高考数学选择题常考考点专练23
23高考数学试题
23高考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x²B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = cos(x)若直线y = kx + b 与圆x² + y² = 4 相切，则k 的值为？A. ±1B. ±2C. ±√3D. ±√2已知向量a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角为？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°若函数f(x) = log₃(x - 1) 的定义域为(1,9]，则它的值域为？A. (0,2]B. (-∞,2]C. (0,+∞)D. [0,+∞)已知等差数列{a_n} 的前n 项和为S_n，若a_1 = 1，S_4 = 10，则a_5 = ？A. 4B. 5C. 6D. 7已知椭圆C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的一个焦点为F(1,0)，且短轴长为2，则椭圆C 的离心率为？A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 1/√2若复数z 满足(1 + i)z = 2i，则z = ？A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i已知函数f(x) = x³ - 3x² + 2，则f(x) 在区间[-1,2] 上的最大值为？A. 2B. 3C. 4D. 5在△ABC 中，若sinA = 1/2，且A 为锐角，则 A = ？A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°已知随机变量ξ 服从正态分布N(2,σ²)，且P(ξ < 4) = 0.9，则P(0 < ξ < 2) = ？A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1二、填空题（每题4分，共16分）函数y = x - √(4 - x²) 的值域为_______。
《常考题》数学高考题经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．2．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ）A ．49B ．29C ．12D ．134．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．718 5．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．511．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．534 B ．532 C ．532 D ．13212．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3213．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2 14．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ） A ．12 B ．122± C ．1102± D ．3222± 15．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.17．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 18．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．19．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.20．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．21．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．22．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.23．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.24．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2x π的值介于1[0,]2的概率为 ． 25．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 三、解答题26．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）27．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.28．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.29．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.30．已知0,0a b >>.(1)211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b +≥-．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．C5．A6．B7．D8．B9．D10．A11．C12．B13．B14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主17．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为18．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线19．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n＝4故答案为4【点睛】本题考20．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小21．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基22．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径23．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图24．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率25．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f （b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．B解析：B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键. 4．C解析：C【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算. 5．A【解析】【分析】通过(0)1f=，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．【详解】2||()x xf x e-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．6．B解析：B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1iz=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z满足21iiz=-，∴()()()2121111i iiz ii i i+===---+，∴复数z的共轭复数等于1i--，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】由已知α=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设α=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m+2n,∴α在基底m, n下的坐标为(0,2).8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．D解析：D【解析】【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于1a >，所以1x x a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．C解析：C【解析】试题分析：先求得M（2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM=532，故选C．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．点评：简单题，应用公式计算．12．B解析：B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
高考数学(理)一轮复习考点训练：考点23等比数列及其前n项和
2020高三一轮基础达标 考点23等比数列及其前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．802．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．243．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－324．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 355．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A ．－2 B ．－ 2 C ．±2D. 26．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．757．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．108．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13 D ．139．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －110．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 11．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 12．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B ．73C ．310D ．1或213．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3·…·a 30＝230，则a 3a 6a 9·…·a 30＝( )A ．210B ．220C ．216D ．215 二、填空题14．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的前4项和S 4＝________．15．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 16．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.18．已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n －a n}为等比数列．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．参考答案1. 答案：A解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝⎛⎭⎫323＝135. 2. 答案：A解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.3. 答案： A解析： 由a 4＝a 1q 3，则q ＝2，所以a 5＝a 4q ＝16．故选A ． 4. 答案：B解析：由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10.5. 答案：B解析： 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，因为a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0.又a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.6. 答案： B解析： 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5， 所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25．故选B ． 7. 答案： B解析：设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2· a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，所以n ＝12. 8. 答案： D解析： 设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q ＝3或q ＝－3(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝13．故选D ．9. 答案： D解析： 因为⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1.故选D.10. 答案： A解析： ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3，∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得a b＝－3．故选A ． 11. 答案： B 解析： 由a n a n ＋1＝a 2n q ＝16n >0知q >0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋116n ＝16，所以q ＝4．故选B ．12. 答案： B解析： 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k3k ＝73，故选B ． 13. 答案： B解析： 因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230．所以a 2a 5a 8…a 29＝210．则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8·…·a 29)q 10＝210×210＝220，故选B ．14. 答案： 27解析： 由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1，a n ＋1＝2S n ，∴a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2， ∴S 4＝1＋2＋6＋18＝27． 15. 答案：18解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.16. 答案： 5解析： 由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5.17.解析：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.18. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.。
高考数学必备选择题100道
高考数学必备选择题100道1. 选择题：若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(-2)的值。
A. 9B. -1C. 5D. -52. 选择题：已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，公差d = 3，求a5的值。
A. 10B. 11C. 12D. 133. 选择题：若a^2 + b^2 = 25，且a + b = 5，求a - b的值。
A. -3B. -2C. -14. 选择题：已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(1)的值。
A. 3B. 4C. 5D. 65. 选择题：若a^2 - 4ac = 0，且a ≠ 0，求c的值。
A. 0B. 1C. 2D. 36. 选择题：已知等比数列{bn}，且b1 = 2，公比q = 3，求b4的值。
A. 12B. 18C. 247. 选择题：若a^2 + 2ab + b^2 = 1，求a^2 - b^2的值。
A. 0B. 1C. 2D. 38. 选择题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x，求f(2)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 29. 选择题：若a^2 + b^2 = 25，且a - b = 3，求a + b的值。
A. 7B. 8C. 9D. 1010. 选择题：已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(-1)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 311. 选择题：若a^2 - 4ac = 0，且a ≠ 0，求a的值。
A. 0B. 1C. 2D. 312. 选择题：已知等比数列{bn}，且b1 = 2，公比q = 3，求b3的值。
A. 6B. 9C. 12D. 1813. 选择题：若a^2 + 2ab + b^2 = 1，求a^2 + b^2的值。
A. 1B. 2C. 3D. 414. 选择题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x，求f(3)的值。
A. -6B. -3C. 0D. 315. 选择题：若a^2 + b^2 = 25，且a + b = 5，求ab的值。
高三数学选择题专题训练(17套)含答案
