平面向量(北京,会考,高考,高三模拟)
2018-2021年北京高三数学一模、二模汇编：平面向量章节综合(教师版)
2018-2021年北京高三数学一模、二模汇编：平面向量章节综合一．选择题（共32小题）1．（2019•东城区二模）已知向量与不共线，且＝+m（m≠1），+．若A，B，C三点共线，n满足的条件为（）A．m+n＝1B．m+n＝﹣1C．mn＝1D．mn＝﹣12．（2020•东城区二模）平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）3．已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C+＝，则＝（）A．2﹣B．﹣+2C．﹣D．﹣+4．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，点D，．若（x，y∈R），则x+y＝（）A．B．C．D．5．在△ABC中，若，则cos B等于（）A．B．C．D．6．（2021•东城区二模）在平行四边形ABCD中，已知＝（2，2），＝（﹣1，5），E为CD的中点＝（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3）7．（2020•丰台区一模）已知向量，满足∥，则x＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣48．（2020•延庆区一模）已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．9．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），＝（）A．1B．C．2D．与α有关10．（2020•房山区一模）已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则|（）A．B．C．D．211．（2019•西城区二模）设向量，满足||＝2，|，＜，＞＝60°，则||＝（）A．2 B．2 C．D．1212．（2019•昌平区二模）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则＝（）A．﹣3B．2C．3D．413．（2019•房山区一模）已知为单位向量，且的夹角为，，则＝（）A．2B．1C．D．14．（2020•东城区二模）已知向量＝（0，5），＝（4，﹣3），＝（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．﹣与为共线向量B．﹣与垂直C．﹣与的夹角为钝角D．﹣与的夹角为锐角15．（2021•海淀区一模）已知，是单位向量，＝+2，若⊥|＝（）A．3B．C．D．16．（2020•密云区一模）已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣17．（2019•丰台区二模）已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（）A．B．C．D．18．（2021•房山区一模）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若+n，则m﹣n的值为（）A．﹣B．﹣1C．1D．19．（2018•丰台区二模）在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设＝，＝，若+μ，则的值是（）A．B．C．2D．420．（2018•顺义区一模）已知点A（0，﹣1），B（2，0），O为坐标原点，点P在圆，则λ+μ的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．321．（2021•延庆区一模）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．22．（2021•丰台区二模）已知向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m＝（）A．﹣4B．C．D．423．（2021•海淀区二模）向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与，则＝（）A．1.5B．2C．﹣4.5D．﹣324．（2021•东城区一模）宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中﹣1，AB＞BC的值为（）A．B．C．4D．25．（2021•西城区一模）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，点P是AB的中点，则＝（）A．B．4C．D．626．（2020•海淀区校级三模）边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则（+）•＝（）A．0B．1C．2D．427．已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足的值为（）A．B．﹣1C．1D．328．（2019•朝阳区二模）在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，，BC＝1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在（）A．B．C．D．29．（2018•顺义区二模）已知O是正△ABC的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则（）A．B．C．D．230．（2018•西城区一模）已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（）A．B．﹣2C．D．31．（2021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（2，1），C（2，2），P是圆M：x2+（y﹣4）2＝2上一点，Q是△ABC边上一点，则的最大值是（）A．B．12C．D．1632．（2020•平谷区一模）设直线l过点A（0，﹣1），且与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，那么＝（）A．±3B．3C．D．1二．填空题（共28小题）33．（2020•通州区一模）已知向量，，其中m∈R．若共线．34．（2021•西城区二模）已知向量＝（m，1），＝（3，m），若与方向相反，则m等于．35．（2021•通州区一模）设向量，是两个不共线的向量，已知，＝，＝2﹣k，C，D三点共线，则＝（用，表示）；实数k＝．36．（2019•朝阳区一模）在平面内，点A是定点，动点B|＝||＝1，，则集合{P|＝+，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是．37．（2021•朝阳区二模）已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，则m＝．38．（2019•大兴区一模）已知向量＝（1，k），＝（9，k﹣6），若∥，则k＝．39．（2019•朝阳区一模）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．若∥，则x＝．40．（2021•北京三模）在△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，E为AC上一点，且，λ∈（0，1），则＝．41．（2021•顺义区二模）设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝．42．（2021•海淀区一模）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝．43．（2020•海淀区二模）已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），，O为坐标原点，则＝，与夹角的取值范围是．44．（2020•怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，则＝．45．（2020•西城区一模）若向量满足，则实数x的取值范围是．46．（2020•平谷区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．47．（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，；向量，所张成的平行四边形的面积是．48．（2019•延庆区一模）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若．49．（2018•房山区一模）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，则λ+μ＝．50．（2021•房山区二模）已知单位向量，的夹角为60°，﹣k与，则k＝．51．（2020•大兴区一模）已知向量＝（﹣1，1），＝（2，t），若∥，则t＝．52．（2019•丰台区一模）已知平面向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，m），且∥，那么m＝．53．（2021•门头沟区二模）△ABC外接圆圆心为O，且2++＝，则＝．54．（2021•朝阳区一模）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•，则向量的坐标可以是．（写出一个即可）55．（2020•房山区二模）已知正方形ABCD的边长为，若＝3，则•的值为．56．（2020•石景山区一模）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝．57．（2021•平谷区一模）已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝1，那么等于；若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，那么．58．（2019•河北区二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，若＝x+y（x，y∈R）．59．（2021•怀柔区一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝1（a＞0），P为线段AD上一个动点，设＝x，•，对于函数y＝f（x）给出下列四个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4；④∃a∈（0，+∞），函数f（x）的最小值为负数．其中所有正确结论的序号是．60．（2020•门头沟区一模）已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•，则实数a满足的取值范围是．2018-2021年北京高三数学一模、二模汇编：平面向量章节综合参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．（2019•东城区二模）已知向量与不共线，且＝+m（m≠1），+．若A，B，C三点共线，n满足的条件为（）A．m+n＝1B．m+n＝﹣1C．mn＝1D．mn＝﹣1【分析】由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn＝7，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．2．（2020•东城区二模）平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）【分析】设D（x，y），由四边形ABCD为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标．【解答】解：设D（x，y），∵点A，B，C的坐标分别为（0，（1，（3，且四边形ABCD为平行四边形，∴，∴（x，2），解得x＝3，y＝3，∴D点的坐标为（3，3）．故选：A．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查平面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C+＝，则＝（）A．2﹣B．﹣+2C．﹣D．﹣+【分析】由已知可得＝﹣，＝﹣，代入已知式子化简可得．【解答】解：由向量的运算法则可得＝﹣，＝﹣，代入已知式子+＝，可得：（﹣）+（﹣，可得：+＝7，可得：＝2﹣．故选：A．【点评】本题考查平面向量基本定理，属基础题．4．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，点D，．若（x，y∈R），则x+y＝（）A．B．C．D．【分析】在△CDE中，，因为，．通过转化的思想，将用和表示，求出x 和y的值，计算即可．【解答】解：△ABC中，点D，．＝＝＝，又∵（x，∴，∴x+y＝．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5．在△ABC中，若，则cos B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用向量的线性运算求出三角形的三边关系，进一步利用余弦定理求出结果．【解答】解：在△ABC中，利用三角形法则：，所以：，整理得：，所以：2a＝3c＝2b，所以：．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算和余弦定理的应用．6．（2021•东城区二模）在平行四边形ABCD中，已知＝（2，2），＝（﹣1，5），E为CD的中点＝（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3）【分析】＝＝，代入坐标即可求解．【解答】解：＝＝＝（﹣5，1）＝（﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了向量加减的坐标表示，属于基础题．7．（2020•丰台区一模）已知向量，满足∥，则x＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据向量平行坐标的关系，可得等式，解出参数．【解答】解：因为∥，则x＝﹣2×2，故选：D．【点评】本题考查向量平行，属于基础题．8．（2020•延庆区一模）已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．【解答】解：向量＝（1，＝（k，若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标表示应用问题，是基础题．9．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），＝（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得+的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，A（cosα，．则＝（cosα，＝（cos（α+））），则有+＝（cosα+cos（α+））），故|+|2＝[cosα+cos（α+）]2+[sinα+sin（α+）]2＝4+2cosαcos（α+）+7sinαsin（α+＝2，则|+|＝；故选：B．【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算以及向量模的计算，属于基础题．10．