第二章 一元线性回归
计量经济学 第二章
二、典型例题分析
例 1、令 kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。生 育率对教育年数的简单回归模型为
kids = β0 + β1educ + μ
1
（1）随机扰动项 μ 包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？
（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
关于 βˆ1 求偏导得
∑ ∂RSS = 2
∂βˆ1
(Yt − βˆ1 X t )(− X t ) = 0
即
∑ X t (Yt − βˆ1 X t ) = 0
βˆ1
=
(∑ X iYi )
(∑
) X
2 i
4
可见 βˆ1 是 OLS 估计量。
例 5．假设模型为 Yt = α + βX t + μt 。给定 n 个观察值 ( X1,Y1 ) ， ( X 2 ,Y2 ) ，…，
5
例 6．对于人均存款与人均收入之间的关系式 St = α + βYt + μt 使用美国 36 年的年度数
据得如下估计模型，括号内为标准差：
Sˆt = 384.105 + 0.067Yt (151.105) (0.011)
计量经济学第2章 一元线性回归模型
15
~ ~ • 因为 2是β2的线性无偏估计，因此根据线性性， 2 ~ 可以写成下列形式： 2 CiYi
• 其中αi是线性组合的系数，为确定性的数值。则有
E ( 2 ) E[ Ci ( 1 2 X i ui )]
E[ 1 Ci 2 Ci X i Ci ui ]
6
ˆ ˆ X )2 ] ˆ , ˆ ) [ (Yi Q( 1 2 i 1 2 ˆ ˆ X 2 Yi 1 2 i ˆ ˆ 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( Y X ) ] 1 2 i Q( 1 , 2 ) i ˆ ˆ X X 2 Yi 1 2 i i ˆ ˆ 2 2
16
~
i
i
• 因此 ~ 2 CiYi 1 Ci 2 Ci X i Ci ui 2 Ci ui
• 再计算方差Var( ) 2 ，得 ~ ~ ~ 2 ~ Var ( 2 ) E[ 2 E ( 2 )] E ( 2 2 ) 2
C E (ui )
2 i 2 i
i
~
i
i
i
i
E ( 2 Ci ui 2 ) 2 E ( Ci ui ) 2
i
2 u
C
i
2 i
i
~ ˆ)的大小，可以对上述表达式做一 • 为了比较Var( ) 和 Var( 2 2
些处理： ~ 2 2 2 2 Var ( 2 ) u C ( C b b ) i u i i i
8
• 2.几个常用的结果
• （1） • （2） • （3） • （4）
第二章 一元线性回归
n ei 0 i 1 n xe 0 i i i 1
经整理后,得正规方程组
n n ˆ ˆ n ( x ) 0 i 1 yi i 1 i 1 n n n ( x ) ˆ ( x 2 ) ˆ xy i 0 i 1 i i i 1 i 1 i 1
y ˆ i 0 1xi ˆi 之间残差的平方和最小。 使观测值 y i 和拟合值 y
ei y i y ˆi
n
称为yi的残差
ˆ , ˆ ) ˆ ˆ x )2 Q( ( y i 0 1i 0 1
i 1
min ( yi 0 1 xi ) 2
i
xi x
2 ( x x ) i i 1 n
yi
2 .3 最小二乘估计的性质
二、无偏性
ˆ ) E ( 1
i 1 n
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
其中用到
E ( yi )
( x x) 0 (xi x) xi (xi x)2
二、用统计软件计算
1．例2.1 用Excel软件计算
什么是P 值?(P-value)
• P 值即显著性概率值 ，Significence Probability Value
•
是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端情况 出现的概率。
P值与t值： P t t值 P值
•
它是用此样本拒绝原假设所犯弃真错误的真实概率，被 称为观察到的(或实测的)显著性水平。P值也可以理解为 在零假设正确的情况下，利用观测数据得到与零假设相 一致的结果的概率。
2 .1 一元线性回归模型
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的大体思想与大体方式。
第一，本章从整体回归模型与整体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，成立了回归分析的大体思想。
