a)＋23ax1＝23(a－1)x1－3a.同理，f(x2)＝23(a－1)x2－3a.因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----． 由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0， 解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)， 故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1， 即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |=，即2r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M=化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =22t =抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)． 所以D 到l的距离d ==.。
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题5 第23课时 轨迹问题
第一页，编辑于星期日：九点 三十五分。 1
考点1 直接法
例1(2011 海口高考调研)如图，已知两定点A1, 0，B 4, 0，坐标xOy平面内的动点M 满足：2 AM BM .求
动点M的轨迹C的方程并画出草图．
第二页，编辑于星期日：九点 三十五分。 2
切入点：先设所求动点M 的坐标( x，y )，把已知条件用 坐标表示，化简．
行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的 技巧．
第四页，编辑于星期日：九点 三十五分。 4
变式1(2011 揭阳一模)已知点C 1, 0，点A、B是 O：
x2 y2 9上任意两个不同的点，且满足 AB BC 0， 设P为弦AB的中点．
1 求点P的轨迹T的方程； 2 试探究在轨迹T 上是否存在
9 x2 6x 25 | 5 3 x | .
25
5
由于 5 x 5，所以2 5 3 x 8， 5
所以f x的值域为2,8．
第十五页，编辑于星期日：九点 三十五分。 15
考点3 相关点法
例3 已知x轴上的一定点A1, 0，Q为椭圆 x2 y2 1
4 上的动点，求AQ的中点M的轨迹方程．
25 16
2由已知得 PQ QB ， 所以，f x x 32 y2 .
第十四页，编辑于星期日：九点 三十五分。 14
又点Q的轨迹方程为 x2 y2 1， 25 16
所以，y2 16(1 x2 )，代入f x的解析式，消去y，得
25
f x x 32 161 x2
25
24k 2 4k 2
1，x1
x2
36k 2 4 ， 4k 2 1
y1 y2 k 2[x1 x2 3 x1 x2 9]，
【学海导航】2012高考数学 12.3 二项式定理复习课件 理
则f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,
f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.
(1)因为a5=25=32, 所以a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32= -31.
(2) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|
=-a0+a1-a2+a3-a4+a5
2 2 n n n2 n C f ( ) x (1 x) Cn f ( ) x (1 x)0 (x≠0,1). n n
2 n
(1)当f(x)=1时，求g(x);
(2)当f(x)=x时，求g(x).
解析：
（1）当f(x)=1时， g ( x) C (1 x) C x(1 x) n Cn xn ［(1 x) x］ 1.
易错点1：审题错误 例题1：若(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求 |a1|+|a2|+…+|a5|.
错解： 解法1:
令x=1，|a1|+|a2|+…+|a5|=(2×1－1)5=1.
解法2：令x=－1，|a1|+|a2|+…+|a5|
= -［2×(-1)－1］5=243.
错解分析： 错解1错把x=1代入得到的值当
(3)字母a按 降幂 n 逐项减1直到
1 n-1 n (4)二项式系数依次为 C0 ,C ,...,C ,C n n n n.
3.二项式的展开式的通项
二项式展开式的第r+1项是
2012届高考数学第二轮考点专题复习教案
导数应用的题型与方法一．复习目标：1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, logx的a导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
二．考试要求：⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, logx的a导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。
2012年高考数学总复习资料大全(精华版).
