人教版初中数学九年级上册 22.2 二次函数与一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思人教版

合集下载

人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)

人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)
2.通过分析二次函数图像,提升直观想象和数据分析的能力。
3.掌握一元二次方程的多种解法,培养问题解决和数学运算的能力。
4.将二次函数和一元二次方程应用于实际问题,增强数学建模和数学应用的意识。
5.在小组讨论和问题解决过程中,培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系:理解二次函数图像与一元二次方程解的关系,掌握二次函数标准形式及其图像特征。
-举例:求解x²-5x+6=0,展示不同解法并比较各自优劣。
-实际问题中的应用:学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型,解决最值、交点等问题。
-举例:抛物线与直线的交点问题在实际情境中的应用,如物体抛掷的最高点问题。
2.教学难点
-图像与方程关系的理解:学生往往难以将二次函数图像与一元二次方程的解直观地联系起来。
在实践活动中,学生们的分组讨论进行得相当积极。他们能够将所学的理论知识应用到解决实际问题中去,这让我感到很欣慰。然而,我也观察到,在将实际问题抽象为数学模型的过程中,一些学生仍然感到困难。这告诉我,需要在后续的教学中加强对数学建模能力的培养。
在小组讨论环节,我尝试扮演了一个引导者和启发者的角色,鼓励学生们提出自己的观点和问题。我注意到,当他们被鼓励去探索和发现时,他们的思考变得更加深入。不过,我也发现时间管理上存在一些问题,有时候讨论可能会拖沓,影响到了课堂的整体进度。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节,这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。

二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容,也是高考的必考内容。

本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。

通过本节内容的学习,使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质,能够运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。

但是,对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。

因此,在教学过程中,需要通过具体的例子和实际问题,引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。

三. 说教学目标1.知识与技能:理解二次函数的定义和性质,掌握一元二次方程的解法,能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法:通过观察、实验、探究等方法,培养学生的动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点:二次函数的定义和性质,一元二次方程的解法。

2.教学难点:二次函数和一元二次方程的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段:利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入:通过一个实际问题,引入二次函数和一元二次方程的概念。

2.讲解:讲解二次函数的定义和性质,演示一元二次方程的解法。

3.实践:让学生动手操作,进行实验和探究,加深对二次函数和一元二次方程的理解。

4.应用:通过解决实际问题,运用二次函数和一元二次方程的知识。

5.总结:对本节内容进行总结,强化学生的记忆。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了,能够突出二次函数和一元二次方程的概念和性质。

人教版九年级上册数学课件:二次函数与一元二次方程

人教版九年级上册数学课件:二次函数与一元二次方程

x
人教版九年级上册数学课件:二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件:二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20,那50-20t2= 20 ,
如果h=0,那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值,那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件:二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件:二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件:二次函 数与一 元二次 方程
呢?
∴当球飞行2s时,它的高度为4m。 (3)解方程4.1=4t-t2 即: t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解,
从上面我们看出, 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=?实 次4就 方(t –是程4t)∴2把的t中球1解=函解的,0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常,即到数:求4.,1t时2m-求4间。t=一t0,元
人教版九年级上册数学课件:二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图,
根据图像解答下列问题:
(1)写出方程 ax2bxc0的两个根;

222二次函数与一元二次方程说课稿

222二次函数与一元二次方程说课稿

《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续.又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次”的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点:从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系;掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点:灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题;利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能:掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考:运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题:经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,认识到事物的互相联系与转化.情感态度:让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的:1、能理解二次函数的性质、图象,有一定看图识图能力,并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的:1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法,观察发现法和探讨法为主,多媒体演示为辅的教学方法进行教学.以学生活动为主线,引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点,在学习活动中,尽量让每一位学生积极参与,最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程(一)复习引入活动1:问题1:一次函数与一元一次方程有怎样的联系?师生活动:老师引导,学生回答,最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2:类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系?师生活动:老师展示问题,学生回答.得出当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时,则得到了一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的常量0变为变量y,则得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).设计的意图:在学生已有的数学基础上,采用类比的学习方法,探索新知.(二)探究新知活动2:问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h= 20t-5t2问:(1)小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5 m?(4)小球从飞出到落地要用多少时间?师生活动:第(1)问师生共同分析,先用代数的方法解答,然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第(2)问由学生分析并展示过程,同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m?接着老师又引导学生从二次函数的性质(即二次函数的最大值)来说明为什么只有一个时间?剩下的学生独立完成,学生代表分析并展示过程.设计的意图:让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3:小组合作问题:根据刚才例题的讲解,类比一次函数与一元一次方程的联系,现在以小组为单位对二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论,并请代表展示结果.二次函数的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程根的关系:(1)“数”:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根;(2)“形”:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.设计的意图:通过学生合作交流,得出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,同时培养学生合作学习的能力.活动4:观察发现(1)观察二次函数①y=x2+x-2,②y=x2-6x+9,③y=x2-x+1的图象,回答下列问题:函数与x轴的交点的个数是:①个②个③个.函数与x轴交点的横坐标为:①②③ .(2)已知一元二次方程①x2+x-2=0,②x2-6x+9=0,③x2-x+1=0,则一元二次方程根的情况:①Δ 0,有根②Δ 0,有根,③Δ 0,有根.一元二次方程的解是:①,② ,③ .思考:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况有怎样的联系?师生活动:老师展示问题,学生观察填空.通过观察(1)与(2)的结果,对思考问题进行合作讨论.设计意图:通过学生讨论、观察,得出判别式和二次函数与x轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.(三)归纳新知二次函数与一元二次方程的关系:师生活动:通过以上环节的探究,教师指导学生思考归纳,并展示结果。

