§1.3.1辗转相除法与更相减损术导案

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1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术学案(已修改)

1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术讲义编写者：数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、用辗转相除法求最大公约数.2、用更相减损术求最大公约数.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材34—35页内容，回答问题（辗转相除法）<1>怎样用短除法求最大公约数？<2>怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？<3>什么叫做辗转相除法求最大公约数？结论：<1>求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.<2>穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数便是最大公约数.<3>辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果，否则转向第二步继续循环执行.如此循环直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因此又叫做欧几里得算法.练习一：①用短除法求18和31的最大公约数.②用辗转相除法求8251与6105的最大公约数.③画出辗转相除法的程序框图，并写出程序.综合：请画出辗转相除法的程序和框图.【教学效果】：理解辗转相除法.2、阅读教材36—37页内容，回答问题（更相减损术）<4>怎样用更相减损术求最大公约数？结论：<4>《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”其算法如下：第一步，任意更定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约减，若不是，则执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.练习二：用更相减损术求98与63的最大公约数.【教学效果】：理解更相减损术.思考：辗转相除法与更相减损术的区别与联系是什么？1o都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.2o从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、【作业】1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数；2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.四、【小结】本节课主要学习了更相减损术和辗转相除法.五、【教学反思】当我们的学生对知识流露出不会时，做老师的要更多的去找自己的原因，而不是学生的原因.六、【课后小练】1、用辗转相除法求下列各组数的最大公约数（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；1192、思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由.3、思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现.。

1[1].3案例1辗转相除法与更相减损术

辗转相除法求两个数的最大公约数的算法求任意两个数的最大公约数的算法是：第一步：输入两个正整数m,n;
第二步：求出m÷n的余数r;
第三步： m=n，n=r 第四步：若r=0，则(m,n)=m；否则转到第二步；
Байду номын сангаас
辗转相除法的程序框图及程序
开始
输入两个正数m,n
r=m MOD n m=n
n=r
m>n?
输出m
m=n? 是
否结束
3.辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.
[引入]:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与 6105的最大公约数?
今天我们来学习一种求最大公约数的新方法——辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300 年左右首先提出的。
1、带余数除法
若a，b是两个整数，其中b>0，则存在着两个整数q及r，使得
a=bq+r
(0≤r<b)
成立，而且q及r是唯一的。
2、定理：设a、b、c是任意三个不为0的整
数，且a=bq+ c （q是整数），
则（a，b）=（b，c）
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。

§1.3.1辗转相除法与更相减损术学案

A．36 B. 12 C. 186 D. 589
2．两个整数324和135的最大公约数是（）
A. 81 B. 54 C. 27 D. 9
3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列对辗转相除法的说法错误的是（）
A．辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早
三、练习
1．用更相减损术求80与36的最大公约数是__________.
2.用辗转相除法求459与357的最大公约数是________.
3.三个数72,120,168的最大公约数是__________.
34．课本中的辗转相除法主要用到的逻辑结构是（）
A．顺序结构 B. 条件结威十六中教学导学案学案
课题：
§1.3.1辗转相除法与更相减损术
学科：
数学
年级：
高一年级
课时：
1课时
主备人：
蒋继荣
使用学生：
使用时间：
年月日
学习目标：
1．了解中国古代数学中的算法案例——辗转相除法与更相减损术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献
2．会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数
3．能根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序
B．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数
C．在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法还有更相减损术
D．在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写
二、合作探究
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.
例3 求325，130，270三个数的最大公约数.
例4.用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？