2012高中数学高考知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
江苏省2012届高考数学二轮复习：第23讲 高考题中的解答题解法
第23讲 高考题中的解答题解法江苏高考数学试卷是由填空题和解答题两部分构成，其中填空题14小题，每小题5分，总分70分，文科考生只要做解答题中的15～20共计6题，总分90分，试卷总分160分．解答题就是给出一定的题设条件(即已知)，然后提出一定的要求(即结论)．它要求考生能根据题设，运用已知的一切条件(含公理、定理、性质、定义、公式等)，通过推理和计算最终达到要求的目标．在卷面上要求考生必须要将整个过程有条理、合乎逻辑、完整地陈述出来(包含添加的辅助线、引用的结论等)．试卷中前160分的6道解答题可分为中低档题(前3题)，中高档题(后3题)，其中三角、向量与解三角形，立体几何，解析几何可归结为前一类，应用题，数列题，函数、方程及不等式类题可归结为后一类问题，当然这也不是绝对的，应用题和解析几何题也是可以对调位置的，这要看整个试卷的知识点分布，纵观最近几年的江苏高考题，我们感觉到8个“C”级考点一定会在试卷中有所体现．试卷采用设点把关，注重层次性，即使是最后两题即所谓压轴题也不是高不可攀；试卷注重对基础知识的考查，既全面又突出重点；试卷注重对数学思想方法的考查，对学生的数学的学习能力、综合应用能力都有充分的要求．在解答题的应试过程中，考生要根据自己的实际情况，选择适合自己的应试策略．1. 已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB →＝(1，－23sinxcosx ＋1)，f(x)＝OA →·OB →＋m.(1) 求y ＝f(x)的单调递增区间；(2) 若f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤π2，π，值域为[2,5]，求实数m 的值．2.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝2 2.求证：(1) PA ⊥平面EBO ； (2) FG ∥平面EBO.3.二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b ∈R )满足条件：①f(0)＝f(1)；②f(x)的最小值为－18.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设数列{a n }的前n 项积为T n, 且T n ＝⎝⎛⎭⎫45f(n),求数列{a n }的通项公式.4.如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N 、M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y.(1) 按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．【例1】 已知集合A ＝{x|x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)<0，x ∈R }，集合B ＝{x|x －ax －(a 2＋1)<0，x ∈R }．(1) 当时，求实数a 的取值范围； (2) 求使的实数a 的取值范围．【例2】 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．【例3】 对于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的“一阶差分数列”，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．(1) 若数列{a n }的通项公式a n ＝52n 2－132n(n ∈N *)，求{Δa n }的通项公式；(2) 若数列{a n }的首项是1，且满足Δa n －a n ＝2n .① 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列；② 设{a n }的前n 项和为S n ，求S n .【例4】 函数f(x)＝lnx －a (x －1)x(x>0，a ∈R )． (1) 试求f(x)的单调区间；(2) 当a>0时，求证：函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a ＝1； (3) 求证：不等式1lnx －1x －1<12对于x ∈(1,2)恒成立．1. (2011·重庆)设a ∈R ，f(x)＝cosx(asinx －cosx)＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f(0)，求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．2. (2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？ (2) 某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．3.(2011·安徽)设f(x)＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1) 当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2) 若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．4.(2011·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a(a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2是否成等差数列，并证明你的结论．(2011·苏锡常镇调研)(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x(x －1)2，x>0. (1) 求f(x)的极值；(2) 设0<a ≤1，记f(x)在(0，a]上的最大值为F(a)，求函数G(a)＝F (a )a 的最小值；(3) 设函数g(x)＝lnx －2x 2＋4x ＋t(t 为常数)，若使g(x)≤x ＋m ≤f(x)在(0，＋∞)上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．解：(1) f ′(x)＝(3x －1)(x －1), (1分)令f ′(x)＝0，得x 1＝13，x 2＝1.∴ 当x ＝13时，有极大值f ⎝⎛⎭⎫13＝427；(2分) 当x ＝1时，有极小值f(1)＝0. (3分)(2) 易知f(x)在⎝⎛⎦⎤0，13上递增，⎝⎛⎦⎤13，1递减，(1，＋∞)递增．(4分) ∴ 当0＜a ≤13时，G(a)＝f (a )a ＝(a －1)2≥49， (5分)特别当a ＝13时，有G(a)＝49； (6分)当13＜a ≤1时，F(a)＝f ⎝⎛⎭⎫13，则G(a)＝f ⎝⎛⎭⎫13a ＝427a ≥4271＝427.(7分)故对任意的0＜a ≤1，G(a)的最小值为427. (8分)(3) 由已知得h 1(x)＝x ＋m －g(x)＝2x 2－3x －lnx ＋m －t ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 由h ′1(x)＝(4x ＋1)(x －1)x，(9分)得x ∈(0,1)时，h ′1(x)＜0，x ∈(1，＋∞)时，h ′1(x)＞0， 故x ＝1时，h 1(x)取极小值，也是最小值．从而当且仅当h 1(1)＝m －t －1≥0，m ≥t ＋1时，h 1(x)≥0在(0，＋∞)恒成立．(11分) 同样的，h 2(x)＝f(x)－x －m ＝x 3－2x 2－m ≥0， 在(0，＋∞)恒成立．由h ′2(x)＝3x(x －43)得x ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，h ′2(x)＜0，x ∈(43，＋∞)时，h ′2(x)＞0， 故x ＝43时，h 2(x)取极小值，也是最小值．从而当且仅当h 2⎝⎛⎭⎫43＝－3227－m ≥0，m ≤－3227时， h 2(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(13分) ∴ t ＋1≤m ≤－3227.(14分)由m 的唯一性知t ＝－5927，此时m ＝－3227. (16分)第23讲 高考题中的解答题解法1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1) 若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cosA ，求A 的值； (2) 若cosA ＝13，b ＝3c ，求sinC 的值．