河南省安阳市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理

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河南省安阳市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） （1）已知221
i
z i +=
-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ）
A. 0
B. -1
C. 1
D. 2
（2）抛物线2
4y x =的焦点坐标为（ ）
A. ()1,0-
B. ()1,0
C. ()0,1-
D. ()0,1
（3）已知
,
是椭圆的两焦点，过的直线了l 交椭圆于,，若△
的
周长为8，则椭圆方程为（ ）
A.
B.
C. D.
（4）“0m <” 是“方程2
2
1x my +=表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（5）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
（6
）已知双曲线
的焦距为
，且双曲线的一条渐近线方程为
，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
（7）已知命题:p 关于x 的函数2
34y x ax =-+在[)1,+∞上是增函数，命题:q 函数
()21x
y a =-为减函数，若“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．12,,2
3⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥
⎝⎦⎝⎭ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
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（8）设函数，若曲线在点处的切线方程为
，则点
的坐标为（ ）
A.
B.
C. D. 或
（9) 设函数()2
32f x x x =+-，则 ()()
121lim
x f x f x
→∞
+∆-=∆（ ）
A. 5
B. 5-
C. 10
D. 10-
（10)在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 （ ） A ．1122a b c -
++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．11
22
a b c --+ (11) 已知函数
，则（ ）
A. 当，有极大值为
B. 当，有极小值为
C. 当
，有极大值为0
D. 当
，有极小值为0
(12)已知函数()22x
f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R
g x mx m =+∈，若对于任意的[]
11,1x ∈-，总存在[]
01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A. ][()
22,11,e e -∞-⋃-+∞ B. 22
1,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C. ][()
22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D. 22
1,1e e --⎡⎤--⎣⎦
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.
若抛物线
的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
__________.
14.曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 . 15.在棱长为a 的正方体1
111A B C D A B C D -
中，向量
1
BA 与向量
AC
所成的角
3
为 ．
16.如图，已知抛物
线
的焦点
为
，直线l
过
且依次交抛物线及圆
()
2
21
14
x y -+=
于点A 、B 、C 、D 四点，则94AB CD +的最小值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）已知双曲线1449162
2
-=-y x ，求（1）焦点坐标（2）离心率（3）渐近线方程.
18.（12分）已知函数3()31f x x x =-+． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求曲线在点(0,(0))f 处的切线方程．
19.（12分）已知命题，且
，命题
，且
.
（1）若
，
，求实数a 的值；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
20. （12分）如图四棱锥P ABCD -的底面A B C D 为菱形，且60ABC ∠=︒，
2AB PC ==，
PA PB ==（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）二面角P AC B --的余弦值.
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21.（12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的短轴长为1
2
e =．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB ∆的面积的最大值.
22.（12分）
已知函数x b x
x a x f ln )1
()(--=（R b a ∈,），2
)(x x g =.
（1）若1=a ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值；
（2）若2=b ，试探究函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究a 值的个数；，若不存在，请说明理由.
5
高二期中考试 理科数学答案
1-5 ABACB 6-10 CADCA 11-12 DA 13.
14.
83
15. 120° 16. 372
17.
焦点坐标为：），），（（5-05,0，离心率为：54e =,渐近线方程为：x y 3
4
±=. 【解析】
试题分析：将方程1449162
2
-=-y x 化为标准方程19
162
2=-x y ， 得：3,4==b a ,5=c ， ……4分 所以焦点坐标为：）
，），（（5-05,0， ……6分 离心率为：4
5
e =
……8分 渐近线方程为：x y 3
4
±=. ……10分
考点：本小题主要考查由双曲线的标准方程求焦点、离心率、渐近线等基本量，考查学生对基础知识的掌握和计算能力.
点评：由双曲线的标准方程求基本量关键是分清焦点在哪个坐标轴上，分清,a b . 18.
（1）极大值为(1)3f -=，极小值为(1)1f =-（2）310x y +-=
【解析】 试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f ′（x ），求出方程f ′（x ）=0的根，根据二次函数的图象求出
f ′（x ）＜0、f ′（x ）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f ′（0）：切线的斜率，由解析式求出f （0）的值，根据
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点斜式求出曲线在点（0，f （0））处的切线方程，再化为一般式方程 试题解析：（1）
3()31f x x x =-+，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，
/()011f x x x ===-设，可得，或．
①当/
()0f x >，即11x x ><-，或时； ②当/()0f x <，即11x -<<时．
当x 变化时，/
()f x ，()f x 的变化情况如下表：
当2x =-时， ()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =- （2）
2033|3x k x ==-=-，(0)1f =
13(0)310y x x y ∴-=--⇒+-=．[
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 19. (Ⅰ)
；(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)先求集合，由条件知的值正好是集合对应端点的值，解得；(Ⅱ)
由题意得
试题解析：(Ⅰ)因为，由题意得，
.
(Ⅱ)由题意得
考点：集合的关系、充要条件、一元二次不等式的解法. 20.
7
（1）见解析;（2
. 【解析】试题分析：（1）取AB 中点O ，连结PO ， CO ，依题意，可证PO ⊥平面ABC ，从而可证得平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）由（1）OB 、CO 、OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，可求得各点坐标，求出面PAC
的法向量为(1,3,n =-，面BAC 的一个法向量为()0,0,1m =，求出向量的夹角即可.