整体回归函数是对整体变量间关系的定量表述，由整体回归模型在假设干大体假设下取得，但它只是成立在理论之上，在现实中只能先从整体中抽取一个样本，取得样本回归函数，并用它对整体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，要紧涉及到一般最小二乘法（OLS）的学习与把握。
同时，也介绍了极大似然估量法（ML）和矩估量法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数可否代表整体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计查验。
统计查验包括两个方面，一是先查验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是查验样本回归函数与整体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，查验说明变量对被说明变量是不是存在着显著的线性阻碍关系，通过变量的t查验完成；第二，查验回归函数与整体回归函数的“接近”程度，通过参数估量值的“区间查验”完成。
本章还有三方面的内容不容轻忽。
其一，假设干大体假设。
样本回归函数参数的估量和对参数估量量的统计性质的分析和所进行的统计推断都是成立在这些大体假设之上的。
其二，参数估量量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性组成了对样本估量量好坏的最要紧的衡量准那么。
Goss-markov定理说明OLS估量量是最正确线性无偏估量量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被说明变量条件均值与个值的预测，和预测置信区间的计算及其转变特点。
二、典型例题分析例一、令kids表示一名妇女生育小孩的数量，educ表示该妇女同意过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包括什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭露教育对生育率在其他条件不变下的阻碍吗？请说明。
21一元线性回归模型.ppt
同理，p(Y= ？ /X=260)=1/7
条件均值(条件期望 ) :
对Y的每一条件概率分布，我们能算出它 的均值 :
记做E(Y/X=Xi)
［简写为E(Y/Xi) ］
并读为“在X取特定Xi值时的Y的期望值”。
计算方法：
将表2.1中的有关列乘以表2.2中的相应列 的条件概率，然后对这些乘积求和便是。
第二章 一元线性回归模型
§2.1 一元线性回归模型概念基础 回归是计量经济学的主要工具 一、“回归”一词的历史渊源
Francis Galton F．加尔顿
回归一词最先由F．加尔顿 (FrancisC,alton)引入
加尔顿的普遍回归定律还被他的朋友 K．皮尔逊(KartPearson)证实
Karl Pearson K．皮尔逊
综合来看，回归分析一般可以用来：
（1） 通过已知变量的值来估计因变量的均值。
（2）对独立性进行假设检验―――根据经济理 论建立适当的假设。
例如，对于需求函数，你可以检验假设：需求的 价格弹性为-1.0；即需求曲线具有单一的价格 弹性。也就是说，在其他影响需求的因素保持 不变的情况下，如果商品的价格上涨1％，平 均而言，商品的需求量将减少1％。
P （
1/7 1/5 1/5 1/6 1/5 1/7 1/5 1/7 1/5
Y/ 1/7 1/5 1/5 1/6 1/5 1/7 1/5 1/7 1/5
Xi ） 1/7
1/6
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
Y的条 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30
件均值
E(Y/X=Xi) Y的条件均值
·
·
·
· ·
计量经济学第二篇一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
第二章 一元线性回归模型 知识点
第二章一元线性回归模型一、知识点列表二、关键词1、回归分析基本概念关键词：回归分析在计量经济学中，回归分析方法是研究某一变量关于另一（些）变量间数量依赖关系的一种方法，即通过后者观测值或预设值来估计或预测前者的（总体）均值。
回归的主要作用是用来描述自变量与因变量之间的数量关系，还能够基于自变量的取值变化对因变量的取值变化进行预测，也能够用来揭示自变量与因变量之间的因果关系关键词：解释变量、被解释变量影响被解释变量的因素或因子记为解释变量，结果变量被称为被解释变量。