1.3-1辗转相除法与更相减损术

引例:求30与18的最大公约数为多少？解：∵ 30= 18×1+12 18= 12×1+6 12= 6×2+0 ∴ 30与18的最大公约数为 6.
思考2:用上述方法求8251与6105这两个数的最大公约数？解:∵ 8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0. ∴ 8251与6105的最大公约数为 37.
1.3
算法案例
第一课时
问题提出
1 5730 p 2
t
“求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究.
知识探究（一）:辗转相除法
思考1:怎样求18与30的最大公约数？方法：先用两个数 30 2 18 公有的质因数连续 9 15 3 去除，一直除到所 3 5 得的商是互质数为止，然后把所有的最大公约数为除数连乘起来即为 2×3= 6 最大公约数.
INPUT m，n DO r= m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
例1:用辗转相除法求98与63的最大公约数为多少？算法直到型 m n
解:∵ 98= 63×1+35 m n r 63= 35×1+28 m n 35= 28×1+7 28= 7×4+0 m n r m=7, n=0
输入m,n (m>n) 计算: r=m MOD n 循环体：m=n, n=r
控制条件： r=0? 输出 m

1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术

第一课时 1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术教学要求：理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序.教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程：一、复习准备：1. 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）.2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？（先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法？6436128=⨯+ ，36∴和28的最大公约数就是64和36的最大公约数，反复进行这个步骤，直至842=⨯，得出4即是36和64的最大公约数.二、讲授新课：1. 教学辗转相除法：例1：求两个正数1424和801的最大公约数.分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数. （适用于两数较大时） ①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；（2）若0R ＝0，则n 为m ，n的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；（3）若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体，它的程序框图如右图：（师生共析，写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言）练习：求两个正数8251和2146的最大公约数. （乘法格式、除法格式）2. 教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. 例2：用更相减损术求91和49的最大公约数.分析：更相减损术是利用减法将大数化小，直到所得数相等时，这个数（等数）就是所求的最大公约数. （反思：辗转相除法与更相减损术是否存在相通的地方）练习：用更相减损术求72和168的最大公约数.3. 小结：辗转相除法与更相减损术及比较①都是求最大公约数的方法，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少；②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、巩固练习：1、练习：教材P35第1题 2、作业：教材P38第1题第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计.教学过程：一、复习准备：1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.2. 设计一个求多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+当5x =时的值的算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可）提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)二、讲授新课：1. 教学秦九韶算法：① 提问：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2x ，然后依次计算2x x ⋅，2()x x x ⋅⋅，2(())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.③ 更有效的一种算法是：将多项式变形为：5432()254367((((25)4)3)6)7f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，依次计算2555⨯-=，55421⨯-=，2153108⨯+=，10856534⨯-=，534572677⨯+= 故(5)2677f =. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式）④ 练习：用秦九韶算法求多项式432()2351f x x x x x =+-++当4x =时的值. （学生板书→师生共评→教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的求值问题？改写：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++ .首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.