【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第2讲 函数的单调性与最值课件 理 新人教A版

－x1)<0恒成立，设a＝f(－
1 2
)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c
的大小关系为( )
A. c>a>b
B. c>b>a
C. a>c>b
D. b>a>c
答案：D
解析：由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图
象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对
称，所以a＝f(－
(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
[审题视点] 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，结合题
目作适当变形．
[解] (1)证明：设x1>x2， 则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上为减函数．
[解] (1)由于y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11xx≥ <00，， 即y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22xx≥ <00.， 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1] 和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令g(x)＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2，所以g(x)在(－ ∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
(3)平方后的解析式含有几个根式？被开方式是什么函数？ 可用什么方法求其最值？(提示：平方后只含一个根式，被开方 式是二次函数，可通过配方求最值)
[解析] 由
1－x≥0 x＋3≥0
得函数的定义域是{x|－
3≤x≤1}，y2＝4＋2 1－x· x＋3＝4＋2 －x＋12＋4，当
x＝－1时，y取得最大值M＝2 2；
例4 [2013·德阳模拟]已知函数y＝ 1－x ＋ x＋3 的最
大值为M，最小值为m，则Mm的值为( )
1
1
A. 4
B. 2
2 C. 2
3 D. 2
[审题视点] (1)研究函数的最值时，应首先确定函数的什 么？(提示：首先确定函数的定义域)
(2)函数解析式中含有根式，通常的处理办法是什么？(提 示：对解析式进行平方)
⇔
a>－x2＋2x x≥1
⇔a大于函数φ(x)＝－
(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
于是问题转化为求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最 大值问题．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3. ∴a>－3.
例5 [2013·衡阳联考]已知函数f(x)对于任意x，y∈R， 总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.
2. 函数的最值
前提 条件 结论
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
①对于任意的x∈I， 都有________；②存 在x0∈I，使得 ________
①对于任意的x∈I，都 有________；②存在 x0∈I，使得________．
则M是y＝f(x)的最大 值.
则M是y＝f(x)的最小值.
数；
数.
上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具
有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪” 将函数的单调增区间(或减区间)连接起来？
(1)函数y＝ x2－2x的递增区间________． (2)函数f(x)定义在[0,8]上的减函数，且f(2m)>f(m＋6)， 则m的取值范围是________．
(2)解：∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，且f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，又f(－ 3)＋f(3)＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
的单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－
∞，0)∪(0，＋∞)．
填一填：(1)[2，＋∞)
(2)0≤m≤2
提示：00≤ ≤2mm＋≤68≤8 2m<m＋6
，解之得0≤m≤2.
2. f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 想一想：提示：函数的单调性反映在图象上是在某一
[变式探究]
[2013·银川模拟]已知函数f(x)＝
1 a
－
1 x
(a>0，x>0)，若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值． 解析：根据函数的单调性确定给定区间上的函数值，
构建方程组求a的值． ∵f(x)在12，2上的值域是12，2， 又f(x)在12，2上单调递增， ∴f12＝12，f(2)＝2，∴a＝25.
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴Mm＝
2 2.
故选C. [答案] C
求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低 点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定 三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后 结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函 数，再用相应的方法求最值，换元注意等价性．
第2讲 函数的单调性与最值
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1. 理解函数的单调性及其几何意义． 2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3. 会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义.
1项必须防
范受到区间的限制，例如函数y＝
1 x
分别在(－∞，0)，(0，
＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－
函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有何特 征？
(1)f(x)＝xx＋－11的值域是________． (2)f(x)＝x－ x－1的值域是________.
1. f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 想一想：提示：函数的单调区间不能简单的合并，如
函数y＝
1 x
[答案] (－∞，1]
奇思妙想：本例条件变为“函数 f(x)＝(12)|2x－a|在(－∞， 1]上为增函数”，问题不变，该如何求解？
解：依题意知 t＝|2x－a|，在(－∞，1]上为减函数， 又∵t＝|2x－a|的递减区间为(－∞，a2]， ∴a2≥1，∴a≥2.
应用函数的单调性可求解的问题
(1)由x1，x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小； (2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系； (3)求解析式中参数的值或取值范围； (4)求函数的最值； (5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状．
2个必记结论 1. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数 在闭区间上单调时最值一定在端点取到． 2. 开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
4种必会方法 1. 定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． 2. 复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增 函数，不同时为减函数． 3. 导数法：利用导数研究函数的单调性． 4. 图象法：利用图象研究函数的单调性.
∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单
调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．
函数的单调性是对某个区间而言的，所以要
2种重要形式 1. fxx11－ －fx2x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； fxx11－ －fx2x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－ x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
区间上是上升的或下降的；而最大(小)值反映在图象上为其
最高(低)点的纵坐标的值．
填一填：(1)(－∞，1)∪(1，＋∞)
(2)[
3 4
，＋∞)
提示：令
x－1 ＝t≥0，f(t)＝t2－t＋1，
当t＝12取得最小值34.
核心要点研究
例1 [2012·广东高考]下列函数中，在区间(0，＋∞)上
为增函数的是( )
A. y＝ln(x＋2)
B. y＝－ x＋1
C. y＝12x
D. y＝x＋1x
[审题视点] 对于简单函数或可化为简单函数的函数，可 借助于图象的直观性来判断函数的单调性．
[解析] y＝lnt和t＝x＋2在此区间上同为增函数，可知y＝ ln(x＋2)在(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，＋∞)上单调递增，选A.
[答案] A
2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤： (1)确定定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间． (4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一 增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．
[变式探究] 已知函数f(x)＝log2(x2－2x－3)，则使f(x)为减 函数的区间是( )
判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的 定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合 函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等．其中(2)(3)一 般用于选择、填空．
[变式探究] [2013·西安质检]已知函数f(x)的图象向左
平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2
课前自主导学
1. 函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区
间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定 义
当x1<x2时，都有 ________，那么就说函
当x1<x2时，都有 ________，那么就说函
数f(x)在区间D上是增函 数f(x)在区间D上是减函
1 2
)＝f(
5 2
)．当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－
x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.故选D.
例2 [2013·吉林模考]求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝a1－2x－x2(a>0且a≠1)． [审题视点] 对于(1)可先将函数化为分段函数，画出函数 的图象，然后结合图象求出单调区间；对于(2)应对a的取值进 行讨论，然后根据复合函数单调性法则求解．
A. (3,6)
B. (－1,0)
C. (1,2)
D. (－3，－1)
答案：D
解析：由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，结合二次函数的对称
轴x＝1，知在对称轴左边函数y＝x2－2x－3是减函数，所以在
区间(－∞，－1)上是减函数，由此可得D项符合.
例3 [2012·上海高考]已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
当a>1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－∞，－1)， 减区间是(－1，＋∞)；
当0<a<1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－1，＋ ∞)，减区间是(－∞，－1)．
1．带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函 数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函 数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个 段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合 函数的图象、性质进行直观的判断．
[变式探究] [2013·临沂模拟]已知f(x)＝
x2＋2x＋a x
(x≥1)，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的
取值范围是________．
答案：a>－3
解析：用等价转化、构造函数和分离参数的思想解
题．
在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2xx＋a>0恒成立⇔
x2＋2x＋a>0 x≥1
[审题视点] 外层函数为增函数，内层函数的增区间[a， ＋∞)为f(x)的递增区间，由题意知[1，＋∞)为[a，＋∞)的子 集．
[解析] 令t＝|x－a|，则t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上单调递 增，而y＝et为增函数，所以要使函数f(x)＝e|x－a|在[1，＋∞)上 单调递增，则有a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1]．