2、回归模型的设定关键词：随机误差项（随机干扰项）不包含在模型中的解释变量和其他一些随机因素对被解释变量的总影响称为随机误差项。
产生随机误差项的原因主要有：（1）变量选择上的误差；（2）模型设定上的误差；（3）样本数据误差；（4）其他原因造成的误差。
关键词：残差项（residual ）通过样本数据对回归模型中参数估计后，得到样本回归模型。
通过样本回归模型计算得到的样本估计值与样本实际值之差，称为残差项。
也可以认为残差项是随机误差项的估计值。
3、一元线性回归模型中对随机干扰项的假设 关键词：线性回归模型经典假设线性回归模型经典假设有5个，分别为：（1）回归模型的正确设立；（2）解释变量是确定性变量，并能够从样本中重复抽样取得；（3）解释变量的抽取随着样本容量的无限增加，其样本方差趋于非零有限常数；（4）给定被解释变量，随机误差项具有零均值，同方差和无序列相关性。
（5）随机误差项服从零均值、同方差的正态分布。
前四个假设也称为高斯马尔科夫假设。
4、最小二乘估计量的统计性质关键词：普通最小二乘法（Ordinary Least Squares ，OLS ）普通最小二乘法是通过构造合适的样本回归函数，从而使得样本回归线上的点与真实的样本观测值点的“总体误差”最小，即：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
ββ==---∑∑∑nn n222i i 01ii=111ˆˆmin =min ()=min ()i i i i u y y y x关键词：无偏性由于未知参数的估计量是一个随机变量，对于不同的样本有不同的估计量。
第2章一元线性回归模型
一元线性回归模型
回归分析是计量经济学的基础内容！
本章介绍一元线性回归模型，最小二乘估计方法及 其性质，参数估计的假设检验、预测等。
浙江财经大学 倪伟才
1
本章主要内容
2 .1 一元线性回归模型
2 .2 参数β0、β1的估计
2 .3 最小二乘估计的性质
2 .4 回归方程的显著性检验 2 .5 残差分析 2 .6 回归系数的区间估计
浙江财经大学 倪伟才 10
回归的术语
y的各种名称： 因变量(dependent variable)或被解释变量 (explained variable)或回归子(regressand)或内 生(endogenous)； X的各种名称： 自变量(independent variable)或解释变量 (explanatory variable)或回归元(regressor)或外 生(exogenous) U的各种名称： 随机误差项或随机扰动项(stochastic error term, random disturbance term ): 表示其它因素的影响，是不可观测的随机误差！
浙江财经大学 倪伟才
9
2.1一元线性回归模型
由于两个变量y, x具有明显的线性关系，故考虑直 线方程y=0+1x（函数表达的是确定性关系，有缺 陷！） y=0+1x+u, 其中u表示除x外，影响y的其它一切 因素。 将y与x之间的关系用两部分来描述： a. 一部分0+1x ，由x的变化引起y变化； b.另一部分u ，除x外的其它一切因素引起y变化。 参数(parameters) 0 , 1 ; 0 称为回归常数(截距)（intercept, constant）， 1称为回归斜率(slope)
第二章一元线性回归模型1
第二章一元线性回归模型计量经济学在对经济现象建立经济计量模型时，大量地运用了回归分析这一统计技术，本章和下一章将通过一元线性回归模型、多元线性回归模型来介绍回归分析的基本思想。
第一节回归分析的几个基本问题回归分析是经济计量学的主要工具，下面我们将要讨论这一工具的性质。
一、回归分析的性质（一）回归释义回归一词最先由F •加尔顿（Francis Galt on ）提出。
加尔顿发现，虽然有一个趋势，父母高，儿女也高：父母矮，儿女也矮，但给定父母的身高，儿女辈的平均身高却趋向于或者“回归” 到全体人口的平均身高。
或者说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而儿女的身高则有走向人口总体平均身高的趋势（普遍回归规律）。
加尔顿的这一结论被他的朋友K •皮尔逊（Karl pearson）证实。
皮尔逊收集了一些家庭出身1000多名成员的身高记录，发现对于一个父亲高的群体，儿辈的平均身高低于他们父辈的身高，而对于一个父亲矮的群体，儿辈的平均身高则高于其父辈的身高。
这样就把高的和矮的儿辈一同“回归”到所有男子的平均身高，用加尔顿的话说，这是“回归到中等” 。