⑥ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n kk n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩ . 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-当5x =时的值并画出程序框图.2. 小结：秦九韶算法的特点及其程序设计三、巩固练习：1、练习：教材P35第2题 2、作业：教材P36第2题第三课时 1.3.3 算法案例---进位制教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律.教学重点：各种进位制之间的互化.教学难点：除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计. 教学过程：一、复习准备：1. 试用秦九韶算法求多项式52()42f x x x =-+当3x =时的值，分析此过程共需多少次乘法运算？多少次加法运算？2. 提问：生活中我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的秤是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......那么什么是进位制？不同的进位制之间又有什么联系呢？二、讲授新课：1. 教学进位制的概念：① 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 如：“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制 . 同一个数可以用不同的进位制来表示，比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的. 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如上例中：(2)(8)(16)1110017139==② 一般地，任意一个k 进制数都可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，即110110()110110...(0,0,...,,)n n n n k n n n n a a a a a k a a a k a k a ka k a k ----<<≤<=⨯+⨯+⨯+⨯ . 如：把(2)110011化为十进制数，(2)110011=1⨯25+1⨯24+0⨯23+0⨯22+1⨯21+1⨯20=32+16+2+1=51. 把八进制数(8)7348化为十进制数，3210(8)7348783848883816=⨯+⨯+⨯+⨯=.2. 教学进位制之间的互化：①例1：把二进制数(2)1001101化为十进制数.（学生板书→教师点评→师生共同总结将非十进制转为十进制数的方法）分析此过程的算法过程，编写过程的程序语言. 见P34②练习：将(5)2341、(3)121转化成十进制数.③例2、把89化为二进制数.分析：根据进位制的定义，二进制就是“满二进一”，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数. （教师板书）上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法. ④练习：用除k 取余法将89化为四进制数、六进制数.⑤例3、把二进制数(2)11011.101化为十进制数.解：43210123(2)11011.101121202121212021227.625---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（小数也可利用上述方法化进行不同进位制之间的互化. ）变式：化为八进制→方法：进制互化3. 小结：进位制的定义；进位制之间的互化.三、巩固练习：1、练习：教材P35第3题 2、作业：教材P38第3题第四课时 1.3.4 生活中的算法实例教学要求：通过生活实例进一步了解算法思想.教学重点：生活实例的算法分析.教学难点：算法思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 前面学习了哪几种算法案例？每种算法的作用及操作方法是怎样的？2. 算法思想在我们的生活中无处不在，如何利用我们所学习的知识解决生活中的实际问题？二、讲授新课：1. 霍奇森算法：提问：同学们经常会面对一个共同的问题，就是有时有太多的事情要做. 例如，你可能要面临好几门课的作业的最后期限，你如何合理安排以确保每门课的作业都能如期完成？如果根本不可能全部按期完成，你该怎么办？（霍奇森算法可以使得迟交作业的数目减到最小. 这一算法已经广泛应用于工业生产安排的实践中.）例如：当你拿到下面这组数据后，你会如何安排你的时间，以确保每门课的作业都能如期完成？可用自然语言描述为：①把这些作业按到期日的顺序从左到右排列，从最早到期的到最晚到期的；②假设从左到右一项一项做这些作业的话，计算出从开始到完成某一项作业时所花的时间. 依次做此计算直到完成了所列表中的全部作业而没有一项作业会超期，停止；或你算出某项作业将会超期，继续第三步；③考虑第一项将会超期的作业以及它左边的所有作业，从中取出花费时间最长的那项作业，并把它从表中去掉；④回到第二步，并重复第二到四步，直到做完.2. 孙子问题：韩信是秦末汉初的著名军事家. 据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数.韩信先令士兵排成了3列纵队进行操练，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵队，这一改又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整行. 由此得出共有士兵2333人. 如何用现在的算法思想分析这一过程？《孙子算经》中给出了它的具体解法，其步骤是：选定57⨯的倍数，被3除余1，即70；选定37⨯的一个倍数，被5除余1，即21；选定35⨯的一个倍数，被7除余1，即15. 然后按下式计算702213152105m p =⨯+⨯+⨯-，式中105为3,5,7的最小公倍数，p 为适当的整数，使得0105m <≤，这里取2p =.求解“孙子问题”的一种普通算法：第一步：2m =.第二步：若m 除以3余2，则执行第三步；否则1m m =+，执行第二步.第三步：若m 除以5余3，则执行第四步；否则1m m =+，执行第二步.第四步：若m 除以7余2，则执行第五步；否则1m m =+，执行第二步.第五步：输出m .3. 小结：算法的基本思想.三、巩固练习：作业：教材P38第3题。