222二次函数与一元二次方程(教学设计)九年级数学上册(人教版)

222二次函数与一元二次方程(教学设计)九年级数学上册(人教版)

22.2 二次函数与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册(以下统称“教材”)第二十二章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程,内容包括:二次函数与一元二次方程的联系.2.内容解析解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0,求自变量的值.从图象上看,如果二次函数的图象与x轴有公共点,当自变量取公共点的横坐标时,函数的值为0.由此可求出相应的一元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时,相应的一元二次方程有两个不等的实数根;当二次函数的图象与x轴有一个公共点时,相应的一元二次方程有两个相等的实数根;当二次函数的图象与x 轴没有公共点时,相应的一元二次方程没有实数根.通过探究二次函数与一元二次方程的联系,进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。

基于以上分析,确定本节课的教学重点:二次函数与一元二次方程的联系.二、目标和目标解析1.目标1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系,能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

2)通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中,体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。

2.目标解析达成目标1)的标志是:学生能够利用二次函数的图象,通过观察与x轴交点的横坐标,确定一元二次方程的近似解.达成目标2)的标志是:在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中,理解二次函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系.三、教学问题诊断分析探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致,但二次函数与x 轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时,公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.基于以上分析,本节课的教学难点是:用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系.四、教学过程设计(一)探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系:h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间?[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间?[问题三]结合图形,你知道为什么在问题一中有两个点符合题意,而在问题二中只有一个点符合题意?[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间?[问题五]球从飞出到落地要用多少时间?[问题六]结合此问题,你发现二次函数与一元二次方程的联系.师生活动:教师提出问题,学生积极回答问题。

《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿

《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿

22.2 二次函数与一元二次方程》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22 章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续. 又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次” 的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点:从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系;掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点:灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题;利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能:掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考:运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题:经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,认识到事物的互相联系与转化.情感态度:让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的:1、能理解二次函数的性质、图象,有一定看图识图能力,并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的:1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法,观察发现法和探讨法为主,多媒体演示为辅的教学方法进行教学. 以学生活动为主线,引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点,在学习活动中,尽量让每一位学生积极参与,最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程(一)复习引入活动1:问题1:一次函数与一元一次方程有怎样的联系?师生活动:老师引导,学生回答,最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2:类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系?师生活动:老师展示问题,学生回答.得出当二次函数y=aX+bx+c(a工的函数值y=0时,则得到了一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a工;0若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)中的常量0变为变量y,则得到二次函数y=ax2+bx+c(a工.0)设计的意图:在学生已有的数学基础上,采用类比的学习方法,探索新知.(二)探究新知活动2:4问题:如图,以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)飞行时间t(单位:s)2之间具有函数关系:h= 20t-5t 2问:(1)小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5 m ?4 小球从飞出到落地要用多少时间?师生活动:第(1)问师生共同分析,先用代数的方法解答,然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析. 第(2)问由学生分析并展示过程,同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m?接着老师又引导学生从二次函数的性质(即二次函数的最大值)来说明为什么只有一个时间?剩下的学生独立完成,学生代表分析并展示过程.设计的意图:让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3:小组合作问题:根据刚才例题的讲解,类比一次函数与一元一次方程的联系,现在以小组为单 位对二次函数与 x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论,并请代表展示 结果•二次函数的图象与 x 轴交点横坐标与一元二次方程根的关系:(1)"数”:二次函数y=ax 2+bx+c ( 0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方 程 ax 2+bx+c=0 (0)的根;(2) "形”:二次函数 y=ax 2+bx+c ( a * 0)的图象与 x 轴交点的横坐标.即为一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a丰 0)的根.设计的意图:通过学生合作交流, 得出二次函数y=ax 2+bx+c(a 丰0)的图象和x 轴交点的 横坐标与一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的根的关系,同时培养学生合作学习的能力•活动4:观察发现(1 )观察二次函数①y=x 2+x-2,②y=x 2-6x+9,③y=x 2-x+1的图象,回答下列问题: 函数与x 轴的交点的个数是:① ______________ 个② _________ 个③ _________ 个• 函数与x 轴交点的横坐标为:① _________________② ____________ ③x 2+x-2=0,② X 2-6X +9=0,③ x 2-x+1=0,则元二次方程根的情况: ①厶_0,有_根 ②' _0,有_根,③△ _0,有 _______________________ 根. 一元二次方程的解是:① ___________ ,②, ③ •思考:二次函数y=a/+bx+c(a 工与)x 轴交点情况与一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 却的根的情况有怎样的联系?师生活动: 老师展示问题,学生观察填空•通过观察(1)与(2)的结果,对思考问题进行合作讨论设计意图:通过学生讨论、观察,得出判别式和二次函数与 系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法 •(三) 归纳新知(2)已知一元二次方程①x 轴交点个数的情况的关 -2 -1^*11 2 X-2设计意图:培养学生语言表述能力,及用表格法归纳知识的能力。