（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则 （ ） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（ ）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （ ）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 （ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ． 第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两 点(-1，0)和(0，1)，则（ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分 别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐， 并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是 （ ）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ ） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（ ） A ．与xe y =的图象 关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（ ） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（ ） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （ ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)23 数列的基本知识与概念 (含详解)
专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）． A ．35 2331n n +- B ．36 2331n n -+ C ．37 2331n n -+ D ．38 2331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ） A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]40,25-- B ．[]40,0- C ．[]25,25- D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（ ）2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（ ） A ．()9,128 B ．()10,128 C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（ ） A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （ ）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（ ） A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+ B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（ ） A ．20212a = B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（ ）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n aC ．()11221n n a n ++=+ D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2nn ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72 D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>=，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，1,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++=___．专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-【答案】B 【分析】当0x ≥时，分别令1,2,3,x =，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值；当0x <时，分别令1,2,3,x =---，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值． 【详解】 ①当0x ≥时，若0x =，则数列{}n a 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若1x =，则数列{}n a 的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若2x =，则数列{}n a 的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第3项开始为周期数列，周期为3，由202022018236722=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若3x =，则数列{}n a 的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第4项开始为周期数列，周期为3，由202032017336721=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若4x =，则数列{}n a 的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,， 此时数列{}n a 从第6项开始为周期数列，周期为3，由202052015536712=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当()26731001146x =-=，或1147x =时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0；②当0x <时，若1x =-，则数列{}n a 的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第7项开始为周期数列，周期为3，由202062014636711=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 若2x =-，则数列{}n a 的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第9项开始为周期数列，周期为3，由202082012836702=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若3x =-，则数列{}n a 的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第10项开始为周期数列，周期为3，由202092011936701=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若4x =-，则数列{}n a 的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第12项开始为周期数列，周期为3，由20201120091136692=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当()26711001142x =--=-，或1143x =-时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0， 则x 可取的值有1146,1147,1142,1143--． 故选：B ． 【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件()21N n n n a a a x *++=-∈探究数列{}n a 的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x =和1,2,3,x =---，可分别求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦．*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝．662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……． ∴6n n b b +＝．故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-【答案】D 【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果． 【详解】 当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-． 故选：D ．例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67 B ．68 C ．134 D ．167【答案】B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列{}n a 的周期为4，再根据2019=m S 与前两项的范围可求得52a =，再分组求和求解2019S 即可． 【详解】设1(23)a a a =<<，由()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，*(,1)n N n ∈>，得22(0,1)a a =-∈，3235(2,3)a a a =-=-∈，435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈．故数列{}n a 的周期为4，即可得41234,6n n a a a a a a +=+++=． 12336632019m m S a a a =+++=⨯+=，又1(23)a a a =<<，22(0,1)a a =-∈．(2)3a a ∴+-=，即52a =． 12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=， 2019116059504622S ∴=⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154a a a a a a =-==-==-=-，则数列{}n a 的周期为3，则20226743345a a a ⨯===． 故选：B ．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2【答案】D【解析】解：∵12a =，()1112n n n a a a n --=⋅+≥， ∴()1112n n a n a -=-≥， ∴211122a =-=，3121a =-=-，()4112a =--=，511122a =-=，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，10331=⨯+，∴101a a =， 故选：D ．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞【答案】B【解析】{}n a 为单调递增数列，10912109m ma a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩，即12109219219m m m m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪⎪⎝⎭⎩，解得：112m <<， 即实数m 的取值范围为()1,12．故选：B ．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3【答案】C【解析】因为数列{}n a 是单调递增数列，则函数()6x f x a -=在()7,+∞上为增函数，可得1a >，函数()()33f x a x =--在[)1,7上为增函数，可得30a ->，可得3a <，且有78a a <，即()86733187a a a ---=-<，即27180a a +->，解得9a <-或2a >．综上所述，23a <<． 故选：C ．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<【答案】C【解析】当2,n n N *≥∈时，121(1)n n a a n ++=+，因此有2123(2)n n a a n +++=+，(2)(1)-得：22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121n n a a n ++=+可得：345,2a a a a =-=+，因为数列{}n a 单调递增，所以有1234a a a a <<<，即152a a a <<-<+，解得：3522a <<，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：因为等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），所以1119a S A ==-，221(127)(19)18a S S A A A =-=---=-， 332(181)(127)54a S S A A A =-=---=-，因为等比数列{}n a 中2213a a a ，所以2(18)(19)(54)A A A -=--，解得13A =或0A =（舍去）， 所以213n b n Bn =+，因为数列{}n b 是递增的，所以22111(1)(1)033n n b b n B n n Bn +-=+++-->，所以2133B n >--，因为*n N ∈，所以1B >-， 故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可．【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>， 所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【答案】C由数列{}n a 是单调递增数列，可得10n n a a +->，从而有21b n >--恒成立，由n ∈+N ，可求得b 的取值范围． 【详解】由数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n b n n bn n b +++--=++>，即21b n >--（n ∈+N ）恒成立，又数列{}(21)n -+是单调递减数列，所以当1n =时，(21)n -+取得最大值3-，所以3b >-． 故选：C ．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【分析】 根据()111n n n a a n ++=+得出()11n n n a n a n ++-=，然后通过累加法求出1122n n a n =+-，根据均值不等式及n N +∈，即可求出结果． 【详解】 由()111n n n a a n ++=+得()11n n n a n a n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+所以()111112222n n n na n-=+=+-≥ 当且仅当n =n N +∈，故取1a 或2a 最小，又121a a ==，所以n a 的最小值为1【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及n N +∈，求得最值． 例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4【答案】C 【分析】先根据累加法得210n a n n =-+，进而得101n a n n n =+-，再结合函数()101f x x x=+-的单调性即可得当3n =时，na n 的最小值为163． 【详解】 解：由12n na a n+-=得12n n a a n +-=， 所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-， ，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，累加上述式子得：()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦，所以210n a n n =-+，()2n ≥，检验已知1n =时，210n a n n =-+满足．故210n a n n =-+，101n a n n n=+-，由于函数()101f x x x=+-在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，又因为*x ∈N ，当3n =时，10163133n a n =+-=，当4n =时，10114142n a n =+-=， 所以na n 的最小值为163． 故选：C ．例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解． 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->，∴1n n n S a S --=，则21(1)n S n -=-，即2*(N )n S n n =∈，∴22(1)21n a n n n =--=-．易知0n b >，∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（），244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时，1n >， ∴当13n ≤<时， 1n n b b +>， 当3n ≥时，1n n b b +<， 又23132,281b b ==，∴当3n =时， n b 有最小值．故选：A 例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【分析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断n T n 的最小值． 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N *∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=， 当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n=-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6；当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，nT n有最小值5； 综上所述，nT n的最小值为5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题． 