工程力学-第十六章

16.5.2 纯弯曲正应力的分布规律
由平面假设可知，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点： （1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 （2）距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。 （3）在图所示的受力情况下，中性轴上部的各点正应力为负值，中性轴下部的各点正应 力为正值。 （4）正应力沿y轴呈线性分布，如图所示，其中，K为待定常数。最大正应力（绝对值） 在距中性轴最远的上、下边缘处。
16.1.1 对称弯曲的概念
工程中最常见的梁，其轴线是直线，横截面一般都有1根或2根对称轴，如图所示。
16.1.1 对称弯曲的概念
由横截面的纵向对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面，如图所示。如果梁上的 外力全部作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对称面内的一条平面曲线， 这种弯曲称为平面弯曲。
04
弯矩、剪力与载荷集度间的关系
16.4 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
一般情况下，梁上不同截面的 FQ 和 M 是不同的。为描述内力沿梁轴变化的规律，用 x 轴表示梁横 截面的位置，则梁各横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标 x 的函数，即
FQ FQ (x) M M (x)
16.4 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
Wz
πd 3 32
16.5.3 纯弯曲正应力的计算公式
常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：
截面形状
惯性矩
抗弯截面系数
Iz
Iy
πD4 64
(1
α4)
Wz
πD3 32
(1
α4)
16.5.4 弯曲切应力简介
1．矩形截面梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力不是均匀分布的，对于矩形截面梁横截面上的切应力，假设其分布特 点为：
16.1.2 梁的计算简图
2．载荷的简化
作用在梁上的载荷可简化为如下三种形式。 （1）集中载荷 通过微小面积，作用在梁上的力，可近似地简化为作用在一点上的集中力，如图所示中的 力F。 （2）集中力偶 通过微小梁段，作用在梁上的力偶，可看作为一个集中力偶，如图所示中的力偶矩M。 （3）分布载荷 沿着梁的轴线方向在一定长度上连续分布的、垂直于梁轴的力系。如果这种力系是均匀分 布的，则称为均布载荷，其大小用载荷集度q表示。其单位为N/m或kN/m。
面积 A*对中性轴 z 的静距 S*为 S* A* y *
式中，y*为面积 A*的形心坐标，用绝对值代入。
这说明，切应力分布与中性轴 z 对称，即 τ(y) τ(y)
将
S*代入可得
τ ( y)
FQ 2Iz
h2 4
y2
其分布规律为二次曲线，中性轴上切应力最大，上、下边缘处切应力为 0。
16.5.4 弯曲切应力简介
σ 120 MPa
因此，该梁满足强度条件。
16.6 正应力强度条件及其应用
例 16-5 如图所示，圆截面简支梁 AB 跨度 l 4 m ，梁受均布载荷 q 10 kN/m 作用，梁的弯曲许用 应力[σ] 140 MPa 。试设计梁的直径 D。
02
梁的剪力和弯矩
3.1.2 力系向任一点简化的主矢和主矩
如图所示的简支梁，受到主动力 F 的作用，现求解距梁的左端为 x 处横截面 m-m 上的内力。
首先应根据平衡方程求出约束反力 FB F ， MB Fl ；然后应用截面法，沿截面 m-m 假想地将梁截
开，并取左段为研究对象，如图所示。由于原来的梁处于平衡状态，所以梁的左段仍应处于平衡状态。由
加载使梁发生纯弯曲变形，通过梁的纯弯曲实验可观察到： （1）纵向线弯曲成圆弧，其间距不变。靠近梁顶部凹面的纵向线缩短，靠近梁底部凸面 的纵向线伸长。 （2）横向线仍为直线，且与纵向线正交，横向线间相对转过了一个微小的角度。
16.5.1 实验观察与假设
对上述实验的观察结果，进行分析、判断和推理，可以作出如下假设：变形前为平面的横 截面在变形后仍保持为平面，并且仍垂直于变形后的轴线，只是绕截面内的某一个轴旋转了一 个角度。这一假设称为弯曲变形的平面假设。