回归分析是用来研究一个变量（被解释变量Explained variable或因变量Dependent variable 与另一个或多个变量（解释变量Explanatory variable或自变量Independent variable之间的关系。
其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值去估计或预测前者的（总体）均值。
下面通过几个简单的例子，介绍一下回归的基本概念。
例子1.加尔顿的普遍回归规律。
加尔顿的兴趣在于发现为什么人口的身高分布有一种稳定性,我们关心的是，在给定父辈身高的条件下找出儿辈平均身高的变化。
也就是一旦知道了父辈的身高，怎样预测儿辈的平均身高。
为了弄清楚这一点，用图 1.1 表示如下图 1.1 对应于给定父亲身高的儿子身高的假想分布图 1.1 展示了对应于设定的父亲身高, 儿子在一个假想人口总体中的身高分布, 我们不难发现,对应于任一给定的父亲身高, 相对应都有着儿子身高的一个分布范围，同时随着父亲身高的增加，儿子的平均身高也增加，为了清楚起见，在1.1散点图中勾画了一条通过这些散点的直线，以表明儿子的平均身高是怎样随着父亲的身高增加而增加的。
第二章 一元线性回归模型
∂Q ˆ ˆ = −2∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ∂β ˆ0 ˆ ˆ ∂Q = −2∑ (Y − β − β X )X = 0 i 0 1 i i ˆ ∂β1
化简得： 化简得：
ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i )X i = 0
2.总体回归方程（线）或回归函数 总体回归方程（ 总体回归方程 即对（ ）式两端取数学期望： 即对（2.8）式两端取数学期望：
E y i）= β 0 + β 1 x i （
（2.9）
（2.9）为总体回归方程。由于随机项的影响，所 ）为总体回归方程。由于随机项的影响， 有的点（ ）一般不在一条直线上； 有的点（x,y）一般不在一条直线上；但所有的点 （x,Ey）在一条直线上。总体回归线描述了 与y ）在一条直线上。总体回归线描述了x与 之间近似的线性关系。 之间近似的线性关系。
Yi = β X i + ui
需要估计， 这个模型只有一个参数 需要估计，其最 小二乘估计量的表达式为： 小二乘估计量的表达式为：
∑XY ˆ β= ∑X
i i 2 i
例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 ：在上述家庭可支配收入-消费支出例中， 于所抽出的一组样本数据， 于所抽出的一组样本数据，参数估计的计算可通过下面 的表2.2.1进行。 进行。 的表 进行
二、一元线性回归模型 上述模型中， 为线性的， 上述模型中， 若f(Xi)为线性的，这时的模型 为线性的 一元线性回归模型： 即为 一元线性回归模型：
yi = β 0 + β1 xi + ui 其中：yi为被解释变量，xi为解释变量，ui为随机误 差项，β 0、β1为回归系数。
第二章 一元线性回归模型
__
__
2
/n
★样本相关系数r是总体相关系数 的一致估计
相关系数有以下特点：
• • • • 相关系数的取值在-1与1之间。 （2）当r=0时，线性无关。 （3）若r＞0 ，正相关，若r＜0 ，负相关。 （4）当0＜|r|＜1时，存在一定的线性相关 关系， 越接近于1，相关程度越高。 • （5）当|r|=1时，表明x与y完全线性相关 （线性函数），若r=1，称x与y完全正相关； 若r=-1，称x与y完全负相关。 • 多个变量之间的线性相关程度，可用复相 关系数和偏相关系数去度量。
●假定解释变量X在重复抽样中取固定值。 但与扰动项u是不相关的。(从变量X角度看是外生的)
注意: 解释变量非随机在自然科学的实验研究中相对
Yi 1 2 X i ui
●假定解释变量X是非随机的，或者虽然X是随机的，
容易满足，经济领域中变量的观测是被动不可控的， X非随机的假定并不一定都满足。
E( y xi ) 0 1xi
11
• 可以看出,虽然每个家庭的消费支出存在差 异,但平均来说，家庭消费支出是随家庭可 支配收入的递增而递增的。当x取各种值时, y的条件均值的轨迹接近一条直线,该直线称 为y对x的回归直线。（回归曲线）。 • 把y的条件均值表示为x的某种函数，可写 为：
E( y xi ) 0 1xi
Var ( y xi ) 2
Cov( yi , y j ) 0
y | xi ~ N (0 1xi , )
2
22
第三节 参数估计
• 一、样本回归方程
• 对于
yi 0 1 xi ui
• 在满足古典假定下，两边求条件均值，得到总体 回归函数：
第2章一元线性回归模型