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【分析】构造函数()ln xf x x=，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解． 【详解】 考虑函数()ln x f x x=，()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()21ln 0x f x x -'=>，当x e >时，()21ln 0x f x x -'=<， 所以()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 即()1ln x f x x ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以y e ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，116689,89<<．【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题． 【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）．A ．35 2331n n +-B ．36 2331n n -+C ．37 2331n n -+D ．38 2331n n +- 【答案】C 【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f 和(5)f ，进而总结出递推公式2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-，利用累加法即可求出结果． 【详解】由图中规律可知：(4)37f =， 所以(2)(1)716f f -=-=，(3)(2)19726f f -=-=⨯，(4)(3)371936f f -=-=⨯， (5)(4)613746f f -=-=⨯，因此当2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-， 所以[][][]()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+()()612211n n ⎡⎤=⨯-+-++++⎣⎦()1612n n -=⨯+2331n n =-+，经检验当1n =时，符合()2331f n n n =-+，所以()2331f n n n =-+，故选：C ．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位【答案】D 【分析】 先求出,m n 的值，再根据数对的特点推出数对(),m n 的位置 【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第n 组为(1,),(2,1),,(,1)n n n -⋅⋅⋅，数对中两数的和为1n +，共n 个数，由()22222021m n -⋅-=，得()2222023m n -⋅=，因为20237289=⨯，所以2227289m n ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得317m n =⎧⎨=⎩，所以20m n +=，在所有数对中，两数之和不超过19的有1918123181712⨯+++⋅⋅⋅+==个， 所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17）， 所以数对（3，17）排在第174位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由()22222021m n -⋅-=，得()2222023mn -⋅=，解出,m n 的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12 B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9【答案】C 【分析】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项． 【详解】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大．当2m n +=时只有1个()11，；当3m n +=时有2个()()1221，，，； 当4m n +=时有3个()()()132231，，，，，； …；当12m n +=时有11个()()()111210111⋯，，，，，，；其上面共有11(111)12311662⨯+++++==个数对． 所以第67个“整数对”为()112，，第68个“整数对”为()211，， 故选：C ． 【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题． 例23．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列 B ．第64行4列 C ．第65行3列 D ．第65行4列【答案】B 【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案． 【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11… 111,1n n a a a n -=-=-利用累加法：112211(1)()()...()121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-++-+=-+-++=+计算知：642017a = 数2020出现在第64行4列 故答案选B 【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键． 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575 C ．D ．12【答案】A【解析】()32f x x x=+在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴当()x n n N *=∈时，()()(){}min min 5,6f n f f =，又()32575555f =+=，()32346663f =+=，()min 343f n ∴=，即32n a n n =+的最小值为343． 故选：A ．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t 当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】C【解析】由题意可得()()()()()211221121122n n n n n n n n na a a a a a a a ---+-+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+=，当1n =时，11a =满足上式，则()()212121112121n a n n n n n n +++⎡⎤==++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为n ∈+N ， 所以12n +≥， 所以()2131n n ++≥+，则()21121n n ++-≥+，故112112n a n +≥⨯=+，当且仅当1n =时，等号成立． 故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-【答案】B【解析】因为2420,nnn a -=>所以221222log log log log n n T a a a =++⋯+．设22log 4n n b a n n ==-．若n T 有最小值，则2log n T 有最小值， 令0n b ≤，则04,n ≤≤所以当3n =或4n =时﹐n T 的最小值为102-． 故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13【答案】A【解析】由题意可知，()()121111312(1)13(1)2n n n a a a a a a n n n -=+-++-=++++-=+-，则113122n a n n n =+-，又113122y x x =+-在( 上递减，在)+∞上递增，且56<<，5n =时，11311131235222525n n +-=⨯+-=；6n =时，11311131142362226235n n +-=⨯+-=>，故选：A ．例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ）A ．134B ．5C ．6D ．132。
高考数学考点冲刺《23与三角函数有关的应用题》(含解析)
专题23 与三角函数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m.【答案】 18【解析】：设BD ＝x m ，作AH⊥CD，垂足为H ，记∠HAC＝α，∠HAD ＝β，则α＋β＝45°. 因为tan α＝6x ，tan β＝9x ，且tan (α＋β)＝1，得6x ＋9x 1－6x ·9x ＝1，即x 2－15x －54＝0，即(x ＋3)(x －18)＝0，解得x ＝18.解后反思 在解方程的过程中，若记3x ＝t ，则5t ＝1－6t 2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方程的根．2.如图1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【答案】 150【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． 3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.【答案】 7504、如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1) 写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2) 试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？思路分析 对于(1)，面积S 由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式S ＝12αr 2可得，另一个是△OCD 的面积，根据三角形的面积公式12ab sin C 可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值．【解析】： (1) 因为扇形AOC 的半径为40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.(2分)在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD ＝1 600sin(π－x )＝1 600sin x ，(4分)从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π.(6分)【问题探究，变式训练】例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成AD ，CD 两段，其中两固定点A ，B 间距离为1米，AB 与杆AC 的夹角为60°，杆AC 长为1米．若制作AD 段的成本为a 元/米，制作CD 段的成本是2a 元/米，制作杆BD 的成本是4a 元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S 元．(1) 求S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD 段多长时，S 最小？【解析】： (1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3＝ADsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos α2sin 2α＝0，设cos α0＝14.(9分)(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分)答：(1)S 关于α的函数表达式为S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3；(2)当AD ＝5＋510时，S 最小．(14分)【变式1】、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC⊥AB.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC＝2π3.计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(1) 当θ＝π3时，求∠OPQ 的大小；(2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．思路分析 设∠OPQ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 【解析】： 因为∠AQC＝2π3，所以∠AQO＝π3.又OA ＝OB ＝3，所以OQ ＝ 3.(2分)在△OPQ 中，OQ ＝3，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝π2－α＋θ.由正弦定理，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋θ＝3sin α，即3sin α＝cos (α－θ)．(4分) 展开并整理，得tan α＝cos θ3－sin θ，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(8分)(1) 当θ＝π3时，tan α＝33.因为α∈(0，π)，所以α＝π6.答：当θ＝π3时，∠OPQ ＝π6.(10分)(2) 解法1 设f(θ)＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.则f′(θ)＝－sin θ（3－sin θ）＋cos 2θ（3－sin θ）2＝1－3sin θ（3－sin θ）2.令f′(θ)＝0，得sin θ＝33，记锐角θ0满足sin θ0＝33.(13分) 列表如下：由上表可知，f(因为tan α＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以当tan α取最大值22时，α也取得最大值． 答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 解法2 记T ＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则3T ＝cos θ＋T sin θ＝(1，T )·(cos θ，sin θ)≤1＋T 2，得T≤22，当且仅当tan θ＝22，即sin θ＝33时取等号．(13分) 所以tan α的最大值为22.显然tan α>0，所以当tan α＝22时，α取最大值． 答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 【变式2】、 ））(2017苏锡常镇调研（一））（C13,17. (本小题满分14分) 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l . (1) 请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2) 问：当α为何值时l 最小，并求最小值．(2) f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α，(8分)令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3.(9分) 当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .(12分)答：(1) l 表示成关于α的函数为l ＝f (α)＝S h ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2； (2) 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh.(14分)【变式3】、 在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．【解析】：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ． 在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ， ＝4AC 2－23AC 2cos θ． ＝(4－23cos θ) 800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元， 所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分 由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6． 当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分例2、如图，海上有A ，B 两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60°，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC ＝BO .设AC ＝x km. (1) 用x 分别表示OA 2＋OB 2和OA ·OB ，并求出x 的取值范围；(2) 晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．【解析】： (1) 在△OAC 中，∠AOC ＝120°，AC ＝x . 由余弦定理得OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos120°＝x 2. 又OC ＝BO ，所以OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos120°＝x 2 ①.(2分)在△OAB 中，AB ＝10，∠AOB ＝60°.由余弦定理得OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos60°＝100 ②.(4分)①＋②得OA 2＋OB 2＝x 2＋1002.①－②得4OA ·OB ·cos60°＝x 2－100，即OA ·OB ＝x 2－1002.(6分)又OA 2＋OB 2≥2OA ·OB ，所以x 2＋1002≥2×x 2－1002，即x 2≤300.