2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数与一元二次方程

2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案  二次函数与一元二次方程

22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标【知识与技能】了解二次函数与一元二次方程之间的联系,掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别,了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系,体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度与价值观】进一步增强学生的数形结合思想方法,增强学生的综合解题能力.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程(一)导入新课出示课件2:以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m )与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.(1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?(3)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)小球从飞出到落地要用多少时间?(二)探索新知探究一二次函数与一元二次方程的关系出示课件5:⑴小球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间?学生板演:解:15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.教师问:你能结合图形,指出为什么在两个时间求的高度为15m吗?学生独立思考.出示课件6:(2)球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间?学生板演:解:20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.故当球飞行2秒时,它的高度为20米.教师问:你能结合图形,指出为什么只在一个时间球的高度为20m?学生独立思考.出示课件7:(3)球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间?学生板演:解:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.教师问:你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?学生独立思考.出示课件8:(4)球从飞出到落地要用多少时间?学生板演:解:小球飞出时和落地时的高度均为0m,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.即0秒时球地面飞出,4秒时球落回地面.教师问:从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?(出示课件9)学生答:一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程.教师举例说明:二次函数与一元二次方程关系.(出示课件10)例如,已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来,解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3 的值为0,求自变量x的值.出示课件12:例已知二次函数:y=2x2-3x-4的函数值为1,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程.反之,解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数的函数值为0时自变量x的值.学生答:2x2-3x-4=1;y=2x2-3x-5解之得:x1=-1,x2=2.5出示课件13:练一练:1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y= ;当y=0时,x= .2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.学生自主思考后口答:1.0;1或22.(0,-1);(0.5,0)和(-0.5,0)探究二:利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况教师问:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(出示课件14)(1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1.学生自主思考后,教师加以指导:先画出函数图象---图象与x轴交点横坐标是多少--对应一元二次方程的根是多少.(出示课件15)教师问:由上述问题,你可以得到什么结论呢?(出示课件16)学生思考后,师生共同总结:方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.出示课件19:观察图象,完成下表:生观察后,独立完成表格.答案:0个;无;x2-x+1=0无解1个;3;x2-6x+9=0,x1=x2=32个;-2,1;x2+x-2=0,x1=-2,x2=1师生共同总结:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系(出示课件20)出示课件21:例1 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求证:此抛物线与x轴总有交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.师生共同解决如下:解:(1)证明:∵m≠0,∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有两个交点;(2)令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2.当mm为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.出示课件22:已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是.学生自主解决.221=0kx x +-函数与轴有两个交点,即有两个不相等的实数根x20024(101)00.k k k k k ∴∆>≠-⨯->≠>-≠且,即且则且,出示课件23-26:例2 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线268-10105x y x =++运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度.(1)当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是多少? (2)铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少? (3)铅球离地面的高度能否达到3m ?为什么?学生自主思考后,师生共同解决.解:⑴由抛物线的表达式得2682.1-,10105x x =++即2650.x x -+= 解得12=1=5.x x ,即当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是1m 或5m.⑵由抛物线的表达式得2682.5-,10105x x =++即2690x x -+=. 解得x 1=x 2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m 时,它离初始位置的水平距离是3m.⑶由抛物线的表达式得2683-,10105x x =++即26140.x x -+=因为2=-6-41140∆⨯⨯<(),所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.出示课件28:如图设水管AB 的高出地面2.5m,在B 处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数y=-0.5x 2+2x+2.5描述,在所示的直角坐标系中,求水流的落地点D 到A 的距离是多少?教师分析:根据图象可知,水流的落地点D 的纵坐标为0,横坐标即为落地点D 到A 的距离.即y=0 .学生独立解答:根据题意得 -0.5x 2+2x+2.5=0, 解得x 1=5,x 2=-1(不合题意舍去). 答:水流的落地点D 到A 的距离是5m. 探究三:利用二次函数求一元二次方程的近似解出示课件29:求一元二次方程的根的近似值(精确到0.1).教师分析:一元二次方程x ²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x ²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x 轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.师生共同解答.0122=--x x出示课件30,31:解:画出函数y=x²-2x-1 的图象(如下图),由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.教师总结归纳:一元二次方程的图象解法(出示课件32)利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象;(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.出示课件33:根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26学生口答:C(三)课堂练习(出示课件34-41)1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确是()A.abc>0 B.2a+b<0C.3a+c<0 D.ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c =0的近似根为( )A.x1≈-2.1,x2≈0.1 B.x1≈-2.5,x2≈0.5C.x1≈-2.9,x2≈0.9 D.x1≈-3,x2≈13.若二次函数y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示,且关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的一个解x 1=3,则另一个解x 2= .4.一元二次方程3x 2+x -10=0的两个根是x 1=-2,x 2=53,那么二次函数 y= 3x 2+x -10与x 轴的交点坐标是 .5.若一元二次方程20x mx n -+=无实根,则抛物线2y x mx n =-+图象位于( )A.x 轴上方B.第一、二、三象限C.x 轴下方D.第二、三、四象限6.二次函数y =kx 2-6x +3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A .k<3B .k<3且k ≠0C .k ≤3D .k ≤3且k ≠07.已知函数y =(k -3)x ²+2x +1的图象与x 轴有交点,求k 的取值范围.8.某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面209米,与篮框中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮框距地面3米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功?参考答案:1.C2.B3.-14.(-2,0)(5,0)35.A6.D7.解:当k=3时,函数y=2x+1是一次函数.∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点,∴k=3;当k≠3时,y=(k-3)x2+2x+1是二次函数.∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac≥0. ∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16,∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述,k的取值范围是k≤4.8.解:(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0,20),B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点.9(x 设二次函数关系式为y=a(x﹣h)2+k,将点A、B的坐标代入,可得y=﹣19﹣4)2+4.(7﹣4)2+4=3,左边=右边,即点将点C的坐标代入上式,得左边=3,右边=﹣19C在抛物线上.所以此球一定能投中.⑵将x=1代入函数关系式,得y=3.因为3.1>3,所以盖帽能获得成功.(四)课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联?你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗?你是怎样做的?2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗?从中你有哪些体会?(五)课前预习预习下节课(22.3第1课时)的相关内容.七、课后作业1.教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路,然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外,通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法,重在让学生自主体会.。