试题解析：（1）证明：取AB 中点O ，连结PO ， CO
，由PA AB ==
， 2AB =，
知PAB 为等腰直角三角形，
1PO ∴=， PO AB ⊥，由2AB BC ==， 60ABC ∠=︒，知ABC 为边三角形，
CO ∴=
由2PC =得222PO CO PC +=， PO CO ∴⊥，又AB CO O ⋂=， AB 、CO ⊂平面
ABCD
PO ∴⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD .
（2）由（1）OB 、CO 、OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -
，
)
C
， ()0,0,1P ，
(
)
3,1,0AC ∴=
， ()0,1,1AP =，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则
30
{
n AC x y n AP y z ⋅=+=⋅=+
=，取1x =， 则(1,3,n =-，又平面BAC 的一个法向量为()0,0,1m =， 设二面角P AC B --的大小为θ， 易知其为锐角， cos cos ,n m θ∴=〈〉
n m n
m
⋅=
=
=， ∴二面角P AC B --的余弦值为
7
.
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21.
（1）22
143
x y +=；（2）3. 【解析】
试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把1
F A B ∆分解为2
1F AF ∆和21F BF ∆，所以其面积为11212121
2
F AB S F F y y y y ∆=
-=-，设出直线l 的方程为1x
my =+，整理方程组表示出1212,y y y y +，代入上式即可求得1
F AB
S ∆=，可
换元t =，则1t ≥，则12
124
131
3F
AB t S t t t
∆=
=++，研究求单调性即可求得其最大值. 试题解析：（1）由题意可得2
2221
2b c a a b c ⎧=⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎩
．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．2分 解得2,a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
故椭圆的标准方程为22
143
x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，11212121
2
F AB S F F y y y y ∆=
-=- ………………6分 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，
由
22
114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得
()2
234690
m
y my ++-=，所以，
121
22269,3434
m y y y y m m --+=
=++．．．．．．．．．8分 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点， 故0∆>，即()()
2
2
636340,m m
m R ++>∈
．则
11212121
2
F AB
S F F y y y y ∆=-=-==．．．．．．．．．．．．．．10分
9
令t =，则1t ≥，则
122
1241
3431
3F AB
t S m t t t
∆===+++，
令()1
3f t t t =+，由函数的性质可知，函数()f t
在,3⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
上是单调递增函数， 即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增， 因此有()()4
13
f t f ≥=
，所以13F AB S ∆≤， 即当1t =，即0m =时，1F AB S ∆最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和函数、不等式的思想，属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意2
2
2
c b a +=；本题第（2）问解答的关键是根据把1F AB ∆的特征，把它分解为21F AF ∆和21F BF ∆，这样其面积
11212121
2
F AB S F F y y y y ∆=
-=-，大大简化了运算过程，提高了解题的准确率，最后通过换元，利用的导数研究其单调性，求得其最大值. 22.
（1）2=b ；（2）当0≤a 时，函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点处不存在公切线，当0>a 时，函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的a 的值有且仅有两个. 【解析】
试题分析：（1）当1=a 时，x b x
x x f ln 1
)(--
=，得到'()f x ，依题意'(1)0f =，即可求解b 的值；（2）假设()(),f x g x 的图象在其公共点00(,)x y 处存在公切线，分别求出导数，令00()()f x g x '=，得02a x =
，讨论a ，分别0a ≤，0a >，令()()22
a a
f g =，研究方程解的个数，可构造函数，运用都是求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断.
试题解析：（1）当1=a 时，x b x
x x f ln 1
)(--=，∴222111)('x bx x x b x x f +-=-+=，
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依题意得02)1('=-=b f ，∴2=b .
（2）假设函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点),(00y x 处存在公切线，
∵2=b ，∴x x
x a x f ln 2)1
()(--=，∴2
22)('x a x ax x f +-=，x x g 2)('=， 由)(')('00x g x f =得02
002
022x x a x ax =+-，即02202
030=-+-a x ax x ， ∴0)2)(1(02
0=-+a x x ，故2
0a x =
. ∵函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
当0≤a 时，),0(20+∞∉=
a
x ，∴函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点处不存在公切线； 当0>a 时，令)2
()2(a
g a f =，
∵22ln 222ln 2)22()2(2--=--=a a a a a a a f ，4)2(2
a a g =，
∴422ln 2222a a a =--，即2
ln 882a a =-（0>a ）. 下面研究满足此等式的a 的值的个数：
设2
a
t =，则t a 2=，且0>t ，方程2ln 882a a =-化为12ln 2-=t t ， 分别画出t y ln =和122
-=t y 的图象， 当1=t 时，0ln =t ，02
1
122<-=-t ，
由函数图象的性质可得t y ln =和122
-=t y 的图象有且只有两个公共点（且均符合）， ∴方程2
ln 882a
a =-有且只有两个根. 综上，当0≤a 时，函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点处不存在公切线；当0>a 时，函数)(x f 与)(x g 的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的a 的值有且仅有两个.
考点：导数在函数中的综合应用.
【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用函数的性质解决不等式、方程问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中认真审题，注意导数在函数中的合理应用，试题有一定的难度，属于难题.
11。