又OA ·OB ＝x 2－1002>0，即x 2>100，所以10<x ≤10 3.(8分) (2) 易知S △OAB ＝S △OAC ，故S △ABC ＝2S △OAB ＝2·12·OA ·OB sin60°＝3x 2－4.(10分)又S △ABC ＝12·AC ·BD ，设BD ＝f (x )，所以f (x )＝3x 2－2x，x ∈(10,103]．(12分)又f ′(x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100x 2>0，(14分) 则f (x )在(10,103]上是单调增函数，所以f (x )的最大值为f (103)＝10，即BD 的最大值为10.(16分) (利用单调性定义证明f (x )在(10,103上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出f (x )在(10,103]上是增函数，但未给出证明，扣2分)【变式1】、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P在道路AC 上（异于A C ，两点），．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植 观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元， 新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【解析】： （1）过点D 作DD '垂直于线段AB ，垂足为D '．在直角ABC △中，因为AB ⊥BC ，π6BAC =∠，3AB =，所以BC =在直角ADD '△中，因为1AD '=，DD '=2AD =，则，故π3DAD '=∠，又π6BAC =∠，所以π6DAP =∠．…… 2分在ADP △中，由正弦定理得sin πsin 6AD DP θ=，所以1sin DP θ=，π5π66θ<<． …… 6分（2）在ADP △中，由正弦定理得，所以．所以．又．所以． (8)分设三项费用总和为()f θ，则，π5π66θ<<，，π5π66θ<<．………………………………… 10分 CBA（第17题）DPD '所以，令()0f '=θ，则2π3θ=．列表：所以2π3θ=时，．答：以上三项费用总和的最小值为 14分【变式2】、如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?(第17题)答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)解法2 (构造直角三角形)设∠PMB ＝θ.当0<θ<π2时，在△PMD 中，因为PM ＝2，所以PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ. (2分)在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMB ＝θ，所以MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，所以AD ＝433sin θ＋2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≥π2时，结论也正确.(6分)AP 2＝AD 2＋PD 2＝⎝⎛⎭⎪⎫433sin θ＋2cos θ2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋1633sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ(8分)＝163·1－cos2θ2＋833sin2θ＋4＝833sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3. (12分)当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30°.(14分) 解法3 设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α. 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos∠MAN ， 即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4.(2分)因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋x 2－xy 4x ＝2x －y 4.(6分)cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4.(8分)在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy .(12分)因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4.所以AP 2≤12，即AP ≤2 3.当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值2 3.答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)例3、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度． 【解析】（1）过点O 作OH FG ⊥于点H ，则，所以，．……………………………2分所以sin22θθ=+，………………………………6分因为12AB AD ≥，所以1sin 2θ≥，所以定义域为ππ[,)62．……………………8分（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，ππ62θ<≤．则A BCDFEOG θH，………………………………………………12分因为ππ62θ<≤，所以11sin222θ≤，所以，故'()0f θ<，所以函数()f θ在ππ[,)62上单调减．所以当π6θ=时，()f θ有最大值π6+，此时(m)． …14分答：（1）S 关于θ的函数关系式为，定义域为ππ[,)62；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m ．………16分【变式1】、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l 1排，在路南侧沿直线l 2排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB ＝60m ，BC ＝80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90°的角为α. (1) 求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； (2) 求排管的最小费用及相应的角α.【解析】 (1) 如图，过E 作EM ⊥BC ，垂足为点M .由题意得∠MEF ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0≤tan α≤43，故有MF ＝60tan α，EF ＝60cos α，AE ＋FC ＝80－60tan α.(4分) 所以W ＝(80－60tan α)×1＋60cos α×2(5分) ＝80－60sin αcos α＋120cos α＝80－α－cos α.(8分)(2) 解法1 设f (α)＝sin α－2cos α其中0≤α≤α0<π2，tan α0＝43，则f ′(α)＝cos αcos α－－sin αα－cos 2α＝1－2sin αcos 2α.(10分) 令f ′(α)＝0得1－2sin α＝0，即sin α＝12，得α＝π6.(11分)列表所以当α＝π6时有f (α)max ＝－3，此时有W min ＝80＋60 3.(15分)答：排管的最小费用为(80＋603)万元，相应的角α＝π6.(16分) 解法2 f (α)＝2－sin αcos α＝32－sin α＋12＋sin αcos α≥32－sin α12＋sin αcos α＝32， 当且仅当32(1－sin α)＝12(1＋sin α)时成立，此时sin α＝12，α＝π6.(11分)以下同解法1.【变式2】、如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在EF上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．(第18题)【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ. 当0＜θ＜π3时(如图1)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．(3分)当π3≤θ＜π2时(如图2)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ，故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ. 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为 S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16sin θθ＋，0＜θ＜π3，32sin2θ，π3≤θ＜π2.(7分)【变式3】、如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20 m ，广场的一角是半径为16 m 的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN (宽度不计)，点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN (宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a 元/m ，单人弧形椅的造价为a 元/m ，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1) 试将W 表示为θ的函数W (θ)，并写出cos θ的取值范围； (2) 如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小？【解析】;： (1) 过点N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G .在Rt △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ. 在Rt △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.(4分)由题意易得CN ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(6分)因此，W (θ)＝2a ·20－16cos θsin θ＋16a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(7分) 当点M 与点A 重合时，cos θ＝1620＝45；当点M 与点D 重合时，cos θ＝0，故cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45.(9分) (2) W ′(θ)＝－16a ＋8a ·4－5cos θsin 2θ ＝8a ·θ－θ－sin 2θ.令W ′(θ)＝0，cos θ＝12，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π3.(12分)设锐角θ1满足cos θ1＝45， θ1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ1，π3时，W ′(θ)＜0，W (θ)单调递减； 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，W ′(θ)＞0，W (θ)单调递增．(14分)所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫163＋8π3a 元，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝4 3 m 时，总造价最小．(16分)易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视．一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少．。
{高中试卷}高考数学选择题常考考点专练[仅供参考]
![{高中试卷}高考数学选择题常考考点专练[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/86345155e53a580216fcfefb.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：高考数学选择题常考考点专练161、若{a n }是等比数列，a 4a 7＝－512, a 3＋a 8＝124, 且公比q 是整数，则a 10等于（ ）。
（A ）256 （B ）－256 （C ）512 （D ）－512 2、已知数列{2n －11}，那么有最小值的S n 是（ ）。
（A ）S 1 （B ）S 5 （C ）S 6 （D ）S 113、如果x n =(1－21)(1－31)(1－41)……(1－n1)，则∞→n lim x n 等于（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）21（D ）不确定4、数列的通项公式是a n ＝(1－2x)n ，若∞→n lim a n 存在，则x 的取值范围是（ ）。
（A ）[0,21] （B ）[0, -21] （C ）[0, 1] （D ）[0,- 1] 5、不等式x 2－x ＋1>0的解集是（ ）。
（A ）{x| x<231i-或x>231i +} （B ）R （C ）ο/（D ）以上都不对6、已知方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋ki ＝0至少有一个实根，那么实数k 的取值范围是（ ）。
（A ）k ≥22或k ≤－22（B ）－22≤k ≤22 （C ）k ＝±22 （D ）k ＝227、已知集合P ＝{x| (x －1)(x －4)≥0}，Q ＝{n| (n ＋1)(n －5)≤0, n ∈N}与集合S ，且S ∩P ＝{1, 4}，S ∩Q ＝S ，那么集合S 的元素的个数是（ ）。
（A ）2个（B ）2个或4个（C ）2个或3个或4个（D ）无穷多个 8、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆车分别有一位司机和一名售票员，则可能的分配方案数是（ ）。
（A ）88A （B ）48A （C ）4444A A ⋅（D ）44A9、有4个学生和3名教师排成一行照相，规定两端不排教师，那么排法的种数是（ ）。
专题23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习
专题23 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【考点总结】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 【常用结论】1．两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x 而言的，应是x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 【易错总结】(1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；(3)搞不清f (x )在x ＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．例1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故选D.例2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得． 答案：y ＝sin 12x例3．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________． 解析：由题意知当x ＝π3时，函数取得最大值，所以有sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以ω＝32＋6k (k ∈Z )，又0<ω<2，所以ω＝32.答案：32例4．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________． 解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：π6【考点解析】【考点】一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【解】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表如下：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 法二：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．【变式】1．函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.【变式】2．将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D.将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos(x＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)的图象，又y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos(2x －π4)，所以1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，所以a ＝12，又φ>0，所以φ＝π2＋2k π(k ∈N )，结合选项知选D.【变式】3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos(ωx －ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52【考点】二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例1、 (1)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.