6.衍射-1

2. 巴俾涅原理
记 1 、 2 的衍射场分别为 E1 ( p )、E2 ( p ), 无衍射屏时 光场为E0 ( p ) . 则 E0 ( p) E1 ( p) E2 ( p)
(6-12)
3. 证明
exp(ikl ) exp(ikr ) cos(n,r ) cos(n,l ) ( P) A E0 [ ]d l i 1 2 r 2
1. 衍射公式
A exp( ikl) exp( ikr) cos(n, r ) cos(n, l ) ~ E ( P ) [ ]d i l r 2
(6-2)
A exp( ikl) exp( ikr) cos(n, r ) cos(n, l ) ~ E ( P ) [ ]d i l r 2
z
(x1
2
y )/
1
2

ik 2 2 exp[ (x1+ y )] 1 1 2z
(6-7) 可近似为
i ik 2 2 E(x, y) exp(ikz)exp[ (x y )]F{E(x1 ， )} x y1 f x z z 2z
fy
(6-11)
y
z
•在夫琅和费近似下，衍射光场就是入射场的傅
子波元, 相干迭加
式中
A 离点光源 S 单位 距离处的振幅， l S到Q的矢径， r 是 P到Q的矢径, n 是子波元的外法线方向单位矢量
2. 公式的近似
(A) 傍轴近似
A exp( ikl) exp( ikr) cos(n, r ) cos(n, l ) ~ E ( P ) [ ]d i l r 2
2 i ik 2 exp(ikz) exp[ (x y )]F{E(x1 , y ) 1 z 2z

ik 2 2 exp[ (x1+ y )]} x 1 2z f x z
fy
y
(6-7)
z
6.2 The theory of diffraction
意义：
在菲涅耳近似下，衍射光场就是入射光
2 1 1
2
xx y y x y z 2z
2 1 1 1 1 1
z
菲涅耳近似
2 1
1
E ( x, y )
z
i
1
E ( x1,
y ) exp(ikr )d
1
r z1
x y 2z
2 1
2

x x1 z
1
yy
1
x1
2
y 2z
1
2
1
i ik 2 E(x, y) exp(ikz) exp[ (x z 2z ik 2 2 exp[ (x1+ y )] exp[-ik( x x1 + 1 2z z
sin sin ab
ka sin x / 2 kb sin y / 2


全部常量归于I0，得到
sin 2 sin 2 I ( x, y ) I 0 ( ) ( ) (6-18) ka sin x / 2, kb sin y / 2
2. 衍射图样讨论
I ( x, y )
(A) X 轴 的图样
6.3 Fraunhofer diffraction
I 0(
sin

) (
2
sin

)2
先分析沿 X轴 的光强度分布，此时 y＝0，
I I0 (
sin

)
2
(6-19)
(1) 强度分布
sin 2 I ( x, y ) I 0 ( )
r
z 1 (距离)
A exp[ikl ] E ( x1, y ) , 1 l
cos(n, l ) 1
cos(n, r ) 1 ,
1 1
E ( x, y )
E ( x , y )exp(ikr )d z
1
i
iA exp[ik (r l )] cos(n, r ) cos(n, l ) E ( x, y ) ]d r l [ 2 近似为：

dI sin cos sin 考虑 2 0 2 d m 0 主极大 对应P0点 sin 0 , m m 1, 2, 极小 . 零
与极小值相对应的暗点位置为 a sin m m m 1, 2, (6-21)
(2) 在垂直或平行于光轴方向平移(但不能转动)， 衍射图样不变
6.3.2 矩孔衍射 Diffraction
at a rectangular aperture
1. 强度公式
x y E ( x1 , y ) rect ( ) rect ( ) 1 a b
E ( x, y ) F{E ( x1, y )}
第6章 光的衍射 Diffraction
6.1 光的衍射现象
Sommerfeld (索末菲)定义：
不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。 （应加上散射 Scattering）
6.2 衍射的基本理论
The theory of diffraction
6.2.2 基尔霍夫公式
Kirchhoff ’s diffraction formula
6.3 Fraunhofer diffraction
(2) 相似定理
F{f(x, y)} F[f x , f y ] x y F{f( , )} ab F[af x , bf y] a b
(3) 圆对称函数相似定理
B{g(r)} G() r B{g( )} a 2G(a ) a
6.3.1 衍射装置
Experiment arrangement
6.3 Fraunhofer diffraction
z

(x1
2
y)
1
2

x1 0.1mm y1 0.1mm
0.55 m μ
z 364m
(1) S 置于 L1 的前焦面，等价于无穷远光源 在 L2 的后焦面观察衍射图样，等价于在无穷远处观察
A exp(ikl ) exp(ikr ) cos(n,r ) cos(n,l ) [ ]d i 1 l r 2 A exp(ikl ) exp(ikr ) cos(n,r ) cos(n,l ) [ ]d i 2 l r 2
E1 ( p) E2 ( p)
f
(6-7a)
y
y /y
(C) 夫琅和费近似
E(x
6.2 The theory of diffraction
2 i ik 2 ,y) exp(ikz) exp[ (x y )] z 2z 2 ik 2 {E(x1 , y ) exp[ F (x1+ y )]} 1 1 2z
氏变换，代以
fx
x
z
,
fy
y
z
6.2 The theory of diffraction
矩形函数
பைடு நூலகம்
1 x 1/ 2 rect ( x) ， 0 其它
梳状函数
F{rect ( x)} sin c( f x ) sin( f x) /( f x)
F {comb( x)} comb( f x )
x
1 ka sin 2
cos sin 0
即 tan , 次极大
sin 0 ,
m 0 主极大 P0 m m 1, 2, 零
应用：
圆孔衍射 圆屏衍射 单缝衍射 窄带/细线衍射
漆包线直径的在线检测
6.3 夫琅和费衍射
Fraunhofer diffraction
相关公式
(1) 线性定理
F{g(x)} G(f x) F{h(x)} H(f x) F{ g(x) h(x)} G(f x) H(f x)
6.2 The theory of diffraction
E ( x, y )
注意：
E ( x , y )exp(ikr)d z
1
i
1
1
(6-3)
相位因子中有巨大的倍乘因子K , 不能取近似 r Z1
E ( x, y )
z
i
1
E ( x , y ) exp(ikr )d
场乘上相位因子 exp[ 傅氏变换，再代入
ik
2z
(x1
2
y )] ,
1
2
进行
f x x / z , f y y / z
积分前的相位因子在求强度时无影响，可略去，于是
ik 2 2 E(x, y) F{E(x1 , y ) exp[ (x1+ y )]} x / z 1 1 fx 2z
J 1(2 ) B{circ(r )}
Fourier－Bessel transform
comb( x) ( x n) ，
n

圆域函数
1 r 1 circ(r ) 0 其它 ，
6.2.3 Babinet(巴俾涅)原理
1. 互补屏
若 1 通光部分正好是 2 遮光部分， 1 遮光 部分正好是 2 通光部 分，则 1 、 2 为互补屏。
1 1
(B) 菲涅耳近似
r
z ( x x1) ( y y1)
2 2 1
2
z 1 (x x1) / z1 (y y1) / z1 1
1 (x x1) (y y1) z {1 [ ]} 2 1 2