2018年高考理科数学推理与证明100题(含答案解析)
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：26-推理与证明(含答案)
考点58
考点59
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
6.(2013 湖北,理 14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多 边形数.如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为 记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 N(n,4)=n2,
1 2 1 N(n,3)= n + n, 2 2 ������(������+1) 2
= n2+ n.
1 2
1 2
六边形数 N(n,6)=2n2-n, …… …… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=
【答案】 1 000
3 2 1 N(n,5)= n - n, 2 2
.
考点58
归纳推理是由 部分到整体,由 个别到一般的 推理 类比推理是由 特殊到特殊的 推理
考点58
考点59
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
2.合情推理 (1)含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们 统称为合情推理. (2)合情推理的过程 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提 出猜想
考点59
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
【解析】 由题中数据可猜想:含 n2 项的系数为首项是 ,公差是 的等 差数列,含 n 项的系数为首项是 ,公差是- 的等差数列,因此 N(n,k)= + (������-3) n2+ + (������-3) 2 2 2 2 2 2 N(10,24)=11n -10n=11× 10 -10× 10=1 000.
2018高考数学(理科)习题第十四章推理与证明143和答案
1．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n (n ∈N ＋)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n 与e 的大小；(2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n <e S n .解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x . 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n ，即⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e.①(2)b 1a 1＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2；b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32；b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43.由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n ＝(n ＋1)n.②下面用数学归纳法证明②.a ．当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立．b ．假设当n ＝k 时，②成立，即b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1·a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②也成立．根据a 、b ，可知②对一切正整数n 都成立．(3)证明：由c n 的定义，②，算术几何平均不等式，b n 的定义及①得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n n ＋1＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＋ b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＋…＋b n ·1nn ＋1＝b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1<b 11＋b 22＋…＋b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n na n <e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n .即T n <e S n .2．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)S 6＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k2＋k－23＋2＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k＋13，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k3＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋－13，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k－13＋1＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．3.函数f(x)＝ln (x＋1)－axx＋a(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，a n＋1＝ln (a n＋1)，证明：2n＋2＜a n≤3n＋2.点击观看解答视频解(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x[x－a2－2ax ＋x＋a2.①当1<a<2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函数．②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函数；③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)证明：由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0， 即ln (x ＋1)>2xx ＋2(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0,3)是减函数． 当x ∈(0,3)时，f (x )<f (0)＝0， 即ln (x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. ①当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立；②设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln (a k ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln (a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据①，②知对任何n ∈N *结论都成立． 4．已知函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立．解 (1)由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.(2)证明：由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．①当n ＝1时，由上可知等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2成立．因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋k ＋2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋k ＋2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①，②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *)．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *)．。
全国卷Ⅲ2018年理数高考试题解析(word档含答案解析)
为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为
A ．0.7
B． 0.6
C． 0.4
D． 0.3
9．△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为
a2 a ，b ， c ，若 △ ABC 的面积为
b2
c2 ，则 C
4
A． π 2
B． π 3
C． π 4
D． π 6
10．设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ， B 0，1，2 ，则 A B
A． 0
B． 1
C． 1，2
D． 0，1，2
2． 1 i 2 i
A． 3 i
B． 3 i
C． 3 i
D． 3 i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图
中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4．若 sin A． 8 9
1 ，则 cos 2
3
B． 7 9
2018年湖北省高考数学理科试卷及解析汇报(全部题目)
2018年某某省高考数学理科试卷与解读1.i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法如此进展计算 【解读】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.假如二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，如此实数a ＝ A. 2 B. 34 C.1 D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式 【解读】选C . 因为1r T +=r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，如此“存在集合C 使得,UA CBC ⊆⊆〞是“∅=B A 〞的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C . 依题意，假如C A ⊆，如此UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；假如∅=B A ，不妨另C A =，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，如此A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】考查根据样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解读】选B.画出散点图如下列图，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b，0>a5..在如下列图的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2〕，<2,2,0〕，<1,2，1〕，<2,2,2〕，给出编号①、②、③、④的四个图，如此该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解读】选D.在坐标系中标出的四个点，根据三视图的画图规如此判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，应当选D.6.假如函数f(x>，()g x满足11()g()d0f x x x-=⎰，如此称f(x>，()g x为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22f x xg x x==；②()1,g()1f x x x x=+=-；③2(),g()f x x x x==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是< 〕【解题提示】考查微积分根本定理的运用【解读】选C. 对①，1111 111111(sin cos)(sin)cos|0 2222x x dx x dx x---⋅==-=⎰⎰，如此)(xf、)(xg为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，如此)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，如此)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，如此该点恰好在2Ω内的概率为< 〕A.81B.41C. 43D.87 【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，另相乘也。
2018年高考理科数学试题及答案详细解析(全国卷1、2、3卷).doc
5. 设函数 321
fxxaxax 若 fx为奇函数 则曲线 yfx 在点 0,0处的
切线方程为
A. 2
yx B. yx C. 2yx D. yx
解析 由 fx为奇函数得1
a 2()31,fxx
所以切线的方程
为yx
.故答案为D.