点拨：本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力，是C 级要求，但属容易题．解题说理要准确、完整，过程要合理、严谨．解：(1) 由题意知sinAcos π6＋cosAsin π6＝2cosA ，从而sinA ＝3cosA ，所以cosA ≠0，tanA ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2) 由cosA ＝13，b ＝3c ，及a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＝a 2＋c 2，所以△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sinC ＝cosA ＝13.2. 如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB ＝1米，高0.5米，CD ＝2a ⎝⎛⎭⎫a ＞12米．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆．(1) 设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S(平方米)表示成关于x 的函数S ＝f(x)；(2) 当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？求出这个最大面积．解：(1) ① 0≤x ＜12时，由平面几何知识，得MN －12a －1＝x 12.∴ MN ＝2(2a －1)x ＋1，S ＝f(x)＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14.② 12＜x ＜a ＋12时，S ＝f(x)＝12·2a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12.∴ S ＝f(x)＝⎩⎨⎧－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，x ∈⎣⎡⎭⎫0，12，a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12，x ∈⎝⎛⎭⎫12，a ＋12.(2) ① 0≤x ＜12时，S ＝f(x)＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14.∵ a ＞12，∴ a －12(2a －1)－12＝－a 2(2a －1)＜0，∴ a －12(2a －1)＜12.(i) 12＜a ≤1，当x ＝0时，[f(x)]max ＝f(0)＝14. (ii) a ＞1，当x ＝a －12(2a －1)时，[f(x)]max ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －12(2a －1)＝a 24(2a －1). ② 12＜x ＜a ＋12时， S ＝f(x)＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12＝⎝⎛⎭⎫x －122⎣⎡⎦⎤a 2－⎝⎛⎭⎫x －122≤⎝⎛⎭⎫x －122＋⎣⎡⎦⎤a 2－⎝⎛⎭⎫x －1222＝12a 2，等号成立⎝⎛⎭⎫x －122＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122＝12(2a ＋1)∈⎝⎛⎭⎫12，a ＋12. ∴ 当x ＝12(2a ＋1)时，[f(x)]max ＝a 22.(i)12＜a ≤1时，∵ a 22－14＝12⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22， ∴ 12＜a ≤22时，当x ＝0，[f(x)]max ＝f(0)＝14， 22＜a ≤1时，当x ＝12(2a ＋1)，[f(x)]max ＝a 22. (ii) a ＞1时，12a 2－a 24(2a －1)＝4a －34(2a －1)a 2＞0.当x ＝12(2a ＋1)时，[f(x)]max ＝a 22.综上，12＜a ≤22时，当x ＝0时，[f(x)]max ＝f(0)＝14，即MN 与AB 之间的距离为0米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为14平方米．a ＞22时；当x ＝12(2a ＋1)时，[f(x)]max ＝a 22， 即MN 与AB 之间的距离为x ＝12(2a ＋1)米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为12a 2平方米．基础训练1. 解：(1) f(x)＝2sin 2x －23sinxcosx ＋1＋m ＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＋m. 由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z )， 得y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )． (2) 当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6，∴ －1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤12， ∴ 1＋m ≤f(x)≤4＋m ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝2，4＋m ＝5，解得m ＝1.2. 证明：由题意可知，△PAC 为等腰直角三角形，△ABC 为等边三角形．(1) 因为O 为边AC 的中点，所以BO ⊥AC.因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，平面ABC ，所以BO ⊥面PAC.因为平面PAC ，所以BO ⊥PA.在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点， 所以OE ⊥PA.又BO ∩OE ＝O ，所以PA ⊥平面EBO.(2) 连AF 交BE 于Q ，连QO.因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、AC 的中点，所以AOOG ＝2，且Q 是△PAB 的重心，于是AQ QF ＝2＝AOOG，所以FG ∥QO.因为平面EBO ，平面EBO ，所以FG ∥平面EBO.(注：第(2)小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH ∥平面EBO 证得)3. 解：(1) 由题知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＞0，－b 24a ＝－18，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12，故f(x)＝12x 2－12x.(2) T n ＝a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫45n 2－n 2， T n －1＝a 1a 2…a n －1＝⎝⎛⎭⎫45(n －1)2－(n －1)2(n ≥2)， ∴ a n ＝T n T n －1＝⎝⎛⎭⎫45n －1(n ≥2)． 又a 1＝T 1＝1满足上式，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫45n －1(n ∈N *)． 4. 解：(1) ① ON ＝3－x 2，OM ＝33x ，MN ＝3－x 2－33x ， ∴ y ＝x ⎝⎛⎭⎫3－x 2－33x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32. ② PN ＝3sin θ，ON ＝3cos θ，OM ＝33×3sin θ＝sin θ， MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，y ＝3sin θ(3cos θ－sin θ)＝3sin θcos θ－3sin 2θ，⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3. (2) 选择y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－32. ∵ θ∈⎝⎛⎫0，π3，∴ 2θ＋π6∈⎝⎛⎫π6，5π6， ∴ 2θ＋π6＝π2即θ＝π6时，y max ＝32.例题选讲例1 解：(1) 若4∈B ，则4－a3－a 2＜＜－3或3＜a ＜4.