布图上的点接近于一条曲线时，称为非线性相关。简单相关按
符号又可分为 正相关 （见图2.3.4 ）、负相关 （见图2.3.8 ）和零 相关 （见图2.3.6 ）。两个变量趋于在同一个方向变化时，即同
增或同减，称为变量之间存在正相关；当两个变量趋于在相反
方向变化时，即当一个变量增加，另一个变量减少时，称为变 量之间存在负相关；当两个变量的变化相互没有关系时，称为
4、普通最小二乘法
为什么要使用OLS？ （1）OLS的应用相对简便； （2）以最小化残差平方和为目标在理论很合理； （3）OLS估计量有很多有用的性质。 1）估计的回归线通过Y和X的均值。下列等式总是
ˆ ˆX 严格成立的：设下，可以证明，OLS是 “最优”的估计方法。
2.2.2 最小二乘估计量的性质
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其
优劣性： （1）线性。即它是否是另一个随机变量的线性函数；
（2）无偏性。即它的均值或期望是否等于总体的真实值；
（3）有效性。即它是否在所有的线性无偏估计量中具有 最小方差； （4）渐近无偏性。 即样本容量趋于无穷大时，它的均值 序列趋于总体的真值； （5）一致性。即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值；
1．总变差的分解
ˆ b ˆX ˆ b Yt的估计值位于估计的回归线 Y t 0 1 t 上，Y围绕其均值的变异 (Y Y )可被分解为两部分：
ˆ Y ) (1) (Y t
ˆ) (2) (Yt Y t
样本回归函数：
3．相关系数检验
（1）变量相关的定义和分类
相关：指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
2 2 ˆ e ( Y Y ) i i OLS 最小化 i i 1 i 1
计量经济学 第二章 一元线性回归模型
计量经济学第二章一元线性回归模型第二章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其古典假定第二节参数估计第三节最小二乘估计量的统计特性第四节统计显著性检验第五节预测与控制第一节回归模型的一般描述（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关系。
其一般表现形式为：一、回归模型的一般形式变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：（2.1)（2）统计关系或相关关系：变量之间为非确定性依赖关系。
其一般表现形式为：(2.2)例如：函数关系：圆面积S =统计依赖关系/统计相关关系：若x和y之间确有因果关系，则称(2.2)为总体回归模型，x(一个或几个）为自变量（或解释变量或外生变量），y为因变量（或被解释变量或内生变量），u为随机项，是没有包含在模型中的自变量和其他一些随机因素对y的总影响。
一般说来，随机项来自以下几个方面：1、变量的省略。
由于人们认识的局限不能穷尽所有的影响因素或由于受时间、费用、数据质量等制约而没有引入模型之中的对被解释变量有一定影响的自变量。
2、统计误差。
数据搜集中由于计量、计算、记录等导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生的代表性误差。
3、模型的设定误差。
如在模型构造时，非线性关系用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此非线性关系用彼非线性模型描述了等等。
4、随机误差。
被解释变量还受一些不可控制的众多的、细小的偶然因素的影响。
若相互依赖的变量间没有因果关系，则称其有相关关系。
对变量间统计关系的分析主要是通过相关分析、方差分析或回归分析(regression analysis)来完成的。
他们各有特点、职责和分析范围。
相关分析和方差分析本身虽然可以独立的进行某些方面的数量分析，但在大多数情况下，则是和回归分析结合在一起，进行综合分析，作为回归分析方法的补充。
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
第二章 一元线性回归分析基础
加，消费增加，但消费的增长低于收入的增长，即消
费对收入的弹性小于1。它的数学表述为
Y X
0
Y X
1,
Y X
Y X
其中Y为消费额，X为收入。
该线性方程描述了消费与收入之间的确定关系，即给定 一个收入值，可以根据方程得到一个唯一确定的消费值。 但实际上消费与收入间的关系不是准确实现的。
原因：入随机误差项，将变量之间的关系用一个线性 随机方程来描述，用随机数学的方法来估计方程中的 参数，这就是线性回归模型的特征，也就是线性计量 经济学模型的特征。