22 由上式可知，剪力图为 0 x l 范围内的倾斜直线，在 x 0 处， FQ 0 ；在 x l 处， FQ ql 。弯 矩图为 0 x l 范围内的二次抛物线，需要确定三点才可绘出其弯矩图，如 x 0 时，M 0 ；x l/2 时， M ql2 /8 ； x l 时， M ql2 /2 。梁的剪力图和弯矩图分别如图所示。
16.5.3 纯弯曲正应力的计算公式
可以证明，纯弯曲时横截面上正应力的计算公式为 σ My Iz
为计算梁横截面上的最大正应力，可定义抗弯截面系数Wz Iz /ymax
16.5.3 纯弯曲正应力的计算公式
常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：
截面形状
惯性矩
Iz
bh3 12
06
正应力强度条件及其应用
16.6 正应力强度条件及其应用
在进行梁的强度计算时，首先应确定梁的危险截面和危险点。一般情况下，对于等截面的直梁，其危险点
在弯矩最大的截面上下边缘处，即最大正应力所在处。梁的弯曲正应力强度条件为 σmax
M max Wz
[σ]
适用于抗拉和抗压强度相同的材料。对于许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不同的脆性材料（如铸铁、陶瓷 等），要分别计算，即 σt max [σt ] ， σcmax [σc ]
从 x 截面处截取微段 dx 进行分析，如图所示。q(x)在 dx 微段上可看成均布的；左截面上作用有剪力
FQ (x) dFQ (x) 和弯矩 M (x) dM (x) 。由平衡条件可得 Fy 0 ， FQ (x) [FQ (x) dFQ (x)] q(x)dx 0
MC
(F)
0
，
M
(x)
dM
(x)
M
(x)
FQ (x)dx
q(x)dx
dx 2
0
dFQ (x) q(x) 略去二阶微量后，化简可得 dx
dM (x) dx
FQ
(x)
d2M dx2
dFQ (x) dx
q(x)
表明了同一截面处 M(x)，FQ(x)和q(x)三者 之间的微分关系。
05
纯弯曲正应力
16.5 纯弯曲正应力
应用强度条件可解决强度校核、截面设计以及确定许可载荷等三类问题。
16.6 正应力强度条件及其应用
例 16-4 如图所示简支梁 AB，力 F 27.5 kN 作用于 AB 中点，梁的抗弯截面系数Wz 1.5105 mm3 ，
弯曲许用应力[σ] 120 MPa 。试校核梁的强度。
解：（1）求支座反力
FA
FB
F 2
（2）确定梁的最大弯矩
由于简支梁在集中力的作用下，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上。因此，梁的最大弯矩发生
在 l/2 处，其值为 Mmax
FA
l F 22
l 1.65107 N mm 2
（3）强度校核 σmax
M max Wz
1.65 107 1.5 105
MPa
110 MPa
（1）横截面上各点的切应力方向和剪力FQ的方向一致。 （2）切应力的大小与距中性轴z的距离y有关，与截面宽度b无关。
当矩形截面梁横截面的高度h大于宽度b时，上述假设基本符合实际情况。据此可以推导出 矩形截面梁横截面距中性轴y处的切应力为
τ( y) FQS * /bIz
16.5.4 弯曲切应力简介
FQ (x)
ql 2
qx
q
l 2
x
(0 x l)
M (x) ql x qx x q (lx x2 ) (0 x l)
2
22
16.3 剪力图和弯矩图
（3）按方程作图 由剪力方程可知，剪力图为一条直线，在 x l/2 时， FQ 0 。由弯矩方程可知，弯矩图为一条二次 抛物线，最高点在 x l/2 处， Mmax ql2 /8 。梁的剪力图和弯矩图分别如图所示。
hb3 I y 12
BH 3 bh3 Iz 12
Iy
HB3 12
hb3
抗弯截面系数 hb2
Wz 6
Wz
BH 4 bh4 6H
16.5.3 纯弯曲正应力的计算公式
常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：
截面形状
惯性矩
Iz
BH 3 bh3 12
πd 4 Iz I y 64
抗弯截面系数
BH 3 bh3 Wz 6H
16.1.2 梁的计算简图
1．支座的简化