人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》

人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》

人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《二次函数与一元二次方程》是本册教材的重要内容,主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。

通过本节课的学习,学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法,从而更好地解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数和方程的基础知识,对于函数的概念、图像和性质有一定的了解。

但是,对于二次函数与一元二次方程之间的联系,以及如何运用二次函数的性质解决实际问题,学生可能还存在一定的困难。

因此,在教学过程中,需要注重引导学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系,并通过实例演示如何运用二次函数解决实际问题。

三. 教学目标1.理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。

2.学会运用二次函数的性质解决实际问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。

2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生通过探索、发现、总结二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.运用多媒体课件辅助教学,直观展示二次函数的图像和一元二次方程的解法,帮助学生更好地理解知识点。

3.结合实际例子,让学生亲自动手操作,运用二次函数解决实际问题。

4.采用小组讨论、合作交流的方式,培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。

2.准备一些实际问题,用于让学生运用二次函数解决。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。

例如,假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动,已知初速度为0,加速度为2m/s²,求物体运动5秒后的位移。

2.呈现(10分钟)呈现二次函数y=ax²+bx+c的图像,同时呈现相应的一元二次方程ax²+bx+c=0的解法。

人教版九年级数学上22.2《二次函数与一元二次方程》参考教案

人教版九年级数学上22.2《二次函数与一元二次方程》参考教案

22.2 二次函数与一元二次方程教学任务分析教学目标知识技能了解一元二次方程的根的几何意义,掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根.数学思考建立一元二次方程与二次函数的关系,通过图象,体会数与形的完美结合.解决问题1.通过实际问题,体会一元二次方程解的实际意义,发展数学思维.2.求解过程中,学会合作、交流.情感态度1.通过对小球飞行问题的分析,感受数学的应用,激发学生学习热情.2.在求解过程中,体会解决问题的方法,培养学生的合作交流意识和探索精神.重点利用二次函数图象解一元二次方程难点将方程转化为二次函数教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 问题引入活动2方程与函数活动3巩固、应用活动4小结、布置作业通过对小球飞行问题的求解,激发学生对一元二次方程根的探索兴趣.观察、分析二次函数的图象,判断一元二次方程根的情况,发展学生分析问题的能力.通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况,激发探索精神.回顾、反思、交流.布置课后作业,巩固、发展提高.教学过程设计问题与情境师生行为[活动1]问题:如图,以40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单出示问题,学生分析理解.注意学生对高度、时间的理解.分析:(1)h是t的二次函数;位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系:2520t t h -=.(1)球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间?(4)球从飞出到落地要用多少时间?图22.2-1242010515O图22.2-1-1[活动2]问题:下列二次函数的图象与x 轴有没有公共点?若有,求出公共点的横坐标;当x 取公共点的横坐标时,函数的值是多少?参见教材图26.2-2.(2)当h 取具体值时,得到关于t 的一元二次方程;(3)如何求解一元二次方程的根呢? (4)如何理解一元二次方程与二次函数的关系?在本次活动中,教师应关注:(1)学生对问题从函数到方程的转换; (2)学生对根的理解;(3)方程的解与函数中自变量的关系. 解方程: 略.在本次活动中,教师应关注: (1)一元二次方程的解法; (2)函数图象的应用; (3)方程与函数的联系.教师展示问题,学生讨论合作完成: 分析:(1) 如何作出函数的图象; (2) 利用图象确定函数的值; (3) 由函数图象,能得出相应的 一元二次方程的根吗?图象法求解:(1)函数图象与x 轴的公共点的横坐标是-2,1,此时的函数值是0;(2)函数图象与x 轴的公共点的横坐1)3(96)2(2)1(222+-=+-=-+=x x y x x y x x y yx[活动3] 例:利用函数图象求方程的实数根(精确到0.1)图22.2-3练习:校运会上,某运动员掷铅球,铅球的飞行高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式为7.122.02++-=x x y ,则此运动员的成绩是多少?标是3,此时的函数值为0;(3)函数图象与x 轴没有公共点. (注:此题的上述解法也可以脱离图象,理解为代数法求解.)教师提出问题,学生在独立思考完成. 解:作 的图象(如下图),它与x 轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7,所以方程 的实数根为 .在本次活动中,教师应关注: (1)与方程对应的二次函数; (2)由图象求得的根,因为存在误差,一般是近似的;(3)学生对二次函数图象的应用.分析:(1)在投掷的过程中,铅球的初始高度是多少? (2)如何建立直角坐标系? (3)如何计算成绩?本次活动中,教师应关注: (1)直角坐标系的建立; (2) 计算成绩.xy1O0222=--x x 7.2,7.021≈-≈x x 222--=x x y 0222=--x x[活动4]小结作业:师生共同总结:(1)利用二次函数的图象求一元二次方程的根.(数形结合)(2)由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般都是近似的.课后习题.。