二、一元线性回归模型
单方程线性回归模型的一般形式为
Yi 1 2 X2i 3 X3i k Xki ui ,i 1,2, ,n 其中Y为被解释变量，X 2 ,X 3 , ,X n 为解释变量。
化。
如果误差项的方差不同，那么与其对应的观测值Yi的可 靠程度也不相同。这会使参数的检验和利用模型进行预 测复杂化。而满足同方差假设，将使检验和预测简化。
假设3 表示不同的误差项之间互相独立，同时，不同的 被解释变量在统计上也是互相独立的。即
Cov(Yi, Yj)= E(Yi－E(Yi)) (Yj－E(Yj))= E(uiuj)=0， i≠j 假假设设4，自通动常满X足i为，确即定性变量，即非随机变量，此时，该
也可以用显函数形式表示为 Y f ( X1,X 2 , ,X n )
其中最简单的形式为一元线性函数关系。
例如 当某种商品单价P固定不变，其销售收入y与销售 的商品数量x之间的关系为一元线性关系，即y = Px
如果用x，y构成的直角坐标图来表示，上式所表示的 函数关系为一条经过坐标原点的直线，所有可能的点 都在这条直线上。
Cov(ui, Xi)= E(ui－E(ui)) (Xi－E(Xi))=0，i=1,2, ……,n 假设5 随机误差项服从零均值，同方差的正态分布。即
第2章⑵一元线性回归的参数估计
于 是 ， Yi 的 概 率 函 数 为
P (Y i ) 1
1 2
2 2 ˆ ˆ ( Yi 0 1 X i )
2
e
i= 1 ,2 ,„ ,n
因为Yi是相互独立的，所以Y的所有样本观测值的 联合概率，也即似然函数(likelihood function) 为：
• 记
1 X Xi n 1 Y Yi n x Xi X i y i Yi Y
则参数估计量可以写成：
x y ˆ i i 1 2 xi ˆ ˆ 0 Y 1X
注：在计量经济学中，往往以大写字母表示原始数据（观测 值），而以小写字母表示对均值的离差（deviation)。
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结 构参数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是
相同的。(见教材P34)
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。 (见教材P39)
解或然方程
2
L
*
n 2
2
1 2
4
2 ˆ ˆ (Y i 0 1 X i ) 0
证明如下： （补充）
ei
2
2 ˆ2 yi 1
2
xi
2
Y
Yi
2 ˆ yi 1 yi xi 2 i 2
nY nY
2
ˆ 1 Y i X
i
i
nY X
Y Y Y
Yi
ˆ 1 Yi X
第02章-一元线性回归模型
四、拟合优度的度量
• 基本概念：
拟合优度衡量的是样本回归线对样本观测值的拟合程度。 样本观测值距回归线越近，拟合优度越高，x对y的解释程 度越强。
• 样本观测值、拟合值、样本均值之间的关系
ˆ ˆ ( yt − y ) = ( yt − yt ) + ( yt − y )
?相关分析适用于无明确因果关系的变量之间的关系判断常使用的工具是相关系数相关系数对称的看待两个变量相关系数仅判断变量间是否存在线性相关相关系数判断的是统计依赖关系?如果两个变量之间存在因果关系则需要建立回归模型采用回归分析的方法判断变量之间的因果性效应一元线性回归模型的建立?在回归模型中往往假定解释变量是因被解释变量是果而分析的目标则是确定解释变量对被解释变量的因果性效应的具体数值
5. 一元线性回归模型的假定条件 • 用样本估计总体回归函数，总会存在偏差 （样本不是总体，而且模型存在随机干扰 项），为了保证估计结果具有良好的性质， 通常要对模型中的变量、模型形式以及随 机误差项提出一些假定条件 • 对模型形式和变量的假定
–假定解释变量x是非随机的，或者虽然是随机 的，但与随机误差项u不相关 –假定变量和模型无设定误差
第2章 一元线性回归模型
一、模型的建立及其假定条件 二、普通最小二乘估计（OLS） 三、OLS估计量的统计性质 四、拟合优度的度量 五、回归参数的显著性检验与置信区间 六、一元线性回归模型的预测
一、模型的建立及其假定条件
1. 经济变量之间的关系 • 计量经济分析研究经济变量之间的关系及 其变化规律。 • 两变量之间可能存在的关系：
ˆ ˆ ˆ yt = β 0 + β1 xt
• 样本回归函数（SRF）表示在图形中即为样本回归线 • 需要注意：
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3300 1788 1835 1872 1903 1965 2061 2157 2206 2289 2314 2390 2426 2458 2478 2543