根据支承情况的不同，一般可将梁简化为如下三种形式。 （1）简支梁 如果梁的两端支座中，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，则称这种梁为简支 梁，如图16-2所示中的桥式起重机大梁和图所示。 （2）外伸梁 梁的支座和简支梁的相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外，这种梁称为外伸梁，如 图16-1中的火车轮轴和图所示。 （3）悬臂梁 一端固定、另一端自由的梁，称为悬臂梁，如图所示。
16.1.2 梁的计算简图
例16-1 如图所示的悬臂梁作用有均布载荷q。试求截面D-D上的剪力和弯矩。
解：取悬臂梁的右段为研究对象，受力情况如图所示，
由平衡方程
Fy
0 ，FQ
q
2l 3
0
M O (F ) 0 ，M D
q
2l 3
l
，可解得
FQ
0
2ql 3
，M D
3
2ql2 9
式中，FQ 为正，说明其方向与图示方向一致；MD 为负，说明其方向与图示方向相反。
2．横截面上的最大切应力公式
由式可知，对于矩形截面梁，其横截面上最大切应力发生在中性轴上，即 y 0 处，此时 S* 最大，切应力为 τmax 3FQ /2A
同样，工字形截面梁、圆形截面梁和圆环形截面梁的最大切应力，也发生在各自的中性轴上。 对于工字形截面梁， τmax FQ /A （A 为腹板面积）；对于圆形截面梁， τmax 4FQ /3A ；对于圆环形 截面梁， τmax 2FQ /A 。
平衡方程
Fy 0 ，F MO (F)
FQ 0 ，M
0 Fx
0
，可解得
FQ
F
，M
Fx
16.1.2 梁的计算简图
1．支座的简化
为了使上述两种算法得到的同一截面上的剪力和弯矩，不仅数值相等，而且符号也一致， 现规定如下：凡使所取的梁具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负，如图所示；凡使梁 产生凸向下弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图所示。换言之，由外力确定内力的符号，可 概括为“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”
03
剪力图和弯矩图
16.3 剪力图和弯矩图
例16-2 如图所示的悬臂梁作用有均布载荷q。试作该梁的剪力图和弯矩图。
16.3 剪力图和弯矩图
解：为方便计算，将坐标原点取在梁的右侧。取距右端为 x 的任意横截面，考虑截面右侧梁段，则 该梁段的剪力方程和弯矩方程分别为 FQ (x) qx (0 x l) M (x) qx x qx2 (0 x l)
如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，弯曲变形后，靠近顶面的纤维缩短，靠近底面的 纤维伸长。由于变形的连续性，由缩短层过渡到伸长层时，中间必有一层纤维既不伸长也不缩 短，这个长度不变的过渡层，称为中性层，如图所示。中性层与横截面的交线，称为中性轴， 它与横截面的对称轴垂直；且可证明，它通过横截面的形心。梁弯曲时，横截面就是绕中性轴 旋转的。
16.3 剪力图和弯矩图
例16-3 如图所示起重机大梁的跨度为l，自重力可看成均布载荷q。试作该梁的剪力图和弯 矩图。
解：（1）求约束反力
该起重机大梁可简化为简支梁，如图所示，可求得
FA
FB
ql 2
（2）列剪力方程和弯矩方程
以 A 点为坐标原点，取距 A 点为 x 处的任一截面，考虑截面左端梁段，列平衡方程，有
如图所示简支梁AB，梁中间段的弯矩为常数、剪力为零，这种截面内只有弯矩而无剪力的 弯曲，称为纯弯曲。如果梁的截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。如图所示 两端梁段的弯曲即为横力弯曲。
16.5.1 实验观察与假设
要确定纯弯曲时梁的横截面上的正应力，需要进行纯弯曲实验。实验前，在梁的侧面画上 一些垂直于轴线的横向线，以及平行于轴线的纵向线，如图所示。
第十六章
弯曲
CONTNET
01 对称弯曲的概念及梁的计算简图 02 梁的剪力和弯矩
03 剪力图和弯矩图
04 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
05 纯弯曲正应力
06 正应力强度条件及其应用
07 梁的弯曲变形及刚度条件
08 梁的合理设计
01
对称弯曲的概念及梁的计算简图
16.1.1 对称弯曲的概念
在工程中常遇到这样一类构件，它们所承受的外力都垂直于杆件的轴线，如图的火车轮轴 和图所示的桥式起重机大梁等，在这些外力作用下，杆件的轴线将由直线变为曲线，这种变形 称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。