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.2.1节《二次函数与一元二次方程》是整个初中数学的重要内容,也是难点内容。

本节主要介绍二次函数的性质,以及如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根。

教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系,培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数和方程的基础知识,具备一定的逻辑思维能力和探究能力。

但是对于二次函数与一元二次方程之间的联系,还需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。

学生在学习过程中可能对一些概念和性质的理解存在困难,需要教师耐心引导和讲解。

三. 教学目标1.理解二次函数的性质,掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.能够从二次函数图像上找到一元二次方程的根。

3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.二次函数的性质和图像。

2.二次函数与一元二次方程之间的关系。

3.如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.利用多媒体课件和实物模型,直观展示二次函数的图像和性质。

3.采用小组合作学习的方式,让学生在讨论和操作中掌握知识。

六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。

2.练习题和答案。

3.小组合作学习的指导方案。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体课件展示二次函数的图像,引导学生观察和描述二次函数的性质。

2.呈现(10分钟)提出问题:二次函数与一元二次方程之间有什么关系?如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根?3.操练(10分钟)让学生分组操作,利用实物模型和多媒体课件进行探究,尝试解答问题。

4.巩固(10分钟)教师引导学生总结二次函数的性质和一元二次方程的解法,加深学生对知识的理解。

5.拓展(10分钟)出示一些有关二次函数与一元二次方程的应用题,让学生小组合作解决问题,提高学生的应用能力。

人教版九年级数学上册教案-22.2 二次函数与一元二次方程4带教学反思

人教版九年级数学上册教案-22.2  二次函数与一元二次方程4带教学反思

22.2 二次函数与一元二次方程(2)教学目标:1.知识与能力:复习巩固用函数y =ax 2+bx +c 的图象求方程ax 2+bx +c =0的解.2.方法与过程:让学生体验函数y =x 2和y =bx +c 的交点的横坐标是方程x 2=bx +c 的解的探索过程,掌握用函数y =x 2和y =bx +c 图象交点的方法求方程ax 2=bx +c 的解.3.情感、态度与价值观:提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想.教学重点;用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点. 教学难点:提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点.教学方法:学生学法教学过程:一、复习巩固1.如何运用函数y =ax 2+bx +c 的图象求方程ax 2+bx +c 的解?2.完成以下两道题:(1)画出函数y =x 2+x -1的图象,求方程x 2+x -1=0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y =2x 2-3x -2的图象,求方程2x 2-3x -2=0的解.二、探索问题已知抛物线y 1=2x 2-8x +k +8和直线y 2=mx +1相交于点P(3,4m).(1)求这两个函数的关系式; (2)当x 取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标.解:(1)因为点P(3,4m)在直线y 2=mx +1上,所以有4m =3m +1,解得m =1 所以y 1=x +1,P(3,4). 因为点P(3,4)在抛物线y 1=2x 2-8x +k +8上,所以有 4=18-24+k +8 解得 k =2 所以y 1=2x 2-8x +10(2)依题意,得⎩⎨⎧y =x +1y =2x 2-8x +10 解这个方程组,得⎩⎨⎧x 1=3y 1=4 ,⎩⎨⎧x 2=1.5y2=2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5).五、小结: 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业:~。

人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程

人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程

2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,

人教版九年级上册数学二次函数与一元二次方程、不等式

人教版九年级上册数学二次函数与一元二次方程、不等式
平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y =a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下 平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y =a(x-h)2+k-m.
(2)左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左 平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y =a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右 平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y =a(x-h-n)2+k.
将(-6,0)代入,得
1 0=2(
-6+3)2+h,解得h=-29,
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程、不等式
x1<x<x2
无解
无解
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程、不等式
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y =a(x-h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y= a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体 平移方法如图15-1:
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴
的交点个数
判别式Δ=b2- 4ac
的符号
方程ax2+bx+c =0有实根 的个数
2个 1个 没有
Δ>0 Δ=0 Δ<0
两个_不__相__等___实根 两个_相__等_____实根
__没__有____实根
考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象特征与a、b、c及判别式b2-4ac的符号之间 的关系
项目 字母
a
b
字母的符号
a>0 a<0 b=0
ab>0(b与a同号)

九年级数学人教版第二十二章二次函数22.2用函数观点看一元二次方程(同步课本知识图文结合例题详解)

九年级数学人教版第二十二章二次函数22.2用函数观点看一元二次方程(同步课本知识图文结合例题详解)