∴ 当时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)． (2) A ＝{x|(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x|a ＜x ＜a 2＋1}． ① 当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)．要使，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12；② 当a ＝13时，A ＝，使的a 不存在；③ 当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)．要使，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎡⎦⎤－1，－12. 例2 解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0.∵ 直线与圆相切，∴|－b|22＋12＝3，得b ＝±35， ∴ 所求直线方程为y ＝－2x±3 5. (2) (解法1)假设存在这样的点B(t,0)．当P 为圆C 与x 轴左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，∴ PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2(x ＋5)2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925， 从而PB PA ＝35为常数．(解法2)假设存在这样的点B(t,0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，∴ (x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35. 例3 (1) 解：依题意Δa n ＝a n ＋1－a n ，∴ Δa n ＝⎣⎡⎦⎤52(n ＋1)2－132(n ＋1)－⎣⎡⎦⎤52n 2－132n ＝5n －4. (2) ①证明：由Δa n －a n －a n ＝2n 得a n ＋1－2a n ＝2n ，即a n ＋1＝2a n ＋2n . ∴a n ＋12n 1＝a n 2n ＋12，即a n ＋12n 1－a n 2n ＝12.∵ a 1＝1，∴ a 12＝12. ∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列．②解：由①得a n 2n ＝12＋12(n －1)＝n 2，∴ a n ＝n 2·2n ＝n·2n －1.∴ S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1·20＋2·21＋…＋n·2n －1，∴ 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋n·2n ，两式相减得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n ，∴ S n ＝n·2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1.例4 (1) 解：f ′(x)＝1x －a x 2＝x －ax2(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a ＞0时，x ∈(0，a)，f ′(x)＜0，f(x)在(0，a)上单调减，x ∈(a ，＋∞)，f ′(x)＞0，f(x)在(a ，＋∞)上单调增．综上，a ≤0时f(x)的单调区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f(x)的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2) 证明：充分性：a ＝1时，由(1)知，f(x)在x ＝1处有极小值也是最小值， 即f min (x)＝f(1)＝0.而f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 在(0，＋∞)上有唯一的一个零点x ＝1.必要性：f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解，且a>0，由(1)知，在x ＝a 处有极小值也是最小值f(a)，f(a)＝0，即lna －a ＋1＝0.令g(a)＝lna －a ＋1，g ′(a)＝1a －1＝1－a a.当0＜a ＜1时，g ′(a)＞0，在(0,1)上单调递增；当a>1时，g ′(a)＜0，在(1，＋∞)上单调递减．g max (a)＝g(1)＝0，g(a)＝0只有唯一解a ＝1.f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解时必有a ＝1.综上：在a>0时，f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解的充要条件是a ＝1.(3) 证明：∵ 1<x<2，∴1lnx －1x －1＜12＋1)lnx －2(x －1)＞0.令F(x)＝(x ＋1)lnx －2(x －1)，∴ F ′(x)＝lnx ＋x ＋1x －2＝lnx ＋1x －1.由(1)知，当a ＝1时，f min (x)＝f(1)＝0， ∴ f(x)≥f(1)＝0，∴ lnx ＋1x－1≥0.∴ F ′(x)≥0，∴ F(x)在(1,2)上单调递增，∴ F(x)＞F(1)＝0， ∴ (x ＋1)lnx －2(x －1)＞0，∴ 1lnx －1x －1＜12(1＜x ＜2)． 高考回顾1. 解：f(x)＝asinxcosx －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f(0)得－32·a 2＋12＝－1，解得：a ＝2 3. 因此f(x)＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f(x)为增函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f(x)为减函数． 所以f(x)在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又因为f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 所以f(x)在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.2. 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1) S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2) V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x(20－x)． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装装盒的高与底面边长的比值为12.3. 解：对f(x)求导得f ′(x)＝e x (1＋ax 2－2ax )(1＋ax 2)2.①(1) 当a ＝43，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2) 若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号，结合①与条件a>0，知ax 2－2ax＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.4. 解：(1) 由已知a n ＋1＝rS n 可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减可得a n ＋2－a n ＋1＝r(S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1. 又a 2＝ra 1＝ra ，所以r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…； 当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，∴ a n ≠0(n ∈N *)．于是由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得a n ＋2a n ＋1＝r ＋1(n ∈N *)，a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，∴ 当n ≥2时，a n ＝r(r ＋1)n －2a.