（2020•房山区一模）已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则|（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m＝（﹣）×（﹣2）＝1，即可得＝（﹣2，1）；由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，﹣），＝（﹣5，若与共线）×（﹣6）＝1，则，1）；则||＝＝；故选：B．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，注意向量平行的坐标计算公式即可，属于基础题．11．（2019•西城区二模）设向量，满足||＝2，|，＜，＞＝60°，则||＝（）A．2 B．2 C．D．12【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可．【解答】解：向量，满足|，||＝1，＜，，则|+2|2＝＝4+2×，则|+2．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．12．（2019•昌平区二模）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则＝（）A．﹣3B．2C．3D．4【分析】利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，＝＝（4，＝＝（8，则＝4×0+（﹣7）（﹣3）＝3．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．13．（2019•房山区一模）已知为单位向量，且的夹角为，，则＝（）A．2B．1C．D．【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．【解答】解：为单位向量，且，，可得|||＝1，解得＝2．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查．14．（2020•东城区二模）已知向量＝（0，5），＝（4，﹣3），＝（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．﹣与为共线向量B．﹣与垂直C．﹣与的夹角为钝角D．﹣与的夹角为锐角【分析】根据题意，求出向量（﹣）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，5），，﹣3），，﹣4），则﹣，8），又由＝（﹣2，有（﹣5）×（﹣1）≠（﹣2）×7﹣）与，＝（﹣2，﹣1）﹣）•，则（﹣垂直；故选：B．【点评】本题考查向量平行、垂直的判断，涉及向量的坐标计算，属于基础题．15．（2021•海淀区一模）已知，是单位向量，＝+2，若⊥|＝（）A．3B．C．D．【分析】由向量垂直得＝＝＝0，从而＝﹣1，由此能求出||．【解答】解：∵，是单位向量，＝，⊥，∴＝＝＝0，∴＝﹣6，||＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（2020•密云区一模）已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：向量＝（4，＝（x，若∥，可得12＝2x，解得x＝2．故选：A．【点评】本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．17．（2019•丰台区二模）已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的和与差的模的最值得：由﹣﹣＝＝，由，则||＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得：||的最大值＝2+1，得解．【解答】解：由﹣﹣＝＝，由，则||＝1，即点P在以点C为圆心，4为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得：||的最大值+1，故选：C．【点评】本题考查了平面向量的和与差的模的最值，属中档题．18．（2021•房山区一模）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若+n，则m﹣n 的值为（）A．﹣B．﹣1C．1D．【分析】利用数形结合以及已知条件结合三角形法则即可求解．【解答】解：如图所示，由已知可得＝＝＝，又，所以m＝，所以m﹣n＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理以及三角形法则，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．（2018•丰台区二模）在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设＝，＝，若+μ，则的值是（）A．B．C．2D．4【分析】用表示出，得出λ，μ的值即可得出答案．【解答】解：∵D为AB中点，E为CD中点，∴＝+＝+＝，∴λ＝，μ＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．20．（2018•顺义区一模）已知点A（0，﹣1），B（2，0），O为坐标原点，点P在圆，则λ+μ的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】设P（，），用α表示出λ，μ，根据三角恒等变换得出λ+μ的函数解析式，从而得出答案．【解答】解：设P（，），则，∴λ＝﹣sinα，∴λ+μ＝﹣sinα+，其中sinφ＝，∴λ+μ的最小值为﹣1．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．21．（2021•延庆区一模）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【分析】根据向量的加法法则进行求解转化即可．【解答】解：由题意可知，D为△ABC所在平面内的一点，则有①，②，因为，代入①中可得③，由②③可得，．故选：B．【点评】本题考查了平面向量加法法则的基本运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．22．（2021•丰台区二模）已知向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m＝（）A．﹣4B．C．D．4【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（﹣1，＝（2，若∥，则﹣m﹣6＝0，求得m＝﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．23．（2021•海淀区二模）向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与，则＝（）A．1.5B．2C．﹣4.5D．﹣3【分析】利用已知条件表示，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：建立坐标系如图，＝（﹣1，＝（﹣2，＝（﹣4﹣2，1﹣3）•（1．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．24．（2021•东城区一模）宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中﹣1，AB＞BC的值为（）A．B．C．4D．【分析】由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得AB＝2﹣8，在矩形ABCD中，cos∠CAB＝＝＝，则•＝||•cos∠CAB＝4××，故选：C．【点评】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．25．（2021•西城区一模）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，点P是AB的中点，则＝（）A．B．4C．D．6【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．【解答】解：在△ABC中，C＝90°，则•，因为点P是AB的中点，所以＝（+），所以＝•[（+2+•＝5＝||5＝．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．26．（2020•海淀区校级三模）边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则（+）•＝（）A．0B．1C．2D．4【分析】利用向量的平行四边形法则，以及向量的数量积求解即可．【解答】解：边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，+＝，所以（+＝＝＝4．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查，基础题．27．已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足的值为（）A．B．﹣1C．1D．3【分析】由二倍角公式得：tan∠BED＝＝，所以cos∠BEC＝＝﹣，由平面向量数量积的性质及其运算得：＝||||cos∠BEC＝××（﹣）＝﹣1，得解．【解答】解：由已知可得：EB＝EC＝，又tan∠BED＝＝，所以cos∠BEC＝＝﹣，所以＝||cos∠BEC＝×）＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．28．（2019•朝阳区二模）在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，，BC＝1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在（）A．B．C．D．【分析】先建系，再由到角公式得：＝tan，化简得：x2+（y﹣）＝，则x2，则﹣≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（﹣，C（，P（0，设A（x，y），设直线AB，AC的斜率分别为k3，k2，由到角公式得：＝tan，化简得：x2+（y﹣）＝，则x2，则﹣≤x＜5，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|＝|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C．【点评】本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．29．（2018•顺义区二模）已知O是正△ABC的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则（）A．B．C．D．2【分析】O是正△ABC的中心，可得，由＝，可得+＝，可得1+λ＝μ＝﹣λ﹣μ⇒2λ＝﹣μ即可得的值．【解答】解：∵O是正△ABC的中心，∴，由＝，可得+＝，∴（4+μ）++（﹣λ﹣μ）＝．∴1+λ＝μ＝﹣λ﹣μ⇒7λ＝﹣μ∴则的值为﹣，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题30．（2018•西城区一模）已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（）A．B．﹣2C．D．【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出λ，μ即可得出答案．【解答】解：＝＝＝+＝，∴λ＝1，μ＝﹣，∴＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．31．（2021•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（2，1），C（2，2），P是圆M：x2+（y﹣4）2＝2上一点，Q是△ABC边上一点，则的最大值是（）A．B．12C．D．16【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），＝x1x2+y1y2，当x1＞0时，有可能取得最大值．当点P不动时时，x2与y2尽可能大，即x2＝y2＝2时，即点Q与C重合时，有最大值2（x1+y1）．令x1＝cosθ，y1＝4+sinθ，θ∈（﹣，）．再利用三角函数的单调性即可得出最大值．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x4，y2），∴＝x1x8+y1y2，当x4＞0时，有可能取得最大值．当点P不动时时，x2与y5尽可能大，即x2＝y2＝3时，即点Q与C重合时，1+y1）．令x8＝cosθ，y1＝4+sinθ，）．∴＝2（x1+y3）＝2（cosθ+2+）+5，∵θ∈（﹣，），∴θ＝时）取得最大值1，∴的最大值12．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数求值、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32．（2020•平谷区一模）设直线l过点A（0，﹣1），且与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，那么＝（）A．±3B．3C．D．1【分析】过点A（0，﹣1）的直线l与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，可得＝0．因此＝•（+）＝+＝＝﹣r2，即可得出【解答】解：由圆C：x2+y2﹣5y＝0配方为x2+（y﹣8）2＝1C（6，1）．∵过点A（0，﹣8）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y＝0相切于点B，∴＝0；∴＝•（++＝＝﹣r6＝3；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相切性质、向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二．填空题（共28小题）33．（2020•通州区一模）已知向量，，其中m∈R．若共线6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．【解答】解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣8），∴m＝6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题，较简单．34．（2021•西城区二模）已知向量＝（m，1），＝（3，m），若与方向相反，则m等于．【分析】根据题意可设，k＜0，从而得出，然后解出m的值即可．【解答】解：∵与方向相反，∴设，k＜0，∴（3，m）＝（km，∴，且k＜0．故答案为：．【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．35．（2021•通州区一模）设向量，是两个不共线的向量，已知，＝，＝2﹣k，C，D三点共线，则＝﹣+4（用，表示）；实数k＝8．【分析】根据平面向量的线性运算用、表示向量，根据向量共线定理列方程求出k的值．【解答】解：因为向量，是两个不共线的向量，且，＝，所以＝﹣＝﹣，又＝2，且B，C，所以﹣1×（﹣k）﹣4×2＝0，解得k＝8．故答案为：﹣+4；6．【点评】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理应用问题，是基础题．36．（2019•朝阳区一模）在平面内，点A是定点，动点B|＝||＝1，，则集合{P|＝+，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是3π．