3800 1966 2048 2122 2213 2315 2357 2369 2398 2452 2501 2534 2568 2610 2659 2723
指不同经济变量的变化趋势相反，即一个经济变量的 取值由小变大时，另一经济变量的取值由大变小。
相关关系的分类
c)按照相关的性质
线性相关
指相关变量之间的关系可由线性函数近似表示，即由 相关变量的取值绘制的散点图趋向于直线形式；
非线性相关
指相关变量之间的关系可由某种非线性函数近似表 示，即由相关变量的取值绘制的散点图趋向于某种 曲线形式。
种情况，每个家庭的月可支配收入与消费数据如表2-1所示，
要研究这一总体的家庭月消费支出Y与家庭月可支配收入X之
间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算该总
体的家庭月消费支出平均水平。
表2-1 100个家庭的月可支配收入与消费数据
可支配收入X
单位：元
4800 2436 2588 2672 2736 2801 2893 2902 3027 3155 3260 5300 2765 2853 2900 3021 3065 3146 3278 3305 3423 5800 3022 3156 3401 3669
描述总体回归曲线的函数称为总体回归函数（population regression function）。
对于只有一个解释变量X的情形，总体回归函数为
E Y / X i） （X i） （ f
（2-4）
表示对于解释变量X的每一个取值 X i ，都有被解释变量Y的条件期望
E Y / X i） （ 与之对应， Y / X i） E （ 是X的函数。
到回归方程，进行相关统计检验和推断，利用回归模型进行结构 分析、经济预测、政策评价等。
4. 相关分析与回归分析之间的关系
联系：1）都是对存在相关关系的变量的统计相关关系的研究；
2）都能测度线性相关程度的大小； 3）都能判断线性相关关系是正相关还是负相关。
区别：
1）相关分析仅仅是从统计数据上测度变量之间的相关程度， 不考虑两者之间是否存在因果关系，因而变量的地位在相 关分析中是对等的；
4300 2197 2286 2315 2386 2467 2581 2623 2677 2710 2985 3004 3082 3119 3102
消费支出Y
析：
家庭消费支出主要取决于家庭可支配收入，但不是唯一取决于家庭可支 配收入，还会受到其他各种不确定性因素的影响，因而可支配收入相同的不 同家庭的消费支出各不相同。 由于是对总体的考察，由表2-1可求得家庭可支配收入X为某一特定数值
1300 1033 1126 1207
1800 1120 1208 1256 1327 1439 1584
2300 1128 1167 1231 1288 1371 1439 1452 1533 1597 1676 1793
2800 1455 1501 1635 1728 1789 1835 1886 1943 2033 2178 2294 2351 2410
X X 对于含有多个解释变量 X 1、 2 、 、 k 的情形，总体回归函数为
E Y / X1i，X 2i， ，X ki） （X1i，X 2i， ，X ki） （ f
（2-5）
表示对于解释变量 X 1、 2 、 、 k的每一组取值 X1i、X 2i、 、X ki X X ，都有被解释变量Y的条件期望
元线性回归模型的基本假设、一元线性回归模型的最大似然参数估计 方法、一元线性回归模型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的 性质、一元线性回归模型随机误差项方差的估计； 3) 学会对一元线性回归模型进行拟合优度检验，对一元线性回归 模型的参数进行区间估计和假设检验； 4) 学会进行一元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值预 测； 5)学会利用Eviews软件进行一元线性回归模型的参数估计、检验 和预测。
i 1 i 1 i 1
n
n
n
(X
i 1
n
i
X)
(Y Y )
i 1 i
n
n X ( X i )
i 1 2 i i 1
n
n
2
n Yi ( Yi ) 2
2 i 1 i 1
n
n
（2-2）
（2-3）
相关系数的取值介于1—1之间， 取值为负表示两变量之间存在负相关关系； 取值为正表示两变量之间存在正相关关系； 取值为1表示两变量之间存在完全负相关关系； 取值为0表示两变量不相关； 取值为1表示两变量之间存在完全正相关关系。
