大学物理第六章《真空中的静电场》

第六章 真空中的静电场一、 基本要求1．掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度的叠加原理和电势的叠加原理。

掌握电势与电场强度的积分关系。

能计算一些简单问题中的电场强度和电势。

2．理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。

理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。

3．了解电偶极矩的概念。

能计算电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩。

二、 基本内容1．点电荷当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷。

对点电荷模型应注意：（1）点电荷概念和大小具有相对意义，即它本身不一定是很小的带电体。

只要两个带电体的线度与它们之间距离相比可忽略，就可把它们简化为点电荷，另外，当场点到带电体的距离比带电体的线度大得多时也可以把带电体简化为点电荷。

（2）点电荷是由具体带电体（其形状没有限制）抽象出来的理想化模型，所以不能把点电荷当作带电小球。

（3）点电荷不同于微小带电体。

因带电体再小也有一定的形状和电荷分布，还可以绕通过自身的任意轴转动，点电荷则不同。

（4）一个带电体在一些问题中可简化为点电荷，在另一些问题中则不可以。

如讨论带电体表面附近的电性质时就不能把带电体简化为点电荷。

2．库仑定律02qq kr 0F r 其中，0r 由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。

适用条件：真空中点电荷之间（相对观察者静止的电荷）的相互作用。

当空间有两个以上的点电荷同时存在时，作用在某一点电荷上的总静电力等于其它各点电荷单独存在时对该电荷所施静电力的矢量和——电场力的叠加原理。

3．电场强度矢量0q =E F ，电场中某点的电场强度等于单位电荷在该点所受的电场力。

0q 为正时，E 和电场力F 同方向，0q 为负时，E 的方向和F 方向相反。

（1）E 反映电场的客观性质，E 与试验电荷0q 的大小，电荷正负无关，也与0q 的存在与否无关。

（2）E 是一个矢量，一般地说，电场空间不同点处的场强不同，即()r =E E 。

如点电荷的场的场强分布函数为2014q r πε=E r （3）因为静电场可叠加，所以E 矢量服从叠加原理。

空间任一点处场强12n i i=+++=∑E E E E E（4）电荷在静电场中受电场力作用，0q =F E ，E 为0q 所在处的总场强，即除0q 以外所有其它电荷在0q 所在处产生的合场强。

（5）电场强度的计算由叠加原理和点电荷场强公式原则上可以求出任意带电系统产生的电场的场强分布。

对点电荷系 12,,,,n q q q ⋅⋅⋅任意一点的场强21014ni i i i q r πε==∑E r对电荷连续分布的带电体，任一点的场强 02014dq rπε=⎰E r 当电荷为线分布，dq dl λ=，λ为线电荷密度，积分应遍及整个带电导线。

当电荷为面分布，dq ds σ=，σ为面电荷密度，积分应遍及整个带电曲面。

当电荷为体分布，dq dV ρ=，ρ为体电荷密度，积分应遍及整个带电体。

由叠加原理求场强的一般步骤为（对电荷连续分布的带电体）：第一步，把带电体看作由无数个电荷元组成，利用点电荷场强公式，写出任意电荷元在场点产生的场强：02014dq d r πε=E r第二步，选取适当的坐标系，把d E 投影在坐标轴上，分别得其分量x dE 、y dE 、z dE 。

第三步，应用叠加原理分别求出场强在各个方向的分量如：z z y y x x E d E dE E dE E ⎰⎰⎰===,,。

总场强 x y z E E E =++E i j k 。

也可由222z y x E E E E ++=和E E x =αcos 、E E y =βcos 、EEz =γcos 分别求出E 的大小和方向。

对于一些具有特殊形状的带电体，当其电场分布具有一定对称性时，如球对称，面对称，轴对称，可用高斯定理，通过选择适当的高斯面求出场强分布。

4．电场的高斯定理isq d ε⋅=∑⎰⎰E S式中e sd ψ⋅=⎰⎰E S ，表示通过场中任意闭合曲面的电通量。

∑i q 表示闭合曲面内电荷代数和，这些电荷可以是自由电荷，也可以是束缚电荷。

对于高斯定理应注意：（1）通过高斯面的电通量e ψ只与高斯面内电荷代数和有关，与高斯面内电荷具体分布无关，与高斯面的形状，大小无关，与高斯面外电荷无关。

0i q >∑，0e ψ>，有电力线从S 内穿出；0i q <∑，0e ψ<，表示有电力线穿入S 面内。

说明静电场为有源场，正电荷是静电场的源头，负电荷是静电场的尾闾。

（2）sd ⋅⎰⎰E S 中E 表示高斯面S 上，d S 面元处的场强。

因为空间任意点的场是由空间各点处的电荷共同激发的，所以S 面上任意点处的E 不仅与S 面内的电荷以及电荷分布有关，也与S 面外各点处的电荷以及电荷分布有关。

（3）对于具有一定对称性分布的电场，只要选取适当的高斯面，可使在高斯面上或高斯面上某一部分电场强度为恒量。

所以有1cos issd E dS q αε⋅==∑⎰⎰⎰⎰E S⎰⎰∑=si dSq E αεcos 0可以应用高斯定理求场强。

（4）高斯定理应用① 分析场分布的对称性，常见的有球对称、轴对称、面对称。

② 选取适当的高斯面（此处高斯面不能任取），原则为：过场点，使高斯面上各点E 的大小相等，E 方向与高斯面上各面元垂直，或有恒定的夹角；或者高斯面上一部分E 满足上述条件，其余部分0E =或E 与各面元平行。