【分析】把所给等式平方，得到的范围，即P点的轨迹为圆环，得解．【解答】解：由，得＝λ8+1，∵1≤λ≤7，∴2≤λ2+7≤5，∴||，∴P点轨迹为以A为圆心的圆环，其面积为：5π﹣2π＝4π，故答案为：3π．【点评】此题考查了向量模的几何意义，难度不大．37．（2021•朝阳区二模）已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，则m＝﹣4．【分析】根据向量的运算性质计算即可．【解答】解：∵＝（2，＝（﹣1，且+5＝，∴+2，m）+4（﹣1，m+4）＝，∴m+4＝0，解得：m＝﹣8，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了向量的坐标运算，是基础题．38．（2019•大兴区一模）已知向量＝（1，k），＝（9，k﹣6），若∥，则k＝．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴k﹣6﹣9k＝8，解得k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．39．（2019•朝阳区一模）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．若∥，则x＝﹣．【分析】根据即可得出2x+1＝0，解出x即可．【解答】解：∵；∴2x+1＝4；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．40．（2021•北京三模）在△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，E为AC上一点，且，λ∈（0，1），则＝﹣4．【分析】根据余弦定理求出AC的长度，判断△ABC是直角三角形，利用向量数量积的定义进行计算即可．【解答】解：∵∠ABC＝，BC＝4，∴AC8＝BC2+AB2﹣3AB•BC cos＝16+4﹣7×，满足BC2＝AB4+AC2，即△ABC是直角三角形，则AB⊥AC，＝•（+•+•＝﹣，故答案为：﹣2【点评】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件判断三角形是直角三角形是解决本题的关键，是基础题．41．（2021•顺义区二模）设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝2．【分析】根据题意，求出﹣的坐标，由向量垂直的判断方法可得（﹣）•＝m﹣1﹣1＝0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，3），，2），，﹣6），则﹣＝（m﹣1，若（﹣）⊥﹣）•，解可得m＝2，故答案为：3【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的坐标表示方法，属于基础题．42．（2021•海淀区一模）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝5．【分析】对于第一空：求出、的坐标，计算可得、的模以及•的值，由向量夹角公式计算可得答案，对于第二空：分析可得⊥，求出的坐标，由向量数量积的计算公式可得•＝（m﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点O（0，A（1，B（m，则＝（6，＝（m，则|，||＝m，•＝m，故cos＜，＞＝＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，而与不垂直⊥，又由＝（m﹣1，则有•，解可得m＝5，故答案为：，5．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．43．（2020•海淀区二模）已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），，O为坐标原点，则＝1，与夹角的取值范围是[0，]．【分析】根据题意，分析可得﹣＝＝（1，0），进而可得|﹣|＝1，即可得||＝1，据此分析可得P 是以A为圆心，半径为1的圆，则设P（2+cosα，sinα），与夹角为θ，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，A（2，B（1，C（7，则﹣＝＝（1，则|﹣|＝1，又由，则|，P是以A为圆心，则设P（7+cosα，与夹角为θ，0≤θ≤π）；则＝（2+cosα，＝（6，则||＝，|，•＝5+2cosα＝＝＝（）＝（+），又由+≥2，即cosα＝﹣1时，则有cosθ＝（+）≥，则0≤θ≤，即与夹角的取值范围是[0，]；故答案为：2，[0，]．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．44．（2020•怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，则＝﹣1．【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后＝，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．【解答】解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，根据余弦定理可知，AC6＝AB2+BC2﹣7AB•BC•cos∠ABC＝，∴，△ABC为直角三角形，∴＝．故答案为：﹣4．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练运用平面向量的加减法和数量积运算是解题的关键，考查学生的分析能力和计算能力，属于基础题．45．（2020•西城区一模）若向量满足，则实数x的取值范围是（﹣3，1）．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜7⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣5，1）．故答案为：（﹣3，3）．【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，不等式的解法，属于基础题目．46．（2020•平谷区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为﹣2．【分析】利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断P所在的位置，求解最小值即可．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，，＝||，P应该在线段AD上，此时|cos∠POB＝2×（﹣7）＝﹣2；故答案为：2；﹣3．【点评】考查斜率的数量积的求法与应用，考查转化思想以及观察图形的能力，是基本知识的考查．47．（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，；向量，所张成的平行四边形的面积是3．【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，1），＝（1，2），利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，＝（1，则＝＝＝．向量，所张成的平行四边形的面积S＝•＝×＝5×．故答案分别为：，3．【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．48．（2019•延庆区一模）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若0．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意，＝+＝+，＝+∴＝7＝﹣∴＝2﹣∴＝2﹣）＝6∴λ＝2，μ＝﹣2∴λ+μ＝4故答案为0．【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用．49．（2018•房山区一模）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，则λ+μ＝1+．【分析】用表示出，得出λ，μ的值即可得出答案．【解答】解：∵∠DEB＝∠ABC＝45°，∴AB∥DE，过D作AB，AC的垂线DM，则AN＝DM＝BM＝BD•sin45°＝，∴DN＝AM＝AB+BM＝2+，∴＝＝+，∴λ＝，μ＝，∴λ+μ＝1+．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．50．（2021•房山区二模）已知单位向量，的夹角为60°，﹣k与，则k＝．【分析】利用向量垂直、向量数量积公式直接求解．【解答】解：∵两个单位向量，的夹角为60°，与垂直，∴（）•＝＝1×6×cos60°﹣k×1＝0，解得k＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．51．（2020•大兴区一模）已知向量＝（﹣1，1），＝（2，t），若∥，则t＝﹣2．【分析】由向量平行的充要条件可得：﹣1×2﹣1×t＝0，解之即可．【解答】解：∵向量＝（﹣1，＝（2，且∥，∴﹣5×2﹣1×t＝7，解得t＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．52．（2019•丰台区一模）已知平面向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，m），且∥，那么m＝6．【分析】根据两个向量平行的坐标表示可得．【解答】解：∵∥，∴1×m﹣（﹣3）×（﹣3）＝0．故答案为：6．【点评】本题考查了平面向量共线的坐标表示．属基础题．53．（2021•门头沟区二模）△ABC外接圆圆心为O，且2++＝，则＝0．【分析】画出图形，结合已知条件判断两个向量的关系，然后求解即可．【解答】解：如图，△ABC外接圆圆心为O++＝，可知＝＝2＝，所以△ABC是直角三角形，AB⊥AC，则＝6．故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积的求法，数形结合的应用，是基础题．54．（2021•朝阳区一模）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，＝（x，且|，•＜0，可知向量，向量，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．55．（2020•房山区二模）已知正方形ABCD的边长为，若＝3，则•的值为．【分析】通过向量的三角形法则一步步代入数量积求解即可．【解答】解：如图：∵正方形ABCD的边长为，若＝3，则•＝（+＝（+）•（﹣）＝﹣2﹣•＝﹣（+）4+（+）•＝﹣（+2•+•+＝﹣[+7+×＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．56．（2020•石景山区一模）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝．【分析】运用向量的数量积的坐标表示可得可得•，由向量的模公式可得||＝||，再由cos∠ABC＝，计算即可得到所求值．【解答】解：向量＝（，），，），可得•＝×+×＝，||＝|＝1，可得cos∠ABC＝＝，由0≤∠ABC≤π，可得∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查夹角的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题．57．（2021•平谷区一模）已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝1，那么等于﹣1；若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，那么0．【分析】由题意画出图形，分析P在内部或边界上时的不同情况，数形结合可得的最大值为0．【解答】解：如图，由AB＝1，BC＝2，故∠ABC＝60°，。
2019北京高三一模数学---平面向量分类汇编
2019北京高三一模数学---平面向量分类汇编1.2019东城一模理（12）已知向量=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为 .2.2019西城一模理3.2019海淀一模理(11)已知向量a =（1，-2），同时满足条件①a ∥b ，②a b a +<的一个向量b 的坐标为4.2019朝阳一模理14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．5.2019丰台一模理9．已知平面向量(13)=-，a ，(2,)m =-b ，且∥a b ，那么m =____． 12．若ABC △的面积为3A π=，则AB AC =____． 6.2019石景山一模理6. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R ，则k =a 与b 同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7.2019怀柔一模理7．已知是两个非零向量，则“”是“且”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.2019延庆一模理11. 如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+，则λμ+的值为_____.9.2019平谷一模理6.设a 、b 是非零向量，则“|a −b |=|a |+|b |”是a ∥b 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，在菱形ABCD 中，∠B=π3，AB=4（1）若P 为BC 的中点，则PA ̅̅̅̅□PB ̅̅̅̅=a b ,=a b =a b a b̅̅̅̅+PB̅̅̅̅|的最小值为（2）点P在线段BC上运动，则|PA。
北京市丰台区高考数学三年(2021-2023)模拟题知识点分类汇编-平面向量、空间向量与立体几何
试卷第 4 页，共 5 页(1Biblioteka 求证： DF P平面 BCE ； 5
(2)在线段 DF 上是否存在点 P ，使得直线 AE 和平面 BCP 所成角的正弦值为 ？若存在， 6
求出 DP 的值；若不存在，说明理由．
DF
16．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， AC 交 BD 于点 O， BAD 60 ， PB PD ．点 E 是棱 PA 的中点，连接 OE，OP．
①三棱锥 A BCD 的体积为 1 abc ；②三棱锥 A BCD 的每个面都是锐角三角形；③三
3
棱锥 A BCD 中，二面角 A CD B 不会是直二面角；④三棱锥 A BCD 中，三条侧棱 与底面所成的角分别记为 , , ，则 sin2 sin2 sin2 2 . 8．（2022·北京丰台·统考一模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 A1B1，A1D1 的中点，点 P 在线段 CM 上运动，给出下列四个结论：
③点
D
到直线 C1E
的距离的最小值为
25 5
．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题 7．（2021·北京丰台·统考一模）如图，从长、宽、高分别为 a,b, c 的长方体 AEBF GCHD 中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥 A BCD .下列四个结论中，所有正确结论 的序号是_____.