多少飞行时间?
20.5 h
(3)解方程 20.5=20t+5t2
O
t
t24t+4.1=0 因为(4)244.1<0,所以方程无解。 球的飞行高度达不到20.5米
你能结合图形指 出为什么球不能 达到20.5m的高 度?
九年级数学第22章二次函数
(4)球从飞出到落地要用多少时间? h
O
t
九年级数学第22章二次函数
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二 次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0,x2=5 .金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k
y
的部分图象如图所示,且关于x的一元二
次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一 O 1 3 x 个解x2= -1 ;
九年级数学第22章二次函数
4.(绥化中考)抛物线
y x2 4x m 2
与x轴的一个交点的坐标为(l,0), 则此抛物线与x轴
的另一个交点的坐标是 (3,0) .
九年级数学第22章二次函数
5. (济宁中考)已知二次函数y=ax2+bx+c中,其函数y与自 变量x之间的部分对应值如下表所示: 点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上, 则当1<x1<2,3<x2<4时,y1 与y2的大小关系正确的是( ) A.y1 >y2 B. y1 < y2 C. y1 ≥y2 D.y1 ≤ y2
没有交点
有两个不相 等的实数根
有两个相等 的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

最新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》精品教案

最新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》精品教案

22.2 二次函数与一元二次方程1.通过探索,理解二次函数与一元二次方程之间的联系.2.能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集.3.根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围.一、情境导入如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+bx+c=0的解集吗?不等式ax2+bx+c<0的解集呢?二、合作探究探究点一:二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是( )A.y=x2+2x-3 B.y=x2+2x+3C.y=x2-2x+3 D.y=x2-2x+1解析:选项A中b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,选项B中b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,选项C中b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,选项D中b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点,故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为________.解析:∵点(1,0)与(3,0)是一对对称点,其对称中心是(2,0),∴对称轴的方程是x =2.方法总结:解答二次函数问题,若能利用抛物线的对称性,则可以简化计算过程.【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围若函数y=mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为( )A.0 B.0或2C.2或-2 D.0,2或-2解析:若m≠0,二次函数与x轴只有一个交点,则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解;若m=0,原函数是一次函数,图象与x轴也有一个交点.由(m+2)2-4m(12m+1)=0,解得m=2或-2,当m=0时原函数是一次函数,图象与x轴有一个交点,所以当m=0,2或-2时,图象与x轴只有一个交点.方法总结:二次函数y=ax2+bx+c,当b2-4ac>0时,图象与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图象与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图象与x轴没有交点.【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4解析:∵二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于(-1,0)和(4,0),即当x=-1或4时,x2+ax+b=0,∴关于x的方程x2+ax+b=0的解为x1=-1,x2=4,故选D.方法总结:本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解.探究点二:二次函数y=ax2+bx+c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是( )A.x<2B.x>-3C.-3<x<1D.x<-3或x>1解析:观察图象,可知当-3<x<1时,抛物线在x轴上方,此时y>0,即ax2+bx+c >0,∴关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是-3<x<1.故选C.方法总结:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;在x轴下方部分的点的纵坐标均为负,所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是( )A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3解析:根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)且其对称轴为x=1,则抛物线与x轴的另一个交点为(3,0).当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,x<-1或x>3.故选D.方法总结:利用数形结合思想来求解,抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,通过观察二次函数与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况.体会知识间的相互转化和相互联系.教师寄语同学们,生活让人快乐,学习让人更快乐。

2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程教案 (新版)新人教版

2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程教案 (新版)新人教版

二次函数与一元二次方程课题:22.2 二次函数与一元二次方程.课时 1 课时教学设计课标要求从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质,了解二次函数与二次方程的相互关系.教材及学情分析1、教材分析:本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程,探讨二次函数与一元二次方程的关系。

教材从一次函数与一元一次方程的关系入手,通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题,并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。

这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

2、学情分析知识掌握上,学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解,特别的,八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系,因而,对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系,利用类比的方法让学生进行交流合作学习应该不是难题;学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系,渗透数形结合的思想。

课时教学目标1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质,了解二次函数与二次方程的相互关系.2. 探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.3. 通过具体实例,让学生经历概念的形成过程,使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律,体验数学来源于生活,服务于生活的辩证观点.重点二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.难点二次函数的性质的应用.教法学法指导启发法归纳法练习法教具准备课件教学过程提要二次方程ax+bx+c=0的关系角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什函数解析式,得到关于t的一元二次方程.如果方程数形结合,的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的3、判断抛物线与(1)抛物线y=x+x-2与x轴有两个公共点,小结从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出如下结论:(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x =x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.板书设计22.2 二次函数与一元二次方程.一、丛数的角度看:求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0时,求自变量x的值。

《22.2二次函数与一元二次方程》教案

《22.2二次函数与一元二次方程》教案

人教版(2013)数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程(教案)天门市九真初级中学肖泉泉教学目标知识与技能1、掌握二次函数与一元二次方程之间的关系;2、总结出二次函数图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系,即何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根或没有实数根。

过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数与方程之间的联系。

情感、态度与价值感通过观察二次函数的图象与x轴交点的个数,讨论一元二次方程根的情况,进一步体会数形结合的思想。

重点难点重点二次函数与一元二次方程之间的关系难点二次函数的图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系教学设计一、复习导入(1)一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式(△=b2-4ac )与一元二次方程根的个数关系是:①当△﹥0时,方程有实数根;②当△=0时,方程有实数根;③当△﹤0时,方程实数根。

(2)二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的个数有几种情形?(想一想,画一画)(a>0和a<0)三种情形:①两个交点②一个交点③没有交点(图略)(3)请同学们回顾:如何利用一次函数的图象求一元一次方程2x-4=0的解?小结:一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标即为一元一次方程ax+b=0的解。

二、讲授新知探究1 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t –5t2。

考虑下列问题:(1)小球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?(3)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)小球从飞出到落地要用多少时间?发现:已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为n时求自变量x的值,可以看作求一元二次方程ax2+bx+c=n(即ax2+bx+c-n=0)的实数根。

