金融经济学》之一

2.不确定性下的偏好选择 （1）不确定性下选择的表述方法 自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因 素。 通常我们用S表示自然状态的集合：S={1，…，S}。 自然状态的特征： 自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种 状态发生）
自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的 出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P （s）满足： p( s ) 1 0≤p（s）≤对自 然的信念。不同个体可能会对自然状态持有不同的信念， 但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出 现的概率就是唯一的。
定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个 效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关 系： u ( x) f [u ( x)] 且 f (.) 是单调递增函数，则有：
u ( x) u ( y ) u ( x) u ( y )


定理2： 如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有 完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一 个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。
序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
2.效用函数定义 如果对于 x, y C 有 x y u( x) u( y)和 x y u( x) u( y) 成立，则函数关系 u : C R 是一个代表了偏 好关系的效用函数。
（4）单调性（monotonicity）
x, y C ， ifx y x y
单调性说明增加一点商品至少与原来的情 况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然 成立。 强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类 的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格 偏好于他们。
x, y C
传递性保证了消费者在不同商品之间选好 的首尾一贯性。抽钱棒问题（money pump problem） 同理：
x, y, z C , ifx y, y z x z
（4）连续性（continunity） 对于任意的X、y，集合 x x y 和 x x y 是闭 集，则 x x y 和 x x y 是开集。 即如果x是一组至少与y一样好的消费束，而 且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样好。这 样就可以得到一条连续的无差异曲线。
《金融经济学》之一
期望效用理论
武汉大学经济与管理学院 潘敏
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系 效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。 偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。 偏好关系（preference relation)是指消费者对不 同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二 元）关系（binary relation）表述出来。
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常 常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果 发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概 率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事 件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的 界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。 因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主 体在不同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表 现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：
x(s) C, s S , x X
在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P （.）来表示行为x，其中，p（c）是使选择x的结果等于 c的概率。
（三）消费者效用最大化问题
max u (.)
s.tW M 令 q (q1 ,, qm ,, qM ) R 则最大化问题为：
max u (.) s.t.z C R
M
: qc W
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。
最优解：
Z u q 0 C C
( s, x ) c f ( s , x )
当经济主体在可行的行为之间进行选择时，他们以被 选行为产生的结果为基础进行选择。但是行为对于决定特 别的结果来说，常常是不充足的。其他因素会与选择的行 为相互作用产生一个特别的结果。这些其他因素，超越了 经济行为人的控制，被称为自然状态。
大量的自然状态的存在使得目前所采取的任何行为
因此，对于所有的c∈C， p（c）≥0 且 p(c) 1
cC
（2）不确定性下的理性决策原则 A.数学期望最大化原则
数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各 种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这 一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确 的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确 定情形下的推广。 问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下 的行为决策准则？
B.期望效用原则 Daniel Bernoulli （1700-1782）是出生于瑞 士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡 科学院研究投币游戏。其在1738 年发表《对机遇性赌博的 分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理 论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来 作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期 望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富 人对于财富增加的边际效用是不一样的。
②行为结果的概率分布选择 既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数 f : S X C 来描述， 在S上定一个概率测度： 对任意x X，存在一个C上的概率分布：
Fx Ps S : x(s) c c C
这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特定 结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状况 的概率。由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主 体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，对于行为
另外， Crammer（1728）采用幂函数的形式的效 用函数对这一问题进行了分析。假定：
u( x) x
则
1 1 x 1 E[u ( x)] p( x)u ( x) x 2 2 2 x 1 x 1 2


x {E[u( x)]} 2.914
2
因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致 不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收 益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提 供最终的解决方案。 根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的 收益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一 样糟 。
的将来结果是不确定的。
在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的， 这些状态将共同确定被选行为的结果。选择行为x就为每 一自然状态决定了一个结果c= f ( s, x) ， 对X中行为的选 取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取。
通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条 件下的决策。 若c关于自然状态是不变的，即自然状态不会影响产生 的结果，则可以认为是确定条件下的决策。 若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定 条件下的决策
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机 问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可 能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认 识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那 些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问 题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种 状态发生的概率不清楚。
典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox） 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以 得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反 面，第三次正面得 4 元，„„如果前 n-1 次都是反面， 第 n 次出现正面得 2 n1 元。问：游戏的参加应先付多 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？
（1） x y 弱偏好于x，x 至少与y 一样好。 （2） x y 严格偏好于x ； x y x y 但， y x 不成立。 （3） x y 无差异于x 、y；即： x yx y 和 y x
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）:
1.偏好关系的表述 令C 为商品（或者消费）集合，C 中有M 种可供选 择的商品。它是M 维实数空间 R M 中的一个非负子集，它 总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集， 或者称之为商品束（commodity bundle）或者消费束 （consume boundle）。我们可以在消费束的集合上 建立下面的偏好关系（preference relation）或者偏 好顺序（preference ordering）：
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量， 而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是 递减的。 伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏 的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：
1 E (.) n log 2n1 1.39 n 1 2

其中， ＞0 为一个确定值。
Z W qC 0
u / Ci qi MRSi , j u / C j q j
（三）不确定性环境下的行为选择 1.关于风险与不确定性 奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉 中关于确定性、风险和不确定性的解释：
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换 行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。
该游戏的数学期望值：
1 1 1 1 E (.) 1 2 4 n 2n 1 2 4 8 2