（1）求证： BC OM ； （2）若 PM 3 PB ，求二面角 B OM C 的余弦值.
5 14．（2022·北京丰台·统考二模）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 AB ，D 为 BC
专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)
专题07 平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−2,4)，则|a ⃑−b ⃑⃑|（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a ⃑−b ⃑⃑，然后求得|a ⃑−b ⃑⃑|. 【详解】因为a ⃑−b ⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√42+(−3)2=5. 故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b ⃑⃑=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵|a ⃗−2b ⃑⃗|2=|a ⃗|2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4|b ⃑⃗|2， 又∵|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=√3,|a ⃗−2b ⃑⃗|=3, ∴9=1−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4×3=13−4a ⃗⋅b ⃑⃗， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=1 故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗ B ．−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗C ．3m ⃑⃑⃗+2n ⃑⃗D ．2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)， 所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3n ⃑⃑−2m ⃑⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗． 故选：B ．4．【2022年新高考2卷】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6 B ．−5 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：c ⃗=(3+t,4),cos 〈a ⃗,c ⃗〉=cos 〈b,c ⃗〉,即9+3t+165|c⃗|=3+t|c ⃗|,解得t =5,故选：C5．【2022年北京】在△ABC 中，AC =3,BC =4,∠C =90°．P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（ ） A ．[−5,3] B ．[−3,5]C ．[−6,4]D ．[−4,6]【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P (cosθ,sinθ)，表示出PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，因为PC =1，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设P (cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−cosθ,−sinθ)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ,4−sinθ)， 所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos 2θ−3cosθ−4sinθ+sin 2θ=1−3cosθ−4sinθ=1−5sin (θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=45，因为−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin (θ+φ)≤6，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∈[−4,6]； 故选：D6．【2022年全国甲卷】已知向量a ⃑=(m,3),b ⃑⃑=(1,m +1)．若a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =______________．【答案】−34##−0.75 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：a ⃑⋅b ⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34.故答案为：−34.7．【2022年全国甲卷】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⃑⋅b ⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，因为a ⃑与b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×3×13=1， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=2×1+32=11． 故答案为：11．8．【2022年浙江】设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑12+PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑82的取值范围是_______． 【答案】[12+2√2,16] 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即可解出． 【详解】以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A 1(0,1),A 2(√22,√22),A 3(1,0),A 4(√22,−√22),A 5(0,−1),A 6(−√22,−√22),A 7(−1,0),A 8(−√22,√22)，设P(x,y),于是PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45∘2≤x 2+y 2≤1，故PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82的取值范围是[12+2√2,16].故答案为：[12+2√2,16]．1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中的三点(),3M m ，()4,N n ，()2,2E -，若向量OM 与ON 在向量OE 方向上的投影相等，则m 与n 的关系为（ ）A ．7m n +=B ．3m n -=C ．m n =D ．m n =-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果. 【详解】(),3OM m =,(4,)ON n =,(2,2)OE =-,向量OM 在向量OE 方向上的投影为||OM OE OE ⋅==向量ON 在向量OE 方向上的投影为8||ON OE OE ⋅=，=7m n +=. 故选：A.2．（2022·山东潍坊·三模）已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB a b λ=+，AC a b μ=+，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是（ ）A ．1λμ-=B ．2λμ+=C ．1λμ=D ．1λμ= 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件有AB mAC =且R m ∈，即可得答案. 【详解】由A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB mAC =且R m ∈，所以1m mμλ=⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：C3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，π3A =，点D 在线段AB 上，点E 在线段AC 上，且满足22,2AD DB AE EC ====，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b =，则AF BC ⋅=（ ）A ．65B ．175C ．295D ．325【答案】B 【解析】 【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可. 【详解】设DF DC λ=，EF EB μ=，因为11111()(),33333AF AD DF AB DC AB DA AC AB AB AC AB AC λλλλλ-=+=+=++=+-+=+11111()(),22222AF AE EF AC EB AC EA AB AC AC AB AC AB μμμμμ-=+=+=++=+-+=+所以有21531152λλμμμλ-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，因此AF BC ⋅=2212121()()55555+-+=-+-⋅AB AC AB AC AB AC AC AB ，因为π3A =，3AB =，4AC =，所以AF BC ⋅=1211179163455525⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=AF BC ，故选：B4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若(2,3a =-，(2sin ,2cos)66b ππ=，下列正确的是（ ） A ．//()b a b -B ．()b a b ⊥-C ．a 在b 方向上的投影是12-D ．()a b a b +⊥-（）【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示判断A ，根据向量垂直的坐标表示判断BC ，根据向量的投影的定义判断C. 【详解】由已知(2,3a =-，(1,3)b =，所以(((2,3=1,a b -=---，((()2,3=3,0a b+=-+， 因为1(10⨯-≠，所以b ab -，不平行，A 错， 因为(10⨯-≠，所以b a b -，不垂直，B 错，因为a 在b 方向上的投影为2211cos ,=21a b a a b b ⋅⨯-==-+，C 对，因为(13+00⨯-⨯≠，所以a b a b +-，不垂直，D 错， 故选：C.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b 满足1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到a b ⋅，再根据cos a b a bθ⋅=⋅计算可得；【详解】解：因为1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅=，所以1a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ， 则1cos 2a b a bθ⋅==⋅，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=； 故选：B6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=，则DB CD ⋅=（ ） A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a【答案】A 【解析】 【分析】将,DB CD 分别用,BA BC 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案. 【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=-.故选：A.7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量(,3)a m =，(1,)b m =，若a 与b 反向共线，则3a b -的值为（ ）A ．0B ．48C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由向量反向共线求得m =3a b -. 【详解】由题意23m =，得m =又a 与b 反向共线，故m =3(23,6)a b -=-， 故3=43a b -. 故选：C.8．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ， 即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AHAG +=D ．23BO BHBG +=【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误. 【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误；()112333AO AHAG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BHBG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．38B ．58C ．78D ．198【答案】B 【解析】 【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可. 【详解】()2,32AO OB OC AB OB OC =+=+，同理23AC OB OC =+()()2274(),,32238AO OB OC OB OC AB AC OB OC OB OC =+∴⋅=-⋅=++2291566136688OB OC OB OC =++⋅=+-=． 故选：B.11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆()22:40C x y m m +=>的两个焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上一点，若12PF PF ⋅的最小值为1-，则12PF PF ⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．14D ．12【答案】D 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出12PF PF ⋅，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解. 【详解】设00(,)P x y ，由()22:40C x y m m +=>可知1(F ，2F ，100(,)PF x y ∴=---，0023(,)2PF x y =--， 22222012000033311(4)44442x m m PF PF x y x m x m ∴⋅=-++=-++-=-，0m x -≤≤00x ∴=时，12PF PF ⋅的最小值为112m -=-，解得2m =.当0x =12PF PF ⋅的最大值为312142⨯-=.故选：D12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈ B ．(0,2)n ∈ C ．2n m = D ．1m n +=【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定,m n 的关系和范围. 【详解】因为点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点， 所以可设(01)AD AF λλ=<<， 因为E ，F 分别为,AC BC 的中点，所以11112222AF AB BF AB BC AB AC AB AE =+=+=+=+，所以2AD AB AE λλ=+，又AD mAB nAE =+，所以10,22m λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()0,1n λ=∈，2n m =，32m n λ+=， 所以A ，B ，D 错误，C 正确， 故选：C.14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量(1,0)a =，(1,1)b =，向量a b 与a 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1【答案】C 【解析】 【分析】由题得()0λ+⋅=a b a 化简即得解. 【详解】 因为ab 与a 垂直，所以()20,0λλ+⋅=∴+⋅=a b a a a b ， 所以1+(10)0,1λλ⨯+=∴=-. 故选：C.15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,4,7a b a b c ==++=，则c =（ ）A B ．2 C ．3 D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】 先求出23πθ=，转化2()7a b c a b c ++=++=，列方程即可求出. 【详解】由不共线的平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则23πθ=.设|c |=m. 因为147a b a b c ==++=，，，所以27a b c ++=， 即2222227a a b b b c a c c +⋅++⋅+⋅+=，所以2222221214cos424cos 21cos 7333m m m πππ+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+= 即2560m m -+=，解得：2m =或3. 所以|c |=2或3 故选：D16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，且()c a b ⊥+，则λ=______． 【答案】3- 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意()()3,1a b +=，又()c a b ⊥+，则()()()1,3,130c a b λλ⋅+=⋅=+=，故3λ=-． 故答案为：3-．17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量,a b 的夹角为23π，4a =，3b =，则a b +=___________．【解析】 【分析】根据2222a b a a b b +=+⋅+求解即可. 【详解】 21cos43632a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 则()222222426313a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=， 则13a b +=．18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________.【答案】2π##90 【解析】 【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====AC DB ⋅值为__________． 【答案】94##2.25【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ==== 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：9420．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设,a b 为不共线的向量，满足,342(,R)c a b λμλμλμ=++=∈，且c a c b c --==，若3a b -=，则()22()⋅⋅-a ba b 的最大值为________． 【答案】324【解析】 【分析】采用建系法，令,,a OA b OB c OC ===，将各个点用坐标表示，然后表达出OAB 面积的最大值，进而求得()22()⋅⋅-a b a b 的最大值；【详解】令,,a OA b OB c OC ===，又因为c a c b c --==， 即==OC CA CB ，则点C 为OAB 的外心，因为3-==a b AB ， 设33,0,,0,(0,)22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B AC m ，不妨取0m >则点()00,O x y 在圆2229:()4+-=+C x y m m 上， 由OC OA OB λμ=+，代入坐标，()00000033,,,22λμ⎛⎫⎛⎫---=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x m y x y x y ，解得003(),211-+=⋅-=----mx y m μλμλλμλμ，联立342+=u λ和2229:()4+-=+C x y m m ，解得12λ⎫<⎪⎭m，故0()1μλλμ+=+--m y m622λ=≤-+ ⎪⎝⎭，1λ=-时取“=”. 故01||92=⋅≤OABSAB y ，于是 ()22222max max(||||)()||||1cos a b a b OA OB AOB ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅⋅-∠⎣⎦⎣⎦ ()2222maxmax||||sin 4324OAB OA OB AOB S ⎡⎤=⋅⋅∠==⎣⎦△.故答案为：324 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．。