综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，r (r ＋1)n －2a ，n ≥2，n ∈N *. (2) 对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．证明如下：当r ＝0时，由(1)知，a m ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(m ＝1)0，(m ≥2，m ∈N *)∴ 对于任意的m ∈N *且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，当r ≠0，r ≠1时，∵ S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1，若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，则S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ， ∴ 2S k ＋2a k ＋1＋a k ＋2＝2S k ，即a k ＋2＝－2a k ＋1. 由(1)知，a 2，a 3，…，a n ，…的公比r ＋1＝－2，于是对于任意的m ∈N *且m ≥2，a m ＋1＝－2a m ，从而a m ＋2＝4a m ，∴ a m＋1＋a m＋2＝2a m，即a m＋1，a m，a m＋2成等差数列，综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．。
2012年高考数学试题及答案
2012年高考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项为1, 3, 5，求该数列的公差d。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标。
A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A4. 已知直线方程为y = 2x + 1，求该直线与x轴的交点坐标。
A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B5. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。
A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. 3 + 4iD. -3 - 4i答案：A6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。
A. 3x^2 - 12x + 11B. 3x^2 - 12x + 10C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 10答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a与b的点积。
A. 11B. 14C. 10D. 12答案：B8. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 4}D. {1, 3, 4}答案：B9. 已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x)D. -cos(x)答案：A10. 已知等比数列{a_n}的前三项为2, 4, 8，求该数列的公比q。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。
2012年全国高考(新课标-)文科数学试卷及参考答案-2
2012年普通高等学校招生全国统一考试 （新课标文科数学试卷及参考答案）第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（ ）（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ 2.复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是 （ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）14.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455.已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值是（ ）（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（ ） （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）188.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （ ）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π9.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x 条相邻的对称轴，则φ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π410.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（ ）（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）811.当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是 （ ）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（ ） （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 第Ⅱ卷二．填空题13.曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15.已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=16.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____三、解答题17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c 18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。
2012年高考新课标全国卷文科数学试题(附答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --（3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）−1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、 右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45（5）已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则 （A ）A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和 （B ）2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数（D ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数 （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π （9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2012年高考试题：文科数学(全国卷)含答案及解析
【考点】对数函数
【难度】中等
【点评】本题考查对数函数的相关性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第四章《初等函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对指数函数、对数函数相关知识的总结讲解。
（12）正方形 的边长为1，点 在边AB上，点 在边 上， ，动点 从 出发沿直线向 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p第一次碰到E时，p与正方形的边碰撞的次数为（ ）.