人教版九年级上册数学课件22.2 二次函数与一元二次方程

人教版九年级上册数学课件22.2   二次函数与一元二次方程

观察思考
图象如下图所示:
归纳总结
(1) 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们
的横坐标是-2,1. 当 x取公共点的横坐标时,函
数的值是0. 由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
归纳总结
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点, 它的横坐标是3.当 x=3时,函数的值是0.由此 得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
所以可以将问题中h的值代入函数解析 式,得到关于 t 的一元二次方程.如果方程 有合乎实际的解,则说明小球的飞行高度 可以达到问题中h的值;否则,说明小球的 飞行高度不能达到问题中h的值.
问题探究
解:(1)解方程
15=20t-5t2 , t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时,它的高度为15 m.
2
归纳总结 (2)二次函数的图象与x轴的位置关系有 三种: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点
b2 – 4ac > 0
(方程有两个不相等的实数根)
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0 (方程没有实数根)
(方程有两个相等的实数根)
典型例题
例 利 用 函 数 图 象 求 方 程 x2-2x-2=0 的 实数根(精确到0.1).
解:画 x2-2x-2=0的图象(如图所示,它与x轴
的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7).
所以方程 x2-2x-2=0 的实数根为
x 1 0 .7 , x 2 2 .7 .
探究
观察函数 y= x2-2x-2 的图象可以发现,当 自变量为2时的函数值小于0,当自变量为3时的 函数值大于0,所以抛物线 y= x2-2x-2 在2<x<3