算法案例之辗转相除法与更相减损术

2013-2014学年第二学期高二数学导学案编号：7 使用时间：编写人：张娜审核人：石岩负责人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：第 1页共 1页§1.3.1辗转相除法与更相减损术【使用说明】1.对照学习目标和重难点，对课本进行系统预习。

2.独力限时完成导学案。

【学习目标】1. 掌握辗转相除法的算法步骤。

2.会用辗转相除法求几个数的的最大公约数3. 理解更相减损术的算法思想。

4. 掌握用更相减损术求几个数的最大公约数。

【重点难点】学习重点：理解辗转相除法,更相减损术的算法思想。

学习难点：掌握辗转相除法更相减损术的算法步骤. 【问题导学】在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251＝6105×1＋2146 显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148333＝148×2＋37 148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数。

辗转相除法也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商q 0和一个余数r 0；第二步：若r 0＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若r 0≠0，则用除数n 除以余数r 0得到一个商q 1和一个余数r 1；第三步：若r 1＝0，则r 1为m ，n 的最大公约数；若r 1≠0，则用除数r 0除以余数r 1得到一个商q 2和一个余数r 2；……依次计算直至r n ＝0，此时所得到的r n －1即为所求的最大公约数。

高中数学第一章算法初步 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件新人教A版必修3

=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即
v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式的值.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19
三、秦九韶算法【问题思考】
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时 f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次. 2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为 f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少. 提示乘法运算4次,加法运算5次.
3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大
简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…

高一数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件新人教A版必修2

§1.3 算法案例
第一课时辗转相除法与更相减损术､秦九韶算法
自学导引 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解执行过程. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它在数学计算中的应用. 3.进一步体会算法的基本思想.
课前热身
欧几里得算法
两个正整数的最大公约数
1.辗转相除法是用于求
_____________________的一种方较大的数
解:解法1(辗转相除法):先求175与100的最大公约数: 175=100×1+75, 100=75×1+25, 75=25×3. ∴175与100的最大公约数是25. 以下再求25与75的最大公约数: 75=25×3 ∴25和75的最大公约数是25.
故25是75和25的最大公约数,也就是175､100､75的最大公约数.
Hale Waihona Puke (3)任何两个数,用辗转相除法求其最大公约数的程序框图. 由于辗转相除法总是用较大的数去除以较小的数,所以首先要对一开始给定的两数的大小进行判断,并将大数赋给m,小数赋给n,然后再执行下面的过程.程序框图如下图所示:
(4)辗转相除法求两个数的最大公约数的程序设计.
INPUT “a,b”;a,b IF a<b THEN t=a a=b b=t END IF r=a MOD b WHILE r<>0 a=b b=r r=a MOD b WEND PRINT b END
解:(1)98和63 辗转相除法 S1 98=63 ×1+35, S2 63=35 ×1+28, S3 35=28×1+7, S4 28=4 ×7, 最大公约数为7.
更相减损术 S1 98-63=35, S2 63-35=28, S3 35-28=7, S4 28-7=21, S5 21-7=14, S6 14-7=7, 故98和63的最大公约数为7.

1.3.1辗转相除法与更相减损术

长江中学高二数学导学案二十六班级：组别：姓名：编写人：周智勇审核人：龙子勇时间：2017年11月7<<1.3.1辗转相除法与更相减损术>>导学案学习目标：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

3. 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

4.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。

【重点】辗转相除法和更相减损术的算法思想【难点】根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序学习过程：【自主学习】1．辗转相除法：古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是 ______ ：用______除以______所得______和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

2．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，若把较大的数用变量a表示，把较小的数用变量b表示，则可反复执行式子 ______ 实现循环结构的算法。

3．更相减损术：用两数中______ 减去______，再用______和______ 构成新的一对数，再用______减______，以同样的操作一直做下去，直到所得的两数______为止。

4. 更相减损术算法中，若把大数赋给a，小数赋给b，则当a﹥b时，将______ 赋给 a，b=b;当a﹤b时，a=a,将______ 赋给b，然后再进行比较，依次类推用循环结构实现。

【合作探究】探究1 用辗转相除法求两个正数8251和6105的最大公约数，画出程序框图并把它编成一个计算机程序。

公开课1.3.1辗转相除法与更像减损术学案

算法案例1:辗转相除法与更像减损术学案【学习目标】1、掌握辗转相除法的算法步骤。

2、会用辗转相除法求几个数的的最大公约数。

3、了解中国古代及西方数学中几个典型的算法案例，理解其中所包含的数学思想，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

【重点难点】学习重点：理解辗转相除法与更像减损术的算法思想。

学习难点：掌握辗转相除法与更像减损术的算法步骤。

【学习过程】一．学习引导：１、算法知识回顾（口答）①算法的三种基本表述方法分别是什么？②算法三种基本逻辑结构是什么？③算法的基本程序语句分别有哪５句？２、课堂知识导引（口答）①什么是最大公约数？②小学学过的求两个数最大公约数的方法？３、基本训练（运算与思考）①求两个正整数75和105的最大公约数。