【解析】 (1)由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．故选B. (2)由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (－π3)＝－62.【答案】 (1)B (2)－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【变式】1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )解析：选A.由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C.故选A. 【变式】2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫5π6，－1 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，－1D ．⎝⎛⎭⎫5π6，0解析：选A.由题图得⎝⎛⎭⎫π3，－1为f (x )图象的一个对称中心，T 4＝π3－π12，所以T ＝π，从而f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3＋k π2，－1(k ∈Z )，当k ＝1时，为⎝⎛⎭⎫5π6，－1，选A. 【考点】三、三角函数图象与性质的综合应用 角度一 三角函数图象与性质的综合问题例1、(2020·河南郑州三测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要使f (a ＋x )－f (a －x )＝0成立，则a 的最小正值为( )A.π12B ．π6 C.π4D ．π3【解析】 由函数图象可得，函数的最大值为2，即A ＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f (0)＝1，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫11π12，0，所以f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫ω×11π12＋π6＝0， 又x ＝11π12在函数f (x )的单调递增区间内，所以令11π12ω＋π6＝2k π(k ∈Z )，解得ω＝24k －211(k ∈Z )．由函数图象可得最小正周期T >11π12，即2πω>11π12，解得ω<2411.又ω>0，故k ＝1，从而ω＝2211＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由f (a ＋x )－f (a －x )＝0，得f (a ＋x )＝f (a －x )，所以该函数图象的对称轴为直线x ＝a . 令2a ＋π6＝n π＋π2(n ∈Z )，解得a ＝n 2π＋π6(n ∈Z )．要求a 的最小正值，只需n ＝0，得a ＝π6，故选B.【答案】 B求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x ＝11π12在函数的单调递增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到11π12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质． 角度二 函数零点(方程根)问题例2、(2020·湖南株洲二模)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 B ．⎣⎡⎭⎫9π4，7π2 C.⎝⎛⎦⎤5π4，11π8D ．⎝⎛⎦⎤9π4，7π2【解析】 由题意得方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8有三个不同的实数根． 画出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a 恰好有三个不同的实数根． 令2x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.故x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选A. 【答案】 A巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键． 【变式】1．(2020·山东烟台3月模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 解析：选C.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋φ的图象． 因为所得函数图象关于y 轴对称，所以－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝－6k －3＋6φπ，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12＝sin ()π＋φ＝－sin φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以ω＝－6k －2，又ω>0，所以取k ＝－1，可得ωmin ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.故选C.【变式】2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(]0，π上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)解析：选A.关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4<t ≤9π4的图象，如图所示， 由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12<22， 故0≤m <2，故选A.。
高考数学考点专练选择题(基础)
专练01选择题（基础）一、单选题1．【2021届广州一模】复数21iz i-=-在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．【2021届深圳一模】已知复数1iz i=+，则||z =（）A ．22B C ．12D ．13．【2021届深圳一模】已知集合{|2}A x x =>，{0,1,2,3,4}B =，则()R A B = ð（）A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{0,1}D ．{0,1,2}4．【2021届广州一模】已知集合{(1)(2)0}A x x x =-+<∣，则R A =ð（）A ．{21}xx -<<∣B ．{12}xx -<<∣C ．{2xx -∣ 或1}x D ．{1x x -∣ 或2}x 5．【2021届肇庆二模】图中阴影部分所对应的集合是（）A ．()()U A B BðB ．()U A B ðC ．()()()U A B A B ðD ．()()()U A B A B ð6．【2021届湛江一模】已知()R A B =∅ ð，则下面选项中一定成立的是（）A ．AB A= B ．A B B= C ．A B B⋃=D ．A B R= 7．【2021届汕头一模】若135a⎛⎫= ⎪⎝⎭，则15log 15a -=（）A ．1-B ．1C ．15D ．38．【2021届肇庆二模】已知函数()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，则a =（）A ．1-B ．12C ．12-D ．19．【2021届梅州一模】若向量,a b满足()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥ ，则b = （）A ．2B C ．1D ．2210．【2021届湛江调研】已知向量(1,2)a = ，向量(2,2)b =- ，a kb + 与a b -垂直，则k ＝（）A ．2B ．107C ．12D ．71011．【2021届高州一模】如图所示的ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE →=（）A ．1136BA BC→→--B ．1163BA BC→→--C ．5163BA BC →→--D ．5163BA BC →→-+12．【2021届韶关一模】ABC ∆中，点M 为AC 上的点，且12AM MC = ，若BM BA BC λμ=+，则λμ-的值是（）A ．1B ．12C ．13D ．2313．【2020届珠海三模】已知在ABC ∆中，4AB =，3BC =，5AC =，14AD DC = ，则BD BC ⋅=（）A ．95B ．94C ．165D ．36514．【2021届肇庆二模】曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（）A ．230x y --=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．210x y +-=15．【2021届湛江调研】命题“0x ∀>，lg|2x -1|＞0”的否定是（）A ．0x ∀≤，lg 210x -≤B ．0x ∃≤，lg 210x -≤C ．0x ∃>，lg 210x -≤D ．0x ∀>，lg 210x -<16．【2021届韶关一模】命题p ：220x x --<是命题q ：01x <<的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件17．【2021届广州一模】1a b >+是22a b >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．【2021届广州天河区二模】设R θ∈，则“sin 2θ<”是“04πθ<<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．【2021届深圳一模】设,,αβγ为三个不同的平面，若αβ⊥，则“//γβ是“αγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件20．【2021届湛江一模】已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π21．【2021届肇庆二模】牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．明代曹昭在《格古要论·珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为2100cm π和264cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接线段AB ．若线段AB 不穿过小球内部，则线段AB 长度的最大值是（）A ．cmB ．9cmC ．3cmD ．2cm22．【2021届梅州一模】若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）A ．5000元B ．5500元C ．6000元D ．6500元23．【2020届深圳二模】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，42S =，则6S =（）A ．6-B ．4-C ．2-D ．024．【2020届广州二模】首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（）A ．d >3B ．d 72<C ．3≤d 72<D ．3<d 72≤25．【2021届汕头一模】在正项等比数列{}n a 中，2416a a =，4524a a +=，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．12n n a -=B ．2nn a =C ．3nn a =D ．13-=n n a 26．【2021届揭阳一模】科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线．其构成方式如下：如图1将线段AB 等分为AC ，CD ，DB ，如图2以CD 为底向外作等边三角形CMD ，并去掉线段CD ．在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线．设线段AB 的长度为1，则图3曲线的长度为（）A ．2B ．83C ．6427D ．327．【2021届汕头一模】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（）A ．B ．437C ．-D ．7-28．【2020届珠海三模】将函数()cos sin f x x x =+的图象向右平移34π个单位长度，得到函数g()x 的图象，则函数g()x 的解析式为A ．()g x x =B ．()g x x =C ．()g x x=D ．()g x x=29．【2021届湛江一模】将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（）A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=330．【2021届梅州一模】已知直线6x π=是函数()()sin 2()2f x x πϕϕ=+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin2y x =的图象A ．向左平行移动6π个单位长度B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动12π个单位长度D ．向右平行移动12π个单位长度31．【2021届韶关一模】人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式()()10125sin 16p t πt =+，其中()p t 为血压(单位：mmHg )，t 为时间(单位：min )，则下列说法正确的是（）A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值32．【2021届深圳一模】2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A ．40B ．39C ．38D ．3733．【2021届深圳一模】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A ．6B ．12C ．24D ．4834．【2021届揭阳一模】某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（）A ．6种B ．12种C ．24种D ．32种35．【2021届肇庆二模】二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为60，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2±D ．3±36．【2021届韶关一模】假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为（）A ．925B ．25C ．35D ．3437．【2020届深圳二模】若1x ，2x ，…，n x 的平均数为a ，方差为b ，则123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（）A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．23a +，2bD ．23a +，4b38．【2021届深圳一模】已知随机变量()2~,N ξμσ，有下列四个命题：甲：(1)(2)P a P a ξξ<->>+乙：()0.5P a ξ>=;丙：()0.5a ξ≤=丁：(1)(12)P a a P a a ξξ<<+<+<<+;如果只有一个假命题，则该命题为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁39．【2020届珠海三模】甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为A ．s 1>s 2>s 3B ．s 1>s 3>s 2C ．s 3>s 1>s 2D ．s 3>s 2>s 140．【2021届广州天河区二模】在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()2100,(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0．6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A ．0．16B ．0．24C ．0．32D ．0．4841．【2021届揭阳一模】中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A ．135B ．170C ．1840D ．1168042．【2020届广州二模】《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（）A ．()221a p r -B ．()221a p r +C ．()1a p r-D ．()1a p r+【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题．43．【2021届广州天河区二模】生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在123H H H →→这个生物链中，若能使3H 获得10kJ 的能量，则需1H 提供的能量为（）A ．510kJB ．410kJC ．310kJD ．210kJ 44．【2021届广州天河区二模】已知4log 3a =，5log 3b =，34c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．b c a<<45．【2020届珠海三模】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（）A ．3B ．3-C ．2-D ．1-46．【2020届深圳二模】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，()13f x x =，则17(8f =（）A ．12B ．2C ．18D ．847．【2020届广州二模】函数()12f x x x=-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．48．【2021届高州一模】函数()||2sin x e xf x x⋅=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．49．【2021届湛江调研】若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（）A ．2B ．2C ．2D50．【2020届深圳二模】已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D ．