E Y / X 1i，X 2i， ，X ki） （
与之对应， Y / X 1i，X 2i， ，X ki） X 1、 2 、 、 的函数。 E （ 是 X Xk
例2-1
假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这100个家庭的 月可支配收入水平只限于1300元、1800元、2300元、2800 元、3300元、3800元、4300元、4800元、5300元、5800元10
回归分析是对变量之间的因果关系的分析，变量的地位是 不对等的，有被解释变量和解释变量之分。
2）相关分析主要关注变量之间的相关程度和性质，不 关注变量之间的具体依赖关系。
回归分析在关注变量之间的相关程度和性质的同时， 更关注变量之间的具体依赖关系，因而可以深入分析 变量间的依存关系，有可能达到掌握其内在规律的目 的，具有更重要的实践意义。
函数关系
指某一经济变量可直接表示为其他经济变量的确定的函数， 函数表达式中没有未知参数，不存在参数估计的问题。
例如:
1) 某一商品的销售收入Y与单价P、销售数量Q之间的关系Y = PQ 2) 某一农作物的产量Q与单位面积产量q 、种植面积S之间的关系Q = q S
相关关系
指不同经济变量的变化趋势之间存在某种不确定的联系，某一或
例如:
居民消费C与可支配收入Y之间不仅存在相关关系而且存在因 果关系，不仅可以利用相关分析研究两者之间的相关程度，还可
以利用回归分析研究两者之间的具体依存关系。可以将C作为被
解释变量、Y作为解释变量，根据相关经济理论，设定含有待估
参数 、 的理论模型C = + Y，估计模型中的参数 、 ，得
某几个经济变量的取值确定后，对应的另一经济变量的取值虽不能唯
一确定，但按某种规律有一定的取值范围。
相关关系的表达式一般表示为含有未知参数的函数形式，需要进行参数估计。
例如:
居民消费C与可支配收入Y之间的关系，可支配收入的取值确定后， 消费的取值虽不能唯一确定，但有一定的取值范围，0 < C < Y ，遵 循边际消费倾向递减的规律。居民消费C与可支配收入Y之间的关系 可表示为C = + Y， 、为待估参数。
Q （T，K，L） f
或具体地用某一种生产函数描述为
Q Ae t K L
其中， Q表示产出，T表示技术，K表示资本，L表示劳动， A、
、 、 是未知参数。
随机误差项——称为随机扰动项或随机干扰项（stochastic disturbance）
一般用希腊字母 或 表示
计算变量之间的相关系数
相关系数
十九世纪末——英国著名统计学家卡尔· 皮尔逊（Karl Pearson） ——度量两个变量之间的线性相关程度的简单相关系数（简称相关系数）
两个变量X和Y的总体相关系数为
XY
Cov X ，Y） （ Var X） Var Y） （ （
（2-1）
其中， （X，Y） Cov 是变量X、Y的协方差，
存在原因
第一，人类的经济行为本身带有随机性；
第二，通常一个变量总是受众多因素的影响；
第三，任何函数反映经济变量之间的关系都只是一种简化反映；
第四，经济数据来源于调查统计，而非严格的控制实验；
结论
一个经济变量通常不能被另一个经济变量完全精确地决定，需要 引入随机误差项来反映各种误差的综合影响，主要包括：
二、随机误差项
含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济模型的一大区别。
例如:
对于供给不足下的生产活动，可以认为产出是由资本、劳动、技术 等投入要素决定的，并且，一般情况下，产出随着投入要素的增加而增 加，但要素的边际产出递减。
数理经济模型用确定性的函数描述经济变量之间的理论关系，对这 一经济活动，笼统地描述为
Var X） Var Y） （ 、 （ 分别是变量X、Y的方差。
如果给定变量X、Y 的一组样本 X i，Yi ， 1 2，n， i ， ， 则总体相关系数的估计——样本相关系数为
（ X
i 1 n
rXY
i
X） i Y ) (Y
2
或 rXY
2
n X iYi X i Yi
3. 回归分析
研究不仅存在相关关系而且存在因果关系的变量之间的依存关系的 一种分析理论与方法，是计量经济学的方法论基础，
1）设定理论模型，描述变量之间的因果关系； 2）根据样本观察数据利用适当方法对模型参数进行估计， 得到回归方程；
主要内容
3）对回归方程中的变量、方程进行显著性检验，推求参数 的置信区间、模型的预测置信区间； 4）利用回归模型解决实际经济问题。
极弱的相关关系,指某一或某几个经济变量的取值确定后， 对应的另一经济变量不仅取值不能唯一确定，而且取值范 围也不能确定。 介于完全相关与不相关之间的情况。
不完全相关
相关关系的分类
c)按照相关的性质
正相关
指不同经济变量的变化趋势一致，即一个经济变量的