2019届高三数学(理科)一轮复习夯基提能作业本 第九章 平面解析几何 第八节 曲线与方程 含解析

第八节曲线与方程
A组基础题组
1.方程x=所表示的曲线是()
A.双曲线的一部分
B.椭圆的一部分
C.圆的一部分
D.直线的一部分
2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是()
A.2x+y+1=0
B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y+5=0
3.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
4.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若=λ·,当λ<0时,动点M 的轨迹为()
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
5.已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是()
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0
D.8x2+8y2-2x+4y-5=0
6.已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足+=2,则点P的轨迹方程为.
7.已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,则动圆圆心Q的轨迹C的方程为.
8.在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是.
9.已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-y-2=0相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于点N,若动点Q满足=m+(1-m)(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程.
10.已知长为1+的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且
=.求点P的轨迹方程.
B组提升题组
11.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M,则M点的轨迹方程是()
A.-=1
B.+=1
C.-=1
D.+=1
12.在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足
++=0,||=||=||,∥,则顶点C的轨迹为()
A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是.
14.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,求顶点C的轨迹方程.
15.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P,Q,交直线l1于点R,求·的最小值.
答案全解全析
A组基础题组
1.B x=两边平方,可变为x2+4y2=1(x≥0),表示的曲线为椭圆的一部分.
2.D设Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.
3.B设椭圆的右焦点是F2,由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.
4.C设M(x,y),则N(x,0),所以=y2,λ·=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即λx2+y2=λ,当λ<0时,变形为x2+=1,所以当λ<0时,动点M的轨迹为双曲线.
5.A设点P的坐标为(x,y),则=3,整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.
6.答案(x-2)2+y2=1
解析设B(x0,y0),由+=2,得得代入圆的方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2=1.
7.答案y2=4x
解析设Q(x,y).因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,所以+|x|2=|AQ|2,所以|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x.
8.答案-=1(x>0且y≠0)
解析由正弦定理得-=×,即|AB|-|AC|=|BC|,故动点A的轨迹是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线右支(除去顶点).
即动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).
9.解析(1)设圆的半径为r,圆心到直线l1的距离为d,则d==2.
因为r=d=2,圆心为坐标原点O,所以圆C1的方程为x2+y2=4.
(2)设动点Q(x,y),A(x0,y0),
∵AN⊥x轴于点N,
∴N(x0,0),
由题意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),
解得即
将点A代入圆C1的方程x2+y2=4,得动点Q的轨迹方程为+=1.
10.解析设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),
又=,
所以x-x0=-x,y=(y0-y),
得x0=x,y0=(1+)y.
因为|AB|=1+,即+=(1+)2,
所以+(1+)y]2
=(1+)2,
化简得+y2=1.
所以点P的轨迹方程为+y2=1.
B组提升题组
11.D因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此M点的轨迹是以
C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,其中a=,c=1,∴b2=,∴M点的轨迹方程是+=1.故选D.
12.B设C(x,y)(y≠0),则由++=0,知G为△ABC的重心,得G.
因为||=||=||,所以M为△ABC的外心,所以点M在y轴上,又∥,则有M.
所以x2+=4+,
化简得+=1,
又A(2,0),B(-2,0),C为△ABC的三个顶点,所以y≠0.
所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).
13.答案y=2x-2
解析设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
14.解析如图,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(除去与x轴的交点),方程为-=1(x>3).
15.解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,
∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴动点C的轨迹方程为x2=4y.
(2)由题意知,直线l2的斜率存在,方程可设为y=kx+1(k≠0),与动点C的轨迹方程x2=4y联立,消去y,得x2-4kx-4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=-4.
又R,
∴·=·
=·+(kx1+2)·(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4
=-4(1+k2)+4k++4
=4+8.
∵k2+≥2(当且仅当k2=1时取等号),∴·≥4×2+8=16,
即·的最小值为16.。