3二、多选题1．【2021届湛江一模】若复数z i =-，则（）A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数z iD ．24z =-2．【2021届广州天河区二模】设向量(1,1)a =-，(0,2)b = ，则（）A ．||||a b =B ．()a b a- ∥C ．()a b a-⊥ D ．a 与b 的夹角为4π3．【2021届揭阳一模】已知一组直线为20x y ±=，则以该组直线为渐近线的双曲线有（）A ．2241x y -=B ．2241y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=4．【2021届湛江调研】因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：满意不满意男2020女4010附表：P （K 2≥k ）0．1000．050．0250．0100．001k 2．7063．8415．0246．63510．828附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++以下说法正确的有（）A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0．6C ．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D ．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系5．【2021届肇庆二模】某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：[)90,91，[)91,92，[)92,93，[)93,94，[)94,95，[]95,96，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A ．0.25b =B ．长度落在区间[)93,94内的个数为35C ．长度的众数一定落在区间[)93,94内D ．长度的中位数一定落在区间[)93,94内6．【2021届湛江一模】已知(1-2x )2021=a o +a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 2021x 2021．（）A ．展开式中所有项的二项式系数和为22021B ．展开式中所有奇次项系数和为2021312-C ．展开式中所有偶次项系数和为2021312-D ．320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅=-7．【2021届肇庆二模】函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．22sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭8．【2021届湛江一模】已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（）A ．f (x )的极大值为0B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴C ．f (x )的最小值为0D ．f (x )在定义域内单调。
高考数学复习专题九考点23《数列的概念与简单表示法》练习题(含答案)
高考数学复习专题九考点23《数列的概念与简单表示法》练习题（含答案）1.已知数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =-，且{}n a 单调递增，则实数k 的取值范围是( ) A.(,2]-∞B.(,2)-∞C.(,3]-∞D.(,3)-∞2.22，24，…，则162( ) A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项3.已知在数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，则n a 等于( ) A.123n -+B.123n ++C.123n --D.123n +-4.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A.2B.3C.4D.55.已知数列{}n a 满足32111232n n a a a a n ++++=-，则n a =( ) A.112n-B.312n - C.12nD.2nn 6.已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，且2n S n λ=+.若数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A.(,1)-∞B.(,2)-∞C.(,3)-∞D.(,4)-∞7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90~100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为( ) A.65B.66C.67D.688.已知数列{}n a 的前n 项和为112321 ,,0,3,2,1(3)22n n n n n n a aS a a a a n a a +--∈===⋅=++N .若100m a =，则m =( )A.50B.51C.100D.1019.若数列{}n a 满足12211,1,n n n a a a a a ++===+，则称数列{}n a 为斐波那契数列.1680年卡西尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：211(1)(2)n n n na a a n -+-=-≥.在斐波那契数列{}n a 中，若k 满足22111(21)(21)999kki i i i i i a a i a ++==--≤-∑∑，给出下列结论：①k 可以是任意奇数；②k 可以是任意正偶数：③若k 是奇数，则k 的最大值是999；④若k 是偶数，则k 的最大值是500.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.①②D.③④10.已知集合{}{}1*21*3,,1333,n n A x x n B x x n --==∈==++++∈N N ∣∣.将A B ⋃的所有元素从小到大排列构成数列{}n c ，其前n 项和为n T ，则下列命题中真命题的个数为( ) ①202320222021c c c =+； ②{}2212n n c c --是等比数列；③使503n T >成立的n 的最小值为100； ④112ni ic =<∑恒成立. A.4B.3C.2D.111.在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()122n n n a a a n --=+>.已知n S 为该数列的前n 项和，若2020S m =，则2022a =_____________.12.已知数列{}n a 中，11a =，()*12n n a a n +=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.13.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1=a ___________. 14.已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n a a a a a n n-++++=-≥，则{}n a 的通项公式为_______________.15.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数.（1）证明：12n n S S λ+=+.（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.参考答案1.答案：D解析：∵数列{}n a 中()2*n a n kn n =-∈N ，且{}n a 单调递增，10n n a a +∴->对于*n ∈N 恒成立，即()22(1)(1)210n k n n kn n k +-+--=+->对于*n ∈N 恒成立. 21k n ∴<+对于*n ∈N 恒成立，即3k <.故选D.2.答案：B22(2)，3(2)，4(2)，…，由此可归纳该数列的通项公式为()*(2)n n ∈N .又9162(2)，所以1629项.故选B.3.答案：D解析：由123n n a a +=+，得()1323n n a a ++=+，且134a +=，则{}3n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，则1342n n a -+=⨯，所以123n n a +=-. 4.答案：C解析：因为数列{}n a 中，m n m n a a a +=，令1m =，则112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则11122k k k a a ++=⋅=.所以()()1011101111210122212212k k k k k k k a a a a +++++++-+++==-=--，则1111552222k k ++-=-，所以4k =，故选C. 5.答案：D 解析：32111232n n a a a a n ++++=-①，当2n 时，31211112312n n a a a a n --++++=--②，则①-②得，1111222n n n n a n -=-=，故(2)2n n n a n =.当1n =时，112a =，也符合2n n na =，故选D. 6.答案：B解析：当1n =时，111a S λ==+；当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n λλ-==+---=--.则120n n a a --=>，所以当2n 时，数列{}n a 为递增数列.若数列{}n a 为递增数列，只需21a a >，即31λ>+，所以2λ<.故选B.7.答案：B解析：设年龄最小者的年龄为n ，年龄最大者的年龄为([90,100])m m ∈，所以(1)(18)1520n n n m ++++++=，所以191349n m +=，所以134919m n =-，所以90134919100n -，所以14565661919n ，因为年龄为正整数，所以66n =，故选B.8.答案：D 解析：因为3412122a a a a ⋅=++，所以45a =，同理可得564,7a a ==.令2(3)2nn n a b n a -=+，则11n n b b +=，因为31b =，所以3452 1,2n n n b b b b a a -======+，则有21202(1)2 2 , 32(1)21k k a k k a k k -=+-=-=+-=+，故(1)n n a n =+-.若(1)100m m a m =+-=，则101m =.故选D. 9.答案：B解析：由211(1)(2)n n n na a a n -+-=-≥可得212111(21)(21)1357(1)(21)kkk i i i i i i a ai a k +++==-⋅--=-+-++--∑∑.若k 为偶数，则22111(21)(21)1357(21)kki i i i i i a a i a k k ++==---=-+-+--=-∑∑，此时22111(21)(21)999kki i i i i i a a i a ++==--≤-∑∑，即999k -≤，k 无最大值，所以②正确，④错误；若k 为奇数，则22111(21)(21)1357(21)kki i i i i i a a i a k k ++==---=-+-++-=∑∑，此时22111(21)(21)999k ki i i i i i a a i a ++==--≤-∑∑，即999k ≤，此时k 的最大值为999，所以①错误，③正确.故选B. 10.答案：B解析：设1*3,n n a n -=∈N ，则数列{}n a 是首项为1、公比为3的等比数列，其前n 项和213113332n n n B --=++++=.因为111a B ==，且当2n ≥时，131332n n n --<<， 所以把A B ⋃的所有元素从小到大排列为122334455,,,,,,,,,B a B a B a B a B ，所以212131,32n n n n n n c B c a -+-====.对于①，1221213131322n n nn n n c c c +-+--+=+==，取1011n =，有202320222021c c c =+，故①正确.对于②，因为2213123212n nn n c c ---=-⨯=是常数，所以{}2212n n c c -- 是以1为首项、1为公比的等比数列，故②正确.对于③，易知49503a =，则数列{}n c 的前98项和()()98235012349T a a a B B B B =++++++++()234912350234950B B B B a a a B B B B =++++++++=++++()5123505014931073333224-=⨯+++-=<，前99项和515050509998999850310731531093424T T c T B --⨯-=+=+=+=>，故使得503n T >成立的n 的最小值为99，故③错误.对于④，因为当2n ≥时，0n n B a >>，所以11113n n n B a -<=， 所以2121122311111111111112122333333nn nn i i n n c B B B a a a -=+⎛⎫⎫⎛⎛⎫⎛⎫=+++++++<+++++++=-< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭∑，又因为21211112n n i i i i c c -==<<∑∑，所以112ni ic =<∑恒成立，故④正确.11.答案：1m +解析：由已知，得123a a a +=，234a a a +=，…，202020212022a a a +=，以上各式相加，得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=.又21a =，2020S m =，所以20221a m =+.12.答案：12n -解析：易知0n a ≠，由()*12n n a a n +=∈N ，可得12n na a +=， 所以当2n ≥时，12nn a a -=， 所以()113211221122222n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=个， 所以()122n n a n -=≥. 因为当1n =时也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()1*2n n a n -=∈N . 13.答案：7解析：令()2n k k *=∈N ，则有()22261k k a a k k *++=-∈N ， 2468101214165,171,942=,a a a a a a a a ∴+=+=+=+，∴前16项的所有偶数项和 517294192S =+++=偶，∴前16项的所有奇数项和 54092448S =-=奇，令()21n k k *=-∈N ，则有()212164k k a a k k *+--=-∈N .()()()211315375k a a a a a a a a +∴-=-+-+-+ ()2121281464k k a a k +-+-=++++-=()(264)(31)2k k k k k *+-=-∈N ，()211(31)k a k k a k *+∴=-+∈N ，31517192,10,24,44a a a a a a a ∴=+=+=+=+ 1111131151,70,102,140a a a a a a a =+=+=+，∴前16项的所有奇数项和13 S a a =+++奇151182102444701021408a a a =+++++++=+392448=. 17a ∴=.14.答案：1n a n =+解析：依题意数列{}n a 满足12a =，且31122234n n a a a a a n-++++=-①. 当2n =时，1222a a =-，23a =， 3112122341n n n a a aa a a n n -++++++=-+②， ②-①得11n n n a a a n +=-+，121n n a n a ++=+ 则()112n n a n n a n-+=≥， 所以13211221132112n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+-， 1a ，2a 都符合上式.所以{}n a 的通项公式为1n a n =+. 故答案为：1n a n =+. 15.答案：（1）见解析 （2）存在，1λ=.解析：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=.0n a >，10n S +∴>，120n n S S λ+∴--=，12n n S S λ+∴=+.（2）12n n S S λ+=+， 122n n S S n λ-∴=+≥（）， 两式相减，得1(22)n n a a n +≥=. 212S S λ=+，即2112a a a λ+=+， 21a λ∴=+，由20a >，得1λ>-.若{}n a 是等比数列，则2132a a a =，即22(1)(1)λλ+=+，得1λ=. 经检验，1λ=符合题意.故存在1λ=，使得数列{}n a 为等比数列.。
23、24题 高考数学选做23、24题知识点大全
特殊地：过极点，倾斜角为α，直线的极坐标方程：θ＝α(ρ≥0)
4.圆的参数方程
4.1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程
如图圆O与x轴正半轴交点M0(r，0)．
设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是
（5）(θ为参数)．
4．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
推论1：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
推论2：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
解:当x＜-2时，得 ，解得：
当-2≤x≤1时，得 ，解得：
当 时，得 ， 解得：
6.柯西不等式：
1．二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
注意：
1．二维柯西不等式的三种形式及其关系
定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．
2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件
代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．
3．掌握二维柯西不等式的常用变式
(1)·≥|ac＋bd|.