6. 在ABC
中 AD为BC边上的中线 E为AD的中点 则 EB
- 3 - A.AC
FNFM8 故答案为D.
9.已知函数
,0,
ln,0,xex
fx
xx
gxfxxa
.若 gx存在2个零点 则a的取值
范围是
A.
1,0 B. 0, C. 1, D. 1,
解析 ∵()()
gxfxxa 存在2个零点 即()yfx 与yxa 有两个交点 )(xf的图象如M
N
2
4
- 4 - 图 要使得yxa
与)(xf有两个交点 则有1a 即1a 故答案为 C.
(22)~(23)题为选考题 考生根据要求作答.
二、填空题 本题共4小题 每小题5分.
13.若x y满足约束条件220
10
0
xy
xy
y
则32
zxy 的最大值为_______________.
解析
画出可行域如图所示 可知目
标函数过点(2,0)时取得最大
值 max32206
z . 故答案为6.
14.记nS为数列
- 5 - A. 4
33 B. 332 C.423 D. 23
解析 由于截面与每条棱所成的角都相等 所以
平面 中存在平面与平面11ABD平行 如图 而
在与平面11ABD平行的所有平面中 面积最大的
【K12高考数学】2018高考数学理(13-17高考题)分类汇编：第14章推理与证明
4, t 4 5 ④， 5, t 5 6 ⑤，由②③得 t 5…6 ，与⑤矛盾，所以正整数 n 的最大值是 4.
故选 B.
命题意图 考查归纳推理与不等式的性质 .
2
22
数为 N (n, k ) ( k … 3 ) ，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：
三角形数 N (n,3) 1 n 2 1 n ， 22
正方形数 N (n,3) n2 ，
五边形数 N (n,5) 3 n 2 1 n ，
2
2
六边形数 N (n,6) 2n2 n ，
可以推测 N (n, k ) 的表达式，由此计算 N (10,24) ．
个数对序列 P 使 T5 P 最小，并写出 T5 P 的值 . （只需写出结论） .
7.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩． 老
师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成
绩，给丁看甲的成绩． 看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩． 根据以上信息， 则（）.
D.
8. （ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 . 为
激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动
. 这款软件
的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，
8，16，…，其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20 ，21，再接下来的三项是 20 ，21 ，22 ， 依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N： N 100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 .
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)
2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．806．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年数学理科高考题分类 真题与模拟题 推理与证明
M单元推理与证明M1合情推理与演绎推理M2直接证明与间接证明M3数学归纳法M4 单元综合23.M4[2018·江苏卷]设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).23.解:(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-2,2因此,当n≥5时,f n(2)=n2-n-2.21.[2018·河南中原名校五联]老师在4个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是黑桃A;小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A.老师说:小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.则可以推测,第4个盒子里装的是()A.红桃A或黑桃AB.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A1.A[解析] 因为四个人都只猜对了一半,所以有以下两种可能:(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,则第3个盒子里面放的不是方片A,小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)当小明猜对第3个盒子里面放的是方片A时,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的只能是红桃A.故选A.2.[2018·广东佛山模拟]德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:任给一个正整数n,);如果n是奇数,则将它乘3加1(即3n+1),不断重复这样的运如果n是偶数,就将它减半(即n2算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数n(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注:1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为()A.4B.5C.6D.72.D[解析] 如果正整数n按照规则实行变换后的第9项为1,则第8项一定是2,第7项一定是4,按照这种逆推的对应关系可得如下树状图:则n的所有可能的取值为4,5,6,32,40,42,256,共7个.3.[2018·乌鲁木齐一检]甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话:甲说:“如果我中奖了,那么乙也中奖了.”乙说:“如果我中奖了,那么丙也中奖了.”丙说:“如果我中奖了,那么丁也中奖了.”结果三人都没有说错,但是只有两人中奖,那么这两人是()A.甲、乙B.乙、丙C.丙、丁D.甲、丁3.C[解析] 假设甲中奖,则乙、丙、丁都中奖,此时四人都中奖,故甲不可能中奖;假设乙中奖,则丙、丁都中奖,甲不一定中奖,此时至少三人中奖,故乙不可能中奖.故只有可能是丙、丁均中奖,符合题意.5.[2018·吉林二调]某公司招聘员工,有甲、乙、丙三人应聘并进行面试,结果只有一人被录用,当三人被问到谁被录用时,甲说:丙没有被录用;乙说:我被录用;丙说:甲说的是真话.事实证明,三人中只有一人说的是假话,那么被录用的人是.5.甲[解析] 如果甲说假话,则丙被录用,那么乙也说了假话,与题设矛盾;如果乙说假话,甲、丙说了真话,则乙没有被录用,丙也没有被录用,则甲被录用,满足题意;如果丙说假话,则甲也说了假话,与题设矛盾.综上,被录用的是甲.6.[2018·广东茂名五校一联]某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于青年教师人数;(ⅲ)青年教师人数的两倍多于男学生人数.若青年教师人数为3,则该宣讲小组总人数为.6.12[解析] 设男学生人数、女学生人数、青年教师人数分别为a,b,c,则2c>a>b>c,a,b,c∈N*,由青年教师人数为3,可得c=3,6>a>b>3,所以a=5,b=4,所以a+b+c=12,即该宣讲小组总人数为12.。