面授课程
·1对1个性化辅导
·小升初：中小学教育网学习中心
2012年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）.
(A)240种(B)360种(C)480种(D)720种
【考点】排列
【难度】中等
【点评】本题考查排列的定义及计算方法。在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中对概率、排列、组合相关知识的总结讲解。
【考点】三角函数与偶函数的结合
【难度】中等
【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对三角函数及向量相关知识的总结讲解。
【新课标】备战高考数学专题复习测试题——向量(文科)
高考第一轮复习专题素质测试题向 量（文科）班别______学号______姓名_______评价______ （考试时间120分钟，满分150分，试题设计：隆光诚）一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1.（07全国Ⅰ）已知向量)5,6(),6,5(=-=b a ，则a 与b（ ）Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向2．（10湖南）若非零向量、满足||||=，0)2(=⋅+，则与的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150°3. （09湖北） 若向量)2,4(),1,1(),1,1(=-==b a，则=（ ）A. b a +3B. b a -3C. b a 3+-D. b a 3+4．（05北京）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.30°B.60°C.120°D.150°5．（06湖南）已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b ；2t t =时，b a ⊥，则( )A ．1,421-=-=t t B. 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D. 1,421==t t 6.（06广东）如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA +7.（08重庆）若点P 分有向线段AB 所成的比为31-，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ ）A ．23-B ．21-C.12D. 38．（08辽宁）将函数21xy =+的图象按向量平移得到函数12x y +=的图象，则（ ） A ．)1,1(--=B ．)1,1(-=C ．)1,1(=D ．)1,1(-=9.（09全国Ⅱ） 已知向量25||,10),1,2(=+=⋅=b a，则=||（ ）ACBC.5D.2510．（07福建）对于向量..a b c和实数λ，下列命题中真命题是（ ）A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =B ．若0a λ= ，则0λ=或0a =C ．若22a b = ，则a b = 或a b =- D ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =11.（10全国Ⅱ）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若=====CD 则,2||,1||,,（ ）A.3231+ B. 3132+ C. 5453+ D. b a 5354+ 12.（08山东）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)sin ,(cos ),1,3(A A n m =-=→→若→→⊥n m ，且a cos B + b cos A = c sin C ，则角A ，B 的大小分别为（ ） A ．,63ππB.2,36ππC.,36ππD.,33ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．（05福建）在△ABC 中，∠A=90°，k k 则),3,2(),1,(==的值是 .14．（06天津）设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-，，则c o s θ= ．15．（08全国Ⅱ）设向量)3,2(),2,1(==→→b a ，若向量→→+b a λ与向量)7,4(--=→c 共线，则=λ ．16．（10江西）已知向量a ，b 满足||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投影是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分，08福建17）已知向量(sin ,cos ),(1,2),m A A n ==- 且0m n ⋅= .（1）求tan A 的值； （2）求函数()cos 2tan sin ()f x x A x x R =+∈的值域.18．（本题满分12分，09湖南16） 已知向量)2,1(),sin 2cos ,(sin =-=→→b a θθθ. （Ⅰ）若→a //→b ，求tan θ的值； （Ⅱ）若||||→→=b a ，0＜θ＜π，求θ的值.19.（本题满分12分，06湖北16）设向量)cos ,(cos ),cos ,(sin x x b x x a ==→→，x ∈R ，函数)()(→→→+⋅=b a a x f .（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式)(x f ≥23成立的x 的取值集合.20．（本题满分12分，07山东17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，．（Ⅰ）求cos C ； （Ⅱ）若52CB CA = ，且9a b +=，求c ．21.（本题满分12分，10安徽16）△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，cosA=1213. （Ⅰ）求AB AC ⋅； （Ⅱ）若1=-b c ，求a 的值.22．（本题满分12分，05湖北17）已知向量ba x f t xb x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.参考答案：一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CBCCAAACBBC二、填空题 13．23-. 14．10103． 15． 2 ． 16． 1 .三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意得sin 2cos 0m n A A ⋅=-=,因为0cos ≠A ，所以2tan =A . （Ⅱ）由（Ⅰ）知2tan =A 得.23)21(sin 2sin 2sin 21sin 22cos )(22+--=+-=+=x x x x x x f,sin [1,1]x R x ∈∴∈- .当1sin 2x =，()f x 有最大值32；当sin 1x =-，()f x 有最小值3-. 所以所求函数()f x 的值域为3[3,]2-.18． 解：（Ⅰ） 因为→a //→b ，所以2sin 2cos 1sin θθθ-=，即2sin cos 2sin θθθ=-， 于是 θθcos sin 4=，故tan θ=14.（Ⅱ）由 ||||→→=b a 知，2sin θ+（cos θ-2sin θ2)=5，所以1-2sin2θ + 42sin θ=5.从而522cos 142sin 21=-⨯+-θθ，即12c o s 2si n -=+θθ，于是22)42sin(-=+πθ. 又由0<θ<π知，4π< 2θ+4π<94π，所以2θ+4π=54π，或2θ+4π=74π. 因此θ=2π，或θ=34π..23)42sin(2223)2cos 222sin 22(2222cos 12sin 211cos cos sin cos sin )()(1.192222++=++=+++=+++=⋅+=+⋅=→→→→→→πx x x xx x x x x x b a a b a a x f ）解：（因为x ∈R ，所以函数)(x f 的最大值为232+，最小正周期为πωπ==2T . （Ⅱ）0)42sin(2323)42sin(22)(≥+≥++=ππx x x f 得由， .,2422Z k k x k ∈+≤+≤ππππ所以 解得.,838Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ因此使不等式)(x f ≥23成立的x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,838ππππ. 20．