(2)·≥|ac|＋|bd|.
(3)·≥ac＋bd.
高中数学复习 选择题精选60道
高考数学复习选择题精选第一部分·代数一、选择题：1、若}{0b y ax |)y ,x (=-+ }{φ==++01ay x |)y ,x (，则＿＿＿＿＿＿。
A. a = 1且b ≠ - 1 B. a = 1且b ≠ 1 C. a = ±1且b ≠ ±1 D. a = 1且b ≠ - 1或 a = - 1且b ≠12、对于集合M 、N ，若N M ⊂，则下列集合表示空集的是＿＿＿＿＿＿。
A. N MB. N MC. N MD. N M3、同时满足下列条件的非空集合S 的个数为＿＿＿＿＿＿。
i ）S }{5,4,3,2,1⊆；ii ）若S a ∈，则S a 6∈-。
A. 4B. 5C. 7D. 314、已知全集I=}{R y ,R x |)y ,x (∈∈，M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--32x 4y |)y ,x (，N={}2x 3y |)y ,x (-=，则N M 是＿＿＿＿＿＿。
A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--32x 4y |)y ,x ( B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠--32x 4y |)y ,x ( C. φD. {})4,2(5、设2x 11)x (f -=和)x 6x 2(log )x (g 221-+=的定义域依次为M 、N ，I=R ，则N M =＿＿＿＿＿＿。
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,21 B. ()1,1-C. ⎪⎭⎫⎝⎛-32,21D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,3221,16、已知2x 1y --=的反函数是2x 1y --=，则原函数的定义域是＿＿＿＿＿＿。
A. ()0,1-B. []1,1-C. []0,1-D. []1,07、设函数)x (f 的定义域是()+∞∞-,，且)y (f )x (f )y x (f -=+，则)x (f 是＿＿＿＿＿。
A. 奇函数B. 奇且偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数8、已知x log )x (f 2a =，若)3(f )2(f >，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
23年高考数学试题
选择题：
1. 下列哪个数是有理数？
A. √2
B. π
C. 0.5
D. e
2. 若a + b = 5，且a - b = 3，则a的值是：
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
3. 在方程2x + 3y = 10中，若x = 4，则y的值是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 若x = 1/2 ，则x的倒数是：
A. 2
B. 1
C. 1/2
D. 1/4
5. 若一边长为a的正方形的面积是16平方单位，则a的值是：
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
填空题：
1. 在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和__。
2. 一个5边形的内角和是__ 度。
3. 在平面直角坐标系中，点的坐标用__表示。
4. 若a : b = 2 : 3 ，且a = 10，则b = __。
5. 若2x + 3y = 12，且x = 2，则y = __。
应用题：
1. 若两个相似的三角形的对应边长比为2:3，其中一个三角形的底边长为6cm，求另一个三角形的底边长。
2. 一块长方形的土地，长是20m，宽是15m，现将其等分为2份，每份的面积是多少平方米？
3. 甲乙两个人同时从同一起点出发，甲以5 km/h 的速度向东行驶，乙以3 km/h 的速度向
西行驶，若他们相距12 km，请问多久后他们会相遇？
4. 小明和小刚两人一起做作业，小明每小时可以做5道题，小刚每小时可以做4道题，他们一起工作3小时后，共完成了多少题？
5. 数列的前三项是1，3，5，若这个数列是一个等差数列，求第十项的值。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解23 隐零点与极值点偏移问题
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§3.8隐零点与极值点偏移问题隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．题型一隐零点例1(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝e x＋1－2x＋1，g(x)＝ln xx＋2.(1)求函数g(x)的极值；(2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)．(1)解g(x)＝ln xx＋2定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1－ln xx2，则当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，故函数g(x)的极大值为g(e)＝1e＋2，无极小值．(2)证明f(x)≥g(x)等价于证明x e x＋1－2≥ln x＋x(x>0)，即x e x＋1－ln x－x－2≥0.令h(x)＝x e x＋1－ln x－x－2(x>0)，h′(x)＝(x＋1)e x＋1－1＋xx＝(x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫e x＋1－1x，令φ(x )＝e x ＋1－1x ，则φ(x )在(0，＋∞)上单调递增， 而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝1110e －10<e 2－10<0，φ(1)＝e 2－1>0，故φ(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1，当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，h ′(x )<0，h (x )在(0，x 0)上单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，φ(x )>0，h ′(x )>0，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增， 故h (x )min ＝h (x 0)＝010e x x ＋－ln x 0－x 0－2，又因为φ(x 0)＝0，即01e x ＋＝1x 0，所以h (x 0)＝－ln x 0－x 0－1＝(x 0＋1)－x 0－1＝0，从而h (x )≥h (x 0)＝0， 即f (x )≥g (x )．思维升华零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f ′(x 0)＝0，并结合f ′(x )的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f ′(x )的正负，进而得到f (x )的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．跟踪训练1(2023·潍坊模拟)设函数f (x )＝x －a ln x －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x >1时，ln x ＋1>(1＋k )f ′(x )，求整数k 的最大值． 解 (1)由题意知，f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ， 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，若x∈(0，a)，f′(x)<0；若x∈(a，＋∞)，f′(x)>0；∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增；综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．(2)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－2，f′(x)＝1－1x(x>0)；由ln x＋1>(1＋k)f′(x)得，x(ln x＋1)>(1＋k)(x－1)，即k＋1<x(ln x＋1)x－1(x>1)，令g(x)＝x(ln x＋1)x－1(x>1)，则g′(x)＝x－ln x－2(x－1)2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，又h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－ln 4>0，∴∃x0∈(3,4)，使得h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，此时ln x0＝x0－2，则当x∈(1，x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(x0)＝x0(ln x0＋1)x0－1＝x0(x0－1)x0－1＝x0，∴k＋1<x0，即k<x0－1，又x0∈(3,4)，∴x0－1∈(2,3)，∴整数k的最大值为2. 题型二极值点偏移例2已知函数f(x)＝x e－x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.(1)解f′(x)＝e－x(1－x)，令f′(x)>0得x<1；令f′(x)<0得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f(x)有极大值f(1)＝1e，无极小值．(2)证明方法一(对称化构造函数法)由(1)知，不妨设0<x1<1<x2，要证x1＋x2>2，只要证x2>2－x1>1.由于f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故只要证f(x2)<f(2－x1)，由于f(x1)＝f(x2)，故只要证f(x1)<f(2－x1)，令H(x)＝f(x)－f(2－x)＝x e－x－(2－x)e x－2(0<x<1)，则H′(x)＝1－xe x－1－xe2－x＝(e2－x－e x)(1－x)e2，因为0<x<1，所以1－x>0,2－x>x，所以e2－x>e x，即e2－x－e x>0，所以H′(x)>0，所以H(x)在(0,1)上单调递增，所以H(x)<H(1)＝0，即有f(x1)<f(2－x1)成立，所以x1＋x2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2， 由f (x 1)＝f (x 2)， 得11e x x －＝22e x x －，等式两边取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1，所以x 1＋x 2＝(t ＋1)ln t t －1>2⇔ln t －2(t －1)t ＋1>0，设g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)， 所以g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，所以当t >1时，g (t )单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，所以ln t －2(t －1)t ＋1>0，故x 1＋x 2>2.思维升华极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x 1＋x 2>(<)2x 0型，构造函数F (x )＝f (x )－f (2x 0－x )；对结论x 1x 2>(<)x 20型，构造函数F (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20x ，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t ＝x 1x 2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 跟踪训练2已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－x －1x ＋a，函数g (x )满足ln[g (x )＋x 2]＝ln x ＋x －a .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2<1. (1)解 由已知得，函数f (x )的定义域为(－a ，＋∞)， 则f ′(x )＝1x ＋a －x ＋a －(x －1)(x ＋a )2＝x －1(x ＋a )2， 所以当－a ≥1，即a ≤－1时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增， 当－a <1，即a >－1时，若－a <x <1，则f ′(x )<0，若x >1，则f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤－1时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增； 当a >－1时，f (x )在(－a ,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明 因为ln[g (x )＋x 2]＝ln x ＋x －a ，所以g (x )＝x ·e x －a －x 2＝x (e x －a －x )，其定义域为(0，＋∞)，g (x )＝x e x －a －x 2＝x (e x －a －x )＝0等价于e x －a －x ＝0，即x －ln x ＝a ， 设h (x )＝x －ln x (x >0)， 所以h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令h ′(x )>0，则x >1，令h ′(x )<0，则0<x <1.