③ 求出高斯面内所包围的净电荷。

根据高斯定理求E 的大小。

④ 根据场分布的对称性确定场强方向。

5．静电场的环流定律0sd ⋅=⎰E l与静电场力做功与路径无关的结论是等价的，说明静电场是保守场，静电力是保守力，可以引入电势能和电势的概念。

6．电势能电场力为保守力，可以引进相关势能，若以A W 和B W 分别表示试探电荷0q 在场中A 点和B 点的电势能，则0BA B AB A W W q d A -=⋅=⎰E l注意：①电势能是0q 与场源电荷所激发的电场之间的相互作用能量，属0q 和电场系统。

②电势能为一相对量。

选定电势能零点后，才能确定电荷在场中任一点的电势能的大小。

例如，对带电体电荷分布为有限时，取无限远处为电势能零点，则0q 所在处P 点的电势能为0P P W q d ∞=⋅⎰E l电势能差与零点选择无关。

由0BA B AB AW W q d A -=⋅=⎰E l ，电场力做功等于电势能增量的负值。

7．电势电势中某点电势定义为PP P W V d q ∞==⋅⎰E l 即静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所做的功。

电势为标量，相对于电势的零点，场中任一点的电势可正、可负。

对电势概念： （1）0q W V PP =反映电场本身的性质，与0q 的大小以及存在与否无关，只要产生场的电荷分布一定，电场分布就确定，电势也就有确定的分布。

（2）电势为一相对量，只有选定了电势零点，场中任一点电势才有确定大小。

所以P d ∞⋅⎰E l 中∞处即电势零点。

电势零点的选择应注意，在理论上合理，实用上方便（原则上可任选）。

如对场源电荷分布在有限区域内时，通常选距场源电荷为无限远处为电势零点；对于无限带电体（如无限大带电平面，无限长带电直线）则选场中有限远处某点为电势零点。

在一些实际问题中通常选地球（接地）或仪器外壳为电势零点。

场中任意两点间电势差与电势零点选择无关，即bab a b a U V V d =-=⋅⎰E l 总是恒定的。

（3）电势服从叠加原理，∑=i V V 。

（4）电势与电势能的区别。

（5）电场力做功与电势差的关系为00()ab a b ab A q V V q U =-=当电势分布已知，则在电场中移动Q 电荷，电场力所做的功可由上式方便求得，从而避免了积分。

（6）电势的计算计算电势的方法有两种：①利用叠加原理求电势。

根据点电荷的计算公式和叠加原理可求任意带电体产生电场的电势。

点电荷场中电势分布rq V 04πε=或 rdq dV 04πε=点电荷系场中电势分布i iir q V ∑=041πε连续带电体产生场中任一点电势⎰⎰==r dq dV V 041πε② 由电势的定义直接求电势。

此方法中应先求得场强分布，再由电势的定义P P V d ∞=⋅⎰E l 求出V 的分布。

8．电场强度和电势的微分关系dV gradV dn=-=-E n 或 x V E x ∂∂-=， y V E y ∂∂-=，zVE z ∂∂-=也可利用电场强度和电势的微分关系求电场 9．电偶极矩电偶极子：等量异号的两个点电荷（q q -+,），当它们之间的距离e r 比场点到二者的距离小得多时，这一带电系统称为电偶极子。

电偶极矩简称电矩，用e P 表示，则e e q =P re r 为连接q +和q -的直线称为电偶极子的轴线，e r 的方向为从负电荷指向正电荷的方向，此方向也是矢量e P 的方向。

电偶极矩是表征电偶极子的电性质的物理量。

在研究电介质的极化，电磁波的发射和吸收及中性分子间的相互作用时用到电偶极子模型。

10．电偶极子在均匀外电场中所受的作用e =⨯M P Eθsin E P M e = θ为e P 与E 的夹角在M 作用下e P 将转向外电场E的方向。

当e P 与E 方向一致（0=θ），0=M ，电偶极子处于稳定平衡，当e P 与E 反向（πθ=），0=M ，电偶极子处于不稳定平衡。

当e P 与E 垂直时，（2πθ=），电偶极子受最大力矩作用E P M e =。

在非均匀电场中电偶极子除受e =⨯M P E 作用外，还受到一合力作用，促使电偶极子向电场较强的方向移动。

一般情况下，因电偶极子所在处范围很小，可近似地认为电偶极子所在处电场为均匀，所以电偶极子受电场作用e ≈⨯M P E 。

三、习题选解6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。

为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为题6-1图22221004330cos 42r q r q f πεπε=︒⨯=中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为2233200434r Qqr Qq f πεπε==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛由12f f =，得3Q q =。

6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234Th 的中心为159.010r m -=⨯。

试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？解：（1）由反应238234492902U Th+He →，可知α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==⨯Th 离子带90个单位正电荷，即1929014410Q e C -==⨯它们距离为159.010r m -=⨯由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：191991221520 3.21014410(9.010)5124(9.010)Q Q F N r πε---⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯ （2）α粒子的质量为：2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=⨯⨯+⨯=⨯由牛顿第二定律得：282275127.66106.6810F a m s m α--===⨯⋅⨯ 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。