北京市海淀区清华大学附属中学平面向量及其应用最新高考试题精选百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！ 2．题目文件丢失！3．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥ 4．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=5．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是4 6．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒8．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为711．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+D ．AD CD CD CB +=-14．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ）A B ．3CD 17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是)+∞.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1620．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin a b cA B B===ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．4CD ．22．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ）A ．MB ．NC ．D ．123．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定25．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-26．题目文件丢失！27．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(2a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A．3)2B． C．3(2D．3(228．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数29．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b= ABC ．2D ．330．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-431．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()ab a b +>C ．612abc ≤≤ D ．1224abc ≤≤ 32．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A 3B ．22C 31- D 21 34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 35．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．无 3．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．4．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-， 则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．5．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin cos 22B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =， 由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．6．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()223B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．7．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.10．ACD 【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为解析：ACD 【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b xa c xbc x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC =由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以28R =，解得：R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.11．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.12．AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.13．BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且， 所以，即C 结论正确； 因为，解析：BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.14．BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，对于A ，若，则或， 当A ＝解析：BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．15．无二、平面向量及其应用选择题16．A 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 17．C 【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．B 【分析】由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确；④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin a B b A ==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠所以sin 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即)b ∈，故④错误.故选：B 【点睛】本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 19．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．B 【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B.本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．A 【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b cr A B C===已知sin cos sin a b cA B B===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为所以122ABCS=⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 22．C 【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥，所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C.本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 23．C 【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案． 【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 24．C 【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．D 【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．无27．A 【分析】先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C +)3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+，即222a cb +-=，所以222cos 22a cb B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sin cos cos sin cos sin )66223A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以3)262A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3()22．故选A ．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.28．D【详解】()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 29．D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 30．D 【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3mOC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S DCD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=得：12333mOA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线 3OD m m CD ∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.31．A【分析】由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+化简得出1sin sin sin 8A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+， 即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +-+++-=， 即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()12sin cos 2sin cos 2A A ABC +-=， 即()()12sin cos 2sin cos 2A B C A B C -++-=， 即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8A B C ∴=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b c R A B C===，[]2111sin 2sin 2sin sin 1,2224S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立.故选：A.【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 32．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．33．C【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得BC =-，在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD=∠∠50sin 45=︒，31sin BDC -∴∠=，即31sin(90)θ-+︒=， 31cos θ-∴=， 故选：C ．【点睛】 该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 34．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 35．B 【分析】 根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B【点睛】 本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.。
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)
专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 （2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点） 三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。
【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ， 则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理A卷
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.2.【黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-，()1,7MB =，则12AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=-()()()1111,732,41,222=+-==，故选B.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=()5,7，故选A. 4.【重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，，∴，又∴∴点的坐标为故选：C.5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B.13C.231-D.2 【答案】B【解析】由已知得，13AD AB =，故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=．6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故22|2|435a b -=+=,故应选D.8.【襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心（三边中线的交点）．设,GB a GC b ==，则12AB 等于（） A.3122a b - B. 12a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，∵点G 为ABC ∆的重心，∴0GA GB GC GA a b ++=++=， ∴GA a b =--， ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.9.已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且//a b ，则tan θ=（ ）A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A. 10.向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．2-D ．22-【答案】A11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A.1142+a b B.1124+a b C.2133+a b D. 1233+a b 【答案】C 【解析】,AC a BD b ==，11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以，13DF AB = ()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ，11112266AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +,故选C.12. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF =+，则x y +等于（ ）A.32B.43C.1D.23【答案】B ．第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高考模拟复习试卷试题模拟卷 平面向量0012
高考模拟复习试卷试题模拟卷 平面向量一．基础题组1.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理10）设向量(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .2.（北京市西城区高三一模考试理9）已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____. 二．能力题组1.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理4）已知平面上三点A ，B ，C ，满足，则=（ ）A ．48B ．48C ．100D ．1002.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理6）平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =（ ）(A) 3 (B) 23(C) 3(D) 63.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ）A.3B.3C.23-D.14.（北京市延庆县高三3月模拟理5）在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC 和DC 的中点，则DE BF ⋅=（ ）A.52 B ．32C ．4D ．2 5.（北京市昌平区高三二模理12）如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是.A DFBCD EA6.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理11）已知向量a和b的夹角是60°，=-⊥==mbambba则实数且),(,2,1。