所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为函数g (x )有两个不同的零点，即h (x )＝a 有两个不同的根，所以a >h (1)＝1， 所以g (x )有两个不同的零点x 1，x 2且0<x 1<1<x 2，且h (x 1)＝h (x 2)＝a ， 令φ(x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x －1x －2ln x (0<x <1)，则φ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝(x －1)2x 2>0对任意的x ∈(0,1)恒成立， 所以函数φ(x )在(0,1)上单调递增，φ(x )<φ(1)＝0，即当0<x <1时，h (x )<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，又0<x 1<1，所以h (x 1)＝h (x 2)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1，因为x 2>1，1x 1>1，且h (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以x 2<1x 1，故x 1x 2<1得证．课时精练1．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a ＝0时，证明：f (x )<2e x －x －4 .(其中e 为自然对数的底数) (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x ＝(ax －1)(x －2)x，当0<1a <2，即a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，(2，＋∞)上单调递增．当1a ＝2，即a ＝12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当1a >2，即0<a <12时，f (x )在(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增．综上所述，当a >12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，(2，＋∞)；当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)证明 当a ＝0时，由f (x )<2e x －x －4化简得e x －ln x －2>0， 构造函数h (x )＝e x －ln x －2(x >0)，h ′(x )＝e x －1x ，令g (x )＝h ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋1x 2>0，h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增， h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2<0，h ′(1)＝e －1>0， 故存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h ′(x 0)＝0，即0e x ＝1x 0.当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 所以当x ＝x 0时，h (x )取得极小值，也是最小值． h (x )min ＝h (x 0)＝0e x －ln x 0－2＝1x 0－01ln e x －2＝1x 0＋x 0－2>21x 0·x 0－2＝0， 所以h (x )＝e x －ln x －2>0，故f (x )<2e x －x －4. 2．设f (x )＝x e x －mx 2，m ∈R .(1)设g (x )＝f (x )－2mx ，当m >0时，讨论函数g (x )的单调性； (2)若函数f (x )在(0，＋∞)有两个零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2>2. (1)解 g (x )＝x e x －mx 2－2mx (x ∈R )，g ′(x )＝(x ＋1)(e x －2m )， 当m >0时，令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝ln(2m )， 若－1>ln(2m )，即0<m <12e ，则当x >－1和x <ln(2m )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当ln(2m )<x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 若－1<ln(2m )，即m >12e ，则当x <－1和x >ln(2m )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当－1<x <ln(2m )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当－1＝ln(2m )，即m ＝12e 时，g ′(x )≥0，g (x )在R 上单调递增，综上所述，当0<m <12e 时，g (x )在(－1，＋∞)，(－∞，ln(2m ))上单调递增， 在(ln(2m )，－1)上单调递减，当m >12e 时，g (x )在(－∞，－1), (ln(2m )，＋∞)上单调递增， 在(－1，ln(2m ))上单调递减，当m ＝12e 时，g (x )在R 上单调递增．(2)证明 令f (x )＝x e x －mx 2＝0，因为x >0，所以e x ＝mx ，令F (x )＝e x －mx (x >0), F (x 1)＝0，F (x 2)＝0，则1e x ＝mx 1，2e x ＝mx 2，两式相除得， 12e x x －＝x 1x 2， ①不妨设x 2>x 1，令t ＝x 2－x 1，则t >0，x 2＝t ＋x 1，代入①得，e t ＝t ＋x 1x 1，x 1＝t e t －1， 则x 1＋x 2＝2x 1＋t ＝2te t －1＋t ，故要证x 1＋x 2>2，即证2te t－1＋t >2， 又因为e t －1>0，等价于证明2t ＋(t －2)(e t －1)>0，构造函数h (t )＝2t ＋(t －2)(e t －1)(t >0)， 则h ′(t )＝(t －1)e t ＋1， 令h ′(t )＝G (t )，则G ′(t )＝t e t >0，故h ′(t )在(0，＋∞)上单调递增，h ′(t )>h ′(0)＝0， 从而h (t )在(0，＋∞)上单调递增，h (t )>h (0)＝0. 即x 1＋x 2>2.。
23年山东数学高考题
高考数学试卷一、单选题 1.已知函数2()2sin cos 23sin 3(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。
2.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ） A ．0x ∀>，210x x --≤ B ．00x ∃>，20010x x --> C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤ 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝2a cos A ，则cos A ＝（ ）A ．13 B ．24 C ．33 D ．63 4．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.305.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.12 6．已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,38．在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 9.设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ） A.{} 2345，，， B.{}234，， C.{}345，， D.{}34，11.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=-12.已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______14.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍。
23年高考数学题1卷
23年高考数学题1卷一、选择题1. 已知函数 $f(x) = x^2 + 2x$，则 $f(-1)$ 的值为（）A. $-1$B. $0$C. $1$D. $2$2. 在平面直角坐标系中，若点 $A(1,2)$，则 $|A|$ 的值是（）A. $\sqrt{5}$B. $\sqrt{10}$C. $\sqrt{26}$D. $\sqrt{28}$3. 式子 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ 的值为（）A. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$B. $\sqrt{2}-\sqrt{3}$C. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$D. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$二、填空题1. 化简 $\cos\frac{\pi}{12}\cdot\cos\frac{5\pi}{12}$ ，得到____________。
2. 若 $\frac{3}{x+1}-\frac{2x-1}{x^2-1}$ 的值恰为 $1$，则 $x$ 的值为____________。
3. 下列数据的众数为____________。
$1,2,2,3,4,4,4,5$三、解答题1. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 各项的和为 $\frac{1}{2}n(2a_1+(n-1)d)$，其中 $n$ 为正整数， $d$ 为公差，且 $a_1=3$ 。
若$a_3+a_7=18$，则 $d$ 的值是多少？解：设公差为 $d$，那么 $a_3=a_1+2d=3+2d$，$a_7=a_1+6d=3+6d$，代入 $a_3+a_7=18$ 得：$$(3+2d)+(3+6d)=18$$解得 $d=2$。
2. 已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle A=120^{\circ}$，$D$ 是 $BC$ 的中点。
若 $\overline{AD}$ 与 $\overline{AC}$ 的交点为$E$，则 $\triangle ADE$ 的面积为多少？解：如图，连接 $AE$ 并作 $\overline{BE}$ 的中垂线交$\overline{AE}$ 扩长线于 $F$，则由三角形的内心性质可知 $\triangle AEF$ 为等边三角形，且 $\overline{BE}$ 为其高。
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高考数学选择题常考考点专练23 1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥
，则x= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
2．已知{}{
}
2
||1|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤则A B = （ ）
A ．[)(]3,21,2--
B ．(]()3,21,--+∞
C ． (][)3,21,2--
D ．(](],31,2-∞-
3．设函数2
32
2,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩
在x=2处连续,则a= （ ）
A ．12-
B ．14-
C ．14
D ．1
3
4．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2
221a a (2)
n a +等于（ ） A ．2
)12(-n B ．)12(3
1-n
C ．14-n
D ．)14(3
1-n
5．函数f(x)22sin sin 44
f x x x ππ
=+--（）（）（）
是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数 6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）
A ．0.1536
B ． 0.1808
C ． 0.5632
D ． 0.9728
7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）
A ．
23 B ． 76 C ． 45 D ． 56
8．若双曲线22
20)x y k k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）
A ． 6
B ． 8
C ． 1
D ． 4
9．当04x π
<<时,函数22
cos ()cos sin sin x f x x x x
=-的最小值是（ ） A ． 4 B ． 1
2
C ．2
D ． 14
10．变量x 、y 满足下列条件：
212,
2936,2324,0,0.
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是
（ ）
A ． ( 4.5 ,3 )
B ． ( 3,6 )
C ． ( 9, 2 )
D ． ( 6, 4 )
11．若tan 4f x x π
=+（）（），则（ ） A ． 1f -（）>f (0)>f (1)
B ． f （0）>f(1)>f(-1)
C ． 1f （）>f(0)>f(-1)
D ． f （0）>f(-1)>f(1)
12．如右下图,定圆半径为( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线x–y+1=0的交点在( )
A．第四象限B．第三象限Array C．第二象限D．第一象限
参考答案
1. C
2.A
3.C
4. D
5. B
6. D
7. D 8. A 9. A 10.B 11.D 12.B。