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2018年高考理科数学推理与证明100题（含答案解析）一、选择题（本题共30道小题，每小题0分，共0分）1.．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知：（1）甲与乙不是邻居；（2）乙的房号比丁小；（3）丙住的房是双数；（4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．2号B．3号C．4号D．5号2.用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为（）A．2017×22016B．2017×22014C．2016×22017D．2016×220184.定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5.观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n ∈N *）个等式应为（ ）A ．9（n+1）+n=10n+9B ．9（n ﹣1）+n=10n ﹣9C ．9n+（n ﹣1）=10n ﹣1D ．9（n ﹣1）+（n ﹣1）=10n ﹣106.一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ）A ．81πB ．16πC ．D ．7.有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（ ） A ．（4，2，2，2） B ．（9，0，1，0）C ．（8，0，1，1）D ．（7，0，1，2） 8.用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的9.某计算器有两个数据输入口M 1，M 2一个数据输出口N ，当M 1，M 2分别输入正整数1时，输出口N 输出2，当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2时，N 的输出是n ；当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2+1时，N 的输出是n+5；当M 1输入正整数m 1+1，MM 2输入正整数m 2时，N 的输出是n+4．则当M 1输入60，M 2输入50时，N 的输出是（ ） A ．494 B ．492 C ．485 D ．483 10.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d11.我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A．3 B．5 C．D．12.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．13.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英14.70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出--循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这落入底部的421种运算，自然数27经过十步运算得到的数为 ( )A．142B．71 C．214 D．10715.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.137816.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛第一名得分a为4B．甲可能有一场比赛获得第二名C．乙有四场比赛获得第三名D．丙可能有一场比赛获得第一名17.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩18.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（）A．B．C．D．19.矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A ．小于B ．等于C ．大于D ．大于1.620.有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P ，Q ，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（ ）A ．第一张，第三张B ．第一张，第四张C ．第二张，第四张D ．第二张，第三张21.设n ∈N*，则=（ ）A ．B ．C ．D ．22.已知f （1）=1，f （2）=3，f （3）=4，f （4）=7，f （5）=11，…，则f （10）=（ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 23.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 24.给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提） 已知直线b ∥平面α．，直线α⊂平面α；（小前提） 则直线b ∥直线α（结论） 那么这个推理是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误25.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n )，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n的所有不同值的个数为( )A．4 B．6 C．32 D．12826.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日D．2日和11日27.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①②B．①④C．②③D．②④28.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根29.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为( )A．76 B．80 C．86 D．9230.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（本题共66道小题，每小题0分，共0分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定出来x=2，类似地不难得到= ．32.已知A，B，C三人中，一个是油漆工，一个是木工，一个是泥瓦工，但不知A，B，C三人具体谁是什么工种，三人合作一件工程，由于其中的某一个人而做糟了，为了弄清楚责任，分别询问三人，得到的回答如下：A说：“C做坏了，B做好了”；B说：“我做坏了，C做好了”；C说：“我做坏了，A做好了”．现在又了解到，油漆工从来不说假话，泥瓦工从来不说真话，而木工说的话总是时真时假，则该负责任的是．33.意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n ﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，b2017= ．34.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为颗．（结果用n表示）35.我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 ． 36. 设f （x ）=2x 2x+（x ＞0），计算观察以下格式： f 1（x ）=f （x ），f 2（x ）=f （f 1（x ）），f 3（x ）=f （f 2（x ）），f 4（x ）=f （f 3（x ）），…根据以上事实得到当n ∈N *时，f n （1）= ．37.在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则有)(21+=，将此结论类比到四面体中，在四面体 A ﹣BCD 中，若G 为△BCD 的重心，则可得一个类比结论： ． 38.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =2015，则n= ．39.若从点O 所作的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2与点N 1，N 2，则三角形面积之比为：．若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP ，OQ 和OR 上分别有点P 1，P 2与点Q 1，Q 2和R 1，R 2，则类似的结论为： ． 40.高三（1）班某一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步．①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在跑步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在跑步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在．41.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是．42.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是．43.小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、…、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是．44.在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=．45.平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，则有（其中S△PAB、S△PCD分别为△PAB、△PCD的面积）；空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点，则有= （其中V P、V P﹣CDF分别为四面体P﹣ABE、P﹣CDF的体积）．