7.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理12）如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c满足,(,)c xa yb x y R=+∈，则=xy．三．拔高题组1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理7）向量(2,0)a=，(,)b x y=，若b与b a-的夹角等于6π，则b的最大值为（）A．4 B．23 C．2 D．4332.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理13）已知非零向量,a b满足||1=b，a与-b a的夹角为120，则||a的取值范围是．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．【重点知识梳理】1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．【特别提醒】1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．【高频考点突破】考点一函数单调性的判断例1、试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【变式探究】(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋ax (x>0)，证明函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数；(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．考点二 利用函数单调性求参数范围例2、若函数f(x)＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．【拓展提高】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．【变式探究】 (1)若函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________． (2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是()A ．a ＝－3B ．a<3C ．a≤－3D ．a≥－3【答案】(1)⎝⎛⎭⎫－∞，12(2)C考点三 利用函数的单调性求最值例3、已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23. (1)求证：f(x)在R 上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．【拓展提高】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值．【变式探究】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ⎝⎛⎭⎫x1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．【真题感悟】1.【高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x ，g(x)＝x2＋ax(其中a ∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x1，x2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x1，x2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x1，x2，使得m ＝－n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④2.【高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C3.【高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】1;2662--4.【高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.1．（·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B2．（·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2 B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A3．（·江苏卷）已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．4．（·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④5．（·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.6．（·北京卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．【答案】(－∞，2)7．（·北京卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x2＋1 D ．y ＝lg |x| 【答案】C8．（·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 【答案】D9．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 【答案】C10．（·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．11．（·四川卷）设函数f(x)＝ex ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1] 【答案】A【押题专练】1．下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x| C ．y ＝2x D ．y ＝－x2【答案】B2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝ x2－2x ＋1B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|【答案】D3．已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x≥2⎝⎛⎭⎫12x －1，x<2满足对任意的实数x1≠x2都有f x1－f x2x1－x2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2【答案】B5．已知实数a ＞0，且a≠1，函数f(x)＝loga |x|在(－∞，0)上是减函数，函数g(x)＝ax ＋1ax ，则下列选项正确的是( )A ．g(－3)＜g(2)＜g(4)B ．g(－3)＜g(4)＜g(2)C ．g(4)＜g(－3)＜g(2)D ．g(2)＜g(－3)＜g(4)=【答案】D6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋ax ＋1，x≥1，ax2＋x ＋1，x<1，则“－2≤a≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B7．已知函数f(x)在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f[f(x)－2x]＝3，则f(3)的值是( ) A ．3 B ．7 C ．9D ．12【答案】C8．函数f(x)＝|x2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值是________．答案：129．对于定义在区间D 上的函数f(x)，若满足对∀x1，x2∈D 且x1<x2时都有f (x1)≥f(x2)，则称函数f(x)为区间D 上的“非增函数”．若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)＝1，f(x)＋f(1－x)＝1，又当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f(x)≤－2x ＋1恒成立．有下列命题： ①∀x ∈[0,1]，f(x)≥0；②当x1，x2∈[0,1]且x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)； ③f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫511＋f ⎝⎛⎭⎫713＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2；④当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f(f(x))≤f(x)． 其中你认为正确的所有命题的序号为________．【答案】①③④10．函数y ＝x －x(x≥0)的最大值为________．【答案】1411．若函数f(x)＝|2x ＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.【答案】－6 12．已知函数f(x)＝3－axa －1(a≠1). (1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎝⎛⎭⎫－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3]13．已知f(x)＝xx －a(x≠a)．(1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．14．已知函数f(x)＝ x2＋1－ax ，其中a>0. (1)若2f(1)＝f(－1)，求a 的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．15．已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3，x ∈(－3，a]，其中a 为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f(x)的值域．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
历年北京高考试题平面向量部分汇编(文科)
历年北京高考试题平面向量部分汇编（文科）（15）设a ，b 是非零向量，“a ·b=｜a ｜g ｜b ｜”是“a//b ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（14）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ） （13）已知点μAC （1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为__________.（12）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为_______；DE DC ⋅的最大值为_______。
(11)已知向量a=1），b=（0，-1），c=（k .若a-2b 与c 共线，则k=________________.（10）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是( )（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数（09）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向（08）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为（07）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是(06)若a 与b-c 都是非零向量，则“a ·b=a ·c ”是“a ⊥(b-c)”的（ ）条件（A ）充分而不必要 （B ）必要而不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要 (06)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么a+b 与a-b 的夹角的大小是 .（05）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°。
北京市高三数学 最新模拟试题分类汇编4 平面向量 理
北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的底面1111A B C D 上一点,则1PA PC 的取值范围是 （ ）A ．1[1,]4-- B ．11[,]24-- C ．[1,0]-D ．1[,0]2-【答案】D ．2 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ,若a //b ,则2-a b等于 （ ）A ．4B ．5 C．D．【答案】D ．3 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．0【答案】B ．4 ．（2013届东城区一模理科）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n nk θ=，则y x -等于（ ）A ．1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- B ．1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- C ．1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- D ．1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 【答案】B5 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知向量()()k b a ,2,1,2-==,且(2)a a b ⊥-,则实数=k（ ）A ．14-B ．6-C ．6D ．14【答案】答案D 因为(2)a a b ⊥-,所以(2)0a a b ⋅-=,即220a a b -⋅=,所以25(4)0k ⨯--+=,解得14k =.选D ．6 ．（2013届房山区一模理科数学）在△ABC 中，,1AB AC AC ⊥=，点D 满足条件3BD BC =，则A C A D ⋅等于 （ ）A B ．1C D ．12【答案】A7 ．（2013届东城区一模理科）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（ ）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b【答案】C8 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为CD的中点,则AE BD ⋅的值为EDCBA（ ）A ．1BC D【答案】（ ）A ．9．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-,()2,1OC m m =+.若//AB OC ,则实数m 的值为（ ） A ．3- B ．17-C ．35-D ．35【答案】A10．（2013届北京海滨一模理科）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A 二、填空题11．（2013北京东城高三二模数学理科）已知向量(2,3)=-a ,(1,)λ=b ,若//a b ,则λ=___.【答案】 32- ;12．（2013届北京西城区一模理科）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．【答案】32-13．（2013届门头沟区一模理科）在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量AE AF ⋅= ．【答案】114．（2013届北京丰台区一模理科）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD的中点， 则CD BE ⋅= . 【答案】-1；15．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________. 【答案】 [0,1]16．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知1||=a ，2||=b ，向量a 与b 的夹角为 60，则=+||b a . 【答案】717．（2013届北京大兴区一模理科）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC +?等于 ． 【答案】152。
北京市十一学校平面向量及其应用最新高考试题精选doc
一、多选题1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅= B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是4 4．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是5．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)6．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）A ．B ．23C ．23-D ．310．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =13．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形14．已知ABC ∆的面积为32,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°15．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同二、平面向量及其应用选择题16．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin BAD ∠=，则CD 等于（ ）A ．233B ．33C ．332D ．3317．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定18．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 19．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶220．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ）A ．5B ．22C ．4D ．1622．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 23．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4324．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ． 外心26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒==，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A ．2393B ．2633C ．833D ．2328．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米29．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．102B ．106C ．103D ．1030．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33(,)2B ．3(,3) C ．3(,3]2D ．3(,3)231．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 32．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0B 83C ．-4D ．433．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A 5B 10C ．4D ．534．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．不确定35．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin cos 22B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =，由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．