解：（Ⅰ）73tan =C ＞0，C ∴是锐角．.81tan 11cos 2=+=∴C C（Ⅱ）25=⋅ ， 5cos 2ab C ∴=.从而.20=ab由余弦定理得,3649)(41cos 2222222=-+=-+=-+=ab b a ab b a B ab b a c6c ∴=．21.解：（Ⅰ）由1312cos =A ，得135cos 1sin 2=-=A A . 又.156,3013521sin 21=∴=⋅==∆bc bc A bc S所以.1441312156cos =⨯==⋅∴A bc（Ⅱ）由余弦定理知：.251312156215621cos 22)(cos 22222=⨯⨯-⨯+=-+-=-+=A bc bc b c A bc c b a .5=∴a22．解法1：依定义)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若3=x )x,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间)1,1(-上恒成立⇔.5),1()(m ax ≥-=≥t g x g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在3=x )('x。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷含答案(文科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=-的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.14.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C. D.5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A. B.4 C.4 D.69.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A. B. C. D.10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.811.当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是( )A.,B.,C.(1,D.(,2)12.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .16.设函数f(x)=()的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是,(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.=-=-1+i,=-1-i,故选D.2.D z=-=(-)(-)()(-)评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z min=1-;当过点B(1,3)时,z max=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C. 评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|==.∴球的体积V=πR3=4π.故选B.评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.9.A 由题意得=2-,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2).∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图,则只需满足log a>2,解得a>,故选B.评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=()=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-2解析由S 3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3解析把|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=asin C-c·cos A及正弦定理得·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin-=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.当日需求量n<17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=-,,,(n∈N).(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.19.解析(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4所以|BD|·d=4即·2p·p=4解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,||||=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<-+x(x>0).①令g(x)=-+x,则g'(x)=--(-)+1=(--)(-).由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A ,,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-,, ,,-,.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。
2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x ｜x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形｝,C ＝｛x ｜x 是正方形｝，D ＝{x ｜x 是菱形｝，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为（ ） A ．y ＝x 2－1（x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1） C ．y ＝x 2＋1（x ≥0） D ．y ＝x 2＋1（x ≥1） 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝( ） A ．π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π34．已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin2α＝（ ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n ｝的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝（ ）A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（ ）A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB ＝a，CA＝b，a·b＝0，|a｜＝1，|b｜＝2，则AD＝（）A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1|＝2|PF2｜，则cos∠F1PF2＝(）A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上,点F在边BC上,AE＝BF＝1 3 .动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π）取得最大值时，x＝__________。