人教版九年级上第二十二章 二次函数 22.2 二次函数一元二次方程

人教版九年级上第二十二章 二次函数 22.2 二次函数一元二次方程

22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标(一)学习目标1.了解一元二次方程的根的几何意义,知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. (二)学习重点:1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.(三)学习难点:1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2.用函数观点看一元二次方程,二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计(一)课前设计 1. 预习任务: 二次函数2yax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况:①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况:①有两个不相等的实数根,②有两个相等的实数根,③没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾(1)二次函数的定义:形如20yax bx c a b c a(、、为常数,)的函数,叫做二次函数.(2)二次函数的图象和性质:二次函数2y ax bx c 的图象是一条抛物线,当0a 时,当2bx a时,y 随着x 的增大而减小,当2bx a时,y 随着x 的增大而增大; 当0a 时,当2bxa时,y 随着x 的增大而增大,当2bx a时,y 随着x 的增大而减小. (3)一元二次方程的一般形式:02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)(4)一元二次方程20ax bx c 的根的情况怎样判定:用根的判别式:ac b d 42-= ①当d >0时,方程20ax bx c 有两个不相等的实数根; ②当d=0时,方程20ax bx c 有两个相等的实数根; ③当d<0时,方程20ax bx c 没有实数根. 2. 问题探究探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题,研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图,以40m s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h (单位: m )与飞行时间t (单位: s )之间具有函数关系 师问:考虑以下问题:(1)小球的飞行高度能否达到15m ?如果能,需要多少飞行时间? (2)小球的飞行高度能否达到20m ?如果能,需要多少飞行时间? (3)小球的飞行高度能否达到20.5m ?为什么? (4)小球从飞出到落地要用多少时间? 一般地,我们可以利用二次函数2y ax bx c 深入讨论一元二次方程20ax bx c . 师问:二次函数223yx x ,221yx x ,222yx x 的图象如下图所示,每个图象与x 轴有几个交点?223yx x 的图象 221yx x 的图象 222y x x 的图象师问:一元二次方程2230x x ,2210x x 有几个实数根?用判别式验证一下. 一元二次方程2220x x 有实数根吗?.师问:二次函数2yax bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程20ax bx c 的根有什么关系? 总结:一般地,从二次函数2y ax bx c 的图象可得如下结论:(1)抛物线2yax bx c 与x 轴的交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况:有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.反之亦然.(即:由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系) (2)如果抛物线2y ax bx c 与x 轴有交点,交点的横坐标是0x ,那么当0xx 时,函数值是0,因此0xx 是一元二次方程20ax bx c 的一个根.由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的. 探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子,解决问题例 利用函数图象求方程2220x x 的实数根(结果保留小数点后一位).解:画出函数222yx x 的图象(图22.2-3),它与x 轴的公共点的横坐标大约是7.0-、2.7,所以方程2220x x 的实数根为7.01-≈x ,7.22≈x(图22.2-3)我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数222yx x 的图象,可以发现,当自变量为2时函数值小于0(点(2,2)在x 轴的下方),当自变量是3时函数值大于0,(点(3,1)在x 轴的上方).所以抛物线222yx x 在23x 这一段经过x 轴.(抛物线没有间断点,因而抛物线从x 轴下方通过x 轴上方时一定经过x 轴.)也就是说,当自变量取2,3之间的某个值时,函数值为0,即方程2220x x 在23,之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.(每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.)例如,取2,3的平均数2.5,用计算器算得自变量为2.5时的函数值为0.75,与自变量为3时的函数值异号,所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75,用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625,与自变量为2.5时的函数值异号,所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在2.5625,2.75之间,在2.6875,2.75之间……可以看到:根所在的范围越来越小,根所在的范围的两端的值越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值.例如,当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时,由于2.6875 2.750.06250.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2220x x 的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)?这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤: (1) 画出函数的图象(可用计算机画);(2)根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间; 可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. (可以利用计算器计算). (3)确定方程的近似根.探究三 例题讲解 学以致用 ●活动① 基础性例题例1:抢答:判断下列抛物线与x 轴的交点个数. (1)2242yx x (2)2621yx x (3) 2324y x x【答案】一个交点,没有交点,两个交点. 练习:二次函数2340y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点,则线段AB 长为 .【答案】13例2 (1)已知二次函数277y kx x 的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围为( )A .74kB .047≠-≥k k 且 C .74k D .704k k -≠>且 【答案】B (2)若二次函数23yx x m 的图象全部在x 轴的下方,则m 的取值范围为 . 【答案】94m. 练习:抛物线2yx x b 的图象全部在x 轴的上方,则b 的取值范围为 .【知识点】抛物线与x 轴的交点问题 【答案】14b●活动② 提升型例题 例3 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值:x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程2350x x 的一个近似根是( ) A .1 B .1.1 C .1.2 D .1.3【答案】C练习:在平面直角坐标系中,抛物线20yax bx c a ()的部分图象如图所示,直线1x 是它的对称轴.若一元二次方程20ax bx c 的一个根1x 的取值范围是123x ,则它的另一个根2x 的取值范围是 .【答案】210x●活动③ 探究型例题例4 如图,在平面直角坐标系中,抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧),与y 轴交于点A ,抛物线的顶点为D .(1)填空:点A 的坐标为( , ),点B 的坐标为( , ),点C 的坐标为( , ),点D 的坐标为( , ); (2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ,若PE =PC ,求点E 的坐标;②在①的条件下,点F 是坐标轴上的点,且点F 到EA 和ED 的距离相等,请直接写出线段EF 的长;【答案】(1) 0、2,﹣3、0,1、0,﹣1、83;(2)① 35(,)22E -,② 3522EF =或;练习:如图,抛物线2y ax bx =+过A (4,0),B (1,3)两点,点C 、B 关于抛物线的对称轴对称,过点B 作直线BH ⊥x 轴,交x 轴于点H . (1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C 的坐标,并求出△ABC 的面积;(3)点P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP 的面积为6时,求出点P 的坐标. 【答案】24y x x =-+,3 , (5,﹣5) 3. 课堂总结 【知识梳理】(1)填表:二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的关系:判别24b ac - 0∆> 0∆= 0∆<函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象0a >0a <20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根122b x x a==-没有实数根抛物线与x 轴 的交点情况有两个交点 有一个交点 无交点(2)一般地:已知二次函数2y ax bx c =++的函数值为m ,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程2ax bx c m ++=.反之,解一元二次方程2ax bx c m ++=又可以看作已知二次函数2y ax bx c =++的值为m 的自变量x 的值.(3)利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤: ①画出函数的图象(可用计算机画);②根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间;③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. (可以利用计算器计算). ④确定方程的近似根. 【重难点归纳】1. 注意抛物线与x 轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系:当已知方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x 时,那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴为122x x x +=. 2. 注意四个“二次”之间的区别与联系,即二次函数,一元二次方程,一元二次不等式,二次三项式;利用他们之间的转化解决问题.(1)二次三项式2ax bx c ++恒正⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴上方0a ⇔>且0∆<; (2)二次三项式2ax bx c ++恒负⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴下方0a ⇔<且0∆<. 3. 利用二次函数图象求不等式解集的方法:“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“0,0y y ><或0,0y y ≥≤”,从图象看是指曲线在x 轴上方或x 轴下方时的x 值(对应的自变量x 的取值范围)。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标
1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质,了解二次函数与二次方程的相互关系.
2. 探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
3. 通过具体实例,让学生经历概念的形成过程,使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律,体验数学来源于生活,服务于生活的辩证观点.
教学重点
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
教学难点
二次函数的性质的应用.
教学过程
一、导入新课
我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx +b=0的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.
二、新课教学
1.问题讲解.
如下图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系
h=20t-5t2.
考虑以下问题:
(1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多少飞行时间?
(2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多少飞行时间?
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?
(4)小球从飞出到落地要用多少时间?
教师引导学生阅读例题,请大家先发表自己的看法,然后解答.
分析:由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2,所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解,则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明小球的飞行高度不能达到问题中h 的值.
解:(1)解方程
15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
当小球飞行1s和3s时,它的飞行高度为15m.
(2)解方程
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当小球飞行2s时,它的飞行高度为20m.
(3)解方程
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无实数根.这就是说,小球的飞行高度达不到
20.5m.
(4)解方程
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当小球飞行0 s和4s时,它的高度为0 m.这表明小球从飞行到落地要用4s.从上图来看,0 s时小球从地面飞出,4 s时小球落回地面.
从上面可以看出,二次函数与一元二次方程联系密切.
2.拓展延伸.
思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x 取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?
(1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1.
教师引导学生画出函数的图象(可见教材第45页),然后说说有什么特点和性质.(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.
3.归纳总结.
从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出什么结论呢?
归纳:一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.
三、巩固练习
1.教材例题.
教师让学生小组为单位讨论、解答.必要时教师可进行指导.
2.习题22.2.
四、课堂小结
今天你学习了什么?有什么收获?。

相关文档
最新文档