﹣ABE46.如图所示的“数阵”的特点是：毎行每列都成等差数列，则数字37在图中出现的次数为．47.天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为年．48.在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为．49.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．50.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3S1=S2=S3=，…依此规律，那么S10= ．51.2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为．52.老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为= ．（用O，A，B，C 四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）53.考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是．54.将全体正整数a i，j从左向右排成一个直角三角形数阵：按照以上排列的规律，若定义，则log2= ．55.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．56.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是．57.一般吧数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行，数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左到右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是．58.某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为．59.在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=πx2dx=x3|=．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．60.甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是．61.数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n∈N*），从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出S n= ．62.成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示就是222+=,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数a b ca b c满足222a b c叫做勾股数,下面依次给出前4组勾股数：,,+=,我们就把正整数,,a b c3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41. 则按照此规律，第6组勾股数为．63.已知{a n}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得= ．64.设A（n）表示正整数n的个位数，a n=A（n2）﹣A（n），A为数列{a n}的前202项和，函数f（x）=e x﹣e+1，若函数g（x）满足f[g（x）﹣]=1，且b n=g（n）（n∈N*），则数列{b n}的前n项和为．65.将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为．66.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：a n=如果把这个数列{a n}排成右侧形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A （10，4）的值为．67.已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论．68.已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则= ．69.如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线)1y x=+上从左向右依次取点kA、kB，1,2,k=⋅⋅⋅，其中1A是坐标原点，使1k k kA B A+∆都是等边三角形，则101011A B A∆的边长是.70.在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=πx2dx=x3|=．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．71.将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为．72.观察下列不等式： ①232112<+； ②353121122<++； ③474131211222<+++； 照此规律，第五个不等式为 ． 73.将正整数排成下表： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …… ……其中第i 行，第j 列的那个数记为ji a ，则数表中的2015应记为 ．74.已知kC n k =nC n ﹣1k ﹣1（1≤k≤n，且k ，n∈N *）可以得到几种重要的变式，如：C n k ，将n+1赋给n ，就得到kC n+1k =（n+1）C n k ﹣1，…，进一步能得到：1C n 1+2C n 2•21+…+nC n n •2n ﹣1=nC n ﹣10+nC n ﹣11•21+nC n ﹣12•22+…+nC n ﹣1n ﹣1•2n ﹣1=n （1+2）n ﹣1=n•3n ﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n 0×+C n 1×（）2+C n 2×（）3+…+C n n ×（）n+1= ．75.某学生猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，若该学生回答正确，则3a b += ．76.如图所示，作一个边长为1的正△ABC ，且AB 与x 轴的夹角为5°，易知向量和0AB BC CA ++=，令与x 轴同向的单位向量为i ，则有()cos5cos125cos2450i AB BC CA ⋅++=︒+︒+︒=，仿照以上方法，推广以上结论可得12cos cos ...cos 0n a a a +++=，若1a a = 则n a =___77.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8=4a 3，a 7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i 行从左到右的第j 个数是﹣588，则i+j= ．79.用反证法证明命题“若正整数a ，b ，c 满足b 2﹣2ac=0，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，反设应为 ． 80.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是 ．81.设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a i（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i 个面的距离记为d i，若等于．82.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的两人说对了．83.已知函数f（x）=2x，若x1，x2是R上的任意两个数，且x1≠x2，则，请对比函数f（x）=2x得到函数g（x）=lgx一个类似的结论：．84.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之，问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角锥垛，如图3，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层．．茭草总束数为_______.85.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …照此规律，第n 个等式为 ． 86.若函数()y f x =的导数''()y f x =仍是x 的函数，就把''()y f x =的导数''''()y f x =叫做函数()y f x =二阶导数，记做(2)(2)()yf x =。