②求8251和6105的最大公约数。

二.辗转相除法1、辗转相除法（欧几里得算法）（1）简单介绍欧几里得：古代希腊数学家（2）例1.用辗转相除法求161与63的最大公约数。

（3）例2求8251和6105的最大公约数.（4）练习1：用辗转相除法求225和135的最大公约数（5）合作探究1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？（6）思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？（7）用辗转相除法解决最大公约数问题的算法步骤、程序框图和程序代码怎样？三、更相减损术（古代中国数学）（1）例3 用更相减损术求98与63的最大公约数。

（2）练习2.用更像减损术求294和84的最大公约数。

（3）合作探究2：从刚才的实践看出计算的规律是什么？（4）用更相减损术解决最大公约数问题的算法步骤、程序框图和程序怎样？四、课堂练习求下列各组数的最大公约数（先用辗转相除法求，再用更相减损术验证）（1）225，135（2）98，196（3）72，168（4）36，54，90五、小结（口答)1、求两个正整数的最大公约数的方法有哪些？2、辗转相除法与更相减损术求两个最大公约数的算法是怎样进行的？【自我测评】1. 用辗转相除法求295和85的最大公约数时,需要做出除法的次数是( )A 1.B 2.C 3.D 42. 用辗转相除法求567和405的最大公约数是( )A 81B 7C 5.D 353. 求98,196的最大公约数__________________。

1.3.1辗转相除法与更相减损术教案

《必修3算法案例1：辗转相除法与更相减损术》教学设计龙游县横山中学黄建金2011.12.1教学目标Ⅰ、知识与技能:①理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

②基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

Ⅱ、过程与方法①在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

Ⅲ、情态与价值观①通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

②在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。

教学重难点Ⅰ重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

Ⅱ难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

教学设计一、创设情景，揭示课题1.教师首先提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？练习一：求出求出18与30的公约数，并书写。

2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

二、研探新知，共同学习1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数。

辗转相除法与更相减损术(导学案)

辗转相除法与更相减损术（导学案）
学习目标
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

教学重点、难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言．
教学过程
一、复预导入
问题1：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
问题2：如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？
二、合作探究
1.辗转相除法
例1、求两个正数a=204和b=85的最大公约数。

探究一、利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。

2.用更相减损术
例2 、用更相减损术求91与49的最大公约数.
探究二、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。

探究三、利用辗转相除法与更相减损求78和36的最大公约数
课堂小结
三、达标测评
1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．5
2．两个整数228和1995的最大公约数是（）
A．38 B．57 C．76 D．171
3．是我国古代数学专著《》中介绍的一种求两数最大公约数的方法。

4．117与182的最大公约数是。

5．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。

6分别用辗转相除法和更相减损法求91和49的最大公约数.。

精品导学案：辗转相除法与更相减损术

精品导学案：辗转相除法与更相减损术1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.2. 更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，.知识探究（一）:辗转相除法思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？思考3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？思考4:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m ，n 的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m ，n(m>n).第二步，第三步，第四步，思考5:该算法的程序框图如何表示？思考6:该程序框图对应的程序如何表述？思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？知识探究（二）:更相减损术思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？思考2:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，第三步，第四步，思考3:该算法的程序框图如何表示？思考4:该程序框图对应的程序如何表述？知识探究（三）:辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

《算法案例：辗转相除法与更相减损术》导学案

辗转相除法与更相减损术学习目标：1°理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，根据原理进行算法分析； 2°能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序； 3°感受算法的意义和价值。