4．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD.【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．5．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B.9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.6．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.7．AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得.故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a =故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.8．AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.9．AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 10．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.11．AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 12．ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】 根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.13．BD【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在中，对于A ，若，则或，当A ＝解析：BD【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确； 综上，正确的判断为选项B 和D ．故选：BD ．【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．14．BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出sin A =即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A ==,所以13222A ⨯=,所以sin A =,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．A【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】 222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1312232332=+-⨯⨯=， 2223cos 22323AB BC AC B AB BC +-∴===⋅⨯⨯ 又因为角B 是三角形的内角，所以6B π=，90BAC ∴∠=，27sin BAD ∠=，221cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， 21sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD⋅=∠，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C AD DAC⋅=∠，()1DC DC ⨯=，解得：DC =. 故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.17．C【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.18．C【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.19．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
5.2019北京高三二模(理)分类汇编--平面向量
2019高三二模分类汇编—平面向量1.在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=u u u r u u u r u u u r ，且点P 在直线AC 上，则AE AF =u u u r u u u rg2.已知向量a 与b 不共线，且AB m =+u u u r a b (1)m ≠，.AC n =+u u u ra b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为(A)1m n += (B) 1m n +=- (C) 1mn = (D)1mn =- 3..在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=,,2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ uuu r 在BC uuur 方向上投影的最大值是A.,13,,,,,,,,,,,B.,12,,,,,,,,,C.,,,,,,,,,,D.234..,如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H ,.线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈u u u r u u u u r；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=u u u r u u u r.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.,5.．已知点P 是边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，若||1AP AB AD --=，则||AP u u u r的最大值是（A ）1 （B ）（C ）1（D ）26..已知向量a ，b 满足| a |=1，| b |=2，且()0a a b -=r r rg ，则a 与b 的夹角为_________7.在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，(3,1),(2,)AB AC k ==u u u r u u u r，则实数k = .2019高三二模分类汇编—平面向量答案部分1.522.C3.C4.双曲线5.C6. 0607.4。
2023北京高三一模数学汇编：平面向量初步章节综合
2023北京高三一模数学汇编平面向量初步章节综合1．（2023·北京海淀·统考一模）在ABC 中，9030C B ∠=︒∠=︒，，BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若AD AB AC λμ=+(,)λμ∈R ，则λμ=（ ） A ．13 B ．12C ．2D ．3 2．（2023·北京东城·统考一模）已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP DP ⋅的取值范围是（ ）A ．(]0,8B ．[)0,8C ．(]0,4D ．[)0,43．（2023·北京西城·统考一模）已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =，则（ ） A ．1322AP AB AC =−+B ．1233AP AB AC =+ C ．3122AP AB AC =− D ．2133AP AB AC =+4．（2023·北京石景山·统考一模）向量()2sin ,cos a θθ=，()1,1b =，若//a b ，则tan θ=_________.参考答案1．B【分析】设1AC =，由角平分线定理求得BD CD，然后由向量的线性运算可用,AB AC 表示出AD ，从而求得,λμ，得出结论．【详解】设1AC =，因为9030C B ∠=︒∠=︒，，所以2AB =，又AD 是BAC ∠的平分线，所以12CD AC BD AB ==，13CD BC =， 1112()3333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+−=+， 又AD AB AC λμ=+，所以12,33λμ==， 所以12λμ=． 故选：B ．2．D【分析】通过建立合适的直角坐标系，设(),P x y ，得到P 的轨迹方程，最后得到CP DP ⋅的表达式，根据函数单调性即可得到其范围.【详解】以AB 中点为原点建立如下直角坐标系；则()()1,0,1,0A B −，()1,2C ，()1,2D −，设(),P x y ，则()1,PA x y =−−−，()1,PB x y =−−，则()2210PA PB x y ⋅=−−+=，即221x y +=，则221x y −=−，其中11x −<<，01y <≤，则()()1,2,1,2CP x y DP x y =−−=+−，01y <≤则()()[)2222122440,4CP DP x y y y y ⋅=−+−=−+−=−+∈，故选：D.3．A【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+− 1322AB AC =−+， 故选：A.4．12##0.5【分析】根据平面向量的坐标平行运算得cos 2sin θθ=，利用同角三角函数的商数关系式即可得tan θ的值.【详解】向量()2sin ,cos a θθ=，()1,1b =，若//a b ，则2sin cos 0θθ−=，所以cos 2sin θθ= 则sin sin 1tan cos 2sin 2θθθθθ===. 故答案为：12.。
北京市十一学校平面向量及其应用最新高考试题精选doc
一、多选题1．题目文件丢失！2．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为24．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒ 7．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A B C D ．9．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=13．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-14．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 17．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b c A B B===，则ABC ∆的面积为（ ） A ．2B ．4C ．2D ．2218．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ） A ．MB ．NC ．22D ．119．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13- D ．34-20．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin BAD ∠=，则CD 等于（ ）A ．233B ．33C ．332D ．3321．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒==，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A ．239B ．2633C ．833D ．2322．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4B ．72C ．258D ．25923．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2324．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2cos 3A =，则b= A 2B 3C ．2D ．326．题目文件丢失！27．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．428．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-29．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心 D ．外心重心内心30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆83③ABC ∆的周长为43+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8332．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ） A ．(32-∞B ．)32,⎡+∞⎣C ．(32-∞D ．)32,⎡+∞⎣33．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B C ．D 34．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．不确定35．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.3．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.4．AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,1a b a b a b⋅<>===⋅+又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.5．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.6．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解； 对于选项C中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD .故选：ABD .【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.8．AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．ABCD应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理,即.,或.即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】 根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =.2,2(0,2)A B π∈, 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选：ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°10．ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.11．BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题. 12．AD【分析】 分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量解析：AD【分析】 分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】 对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.13．AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，解析：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 14．CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确.故选：CD 【点睛】解析：CD【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个，所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．17．A【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】由正弦定理可知2sin sin sin a b c r A B C ===已知sin cos sin a b c A B B===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为所以122ABC S =⨯=. 故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 18．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥，所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.19．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.20．A 【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】AB =3==，222cos2AB BC ACBAB BC+-∴===⋅又因为角B是三角形的内角，所以6Bπ=，90BAC∴∠=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠==，sin cos7DAC BAD∴∠=∠=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBD BADBAD⋅=∠，在ADC中，由正弦定理可得sinsinDC CADDAC⋅=∠，()17DC DC⨯⨯=，解得：DC=.故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.21．A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c的值，进而利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC∆中，利用三角形的面积公式可得011sin1sin6022ABCS bc A c∆==⨯⨯⨯=，解得4c=，又由余弦定理得22212cos116214132a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，解得a=，由正弦定理得2sin2sin sin sin32a b c aA B C A-+===-+，故选A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．C【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==， 由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===， 所以258R =， 此三角形的外接圆半径是258故选：C【点睛】 本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 24．C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．25．D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！26．无27．D【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD＝AC＋CD＝AC＋12CB＝－CA－12BC＝－b－12a，故①正确．②BE＝BC＋CE＝BC＋12 CA＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF ＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF ＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D. 【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量． 28．A 【分析】利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.【详解】E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-.