八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步练习新版新人教版

13.4课题学习最短路径问题学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．A点处B．D点处C．AD的中点处D．△ABC三条高的交点处2．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A．750米B．1000米C．1500米D．2000米3．在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）A．B．C．D．4．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EPCP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（﹣1，1）、B（3，3若M为x轴上一点，且MAMB最小，则M的坐标是（）A．（0，0） B．（﹣）C．（﹣，0）D．（0，﹣）6．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C．D．7．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．6 B．12 C．16 D．208．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BFEF的最小值为（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定9．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EBEF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．13二．填空题（共6小题）11．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN 周长的最小值为．12．在平面直角坐标系中，已知A（1，1）B（2，3C点在x轴上且BC﹣AC最大，则C点的坐标为．13．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BFEF的最小值为．14．在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CMMN的最小值是．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4欲在x轴上找一点P，使PAPB最短，则点P的坐标为．16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN∠ANM的度数为．三．解答题（共4小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BHEH最小，并求出这个最小值．18．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，，则问题即转化成求ACCE的最小值．（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，ACCE的值最小，于是可求得的最小值等于，此时x= ；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．19．近年来，为减少空气污染，一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气要从燃气站点A 向B，C两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到 C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短．20．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，△PCE的周长=ECEPPC=ECEPBP，当B、E、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，故选：D．2．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，∴CA′=AC，∵AC=DB，∴CA′=BD，由分析可知，点M为饮水处，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，又∵∠A′MC=∠BMD，在△CA′M和△DBM中，，∴△CA′M≌△DBM（AAS∴A′M=BM，CM=DM，即M为CD中点，∴AM=BM=A′M=500，所以最短距离为2AM=2×500=1000米，故选：B．3．解：若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，则可以过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求，由给出的四个选项可知选项C满足条件．故选：C．4．解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EPCP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF=AD=3，即EPCP的最小值为3，故选：B．5．解：如图因为点B的坐标（3，3）点A′的坐标（﹣1，﹣1所以两点连线相交于原点（0，0即为点M．故选：A．6．解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．7．解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF，∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP∠POF=2θ2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．故选：B．8．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BFEF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短由于C和B关于AD对称，则BFEF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BFEF=CFEF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS∴CE=AD=5，即BFEF=5，故选：B．9．解：连接CF，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴EB=EC，当B、F、E三点共线时，EFEC=EFBE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，∴EFBE的最小值为6，故选：D．10．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=18，解得AD=9，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴CM=AM，∴CDCMDM=CDAMDM，∵AMDM≥AD，∴AD的长为CMMD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CMMD）CD=AD BC=9×4=92=11．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形．△PMN的周长=P1P2，∴P1P2=OP1=OP2=OP=8．故答案为：8．12．解：如图，∵BC﹣AC≤AB，∴当A、B、C共线时，BC﹣AC的值最大，设直线AB的解析式为y=kxb，则有，解得，∴直线AB的解析式为y=2x﹣1，∵直线AB与x轴的交点坐标为（，0∴点C坐标为（，0）．13．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BFEF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短由于C和B关于AD对称，则BFEF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BFEF=CFEF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS∴CE=AD=5，即BFEF=5．故答案为：5．14．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，∵BD平分∠ABC，∴M′E=M′N′，∴M′N′CM′=EM′CM′=CE，则CE即为CMMN的最小值，∵BC=8，∠ABC=30°，∴CE=BC•sin30°=8×=4．∴CMMN的最小值是4．故答案为：4．15．解：∵点A（﹣1，2∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2∵A′（﹣1，﹣2B（1，4设直线A′B的解析式为y=kxb（k≠0∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=3x1，当y=0时，x=﹣．∴P（﹣，0）．故答案为（﹣，0）．16．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′∠A″=180°﹣∠130°=50°，由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN∠ANM=2（∠A′∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°三．解答题（共4小题）17．（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，∴BC=EA，∠ABC=60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，∴，，∴，∴BHEH的最小值为3．18．解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，根据题意，四边形BDEF为矩形．AF=ABBF=51=6，EF=BD=8．∴AE==10．即ACCE的最小值是10．=10，∵EF∥BD，∴=，∴=，解得：x=．（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形．EF=ABDE=23=5，AF=DB=12．∴AE==13．即ACCE的最小值是13．19．解：方案1：ABAC=34=7千米；方案2：连接AB，AC．∵AB=3，AC=4，BC=5．∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC于D，∴S△ABC=AB•AC=BC•AD，∴3×4=5AD，∴AD=，∴ADBC=5=7.4千米；方案3：∵AE＞AD，∴AEBC＞7.4千米，综上，在不考虑其它因素的情况下，方案1所用管道最短．20．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′PDP＜C′P′DP′，∴PCDP＜CP′DP′∴CDCPDP＜CDCP′DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点，理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∴PEEFPF=CEEFDF，PE′PF′E′F′=CE′E′F′DF′，∵CEEFDF＜CE′E′F′DF′，∴PEEFPF＜PE′E′F′PF′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，∵C和M关于直线OA对称，∴ME=CE，CE′=ME′，NF=DF，NF′=DF′，由（2）得知MNMEEFNF＜MNME′E′F′F′D．。