知识情境：1：10 WHILE 语句: 计算机执行语句的过程是20 UNTIL 语句: 计算机执行语句的过程是你能编写一个程序,用二分法求方程220(0)x x -=>的近似解吗?2：我们已经学过求最大公约数的方法，你能求出18与30的公约数吗？如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，又应该怎样求它们的最大公约数？比如,如何求1424与801的最大公约数？知识生成：1. 教学辗转相除法：思路：可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)(1)用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；(2)若0R ＝0,则n 为m,n 的最大公约数；若0R ≠0,则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；(3)若1R ＝0,则1R 为m,n 的最大公约数;若1R ≠0,则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.例题1：求两个正数1424和801的最大公约数.①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定,所以可把它看成一循环体,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言.2. 教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为：(1) 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.(2) 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例题2. 用更相减损术求91和49的最大公约数.练一练：：1．求两个正数8251和2146;228和1995;5280和12155的最大公约数.2．用更相减损术求72和168的最大公约数.3．编写一个程序, 求两个正数8251和2146的最大公约数.4．比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求的方法，计算上辗转相除法以法为主，更相减损术以法为主，计算次数上法计算次数相对较少，特别当两个数字时计算次数的区别较明显．(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以则得到，而更相减损术则以而得到．。

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一、创设情景、导入课题 1.研究一个实际问题的算法，主要从哪几方面展开？
2.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？
3.在程序设计中基本的算法语句有哪几种？
4.思考 1:18 与 30 的最大公约数是多少？你是怎样得到的？
5. 思考 2:对于 8251 与 6105 这两个数，它们的最大公约数是多少？你是怎样得到的？由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简单的找出它们的最大公约数呢？二、师生互动、探究新知 1. 辗转相除法思考 3：注意到 8251=6105×1+2146，那么 8251 与 6105 这两个数的公约数和 6105 与 2146 的公约数有什么关系？我们发现 6105=2146×2+1813，同理， 6105 与 2146 的公约数和 2146 与 1813 的公约数相等. 思考 4：重复上述操作，你能得到 8251 与 6105 这两个数的最大公约数吗？ 6105＝2146×2＋1813
2.更相减损术《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数更相减损术求最大公约数的步骤如下： “可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.” 翻译出来为：第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数. 若是，用 2 约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 例 1 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即：98－ 63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98 与 63 的最大公约数是 7。
课后反思
INPUT m，n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
思考 6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数 m，n 的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？
INPUT m，n WHILE n>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
四、课堂小结 1、辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数. 2、更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数. 五、作业布置
练习：用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。（答案：12）三、例题讲解例 2 分别用辗转相除法和更相减损术求 168 与 93 的最大公约数. 辗转相除法： 168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6. 更相减损术: 168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3. 例 3 求 325，130，270 三个数的最大公约数. 因为 325=130×2+65，130=65×2，所以 325 与 130 的最大公约数是 65. 因为 270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以 65 与 270 最大公约数是 5. 故 325，130，270 三个数的最大公约数是 5. 例 4.用更相减损术求两个正整数 m，n 的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数 m，n(m>n). 第二步，计算 m-n 所得的差 k. 第三步，比较 n 与 k 的大小，其中大者用 m 表示，小者用 n 表示.
武威十六中教学导学案教案
学科主备课人使用教师课题学习目标重点难点教学方法高一课时 1 课时审核人高一数学备课组使用时间年月日 §1.3.1 辗转相除法与更相减损术理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。进一步培养学生数形结合解决问题的能力理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。引导、探究式、练习法教学设计个性化修改数学年级蒋继荣
第四步，若 m=n，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则，返回第二步. 讨论:该算法的程序框图如何表示？讨论:该程序框图对应的程序如何表述？
INPUT m，n WHILE m≠n k=m-n IF n>k THEN m=n n=k ELSE m=k END IF WE3 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q 0 和一个余数 r0 ；第二步：若 r0 ＝0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 r0 ≠0，则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和一个余数 r1 ；第三步：若 r1 ＝0，则 r0 为 m，n 的最大公约数；若 r1 ≠0，则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q 2 和一个余数 r2 ； „„ 依次计算直至 rn ＝0，此时所得到的 rn 1 即为所求的最大公约数. 思考 5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？第一步，给定两个正整数 m，n(m>n). 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若 r=0，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则，返回第二步.