因此，1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题. 29．C 【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用. 30．C 【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论． 【详解】 4c =，3C π∠=，可得4832sin sin 3c R C π===，可得ABC ∆外接圆半径43R =④正确；()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；若2A π=，3C π=，6B π=，可得2a b =，①可能成立；由4c =可得83a =，43b =443+；面积为1832bc =； 则②③成立；若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==， 可得43a =，83b = 则三角形的周长为443a b c ++=+11438383sin sin 223S ab C π===则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.31．C【分析】作出图形，先推导出212 AMAB AB⋅=，同理得出212AM AC AC⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM=+且EM AB⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC⋅=，86cos6024AB AC⋅=⨯⨯=，由221212AM AB ABAM AC AC⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC ABAB AC ACλμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 32．A【分析】不等式a c b d T-+-≥恒成立，即求a c b d-+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a cb d ac bd a b c d-+-≥---+，转化即求+()a b c d-+最小值，再转化为等边三角形OAB的边AB的中点M和一条直线上动点N的距离最小值. 当M N，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【详解】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,(.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=因为a c b d T -+-≥恒成立，+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为3的一个圆.又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离32MN232T NM故选：A 【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．33．B 【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 34．B 【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状. 【详解】因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即0AB CA CB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=，所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形． 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 35．D 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称；。
2021-2022学年北京市各区高三一模试题汇编—平面向量(解析版)
2021-2022学年北京市各区高三一模试题汇编—平面向量一、选择题1.（2022朝阳一模第3题）已知平面向量a ，b 满足||2=a ，||1=b ，且a 与b 的夹角为32π，则||+=a b （A ）3 （B ）5 （C ）7（D ）3【答案】A【解析】332cos ||||22)(22222=⋅++=⋅++=+πb a b a b a b a b a.3||=+∴b a2.（2022门头沟一模第8题）已知D 是边长为2的正ABC △边BC 上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（A ） [3,4] （B ） [3,2]（C ） [0,2] （D ） [2,4]【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系，)0,(),0,1(),0,1(),3,0(a D C B A -3. )3,(),3,1(-=--=a AD AB 3+-=⋅a AD AB ]1,1[-∈a ]4,2[3∈+-∴a (2022西城一模第6题）已知向量,a b 满足||5=a ，(3,4)=b ，0⋅=a b . 则||-=a b（A ）5（B ）52 （C ）10 （D ）102【答案】B 【解析】5||=bABOC.25||502)(222=+⇒=⋅-+=-b a b a b a b a二、填空题1.（2022丰台一模第12题）已知向量(23)=-,a ，(6)x =-,b .若a b ，则=x ． 【答案】4【解析】∵a b 403)6()2(=⇒=--⨯-∴x x2. （2022海淀一模14）已知12,e e 是单位向量，且120⋅=e e . 设向量12λμ=+a e e ，当1==λμ时，1,<>=a e ______；当2λμ+=时，1||-a e 的最小值为 .【答案】;4π22【解析】2221||||)(||||,cos 121121111==+⋅+=⋅>=<e e e e e e e a e a e a],0[,1π>∈<e a4,1π>=∴<e a .3. 222222121222121)1()1(2)1(])1[(||μλμμλλμλ+-=+⋅-+-=+-=-e e e e e e e a 21)21(2122)1(2222+-=+-=+-=μμμμμ,R ∈μ .22||2121)21(212≥-⇒≥+-∴e aμ（2022房山一模第12题）已知a ，b 是单位向量，2=+c a b ，且⊥a c ，则⋅=a b ___；=c .【答案】;21-.3【解析】c a⊥ 210)2(-=⋅⇒=+⋅=⋅∴b a b a a c a4. .3||344)2(2222=⇒=⋅++=+=c b a b a b a c（2022东城一模第12题）已知向量AB ，CD 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则AB CD ⋅=_________． 【答案】5【解析】)3,1(),1,2(==CD AB5. .53112=⨯+⨯=⋅CD AB （2022石景山一模第14题）设点1F ，2F 分别为椭圆22:14+=x C y 的左，右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12⋅=PF PF m成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为_________． 【答案】0（答案不唯一）【解析】设),(00y x P ， ),3(),,3(002001y x PF y x PF --=---=2434133)3)(3(22020202020021-=-+-=+-=+---=⋅x x x y x y x x PF PF ).1,2(),4,0(2120-∈⋅∴∈PF PF x ).1,2(-∈∴m。
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平面向量【知识梳理】一、平面向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念（2）向量的表示方法①字母表示法，如：a AB ，等； ②几何表示法：用一条有向线段表示向量。
2.向量的线性运算b 的和的运算叫做与b 的差求实数λ与向量.a a λ（λ>0时，a λ与a 的时, a λ=0, a λ=0(a λ 3.向量(0)a a ≠与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使.b a λ=注：用向量法证明三点A 、B 、C 共线时，首先求出AB AC 、，然后证明AB AC λ=，即AB AC 与共线即可。
二、平面向量的基本定理及坐标表示 1.两个向量的夹角 （1）定义已知两个非零向量a 和b ，作,OA a OA b ==，则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。
注：在ΔABC 中，设,AB a BC b ==，则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确？ （2）范围向量夹角θ的范围是00≤θ≤1800，a 与b 同向时，夹角θ=00；a 与b 反向时，夹角θ=1800。
（3）向量垂直如果向量a 与b 的夹角是900，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
2.平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算 （2）向量坐标的求法 （3）平面向量共线的坐标表示设a =),(11y x ，b =),(22y x ，其中b ≠0，则a 与b 共线⇔a =λb ⇔ 01221=-y x y x 。
三、平面向量的数量积及其应用举例 1．平面向量数量积的概念； 2．平面向量数量积的性质；【热点难点】一、平面向量的概念及其线性运算 （一）向量的有关概念 1.着重理解向量以下几个方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。
2.判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系； （2）单位向量的长度及方向。
例1 下列结论中，不正确的是 （ ）（A ） 向量AB ，CD 共线与向量AB //CD 同义； （B ） 若向量AB //CD ，则向量AB 与DC 共线； （C ） 若向量AB =CD ，则向量BA =DC ； （D ） 只要向量a ，b 满足|a |=|b |，就有a =b 。
例2 给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②若,AB DC =则ABCD 为平行四边形； ③若//,//,a b b c a c =则； ④若//,//,//a b b c a c 则。
其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （二）向量的线性运算1.用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。
例3 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD ⋅ .（三）向量的共线问题例4 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka b +和a kb +共线 二、平面向量的基本定理及坐标表示 (一)平面向量共线的坐标运算1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；2.利用向量的坐标运算解题。
主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；4.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
(二)平面向量共线的坐标表示1.凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；2.向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。
解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
例5 已知(1,2),(3,2),a b ==-当k 为何值时，ka b +与3a b -平行；平行时它们是同向还是反向？ （三）向量与其他知识的综合例6 已知向量(,)u x y =现向量(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示。
设(1,1),(1,0)a b ==，求向量()f a 与()f b 的坐标；三、平面向量的数量积及平面向量应用举例 （一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式||||cos a b a b θ⋅=来计算，二是利用1212a b x x y y ⋅=+来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：22222222(1)||;(2)||()2;(3)(,),||.a a a a ab a b a a b b a x y a x y ==⋅+=±=±⋅+==+若则 例7 已知||3,||4,a b ==，a 与b 的夹角为34π，求：（1）(32)(2)a b a b --；（2）||a b +。
（二）平面向量的垂直问题1.非零向量121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=2.当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a、b 用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。
（三）平面向量的夹角问题1.当a 与b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角。
需求得a b ⋅及a 、b 或得出它们的关系。
2.若已知a 与b 的坐标，则可直接利用公式cos θ=注：平面向量a 、b 的夹角3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥⇔⋅=．【近几年会考题】 2015年春季2. 平面向量a 、b 满足2b a =如果(1,1)a =，那么b 等于( ) A. )2,2(- B. )2,2(-- C. )2,2(- D. )2,2(19. 在ABC ∆中，如果5,3,4AB AC BC ===，那么角AB AC ⋅等于：（ ） A ．9； B ．12； C ．15； D ．20．2014年夏季12．△ABC 的三个顶点的坐标分别是(1,1)A -，(1,0)B ，(2,2)C ，那么向量AB BC +的坐标是（ ） （A ）(1,3) （B ）(3,1) （C ）(2,3) （D ）(1,3)--20．已知点(,)P x y 在单位圆221x y +=上，点(2,0)A ，那么OP AP ⋅的取值范围是（ ） （A ）[1,3]- （B ）[3,1]- （C ）[2,2]- （D ）[3,2]-21．已知平面向量(1,1)a =，(x,1)b =-，且a b ⊥，那么实数x 等于_____________2014年春季12.已知平面向量(1,2),(2,)a b x =-=，且0a b ⋅=，那么b 等于（ ）A.B.C. 20D. 520.如图，在圆O 中。
已知弦4AB =，弦6AC =，那么AO BC ⋅的值为（ ）A. 10B.C.D. 10-23.已知点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,3)，且2AC AB =，那么点C 的坐标为＿＿＿＿＿＿。
2013年夏季20.已知向量(1,1)=a ，||1OM =,2ON a ⋅=，其中O 为坐标原点，那么MN a ⋅的最小值为（ ）A.1B.C. 2D. 22013年春季20．记时钟的时针、分针分别为OA 、OB （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ⋅的值第一次达到最小时，那么m 的值是（ ）2012年夏季20．在ABC ∆中，)(AC BA BC =⋅+，那么ABC ∆的形状一定是（） （A ）30（B ）36011（C ）31（D ）211π （A ）等边三角形（B ）等腰三角形【近三年高考题】 2014年理10．已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.文3．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ）2013年理13．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ．文14．向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为。
2012年理13．己知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点.则DE 的值为文13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为_______；DE DC ⋅的最大值为_______。
【向量解题方法探讨】1.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．（C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形B C2．已知圆C 的半径为3，直径AB 上一点D 使3,AB AD =,E F 为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅=( )A ．3-B ．4-C ．8-D ．9-2014朝阳一模理（综合）（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且3M N O M O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是 （A ）(2,22⎡-⎣（B）(22,4⎡--⎣（C ） [2,2]-（D ）[- 2014朝阳一模文(综合)（7）已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC -与CA 的夹角是（A ）30（B ）60（C ）90 （D ）120 2014海淀一模理(综合) 14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.2014东城一模理（6）如图，在△ABC 中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅= （A ）3（B ）4（C ）5 （D ）不能确定 2014东城一模文（12）在△ABC 中，,D E 分别为,BC AC 的中点，F 为AB 上的点，且1||||4AF AB =．若AD AF AE λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+= ． 2014西城一模理（还有一个基础题）综合14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.2014西城一模文（还有一个基础题）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.2014通州一模理13． 若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC = ． 2014通州二模13.已知圆O :224x y +=及点(1,3)A ，BC 为圆O 的任意一条直径，则AB AC ⋅=_________．2014海淀期末理(综合)7.已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A⋅的最大值为B.233C.94D. 154D CPD CP2015东城期末文（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是（A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)(3,)-∞--+∞ （D ）[3,3)-2015海淀期末（4）当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5（B ）4 （C ）3 （D ）22015西城期末理(综合)8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）3。